problemas de cálculo de probabilidades. licenciatura en...

Conceptos basicosProbabilidad

Variable aleatoriaSoluciones

Problemas de Calculo de Probabilidades.Licenciatura en Matematicas. Segundo.

Curso 2005-2006

Jose A. Mayor Gallego

Departamento de Estadıstica e Investigacion Operativa

University of Sevilla. Spain

Curso 2005-2006

Prof. J.A. Mayor. University of Sevilla. [email protected] Problemas Calculo de Probabilidades. Matematicas. 2005-2006



Estructuras y operacionesCombinatoria

Problema 1. SOLUCION

Sea Ω el conjunto de casos posibles que resultan de la tiradade un dado, expresado en la forma Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Indicarcuales de las siguientes clases de conjuntos sobre Ω sonalgebras.

(a) A1 = ∅,Ω(b) A2 = ∅, 1, 3, 5, 2, 4, 6,Ω(c) A3 = ∅, 1, 3, 5, 2, 4, 6,Ω(d) A4 = P(Ω), conjunto de las partes de Ω.





Problema 2.

Construir el algebra de sucesos mınimo que contenga alsuceso A, con A distinto del suceso seguro y del sucesoimposible. SOLUCION

Idem que contenga a los sucesos A y B, diferentes, ambosdistintos del suceso imposible y del suceso seguro, y nocomplementarios. SOLUCION





Problema 3.

Encontrar lim inf An y lim supAn para las siguientes sucesiones,

(a) En IR, siendo A2n = [−1, 2 + 1/n), A2n−1 = (−2− 1/n, 1],n ≥ 1. SOLUCION

(b) En un conjunto Ω, siendo A2n = E , A2n−1 = F , n ≥ 1, conE , F ⊆ Ω. SOLUCION

(c) En IR, siendo A2n = (−1/2n, 1], A2n−1 = (−1, 1/(2n − 1)],n ≥ 1. SOLUCION






Dada la sucesion Ann≥1, definida como,

An =

x ∈ IR | 0 < x ≤ 1− 1n

si n es impar

x ∈ IR | 1n ≤ x < 1

si n es par

hallar, si existe, lim An.






Sea Ω un conjunto no vacıo y consideremos la clase desubconjunto de Ω definida como,

F = A ⊆ Ω | A o Ac es finito

Demostrar que dicha clase es algebra pero no siempre esσ-algebra.






Dado el conjunto Ω 6= ∅. Demostrar,

(a) Si C1 y C2 son dos clases de subconjuntos del conjunto Ω,tales que C1 ⊆ C2, entonces se verifica σ(C1) ⊆ σ(C2).

(b) Si C es un σ-algebra sobre Ω y B es un subconjunto novacıo de Ω entonces,

A = B ∩ A | A ∈ C

es un σ-algebra sobre B.






En una estanterıa tenemos L ≥ 1 libros de diferentes materias.1 ¿De cuantas formas los podemos colocar?2 Idem si queremos que el de Lengua y el de Historia esten

juntos3 Idem, si queremos que los de las materias M1, . . . , Mn, con

n ≤ L, esten juntos.






¿Cuantas configuraciones distintas se producen al sentar enuna mesa redonda a N personas?.Una configuraci on se diferencia de otra unicamente por laposici on relativa de las personas .






Con los dıgitos 1,2,3,4,5, ¿Cuantos numeros que tengan cincocifras diferentes podemos formar? ¿Cuanto suman?






Determinar cuantas posibilidades diferentes existen en lossiguientes juegos de azar,

1 En las quinielas balompedicas.2 En la loterıa primitiva.






En una empresa hay un comite que tiene P1 delegados depersonal y D1 delegados de direccion. Se desea formar unsubcomite con P2 delegados de personal y D2 delegados dedireccion. ¿De cuantas formas distintas se puede constituirdicho subcomite?






En una poblacion de 20 personas, 10 leen la revista A, 8 leenla revista B, y 3 leen ambas revistas. Hallar,

1 ¿De cuantas formas se puede seleccionar un grupo de 5personas que lean al menos una revista?

2 Idem, si se desea que 3 de las 5 personas lean solo A, ylas dos restantes solo B.

3 Idem, si se desea que, al menos 3 de las 5 personas leanpor lo menos la revista A.






Hallar el numero de subconjuntos de un conjunto, U, con n > 0elementos y a cuantos de ellos pertenece un determinadoelemento. Generalizar a k elementos con k ≤ n.






De una baraja que contiene 52 cartas se extraen 10. ¿Encuantos casos, entre las cartas seleccionadas, habrıa,

(a) Por lo menos un as?

(b) Exactamente un as?

(c) No menos de dos ases?

(d) Exactamente dos ases?

NOTA: En la baraja hay 4 ases.






Con 20 cuentas, es decir, pequenas esferas perforadasdiametralmente, de colores diferentes ¿Cuantas pulserasrealmente distintas pueden disenarse suponiendo que seemplean todas las cuentas?






En una estanterıa se colocan 40 libros, de los cuales 15 sonnegros, 12 azules y el resto de color gris ¿Cuantasconfiguraciones de colores pueden formarse?






Dado un conjunto, Ω, de N elementos, y k numeros naturales,n1, . . . , nk , verificando n1 + · · ·+ nk = N se denomina(n1, n2, . . . , nk )-particion de Ω a una coleccion A1, . . . , Ak ⊆ Ω,disjuntos dos a dos, cuya union es Ω y tal queCARD(Ai) = ni , i = 1, . . . , k ¿Cuantas(n1, n2, . . . , nk )-particiones de Ω pueden construirse?Relacionar los resultados obtenidos en este problema y elanterior.




Probabilidad basicaProbabilidad condicionada


Un juego de azar muy popular en Italia durante el siglo XVII consistıaen apostar sobre el numero total de puntos obtenidos al lanzar tresdados. Existıa la creencia de que obtener 9 puntos era tan probablecomo obtener 10 puntos, pues hay 6 formas de obtener 9 puntos,

(126, 135, 144, 234, 225, 333)

y otras tantas de obtener 10 puntos,

(145, 136, 226, 235, 244, 334)

Dado que la experiencia parecıa demostrar que obtener 10 puntosera mas probable que obtener 9, pidieron a Galileo que les ayudara aresolver esta aparente contradiccion, lo que consiguio con exito¿Como?






¿Cual es la probabilidad de que, tras barajar 8 fichas con lasletras A E O P R R S S, aparezca la palabra SORPRESA?






Se seleccionan al azar siete piezas de un domino. Calcular laprobabilidad de que alguna de ellas presente un seis.






De un temario de 25 temas, un opositor sabe 20 ¿Cual es laprobabilidad de que sepa los tres temas seleccionados al azarpor el tribunal?





Problema 22.

En una reunion de n personas, supuestamente reunidas alazar ¿Cual es la probabilidad de que al menos una de ellascelebre su cumpleanos el dıa 1 de Enero? ¿Cual es laprobabilidad de que al menos dos de ellas celebren sucumpleanos el mismo dıa?Vease el completo documento sobre este problema y susolucion en la Pagina WEB del Profesor Mayor.






