Problema 1Un distribuitor de maini a raportat urmtoarea situaie.

Corelaia dintre greutatea i fiabilitatea unei maini este -0.30. Corelaia dintre greutatea i costul ntreinerii anuale este 0.20.

Care dintre urmtoarele afirmaii sunt corecte? I. Mainile mai grele tind s fie mai puin fiabile. II. Mainile mai grele tind s aib costuri mai mari de ntreinere. III. Greutatea mainii este relaionat mai puternic cu fiabilitatea dect cu costul ntreinerii. (A) Numai afirmaia I (B) Numai afirmaia II (C) Numai afirmaia III (D) Numai afirmaiile I i II (E) Toate trei afirmaiile Soluia Rspunsul corect este (E). Corelaia dintre greutate i fiabilitate este negativ. Acest lucru nseamn c fiabilitatea scade cu creterea greutii . Corelaia dintre greutate i costul ntreinerii este pozitiv. nseamn c cu ct greutatea mainii este mai mare cu att costul ntreinerii este mai mare. Legtura dintre cele dou variabile este indicat prin valoarea absolut a coeficientului de corelaie. Corelaia dintre greutatea mainii i fiabilitate are o valoare absolut de 0.30. Corelaia dintre greutatea mainii i costul ntreinerii , n valoare absolut este 0.20. De aceea legtura dintre fiabilitate i greutate este mai puternic dect legtura dintre greutate i costul ntreinerii. Punctaj = 1 punct

Problem 2Un cercettor utilizeaz o ecuaie de regresie pentru ai previziona cheltuielile cu nclzirea locuinei ( n lei) pe baza suprafeei acestei locuine ( n metri) . Corelaia dintre cheltuieli i mrimea locuinei ( coeficientul de corelaie r ) este 0.70. Care este interpretarea corect a acestei situaii? (A) 70% din variaia total a cheltuielilor cu nclzirea poate fi explicat prin suprafaa locuinei. (B) 49% din variaia cheltuielilor cu nclzirea poate fi explicat prin suprafaa locuinei. (C) Pentru fiecare metru ptrat al suprafeei , cheltuielile cresc cu 70 de lei.

1

(D) Pentru fiecare metru ptrat adugat , cheltuielile cresc cu 49 lei. Soluie Rspunsul corect este (B). Coeficientul de determinare msoar proporia variaiei variabilei dependente care este previzionat prin variabila independent. Coeficientul de determinare este egal cu r2; n acest caz , ((0,70)2 sau 0.49. De aceea, 49% din variaia cheltuielilor de nclzire pot fi explicate prin suprafaa locuinei. Punctaj = 1 punct

Problema 3Anul trecut , cinci studeni alei aleatoriu din total studeni ai unei faculti au participat la un test de verificare a aptitudinilor de matematic nainte de a fi primii la un curs de econometrie. Rezultatele obinute au la test au fost Xi i gradele asociate pentru participarea la cursul de econometrie au fost: Student xi 1 2 3 4 5 yi

95 85 85 95 80 70 70 65 60 70

Departamentul de statistic are de rspuns la trei ntrebri.

Ce ecuaie de regresie previzioneaz cel mai bine performana econometric , bazat pe notele obinute la testul de matematic? Dac un student obine 80 de puncte la testul de matematic care va fi gradul lui de performan la cursul de econometrie? Ct de bine estimeaz linia de regresie datele obinute?

Rezolvare Cum se obine ecuaia de regresie?

2

n tabelul de mai jos se calculeaz relaiile necesare pentru calculul ecuaiei de regresie. Ultimele dou coloane arat sumele i mediile care sunt utilizate n calculul ecuaiei de regresie. Student xi 1 2 3 4 5 Suma Media 95 85 80 70 60 78 yi 85 95 70 65 70 77 (xi - x) (yi - y) (xi - x)2 (yi - y)2 (xi - x)(yi - y) 17 7 2 -8 -18 8 18 -7 -12 -7 289 49 4 64 324 730 64 324 49 144 49 630 136 126 -14 96 126 470

390 385

Ecuaia de regresie este o ecuaie liniar de forma: y = b0 + b1x . Pentru a realiza analiza de regresie este nevoie s se calculeze parametrii modelului cu ajutorul relaiilor obinute prin metoda celor mai mici ptrate adic: b1 = [ (xi - x)(yi - y) ] / [ (xi - x)2] b1 = 470/730 = 0.644 b0 = y - b1 * x b0 = 77 - (0.644)(78) = 26.768

