1. G. N. BERMAN Problemas y Ejercicios de ANALISIS MATEMATICO TOMO 1 Solucionarlo por: R. Figueroa G. Editorial AMERICA LIMA - PERU www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net

2. I G. N. BERMAN PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE ANLISIS MATEMTICO TOMO 1 (CLCULO DIFERENCIAL) Solucionarlo por: R. FIGUEROAG. ED IC IO N ES M .F p j | LIMA - PERU www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 3. Problemas y Ejercicios de SEXTA EDICIN 2010 ED IC IO N ES Impreso en 3ICIC IQ F Jr. Loreto 1696 Brea (Lima 5) Telefax 423 8469 E-mail: ediciciones_2@hotmail.com Todos los derechos reservados conforme al Decreto Ley N 26905 HECHO EL DEPSITO LEGAL N 15010599-2579 RAZN SOCIAL : RICARDO FIGUEROA GARCA DOMICILIO: Jr. Loreto 1696 Brea Este librono puede reproducirse totalo parcialmente porningn medio electrnico, mecnico o fotocopiau otrosmedios sinelprevio y expreso permiso del autor. CONTENIDO 1 FUNCIN J NOCIONES ELEMENTALES SOBRE FUNCIONES______________ 1.1 Funciones y formas de su expresin 1 1.2 Funciones Compuestas 16 1.3 Funciones Implcitas 20 9 . PROPIEDADES MS ELEMENTALES DE LAS FUNCIONES 2.1 Dominio de definicin de la funcin 22 2.2 Caractersticas del comportamiento de las funciones: Funciones pares. Funciones impares. Funciones peridicas 36 FUNCIONES MS SIMPLES_______ _________________________ 3.1 Funcin Lineal ' 47 3.2 Funcin Cuadrtica 54 3.3 Funcin Homogrfica 71 4 ., FUNCIN INVERSA______________________________________ 78 4.1 Funcin Potencial 81 4.2 Funciones Exponencial e Hiperblica 88 4.3 Funciones Logartmicas 96 y g , FUNCIONES TRIGONOMTRICAS ________________ 101 5.1 Funciones Trigonomtricas Inversas 115 6 PROBLEMAS DE CLCULO _________________ 126 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 4. LMITE Y CONTINUIDAD DEFINICIONES PRINCIPALES 1.1 Funciones de argumento entero 133 1.2 Funciones de argumento continuo 141 MAGNITUDES INFINITAS 2.1 Criterios de existencia del Lmite 144 FUNCIONES CONTINUAS 155 OPERACIN DE HALLAR LOS LMITES 4.1 Funciones de argumento entero 171 4.2 Funciones de argumento continuo 177 4.3 Lmites de Funciones Trigonomtricas 191 4.4 Lmites Exponenciales y Logartmicas 202 4.5 Diversos Lmites 210 4.6 Comparacin de magnitudes Infinitesimales 218 4.7 Algunos problemas de geometra 227 4.8 Problemas de Clculo 233 3 DERIVADA L DERIVADA. VELOCIDAD DE VARIACIN 237 1.1 Algunos Problemas de Fsica 238 1.2 Funcin Derivada 242 C o n t e n i d o _____________________________________________________ Y 1.3 Interpretacin geomtrica de la derivada 248 DIFERENCIACIN DE LAS FUNCIONES____________________ 2.1 Funciones Algebraicas 253 2.2 Funciones Trigonomtricas 271 2.3 Funciones Trigonomtricas Inversas 278 2.4 Furiciones Logartmicas 285 2.5 Funciones Exponenciales 291 2.6 Funciones Hiperblicas 297 2.7 Derivacin Logartmica 303 2.8 Derivadas de Funciones Diversas 307 2.9 Funciones Inversas 336 2.10 Funciones dadas en forma implcita 340 2.11 Aplicacin de la Derivada 345 DIFERENCIAL__________________________________________ 3.1 Errores Pequeos 373 3.2 Interpretacin geomtrica de la diferencial 373 3.3 Diferenciabilidad de las funciones 387 LA DERIVADA COMO VELOCIDAD DE VARIACIN___________ 394 4.1 Funciones dadas en forma paramtricas 