problemas de estruturas multiplicativas num quinto ano do ensino

Problemas de estruturas

multiplicativas num quinto ano

do Ensino Fundamental

MARIANA LEMES DE OLIVEIRA ZARAN

PROBLEMAS DE ESTRUTURAS

MULTIPLICATIVAS NUM QUINTO

ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL

Mariana Lemes de Oliveira Zaran

Cintia Ap. Bento dos Santos

PROBLEMAS DE ESTRUTURAS

MULTIPLICATIVAS NUM QUINTO

ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL

Universidade Cruzeiro Do Sul

2013

© <2013>

Universidade Cruzeiro do Sul

Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa

Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

Reitor da Universidade Cruzeiro do Sul – Profa. Dra. Sueli Cristina Marquesi

PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA

Pró-Reitor – Prof. Dr. Danilo Antonio Duarte

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA

Coordenação – Profa. Dra. Edda Curi

Banca examinadora

Profa. Dra. Cintia Ap. Bento dos Santos

Profa. Dra. Edda Curi

Profa. Dra. Adair Mendes Nacarato

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA

UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL

Z39p

Zaran, Mariana Lemes de Oliveira.

Problemas de estruturas multiplicativas num quinto ano do

ensino fundamental / Mariana Lemes de Oliveira Zaran. -- São Paulo: Universidade Cruzeiro do Sul, 2013.

29 p. : il. Produto educacional (Mestrado em Ensino de Ciências e

Matemática). 1. Educação matemática 2. Resolução de problemas 3.

Matemática – Ensino fundamental 4. Projeto Prova Brasil. I. Título II. Série.

CDU: 51:37

Sumário

1 APRESENTAÇÃO ................................................................................................................... 5

2 CAMPO CONCEITUAL DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS ................................ 7

3 INSTRUMENTOS DE PESQUISA ..................................................................................... 10

3.1 PRIMEIRO INSTRUMENTO ............................................................................................ 12

3.2 SEGUNDO INSTRUMENTO ............................................................................................ 14

3.3 TERCEIRO INSTRUMENTO ........................................................................................... 19

3.4 QUARTO INSTRUMENTO ............................................................................................... 22

4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR ................................................................................... 25

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................ 27

REFERÊNCIAS ........................................................................................................................ 29


5


1 APRESENTAÇÃO

Apresentamos um produto educacional que é fruto da pesquisa de

Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade

Cruzeiro do Sul. Este material apresenta parte do resultado elaborado a partir

da dissertação intitulada “Uma análise dos procedimentos de resolução de

alunos de 5º ano do Ensino Fundamental em relação a problemas de

estruturas multiplicativas” de autoria de Mariana Lemes de Oliveira Zaran e

orientada pela Profa. Dra. Cintia Aparecida Bento dos Santos.

Nossa pesquisa teve por objetivo analisar protocolos de 57 alunos de 5°

ano do Ensino Fundamental de uma escola pública da cidade de São Paulo na

resolução de problemas do campo multiplicativo, buscando evidenciar

facilidades e dificuldades percebidas quanto a identificação destas operações

e, indícios de compreensão dos significados desses problemas.

A investigação foi norteada pelas seguintes questões:

Quais as interpretações demonstradas por alunos do 5°

ano ao resolverem problemas do Campo Multiplicativo?

Quais os indícios de compreensão revelados por alunos do

5° ano em relação às estruturas multiplicativas?

A investigação utilizou dados coletados a partir do Projeto Prova Brasil

de Matemática: revelações e possibilidades de avanços nos saberes de alunos

de 4ª série/5º ano e indicativos para formação de professores no âmbito do

Programa Observatório da Educação, Edital 2010, financiado pela Capes. Este

projeto é oriundo dos trabalhos desenvolvidos pelo grupo de pesquisa

Conhecimentos, Crenças e Práticas de Professores que ensinam Matemática –

CCPPM da mesma universidade, coordenado pela pesquisadora Dra. Edda

Curi, cujo objetivo era fortalecer as relações entre pesquisas acadêmicas e a

prática em sala de aula na educação básica.

A pesquisa é de natureza qualitativa, com técnica de análise documental

utilizando os protocolos dos alunos com os problemas dos quatro instrumentos


6


resolvidos.