Una persona escribe n cartas, cada una con distintodestinatario, y escribe las direcciones en n sobres. Actoseguido, introduce aleatoriamente una carta en cada sobre.

1 Determinar la probabilidad de que al menos una de lascartas sea recibida por su destinatario.

2 Calcular la probabilidad de que exactamente k cartas seanrecibidas por sus destinatarios.






Un ropero contiene n pares de zapatos. Se extraen 2r < nzapatos al azar . Calcular la probabilidad de que haya a losumo dos pares completos.






Un lote de 100 tornillos es sometido la siguiente prueba decalidad:Se extraen 50 tornillos al azar y se revisan. Si hay m as dedos defectuosos, el lote no supera la prueba, siendorechazado. En caso contrario, se acepta.Calcular la probabilidad de que un lote de 100 tornillos, de loscuales 5 son defectuosos, supere la prueba de calidad.






Dos jugadores, A y B, juegan a cara y cruz la cantidad de 100EUROS. Ganara aquel que por primera vez gane tres partidas,consecutivas o no. Al iniciar el juego, el jugador A ha ganado laprimera partida, pero entonces se tuvo que interrumpir el juegosin posibilidad de reanudarlo. Repartir los 100 EUROS entrelos dos jugadores proporcionalmente a las probabilidades quetienen de ganar cada uno de ellos.






Una urna contiene bolas de cuatro colores diferentes, estandocada color representado por el mismo numero de bolas. Siextraemos una muestra de cuatro bolas con reemplazamiento,es decir, secuencialmente, devolviendo cada bola a la urna unavez extraıda, determinar la probabilidad de que al menos trescolores distintos aparezcan en dicha muestra.






Una cerradura de combinacion tiene sobre su eje central cuatrodiscos, cada uno de los cuales esta dividido en cinco sectorescon distintas cifras escritas sobre ellos. La cerradura se abresolo cuando los discos ocupan una posicion determinada.Hallar la probabilidad de que la cerradura se abra al disponerlos discos arbitrariamente, al azar.






Un lotero vende n2 boletos para dar n premios. Hallar laprobabilidad de obtener algun premio si se compran n boletos.






Entran en el ascensor de un edificio de siete plantas, trespersonas en la primera planta (planta baja), y cada una deellas sale al azar empezando en la segunda planta. Hallar laprobabilidad de los siguientes sucesos:(a) Todas las personas bajan simultaneamente.(b) Todas bajan en diferentes plantas.






Se colocan al azar n bolas, numeradas de 1 a n, en las ncasillas o celdas de un casillero, tambien numeradas, pudiendocada casilla o celda alojar cualquier numero de bolas. Hallar laprobabilidad de que quede exactamente una casilla vacıa.






Resolver las siguientes cuestiones:(a) En un espacio de probabilidad, hallar la probabilidad P(A),sabiendo que B es un suceso que verifica P(A ∩ B) = 0′72 yP(A ∩ Bc) = 0′18.(b) En un espacio de probabilidad, supongamos que laocurrencia del suceso A ∩ B da lugar, necesariamente, a laocurrencia del suceso C. ¿Es cierto que se verificaP(A) + P(B)− P(C) ≤ 1?(c) En un espacio de probabilidad, hallar la probabilidadP(A ∩ Bc) a partir de las probabilidades P(A) = a, P(B) = b yP(A ∪ B) = c.






Sean A y B sucesos compatibles con probabilidadesP(A) = 3/4 y P(B) = 1/3. Probar que 1/12 ≤ P(A ∩ B) ≤ 1/3y dar ejemplos mostrando que ambos extremos son posibles.Encontrar cotas para P(A ∪ B).






¿Es cierto que si P(B/A) = P(B/Ac) entonces A y B sonindependientes?






Una persona tiene n llaves, de las cuales solo una abre lapuerta. Para entrar en su casa, prueba las llavessucesivamente, de manera aleatoria, sin repetir llave. Esteprocedimiento puede necesitar 1, 2, 3, . . . , n ensayos. Hallar laprobabilidad de que lleve a cabo k ensayos exactamente.






En una urna hay dos bolas, elegidas con el siguienteexperimento. Se lanza dos veces una moneda equilibrada. Sise obtienen dos caras, se echan en la urna dos bolas blancas.Si se obtiene una cara, se echa una bola blanca y otra negra, ysi no se obtiene ninguna cara, se echan dos bolas negras.Se selecciona al azar una bola de la urna, y resulta ser blanca.Se restituye dicha bola a la urna y se extrae de nuevo una bolaazar que tambien resulta ser blanca. ¿Cual es la probabilidadde que la urna tuviera dos bolas blancas?






Una caja, que llamaremos A, contiene dos piezas buenas yuna pieza defectuosa. Una segunda caja, que llamaremos B,contiene tres piezas buenas y dos defectuosas. Se trasladauna pieza de A a B, y a continuacion se extrae una de B, queresulta ser buena. Se pide:(a) Calcular la probabilidad de que la pieza trasladada fuesebuena.(b) Suponiendo que, en lugar de una, se trasladansimultaneamente dos piezas de A a B, y que la pieza extraıdade B es defectuosa, ¿Cual es la probabilidad de que, de lasdos piezas trasladadas, hubiese exactamente una defectuosa?






En una pecera hay 20 peces macho y 30 peces hembra.Extraemos un pez al azar y lo devolvemos a la pecera si esmacho, apartandolo en caso contrario. Este proceso se repiteuna vez mas.(a) ¿Cual es la probabilidad de que el segundo pez extraıdosea macho?(b) ¿Cual es la probabilidad de que los dos peces extraıdossean del mismo sexo?






Una poblacion de ciervos se compone de 10 ciervos en unaorilla del rıo y de 15 ciervos en la otra orilla. En la orilla con 10ciervos hay 5 marcados, y en la otra 10.(a) Se selecciona al azar una orilla, y de ella, al azar, un ciervo¿ Cual es la probabilidad de que el animal este marcado?(b) Dado que se ha capturado un ciervo marcado, ¿cual es laprobabilidad de que haya sido escogido de la orilla con 10ciervos?(c) Supongamos que antes de realizar el experimento delprimer apartado, un ciervo es seleccionado al azar en cadaorilla, intercambiandose ambos. Hallar de nuevo la probabilidadpedida en dicho apartado.






Un aparato electrico se compone de dos modulos, M1 y M2. Elaparato deja de funcionar si algun modulo se averıa, lo cualpuede ocurrir independientemente en uno u otro modulo. Lacorriente le llega al aparato a traves de un estabilizador.Cuando el estabilizador funciona correctamente lasprobabilidades de fallo de M1 y M2 son, respectivamente, q1 yq2. Con el estabilizador desajustado, estas probabilidadespasan a ser, respectivamente, q∗1 y q∗2 . Si la probabilidad dedesajuste del estabilizador es q, calcular:(a) Probabilidad de que el aparato funcione correctamente.(b) Si en un momento dado el aparato deja de funcionar, ¿Cuales la probabilidad de que este averiado el modulo M1?




