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INDICE

PRESENTADO POR:

RODRIGUEZ PEREZ, LUIS

CURSO:

TRANSFERENCIA DE CALOR

UNIDAD:

III

DOCENTE:

ING. ELI GUAYAN HUACCHA

CICLO:VII

TRUJILO – PERU2014

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLOFACULTAD DE INGENIERÍA

PROBLEMA DE

RADIACION

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA

I. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:

Considere una cavidad cilíndrica cerrada en la parte inferior con una abertura en la parte superior.

Para las siguientes condiciones, calcule la transferencia de radiación a través de la abertura de la cavidad cuando la temperatura de los alrededores es 0K. También determine la emisividad efectiva de la cavidad, εe.

(a) Todas las superficies son negras a 620K.(b) La superficie inferior de la cavidad es difusa y gris con una emisividad de 0.6 a

600K, mientras que todas las superficies interiores son rerradiantes.(c) Todas las superficies interiores son difusas y grises con una emisividad de 0.6 y

una temperatura uniforme de 620K(d) Para las configuraciones de cavidad de 20, 40 y 80mm, grafique εe, como función

de la emisividad de la superficie interior en un margen de 0.6 a 1.0. Todas las otras condiciones permanecen iguales.

II. ESQUEMAS DEL PROBLEMA:

III. HIPOTESIS DE TRABAJO O SUPUESTOS TEORICO:

a) Para el caso (a) todas las superficies son negras.b) Para el caso (b) la superficie inferior es difusa y gris, las demás reradiantes

(adiabática).c) Para el caso (c) todas las superficies son difusas y grises.d) Las superficies tienen radiosidad uniforme.e) Los alrededores (medio ambiente) se encuentra a 0°K, de esta manera T1=0 y ε1=1

IV. ECUACIONES Y FORMULISMO ANALITICO:

El factor de visión para discos paralelos coaxiales:

Emisividad efectiva de la cavidad:Un Se refiere a la tasa de la potencia radiante dejando la cavidad para que a partir de un cuerpo negro que tiene la misma área de la abertura de la cavidad y a la temperatura de la superficie interior de la cavidad es decir:

ε e=Q̇1

A1σ T4

Para una superficie negra, la transferencia neta de calor por radiación desde cualquier superficie i se determina:

Para una superficie es difusa y gris, la transferencia neta de calor por radiación es:

V. ANALISIS Y SOLUCIÓN DEL PROBLEMA:

Cálculo de las Áreas:

A1=π D1

2

4=2.54469 x10−4m2

A2=π D2

2

4=10.1788 x10−4m2

A3=π D2 L=56.5487 x10−4m2

A4=A2−A1=7.63411 x10−4m2

Cálculo de los Factores de visión:

De las condiciones del problema sabemos que T1=0°K, entonces el Eb1=J1, la transferencia de calor por radiación que pasa a través de la superficie 1 (imaginaria) será debido al intercambio de calor por radiación entre las otras superficies de la cavidad.

Los factores de visión serán (por simple inspección):

F1-1 = 0 F1-4 = 0 F2-2 = 0 F4-4 = 0

El cálculo de F2-1 lo hacemos aplicando las fórmulas para discos paralelos coaxiales:

R2=3650

=0.72

R1=1850

=0.36

S=1+ 1+0.362

0.722 =3.179

Tenemos:

F2−1=12 {3.179−[3.1792−4( 0.36

0.72 )2]

12}=0.0807

Para el cálculo de F2-(1,4) se utiliza la misma metodología:

R2=3650

=0.72

R1,4=3650

=0.72

S=1+ 1+0.722

0.722 =3.929

Tenemos:

F2−(1,4)=12 {3.929−[3.9292−4( 0.72

0.72 )2]

12}=0.2736

Por la regla de la superposición:

F2-(1,4) = F2-1 + F2-4

F2-4 = F2-(1,4) - F2-1

Tenemos:

F2-4 = 0.1929

Por la regla de reciprocidad:

A2 F2-1 = A1 F1-2

F1−2=A2

A1x F2−1

Tenemos:

F1-2 = 0.3228

Por la regla de la suma:

F1-1 + F1-2 + F1-3 + F1-4 = 1

F1-3 = 1 – (F1-1 + F1-2 + F1-4)

Tenemos:

F1-3 = 0.6772

Por la regla de reciprocidad:

A3 F3-1 = A1 F1-3

F3−1=A1

A3x F1−3

Tenemos:

F3-1 = 0.03047

Para el cálculo de F2-3 aplicamos la regla de la suma:

F2-1 + F2-2 + F2-3 + F2-4 = 1

F2-3 = 1 – (F2-1 + F2-2 + F2-4)

Tenemos:

F2-3 = 0.7264

Por la regla de reciprocidad:

A2 F2-3 = A3 F3-2

F1−2=A2

A3x F2−3

Tenemos:

F3-2 = 0.13075

Para el cálculo de F4-2 aplicamos la regla de reciprocidad:

A2 F2-4 = A4 F4-2

F4−2=A2

A4x F2−4

Tenemos:

F4-2 = 0.2572

Para el cálculo de F4-3 aplicamos la regla de la suma:

F4-1 + F4-2 + F4-3 + F4-4 = 1

F4-3 = 1 – (F4-1 + F4-2 + F4-4)

Tenemos:

F4-3 = 0.7428

Para el cálculo de F3-4 aplicamos la regla de reciprocidad:

A3 F3-4 = A4 F4-3

F3−4=A4

A3x F4−3

Tenemos:

F3-4 = 0.1003

Por ultimo hallamos el F3-3 con la regla de la suma:

F3-1 + F3-2 + F3-3 + F3-4 = 1

F3-3 = 1 – (F3-1 + F3-2 + F3-4)

Tenemos:

F3-3 = 0.73848

Por tanto la matriz de los factores de visión Fij (1≤i≤4 y 1≤j≤4) nos queda:

[ 0 0.3228 0.6772 00.0807 0 0.7264 0.1929

0.03047 0.13075 0.73848 0.10030 0.2572 0.7428 0 ]

Solución de la Parte (a):

Las superficies internas de la cavidad son negras a 620K, la tasa de calor que sale de A1:

Aplicando la ecuación:

La transferencia de calor neta por radiación que sale por la superficie 1:

Q̇1=A1σ (T14−T s

4)(F1−1+F1−2+F1−3+F1−4)

Q̇1=(2.54469 x 10−4)(5.67 x 10−8)(04−6204)(1)

Q̇1=−2.132W

La emisividad efectiva de acuerdo a la definición, queda:

ε 1=1

Solución de la Parte (b):

Para este caso tenemos que la superficie inferior de la cavidad es difusa y gris a 620K con una emisividad ε=0.6, las demás son rerradiantes. El análisis para para obtener Q̇1en la cavidad lo podemos hacer con las ecuaciones planteadas en la parte IV para superficies difusas y grises.

Para el área A2:

Eb2−J2

1−ε2

ε2 A2

=J 2−J1

1A2F2−1

+J 2−J3

1A2F2−3

+J2−J 4

1A2F2−4

Reemplazando:

8378.18−J2

1−0.60.6 (10.1788 x 10−4)

=J2−0

1(10.1788 x 10−4)0.0807

+J 2−J3

1(10.1788 x 10−4)0.7264

+J 2−J4

1(10.1788 x10−4)0.1929

12567.27−1.5J2=0.0807 J 2+(0.7264 J 2−0.7264 J 3)+(0.1929 J ¿¿2−0.1929 J 4)¿

12567.27=2.5J 2−0.7264 J3−0.1929 J 4

Para el área A3:

0=J3−J 1

1A3 F3−1

+J 3−J2

1A3F3−2

+J3−J 4

1A3F3−4

Reemplazando:

0=J3−0

1(56.5487 x 10−4)0.03047

+J 3−J2

1(56.5487 x10−4)0.13075

+J 3−J4

1(56.5487 x10−4)0.1003

0=0.03047 J 3+(0.13075 J¿¿3−0.13075 J 2)+(0.1003 J 3−0.1003 J 4)¿

0=0.26152 J 3−0.13075 J 2−0.1003 J 4

Para el área A4:

0=J 4−J 1

1A4 F4−1

+J4−J 2

1A4F4−2

+J 4−J3

1A4 F4−3

Reemplazando:

0=J 4−0

1(7.63411x 10−4)0

+J 4−J 2

1(7.63411 x10−4)0.2572

+J4−J3

1(7.63411 x10−4)0.7428

0=0+(0.2572 J 4−0.2572 J 2)+(0.7428 J 4−0.7428 J 3)

0=J 4−0.2572 J2−0.7428 J 3

Obtenemos por tanto un sistema de ecuaciones:

{12567.27=2.5 J2−0.7264 J 3−0.1929 J 4

0=0.26152 J3−0.13075J 2−0.1003 J 4

0=J 4−0.2572 J2−0.7428 J3

La solución será:

J2=7296.39 W/m2

J3=6107.62 W/m2

J4=6413.37 W/m2

Por tanto la transferencia de calor neta por radiación que sale por la superficie 1:

Q̇1=J 1−J2

1A1F1−2

+J1−J3

1A1F1−3

+J1−J 4

1A1F1−4

Reemplazando:

Q̇1=−7296.39

12.54469 x10−4(0.3228)

+ −6107.621

2.54469 x 10−4 (0.6772)

+ −6413.371

2.54469 x 10−4 (0)

Q̇1=−1.6518W

La emisividad efectiva:

Ɛe=−Q̇1

A1σ T4 = 1.6518

(2.54469 x 10−4)(5.67 x 10−8)(6204)=0.7748

Solución de la Parte (c):

Para este caso tenemos todas las superficies son difusas y grises con ε=0.6 y temperatura 620K. Se procede a resolver de la misma manera que el caso (b):

Tenemos:

Eb2=Eb3=Eb4=σT4=5.67 x10−8 (620 )4=8378.18W /m2

Para el área A2:

Eb2−J2

1−ε2

ε2 A2

=J 2−J1

1A2F2−1

+J 2−J3

1A2F2−3

+J2−J 4

1A2F2−4

Reemplazando:

8378.18−J2

1−0.60.6 (10.1788 x 10−4)

=J2−0

1(10.1788 x 10−4)0.0807

+J 2−J3

1(10.1788 x 10−4)0.7264

+J 2−J4

1(10.1788 x10−4)0.1929

12567.27−1.5J2=0.0807 J 2+(0.7264 J 2−0.7264 J 3)+(0.1929 J ¿¿2−0.1929 J 4)¿

12567.27=2.5J 2−0.7264 J3−0.1929J 4

Para el área A3:

Eb3−J3

1−ε3

ε3 A3

=J 3−J1

1A3F3−1

+J3−J 2

1A3F3−2

+J 3−J4

1A3F3−4

Reemplazando:

8378.18−J3

1−0.60.6 (56.5487 x10−4)

=J3−0

1(56.5487 x 10−4)0.03047

+J 3−J2

1(56.5487 x10−4)0.13075

+J 3−J 4

1(56.5487 x 10−4)0.1003

12567.27−1.5J3=0.03047 J 3+(0.13075 J¿¿3−0.13075 J 2)+(0.1003 J 3−0.1003J 4)¿

12567.27=1.76152 J3−0.13075 J2−0.1003 J 4

Para el área A4:

Eb4−J 4

1−ε4

ε 4 A4

=J4−J1

1A4 F4−1

+J 4−J2

1A4 F4−2

+J 4−J 3

1A4F4−3

Reemplazando:

8378.18−J 4

1−0.60.6 (7.63411 x10−4)

=J 4−0

1(7.63411x 10−4)0

+J4−J 2

1(7.63411 x10−4)0.2572

+J 4−J3

1(7.63411 x10−4)0.7428

12567.27−1.5J 4=0+(0.2572 J 4−0.2572 J2)+(0.7428 J 4−0.7428 J3)

12567.27=2.5J 4−0.2572 J2−0.7428 J3

Obtenemos por tanto un sistema de ecuaciones:

{ 12567.27=2.5J 2−0.7264 J3−0.1929 J 4

12567.27=1.76152 J 3−0.13075 J2−0.1003 J 4

12567.27=2.5 J4−0.2572J 2−0.7428 J 3

La solución será:

J2=8050.55 W/m2

J3=8204.07 W/m2

J4=8292.74 W/m2

Por tanto la transferencia de calor neta por radiación que sale por la superficie 1:

Q̇1=J 1−J2

1A1F1−2

+J1−J3

1A1F1−3

+J1−J 4

1A1F1−4

Reemplazando:

Q̇1=−8050.55

12.54469 x10−4(0.3228)

+ −8204.071

2.54469 x 10−4 (0.6772)

+ −8292.741

2.54469 x 10−4 (0)

Q̇1=−2.0751W

La emisividad efectiva:

Ɛe=−Q̇1

A1σ T4 = 2.0751

(2.54469 x 10−4)(5.67 x 10−8)(6204)=0.9733

VI. PROGRAMACIÓN EN MATLAB Y GRAFICAS:

a) PROGRAMA PARA RESOLVER EL PROBLEMA (Partes: a,b,c):

