probabilité · 2020. 3. 15. · probabilité c.jerry université moulay ismail faculté des...

Probabilité

C.JERRY

Université Moulay IsmailFaculté des Sciences Juridiques Economiques et Sociales de Meknes

March 4, 2020

Table des Matières IAnalyse combinatoire/Dénombrement

Principe multiplicatifArrangementPermutationCombinaison

Théorie des ensembles et de probabilitéNotions sur la théorie des ensemblesNotions générales :(Vocabulaire probabiliste)Notion de probabilitéProbabilités conditionnelles et composées

Variable aléatoireDéfinition généraleVariable aléatoire discrèteVariable aléatoire continue

Lois de Probabilité UsuellesLois Usuelles DiscrètesLois Usuelles Continue

Dénombrement

Définition:L’analyse combinatoire est le développement de quelquestechniques permettant de déterminer le nombre de résultatpossibles à la réalisation d’une experience où d’un évenementparticulier. Elle permet de recenser les dispositions qu’il estpossible de former à partir d’un ensemble donné d’éléments.une disposition est un sous ensembles ordonnées ou non d’unensemble. Les techniques de dénombrements sont utiles pourle calcul de probabilité des événements équiprobables.

Principe multiplicatif

Soit une expérience qui comporte 2 étapes : la 1ère qui a présultats possibles et chacun de ces résultats donne lieu à qrésultats lors de la 2ème étape. Alors l’expérience a p × qrésultats possibles. Autrement dit : Le principe multiplicatif peuts’énoncer ainsi : si un événement A peut se produire de pfaçons et si un événement B peut se produire de q façons, laréalisation de A suivie de B peut se produire de p × q façons.I Si chacune des étapes d’un choix séffectue avec chacune

des autres, on applique alors la règle de multiplication.Par contre,I Si un choix peut se faire ou bien d’une façon ou bien d’une

autre, on applique la règle d’addition.

Principe multiplicatif: Exemple

Conséquences

Si une expérience consiste à répéter n fois de façonsindépendantes une même expérience qui a p résultatspossibles, alors on a pn = p × p × p · · · × p ( n fois) résultatspossibles.

Exemple

Une urne contient 4 boules, une noire, une blanche, une rougeet une verte. On effectue deux tirages successifs avec remise.Combien y-a-t-il de résultats possibles ? Au total il y a4× 4 = 16.

Arrangement sans répétition

DéfinitionUn arrangement de p éléments parmi n, désigne toutedisposition ordonnée de p éléments distincts parmi n élémentsdistincts (la répétition n’étant pas permise). C’est une façon deranger p éléments distincts pris parmi n éléments distincts entenant compte de l’ordre. Le nombre d’arrangement de p objets

pris parmis n est noté: Apn =

n!

(n − p)!

Remarque

I On a nécessairement 1 ≤ p ≤ n et n,p ∈ N∗.I Si n < p, alors Ap

n = 0.I Deux arrangementsde p objets sont donc distincts s’ils

diffèrent par la nature des objets qui les composent ou parleur ordre dans la suite

Arrangement sans répétition: Exemple

Exemple

Considérons 7 personnes qui sont candidats pour occuper 3postes. De conbien de façon différentes peut-on pourvoir ces 3postes.I Pour le 1er poste on a 7 possibilités.

I Pour le 2ème poste on a 6 possibilités.

I Pour le 3ème poste on a 5 possibilités.Au total, il y a 7× 6× 5 = 210 = A3

7 possibilités.

Arrangement avec répétitionDéfinitionLorsque un objet peut être observé plusieurs fois dans unarrangement, le nombre d’arrangement avec répétition de pobjets pris parmis n est alors: np avec 1 ≤ p ≤ n

Remarque

I Pour le première objet tiré, on a n possibilités.I Pour le deuxième objet tiré, on a n possibilités.

de proche en proche on a :

I Pour le pème objet tiré, on a n possibilités.Ainsi, au total il y a :

n × n × n × n · · · × n︸︷︷︸ = np

p fois

Arrangement avec répétition: Exemple

Exemple

Le nombre de code possible de 4 chiffres pour accéder aucompte bancaire en utilisant une carte de guichet est:

10× 10× 10× 10 = 104

Pour chaque chiffre du code en question il y’a 10 numérospossible de 0 à 9.

Permutation sans répétition

DéfinitionUne permutation de n éléments distincts est une dispositionordonnée de ces n éléments. Le nombre de permutation sansrépétition de n objets est:

Pn = n! = n × (n − 1)× (n − 2)× · · · × 3× 2× 1

Remarque

La permutation sans répétition de n objets constitue un casparticulier d’arrangement sans répétition de p objets pris parmin lorsque n = p. Ainsi le nombre de permutation sans répétitionde n objets est:

Ann =

n!

(n − n)!= n!

Permutation sans répétition: Exemple

Exemple

Considérons 4 personnes qui prennent places successivementsur un bac à 4 places. Combien de dispositions ordonnées(c.à.d permutations sans répétition) existe-t-il ?I La première personne a le choix entre 4 places =⇒ 4

dispositions possibles pour cette personne.I La deuxième personne n’a le choix qu’entre 3 places =⇒

4× 3 dispositions possibles pour ces deux personnes.I La troisième personne n’a le choix qu’entre 2 places =⇒

4× 3× 2 dispositions possibles pour ces trois personnes.I La quatrième personne n’a le choix qu’entre une seule

place =⇒ 4× 3× 2× 1 dispositions possibles pour cespersonnes.

Ainsi, le nombre de dispositions ordonnées (permutations sansrépétition) est donc : P4 = 4× 3× 2× 1 = 24.

Permutation avec répétition

DéfinitionLe nombre de permutation avec répétition de n objets dont n1sont semblables, n2 sont semblables, · · · , nk sont semblablesest :

n!

n1!n2! · · · nk !.

En effet, les permutations de k objets identiques sont toutesidentiques et ne comptent que pour une seul permutation.

