PROBABILIDADE

Profa. Ana Clara Guedes

Experimento Aleatório

São experimentos que, mesmo se repetidos um número muito grande de vezes, apresentam um resultado que não pode ser previsto; em outras palavras, o resultado depende do acaso.

Experimento Aleatório

São exemplos de Experimentos Aleatórios: EA1 - Jogar uma moeda EA2- Jogar um dado EA3- Observar a colocação de um atleta no pódio na

próxima competição EA4- Um paciente será submetido a uma cirurgia de

alto risco. Observar o resultado da cirurgia.

Espaço Amostral

• É o Conjunto de todos os resultados possíveis de um Experimento Aleatório. Para cada exemplo de Experimento Aleatório, vamos indicar um Espaço Amostral.

• É comumente indicado pela letra S ou pela letra U, ou ainda pela letra grega .

Espaço AmostralExemplos de Espaço Amostral para cada Experimento: EA1 - Jogar uma moeda S1 = {cara, coroa}

EA2- Jogar um dado S2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

EA3- Observar a colocação no pódio S3 = {1º, 2º, 3º, fora} EA4- Resultado da cirurgia S3 = {sucesso, com sequelas, óbito}

Eventos

• São resultados particulares do Experimento Aleatório.

• Obs. Os eventos são indicados com letras maiúsculas

• Para cada experimento indicado anteriormente vamos dar um exemplo de evento.

Eventos

• Exemplos:• E1: resultado ser cara = {cara} • E2: resultado ser um número par = {2,4,6}• E3: Atleta ficar em primeiro lugar = {1º}• E4: O paciente morrer = {óbito}

Eventos Simples e Compostos

• Exemplos:• E1: resultado ser cara = {cara} • E2: resultado ser um número par = {2,4,6}• E3: Atleta ficar em primeiro lugar = {1º}• E4: O paciente morrer = {óbito do paciente}

EVENTOS SIMPLES

EVENTO COMPOSTO

Eventos Complementares

• São aqueles que, juntos, equivalem ao Espaço Amostral

Exemplos: 1.ao lançar uma moeda: “cara” e “coroa”2.ao lançar um dado: “sair 6” e “não sair 6”3.Ao observar a colocação do Atleta “chegar em 1º lugar” e “outros resultados”

Probabilidade

Probabilidade é definida como a quantificação da possibilidade de ocorrência de um evento.

Probabilidade é sempre um número entre 0 e 1. • Quanto mais próxima de 0, mais “difícil” é a

ocorrência do evento.• Quanto mais próxima de 1, mais chance o

evento tem de acontecer.

Probabilidade Clássica

• Se o os elementos do Espaço Amostral têm todos a mesma chance de ocorrência, então a probabilidade de ocorrência de um evento A é dada por:

adespossibilid de totalnúmeroA de adespossibilid de número)( AP

Probabilidade• Por exemplo, tomemos o evento do experimento EA2 e

calculemos a probabilidade de sair um resultado par (E2).

• Não se esqueçam de que esta forma de cálculo de probabilidade só é válida se todos os elementos do Espaço Amostral tiverem a mesma chance de ocorrer!

5,063

resultados de totalnúmeropares resultados de número)2( EP

Probabilidade de Eventos Complementares

• Se a probabilidade de sair cara em determinada moeda é igual a 20%, então a probabilidade de não sair cara é igual a 80%.

• Se a probabilidade de um jogador acertar um pênalti é igual a 70%, a probabilidade de que ele não acerte é igual a 30%.

Probabilidade Frequentista

• Se em uma grande quantidade de repetições de um mesmo experimento, a freqüência relativa de um evento se aproxima de um número fixo, então este número é uma estimativa da probabilidade de ocorrência do evento.

Probabilidade Frequentista

• Exemplo: Suponhamos que um dado tenha sido alterado de forma que uma das faces esteja mais provável do que as outras, mas não sabemos exatamente qual. Faremos então uma experiência, lançando o dado um número muito grande de vezes, digamos, mil vezes. Digamos que o resultado desta experiência seja o mostrado na tabela a seguir:

Probabilidade FrequentistaResultados Nº de resultados %

1 397 39,7

2 158 15,8

3 126 12,6

4 135 13,5

5 132 13,2

6 52 5,2

TOTAL 1000 100,0

Neste caso, dizemos, então, que P (6) = 5,2%

Eventos IndependentesDois eventos são chamados de independentes se a

ocorrência de um deles não alterar a probabilidade do outro.

Exemplo1: considere o experimento “jogar uma moeda e, em seguida, um dado”

Considere os eventos:E1 = {cara} e E2={resultado par}

Se você souber que o resultado da moeda foi cara (evento E1 ocorreu), isto vai alterar a probabilidade do dado ter resultado par?

A resposta é não. Dizemos então que estes dois eventos são independentes.

Eventos IndependentesExemplo 2: considere os eventos:A = {ocorrer acidente de carro} e B = {o motorista estar alcoolizado}

Se você souber que o motorista está alcoolizado (evento B ocorreu), isto vai alterar a probabilidade de haver acidente de carro (evento A)?

A resposta é sim. Dizemos então que estes dois eventos não são independentes.

Probabilidade de mais de 1 evento

• Muitas vezes precisamos calcular a probabilidade de dois ou mais eventos ao mesmo tempo. Para isto precisamos de alguns teoremas .

TEOREMA DO PRODUTO• Se dois eventos são independentes, a probabilidade

de que eles ocorram juntos é igual ao produto de suas probabilidades.