%% CAVIDAD CILINDRICA CERRADA CON ABERTURA AL MEDIO AMBIENTE % Solución de las partes (a)(b)(c) format short g% DATOS DEL PROBLEMATa = 0 ; % TEMP ALREDEDORES [K]d1 = 18e-3 ; % [m]d2 = 36e-3 ; %[m]d4 = d2 ; %[m]L = 50e-3 ; %[m]

sigm = 5.67e-8; % [W/m2.K] Cte Stefan-Boltzmann r1 = d1/2;r2 = d2/2;r4 = d4/2;% Cálculamos el área para cada superficie:A1 = pi/4*d1^2 ; % [m^2]A2 = pi/4*d2^2 ; % [m^2]A3 = pi*d2*L ; %[m^2]A4 = pi/4*d4^2 - A1; % [m^2] % CALCULO DEL NUMERO DE FACTORES DE FORMA: % N=número de superficies, N = 4 ;% N(N-1)/2 = 6 factores de forma% F11 + F12 + F13 + F14 = 1% F21 + F22 + F23 + F24 = 1% F31 + F32 + F33 + F34 = 1% F41 + F42 + F43 + F44 = 1 % FACTOR DE FORMA PARA DISCOS COAXIALES: Fab = Disco2Disco(ra,rb,L)% Donde por simple inspecciónF11 = 0 ;F14 = 0 ;F41 = 0 ;F22 = 0 ;F44 = 0 ;F21 = Disco2Disco(r2,r1,L);F12 = F21 * A2/A1 ;F2_14 = Disco2Disco(r2,r4,L);F24 = F2_14 - F21 ; % F(2->1+4) = F(2->1) + F(2->4) superposiciónF42 = F24 * A2/A4 ;F23 = 1 -(F21 + F22 + F24);F32 = F23 * A2/A3 ;F43 = 1 -(F41 + F42 + F44);F34 = F43 * A4/A3 ;F13 = 1 -(F11 + F12 + F14);F31 = F13 * A1/A3 ;F33 = 1 -(F31 + F32 + F34); % Matriz factores de formaF = [F11 F12 F13 F14; F21 F22 F23 F24 ;... F31 F32 F33 F34 ; F41 F42 F43 F44]; % emisividades % (a) (b) (c) e = [ 1 1 1 ; ... % A1 1 0.6 0.6 ; ... % A2 1 NaN 0.6 ; ... % A3 1 NaN 0.6 ]; % A4 [n,m]=size(e);% Temperaturas de las superficies

% A1 A2 A3 A4T = [0 620 620 620] ; % [K] % Vector de areasA = [A1 A2 A3 A4]; K=zeros(n);C=zeros(1,n); for p=1:m for i=1:n % Factor Ci = (1-ei)/ei ; C(i) = (1 - e(i,p))/e(i,p) ; % Factor Kii = 1 + Ci K(i,i) = 1 + C(i) ; I = eye(n); if isnan(C(i))==1 for j=1:n M(i,j)= I(i,j)-F(i,j) ; end B(i,1)= 0 ; else % Factor M(i,j)= -Ci*Fij + Kij for j=1:n M(i,j)= -C(i)*F(i,j) + K(i,j) ; end B(i,1)= sigm*T(i).^4 ; end end % Columna de Constantes sigm*Ti^4: B % Solución: [J1 J2 J3 J4] J = M\B; % Coleción de soluciones SJ(p,:) = J' ; % Para todos los casos la emisividad efectiva: Ee = -q1/(A1*sigm*T^4) % donde q1 = sum(A1 * F1j *(J1 - Jj)) q1 = 0 ; for j=1:n q1 = q1 + A1 * F(1,j) * (J(1)-J(j)); end % Coleción de q1 Q1(p) = q1 ; Ee(p) = -q1/(A1*sigm*T(2)^4); end fprintf('----------------------------------------------------------------\n');fprintf(' J1 J2 J3 J4 Q1 Ee\n');fprintf('-----------------------------------------------------------------\n');fprintf('(a) %4.3f %4.3f %4.3f %4.3f %4.3f %4.3f \n',SJ(1,1),SJ(1,2),SJ(1,3),SJ(1,4),Q1(1),Ee(1));

fprintf('(b) %4.3f %4.3f %4.3f %4.3f %4.3f %4.3f \n',SJ(2,1),SJ(2,2),SJ(2,3),SJ(2,4),Q1(2),Ee(2));fprintf('(c) %4.3f %4.3f %4.3f %4.3f %4.3f %4.3f \n',SJ(3,1),SJ(3,2),SJ(3,3),SJ(3,4),Q1(3),Ee(3));

Resultados:

b) PROGRAMA PARA LAS GRAFICAS (Parte d):

