Capítulo 3. Variables aleatorias

1 Distribución de una variable aleatoria

En este tema se introducen algunos resultados básicos sobre variables aleatoriasy se introducen las familias de distribuciones más relevantes para este curso. Enocasiones nos interesarán una o más transformaciones de los resultados de unexperimento aleatorio, lo que conduce al concepto de variable aleatoria.

EjemploNormalmente, los resultados posibles (espacio muestral E) de un experi-

mento aleatorio no son valores numéricos. Por ejemplo, si un experimento con-siste en lanzar de modo ordenado tres monedas al aire, para observar el númerode caras (C) y cruces (R) que se obtienen, el espacio muestral asociado a dichoexperimento aleatorio sería:

E = {CCC, CCR, CRC,CRR,RCC,RCR,RRC,RRR} .

En Cálculo de Probabilidades resulta más fácil utilizar valores numéricos enlugar de trabajar directamente con los elementos de un espacio muestral comoel anterior. Así, se prefiere identificar los sucesos {CRR,RCR,RRC} con elvalor numérico 1 que representa el número de caras obtenidas al realizar elexperimento.De este modo, aparece el concepto de variable aleatoria unidimensional como

el de una función

X : E −→ Re −→ X(e)

que a cada suceso elemental e del espacio muestral E, le atribuye un úniconúmero real, X(e).En el ejemplo anterior, se puede definir la variable aleatoria X ≡ número de

caras, del siguiente modo:

X : E −→ R

X (CCR) = X (CRC) = X (RCC) = 2X (RRC) = X (RCR) = X (CRR) = 1X (RRR) = 0

En función de los valores que tome la variable, ésta puede ser clasificada endiscreta o continua del siguiente modo:

1

v.a. discreta: es aquella que sólo puede tomar un número finito o infinitonumerable de valores. Por ejemplo,

X : E −→ N

v.a. continua: es la que puede tomar un número infinito no numerable devalores.

X : E −→ R

2 Variables aleatorias discretas

Dada una v.a. discreta X : E −→ N, f, se define su función de masa deprobabilidad , de modo que f(xi) es la probabilidad de que X tome ese valorconcreto:

f : R −→ [0, 1]

xi −→ f (xi) = P [X = xi] = P [{e, tal que X(e) = xi}]Si xi no es uno de los valores que puede tomar X, entonces f(xi) = 0. Larepresentación gráfica de la función de masa de probabilidad se realiza medianteun diagrama de barras análogo al de distribución de frecuencias relativas paravariables discretas en Estadística Descriptiva.Por ejemplo, si se considera el caso del lanzamiento de 3 monedas de forma

que cada una de ellas tenga probabilidad 1/2 de obtener el resultado de cara ocruz, se tiene que

f(3) = P [X = 3] = P [{CCC}] = 1

2· 12· 12=1

8

f(2) = P [X = 2] = P [{RCC, CCR, CRC}] = 1

8+1

8+1

8=3

8

f(1) = P [X = 1] = P [{RRC,RCR, CRR}] = 1

8+1

8+1

8=3

8

f(0) = P [X = 0] = P [{RRR}] = 1

2· 12· 12=1

8

ProposiciónSi x1, x2, . . . xk son todos los valores que puede tomar la v.a. X, entonces la

suma de las probabilidades de todos los posibles valores de la variable es 1.

kXi=1

f(xi) =kXi=1

P [X = xi] = 1

y además todas las probabilidades son no negativas:

f(xi) ≥ 0

∀i = 1, . . . , k

2

Otro concepto importante es el de función de distribución de una variablealeatoria discreta, F , que se define de modo que si xi ∈ R, F (xi) es igual a laprobabilidad de que X tome un valor inferior o igual a xi:

F : R −→ [0, 1]

xi −→ F (xi) = P [X ≤ xi] = P [{e, tal que X(e) ≤ xi}]Volviendo al ejemplo de las tres monedas, se tiene que

F (0) = P [X ≤ 0] = P [X = 0] = f(0) =1

8

F (1) = P [X ≤ 1] = f(0) + f(1) = 1

8+3

8=4

8

F (2) = P [X ≤ 2] = f(0) + f(1) + f(2) = 1

8+3

8+3

8=7

8

F (3) = P [X ≤ 3] = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 1

8+3

8+3

8+1

8=8

8= 1

La función de distribución está definida para toda la recta real, incluidos losvalores no admisibles de la variable aleatoria. Por ejemplo,

F (−1) = P [X ≤ −1] = P [∅] = 0

Figura: Función de masa de probabilidad a la izquierda, y función de distribución ala derecha de una v.a. discreta

Nota: De lo anterior se deduce que

P (X > x) = 1− F (x)P (x1 < X ≤ x2) = F (x2)− F (x1).