• Por exemplo, no experimento “jogar uma moeda e, em seguida, um dado” qual a probabilidade de sair cara E par?

P (cara e par) = P(cara) . P(par) = 0,5 . 0,5 = 0,25

TEOREMA DA SOMA• A probabilidade de ocorrência de um evento A ou do

evento B é dada por:P (A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)Por exemplo, considere o experimento “jogar uma

moeda e, em seguida, um dado”Considere os eventos:E1 = {cara} e E2={resultado par}

Qual a probabilidade de sair cara ou par?

Teorema da SomaQual a probabilidade de sair cara ou par?P (E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) – P(E! e E2)ou:P(cara ou par) = P(cara) + P(par) – P(cara e par) = 0,5 + 0,5 – 0,25 = 0,75

Calculado antes

Exercícios Resolvidos

1) Um casal tem um(a) filho(a). Qual a probabilidade do segundo filho ser homem?

2)Um casal tem um(a) filho(a). Qual a probabilidade do segundo filho ser homem, se soubermos que o primeiro também é homem?

Exercícios Resolvidos

1) Um casal tem um(a) filho(a). Qual a probabilidade do segundo filho ser homem?

R. 0,5 (só existem 2 possibilidades, e as duas têm a mesma chance de ocorrência)

2)Um casal tem um(a) filho(a). Qual a probabilidade do segundo filho ser homem, se soubermos que o primeiro também é homem?

R. 0,5 (o fato do primeiro filho ser homem não altera a probabilidade do segundo filho ser homem)

Exercícios Resolvidos

3) Em uma certa população, a probabilidade de um indivíduo ter sangue tipo O é 40%, sangue tipo A é 30% e tipo B é 20%. Qual a probabilidade de um indivíduo ter sangue tipo AB?

Exercícios Resolvidos

3) Em uma certa população, a probabilidade de um indivíduo ter sangue tipo O é 40%, sangue tipo A é 30% e tipo B é 20%. Qual a probabilidade de um indivíduo ter sangue tipo AB?

R. 10% (é o que falta para o total de 100%)

Exercícios Resolvidos

4) Em uma certa população, a probabilidade de um indivíduo ter sangue tipo O é 40%, sangue tipo A é 30% e tipo B é 20%. . Suponha que a probabilidade de ser Rh+é de 90%, e que o fator RH independe do tipo sanguíneo. Qual a probabilidade de um indivíduo ser :

a) O+ ?b) AB- ?

Exercícios Resolvidos

4) a) P(O+ ) = P(O e Rh+) = P(O) * P(Rh+) = 0,4 * 0,9 = 0,36b) P( AB- )= P(AB e Rh-) = P(AB) * P( Rh-) = 0,1 * 0,1 = 0,01

Exercícios Resolvidos

5) A probabilidade de um menino ser daltônico é igual a 8%. Dois meninos se apresentaram, em certo dia, para um exame oftalmológico. Qual a probabilidade de:

a) Os dois serem daltônicos?b) Nenhum dos dois ser daltônico?c) Pelo menos um deles ser daltônico?d) Somente um deles seja daltônico?

Exercícios Resolvidos5) a) P(Os dois serem daltônicos)=?P(1ºD e 2ºD) = P(1ºD) * P(2ºD) = 0,08 * 0,08 = 0,0064 = 0,64%b) P(Nenhum dos dois ser daltônico)=?P(1ºnãoD e 2ºnãoD) = P(1ºnãoD) * P(2ºnãoD) = 0,92 * 0,92 = 0,8464 = 84,64%

Exercícios Resolvidos5) c) P(Pelo menos um deles seja daltônico)=?P(1ºD ou 2ºD) = P(1ºD) + P(2ºD) - P(1ºD e 2ºD) = 0,08 + 0,08 - (0,0064) = 0,1536 = 15,36%d) P(somente um deles)=? = P(1ºD e 2ºnãoD) + P(1ºnãoD e 2ºD) = ( 0,08 * 0,92) + (0,92 * 0,08) = 0,0736 + 0,0736 =0,1472 = 14,72%

Exercícios Resolvidos6) Uma família tem seis filhos. Digamos que o

Experimento Aleatório seja observar o número de meninos nesta família.

a) Escreva o Espaço amostral. b) Qual a probabilidade do primeiro filho ser

homem?c) Qual a probabilidade de somente um filho

ser homem?

Exercícios Resolvidos6) a) S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}b) 0,5 = 50%c) P(somente um filho ser homem) = P(1ºH e 2ºM e 3ºM e 4ºM e 5ºM e 6ºM) * 6=P(1ºH)*P(2ºM)*P(3ºM)*P(4ºM)*P(5ºM)*P(6ºM) * 6

= 0,5 * 0,5 * 0,5 * 0,5 * 0,5 * 0,5 * 6=0,0938 = 9,38%

O único homem pode ser o primeiro, o segundo, o terceiro...São 6 possibilidades

Exercícios Resolvidos• 7) Observando os resultados dos últimos

semestres, verificou-se que 4/5 dos alunos têm resultado insatisfatório na primeira prova de Fisiologia . Um aluno será sorteado entre os que fazem esta disciplina. Qual a probabilidade de ele ter resultado satisfatório?

Exercícios Resolvidos• 7) P (insatisfatório) = 4/5 então: P (satisfatório) = 1/5

BIBLIOGRAFIA

• VIEIRA, Sônia. Introdução à bioestatística.Rio de Janeiro: Elsevier, 1980.

• MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística Básica – volume I – Probabilidade. São Paulo: Pearson Educational do Brasil, 1999.