Permutation avec répétition: Exemple

Exemple

Considérons le mot "CELLULE". Le nombre de mots possible(avec ou sans signification) que l’on peut écrire en permutantces 7 lettres est:

7!

2!3!= 420 mots possibles.

En considérant deux groupes de lettres identiques: L(3 fois) etE(2 fois).

Combinaison sans répétition

DéfinitionUne "combinaison sans répétitions" est une suitenon-ordonnée (dont l’ordre ne nous intéresse pas!) de péléments tous différents choisis parmi n objets distincts et estpar définition notée:

Cpn =

n!

p!(n − p)!

Combinaison sans répétition: Propriétés et exemple

Remarque et propriétés

On a nécessairement 1 ≤ p ≤ n et n,p ∈ N∗.I Si n < p, alors Cp

n = 0.I C0

n = Cnn = 1.

I Cpn+1 = Cp−1

n + Cpn

I (a + b)n =n∑

k=0

Ckn akbn−k Formule de Binôme de Newton.

Exemple

La formation d’une déléguation de 5 personnes parmi ungroupe de 50 constitue une combinaison avec p = 5 et n = 50.Donc le nombre de délégation possible est: C5

50 = 2118760

Combinaison avec répétition

DéfinitionUne "combinaison avec répétitions" de p éléments parmi n estune collection de p éléments non ordonnée, et nonnécessairement distincts. Le nombre de combinaison de pobjets parmi n avec répétition est:

Cpn+p−1 =

(n + p − 1)!

p!(n − 1)!

Combinaison avec répétition: Exemple

Exemple

Introduisons ce type de combinaison directement avec unexemple et une approche ingénieuse que l’on doit au physicienprix Nobel de physique 1938: Enrico Fermi.Considérons a,b, c,d ,e, f un ensemble ayant un nombre nd’éléments égal à 6 et dont nous tirons un nombre p égal à 8.Nous souhaiterions calculer le nombre de combinaisons avecrépétitions des éléments d’un ensemble de départ de cardinal 6dans une ensemble d’arrivée de cardinal 8. Donc le nombre decombinaison avec répétition est:

C86+8−1 = C8

13 = 1287

Notions sur la théorie des ensembles

Définitions et propriétés

I Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments.I L’ensemble vide noté ∅ est l’ensemble qui ne contient

aucun élément.I Soit Ω un ensemble. Un ensemble A est dit un

sous-ensemble de Ω ou une partie de Ω si tous leséléments de A sont des éléments de Ω.

L’ensemble des parties de Ω est noté P(Ω).

Exemple

Donner l’ensemble des parties de Ω = a,b, c.P(Ω) = a,b, c, a,b, a, c, b, c, a, b, c, ∅.

Notions sur la théorie des ensembles

Définitions et propriétés

Soient Ω, A,B ∈ P(Ω)

I Inclusion : A ⊂ B signifie que tous les éléments de A sontdans B.A * B signifie qu’il existe au moins un élément de An’appartient pas à B.

I Complémentaire : A est l’ensemble des éléments quin’appartiennent pas à A appelé complémentaire de A.

Vocabulaire probabiliste

Epreuve aléatoire

C’est une expérience qu’on peut répéter dans les mêmesconditions et qui donne plusieurs résultas.

Exemple

Lancer un dé - le jeu de pile ou face.


L’univers des éventualitésC’est l’ensemble des résultats possibles d’une épreuve et on lenote par Ω ( On l’appelle aussi l’ensemble fondamental).

Exemple

Si on lance un dé, l’univers Ω est l’ensembleΩ = 1,2,3,4,5,6.


EvénementC’est la réalisation d’une ou plusieures éventualités lors del’examen des résultats d’une épreuve. Autrement dit, c’est unsous-ensemble ou partie de l’univers Ω. Si un évenementcontient un seul élément, on l’appelle événement élémentaire.

Exemple

Si on lance un dé, l’univers Ω peut être décomposé en deuxévénements :I chiffre pair : E1 = 2,4,6.I chiffre impair : E2 = 1,3,5.


Remarque

I Un événement impossible noté ∅, n’est jamais réalisé.I L’événement Ω est appelé événement certain (car il est

toujours réalisé).

Relation logique entre les événements

Définition: événement complémentaire

Soit A une partie de Ω. Le complémentaire de A, égalementpartie de Ω noté A, est l’ensemble des résultats qui conduit à laréalisation de l’événement contraire de A. c.à.d., A est réalisési et seuleument si A n’est pas réalisé.

⇓

A = CAΩ = Ω\A

A est appelé aussi l’événement contraire.


Exemple: Complémentaire d’événement

Soit l’épreuve qui consiste à lancer un dé. Désignons Al’événement "obtenir un nombre pair".A = 2,4,6 ⇒ A = 1,3,5.


Définition: Intersection d’événementL’intersection de deux événements A et B d’un même universΩ, noté A ∩ B, est l’événement qui est réalisé si A et B sontréalisés.


Exemple: Intersection

On lance un dé et on note la face visible. Soient lesévénementsI A : "Obtenir un nombre pair", i.e., A = 2,4,6.I B : "Obtenir un nombre > 3", i.e., B = 4,5,6.

Alors l’événement A ∩ B : "Obtenir un nombre pair et> 3"= 4,6.

Définition: Evénements incompatibles

Deux événements A et B d’un même univers Ω, sont ditsincompatibles (disjoints) si A ∩ B = ∅ (c.à.d., leur réalisationsimultannée est impossible).


Définition: Réunion des événementsLa réunion de deux événements A et B d’un même univers Ω,notée A ∪ B, est l’événement qui est réalisé si A ou B sontréalisés.


Exemple: Union

Un dé est lancé et on note le chiffre de la face invisible.I Soit l’événement A : "obtenir un chiffre pair", i.e.,

A = 2,4,6.I Soit l’événement B : "obtenir un chiffre divisible par 3" i.e.,

B = 3,6.Alors l’événement A ∪ B = 2,3,4,6 : "obtenir un chiffre pairou divisible par 3".Considérons maintenant l’événemnt C : "obtenir un chiffreinférieure ou égal à 2" = 1,2. Alors l’événementB ∪ C = 1,2,3,6.