399 4.2 Velocidad de la variacin del radio polar 416 4.3 Velocidad de la variacin de la longitud 423 4.4 Velocidad del Movimiento 427 DERIVACIN SUCESIVA_______________________ _______________ 430 5.1 Funciones dadas en forma explcita 431 5.2 Funciones dadas en forma implcita 445 5.3 Funciones dadas en forma paramtrica 449 5.4 Aceleracin del movimiento 454 5.5 Frmula de Leibniz 458 5.6 Diferenciales de rdenes superiores 464 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 5. VI__________________________________________________________Contenido 4 ANLISIS DE LAS FUNCIONES i COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES__________________ 469 1.1 Valores mximos y mnimos de una funcin 469 1.2 Criterio de monotona de las funciones 471 1.3 Determinacin de los valores mximos y mnimos de una funcin 472 APLICACIN DE LA PRIMERA DERIVADA____________________ 2.1 Teorema de Rolle 480 2.2 Teorema de Lagrange 482 2.3 Teorema Cauchy 483 2.4 Comportamiento de las funciones en el intervalo 499 2.5 Valores mximo y mnimo de una funcin en un intervalo 514 2.6 Desigualdades 518 2.7 Problemas para hallar los valores mximos y mnimos de las funciones 522 APLICACIN DE LA SEGUNDA DERIVADA___________________ 3.1 Valores extremos 522 3.2 Convexidad. Concavidad. Puntos de Inflexin 556 TAREAS COMPLEMENTARIAS______________________________ 4.1 La frmula de Cauchy 575 4.2 Regla de LHospital 577 4.3 Variacin asinttica de las funciones y asntotas de laslneas 597 4.4 Anlisis general de las funciones y de las lneas 610 FORMULA DE TAYLOR___________________________________ 4.1 Frmula de Taylor para los polinomios 681 4.2 Frmula de Taylor 4.3 Algunas aplicaciones de la frmula de Taylor 694 1.1 FUNCIONES Y FORMAS DE SU EXPRESIN C 332& B B B Sean dados los conjuntos A={x} y 3={y}. El con junto formado por dos elementos {x,y}, xeA, yeB, se llama pan de los elementos x e y. El par de la forma {x,{x,yj}, donde xeA, yeB y {x,y}es un par da elementos x e y se denomina pan. o/idenado de los elementos x e y, que reciben, respectivamente, el nombrede primer y segundo ele mento del par ordenado. El par ordenado {x,{x,y}} se denota por (x,y), de modo que: (x,y) = {x,{x,y}} El conjunto de todos los pares ordenados (x,y), xeA, yeB se lla ma p/ioduco ca/iie-lano de los conjuntos A y B, y se denota simb licamente por: AxB = {(x,y)/xeA, yeB} Cuando A=B, el smbolo A2 designa el producto A*A. Dados dos conjuntos A y B, se denomina uncin de A en B, a cualquier conjunto fe AxB que aso cia un elemento x que pertenece a A (conjunto de partida), con www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 6. 2 Cavtulo 1: Funcin uno y slo un elemento y, que pertenece al conjunto B (conjunto de llegada)t Esto es, un conjunto f es una funcin de A en B, q' se denota f:A-*B, si i) fe AxB ii) (x,y)ef y (x,z)ef -*-.y=z El conjunto de todos los primeros elementos de los pares ordena dos (x,y) de la funcin f se llama dominio o coajunio dedefini cin de esta funcin y se denota por Df o Dom(f). El conjunto de todos los segundos elementos de los pares ordena dos (x,y) de f se llama /tango, neco/inido o conjunto de. imgenes de esta funcin y se denota por: Rf o Ran(f). En la Fig. 1.1 vemos que Dom(f)=D y Ran(f)=B. Si D=A, es decir, cuando