Ejemplos

• Sea la funciónf(x) =

x− 25,

con soporte {1, 2, 3, 4} . No es una función de masa de probabilidad porque,por ejemplo, f(1) = −1/5 < 0.

3

• Sea la función

h(x) =x2

25,

con soporte {0, 1, 2, 3, 4} . No es una función de masa de probabilidadporque

P4i=0 h(i) > 1.

• Sea la función

g(x) =1

5,

con soporte {0, 1, 2, 3, 4} . Es una función de masa de probabilidad porqueg(i) ≥ 0, i = 0, . . . 4 y

P4i=0 g(i) = 1. La correspondiente función de

distribución tiene como gráfica:

Momentos de una variable aleatoria discretaEn ocasiones se está interesado en resumir una variable aleatoria, típicamente

a través de sus momentos. Los principales son:

4

- La esperanza o media de la variable aleatoria X

E [X] = µ =Xi

xif(xi),

que constituye una medida de localización.

Se puede observar en esta medida, así como en las que siguen, el paralelismocon los momentos muestrales, aunque no se deben confundir.- La varianza

V ar[X] = σ2 =Xi

(xi − µ)2 f(xi),

que constituye una medida de dispersión. Alternativamente, se tiene que

σ2 =Xi

(xi − µ)2 f(xi) =Xi

¡x2i − 2µxi + µ2

¢f(xi) =

=Xi

x2i f(xi)− µ2.

- La desviación típica

σ =

sXi

(xi − µ)2 f(xi).

EjemploPara la v.a. con soporte {0, 1, 2, 3, 4} y función de masa de probabilidad

g(x) = 15 , se tiene

µ =0+ 1 + 2 + 3 + 4

5= 2

σ2 =Xi

x2i f(xi)− µ2 =4Xi=0

i21

5− 4 = 30

5− 4 = 2

σ =√2,

3 Ejercicios

1. Una compañía de refrescos anuncia premios en las chapas asegurando queen cada 1000 chapas hay 500 con ”inténtalo otra vez”, 300 con premio de0.3 euros, 150 con premio de 0.6 euros, 40 con premio de 3 euros y 10 conpremio de 6 euros. Un individuo, al que no le gusta el refresco, decidecomprar una botella cuyo coste es de 0.6 euros. Caracterizar su gananciamediante una variable aleatoria. ¿Es razonable su decisión? Calcular suprobabilidad de perder dinero.

5

2. Se lanza un dado equilibrado dos veces. Sea X la variable aleatoria ”máx-ima puntuación obtenida en los dos lanzamientos”.

(a) Describir el espacio muestral del experimento.

(b) Describir el conjunto de posibles resultados de la variable aleatoriaX.

(c) Hallar la función de masa, la función de distribución, E(X) y V (X).

(d) Representar en un gráfico las funciones de masa y de distribución.

3. Se lanza un dado equilibrado dos veces. Sea X la variable aleatoria ”sumade puntos obtenidos”. Calcular y dibujar las funciones de masa y dedistribución.

4. Se lanza una moneda cargada tres veces, de forma que la probabilidadde obtener cara es 2/3, y la probabilidad de obtener cruz es 1/3. Sea lavariable aleatoria X =”el mayor número de caras sucesivas”.

(a) Calcular la probabilidad de cada elemento del espacio muestral.

(b) Para cada elemento del espacio muestral, indicar el valor que tomala variable aleatoria X.

(c) Calcular las funciones de masa y de distribución. Dibujarlas.

(d) Calcular la esperanza y la varianza de X.

5. Hallar el valor esperado y la varianza de cada una de las siguientes dis-tribuciones:

(a)xi 2 3 11f(xi) 1/3 1/2 1/6

(b)xi -5 -4 1 2f(xi) 1/4 1/8 1/2 1/8

(c)xi 1 3 4 5f(xi) 0.4 0.1 0.2 0.3

6. Se lanza un dado equilibrado. SeanX =”el doble del número que aparezcacomo resultado del lanzamiento” e Y =”1 si el resultado es impar y 3 siel resultado es par”.

(a) Calcular la función de masa, esperanza, varianza y desviación típicade X.

(b) Calcular la función de masa, esperanza, varianza y desviación típicade Y.

7. Un jugador lanza dos monedas equilibradas. Gana 5 euros si aparecen doscaras, 2 euros si aparece una cara y 1 euro si no aparece ninguna cara.

6

(a) Hallar la ganancia esperada.

(b) ¿Cuánto se debe pagar para jugar si el juego es justo?

8. Un jugador lanza dos monedas equilibradas. Gana 1 euro si aparece unacara y 2 euros si aparecen dos caras. Por otra parte, pierde 5 euros si noaparece ninguna cara. Determinar el valor esperado del juego y si éste esfavorable al jugador. ¿Y si pierde 4 euros si no sale ninguna cara?

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