Remarque

I A ∪ A = A ; A ∩ A = A ; A ∪ ∅ = A ; A ∩ ∅ = ∅.I Si A ⊂ B alors A ∪ B = B et A ∩ B = A.

Remarque

I A\B = A ∩ B est l’ensemble des éléments quiappartiennent à A et qui n’appartiennent pas à B.


Proposition

Soient A,B,C des parties de Ω, on a :I A ∪ B = B ∪ A.I A ∩ B = B ∩ A.I A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).I A ∩ (B ∪ c) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).I A ∩ B = A ∪ B.I A ∪ B = A ∩ B.

Notion de probabilité

DéfinitionSoit (Ω; P) un espace probabilisable. Une probabilité P est uneapplication P : E −→ [0,1] où E est l’ensemble desévénements, telle que:I P(Ω) = 1.I Soit A et B deux événements tels que A ∩ B = ∅ on a

P(A ∪ B) = P(A) + P(B).I Si A0, A1, · · · , An, · · · est une suite dénombrable

d’événements incompatibles deux à deux, alors :

P

(∞⋃i=0

Ai

)=∞∑

i=0

P(Ai).


Remarque

La probabilité de l’événement certain est égale à 1, c.à.d.,P(Ω) = 1, et ce qui implique que pour tout événement A on a :

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Dans la suite on suppose que (Ω,P) est un espace probabilisé,c.à.d, P une probabilité sur Ω.


Probabilité de l’événement contraireSoit un événement A et son contraire A. Alors

P(A) = 1− P(A)

Remarque

la probabilitée de l’événement impossible est nulle, c.à.d.,P(∅) = 0.

Théorème des probabilités totalesL’objectif est de calculer P(A ∪ B) dans le cas où les deuxévénements A et B sont non incompatibles, puisque dans cecas l’axiome des probabilités ne s’applique pas.

ThéorèmeSoient A et B deux événements quelconques d’un univers Ω.Alors

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).

Théorème des probabilités totalesExemple

Un dé non équilibré a été lancé un grand nombre de fois. Lesprobabilités des événements suivants ont été relevées :

Evénement 1 2 4 5 chiffre pairProbabilité 0,1 0,1 0,2 0,2 0,6

Calculer la probabilités de l’événement : "obtenir un chiffre pair ousupérieur ou égal à 5".

SolutionConsidérons les événements suivants :A : "obtenir un chiffre pair ou ≥ 5". B : "obtenir un chiffre pair".D : "obtenir un chiffre ≥ 5" .D’après le théorème des probabilités totales on a :P(A) = P(B ∪ D) = P(B) + P(D)− P(B ∩ D).Or P(B) = 0,6 = P(2) + P(4) + P(6) d’où P(6) = 0,3,P(D) = P(5) + P(6) = 0,5 et P(B ∩ D) = P(6) = 0,3, ainsi ona P(A) = 0,8.

Calcule de probabilité d’événement

DéfinitionSoit Ω = w1,w2, · · · ,wn un ensemble fini. L’équiprobabilitécorrespond au cas où tous les événements élémentaires de Ωont la même probabilité de se réaliser.

Proposition

Soit Ω un ensemble fini et A ∈ P(Ω), où les événementsélémentaires sont équiprobables. Alors

P(A) =nombre d’élément de Anombre d’élément de Ω

=nombre de cas favorables à la réalisation de A

nombre de cas possibles

Calcule de probabilité d’événementExemple

On lance un dé équilibré et on note le chiffre de la face visible.Calculer la probabilité d’obtenir le chiffre 6, un chiffre < 6, lechiffre 2 ou 6.Solution:L’univers Ω = 1,2,3,4,5,6 et les événements sontéquiprobables. Soient A l’événement : "obtenir le chiffre 6", Bl’événement : "obtenir le chiffre < 6" et C l’événement : "obtenirle chiffre 2 ou 6". Alors on a :

P(A) =nombre d’élément de Anombre d’élément de Ω

=16

P(B) =nombre d’élément de Bnombre d’élément de Ω

=56

P(C) =nombre d’élément de Cnombre d’élément de Ω

= P(2) + P(6) =26

=13

Probabilités conditionnellesSoient un espace probabilisé Ω, A et B deux événements telsque P(A) 6= 0 et P(B) 6= 0.

Définition: Probabilités conditionnellesLa probabilité de réalisation d’un événement A sachant qu’unévénement B est réalisé est appelée probabilité conditionnellede A sachant B et notée P(A/B) ou PB(A) et a pour expression:

P(A/B) =P(A ∩ B)

P(B)

Exemple:

Une personne lance un dé équilibré sans voir le résultat. Untémoin l’informe qu’il s’agit d’un résultat différent de 5. Quelleest la probabilité que le résultat soit un chiffre impair ?

Probabilités conditionnelles

Solution:Notons A l’événement: "Obtenir un chiffre impair" et Bl’événement: "obtenir un chiffre différent de 5". Alors,

P(A) = P(1,3,5) =36

=12

et P(B) = P(1,2,3,4,6) =56

L’événement A ∩ B := "obtenir un chiffre impair différent de 5",d’où P(A ∩ B) = P(1,3) = 2

6 = 13 .

Probabilités conditionnelles

Solution: SuiteLe fait de disposer de l’information supplémentaire relative à laréalisation de l’événement B, réduit la possibilité aux chiffres1,2,3,4,6, parmi lesquels seuls 1 et 3 sont impairs. Il y adonc deux chances sur cinq d’avoir un chiffre impair sachantque le résultat est différent de 5. En utilisant la formule on peutaussi le vérifier:

P(A/B) =P(A ∩ B)

P(B)=

1,31,2,3,4,6

=2/65/6

=25

Probabilités composéesDéfinition: Probabilités composées

Les probabilités conditionnelles permettent de calculer laprobabilité composée de deux événements.La probabilité composée est la probabilité de réalisersimultanément deux événements A et B, et on la noteP(A ∩ B), et on a

P(A ∩ B) = P(B)P(A/B) = P(A)P(B/A).