Rezult c ecuaia de regresie este y = 26.768 + 0.644x . Punctaj = 1 punct Cum se utilizeaz ecuaia de regresie Odat ce ecuaia de regresie este calculat utilizarea ei este simpl. Se alege o valoare pentru variabila independent (x), se introduce n ecuaia calculat i se obine valoarea lui (y). n problema noastr variabila independent este scorul obinut la testul de aptitudini. Variabila dependent este gradul acordat pentru participarea la cursul de econometrie. Dac un student obine 80 de puncte la testul de aptitudini scorul pentru participarea la cursul de econometrie este : y = 26.768 + 0.644x = 26.768 + 0.644 * 80 = 26.768 + 51.52 = 78.288 Punctaj = 1 punct Calculul coeficientului de determinare

3

Ori de cte ori se utilizeaz o ecuaie de regresie trebuie s ne ntrebm ct de bine estimeaz aceasta datele avute . O modalitate de a verifica acest fapt este calculul coeficientului de determinare , care poate fi calculat cu ajutorul formulei. r2 = { ( 1 / N ) * [ (xi - x) * (yi - y) ] / (x * y ) }2 unde N este numrul de observaii , este simbolul sumei , xi este valoarea lui x pentru fiecare observaie i, x este media lui x , yi valoarea lui y pentru fiecare observaie i, y este media valorilor lui y , x este deviaia standard a lui x, i y este deviaia standard a lui y. calculul pentru problema anterioar este. x = sqrt [ ( xi - x )2 / N ] x = sqrt( 730/5 ) = sqrt(146) = 12.083 y = sqrt [ ( yi - y )2 / N ] y = sqrt( 630/5 ) = sqrt(126) = 11.225

r2 = { ( 1 / N ) * [ (xi - x) * (yi - y) ] / (x * y ) }2 r2 = [ ( 1/5 ) * 470 / ( 12.083 * 11.225 ) ]2 = ( 94 / 135.632 )2 = ( 0.693 )2 = 0.48 Un coeficient de determinare egal cu 0.48 indic faptul c n jur de 48% din variaia variabilei dependente ( scorul de participare la cursul de econometrie) poate fi explicat prin nota obinut la testul de matematic. Acest lucru poate fi considerat o bun estimare a datelor n sensul c se poate prezice c studenii care vor participa la cursul de econometrie vor avea rezultate bune. Punctaj = 1 punct

Problem 4: Testarea ipotezelorUn inventator dezvolt un motor nou mai eficient energetic . El susine c motorul va merge continuu 50 de ore (300 minute) cu numai 1 litru de benzin . Se presupune c sunt testate 50 de motoare alese aleatoriu dintrun lot mai mare. Motoarele testate funcioneaz continuu , n medie 295 minute, cu o deviaie standard de 20 minute. S se testeze ipoteza nule c timpul mediu de funcionare este de 300 minute fa de ipoteza alternativ c timpul mediu de funcionare nu este 300 minute. Se utilizeaz un nivel de semnificaie de 0.05 . (Se presupune c timpii de funcionare a motoarelor sunt distribuii dup o distribuie normal.) Soluie: Soluia acestei probleme se calculeaz n patru pai : (1) se formuleaz ipotezele, (2) se formuleaz un plan de analiz, (3) se analizeaz datele din eantion (4) interpreteaz rezultatele.

4

Formularea ipotezelor. Ipoteza nul: = 300 Ipoteza alternativ: 300 Se observ c aceast ipotez este un test bilateral. Ipoteza nul va fi respins dac media eantionului este prea mare sau prea mic.

Formularea planului de analiz. Pentru aceast analiz nivelul de semnificaie este 0.05. Metoda de testare este aplicarea unui test t -test Analiza datelor eantionului . Utiliznd datele se calculeaz eroarea standard (SE), Gradele de libertate (DF), i t-score test statistic (t). SE = s / sqrt(n) = 20 / sqrt(50) = 20/7.07 = 2.83 DF = n - 1 = 50 - 1 = 49 t = (x - ) / SE = (295 - 300)/2.83 = 1.77 Unde s este deviaia standard pentru eantion , x este media eantionului , este media ipotetic a populaiei, n este mrimea eantionului. Deoarece testul este bilateral P-value este probabilitatea ca t-score s aib 49 grade de libertate mai puin dect -1.77 sau mai mare ca 1.77. Se utilizeaz tabela pentru distribuia t ( vezi aanexa) i se gsete P(t < -1.77) = 0.04, i P(t > 1.75) = 0.04. Apoi P-value = 0.04 + 0.04 = 0.08.

Interpretarea rezultatelor . Deoarece P-value (0.08) este mai mare ca nivelul de semnificaie (0.05), nu se poate elimina ipoteza nul.