Variable aleatoria discreta. ModelosVariable aleatoria continua. Modelos

Problema 41.

Sea X una variable aleatoria discreta que toma los valores0,1,2 y 3, y de la que se conoce,

P[X < 1] = 1/4 P[1 ≤ X ≤ 2] = 1/2 P[0′5 < X ≤ 3] = 6/8

siendo E [X ] = 11/8.

(a) Determinar la funcion de probabilidad de X , y la funcion dedistribucion.(b) Determinar la funcion de probabilidad de la variablealeatoria Y = |X − 1|+ X





Problema 42.

Sean a y b dos numeros naturales y X una variable aleatoriadiscreta con valores naturales, de manera que,

P[X = k ] = 1/a− 1/b si 1 ≤ k ≤ ab

(a) ¿Que condicion deben verificar a y b?(b) Determinar la funcion de distribucion de X ¿Cual es lasolucion o soluciones de la ecuacion F (x) = 1/2?





Problema 43.

Una urna contiene m bolas, numeradas de 1 a m. Se extraeuna bola, se observa su numero, y vuelve a ser introducida enla urna, extrayendose a continuacion una segunda bola, de laque tambien se observa su numero. Sea X la variable aleatoriaigual a la diferencia entre el primer numero y el segundo.(a) Obtener la funcion de probabilidad de X .(b) Calcular P[|X | ≤ n].





Problema 44.

Dos numeros reales, x e y , son seleccionados aleatoriamenteen el intervalo [0, L]. Consideremos los siguientes sucesos,

A = “la suma, x + y , es menor o igual que L”

B = “el producto, xy , es menor o igual que L2/4”

y sea la variable aleatoria,

Z =

0 si (x , y) ∈ Ac ∩ Bc

1 si (x , y) ∈ (A− B) ∪ (B − A)2 si (x , y) ∈ A ∩ B

Determinar la funcion de probabilidad de la variable Z .





Problema 45.

Sea X una variable aleatoria que toma los valores 1, 2, 3, ...,siendo funcion de distribucion,

F (x) =

0 si x < 0

1− a−[x ] si x ≥ 0

con a > 1 real, y [ ] la parte entera.(a) Hallar la funcion de probabilidad de X .(b) Obtener la probabilidad de que X tome un valor par.(c) ¿Existe algun valor de a, tal que la probabilidad de que Xtome un valor par coincida con la probabilidad de que X tomeun valor impar?(d) Hallar la funcion generatriz de momentos de X .(e) Calcular E [X ].





Problema 46.

Un profesor realiza un examen de N preguntas de tipo ”test”,cuyas respuestas son todas del tipo sı/no, y observa que elnumero de aprobados es elevado ¿Existe alguna justificacionde este hecho bajo el punto de vista del Calculo deProbabilidades? Ante este panorama decide implantar elsiguiente metodo de puntuacion: sumara un punto cadarespuesta correcta, pero restara un punto cada respuestaincorrecta ¿Como se ven afectados por esta medida losalumnos ignorantes que responden al azar? NOTA: Paraaprobar el examen se requiere, en ambos casos, unapuntuaci on no inferior a N/2.





Problema 47.

Se lanza una moneda hasta que se obtiene dos vecesconsecutivas el mismo resultado. Sea N la variable aleatoria“Numero de lanzamientos realizado”. Calcular las funciones deprobabilidad y distribucion de N, la probabilidad de que N tomeun valor impar, y el valor esperado de N.





Problema 48.

Una lınea aerea estima que, usualmente, el 4 % de laspersonas que hacen reserva para un vuelo no llega a utilizarlo.Por ello, para un avion de 73 plazas, acostumbran a poner a laventa 75 billetes.

1 ¿Cual es la probabilidad de que todas las personas que sepresenten al vuelo tengan plaza disponible?

2 Idem, si sabemos que el numero de personas presentadases mayor o igual que 20.

3 Calcular el numero esperado de personas que sepresentan al vuelo.





Problema 49.

Consideremos un juego en el que, en cada turno o jugada, eljugador gana o pierde con identica probabilidad. Comienza conuna fortuna de C unidades monetarias y cada vez que gana,dobla su fortuna, reduciendola a la mitad cuando pierde ¿Cuales el valor esperado de su fortuna tras N jugadasindependientes?





Problema 50.

En un juego, el jugador lanza repetidamente una moneda hastaque se obtiene cruz. La recompensa recibida por el jugador es2N , donde N denota el numero de lanzamientos previos a laobtencion de la primera cruz ¿Cuanto deberıa pagar el jugadorpor poder jugar de modo que el juego resultase equitativo en elsentido de que la ganancia esperada sea no inferior a lacantidad pagada?





Problema 51.

Una poblacion de 20 animales insectıvoros se introduce en unazona donde el 14 % de los insectos que les sirven de alimentoson venenosos. Cada animal devora al dıa 5 insectos. Calcularla distribucion de probabilidad de la variable aleatoria “Numerode animales que sobreviviran una semana”.





Problema 52.

Consideremos una variable aleatoria, X , que toma todos losvalores enteros de 1 a n, con probabilidades,

P [X = x ] = k(n)x − 1

n, x = 1, 2, . . . , n

Hallar k(n), E [X ], E [X 2] y V [X ].





Problema 53.

En una fabrica, el numero de accidentes por semana sigue unadistribucion de Poisson, con un valor medio de 2 accidentespor semana. Calcule,(a) Probabilidad de que en una semana ocurra algun accidente.(b) Probabilidad de que ocurran 4 accidentes en el transcursode una semana.





Problema 54.

Sea X ∼ Ge(p). Calcular la probabilidad de que X tome comovalor un numero par.





Problema 55.

Sea X una variable aleatoria con distribucion de Poisson, P(λ),y tal que P[X = 0] = P[X = 1]. Determinar el valor de λ.





Problema 56.

Sea X una variable aleatoria con funcion de distribucion, F ,dada por

F (x) =

0 si x < 0kx2 si 0 ≤ x < k1 si x ≥ k

1 Determınense los valores de k que hacen que X seadiscreta, absolutamente continua, y mixta,respectivamente.

2 Calculese P(X ∈ (1/3, 1/2]) y P(X ∈ (1/3, 1/2))

3 Calcular la probabilidad de que X tome un valor irracional4 Estudiar E [X ] y V [X ]





Problema 57.

Sea X una variable aleatoria normal, N(0, 1), y seaY = minX1, X2.

1 Hallar la funcion de distribucion de Y .2 Si procede, hallar la funcion de densidad.





Problema 58.

La longitud, en centımetros, de un determinado tipo demolusco sigue una distribucion normal de media 5′5 ydesviacion tıpica 0′6. En una fabrica se preparan paraconsumo humano, enlatandolos en latas de 10 unidades. Laslatas, a su vez, se empaquetan en cajas de 50 unidades.(a) Calcular la probabilidad de que en una lata haya 2 o masmoluscos que midan menos de 4′5 centımetros. A estas latasse les llamara latas del tipo B.(b) Calcular la probabilidad de que en una lata haya 5 o masmoluscos que midan mas de 6′3 centımetros. A estas latas seles llamara latas de tipo EXTRA.(c) Calcular la probabilidad de que una caja aparezcan 3 latasde tipo B.