Définition: Evénements indépendants

Les probabilités conditionnelles permettent d’expliquer mieux ladéfinition d’indépendance de deux événements. Intuitivement,deux événements sont indépendants si la réalisation de l’unn’influe pas la réalisation de l’autre, ce qui peut se traduire par

P(A∩B) = P(A)×P(B)⇒ P(A/B) = P(A), ou par P(B/A) = P(B).

Probabilité TotalThéorème: Probabilité TotalSoient A et B deux événements de Ω tels qu’on sait calculerP(B); P(B); P(A/B); P(A/B) alors on a:

P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B) = P(B)P(A/B) + P(B)P(A/B)

D’une manière général, soient B1,B2, · · · ,Bn des événementsincompatibles deux à deux (Bi ∩ Bj = ∅ ∀i 6= j), et tel queB1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn = Ω. Soit A un événement de probabilité nonnulle. Les informations connues sont:• La probabilité de chacune des événements :P(B1),P(B2), · · · ,P(Bn).• La probabilité de réalisations de A sachant chacune desévénements Bi sont réalisés: P(A/B1),P(A/B2), · · · ,P(A/Bn).

P(A) =n∑

j=1

P(Bj)P(A/Bj)

Théorème de BayesThéorème: Formule de Bayes

Soient A et B deux événements de Ω tels qu’on sait calculerP(B); P(B); P(A/B); P(A/B)

P(B/A) =P(B)P(A/B)

P(B)P(A/B) + P(B)P(A/B)

Preuve:

P(B/A) =P(A ∩ B)

P(A)=

P(B)P(A/B)

P(A ∩ (B ∪ B))

=P(B)P(A/B)

P(A ∩ B) + P(A ∩ B))

=P(B)P(A/B)

P(B)P(A/B) + P(B)P(A/B)

Théorème de Bayes

Théorème: Formule de Bayes(cas général)

D’une manière général, soient A1,A2, · · · ,An des événementsincompatibles deux à deux (Ai ∩ Aj = ∅ ∀i 6= j), et tel queA1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An = Ω. Soit B un événement de probabilité nonnulle. Les informations connues sont:• La probabilité de chacune des événements :P(A1),P(A2), · · · ,P(An).• La probabilité de réalisations de B sachant chacune desévénements Ai sont réalisés: P(B/A1),P(B/A2), · · · ,P(B/An).Le théorème de Bayes permet de calculer la probabilité del’événement Ai sachant que l’événement B soit réalisé:P(Ai/B).

P(Ai/B) =P(Ai)P(B/Ai)

n∑j=1

P(Aj)P(B/Aj)

.

Théorème de Bayes

Exemple:

Le personnel d’une entreprise est composée de 80% defemmes. On sait que 8% de ces femmes ont une formationsupérieure et que 24% des hommes ont une formationsupérieure.I Quelle est la proportion de personnel ayant une formation

supérieure ?I Sachant qu’il a une formation supérieure, quelle est la

probabilité qu’un employé soit une femme?

Théorème de Bayes

Solution:Considérons les évévenements suivants :• A : "Etre un employé femme".• B : "Etre un employé de formation supérieure".Donc, on a :P(A) = 0,8; P(B/A) = 0,08; P(A) = 0,2; P(B/A) = 0,24.• Alors:

P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ A) = P(A)P(B/A) + P(A)P(B/A)

• Ainsi on aura

P(A/B) =P(A)P(B/A)

P(B)P(A/B) + P(A)P(B/A)

Variable aléatoire

Dans beaucoup de situations, le détail du résultat d’uneexpérience aléatoire ne nous intéresse pas, mais seulementune valeur numérique fonction de ce résultat. Par exemple, onpeut se demander quel est le nombre de pannes d’unordinateur sur une durée d’un an, sans être intéressé par lesdates auxquelles ont lieu ces pannes. Etudions un exempleplus simple:

Variable aléatoire

Exemple

Soient deux joueurs A et B. L’un des deux lance un dé et onnote la face visible.Si on obtient 1 ou 6, alors le joueur A donne 1 Dh au joueur B.Si on obtient 2, 3 ou 5, alors le joueur B donne 2 Dh au joueurA. Si on obtient 4, alors la partie est nulle.Notons X le gain du joueur A.X dépend du hasard, plus particulièrement du résultat dulancer de dé. On dira que X est une variable aléatoirepuisqu’elle dépend du hasard.Dans ce cas l’univers Ω = 1,2,3,4,5,6 et X dépend desévénements de Ω et peut prendre les valeurs −1,0,2.

X (1) = X (6) = −1; X (2) = X (3) = X (5) = 2; X (4) = 0.

Variable aléatoireExemple

X : Ω −→ Rw 7−→ X (w)

Ainsi, X est une application numérique de Ω dans R.Le dé étant non truqué, les événements élémentaires de Ω

sont équiprobables, P(i) =16, i = 1,2,3,4,5,6.

On veut savoir la probabilité que le joueur A gagne 2 Dh. On a

P(X = 2) = P[w tel que X (w) = 2] = P[X−1(2)] = P(2,3,5) =12.

et aussiP(X = 1) =

13,P(X = 0) =

16.

Ainsi, à chaque valeur de X on peut associer une probabilité.Cette correspondance s’appelle loi de probabilité de X .

Variable aléatoire

DéfinitionSoit Ω un univers sur lequel on a défini une probabilité P. Onappelle variable aléatoire réelle X , toute application

X : Ω −→ Rw 7−→ X (w)

.