O objetivo desses instrumentos foi o de verificar os procedimentos

utilizados pelos alunos para solucionar problemas referentes às estruturas

multiplicativas, analisando se eles identificam ou não a ideia envolvida e como

os resolvem.

Neste contexto, apresentamos neste produto, quatro instrumentos de

investigação abordando diferentes grupos de problemas de acordo com a

categorização de Vergnaud (2009), em relação ao campo conceitual das

estruturas multiplicativas.

Esperamos que esse material possa contribuir de forma significativa

para a prática pedagógica de professores de Ensino Fundamental, bem como

propiciar reflexões a respeito das facilidades e dificuldades enfrentados pelos

alunos na resolução de problemas de estruturas multiplicativas.


7


2 CAMPO CONCEITUAL DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS

Para subsidiar a pesquisa foram utilizados, entre outros, os estudos de

Gerard Vergnaud (2009) sobre o campo conceitual multiplicativo e as

orientações didáticas dos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática do

1º e 2º ciclos (BRASIL, 1997).

Assim, neste item, apresentamos esclarecimentos sobre a Teoria dos

Campos Conceituais evidenciando a categorização feita por Vergnaud (2009)

sobre os problemas pertencentes ao Campo Conceitual das Estruturas

Multiplicativas.

A Teoria dos Campos Conceituais tem como autor o pesquisador e

psicólogo francês Gerárd Vergnaud, reconhecido especialista na Didática da

Matemática, sendo diretor de pesquisas didáticas do Centro Nacional de

Pesquisa Científica do Instituto Nacional de Investigação Pedagógica, em

Paris.

Segundo Vergnaud (1996), a principal finalidade da teoria dos campos

conceituais é fornecer um quadro que permita a compreensão das filiações e

rupturas entre conhecimentos novos e antigos nas crianças e nos

adolescentes. Assim, sua teoria nos permite explorar os procedimentos e

representações realizados pelos alunos diante de um determinado problema,

possibilitando a identificação de suas dificuldades e facilidades.

Sobre os problemas pertencentes a este campo, Vergnaud (1996) afirma

que os problemas mais simples do Campo Multiplicativo implicam a proporção

simples de duas variáveis, uma em relação à outra, onde, de acordo com o

valor numérico e o domínio da experiência, os problemas apresentam

dificuldades diferentes de um em relação ao outro.

Existem duas grandes categorias dentre as quais se classificam os

problemas de multiplicação e divisão: isomorfismo de medidas e produto de

medidas.


8


Na categoria de problemas denominada por Vergnaud (2009) como

Isomorfismo de Medidas, destacam-se os problemas que estabelecem

relações proporcionais entre conjuntos de mesma cardinalidade. Para a

elaboração deste grupo de problemas, optamos em dividi-los em dois tipos:

problemas envolvendo a correspondência “um a muitos”, e problemas que

trabalham a correspondência “muitos a muitos”, a fim de verificarmos mais

detalhadamente os procedimentos de resolução apresentados pelos alunos em

cada tipo de problema, bem como se estruturam os conhecimentos destes

alunos em cada uma destas relações.

Na categoria de problemas denominada por Vergnaud (2009) como

Produto de Medidas, destacam-se dois tipos de problemas: um que envolve

configuração retangular e outro que requer a utilização do raciocínio

combinatório, em que todos os elementos de um dos grupos são relacionados

com todos os elementos do outro grupo.

Ao realizarmos uma breve associação entre as categorias definidas por

Vergnaud e os grupos de situações presentes nos Parâmetros Curriculares

Nacionais, pudemos apontar: (i) a categoria isomorfismo de medidas indica-se

nos documentos oficiais pelos grupos de multiplicação comparativa e

proporcionalidade; (ii) a categoria produto de medidas é indicada pelos grupos

de configuração retangular e combinatória.

Com base nestas categorias que possibilitam o trabalho com os

conceitos das operações de multiplicação e divisão já nos primeiros anos no

Ensino Fundamental, elaboramos quatro instrumentos de pesquisa,

apresentados a seguir.