Dom(f)=A, se dice que f:A--B es unafuncintotalmente de finida o aplicacin de A en B. El conjunto de pares ordenados f={(x,y)} analizado como subcon- junto de AxB, se llama gnifica de la funcin. El elemento xeA se llama argumento de la funcin o va/iiatLle independiente, el ele mento y B, vaAiable dependiente. Si f:A*B es una funcin, e? decir, un conjunto de pares ordena dos f={(x,y)/xeA, ycB}, que satisface las condiciones de la defi nicin 1.2, y (x.y)ef, entonces se escribe y=f(x), y se dice que y es imagen de.x por f, es decir, f pone en correspondencia al e lemento x el elemento y, o bien, el elemento y corresponde al e- lemento x por f. Seccin I: Nociones elementales sobre funciones 3 FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIN a) Por medio de Tablas. Una tabla es un cuadro a base de lneas paralelas y perpendiculares donde se a- notan, en la parte superior, los valores del argumento, xi,x2 x 3, ... ,x , y en la parte inferior, se escriben los valores correspondientes de la funcin: yi,y2 ,y3, ... ,yn > X Xi X2 X 3 X n y y i y2 ys yn Ejemplo. Si f es una funcin de A en B tal que f:x+x2, confec cionar una tabla de valores para el conjuntode parti da A={-1,0,1,2,3) y hallar la funcin f. Solucin, Segn la definicin 1.2, la ley de correspondencia de la funcin es y=x2. En la parte superior de una tabla colocamoa los elementos del conjunto de partida A, y en la parte inferior, los valores correspondientes del conjunto de llegada B Esto es: X -1 0 1 2 3 x2 1 0 1 K 9 En consecuencia: f = {(-1, 1), (0,0), (1, 1), (2,4.), (3,9)> b) Por medio de Grficas. Para construir la grfica y represen tar una funcin dada se emplea un sis tema de ejes rectangulares, en el que el eje de abscisas se u tiliza para los elementos del dominio, y el eje de ordenadas, para los correspondientes elementos del rango. El conjunto de puntos (x,y) del plano XOY constituye lo que se llama grfica de la funcin dada. c) Forma Analtica. Otra manera de expresar una funcin es por medio de frmulas o expresiones analticas a base de la dependencia fundamental: y=f(x). www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 7. 4 Capitulo 1: Funcin Por ejemplo, si representamos por S el rea del circulo y r el radio del mismo, por geometra elemental sabemos que: S = irr2 en la que r es un punto cualquiera del dominio y r2 es la imagen o punto del rango. Si designamos por f a la funcin S, entonces, simblicamente, la regla de correspondencia que rige a la ante rior funcin es: f :r-*-Trr2 o sea: Imagen de r = f(r) = irr2 f(r) es lo que llamamos S, luego: f (r) = irr2 Otros ejemplos de funciones expresadas analticamente son: (1) y = /x2-4 , (2) y = Cosx , (3) y = XI El dominio de una funcin expresada analticamente es el conjun to de los valores de x para los cuales la funcin y adquiere un valor real determinado. As, para y~/x2-U , la funcin es real, si: x2- ^ 0 x2^4 x^-2 X2-2 Esto es: Dom(f) = -2] U [2, +> Dado que la funcin es positiva xeDom(f), entonces, Ran(f) = C*+0> Es decir, la grfica de la funcin (Figura 1.2) esta integramen te situada sobre el eje X (y^O). Figura 1.2 Seccin 1: Nociones elementales sobre funciones 5 PROBLEMAS RESUELTOS Q La sum no es te esta funcin. Qu valores puede tomar el argumento? Soacin. En