Problema 59.

La longitud X , en milımetros, de las semillas de cierta plantasigue una distribucion normal, verificando P[X < 30] = 0′975 yP[X < 10] = 0′025 Se sabe que una semilla germinara si ysolo si su longitud es superior a 15 milımetros.(a) Calcular la probabilidad de que una semilla elegidaaleatoriamente no germine.(b) Si las semillas se empaquetan en cajas de 16 unidades, y auna floristerıa se envıan 300 cajas, ¿En cuantas cajas cabeesperar que no germinen menos del 9 %?





Problema 60.

La duracion X , en minutos, de las conexiones a un servidorWEB sigue una ley normal, de la que se sabeP[X < 9] = 0′879 y P[X < 2′32] = 0′015.(a) Calcular la probabilidad de que una conexion dure menosde 3 minutos.(b) Determinar la probabilidad de que entre 1000 conexioneselegidas aleatoriamente, al menos 60 duren menos de 3minutos.





Problema 61.

En un taller se ha comprobado que la cantidad de combustibleque necesita una grua en cada servicio es una variablealeatoria con funcion de densidad,

f (x) = ke−cx si x > 0

siendo c un parametro conocido por los tecnicos del taller.1 Hallar el valor de k .2 Calcular la probabilidad de que dicha variable aleatoria

tome un valor superior a su media o valor esperado.3 Cada 10 salidas se controla la grua, y si el numero de

veces que gasta mas que el valor esperado es superior acinco, la grua pasa a una revision. Calcular la probabilidadde que esto suceda.





Problema 62.

En la red informatica de una empresa hay 3 sistemasmultiusuario, que se identificaran como S1, S2 y S3. Laspeticiones de conexion que se realizan a estos equipos sereparten de forma que el 50 % se efectuan sobre S1, el 30 %sobre S2 y el 20 % sobre S3. Los tiempos de respuesta a estaspeticiones son variables aleatorias, expresadas en segundos,de las que se sabe lo siguiente:S1: El tiempo de respuesta esperado es de 3 segundos, y sufuncion de distribucion es de la siguiente forma:

F (x) =

1− e−λx si x > 0

0 si x ≤ 0





Problema 62. Continuacion

S2: El tiempo de respuesta puede tomar cualquier valor entre 4y 8, ambos inclusive, siendo constante la funcion de densidad.S3: Los tiempos de respuesta posibles son 4, 5, 6 o 7segundos, todos ellos con la misma probabilidad.Si el tiempo de respuesta de una peticion de conexion superalos 6 segundos, se dice que la peticion es fallida, y en otro casose tiene una peticion atendida. Se pide,(a) Calcular la probabilidad de que una peticion de conexionsea fallida.(b) Supongamos que en cierto momento se empieza acontrolar la red. Suponiendo que las peticiones de conexion seproducen de forma independiente entre sı, calcular el numeroesperado de peticiones atendidas hasta que se produce laprimera fallida.






(c) Dadas 10 peticiones de conexion seleccionadasaleatoriamente y de forma independiente entre sı, calcular laprobabilidad de que haya al menos dos peticiones fallidas.Por otra parte la empresa dispone de un modem cuyo tiempode funcionamiento sin averıas es una variable aleatoria, X , quesigue una distribucion normal de la que se sabe: Laprobabilidad de que X supere 49′6 meses es 0′025. Laprobabilidad de que X supere 10′4 meses es 0.975.(d) Comprobar para k = 2 si la desigualdad de Chebychev severifica con igualdad.





Problema 63.

Se sabe que el tiempo, en meses, que invierten en encontrartrabajo tras finalizar sus estudios de Matematicas los alumnosde la Universidad A es una variable aleatoria normal, X , de laque se conoce P[X > 7] = 0′5 y P[X < 5′04] = 0′025.(a) Llamaremos alumno aventajado a aquel que encuentratrabajo antes de 6 meses. Calcular la probabilidad de que unalumno sea aventajado.(b) En el paıs considerado, ademas de A, solamente laUniversidad B oferta tambien la titulacion de Matematicas,siendo aventajados el 20 % de sus alumnos. Sabiendo que el40 % de los titulados en Matematicas proceden de laUniversidad A, calcular la probabilidad de que un alumnoseleccionado aleatoriamente en tal paıs sea aventajado.






(c) Si un alumno seleccionado aleatoriamente no esaventajado, calcular la probabilidad de que proceda de laUniversidad B.(d) Se sabe tambien que en la Universidad A se acaban degraduar 30 alumnos, mientras en la B se acaban de graduar 40alumnos. En la primera de estas universidades 15 alumnoscursaron la especialidad de Estadıstica, mientras en la B lohicieron 25 alumnos. Si seleccionamos aleatoriamente 10graduados de cada uno de ambos grupos de recien titulados,calcular la probabilidad de que se seleccione exactamente untitulado especializado en Estadıstica.




Solucion Problema 1. VOLVER

(a) Es obvio que A1 = ∅, Ω es un algebra. Es el denominado algebra minimal.

(b) La coleccion A2 = ∅, 1, 3, 5, 2, 4, 6, Ω es cerrada para uniones y comple-mentos, por lo que, obviamente es algebra.

(c) A3 = ∅, 1, 3, 5, 2, 4, 6, Ω no es, por ejemplo, cerrada para complemen-to. Por consiguiente, no es algebra.

(d) A4 = P(Ω) contiene todos los posibles subconjuntos, por lo que es cerrada paracualquier operacion de conjunto, siendo pues algebra. Se denomina algebramaximal.




Solucion Problema 2. Primera parte. VOLVER

Si el algebra A ha de contener al suceso A, tambien ha de contener a su comple-mentario, es decir, ha de cumplir,

A = ∅, Ω, A,Ac, . . .luego es obvio que el algebra buscada es,

A = ∅, Ω, A,Ac




Solucion Problema 2. Segunda parte. VOLVER

Si el algebra A ha de contener a los sucesos A y B, tambien ha de contener a suscomplementarios, Ac y Bc, y por consiguiente a los cuatro sucesos disjuntos,

A1 = A ∩B A2 = A ∩Bc A3 = Ac ∩B A4 = Ac ∩Bc

Consideremos la clase, A formada por todas las posibles uniones de los cuatroelementos anteriores, incluyendo la union vacıa. Se tiene ∅ ∈ A, y A, B, Ω ∈ A yaque,

A1 ∪ A2 = A A1 ∪ A3 = B y A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 = Ω

Por definicion, esta clase es cerrada para union y complementacion, es pues unalgebra al que pertenecen A y B. Por otra parte, es obvio que dado un algebracualquiera, A′ al que pertenezcan A y B, cualquier elemento D ∈ A estara tambienen A′ por consiguiente, A es el algebra mınimo buscado. Notese que tiene, a lo mas,16 elementos.