On note :I [X = xi ] = w ∈ Ω tel que X (w) = xi est un événement

de l’univers Ω.I X (Ω) = x ∈ R / ∃w ∈ Ω tel que X (w) = x. Autrement

dit, X (Ω) désigne l’ensemble des valeurs que peut prendreX .

Variable aléatoire discrète

DéfinitionUne variable aléatoire est dite discrète s’elle peut prendre unnombre fini ou infini dénombrable de valeurs.

Exemple

Jet de deux dés, la somme S des deux dés est une variablealéatoire discrète à valeur dans 2,3,4,5,6, · · · ,12.

Variable aléatoire discrète: Loi de probabilitéDéfinitionLa fonction de distribution ou loi de probabilité d’une variablealéatoire discrète X , est l’application PX qui, à chaque valeur xiprise par X , associe la probabilité PX (xi) = P[X = xi ].

Pour B ⊂ R, on a

PX (B) =∑xi∈B

PX (xi).

Si la variable aléatoire X prend les valeurs x1, x2, · · · , xn etnotons

pi = P[X = xi ] = P(xi), alors pi ≥ 0 etn∑

i=1

pi = 1.

La fonction de distribution peut être représentée par undiagramme en batôns.

Variable aléatoire discrète: Loi de probabilité

Exemple

Un représentant a relevé le nombre quotidien de commandesqu’il a obtenues sur une année de 300 jours de travail.Nbr quotidien de commamndes 0 1 2 3 4 Total

Nbr de jours 30 60 120 75 15 300Les conditions passées étant stables, il souhaite déterminer laloi de probabilité du nombre quotidien de commandes. Lavariable aléatoire étudiée est X :"nombre quotidien decommandes".Les valeurs prises par X sont : 0,1,2,3,4.

⇓

Il s’agit d’une V.A. discrète, de loi de probabilité donnée par :

Variable aléatoire discrète: Loi de probabilité

Exemple

La loi de probabilité peut être représentée par un tableau oupar un diagramme en bâtons.

V.A X:xi 0 1 2 3 4 Total

P[X = xi ] 0,1 0,2 0,4 0,25 0,055∑

i=1

P[X = xi ] = 1

Variable aléatoire discrète: Fonction de répartition

DéfinitionLa fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète X estl’application F définie par : ∀x ∈ R,

F (x) = P[X ≤ x ] =∑xi≤x

P[X = xi ].

F est une fonction monotone croissante de 0 à 1, constante parintervalle fermé à droite et ouvert à gauche. Sa représentationgraphique est un diagramme en escalier.

Variable aléatoire discrète: Fonction de répartitionProposition

Pour tout a,b ∈ R, on a:

P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b)− P(X ≤ a) = F (b)− F (a)

Exemple

Déterminer et représenter la fonction de répartition du nombre decommandes du représentant, puis calculerP(X < 0); P(X ≤ 0); P(X ≤ 2); P(X < 3); P(0 < X < 3).Fonction de répartition :

xi P[X = xi ]0 0,11 0,22 0,43 0,254 0,05

et donc

Variable aléatoire discrète: Fonction de répartitionProposition

Pour tout a,b ∈ R, on a:

P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b)− P(X ≤ a) = F (b)− F (a)

Exemple

Déterminer et représenter la fonction de répartition du nombre decommandes du représentant, puis calculerP(X < 0); P(X ≤ 0); P(X ≤ 2); P(X < 3); P(0 < X < 3).Fonction de répartition :

xi P[X = xi ]0 0,11 0,22 0,43 0,254 0,05

et donc

x F (x)]−∞,0[ 0

[0,1[ 0,1[1,2[ 0,3[2,3[ 0,7[3,4[ 0,95

[4,+∞[ 1

Variable aléatoire discrète: Fonction de répartition

Exemple

P(X < 0) =∑xi<0

P[X = xi ] = 0;

P(X ≤ 0) = 0,1;P[X ≤ 2] = P[X = 0] + P[X = 1] + P[X = 2] = 0,7;P[X < 3] = P[X ≤ 2];P[0 < X < 3] = P[0 < X ≤ 2] = P[X ≤ 2]− P[X ≤ 0]

= 0,7− 0,1 = 0,6

Caractéristiques d’une V.A. discrèteEspérence mathématique

Les caractéristiques ont pour objectif de synthétiser la variablealéatoire sous la forme de valeurs significatives.

DéfinitionL’espérence mathématique exprime la tendance centrale de lavariable aléatoire.L’espérence mathématique d’une variable aléatoire discrète Xest la moyenne arithmétique des valeurs prises par Xpondérées par les probabilités associées, notée E(X ), donnéepar :

E(X ) =n∑

i=1

xiP[X = xi ] =n∑

i=1

xiP[xi ] =n∑

i=1

xipi .

Caractéristiques d’une variable aléatoire discrète

Exemple

Si on reprend l’exemple précédent, on a :

E(X ) =n∑

i=1

xiP[xi ] = 1,95.

Ainsi, le nombre moyen de commandes par jour est à peu prèségale à 2.

Caractéristiques d’une V.A. discrèteVariance d’une variable aléatoire discrète

DéfinitionLa variance d’une variable aléatoire discrèteX, notée V (X ),exprime la disperssion de la variable aléatoire par rapport à latendance centrale. Elle est donnée par :

V (X ) = E(X 2)− (E(X ))2 =n∑

i=1

[xi − E(X )]2P(xi)

=n∑

i=1

x2i P(xi)− (E(X ))2.

L’ecart type de X est le nombre défini par :

σ(X ) =√

V (X ).

L’écart type mesure la disperssion de la variable X par rapportà son éspérence mathématique.

Variable aléatoire continue

DéfinitionUne variable aléatoire X est continue quand l’ensemble desvaleurs qu’elle peut prendre est défini par toutes les valeursd’un intervalle réel [a,b]. Le nombre de valeurs d’un intervalleétant infinie, la probabilité attaché à une valeur est nulle :

P(X = x) = 0

Une variable aléatoire continue est définie par sa fonction derépartition et sa fonction de densité de probabilité.