Punctaj = 2 puncte

Problem 5:Un test unilateral O coal elementar are 300 elevi . Directorul colii spune c media nivelului de inteligen a elevilor colii IQ este cel puin 110. Pentru a verifica acest lucru el a adiminstrat un test IQ pentru 20 de elevi alei aleatoriu. Pentru elevii alei media IQ este 108 cu o deviaie standard 10. Pe baza rezultatelor obinute s-ar putea accepta sau rejecta ipoteza lui iniial? Se presupune un nivel de semnificaie de 0.01. Soluie:

Se formuleaz ipotezele.

5

Ipoteza nul: = 110 Ipoteza alternativ: < 110 Se reine c suntem n cazul unui test unilateral. Ipoteza nul va fi eliminat dac media eantionului va fi prea mic.

Se formuleaz planul de analiz. Pentru aceast analiz, nivelul de semnificaie este 0.01. Testul utilizat este un test t-test. Analiza datelor eantionului. Se calculeaz eroarea standard (SE), gradele de libertate (DF), i t-score test statistic (t). SE = s / sqrt(n) = 10 / sqrt(20) = 10/4.472 = 2.236 DF = n - 1 = 20 - 1 = 19 t = (x - ) / SE = (108 - 110)/2.236 = -0.894 unde s este deviaia standard a eantionului, x este media eantionului, este media populaiei, i n este mrimea eantionului. Deoarece pentru one-tailed test, P-value este probabilitatea ca t-score avnd 19 grade de libertate s fie mai mic ca -0.894. Utiliznd tabelul se gsete c P(t < -0.894) = 0.19. Apoi P-value is 0.19.

Interpretarea rezultatelor. Deoarece P-value (0.19) este mai mare ca nivelul de semnificaie (0.01), nu se poate rejecta ipoteza nul.

Punctaj = 2 puncte.

Problema 6. Intr-o ar taxele pltite de o firm , T, sunt detrminate conform ecuaiei T = 1.2 + 0.2P 0.1I Unde P este profitul i I este investiia . S reprezint vnzrile. Toate variabilele sunt msurate n milioane $ la o rat anual de schimb. S se calculeze Cov(S, T), Cov(S, P), i Cov(S, I) pentru eantiounul unor patru firme artat mai jos i verificai c: Cov(S, T) = 0.2Cov(S, P) 0.1Cov(S, I). Firm S 1 2 3 10 0 50 80 P 2 0 9 1 2 I 1 0 4 4 T 1. 8 0. 2 0. 8 6

4

70

1 5

6

1. 2

Raspuns: Cov(S, T) = Cov(S, [1.2 + 0.2P 0.1I]) = Cov(S, 1.2) + Cov(S, 0.2P) + Cov(S, 0.1I) = 0.2Cov(S, P) 0.1Cov(S, I) Mai nti se utilizeaz regula nr 1 a covarianei pentru a descompune covariana n trei componente . Apoi Cov(S, 1.2) este 0 n virtutea regulei nr 3, 1.2 fiind o constant, i Cov(S, 0.2P) i Cov(S, 0.1I) sunt egale cu 0.2Cov(S, P) i 0.1Cov(S, I),utiliznd regula nr 2. Tabelul ofer rezultatele calculelor. Din tabelul al doilea se poate verifica c: 0.2Cov(S, P) 0.1Cov(S, I) = 13.0 3.5 = 9.5 = Cov(S, T)

Punctaj = 2 puncte

7

Problema 7.Utiliznd datele din exerciiul anterior s se calculeze Var(T), Var(P), Var(I) i Cov(P, I), i s se verifice c: Var(T) = 0.04Var(P) + 0.01Var(I) 0.04Cov(P, I), explicnd analitic de ce se ntmpl astfel

Rspuns: Var(T) = Var(1.2 + 0.2P 0.1I) = Var(0.2P 0.1I) = Var(0.2P) + Var( 0.1I) + 2Cov(0.2P, 0.1I) = 0.04Var(P) + 0.01Var( I) 0.04Cov(P, I) n a doua form a relaiei 1.2 a fost eliminat utiliznd regula varianei 4 deoarece ea este o constant aditiv. n cea de a treia form expresia a fost descompus utiliznd regula varianei nr. 1. n cea de a patra form Regula nr 2 a fost utilizat de dou ori i apoi regula covarianei nr.2 o dat. Din tabelul urmtor se poate verifica c 0.04Var(P) + 0.01Var( I) 0.04Cov(P, I) = 0.66 + 0.06 0.38 = 0.34 = Var(T).

Punctaj = 2 puncte

8

Problema nr. 8Tabelul de mai jos arat rezultatele unei regresii cu privire la relaia care exist ntre numrul de copii dintr-o familie i numrul de ani de coal ai mamei , utiliznd date dintro anchet realizat de institutul de statistic . Realizai o interpretare a coeficienilor?.

