PROBLEMAS RESUELTOS LEY DE FARADAY

CAPITULO 31 FISICA TOMO 2

quinta edicin Raymond A. Serway

LEY DE FARADAY 31.1 Ley de induccin de Faraday 31.2 Fem en movimiento 31.3 Ley de Lenz 31.4 Fem inducida y campos elctricos 31.5 (Opcional) Generadores y motores 31.6 (Opcional) Corrientes parasitas 31.7Las maravillosas ecuaciones de Maxwell Erving Quintero Gil Ing. Electromecnico Bucaramanga Colombia 2009

quintere@hotmail.com quintere@gmail.com quintere2006@yahoo.com

1

Ejemplo 31.1 Serway quinta edicin pag. 984 Una bobina consta de 200 vueltas de alambre y tiene una resistencia total de 2 . Cada vuelta es un cuadrado de 18 cm de lado y se activa un campo magntico uniforme perpendicular al plano de la bobina. Si el campo cambia linealmente de 0 a 0,5 tesla en 0,8 seg. Cual es la magnitud de la fem inducida en la bobina mientras esta cambiando el campo? El rea de una vuelta de la bobina es: Lado = 18 cm = 0,18 m A = 0,18m * 0,18m = 0,0324 m2 El flujo magntico a travs de la bobina en t = 0 es cero, puesto que B = 0 en dicho momento. 2 = 0 En t = 0,8 seg. El flujo magntico a travs de una vuelta de la bobina es: 1 = B * A 1 = 0,5 T * 0,0324 m2 1 = 0,0162 T m2 Por tanto, la magnitud de la fem inducida es: B = 1 2 = 0,0162 T m2 0 = 0,0162 T m2 N = 200 vueltas. t = 0,8 segB

=N =N

B t

B 0,0162 T m 2 3,24 T m 2 = 200 = = 4,05 voltios t 0,8 seg 0,8 seg = 4,05 voltios

Ejemplo 31.4 Serway quinta edicin Una barra conductora de longitud gira a una rapidez angular constante w alrededor de un pivote en un extremo. Un campo magntico uniforme B esta dirigido perpendicularmente al plano de rotacin, como se muestra en la figura 31.10. Determine la fem de movimiento inducida entre los extremos de la barra.

Considere un segmento de la barra de longitud dr que adquiera una velocidad v.

2

dt Pero: v = dx dt =-Bv

= B l dx

=Bv d = B v dr puesto que cada segmento de la barra se mueve perpendicularmente a B una fem d de la misma forma se genera a travs de cada segmento. Al sumar las fem inducidas en todos los segmentos los cuales estn en serie, se obtiene la fem total entre las extremos de la barra. d = B v dr

= B v dr = B v dr

d

= B vdr Pero: V = w * r = B w r dr = B w w r dr = B w r dr =Bw0 r2l2 ]l = B w 2 0 2

l

Ejemplo 31.5 Serway quinta edicin La barra conductora ilustrada en la figura 31.11 de masa m y longitud se mueve sobre 2 rieles paralelos sin friccin en presencia de un campo magntico uniforme dirigido hacia adentro de la pagina. A la barra se le da una velocidad inicial vi hacia la derecha y se suelta en t = 0. Encuentre la velocidad de la barra como una funcin del tiempo.

3

SOLUCION: La corriente inducida esta en la direccin contraria a la de las manecillas del reloj y la fuerza magntica es: FB = -I B donde el signo negativo significa que la fuerza es hacia la izquierda y retarda el movimiento. Esta es la nica fuerza horizontal que acta sobre la barra y consecuentemente la segunda ley de newton aplicada movimiento en la direccin horizontal produce:B