Fonction de répartition

DéfinitionLa fonction de répartition d’une variable aléatoire X estl’application F , qui à tout réel x , associe la probabilité F (x) quela variable X soit inférieur ou ègal à x , i.e.,

F (x) = P(X ≤ x).

Proposition

1. F est une fonction positive, croissante de 0 à 1.

limx→−∞

F (x) = 0 et limx→+∞

F (x) = 1

2. ∀a,b ∈ R P(a < X ≤ b) = F (b)− F (a).

3. ∀a ∈ R P(X > a) = 1− P(X ≤ a) = 1− F (a).

Fonction de densité ou densité de probabilitéDéfinitionLa fonction de densité d’une variable aléatoire X continue est lafonction f définie par :

∀x ∈ R, f (x) = F ′(x).

Proposition

I f est une fonction positive.

I P(a ≤ X ≤ b) =

∫ b

af (t)dt = F (b)− F (a).

I P(X < a) = P(X ≤ a) = F (a) =

∫ a

−∞f (t)dt .

I∫ +∞

−∞f (t)dt = 1 = F (+∞)− F (−∞).

Probabilité d’une variable aléatoire continue

Caractéristique d’une variable aléatoire continueDéfinition

I L’espèrence mathématique d’une variable aléatoirecontinue X et de densité f (x) est définie par :

E(X ) =

∫ +∞

−∞xf (x)dx .

I La variance d’une variable aléatoire continue X et dedensité f (x) est définie par :

V (X ) = E(X 2)− (E(X ))2 =

∫ +∞

−∞(x − E(X ))2f (x)dx

=

∫ +∞

−∞x2f (x)dx − (E(X ))2.

L’écart type est la racine carrée de la variance :σ(X ) =

√V (X )

Exemple

Exemple

Soit f la fonction définie sur R par:

f (x) =

k(2− x) si 0 < x < 20 sinon

1. Déterminer la valeur de k pour que f puisse êtreconsidérée comme une fonction de densité de probabilité.

2. Calculer E(X ) et V (X )

3. Déterminer la fonction de répartition F (x).4. Soit Y = 2X . Déterminer la fonction de répartition de Y .

ExempleSolution Exemple

1. Pour que f soit une fonction de densité elle doit vérifier:∫ +∞

−∞f (x)dx = 1⇒

∫ 2

0f (x)dx = 1∫ 2

0k(2− x)dx = k

∫ 2

0(2− x)dx = k

[2x − x2

2

]2

0= k × 2 = 1

⇒ k =12

2.

E(X ) =

∫ +∞

−∞xf (x)dx =

12

∫ 2

0x(2− x)dx

=12

[2

x2

2− x3

3

]2

0=

23

V (X ) = E(X 2)− (E(X ))2 =

∫ +∞

−∞x2f (x)dx −

(23

)2

=12

∫ 2

0x2(2− x)dx −

(23

)2

=12

[2

x3

3− x4

4

]2

0−(

23

)2

= 2− 49=

149

ExempleSolution Exemple

1.

F (x) = 0 si x < 0

F (x) =∫ x

−∞f (t)dt =

∫ x

0f (t)dt∫ x

0

12(2− t) =

12

[2x − x2

2

]si 0 ≤ x ≤ 2

F (x) = 1 si 2 ≤ x

2.

F (y) = 0 si y < 0

Fy (y) = P(Y < y) = P(2X < y)

P(X <y2) = Fx(

y2)

=12

2y2−

(y2

)2

2

=

12

[y − y2

8

]si 0 ≤ y ≤ 4

F (y) = 1 si 4 ≤ y

Comparaison entre V.A discrète et continue

hhhhhhhhhhhhhhCaractéristique

Variable aléatoireDiscrète Continue

Loi de probabilité P[X = xi ] f (x)

F (x) = P(X ≤ x)∑xi≤x

P[X = xi ]

∫ x

−∞f (t)dt

E(X)n∑

i=1

xi P[X = xi ]

∫ +∞

−∞xf (x)dx

V (X) = E(X 2)− (E(X))2n∑

i=1

x2i P(xi )− (E(X))2

∫ +∞

−∞x2f (x)dx − E((X))2

Propriétés des valeurs carctéristiquesOn peut démontrer facilement les propriétés suivantes∀a,b ∈ R.

Proposition

I E(aX ) = aE(X ).

I E(aX + b) = aE(X ) + b.I E(X1 + X2 + · · ·+ Xn) = E(X1) + E(X2) + · · ·+ E(Xn).

I Si X ,Y sont indépendantes alors: E(X .Y ) = E(X ).E(Y ).

I V (aX ) = a2V (X )

I V (aX + b) = a2V (X )

I Si X ,Y sont indépendantes alors:V (X + Y ) = V (X ) + V (Y ).

I Si X ,Y ne sont pas indépendantes alors:

V (X + Y ) = V (X ) + V (Y ) + 2COV (X ,Y ),

avec COV (X ,Y ) = E(X .Y )− E(X ).E(Y ).

Inégalité de Bienyamé-Tchebychev

ThéorèmeSoit X une variable aléatoire d’espérance E(X ) et de varianceV (X ). Alors

∀ε > 0, P (|X − E(X )| ≥ ε) ≤ V (X )

ε2 .

Loi de BernoulliShéma de Bernoulli

DéfinitionSoit une expérience dont le résultat est aléatoire et soit A unévènement défini sur cette expérience. Soit X la variablealéatoire prenant la valeur 1 quand A est réalisé et 0 quand Aest réalisé. On dit que X est une variable de Bernoulli s’il existep et q dans R vérifiant:

P(X = 1) = p ; P(X = 0) = 1− p = q et p + q = 1

On dit également que X suit une loi de Bernoulli B(1,p) = B(p).

I Autre Définition : Une variable de Bernoulli traduit uneexpérience aléatoire ayant deux issues possibles eteffectuée une seule fois. B(1,p) est la loi de Bernoulli deparamètre p.