Faz-se necessário também evidenciar sobre essa teoria a importância

de um trabalho em que o aluno participe do processo de construção do

conhecimento, em que ele possa compreender o significado de um

determinado conceito. Nesse momento de aprendizagem, é proporcionado ao

aluno a oportunidade de estabelecer conexões significativas entre os conceitos

já vistos por ele e os novos conceitos apresentados. Também é por meio


9


dessas conexões que o aluno pode reestruturar sua organização de

pensamento, os esquemas, podendo surgir novas formas de raciocínio, que

permitirão a evolução de seu pensamento dentro de um campo conceitual.


10


3 INSTRUMENTOS DE PESQUISA

A seguir apresentamos quatro instrumentos de investigação elaborados

em conjunto com o grupo de pesquisa que podem auxiliar o professor no

desenvolvimento e na consolidação do raciocínio multiplicativo com os alunos e

as categorias que norteiam as análises.

Para exemplificar sua aplicação, discutiremos a seguinte questão: o que

mostram as resoluções dos alunos em relação aos significados dos problemas

do Campo Multiplicativo?

Ao analisar os 206 protocolos dos alunos elegemos as seguintes

categorias:

1. Identificam a ideia da operação que resolve o problema e

acertam os procedimentos

Nesta categoria, encontram-se os protocolos de alunos que

identificam a ideia da operação que resolve o problema e os

resolvem corretamente, seja por meio de um algoritmo ou de

procedimentos não convencionais, chegando ao resultado esperado.

2. Identificam a ideia da operação que resolve o problema, mas não

utilizam os procedimentos corretamente.

Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que

identificam a ideia da operação que resolve o problema, mas erram

nos procedimentos de cálculo, seja por meio de um algoritmo ou de

procedimentos não convencionais, não chegando ao resultado

esperado.

3. Identificam a operação que resolve o problema, mas apenas

indicam a operação, e não a desenvolvem.

Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que

identificam a operação que resolve o problema, representam qual é

essa operação, mas não desenvolvem a operação representada.

4. Não identificam a operação e acertam os


11


procedimentos/algoritmos utilizados.

Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que não

indicam a operação de multiplicação ou divisão, mas conseguem

resolver o problema por meio de uma ideia aditiva, fazendo adições

sucessivas, seja por meio de um algoritmo ou de um procedimento

não convencional, acertando os procedimentos utilizados e chegando

ao resultado esperado.

5. Não identificam a operação e erram os procedimentos


identificam a operação que resolve o problema e ainda erram os

procedimentos de resolução e não chegam ao resultado esperado.

6. Não identificam a operação que resolve o problema, apenas

indicam uma operação, e não a desenvolvem.


identificam a operação que resolve o problema, representam outra

operação, mas não a desenvolvem.

7. Indicam apenas o resultado e acertam.


realizaram registro de representação do procedimento para a

resolução, apenas indicando o resultado do problema. Nesse caso,

observamos que os alunos conseguem chegar ao resultado correto.

8. Não resolvem.


resolveram o problema, e nem mesmo levantaram hipóteses para

resolução do mesmo, deixando o exercício “em branco”.

Em cada problema analisado identificamos algumas das categorias

apresentadas e compatibilizamos os dados da pesquisa nas categorias

utilizadas.


12


3.1 PRIMEIRO INSTRUMENTO

O primeiro instrumento, apresentado na Figura 1, agrega três problemas

que contemplam a ideia “um a muitos”, pertencentes à classe de problemas

isomorfismo de medidas.

Figura 1: Primeiro Instrumento de Pesquisa – Problemas de relação um a muitos

No problema 1 (Figura 1) esperávamos que os alunos utilizassem a

estrutura multiplicativa, realizando um procedimento que envolvesse a

operação de multiplicação entre a quantidade de alunos e o número de

garrafas, resultando em um total de 50 garrafas na festa. As análises

realizadas foram compatibilizadas na tabela a seguir.


13


Tabela 1 – Resultados do problema 1- Instrumento 1

Categorias encontradas Número de

protocolos

Identificam a ideia da operação que resolve o problema e

acertam os procedimentos 51

Identificam a ideia operação que resolve o problema, mas

não utilizam os procedimentos corretamente 2

Não identificam a operação e acertam os procedimentos/

algoritmos utilizados 1

Fonte: dados das pesquisadoras

No problema 2, que os alunos utilizassem a estrutura multiplicativa,

realizando um procedimento que envolvesse a operação de divisão entre o

número de garrafas e o número de pessoas, resultando em 3 garrafas levadas

por pessoa. Após a análise encontramos o resultado apresentado na tabela a

seguir.



protocolos





Identificam a operação que resolve o problema, mas apenas

indicam a operação, e não a desenvolvem 2

Não identificam a operação e acertam os procedimentos/

algoritmos utilizados 16

Não identificam a operação e erram os procedimentos 16


No Problema 3, esperávamos que os alunos utilizassem a estrutura

multiplicativa, realizando um procedimento que envolvesse a operação de

divisão entre o número de garrafas que havia na festa e o número de garrafas

levadas por convidado, resultando em 24 pessoas presentes na festa. A tabela

a seguir apresenta os resultados da análise.