Fx = m * a = m *

dv =-Il B dt

pero: = B v Bl v i= = R R Bl v i= Rm* dv = - (I ) l B dt

m*

dv Blv = - l B dt R dv B2 l2 =v dt R

m*

dv B2 l2 =v m R dt B2 l2 dv =dt v mR

A partir de este resultado se ve que la velocidad puede expresarse en la forma exponencial v = v1 e - t Esta expresin indica que la velocidad de la barra disminuye exponencialmente con el tiempo bajo la accin de una fuerza magntica retardadora. Ejercicio para la barra en este ejemplo encuentre expresiones para la corriente inducida y la magnitud de la fem inducida como funciones del tiempo.

dv t B 2 l 2 = dt v1 v 0 m R dv B2 l 2 t =v dt v1 v mR 0 v B2 l 2 Ln = - v mR t 1 v

i=

R

=

Pero v = v1 e - t

Bl v R

4

i=

R

=

Bl Bl v= v1 e t R R

=B v

Pero v = v1 e - t = B l v1 e - t Ejemplo 31.8 Serway quinta edicin Un largo solenoide de radio R tiene n vueltas de alambre por unidad de longitud y conduce una corriente que varia sinusoidalmente en el tiempo cuando I = Imax cos wt, donde Imax es la mxima corriente y w es la frecuencia angular de la fuente de corriente alternante (fig 31.18). a) Determine la magnitud del campo elctrico inducido afuera del solenoide, a una distancia r>R de su eje central largo.

Solucin: Primero considere un punto externo y tome la trayectoria para la integral de lnea como un circulo de radio r centrado en el solenoide, como esta ilustrado en la figura 31.18. Por simetra se ve que la magnitud de E es constante sobre esta trayectoria y tangente a ella. El flujo magntico a travs del rea encerrada por esta trayectoria es B * A = B * R2

ds dt = E ds

=-

s = B *A = B * R2 E.ds = -

d 2 2 dB BR = - R dt dt

2 E.ds = E 2 r = - R B ds = Bl = 0 N I

dB dt

Ecuacin 1

El campo magntico dentro de un largo solenoide esta dado por la ecuacin 30.17

5

B = 0

N I = 0 n I l

Donde N/ = n (es el numero de vueltas por unidad de longitud). Cuando se sustituye I = Imax cos wt en esta ecuacin

Reemplazando I = Imax cos wt

B = 0 n I

B = 0 n I max cos wt

dB dt 2 d( 0 n I max cos wt ) E.ds = E 2 r = - R dt 2 E.ds = E 2 r = - R 2 E.ds = E 2 r = - R 0 n I max d(cos wt ) dt

E2 r = R 2 0 n I max (w )(sen wt )Despejando E

w R 2 0 n I max sen wt w R 2 0 n I max sen wt E= = 2 r 2r

b) Cual es la magnitud del campo elctrico inducido dentro del solenoide a una distancia r de su eje? Solucin: Para un punto interior (r< R) el flujo que circunda a una espira de integracin esta dado por B * A = B * R2 . Utilizando el mismo procedimiento que en el inciso a) se encuentra que

w R 2 0 n I max sen wt E = 2r

para r > R

2 dB E.ds = E 2 r = - r

dt 2 d( 0 n I max cos wt ) E.ds = E 2 r = - r dtE2 r = r 2 0 n I max (w )(sen wt )Despejando E

w r 2 0 n I max sen wt w r 0 n I max sen wt E= = 2 r 26

E =

Esto muestra que la amplitud del campo elctrico inducido dentro de la solenoide por el flujo magntico variable a travs del solenoide aumenta linealmente con r y varia sinusoidalmente con el tiempo. Problema 1 Serway quinta edicin Pg. 1002 Una bobina rectangular de 50 vueltas y dimensiones de 5 cm * 10 cm se deja caer desde una posicin donde B = 0 hasta una nueva posicin donde B = 0,5 T y se dirige perpendicularmente al plano de la bobina. Calcule la magnitud de la fem promedio inducida en la bobina si el desplazamiento ocurre en 0,250 seg. El rea de una vuelta de la bobina es: Lado = 0,5 cm = 0,05 m Lado = 10 cm = 0,01 m A = 0,05 m * 0,1 m = 5 * 10- 3 m2 El flujo magntico a travs de la bobina en t = 0 es cero, puesto que B = 0 en dicho momento. 2 = 0 En t = 0,25 seg. El flujo magntico a travs de una vuelta de la bobina es: 1 = B * A 1 = 0,5 T * 5 * 10- 3 m2 1 = 2,5 *10- 3 T m2 Por tanto, la magnitud de la fem inducida es: B = 1 2 = 2,5 *10- 3 T m2 0 = 2,5 *10- 3 T m2 N = 200 vueltas. t = 0,25 segB