I Par convention, p (0 ≤ p ≤ 1) est la probabilité de succèsalors que q = 1− p est la probababilité d’échec.

Loi de BernoulliCaractéristiques de la loi de Bernoulli

I Espérance ou Moyenne:

E(X ) =n∑

i=1

xipi

= p × 1 + q × 0 = p

I Variance:

V (X ) = E(X 2)− (E(X ))2 =n∑

i=1

x2i pi − p2

= p − p2 = p(1− p) = pq⇒ σ(X ) =

√pq

Loi BinomialeShéma Binomiale

Principe du shéma Binomiale

Soit une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de réaliser unsuccès est égale à p. Cette épreuve est reproduite n fois, lesrépétitions étant indépendantes ( c’est à dire la probabilité desuccès est égale à p au cours des n épreuves). La variablealéatoire X étudiant le nombre de succès au cours de népreuve de Bernoulli indépendantes est une variable aléatoirebinomiale (on dit aussi suit une loi binomiale) de paramètre n etp. La variable aléatoire X est discrète dont les valeurspossibles sont les entiers compris entre 0 et n.

Remarque

Soient X1, X2, . . . , Xn les variables indépendantes de Bernoullirespectives des n épreuves. Alors X = X1 + X2 + . . .+ Xn.

Loi BinomialeShéma Binomiale

DéfinitionUne variable aléatoire X est une variable aléatoire binomiale oubien obéit à une loi binomiale, quand la probabilité deX = k (Nombre de succès possible égale à k ) est donnée par :

P(X = k) = Ckn pkqn−k = Ck

n pk (1− p)n−k

• avec 0 ≤ k ≤ n

On dit que X suit une loi binomiale de paramètre n, p et onnote X ∼ B(n; p). On a aussi grâce à la formule du Binôme:

n∑k=0

P(X = k) =n∑

k=0

Ckn pkqn−k = (p + q)n = 1

Loi BinomialeCaractéristiques de la loi Binomiale

I Espérance ou Moyenne:

E(X ) = E(X1 + X2 + . . .+ Xn) = E(X1) + E(X2) + . . .+ E(Xn)= p + p + . . .+ p = np

I Variance:Puisque les V.A. X1; X2; . . . ; Xn sont indépendants donc ona:

V (X ) = V (X1 + X2 + . . .+ Xn) = V (X1) + V (X2) + . . .+ V (Xn)= pq + pq + . . .+ pq = npq

⇒ σ(X ) =√

npq

Loi BinomialeSomme de deux V.A. suivant la loi Binomiale

Proposition

Si X suit une loi binomiale B(n1; p) et si Y suit une loi binomialeB(n2; p), avec X et Y sont indépendantes mais de mêmeprobabilité p, alors X + Y suit une loi binomiale B(n1 + n2; p).

PreuveIci puisque X est la somme de n1 variables de Bernoulliindépendantes de paramètre p et Y est la somme de n2variables de Bernoulli de paramètre p et X et Y sontindépendantes, alors X + Y est la somme de n1 + n2 variablesde Bernoulli indépendantes de paramètres p. DoncX + Y ∼ B(n1 + n2; p).

Loi de PoissonShéma de Poisson

DéfinitionLe shéma de la loi de Poisson et le même que celui de la loiBinomiale. La seule différence qui existe entre les deux est quele nombre de répétition pour le shéma de Poisson est infinie.Soit une variable aléatoire X et λ > 0. On dit que que X suitune loi de poisson de paramètre λ et on note X ∼ P(λ) si

P(X = k) = e−λλk

k !, ∀k ∈ N

Proposition

I E(X ) = λ

I V (X ) = λ

I σ(X ) =√λ

Loi de PoissonShéma de Poisson

Preuve

E(X ) =∞∑

k=0

kP(X = k) =∞∑

k=0

ke−λλk

k !

=∞∑

k=1

ke−λλk

k !=∞∑

k=1

e−λλλk−1

(k − 1)!

= λe−λ∞∑

k=1

λk−1

(k − 1)!= λe−λ

∞∑k=0

λk

k !

= λe−λeλ = λe−λ+λ

= λ.

car eλ =∞∑

k=0

λk

k !.

Approximation de la loi Binomiale par la loi de PoissonUne variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n,p) peutêtre approché par une loi de Poisson P(λ) si on a les troisconditions :I n est suffisament grand.I p est voisin de 0 (trop petit).I np n’est pas grand.

ThéorèmeSoit X une variable aléatoire avec X ∼ B(n,p). Alors

B(n,p) −→ P(np) lorsque n −→ +∞ et p −→ 0.

En pratique : Les conditions d’approximation sont les suivantesI n ≥ 50I p ≤ 0,10I np ≤ 5

Alors B(n,p) peut être approchée par P(λ) avec λ = np.

Approximation de la loi Binomiale par la loi de Poisson

Exemple

Un supermarché s’interesse aux ventes quotidiennes d’unproduit frais P dont le stock est reconstitué chaque matin. Pourchaque jour ouvrable, la probabilité de rupture de stock est de0,02 et les ruptures sont supposées indépendantes.•Calculer les probabilités pour que sur, 200 jours ouvrables, il yait : aucune rupture, deux ruptures, cinq rupture, au plus cinqrupture du produit frais P.

Approximation de la loi Binomiale par la loi de Poisson

SolutionSoit X la variable aléatoire: "nombre de ruptures du stocks duproduit frais P sur 200 jours".Donc X est la somme de 200 variables indépendants deBernoulli ce qui implique que X ∼ B(200; 0,02). Regardons lesconditions d’approximation :

n = 200 ≥ 50, p = 0,02 ≤ 0,1, np = 4 ≤ 5

Ainsi, la loi B(200; 0,02) peut être approchée par la loiP(λ = 4) et donc, en utilisant l’approximation on a :

P(X = 0) = 0,0183, P(X = 2) = 0,1465P(X = 5) = 0,1563,P(X ≤ 5) = 0,7851 = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)+

P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

Loi HypergéométriquePrincipe du shéma Hypergéométrique

En pratique, les n épreuves de Bernoulli successives ne sontpas indépendantes.