14




protocolos





Identificam a operação que resolve o problema, mas apenas

indicam a operação, e não a desenvolvem 1



Ao analisarmos nosso primeiro instrumento, pertencente ao grupo de

problemas descrito por Vergnaud (2009) como Isomorfismo de Medidas,

pudemos verificar que, apesar de nem todos os alunos já identificarem a

operação do campo multiplicativo, grande parte deles conseguiu chegar ao

resultado esperado. A maior parte dos alunos utilizou as operações de

multiplicação e divisão. Os alunos obtiveram maiores êxitos na resolução do

problema 1, que envolvia a operação de multiplicação, e menores êxitos na

resolução dos problemas 2 e 3, que envolviam a operação de divisão. Todos os

problemas envolvem a noção de proporcionalidade.

3.2 SEGUNDO INSTRUMENTO

O segundo instrumento, Figura 2, agrega quatro problemas,

contemplando a ideia “muitos a muitos”, também pertencentes à classe de

problemas isomorfismo de medidas.


15


Figura 2: Segundo Instrumento de Pesquisa – Problemas de relação muitos a

muitos

Apresentamos agora os quatro problemas analisados em nossa segunda

etapa da investigação, envolvendo a correspondência “muitos a muitos”,

também pertencentes à classe de problemas isomorfismo de medidas.

Problema 4. Um grupo de 12 meninos coleciona carrinhos. Juntos eles

têm 48 carrinhos. Considerando que todos têm a mesma quantidade, quantos

carrinhos haveria se 21 meninos colecionassem carrinhos?


16


Para a realização desse problema a partir da estrutura multiplicativa,

esperávamos que o aluno realizasse a divisão entre o número de carrinhos e o

número de meninos, descobrindo a quantidade de carrinhos pertencentes a

cada menino. Em seguida, o aluno deveria realizar a multiplicação entre o

número de carrinhos pertencentes a cada menino e o novo número de meninos

requerido no problema, chegando desse modo à solução do mesmo, 84

carrinhos. Outra forma de resolução desse problema a partir da estrutura

multiplicativa seria também a partir da utilização do raciocínio proporcional. Na

tabela a seguir, apresentamos o resultado observado.



protocolos



Não identificam a operação e acertam os

procedimentos/algoritmos usados 1


Não identificam a operação que resolve o problema, apenas

indicam uma operação, e não a desenvolvem 2

Não resolvem 1


Problema 5. Sabe-se que 15 meninos colecionam chaveiros e que juntos

têm 75 chaveiros. Considerando que todos tenham a mesma quantidade,

quantos meninos colecionariam chaveiros se juntos tivessem 90 chaveiros?

Esperávamos que a solução desse problema se desse a partir da

estrutura multiplicativa, inicialmente a partir da realização da operação de

divisão entre a quantidade de chaveiros e a quantidade de meninos, a fim de

descobrir o número de chaveiros pertencentes a cada aluno; e posteriormente

a realização da divisão entre o número total de chaveiros e o número de

chaveiros que cada aluno possui, chegando assim ao resultado de 18 meninos.

Outro caminho de resolução desse problema seria a partir da estrutura

multiplicativa, por meio da utilização do raciocínio proporcional.


17


Compatibilizamos as análises na tabela a seguir.



protocolos



Identificam a ideia da operação que resolve o problema, mas



Não resolvem 2


Problema 6: Um grupo de 16 meninos tem ao todo 64 bolinhas de gude.

Considerando que todos têm a mesma quantidade, quantas bolinhas haveria

se 12 meninos estivessem neste grupo?

