probabilidade e estatística exemplo da moeda balanceada paulo adeodato [email protected]

Probabilidade e Estatística Exemplo da Moeda Balanceada

Paulo [email protected]

Exemplo

Será que uma moeda que dá 450 caras em 1000 lançamentos balanceada ?

Como elaborar a questão em termos estatísticos ?

Como modelar o problema ?

Modelagem Estatística

Fenômenodo Mundo

Real

ModeloProbabilístico

SituaçãoEspecífica(instância)

ModeloEstatístico

Hipóteses

AmostraDados

(x1,x2,...x1000)

(X1,X2,...X1000)

Modelagem-1

Hipótese de independência estatística entre os lançamentos.– Sem desgaste

Ensaios de Bernoulli Processo Binomial

– argumentos p e n E daí ? Como resolver o problema ?

Modelagem-2

Estimação do parâmetro p da distribuição ? Supor que a moeda seja balanceada: p = 0,5 Supor um grau de confiança de 95% e calcular o

intervalo de confiança Verificar se 450 caras está dentro desse intervalo Mas, como calcular o intervalo de confiança de uma

binomial para n=1000 ? Aproximar a binomial pela normal (Teorema Central

do Limite)

Distribuição Normal: X~N(,2)Definição Função densidade de probabilidade

Função de distribuição acumulada:– Não integrável

– Utiliza-se a tabela da Normal Reduzida: N(0,1)

2

2

1

2

1)(

x

exf x

Distribuição Normal: X~N(,2)ParâmetrosValor esperado

)(XE

Variância

2)( XV

Importância daDistribuição Normal Modela uma série de fenômenos estocásticos Aproxima a distribuição Binomial Aproxima a soma de variáveis aleatórias

independentes (Teorema Central do Limite)– Somas de variáveis aleatórias

independentes (em grande número) obedecem a uma Normal

Gráfico da Distribuição Normal Simétrico em relação ao valor esperado Pontos de inflexão nos pontos a 1 desvio-

padrão da média.

f(x)

x

Transformação daDistribuição Normal Para resolvermos de fenômenos modelados

por uma distribuição normal de parâmetros genéricos, precisamos reduzi-la a uma N(0,1), por meio da transformação linear abaixo

X

Z

Tabela da Distribuição NormalReduzida: N(0,1) A tabela apresenta os valores: z e (z)

onde (z) = P(Z<z) A tabela se encontra no apêndice de todo livro

de probabilidade e estatística Os valores podem estar nos domínios:

– 0 x < usar a propriedade de simetria

– - < x <

Teorema Central do Limite-1 Sejam X1, X2,.. Xn, variáveis aleatórias

independentes. Consideremos, ainda, que:

E(Xi ) = i e V(Xi ) = i2

Definamos a variável aleatória Sn, como a soma de todas as Xi.

O teorema diz que, quando n tende a infinito, a distribuição de Sn tende a uma Normal.

E mais...

Teorema Central do Limite-2 A variável Zn tende a uma distribuição

Normal Reduzida:

)1,0(

1

2

1 NS

Znn

ii

n

iin

n

Teorema Central do Limite Aplicações Esse poderoso teorema faz com que a Normal

seja a distrinuição mais importante da Estatística.

Exemplos:- A decomposição de um grande projeto em subprojetos para uma melhor estimação de custos e tempo de execução- A implementação de uma resistência elétrica por uma série de resistores em vez de apenas 1, todos de mesma precisão

Teorema Central do LimiteAplicações Consideremos um o caso onde X1, X2,.. Xn,

além de variáveis aleatórias independentes, sejam identicamente distribuídas (como na estimação de parâmetros) e que tenham

E(Xi ) = e V(Xi ) = 2

Assim o teorema se reduz a:

)1,0(Nn

nSZ

nn

n

Teorema Central do Limite Sejam X1, X2,.. Xn, variáveis aleatórias

independentes e identicamente distribuídas. Temos:

)(...21 XE

n

XnXXn

Ou, a média aritmética das observações tendem ao valor esperado da variável aleatória X.

Aproximação da Binomialpela Normal A convergência é probabilística. Ela se fundamenta na existência da chamada

regularidade estatística. Essa lei é a base para a estimação de

parâmetros pelo método dos momentos (a ser vista).

Aproximação da Binomialpela Normal-1 Imaginemos o problema de dizer qual é a

probabilidade de uma moeda equilibrada, em 1000 lançamentos produzir entre 400 e 600 caras.

O processo segue uma distribuição Binomial mas o cálculo envolvido é laborioso demais.

O teorema central do limite é a chave para a solução.