Exemple

Une entreprise commercialise un lot de 30 bouteilles d’eauminérale et affirme que seulement 15% de ces bouteilles neverifient pas les normes de qualité. Pour contrôler la qualitéannoncée, on prélève un échantillon de 10 bouteilles du lot(n ≤ N) et on analyse leur composition. Bien sûr une bouteilleanalysée est ouverte. Elle ne peut donc pas être remise dansle lot. En d’autre terme, pour chaque bouteille controlée laprobabilité qu’elle ne soit pas dans les normes de qualitéchange.

Loi Hypergéométriqueshéma Hypergéométrique

DéfinitionOn considère une population de taille N dont N1 individusexactement présentent un certain caractère A. On prélève sansremise un échantillon de n individus. Les n épreuves deBernoulli successives ne sont pas indépendantes. Soit X la v.a.du nombre d’individus présentant le caractère A dansl’échantillon. On dit que X suit la loi hypergéométrique deparamètres N, n et p = N1

N : X ∼ H(N, n, p = N1N )

Loi HypergéométriqueCaractéristique de la loi Hypergéométrique

Propriété:

I Si X ∼ H(N,n, N1N ), la loi de probabilité de X est donnée

par :

P(X = k) =Ck

N1Cn−k

N−N1

CnN

avec max(0; n − (N − N1)) ≤ k ≤ min(n,N1).I E(X ) = np avec p = N1

N .I V (X ) = np(1− p)N−n

N−1

Loi Hypergéométrique

Exemple

D’après l’exemple précédent quelle est la probabilité d’avoir aumoins 2 bouteilles hors normes de qualité?

P(X ≥ 2) = 1− P(X < 2) = 1− P(X ≤ 1)

= 1− P(X = 0)− P(X = 1) = 1−C0

10C1020

C1030

−C1

10C920

C1030

= 1− 0,0061− 0,0559 = 0,938

Loi Uniforme

DéfinitionOn choisit au hasard un nombre x d’un intervalle [a; b] ⊂ Ravec a < b . On modélise ce choix par la loi de probabilité dontla densité de probabilité f définie sur [a; b] par:

f (x) =

1

b − asi a ≤ x ≤ b

0 sinon

Cette loi s’appelle la loi uniforme sur [a; b]. Soit X v.a. suivant laloi uniforme sur [a; b] nous pouvons démontrer facilement que:

E(X ) =a + b

2

V (X ) =(b − a)2

12

Loi Exponentielle

DéfinitionOn appelle loi exponentielle de paramètre λ (λ > 0) la loi deprobabilité continue dont la densité est la fonction f définie par:

f (x) =

λ exp(−λx) = λe−λx si x ≥ 00 si x < 0

Cette loi s’appelle la loi exponentielle sur R+. Soit X v.a.suivant la loi exponentielle, nous pouvons démontrer facilementque:

E(X ) =1λ

; V (X ) =1λ2

Loi Normale (ou Loi de Gauss-Laplace)DéfinitionUne variable aléatoire continue X obéit à une loi normale demoyenne µ et d’écart type σ, notée N (µ, σ), si sa fonction dedensité f est définie par :

f (x) =1

σ√

2πe−

12

(x − µσ

)2

, ∀x ∈ R

avec∫ +∞

−∞f (x) = 1, et sa fonction de répartition est:

F (x) = P(X ≤ x) =1

σ√

2π

∫ x

−∞e−

12

(t − µσ

)2

dt , ∀x ∈ R

De plusE(X ) = µ ; V (X ) = σ2

Loi Normale (ou Loi de Gauss-Laplace)

La courbe représentative de f est symétrique par rapport de ladroite d’équation x = µ.

Loi Normale Centrée Réduite

DéfinitionSi une variable aléatoire X suit une loi normale N (µ, σ), alorsla variable T = X−µ

σ suit la loi normale appelée loi normalecentré réduite N (0,1). La fonction de densité f de la variable Ts’écrit :

f (t) =1√2π

e−

t2

2 , ∀t ∈ R

La fonction de répartition F , plus généralement notée Π, estdéfinie par :

F (t) = Π(t) = P(T ≤ t) =

∫ t

−∞f (x)dx =

1√2π

∫ t

−∞e−

x2

2 dx , ∀t ∈ R


La loi de T est centrée car E(T ) = 0 et elle est réduite carV (T ) = 1. En effet,

E(T ) = E(

X − µσ

)=

1σ

(E(X )− µ) = 0

V (T ) = V(

X − µσ

)=

1σ2 V (X − µ) =

1σ2 V (X ) = 1

Loi Normale Centrée RéduiteI La courbe représentative de f est symétrique par rapport à

la droite d’équation t = 0.I la fonction de répartition F de la loi normale centrée

réduite s’écrit comme suit:

F (x) = P(T ≤ x) =1√2π

∫ x

−∞e−

u2

2 du, ∀x ∈ R


Proposition

I f est paire: f (t) = f (−t).I f est symétrique par rapport à l’axe t = 0 d’où

P(T > t) = P(T < −t).I P(T > t) = 1− P(T ≤ t)⇔ Π(−t) = 1− Π(t).I P(t1 < T < t2) = P(T < t2)− P(T < t1) = Π(t2)− Π(t1).I P(−t < T < t) = 2P(T < t)− 1 = 2Π(t)− 1.


Exemple

Le chiffre d’affaires quotidien, exprimé en dirhams, d’uncommerce suit une loi normale de moyenne 12000, et d’écarttype 1500.Calculer la probabilité que le chiffre d’affaires quotidien soit :a- Egale à 12000.b- Inférieur à 12000.c- Inférieur à 13000.d- Inférieur à 10000.e- comprise entre 10500 et 13500.f- supérieur à 10500.

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