Problema de los tres puntos:

El problema de Pothenot también conocido como problema de tres puntos se basa en

la posición de puntos referidos a una red de triangulación.

La ventaja de resolver el problema de Pothenot es que ya se tiene ángulos conocidos

como ser los lados de la red y los ángulos internos de dicha red.

Este procedimiento es aplicable especialmente cuando el punto por situar esta muy

alejado de los puntos conocidos o estando cerca las medidas de las distancias a esos

puntos conocidos son difíciles de hacer o resultan imprecisas por obstáculos en el

terreno.

Se entiende por problema de tres puntos o Pothenot a la forma metodológica de

determinar el posicionamiento de cualquier punto que este dentro del área circundante

del levantamiento topográfico realizado en base a una triangulación.

Con frecuencia se presenta en los trabajos topográficos la necesidad de establecer las

coordenadas exactas de un punto en el área de levantamiento, por ello el problema de

Pothenot es útil en la resolución rápida y exacta del posicionamiento de cualquier

punto.

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE TRES PUNTOS:

Existen dos métodos:

Solución Analítica

Solución Grafica

1. SOLUCIÓN ANALÍTICA

Entre los métodos analíticos están: Método De Las Cotangentes,

Método De La Función Auxiliar y Método De Las Coordenadas Del

Punto.

Se ubica los lados de apoyo de la red de triangulación que van a servir

para resolver el problema, determinando los tres vértices consecutivos

de apoyo.

Ubicar exactamente el punto P en la posición que desea determinar

respecto a la red de triangulación.

Haciendo estación en el punto P y trazando alineamientos en los

vértices de apoyo se forman dos direcciones desconocidas que se

denominan P1 y P2 cuyos valores los debemos determinar en campo

siguiendo uno de los métodos conocidos el de reiteración y repetición y

cinco lecturas como mínimo para cada ángulo.

Se realizara el procedimiento en gabinete que consta de los siguientes

puntos.

MÉTODO COTANGENTES:

X+Y=R=360 °−(M+P1+P2)

Ctg X=Ctg R( mSen P2n SenP1 .cosR

+1)

CtgY=CtgR ( n SenP1msin P2 .cosR

+1)MÉTODO DE LA FUNCIÓN AUXILIAR

X+Y2

=180−12(M+P1+P2)

Tomando el ángulo auxiliar L, tal que:

Tg L=m. sin P2n .sin P1

Tg( X−Y2 )=Tg( X+Y

2 ) .Ctg(45 °+ L)

MÉTODO DE LAS ECUACIONES DE LAS COORDENADAS DEL

PUNTO P

K=Y cCotg P2+Xc−X A+Y ACotg P1X cCotg P2−Y c+Y A+X ACotg P1

X=Y C (K+Cotg P2)+XC(1−KCotg P2)

(1−k2 )

Y=KX

Ejemplo:

Calcular las coordenadas del punto P:

a. DATOS:

AB=m=71.258

BC=n=45.791

A :N=1800 ; E=1900

B:N=1728.840 ;E=1896.271

C :N=1726 .605 ; E=1850 .534

α=P1=49 °29 ´ 19.6 ´ ´

β=P2=28 ° 35 ´ 29.6 ´ ´

AzAB=183°

b. COORDENADAS:

A .B ,C , P

Resolucion:

cos=m2+n2−AC2

2×m×n

Calculando AC=88.508

cosM=−0.101

M=95 ° 47 ´ 49.18 ´ ´

Cálculo de los ángulos: X, Y, por la fórmula de cotangente

X+Y=R=360 °−(M+P1+P2)

X+Y=R=360 °−(95 ° 47 ´ 49.18´ ´+49 ° 29´ 19.6 ´ ´+28 °35 ´ 29.6 ´ ´ )

X+Y=R=186 ° 7 ´ 21.62 ´ ´

Ctg X=Ctg R( 71.258×Sen(28 ° 35´ 29.6 ´ ´ )45.791×Sen(49° 29 ´ 19.6 ´ )× cos186 °7 ´ 21.62 ´ ´

+1)Ctg X=340101/−340615

2.001

2. SOLUCIÓN GRAFICA

De los métodos gráficos se tiene: Método Del Llano, Método Del Catastro Urbano De Leipzig y Método De Bessel.Método de Bessel

Método del Catastro de Leipzig o Método de las Perpendiculares

PROBLEMA DEL POTHENOT AMPLIADO

Con frecuencia al tomar puntos auxiliares, no solamente es necesario

tomar un solo punto auxiliar sino que se hace menester tomar dos o

más puntos, tal como lo indica la siguiente figura. Se denomina

Pothenot Ampliado, por ser mas de uno los puntos a determinar; los

métodos de solución pueden ser gráficos o analíticos.

SOLUCIONES ANALITICAS AL PROBLEMA DEL POTHENOT

AMPLIADO

METODO DE LAS COTANGENTES:

Sea la siguiente figura:

Distancias:

AB=m

BC=n

Ángulos:

M ,P1 ,P2 ,Q1 ,Q 2

Incógnitas:

X ,Y

En el polígono: A B C Q P, se tiene:

X+Y=R=540 °−(M+P1+P2+Q1+Q2 )… ..(I )

Asi mismo:

CotgX=CotgR( mSenP1SenQ2nSen P1SenQ1CosR

+1)CotgY=CotgR( nSen P1SenQ1

mSenP2SenQ 2CosR+1)

METODO DE LA FUNCION AUXILIAR:

Del polígono A B C Q P se tiene:

X+Y2

=270 °−12(M+P1+P2+Q1+Q2)

Adoptando el angulo auxiliar “L”, tal que:

Tg L=mSenP2SenQ2nSenP1SenQ1

Por desarrollos y transformaciones análogas a las seguidas en el

problema de los tres puntos y para el mismo método, es posible llegar a:

X+Y2

=270 °−12(M+P1+P2+Q1+Q2)