variables aleatoria y distribuciones de probabilidad

8/18/2019 Variables aleatoria y distribuciones de probabilidad

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Probabilidad y Estadística Ing. Víctor SaquicelaUniversidad de Cuenca


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AGENDA

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Variables Aleatorias y Distribuciones Discretas de Probabilidad • Variables Aleatorias

• Variables Aleatorias Discretas

• Función de Probabilidad y de Distribución

• Esperanza Matemática, Varianza y Función Generatriz de Momentos

• Distribución Binomial

• Distribución Geométrica

Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas

Bibliografía


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OBJETIVOS

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• Aplicar conceptos matemáticos asociados a los estudios de variables

aleatorias discretas, mejorando en rigor y precisión la capacidad de

análisis.

• Interpretar diferentes fenómenos aleatorios mediante variables

aleatorias y determinar probabilidades de ocurrencia.

• Explicar los conceptos de variables aleatorias discretas como modelosde variables estadísticas.

Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas

Bibliografía


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VARIABLES ALEATORIAS

4Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas

Bibliografía

VariablesAleatorias

Discretas

Continuas

Enteros

Reales


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Variables Aleatorias


Bibliografía

• Normalmente, los resultados posibles (espacio muestral E) de un experimento

no son valores numéricos

• Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar de un modo ordenado tres

monedas al aire, para observar el numero de caras (C) y cruces (R) que se

obtienen, el espacio muestral es :

E={CCC, CCR, CRC, CRR, RCC, RCR, RRC, RRR}

• Resulta más fácil utilizar valores numéricos en lugar de trabajar directamente

con los elementos de un espacio muestral.

• Para {CRR,RCR,RRC} es preferible representar con un valor numérico 1, que

representa el numero de caras obtenidas al realizar el experimento.


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Definición Formal de Variable Aleatoria


Bibliografía

Variable Aleatoria • Se define como el de toda función matemática : → ℝ ↦ que atribuye un único número real a cada suceso elemental delespacio muestral

ℝ e

E

X


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Definición de Variable Aleatoria

7Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía

Ejemplificando una Variable Aleatoria • Siguiendo con el ejemplo anterior, se define la variable aleatoria ≡ "ú " del siguiente modo: : →ℝ 3

2 1 0 • En función de lo que tome la variable puede ser discreta o continua.

E={ CCC CCR CRC CRR RCC RCR RRC RRR }

3 2 2 1 2 1 1 0


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Variable Aleatoria Discreta


V.A.D • Una variable aleatoria es discreta cuando asume un conjunto finito o

infinito contable de valores posibles.

: → ℕ • Por ejemplo: número de artículos defectuosos, numero de accidentes

de carretera por año en una provincia, etc……..


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Función de Probabilidad


Definiciones • Las variables aleatorias transforman eventos del espacio muestral en

eventos numéricos, los cuales tienen asociado una probabilidad de

ocurrencia.

• Función definida sobre una variable aleatoria a los reales en el intervalo

[0,1] que cumplen con los axiomas de la teoría de la probabilidad.

• Probabilidad ( ) asociada a cada posible valor de


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Definición Formal • Dada una variable aleatoria discreta : → ℕ su función deprobabilidad , se define de modo que () es la probabilidad de que tome su valor: : ℕ → , -

↦ , . . - • Si no es uno de los valores que puede tomar , entonces 0


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Retomando el ejemplo anterior de las monedas

•

3 3 ∙ ∙ • 2 2 , , + + • 1 1 , , + + •

0 0 ∙

∙

Otra forma de interpretar • 0 ocurre solamente una vez, su probabilidad=1/8, X(RRR)=0

• 1 ocurre 3 veces, su probabilidad=3/8, X(RRC)=X(RCR)=X(CRR)=1

• 2 ocurre 3 veces, su probabilidad=3/8, X(CCR)=X(CRC)=X(RCC)=2

• 3 ocurre una vez, su probabilidad=1/8, X(CCC)=3

X p0 1/8

1 3/8

2 3/8

3 1/8


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Función de Distribución


Función de Distribución «Acumulada» • Función de distribución de una variable aleatoria discreta , que sedefine de modo que si ∈ℝ,() es igual a la probabilidad de que

tome un valor inferior o igual a : : ℕ→ , - ↦ ≤ , . . ≤ -


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Función de Distribución


Retomando el ejemplo de las tres monedas

• 0 ≤ 0 0 ( 0 ) • ( 1 ) ≤ 1 0 + ( 1 ) + • 2 ≤ 2 0 + 1 + 2 + + •

3 ≤ 3 0 + 1 + 2 + 3 + + + 1


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Función de Probabilidad y Distribución: representación gráficas