%% CAVIDAD CILINDRICA CON ABERTURA EN LA PARTE SUPERIOR%Se variará la profundidad de la cavidad%Parte (d) del ejercicio: format short g% DATOS DEL PROBLEMATa = 0 ; % Temperatura de alrededores [K]d1 = 18e-3 ; % [m]d2 = 36e-3 ; % [m]d4 = d2 ; % [m]L = [20 40 80]*1e-3; % Valores de profundidad [m]Ln=length(L);E = 0.6:0.01:1; % Vector de emisividad;Le = length(E);sigm = 5.67e-8; % [W/m2.K] Cte Stefan-Boltzmann r1 = d1/2;r2 = d2/2;r4 = d4/2;% Cálculo de el área de cada una de las superficiesfor l=1:Ln for t=1:Le A1 = pi/4*d1^2 ; % [m^2] A2 = pi/4*d2^2 ; % [m^2] A3 = pi*d2*L(l) ; % [m^2] A4 = pi/4*d4^2 - A1; % [m^2] % CALCULO DEL NUMERO DE FACTORES DE FORMA %N=numero de superficies; N=4 % N(N-1)/2 = 6 % F11 + F12 + F13 + F14 = 1 % F21 + F22 + F23 + F24 = 1 % F31 + F32 + F33 + F34 = 1

% F41 + F42 + F43 + F44 = 1 % FACTOR DE FORMA ENTRE DISCOS COAXIALES: Fab = Disco2Disco(ra,rb,L) % Por simple inspeccion: F11 = 0 ; F14 = 0 ; F41 = 0 ; F22 = 0 ; F44 = 0 ; F21 = Disco2Disco(r2,r1,L(l)); F12 = F21 * A2/A1 ; F2_14 = Disco2Disco(r2,r4,L(l)); F24 = F2_14 - F21 ; % F(2->1+4) = F(2->1) + F(2->4) superposición F42 = F24 * A2/A4 ; F23 = 1 -(F21 + F22 + F24); F32 = F23 * A2/A3 ; F43 = 1 -(F41 + F42 + F44); F34 = F43 * A4/A3 ; F13 = 1 -(F11 + F12 + F14); F31 = F13 * A1/A3 ; F33 = 1 -(F31 + F32 + F34); % Matriz factores de forma F = [F11 F12 F13 F14; F21 F22 F23 F24 ;... F31 F32 F33 F34 ; F41 F42 F43 F44]; % emisividades de las superficies % (b) (c) e = [ 1 1 ; ... % A1 E(t) E(t) ; ... % A2 NaN E(t) ; ... % A3 NaN E(t) ]; ... % A4 [n,m]=size(e); % Temperaturas de las superficies % A1 A2 A3 A4 T = [0 620 620 620] ; %K % Vector de areas A = [A1 A2 A3 A4]; K=zeros(n); C=zeros(1,n); for p=1:m for i=1:n % Factor Ci = (1-ei)/ei ; C(i) = (1 - e(i,p))/e(i,p) ; % Factor Kii = 1 + Ci K(i,i) = 1 + C(i) ; I = eye(n); if isnan(C(i))==1

for j=1:n M(i,j)= I(i,j)-F(i,j) ; end B(i,1)= 0 ; else % Factor M(i,j)= -Ci*Fij + Kij for j=1:n M(i,j)= -C(i)*F(i,j) + K(i,j) ; end B(i,1)= sigm*T(i).^4 ; end end % Columna de Constantes sigm*Ti^4: B % Solución: [J1 J2 J3 J4] J = M\B; % Coleción de soluciones % Para todos los casos la emisividad efectiva: Ee = -q1/(A1*sigm*T^4) % donde q1 = sum(A1 * F1j *(J1 - Jj)) q1 = 0 ; for j=1:n q1 = q1 + A1 * F(1,j) * (J(1)-J(j)); end % Coleción de q1 Ee(p,t,l) = -q1/(A1*sigm*T(2)^4); % emisividad efectiva end endend plot(E,Ee(1,:,1),'r',E,Ee(1,:,2),'k',E,Ee(1,:,3),'b')xlabel('Emisividad de la superficie inferior');ylabel('Emisividad efctiva')grid on figure(2);plot(E,Ee(2,:,1),'r',E,Ee(2,:,2),'k',E,Ee(2,:,3),'b')xlabel('Emisividad de las superficies internas');ylabel('Emisividad efctiva')grid on

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 10.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

Emisividad de la superficie inferior

Em

isiv

idad

efc

tiva

20mm40mm80mm

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 10.95

0.955

0.96

0.965

0.97

0.975

0.98

0.985

0.99

0.995

1

Emisividad de las superficies internas

Em

isiv

idad

efc

tiva

20mm40mm80mm

VII. BIBLIOGRAFIA:

Transferencia de Calor y Masa – Cengel 4Ed. Fundamentos de transferencia de Calor y Masa – Incropera 4Ed.