9

Rspuns: Coeficientul pantei indic faptul c la fiecare an de coal suplimentar al mamei reduce numrul de copii cu 0.23. Coeficientul de intercepie sau constanta arat c o mam fr nici un an de coal ar avea 6.87 copii. Punctaj= 1 punct

Problema 9O variabil aleatoare X este definit ca fiind numrul cel mai mare obinut din aruncarea a dou zaruri sau numrul numrul obinut cnd acesta este egal pentru cele dou zaruri . Gsii distribuia probabilitii pentru X. Rezolvare n tabelul urmtor se arat toate rezultatele obinute

STATISTICAL TABLES Cumulative normal distribution Critical values of the t distribution Critical values of the F distribution Critical values of the chi-squared distribution

Punctaj = 1 punct 10

Problema 10Gii valoarea ateptat a lui X din exerciiul anterior. Rezolvare: Valoarea ateptat a unei variabile aleatoare, cunoscut ca media populaiei ei este media ponderat a valorilor ei posibile , ponderile fiind probabilitile associate cu valorile respective. E ( X ) = x1 p1 + ... + x n p n = xi p ii =1 n

ezult c valoarea ateptat este egal cu 4,47 Punctaj = 1 punct

11

Problema 11Gsii E(X2) pentru X definit ca in problema 9. Rezolvare

E(X2) = 21.97

E(X) = 4.47

[E(X)]2 = 19.98

Se reine c E(X2) nu este egal cu E(X), la patrat. S-a vzut c E(X) pentru acest exemplu este 4.47. Ptratul lui estes 19.98.

Punctaj = 2 puncte

Problema 12.O companie primete furnizrile unei componente particulare de la trei vnztori diferii. Tabelul urmtor red numrul bunului i parile cu deficiene pentru fiecare vnztor ca proporie din total pri primite.

12

Component Bun Pari cu deficiene

Vnztor A 0,36 0,04

B 0,38 0,02

C 0,16 0,04

a) Dac o component este selectat aleatoriu din toate cele primite , care este probabilitatea ca acesta s fie una cu deficiene? b) Care este probabilitatea ca o component de la vnztorul A s fie cu deficiene? c) Calitatea componentei este independent de sursa ofertei? d) Care este probabilitatea ca o component selectat aleatoriu s fie de la vnztorul C? Soluie: Se noteaz cu D evenimentul alegerii unei componente cu deficiene. a) P(D) = 0,04+0,02+0,04=0,1 b) P(DA) = P(D,A)/P(A) =0,04/0,4 =0,1 c) Nu, deoarece P(D) P(DC) =0,2 d) P(C) = 0,16 +0,04 = 0,2 Punctaj = 1 punct

Problema 13.Funcia de distribuie de probabilitate pentru vnzrile lunare ale mainilor de lux (X) de la un vnztor particulare este: x f(x) 0 0,1 1 0.3 2 0,25 3 0,2 4 0,15

a) Care este probabilitatea de vnzare a cel puin 2 maini n luna urmtoare? b) Gsii media vnzrilor lunare c) Gsii variana vnzrilor lunare d) Presupunnd c profitul lunar ( n mii dolari) este dat de : Profit = -5+8x Gsii media i deviaia standard a profitului lunar. Soluie: a) P(X 2) = P(X =2)+P(X=3)+P(X=4) = 0,25+0,2+0,15 =0,6 b) E(X) = x f(x) = 0x0,1+1x0,3+2x0,25+3x0,2+4x0,15 =2 c) Var(X) = E(X2) - [E(X)]2 E(X2) = x2 f(x) = 02x0,1+12x0,3+22x0,25+32-0,2+42x0,15= 5,5 Var (X) = 5,5 -22 = 1,5 d) E(Profit) = -5 +8E(X) = -5+16=11 Var (profit) = 82var(X) =64x1,5 =96 Sd (Profit) = 96 =9,798

13

Punctaj = 2 puncte

Problema 14.Durata de via a cauciucurilor Drive-Easz are o distribuie normal cu media 40.000 km i deviaia standard 4.000 km. a) Gsii probabilitatea ca durata de via a cauciucului selectat aleatoriu fie: 1) mai mic dect 45.000 km: 2) mai mare dect 46.000 km: 3) ntre 36.000 i 43.000 km. Soluie Se noteaz cu X durata de via a cauciucului selectat aleatoriu n mii de km. Atunci, X ~N(40,42) . a) 1) P(X< 45) = P ( Z< (45-40)/4) = P(Z< 1,25) = 0,894 2) P(X>46) = P(Z > (46-40)/4) = P(Z> 1,5)= 0,0067 3) P(36