Solucion Problema 3. Parte (a). VOLVER

(a) A2n =[−1, 2 + 1

n

), A2n−1 =

(−2− 1

n, 1], n ≥ 1. Sea Bn =

⋃∞m=n Am, n ≥ 1. Se tiene,

lim sup An =

∞⋂n=1

∞⋃m=n

Am =

∞⋂n=1

Bn =( ∞⋂

n=1

B2n−1

) ⋂ ( ∞⋂n=1

B2n

)y si n ≥ 1, se verifica,

B2n−1 =(−2− 1

n, 1

]∪

[−1, 2+

1

n

)∪

(−2− 1

n + 1, 1

]∪

[−1, 2+

1

n + 1

)∪· · · =

(−2− 1

n, 2+

1

n

)y analogamente,

B2n =[−1, 2+

1

n

)∪

(−2− 1

n + 1, 1

]∪

[−1, 2+

1

n + 1

)∪

(−2− 1

n + 2, 1

]∪· · · =

(−2− 1

n + 1, 2+

1

n

)y por consiguiente,

lim sup An =( ∞⋂

n=1

B2n−1

) ⋂ ( ∞⋂n=1

B2n

)= [−2, 2] ∩ [−2, 2] = [−2,2]

cont. −→




Solucion Problema 3. Parte (a). Continuacion. VOLVER

Analogamente, denotando Cn =⋂∞

m=n Am, n ≥ 1. Se tiene,

lim inf An =

∞⋃n=1

∞⋂m=n

Am =

∞⋃n=1

Cn =( ∞⋃

n=1

C2n−1

) ⋃ ( ∞⋃n=1

C2n

)y si n ≥ 1, se verifica,

C2n−1 =(− 2− 1

n, 1

]∩

[− 1, 2 +

1

n

)∩

(− 2− 1

n + 1, 1

]∩

[− 1, 2 +

1

n + 1

)∩ · · · = [−1, 1]

y analogamente,

C2n =[− 1, 2 +

1

n

)∩

(− 2− 1

n + 1, 1

]∩

[− 1, 2 +

1

n + 1

)∩

(− 2− 1

n + 2, 1

]∩ · · · = [−1, 1]

y por consiguiente,

lim inf An =( ∞⋂

n=1

C2n−1

) ⋂ ( ∞⋂n=1

C2n

)= [−1, 1] ∩ [−1, 1] = [−1,1]




Solucion Problema 3. Parte (b). VOLVER

(b) A2n = E, A2n−1 = F , n ≥ 1. Se tiene,

lim sup An =

∞⋂n=1

∞⋃m=n

Am =

∞⋂n=1

(E ∪ F ) = E ∪ F

y analogamente,

lim inf An =

∞⋃n=1

∞⋂m=n

Am =

∞⋃n=1

(E ∩ F ) = E ∩ F




Solucion Problema 3. Parte (c). VOLVER

(c) A2n =(− 1

2n, 1], A2n−1 =

(− 1, 1

2n−1

], n ≥ 1

lim sup An = (−1, 1]

y

lim inf An = 0

Se deja como ejercicio.





An =(0, 1− 1

n

], n impar, An =

[1n, 1

), n par. Sea Bn =

⋃∞m=n Am, n ≥ 1.

lim sup An =

∞⋂n=1

∞⋃m=n

Am =

∞⋂n=1

Bn y si n ≥ 1, se tiene,

•n impar, Bn =(0, 1−1

n

]∪

[ 1

n + 1, 1

)∪

(0, 1− 1

n + 2

]∪

[ 1

n + 3, 1

)∪· · · = (0, 1)

y analogamente se obtiene,

•n par, Bn = (0, 1) por consiguiente lim sup An = (0, 1)

y de forma similar, se obtiene lim inf An = (0, 1), por lo que podemos afirmar quesı existe el lımite, siendo,

lim An = (0, 1)





Dada la clase F = A ⊆ Ω | A o Ac es finito sobre Ω, es obvio que ∅ ∈ Fpues es finito. Por otra parte, si A ∈ F , al ser A = (Ac)c se tiene o que Ac es finitoo que (Ac)c lo es, por lo que Ac ∈ F . Finalmente, si A, B ∈ F , al ser,

A ∪B = (Ac ∩Bc)c y (A ∪B)c = Ac ∩Bc

se tiene que, o A∪B es finito, o lo es (A∪B)c, por lo que A∪B ∈ F . Luego Fes algebra.

Veamos con un contraejemplo que F no es, en general, σ-algebra. Sea Ω = IN.Se tiene F = A ⊆ IN | A o Ac es finito . Dada la familia de conjuntos en IN,

An = 2n n ≥ 1 obviamente An ∈ F , n ≥ 1

Sea A =⋃∞

i=1 Ai = 2, 4, 6, . . . = INp. Se tiene INcp = 1, 3, 5, · · · = INi.

Luego, ni A ni Ac es finito por lo que A /∈ F , por consiguiente F no es cerradapara uniones numerables, no siendo pues σ-algebra.





(a) Dada una clase de subconjuntos cualquiera, C, sea σ(C) el menor σ-algebra quecontiene a C. Entonces, si C1 ⊆ C2, es obvio que C1 ⊆ σ(C2) y por consiguiente,σ(C1) ⊆ σ(C2).

(b) Sea A = B ∩ A | A ∈ C donde C es un σ-algebra. Al ser B = B ∩ Ω, setiene que B ∈ A. Sea ahora B ∩ A ∈ A. Su complementario respecto a B es,

B − (B ∩ A) = B ∩ (B ∩ A)c = B ∩ (Bc ∪ Ac) = B ∩ Ac ∈ Apor lo que A es cerrada para complementacion.

Finalmente, si B ∩An ∈ A, ∀n ∈ IN, con An ∈ C, ∀n ∈ IN, se tiene, por ser Cun σ-algebra, ⋃

n∈IN

(B ∩ An) = B ∩⋃

n∈IN

An ∈ A

por lo que A es cerrada para uniones numerables.





1. Cada forma de colocar los L libros es una permutacion ordinaria, por consiguientehay L! formas.

2. Si el de Lengua y el de Historia van juntos, por ejemplo, LeHi, es como sihubiera L − 1 libros, luego hay (L − 1)! formas. Pero si el de Lengua y el deHistoria van en el otro sentido, HiLe, hay otras (L− 1)! formas, luego en totalhay 2× (L− 1)! formas.

3. Es una generalizacion del punto anterior. Si n libros van juntos, es como si hubieraL − n + 1 entes para permutar. Ademas, los n libros juntos se pueden colocarde n! formas, luego en total hay n!× (L− n + 1)! formas.