Focando na estrutura multiplicativa, esperávamos que os alunos

realizassem inicialmente a divisão entre o número de bolinhas de gude e o

número de meninos; e, posteriormente, realizassem a multiplicação entre o

número de bolinhas de gude pertencentes a cada menino e o número de

meninos do grupo, chegando ao total de 48 bolinhas de gude. Outro caminho

de resolução desse problema com a utilização da estrutura multiplicativa seria

por meio da utilização do raciocínio proporcional. A tabela a seguir ilustra os

resultados verificados.



protocolos






Não resolvem 2


Problema 7: As meninas do clube “Cola e Decora” têm a mesma


18


quantidade de adesivos. Se 24 meninas têm juntas 72 adesivos, quantas

meninas seriam sócias do clube se tivessem 42 adesivos?

Nesse problema esperávamos que os alunos inicialmente dividissem o

número total de adesivos pelo número de meninas para descobrir a quantidade

de adesivos pertencentes a cada menina; e, posteriormente realizando a

divisão entre o novo número de adesivos estipulado e o número de adesivos

pertencente a cada menina, chegando ao total de 14 meninas. Os resultados

observados compõem a tabela a seguir.

Tabela 7 – Resultados do problema 7 - Instrumento 2


protocolos






Não resolvem 4


Analisando o segundo instrumento, ainda pertencente ao grupo de

problemas descrito por Vergnaud (1996) como Isomorfismo de Medidas

evidenciamos que a maioria dos alunos mostrou não compreender a ideia

envolvida no problema, errando seus procedimentos e grande parte dos alunos

não conseguiu chegar ao resultado esperado. A maioria dos alunos não

compreendeu a ideia envolvida, não identificando para a resolução dos

problemas as operações de multiplicação ou divisão

Faz-se importante destacar que todos esses problemas envolviam a

apropriação do pensamento proporcional, no fundo a mesma ideia dos

problemas do Primeiro Instrumento. A dificuldade verificada deu-se

provavelmente por causa da relação “muitos a muitos”, mais complexa do que

a relação “um a muitos” envolvida no Primeiro Instrumento. Pudemos identificar

ainda maiores dificuldades nos problemas que necessitavam de procedimentos


19


de divisão.

3.3 TERCEIRO INSTRUMENTO

O terceiro instrumento envolve três problemas, que contemplam a ideia

de “configuração retangular”, pertencentes à classe de problemas produto de

medidas conforme figura 3 a seguir.

Figura 3: Terceiro Instrumento de Pesquisa – Problemas de configuração

retangular


20


Problema 1: Em uma caixa com formato retangular cabem 96 maçãs.

Sabendo que as maçãs estão organizadas em fileiras e que em cada fileira

cabem 12 maçãs, quantas fileiras de maçãs há nessa caixa?

Neste problema, esperávamos que os alunos solucionassem-no

realizando a divisão entre o número total de maçãs que cabem na caixa e o

número de maçãs que cabem em cada fileira, chegando ao total de 8 fileiras.

Na tabela a seguir, é possível visualizar os resultados encontrados.



protocolos






procedimentos/algoritmos utilizados 8



Problema 2: Uma caixa de ovos tem formato retangular. Os ovos estão

organizados em 6 fileiras com 8 ovos em cada fileira. Quantos ovos há nessa

caixa?

Para solucionar este problema, esperávamos que os alunos realizassem

a multiplicação entre o número de fileiras e o número de ovos contidos em

cada fileira, chegando ao total de 48 ovos. A tabela a seguir apresenta os

resultados da análise.



protocolos






21



Indicam apenas o resultado e acertam 3


Problema 3: Numa fábrica de chocolates, os bombons estão

organizados em diferentes tipos de caixas retangulares. Cada caixa é

organizada em fileiras e colunas. Todas as fileiras têm a mesma quantidade de

bombons e todas as colunas também. Organize esses bombons em diferentes

tipos de caixas.

Neste problema, procuramos ampliar as possibilidades de resolução, em

que os alunos poderiam indicar diferentes disposições de fileiras e colunas das

caixas de bombons. Por meio do raciocínio multiplicativo, o aluno poderia

associar esta ideia às tabuadas já conhecidas, apoiando-se nestas

multiplicações para organizar os bombons. A partir dessa organização

podemos levantar a hipótese de que o aluno já possua a ideia de produto de

medidas. Os resultados observados encontram-se na tabela a seguir.



protocolos



Não resolvem 18



Analisando o terceiro instrumento, pertencente ao grupo de problemas

descrito por Vergnaud (2009) como Produto de Medidas, evidenciamos que a

maioria dos alunos demonstrou compreender a ideia de configuração

retangular envolvida no problema chegando ao resultado esperado.