Aproximação da Binomialpela Normal-2 Definição da Binomial com parâmetros n e p:

nkppk

nkXP knk

0,1

Utilizando a aproximação de Stirling:

2

)1()1(2

1

pnp

npk

2

1-exp

pnpkXP

Aproximação da Binomialpela Normal-3 Fazendo a transformação linear já conhecida:

chegamos à equivalência, quando n

)1()1( pnp

npk

pnp

npkZPkXP n

)1( pnp

npXZn

Intervalo de Confiança (I.C.)

Em estatística, inferências (a partir de dados) não são definitivas inquestionáveis: devem ser sempre apresentadas com os intervalos de confiança associados

Nós apenas medimos os fenômenos do mundo real em observações discretas e generalizamos as conclusões para todo o domínio

Há sempre um erro ao processo de generalização

Exemplos deAfirmações / Perguntas

O parâmetro se encontra no intervalo (a,b) com nível de confiança de 90%.

Os processos A e B são iguais com o nível de confiança de 95%.

Será o processo A melhor que o B com o nível de significância de 1% ?

Será que a condição K interfere no processo A com um nível de confiança de 95% ?

Intervalo de Confiança (I.C.)

P(a b) = 1 - onde: : valor esperado do parâmetro

(desconhecido)– (a,b): intervalo de confiança

(variável aleatória) : nível de significância–100(1 - ) “ de confiança– (1 - ) coeficiente de “

Métodos para Determinar oIntervalo de Confiança

Quantis de k médias Teorema Central do Limite (a partir de 1 média)

– Aproximação pela distribuição normal(n30)

– Aproximação pela distribuição t de Student(n<30)

Método dos Quantis de k Médias-1 Tomam-se k amostras {{1x1, 2x1,..., nx1},..., {1xk, 2xk,...,

nxk}} de n exemplos Calculam as k médias

n

jiji x

nx

1

1

},,,{ 21 kyyy

},,,{ 21 kxxx Colocam-se as k médias em ordem crescente

Método dos Quantis de k Médias-2

Tomam-se as [1+/2(k-1)] e [1+(1- /2)(k-1)]-ésimas médias como limites inferior e superior do I.C. de nível de significância , respectivamente

Exemplo: Quantis de 100 Médias a 90% de Nível de Confiança-1

Tomam-se 100 amostras {x1 , x2,.., xn} de n exemplos Calculam-se as 100 médias

n

jiji x

nx

1

1

},,,{ 10021 yyy

},,,,,,,{ 1009695651 yyyyyy a b

Colocam-se as 100 médias em ordem crescente

Toma as [1+0,05(100-1)] e [1+(1-0,05)(100-1)]-ésimas médias como limites inferior e superior

Métodos doTeorema Central do Limite-1

Toma-se 1 amostra {x1 , x2,.., xn} de n exemplos Calcula-se a média da amostra [segue uma V.A. de

distribuição N(,2/n)]

n

iix

nx

1

1

n

ii xx

ns

1

22 )(1

1

n

iiX

nX

1

1)(ˆ

2

1

22

1

1)(ˆ

n

ii XX

nS

Calcula-se a variância da amostra


Faz-se a transformação para a normal reduzida N(0,1)

ns

xXZ n

n

Consulta-se na tabela o quantil z[1-/2] da normal reduzida

Encontra o intervalo de confiança (a,b)

n

szxn

szxba )21()21( ,),(


Toma-se 1 amostra {x1 , x2,.., xn} de n exemplos Calcula-se a média da amostra [segue uma V.A. de

distribuição normal]

n

iix

nx

1

1

n

ii xx

ns

1

22 )(1

1

n

iiX

nX

1

1)(ˆ

2

1

22

1

1)(ˆ

n

ii XX

nS

Calcula-se a variância da amostra [uma V.A. de distribuição 2()]


Faz-se a transformação para a t de Student com graus de liberdade

Consulta-se na tabela o quantil t[1-/2;] da t de Student

Encontra o intervalo de confiança (a,b)

)(

)1,0(~)(

2

Nt

n

stxn

stxba nn )1;21()1;21( ,),(

Comparação entre os Métodos

Quantis de k médias– bom para interpretar Intervalo de Confiança

mas trabalhoso e caro Teorema Central do Limite (a partir de 1 média)

– Baixo custo mais utilizado

– Aproximação pela distribuição normal(n 30)

– Aproximação pela distribuição t de Student(n < 30 e desconhecido)

Intervalo de Confiança de um Lado Apenas

Se dois métodos são utilizados para produzir algum resultado, como poderemos afirmar que o método A seja melhor que o B?

Nesses casos, tomamos o intervalo de confiança do limite inferior a ou de - ao limite superior.

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