la figura se puede observar que uniendo el centro del polgono convexo con todos sus vrtices se forman tantos tringulos como lados tiene el polgono. Dado que la suma de los ngulos interiores de ui^ tringulo es 180 y si la suma de los ngulos internos del polgono es S y el nme ro de lados es n, entonces: S = Trn - (suma de los ngulos en el centro) o sea: S = irn - 2-n -* S = 7r(n-2) El argumento n puede tomar todos los nmeros de la serie natural, excepto n=1 y n=2. La funcin y de x est dada en. la siguiente tabla: Argumento x 0 0. 5 1 1.5 2 3 Funcin y -1.5 -1 0 3.2 2.6 0 Argumento x 5 6 7 8 9 10 Funcin y -1.8 -2.8 0 1.1 1.4 1.9 2.4 Construir su grfica, uniendo los puntos con una lnea uaue.. Si guiendo la grfica y determinando los valores de la funcin para x=2.5> 3.5 4.5 5.5, 6.5, 7.5, 8.5 9.5 hacer la tabla mi com pe.ta. So(.acin. Llevando el conjunto de puntos de la tabla dada sobre un plano cartesiano XOY, obtenemos la siguiente apro ximacin de-la grfica de la funcin. . de los ngulos interiores de un polgono convexo pa f^cin del nmero de sus lados. Expresar analticamen www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 8. 6 Captulo 1: Funcin Los valores^aproximados de la funcin, obtenidos de la grfica, para los valores dados del argumento se dan en la siguiente ta bla: Argumento x 2.5 3.5 U. 5 5.5 6. 5 7.5 8.5 Funcin y 1.3 -0.9 -2 .U -2 0.7 1.5 1.7 La funcin viene dada por la grfica representada en la figu ra 2. Atendindose a la grfica contestar a las siguientes Figura 2 Seccin 1: Nociones elementales sobre funciones 7 a) Qu valares de la variable independiente hacen que la funcin se anule? b) Cules deben ser los valores de la variable independiente pa ra que la funcin sea positiva? c) Cules deben ser los valores de la variable independiente pa ra que la funcin sea negativa? So uc6ri. a) La funcin se reduce a cero en aquellos puntos don de la grfica intercepta al eje X, esto es, en: x=-2 , x=1 y x=6 b) La funcin es positiva en aquellos puntos para los cuales la grfica est situada sobre el eje X, esto es, para: x0 f(1)>0 Seccin 1: Nociones elementales sobre funciones___________________________________ 11 C O F(x)=logx. Demostrar que F(x)+F(x-1)=Fx(x+1)] . /> f(2Ll+2_2.) para todas las xi/x2. Seccin 1: Nociones elementales sobre funciones 13 De.nLo.ii*.ac6n. En efecto, sean A(xi.O) y B(x2,0) dos puntos cua lesquiera del eje X, tales que xi/x. Sea la cuerda PQ de extremos Pxi,f(xj)l y Q[x2 f(x2 )] y que es t por encima del arco PMQ. Si D es punto medio de PQ, el seg ment DC es mediana del trapecio APQB + GD o bien: s = AP -gjj _ f(xi) + f(x2) Pero C es punto de AB, entonces: C(SlE*.0). luego: CM = f(-^lA) y dado que: CD>CM, por tanto: f ( X ! ) + f ( X 2 ) r f X l + X l } 2 2 Dada la funcin f(x)=x2-2x+3, hallar todas las races de la ecuacin: a) f(x) = f(0) b) f(x ) = f(-D Souc6n. a) f(0) = (0)2-2(0)+3 = 3 Si f(x)=f(0) -* x2-2x+3 = 3 b) f(-1) = (-1)22(1)+3 = 6 Si f(x)=f(-1) + x J-2x+3=6 + x2-2x-3=0 -2x = 0 x=-1 x=0 x=3 x=2 f%l Dada la funcin f(x)=2x3-5x2-23x, hallar todas las races de la ecuacin f(x)=f(-2). Solucin. f(-2)=2(-2)3-5(-2)2-23(-2)=10 Si f(x)=f(-2) - 2x3-5xz-23x = 10 + 2x 3-5x 2-23x -10=0 Teniendo en cuenta que x=-2 es una raz de esta ecuacin, por el mtodo de Ruffini podemos hallar las dems races, esto es: 2 -5 -23 -10 -2 -K 18 10 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 12. 