Evidenciamos também que os menores êxitos obtidos estão

relacionados ao problema 1 que envolvia a ideia de multiplicação, o que pode

indicar a não apropriação de procedimentos requeridos na operação de divisão,


22


foco dos outros dois problemas.

3.4 QUARTO INSTRUMENTO

O quarto e último instrumento envolve dois problemas que contemplam a

ideia de “combinatória”, também pertencentes à classe de problemas produto

de medidas. Para cada problema levantamos hipóteses quanto à identificação

ou não da operação que resolve o problema e aos procedimentos dos alunos

utilizados para sua resolução.

Figura 4: Quarto instrumento de Pesquisa – Problemas de combinatória


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Problema 1: Uma lanchonete oferece as seguintes opções de sucos e

lanches: sucos de laranja, uva, abacaxi e morango e lanches de misto quente,

x salada, bauru.

Para solucionar este problema esperávamos que os alunos

multiplicassem a quantidade de opções de sucos pela quantidade de opções

de lanches, chegando ao total de 12 combinações possíveis. Na tabela a seguir

são apresentados os resultados observados.



protocolos







Não resolvem 1


Problema 2: João vai passar alguns dias na praia e levou 6 camisetas e

3 bermudas. Quais são as diferentes combinações que ele poderá fazer?

Neste problema, esperávamos que os alunos realizassem a

multiplicação entre o número de camisetas e o número de bermudas, chegando

ao total de 18 combinações possíveis. Os resultados verificados foram

compatibilizados na tabela a seguir.



protocolos







24



Não resolvem 1


Analisando o quarto e último instrumento, pertencente ao grupo de

problemas descrito por Vergnaud (2009) como Produto de Medidas, no que se

refere ao raciocínio combinatório, evidenciamos que grande parte dos alunos

conseguiu chegar ao resultado esperado. No entanto, observamos que os

alunos usaram não somente procedimentos multiplicativos para a resolução

dos problemas, mas também verificamos a utilização de procedimentos

próprios de resolução.


25


4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR

Como contribuição desse estudo, elencamos algumas situações e

intervenções que podem facilitar a prática do professor:

Observação do contexto utilizado nos enunciados dos

problemas: Constatamos por meio da interação com a professora

da sala que estes contextos pertenciam a realidades dos alunos,

e isso contribuiu para o interesse dos alunos em solucioná-los,

além de facilitar a compreensão das situações envolvidas, que

tratavam de condições reais.

Leitura compartilhada e detalhamento das etapas: O professor

também pode auxiliar na compreensão dos enunciados e das

situações apresentadas por meio de um trabalho que não permita

ao aluno trabalhar apenas no campo numérico, como pudemos

visualizar em alguns protocolos, mas levar sempre em

consideração a situação que lhes é apresentada. A leitura

compartilhada e o detalhamento das etapas de um determinado

problema podem contribuir com esse trabalho.

Articulação entre operações: Um grande facilitador em relação

ao ensino destas operações se refere a um trabalho que possa

ser realizado de forma articulada entre as mesmas, para que

possam ser estabelecidas as devidas relações entre ambas, o

que também poderá contribuir com a diminuição das dificuldades

quanto aos procedimentos da divisão, em que, a partir do

momento em que o aluno o perceber sua relação com a

multiplicação, esses procedimentos poderão ser compreendidos

mais claramente.

Professor pesquisador: Cabe ao professor o papel de

pesquisador, buscando e encontrando novos caminhos através da

constante observação dos procedimentos realizados pelos

alunos, e dos indícios de compreensão revelados por eles, o que

possibilitará ao docente diagnosticar as facilidades e fragilidades,


26


que propiciarão a elaboração de estratégias que envolvam

situações de aprendizagem que possam mobilizar conhecimentos

de acordo com o nível de compreensão observado.


27


5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Após analisarmos os dois grupos de problemas descritos por Vergnaud

(2009), isomorfismo de medidas e produto de medidas, pudemos verificar que,

apesar de nem todos os alunos já demonstrarem compreender a ideia por meio

do raciocínio multiplicativo, no geral, grande parte dos alunos conseguiu

encontrar a solução dos problemas.