Una configuracion se diferencia de otra unicamente por la posicion relativa de laspersonas. Por ejemplo, si N = 4, las configuraciones,

1 -- 2 2 -- 3

4 -- 3 1 -- 4

se consideran iguales, siendo pues las posibilidades para este caso particular,

1 -- 2 1 -- 2 1 -- 3 1 -- 3 1 -- 4 1 -- 4

4 -- 3 3 -- 4 2 -- 4 4 -- 2 2 -- 3 3 -- 2

En general, para N elementos, podemos fijar uno de ellos, por ejemplo, sin perdidade generalidad, el 1, y entonces cada configuracion corresponde a una permutacionde los N − 1 restantes. El numero de configuraciones es pues,

PN = (N − 1)!

Este tipo de permutaciones se denominan Permutaciones Circulares.





Al no permitirse las repeticiones, y ser el orden un elemento diferenciador, puesno es lo mismo 12435 que 14253, se trata de variaciones sin repeticion de cincoelementos tomados de cinco en cinco, es decir, permutaciones de 5,

P5 = 5! = 120

Si ahora disponemos los numeros uno tras otro, formando una columna,

1 2 3 4 5 = 5 + 4 × 101 + 3 × 102 + 2 × 103 + 1 × 104

1 3 2 4 5 = 5 + 4 × 101 + 2 × 102 + 3 × 103 + 1 × 104

1 3 4 2 5 = 5 + 2 × 101 + 4 × 102 + 3 × 103 + 1 × 104 etc.

vemos que el 1 aparece en primer lugar, en 4! numeros, en segundo lugar, en 4!numeros, etc., y lo mismo ocurre con los demas dıgitos, por consiguiente la sumatotal es,

S = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)4! + 10(1 + 2 + 3 + 4 + 5)4! + · · ·+ 104(1 + 2 + 3 + 4 + 5)4!

= 3.999.960





1. Quinielas balompedicas: 1, X o 2 en 15 casillas, pudiendose repetir y siendoel orden relevante. Obviamente, son variaciones con repeticion de 3 elementos,tomados de 15 en 15, esto es,

V R3,15 = 315 = 14.348.907

2. Loterıa primitiva.

COMBINACIONES





El comite esta constituido por P1 delegados de personal y D1 delegados de direc-cion. Claramente hay,

CP1,P2=

(P1

P2

)formas de seleccionar los delegados de personal, y,

CD1,D2=

(D1

D2

)formas de seleccionar los delegados de direccion.

Por otra parte, cada forma del primer conjunto se puede combinar con cada unade las posibles del segundo, por consiguiente hay,(

P1

P2

)×

(D1

D2

)posibles subcomites





Sean UA y UB los conjuntos de las personas que leen A y B respectivamente.Tenemos |UA| = 10, |UB| = 8, |UA ∩ UB| = 3 y,

|UA ∪ UB| = |UA| + |UB| − |UA ∩ UB| = 10 + 8− 3 = 15

que es el numero de los que leen al menos una revista, siendo pues 20− 15 = 5 losque no leen ninguna revista. Se tiene pues,

¿De cuantas formas se puede seleccionar un grupo de 5 personas que lean almenos una revista? (

15

5

)cont. −→




Solucion Problema 12. Continuacion. VOLVER

Idem, si se desea que 3 de las 5 personas lean solo A, y las dos restantes solo B.Como 10-3=7 leen solo A, y 8− 3 = 5 solo B, el numero buscado es,(

7

3

)×

(5

2

)

Idem, si se desea que, al menos 3 de las 5 personas lean por lo menos la revistaA. Como 10 personas leen al menos A, el resto es 20− 10 = 10. Si al menos 3han de leer A, han de ser, 3, 4 o 5. Por consiguiente, la respuesta es,(

10

3

)×

(10

2

)+

(10

4

)×

(10

1

)+

(10

5

)





Ya se ha visto, en nuestro repaso de la Combinatoria, que un conjunto de nelementos tiene,(

n

0

)+

(n

1

)+

(n

2

)+ · · · +

(n

n

)= (1 + 1)n = 2n

Por otra parte, sea i un elemento determinado. Los subconjuntos a los que per-tenece i tienen la forma i ∪ A donde A son los posibles subconjuntos formadospor los n− 1 restantes elementos. Por consiguiente, habra 2n−1 subconjunto a losque pertenece i.

Un razonamiento parecido nos permite concluir que hay 2n−k subconjuntos de Ua los que pertenecen k elementos predeterminados.





(a) Por lo menos un as. Son todas menos las que no tienen ningun as. O sea,(52

10

)−

(48

10

)(b) Exactamente un as. (

48

9

)×

(4

1

)(c) No menos de dos ases, es decir, 2 o 3 o 4, luego son,(

48

8

)×

(4

2

)+

(48

7

)×

(4

3

)+

(48

6

)×

(4

4

)(d) Exactamente dos ases. (

48

8

)×

(4

2

)





Tenemos 20 cuentas o esferas perforadas diametralmente, de 20 colores coloresdiferentes, para reordenar formando una circunferencia. Esta situacion es muy pa-recida a la considerada en un problema anterior sobre las formas de sentarse a lamesa una serie de personas, o sea, permutaciones circulares. La diferencia radica enque ahora, una permutacion circular y su inversion producen la misma pulsera. Porejemplo si tenemos 4 cuentas con los colores Azul, Rojo, Negro y Blanco, las dospermutaciones circulares,

A -- R A -- B

B -- N R -- N

generarıan la misma pulsera. Por consiguiente hay,19!

2= 60.822.550.204.416.000 pulseras posibles

o sea, si repartieramos este numero entre todos los habitantes del planeta, a cadauno le corresponderıan varios millones de pulseras.





Si colocamos en una estanterıa 15 libros negros, 12 azules y 13 de color gris,hay obviamente 40! formas de hacerlos. Pero las configuraciones de colores seranmuchas menos. Claramente, se trata de permutaciones con repeticion y por consi-guiente hay,

P15,12,1340 =

40!

15! 12! 13!configuraciones

Notemos que este problema es equivalente a enumerar las distintas formas deubicar 15 bolas negras, indistinguibles entre sı, 12 bolas azules, indistinguibles entresı y 13 bolas grises, indistinguibles entre sı, en un casillero de 40 celdas, de maneraque cada celda contenga una y solo una bola.





Hay(Nn1

)formas de llenar A1. Hay

(N−n1n2

)formas de llenar A2, y ası sucesiva-

mente, por consiguiente hay,

Π =

(N

n1

) (N − n1

n2

) (N − n1 − n2

n3

)· · ·

(N − n1 − · · ·nk−1

nk

)particiones

Se tiene,

Π =N !

n1!(N − n1)!

(N − n1)!

n2!(N − n1 − n2)!· · ·

(N − n1 − · · · − nk−1)!

nk!(N −N)!

=N!

n1!n2! · · ·nk!

Es decir, hemos obtenido la expresion de las permutaciones con repeticion. Vea-mos una explicacion.

cont. −→





Supongase que tenemos n1 bolas de color C1, indistinguibles, n2 bolas de colorC2, indistinguibles, etc., y nk bolas de color Ck, indistinguibles, con n1 + n2 +· · · + nk = N . Los colores C1, C2,...,Ck son distintos.