14 Captulo 1: Funcin * 2 x 3 - 5 x 2 - 2 3 x - 1 0 = ( x + 2 ) ( 2 x 2 - 9 x - 5 ) = (x+2 )(x-5)( 2 x + 1 ) Si 2x3-5x2-23x-10=0x=-2 6 x=5 x=-1/2 son las races de la ecuacin: f(x)=f(-2 ). O Dada la funcin f(x), hallar por lo menos una raz de la e- cuacin f(x)=f(a). Solucin. Si f(x)=f(a) *-* x=a En consecuencia x=a siempre ser una raz de dicha e- cuacin. Sealar dos races de la ecuacinf(x)=f(2?) si es sabido que la funcin f(x) est definidaen el intervalo f-5 ,5}. Hallar todas las races de la ecuacin dada siendo f(x)=x2- 12x+3. Solucin. Si f(x)=f(~|) -w- x = |i de donde: x 2-2x-8=0 - y = /a2-x2 y = - /a2-x2 ( O xy = C -* y - -X (5) 2xy = 5 -* xylog22 = log25 +-+ y = log25 x 1 n** (6) logx(y+1)=4- x (y+1) =10 *-> y = - 1 (7) 2x+y(x2-2)=x2+7 -* (x+y)log22 + log2(x2-2) = log2(x2+7) -* x+y = log2(x2+7)-log2(x22) y = logz ) " x X2 , X2v (8) (1+x)Cosy-x2=0 Cosy = +-* y=arcCos Mostrarque para x>0 la ecuacin y+|y|-x-|x|=0 determina la funcin cuya grfica ser la bisectriz del primer ngulo co ordenado, mientras que para son las coordenadas de todos los puntos del tercer ngulo coordenado (incluidos sus puntos fronte ra) las que satisfacen a la ecuacin dada. i)cino0 s y>0 y+y-x-x=0 -*- y=x La grfica es la bisectriz del primer ngulo coor donado. Si x>0 e y0 + y+y-x+x=0 +-* y=0 La grfica es el semieje negativo OX. Si x^O e y0 y x2a - x/a T 3: (x-a) (x-b)a a x0 (x>a a x>b) v (xb) v (x>a a xa a x>b) T 7: Si una inecuacin polinmica se descompone en factores linea les, que no se repiten, de la forma: (x-a) (x-b) (x-c) (x-d) S- 0 (1) (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) < 0 (2) i'in /, lociones elementales sobre funciones 23 lua valores crticos, que resultan de igualar a cero cada factor, se ubican en una escala numrica como sigue: I,uego, se le asigna al intervalo el signo positivo. Seguidamente se anotan, alternativamente, los signos (-) y (+) sobre los intervalos contiguos a la izquierda de . K1 conjunto solucin de (1) ser la unin de los intervalos positivos, y de (2). la unin de los intervalos negativos. iu: |x |ia -a x a T io: |x|^a x-a 6 x^a J 2 5 S E E B S IGUALDAD DE FUNCIONES Dos funciones f y g se dice que son iguales, es to es, f=g, si se verifica que: i) Dom(f) = Dom(g) ii) f (x ) = g(x) , xeDom(f)=Dom(g) 'Ejemplo. Determinar si son iguales las funciones: f (x ) = /x+T + /x-2 y g(x) = /x 2-x -2 Solucin. Debemos hallar los dominios de f y g para determinar si f=g. f es real -*- x+I^O a x-250 -*Dom(f)=.{xeR/x?- 1 a x *2} ={x e R/x ?2} = [2,+0} = ^0,+=^ y = lo g (x + 3 ) www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net 19. 28 Capitulo 1: Funcin Solucin. La funcin y es real -*-* x+3>0 Dom(y) = (xeR/x>-3) = y = / 5-2x Solucin. La funcin y es real *-* 5-2x50 *+ 2x^5 Dom(y) = {xeR/x$5/2} = 0) Solucin. Si p>0, la funcin y es real +-* -x$0 Dom(y) = {xeR/xO} = 0, V x e R Dom(y)=R 1 Solucin. y = --- --- , la funcin y no est definida para - x(x-1) x=0 y x=1. Dom(y) = R-{0,1} 2x x2-3x+2 Solucin. y - 2x , la funcin no est definida pa (x-1)(x-2) ra x=1 y x=2. )om(y) = R-{1,2} y = 1 - / 1 - X 2 Solucin. . La funcin es real ->- 1-x2^0 *-> x2