Entre os que não se apropriaram dos significados do campo

multiplicativo, pudemos perceber em alguns protocolos que os alunos utilizam

os dados do enunciado do problema sem identificar a operação que resolve o

problema ou o procedimento adequado para a resolução. Isso ocorre, talvez,

pelo aluno não atribuir significado aos enunciados dos problemas que lhes são

apresentados. Acerca desse fato, podemos nos apoiar na análise realizada por

Saiz (1996), ao defender que a identificação dos procedimentos a serem

realizados depende do significado atribuído pelo aluno à situação. Percebemos

ainda que algumas vezes o aluno se preocupou em realizar um cálculo com os

números contidos no enunciado do problema, abstraindo pouco a compreensão

do significado.

Percebemos quanto às interpretações demonstradas pelos alunos que,

os mesmos conseguiram identificar a ideia de uma multiplicação ou divisão

mais facilmente em problemas de proporcionalidade simples, como os que

contemplavam as ideias “um a muitos” ou os que envolviam o significado de

configuração retangular.

Nos problemas que contemplavam a ideia de proporcionalidade

envolvendo a relação “muitos a muitos”, ficou evidente em nossas análises as

diversas interpretações equivocadas, em que a maior parte dos alunos utilizou

operações e procedimentos ineficazes para a resolução desse tipo de

problemas, demonstrando não compreender o significado dos mesmos.

Constatamos nesse tipo de problema fragilidades quanto à interpretação do

raciocínio proporcional, dificultando a resolução das situações apresentadas.


28


Quanto aos problemas que envolviam a ideia de combinatória, pudemos

encontrar interpretações distintas, em que os alunos muitas vezes utilizaram

procedimentos e esquemas pessoais para a resolução dos problemas ao invés

da operação de multiplicação ou divisão.

Essas observações nos dão indícios de que a interpretação dada pelos

alunos a estes problemas por muitas vezes não revelou a percepção da

relação entre as operações, e por algumas vezes demonstraram realizar um

trabalho puramente numérico, sem levar em conta o significado do contexto, o

que pode ter dificultado a compreensão de algumas situações apresentadas.

Acerca dessa questão, percebemos em nossos estudos que grande

parte dos alunos investigados demonstram compreender a ideia que norteia

cada uma dessas operações; fato este que pode ser considerado favorável ao

ensino e a aprendizagem das mesmas. Porém, também ficou evidente que,

além de compreender a ideia norteadora de cada operação, é necessário que

os alunos saibam identificá-las diante das mais variadas situações, como as

apresentadas em nossos instrumentos; necessidade esta que por muitas vezes

percebemos não ocorrer em nosso cenário de investigação, em que, os

mesmos alunos que em um determinado instrumento demonstraram identificar

a ideia envolvida, em outros instrumentos não conseguiam elaborar

procedimentos de resolução.

Consideramos importante também destacar a necessidade de trabalhar

as diversas possibilidades de problemas que contemplam o campo

multiplicativo, abordando os diversos grupos de problemas e ideias

multiplicativas, em que o aluno possa se deparar com diferentes situações e ter

a autonomia de posteriormente identificá-las e articulá-las diante de problemas

que envolvam cada grupo de ideias pertencente a este campo, como por

exemplo, os descritos em nossos instrumentos de investigação, elaborados

com base na categorização apresentada nos estudos de Vergnaud (2009).


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REFERÊNCIAS

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental.

Parâmetros curriculares nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997.

SAIZ, I. Dividir com dificuldade ou a dificuldade de dividir. In: PARRA, C.; SAIZ,

I. (Org.). Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre:

Artes Médicas, 1996. p. 156-185.

VERGNAUD, G. A criança, a matemática e a realidade: problemas do ensino

da matemática na escola elementar. Tradução de Maria Lucia Faria Moro.

Revisão técnica de Maria Tereza Carneiro Soares. Curitiba: Ed. Da UFPR,

2009.

VERGNAUD, G. A teoria dos campos conceituais. In: BRUN, J. Didáctica das

matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget, 1996. p. 155-191.

problemas de estruturas multiplicativas num quinto ano do ensino

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