Disponemos las bolas en un casillero de N celdas, una bola por celda. Las celdasque contienen a las bolas de color C1 determinan el conjunto A1, las correspon-dientes al color C2, el conjunto A2, y ası sucesivamente. Por ejemplo, si N = 5,k = 2, n1 = 3 y n2 = 2, siendo C1 Rojo y C2 Negro, tendrıamos,

R N R R N1 2 3 4 5

−→ A1 = 1, 3, 4 y A2 = 2, 5

y

R R N N R1 2 3 4 5

−→ A1 = 1, 2, 5 y A2 = 3, 4

resultando evidente por que aparecen las permutaciones con repeticion.





Al lanzar tres dados, podemos considerar como espacio muestral de configuracionesequiprobables las V R

6,3 = 63 variaciones con repeticion de 1, 2, 3, 4 ,5 ,6 tomadosde tres en en tres.

Efectivamente, hay 6 configuraciones que suman 9 puntos,

(126, 135, 144, 234, 225, 333)

pero hay que tener en cuenta el orden. Ası 1+2+6=9 se puede obtener de 3! = 6formas, 1+3+5 tambien de 6 formas, 1+4+4 de 3!/2! = 3 formas posibles, 2+3+4de 6 formas posibles, 2+2+5 de 3 formas, y 3+3+3 solo de una forma, por lo quehay 6+6+3+6+3+1=25 resultados favorables a la suma 9.

Por otra parte, hay otras 6 configuraciones que suman 10 puntos,

(145, 136, 226, 235, 244, 334)

pero el numero de resultados favorables es 6+6+3+6+3+3=27. Por consiguientees mas probable el 10 que el 9.





¿Cual es la probabilidad de que, tras barajar 8 fichas con las letras A E O P R RS S, aparezca la palabra SORPRESA?

Al barajar 8 fichas al azar, hay 8! resultados posibles equiprobables. Notese queno se barajan letras sino fichas. De estos casos posibles, los casos favorables a,

S O R P R E S A

son obviamente 4, resultantes de mover las fichas sin cambiar la palabra. Por con-siguiente la probabilidad buscada es,

P =4

8!

Esta es la forma natural de llegar a la solucion pues al barajar las fichas se estangenerando permutaciones ordinarias.





Las piezas de domino se pueden representar como [00], [01], [02], [03], [04], [05],

[06], [11],..., [66]. Hay en total 7 +(72

)= 28 piezas.

Al seleccionar al azar 7 de ellas, hay(28

7

)formas de hacerlo, todas ellas equiproba-

bles. De las 28 fichas, hay 7 que tienen el numero 6, luego hay 21 que no lo tienen.Hay pues

(217

)formas de seleccionar 7 fichas sin el numero 6. Por consiguiente, la

probabilidad pedida es,

P [alguna presente 6] = 1 − P [ninguna presente 6] = 1 −(21

7

)(287

)Y tambien es posible hacerlo directamente,

P [alguna presente 6] = P [una con 6] + P [dos con 6] + · · · + P [las siete con 6]

=

(71

)(216

)(287

) +

(72

)(215

)(287

) + · · · +(77

)(210

)(287

)





Al seleccionar tres temas de 25, tanto las posibles agrupaciones no ordenadas,es decir, combinaciones, como las ordenadas, o sea, variaciones, son equiprobables,luego podemos aplicar la formula de Laplace con ambos enfoque. Si el tribunalselecciona los temas seleccionando de una caja tres bolas numeradas de 1 a 20, yextrae las tres bolas de una vez, es mas logico emplear combinaciones, es decir,

P =C20,3

C25,3=

(203

)(253

) =20! 22!

17! 25!=

20 × 19 × 18

25 × 24 × 23

pero si la seleccion se realiza una tras otra, es mas natural emplear la variacion,

P =V20,3

V25,3=

20 × 19 × 18

25 × 24 × 23

En ambos casos, el resultado es P = 0′49565, por lo que el opositor deberıaestudiar algo mas.





Haremos el apartado (1). El (2) es similar. Sea Ai el suceso “la carta i ha sidointroducida en el sobre i”, i = 1, . . . , n. La probabilidad pedida es,

P = P [A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An] =∑

i

P [Ai] −∑i<j

P [Ai ∩ Aj]

+∑

i<j<k

P [Ai ∩ Aj ∩ Ak] + · · · + (−1)n+1P [A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An]

siendo,

P [Ai] =(n− 1)!

n!, P [Ai∩Aj] =

(n− 2)!

n!, P [Ai∩Aj ∩Ak] =

(n− 3)!

n!etc.

por lo que,

P = n(n− 1)!

n!−

(n

2

)(n− 2)!

n!+

(n

3

)(n− 3)!

n!− · · · + (−1)n+1 1

n!

= 1 − 1

2!+

1

3!− · · · + (−1)n+1

n!≈ 1 − e−1 = 0′632120558828... si n es grande

Ejemplo, para n = 10, es P = 0′632120535714...





Sea el suceso Ai = ”Se forman exactamente i pares completos” . Buscamos,

P [A0 ∪ A1 ∪ A2] = P [A0] + P [A1] + P [A2]

Veamos primero P [A0]. Tenemos n zapatos de un pie, tipo D, y n del otro, tipoI. Al extraer 2r zapatos sin completar ningun par, una posibilidad es que todos seantipo D; hay

(n2r

)formas de hacerlo. Otra posibilidad es que haya 2r − 1 tipo D y

el zapato restante tipo I, pero no companero de ninguno de los anteriores; esto se

puede hacer de( n2r−1

)(n−(2r−1)1

). Y ası sucesivamente. En total hay,(

n

2r

)(n− 2r

0

)+

(n

2r − 1

)(n− (2r − 1)

1

)+

(n

2r − 2

)(n− (2r − 2)

2

)+ · · · +

(n

1

)(n− 1

2r − 1

)+

(n

0

)(n

2r

)

=

2r∑k=0

(n

2r − k

)(n− (2r − k)

k

)=

2r∑k=0

n!

(2r − k)!(n− (2r − k))!

(n− (2r − k))!

k!(n− 2r)!

=

2r∑k=0

2r!

(2r − k)!k!

n!

2r!(n− 2r)!=

(n

2r

) 2r∑k=0

(2r

k

)=

(n

2r

)22r

formas se seleccionar 2r zapatos sin formar ningun par completo cont. −→





Y como al seleccionar los 2r de entre los 2n existentes, se hace de forma equipro-bable, tendremos, por la formula de Laplace,

P [A0] =

(n2r

)22r(2n

2r

)Y de forma similar se obtiene,

P [A1] =

(n−12r−2

)22r−2 n(2n

2r

) y P [A2] =

(n−22r−4

)22r−4

(n2

)(2n2r

)siendo pues la probabilidad buscada,

P =

( n2r

)22r(2n

2r

) +

( n−12r−2

)22r−2 n(2n2r

) +

( n−22r−4

)22r−4

(n2

)(2n2r

)





El lote supera la prueba si al seleccionar los 50 tornillos, salen 2 o menos defec-tuosos.