w 0 n I max r sen wt para r < R 2

=N =N

B t

B 2,5 * 10 - 3 T m 2 0,125 T m 2 = 50 * = = 0,5 voltios 0,25 seg 0,25 seg t = 0,5 voltios

Problema 2 Serway quinta edicin Pg. 1002 Una espira plana de alambre que consta de una sola vuelta de rea de seccin transversal igual a 8 cm2 es perpendicular a un campo magntico cuya magnitud aumenta uniformemente de o,5 T a 2,5 T en 1 seg. Cual es la corriente inducida resultante si la carga tiene una resistencia de 2 . El rea de una vuelta de la bobina es: A = 8 cm2 = 8 * 10 - 4 m2 En t = 0,25 seg. El flujo magntico a travs de una vuelta de la bobina es: 2 = B2 * A 2 = 0,5 T *8 * 10- 4 m2 2 = 4 *10- 4 T m2 1 = B1 * A

7

1 = 2,5 T *8 * 10- 4 m2 1 = 20 *10- 4 T m2 B = 1 2 = 20 *10- 4 T m2 4 *10- 4 T m2= 16 *10- 4 T m2 t = 1 seg N = 1 vueltaB

=N =N

B t

B 16 * 10 - 4 T m 2 =1* = 0,0016 voltios 1 seg t = 0,0016 voltios = i * R

i=

R

=

0,0016 = 8 *10 - 4 Amp. 2

Problema 3 Serway quinta edicin Pg. 1002 Una bobina circular de alambre de 25 vueltas tiene un dimetro de 1 metro. La bobina se coloca con su eje a lo largo de la direccin del campo magntico de la tierra de 50 T y luego en 0,200 seg. Se gira 180 grados. Cual es la fem promedio generada en la bobina. El rea de una vuelta de la bobina es: Dimetro = 1 metroA=

d24

=

3,1415 * (1)2 = 0,7853 m 2 4

En t = 0,200 seg. El flujo magntico a travs de una vuelta de la bobina es: 1 = B * A* cos = B * A * cos 0 = B * A Pero: B = 50 T = 50 * 10- 6 T 1 = 50 * 10- 6 T * 0,7853 m2 1 = 39,2699 *10- 6 T m2 A = 0,7853 m2

Pero: B = 50 T = 50 * 10- 6 T A = 0,7853 m2 2 = B * A* cos 180 = B * A * (-1) = - B * A 2 = - B * A 2 = - 50 * 10- 6 T * 0,7853 m2 2 = - 39,2699 *10- 6 T m2 B = 1 2 = 39,2699 *10- 6 T m2 ( - 39,2699 *10- 6 T m2) B = 39,2699 *10- 6 T m2 + 39,2699 *10- 6 T m2B B

B = 78,53 *10- 6 T m2 t = 0,200 seg N = 1 vueltaB

=N

B t

8

=N

B 78,53 * 10 - 6 T m 2 T m2 = 25 * = 25 * 392,699 * 10 - 6 = 9,81 voltios 0,200 seg seg t

Problema 4 Serway quinta edicin Pg. 1002 Una espira rectangular de rea A se pone en una regin donde el campo magntico es perpendicular al plano de la espira. Se deja que la magnitud del campo magntico vare en el tiempo de acuerdo con la expresin B = Bmax e t donde Bmax y son constantes. El campo tiene un valor constante Bmax para t