Al extraer 50 tornillos de un lote de 100, de los cuales 5 son defectuosos, laprobabilidad de que no haya en los 50 ninguno defectuoso es,

P0 =

(9550

)(50

)(10050

)y las probabilidades de que haya 1 y 2 son respectivamente,

P1 =

(9549

)(51

)(10050

) y P2 =

(9548

)(52

)(10050

)y por consiguiente, la probabilidad pedida es,

P =

(9550

)(50

)(10050

) +

(9549

)(51

)(10050

) +

(9548

)(52

)(10050

) = 0′5





Si colocamos al azar las n bolas,hay nn casos posibles igualmente probables. Halle-mos los favorables a que una celda exactamente queda vacıa. Supongamosque es la celda 1. En el resto de celdas hay 1 bola al menos en cada una, y ademasen una celda hay dos. Una configuracion generica es (i1, i2, · · · , in), siendo ik lacelda en la que esta la bola k. Se tiene que ik ∈ 2, 3, · · · , n. Supongamos que esla celda 2 la que tiene las dos bolas, y el resto 1. Por ejemplo si n = 4, (3, 4, 2, 2)significa que la bola 1 esta en la celda 3, la 2 en la 4, y las bolas 3 y 4 en la celda2. O sea dos se repiten y resto no, luego hay,

P2,1,··· ,1n =

n!

2!formas de que la casilla 2 aloje dos bolas

luego habra (n−1) n!/2! formas de que alguna celda aloje dos bolas. En total habra,n(n − 1) n!/2, luego la probabilidad buscada es,

P =n(n− 1)n!/2

nn =n!

(n2

)nn





(a) Se tiene A = (A ∩B) ∪ (A ∩Bc). Por consiguiente,

P (A) = P (A ∩B) + P (A ∩Bc) = 0′72 + 0′18 = 0′90

(b) Se tiene A ∩B ⊆ C. Por lo que P (A ∩B) ≤ P (C) y al ser,

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) ≥ P (A) + P (B)− P (C)

podemos afirmar que SI es cierto.

(c) Por (a), sabemos que P (A) = P (A ∩B) + P (A ∩Bc), por lo que,

P (A ∩Bc) = P (A)− [P (A) + P (B)− P (A ∪B)] = c− b

NOTA: Sean E y F sucesos tales que E ⊆ F . Se tiene F = E ∪ (F −E) siendodisjunta esta union, por lo que,

P (F ) = P (E) + P (F − E) ≥ P (E) o sea P (E) ≤ P (F )





Sean A y B sucesos compatibles con probabilidades P (A) = 3/4 y P (B) = 1/3.Probar que 1/12 ≤ P (A∩B) ≤ 1/3 y dar ejemplos mostrando que ambos extremosson posibles. Encontrar cotas para P (A ∪B).

Al ser A ∩B ⊆ B se tiene P (A ∩B) ≤ P (B) ≤ 13. Por otra parte,

P (A ∩B) = P (A) + P (B)− P (A ∪B) ≥ 3

4+

1

3− 1 =

1

12

Si A ∪ B = Ω, la cota inferior se alcanza con igualdad. Si B ⊆ A se tieneA ∩B = B y la cota superior se alcanza. Luego ambos extremos son posibles.

La segunda parte es similar a lo anterior y se deja como ejercicio.





Sabemos que (A∩B)∪ (Ac ∩B) = B, luego P (Ac ∩B) = P (B)−P (A∩B).Entonces, si suponemos P (B/A) = P (B/Ac) sera,

P (A ∩B)

P (A)=

P (Ac ∩B)

P (Ac)por lo que,

(1− P (A))P (A ∩B) = P (A)(P (B)− P (A ∩B))

de donde se deduce facilmente,

P (A ∩B) = P (A) P (B)

que es la definicion de independencia de sucesos. Luego SI son independientes.





Sea Ai el suceso [La llave correcta es hallada en el ensayo i], coni = 1, . . . , n. El suceso considerado es, obviamente,

A = Ac1 ∩ Ac

2 ∩ · · · ∩ Ack−1 ∩ Ak k ≤ n

por lo que, aplicando la regla de la multiplicacion,

P (A) = P (Ac1 ∩ · · · ∩ Ac

k−1 ∩ Ak)

= P (Ak/Ac1 ∩ · · · ∩ Ac

k−1)P (Ack−1/A

c1 ∩ · · · ∩ Ac

k−2) · · ·P (Ac1)

=1

n− k − 1

n− k + 2− 1

n− k + 2

n− k + 3− 1

n− k + 3· · · n− 1

n=

1

n

Regla de la multiplicacion: P(B1 ∩ · · · ∩Bn−1 ∩Bn)

= P(Bn/B1 ∩ · · · ∩Bn−1)P(Bn−1/B1 ∩ · · · ∩Bn−2)P(Bn−2/B1 ∩ · · · ∩Bn−3) · · ·P(B2/B1)P(B1)





Sean los sucesos Bi = [EN LA URNA HAY i BOLAS BLANCAS], i = 0, 1, 2.Claramente se tiene que P (B0) = 1/4, P (B1) = 1/2 y P (B2) = 1/4. Sea el sucesoB = [LAS BOLAS EXTRAIDAS SON BLANCAS]. Nos piden,

P (B2/B) =P (B/B2)P (B2)

P (B)

=P (B/B2)P (B2)

P (B/B0)P (B0) + P (B/B1)P (B1) + P (B/B2)P (B2)

=1× 1

4

0 + 14 ×

12 + 1× 1

4

=2

3

Hemos aplicado la regla o formula de Bayes





(a) Sean los suceso,

T = [LA PIEZA TRASLADADA ES BUENA]

F = [LA PIEZA EXTRAIDA AL FINAL ES BUENA]

Calculemos lo que nos piden,

P (T/F ) =P (F/T )P (T )

P (F )=

P (F/T )P (T )

P (F/T )P (T ) + P (F/T c)P (T c)=

46

23

46

23 + 3

613

=8

11

(b) Este apartado es similar al anterior. El resultado es 3/4.

Hemos aplicado la regla o formula de Bayes





(a) Definimos E = [El estabilizador funciona], M1 = [El modulo M1 funciona],M2 = [El modulo M2 funciona] y A = [El aparato funciona].

Se tiene A = M1∩M2 y, por la independencia, P (A) = P (M1)P (M2), siendo,

P (M1) = P (M1/E)P (E) + P (M1/Ec)P (Ec) = (1− q1)(1− q) + (1− q∗1)q

P (M2) = P (M2/E)P (E) + P (M2/Ec)P (Ec) = (1− q2)(1− q) + (1− q∗2)q

(b) Hemos de calcular P (M1c/Ac) = 1− P (M1/Ac), siendo,

P (M1/Ac) =P (Ac/M1)P (M1)

P (Ac)=

(1− P (A/M1))P (M1)

1− P (A)

=(1− P (M2))P (M1)

1− P (M1)P (M2)

ya que P (A/M1) = P (M1 ∩M2/M1) =P (M1 ∩M2)

P (M1)= P (M2)


problemas de cálculo de probabilidades. licenciatura en...

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