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Propiedades de la Distribución de Probabilidad Discreta


La probabilidad de un resultado siempre debe estar entere 0 y 1

0 ≤ ( ) ≤ 1 La suma de todos los resultados mutuamente excluyentes

siempre es 1


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Variable Aleatoria Discreta


• Si una variable discreta toma valores

,,

,……..

, la probabilidad

de que al hacer un experimento tome uno de esos valores es 1, demodo que cada posible valor de contribuye con una cantidad () al total:

= 1

=

∞

= 1∞

=


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Función de Probabilidad y Distribución: ejemplo



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Esperanza Matemática


Definición • También conocido como valor esperado o media de una variable

aleatoria es el numero - que formaliza la idea de valor medio deun fenómeno aleatorio.

• Este concepto se puede interpretar como una media ponderada.

∙ ( ) - • Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la sumade la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el

valor de dicho suceso

∙ + ∙ + ⋯ . . ∙ =


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Esperanza Matemática: ejemplo



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Varianza


Definición • La varianza de una variable aleatoria se define como:

()


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Esperanza Matemática y Varianza


Ejemplo • Sea X: número de hijos por familia de una cierta ciudad.

• a) Hallar la media o esperanza de X. ¿Qué significa?

0 ∙ 0 . 4 7 + 1 ∙ 0 . 3 0 + 2 ∙ 0 . 1 0 + 3 ∙ 0 . 0 6 + 4 ∙ 0 . 0 4 + 5 ∙ 0 . 0 2 + 6

∙ 0 . 0 1 1

• Si se toma al azar una familia de la población, el número medio o

esperado de hijos es 1.

0 1 2 3 4 5 6- 0.47 0.30 0.10 0.06 0.04 0.02 0.01


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Esperanza Matemática y Varianza

22Agenda Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Actividad

Continuación del ejemplo

• b) Varianza y desviación típica de X 1.74 1.32

• c) El municipio concede una ayuda anual de 2000 dolares por hijo. Hallar la

media, varianza y desviación típica de la variable aleatoria Y: ayuda (en

dolares) que recibe anualmente cada familia.

• Y viene dada por Y=2000X

2 0 0 0 ∙ 2 0 0 0 ∙ 2 0 0 0 ∙ 1 2 0 0 0 2000 ∙ (2000)∙ 6.69 ∙ 10 2000 ∙ 2000 ∙ 1.32 2638


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Momentos


Definición • La media de una variable aleatoria discreta describe su tendencia

central y la varianza mide su dispersión, pero ambas medidas no son

suficientes para describir completamente la forma de la distribución de

probabilidad.

• Los o ntos de una variable aleatoria son los valores esperados

de algunas funciones de la variable aleatoria.• Constituyen una colección de medidas descriptivas con las que se

puede caracterizar de manera única a su distribución de

probabilidad.

• Usualmente estas definiciones se las hace usando como referencia el

origen, o la media de la variable aleatoria.• Los momentos son las medidas descripticas de la variable aleatoria,

con los cuales se puede caracterizar su función de probabilidad.


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Momentos


Definición • Se define el n-ésimo momento de una variable aleatoria X , cuando

existe, como el numero (), para cualquier valor natural de n.• El n-ésimo momento central de X, cuando existe, es el número -, en donde . • El primer momento (no centrado) de X es simplemente la media y el

segundo momento central es la varianza. El e-nésimo momento secalcula como sigue:

() • El e-nésimo momento central de X se calcula como sigue:

()- ( ) () • El tercer momento central, mide la asimetría o sesgo.

• El cuarto momento central, mide la curtosis o puntiagudez.


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Función Generatriz de Momentos


Definición • Es una función especial que puede usarse para obtener todos los

momentos de una variable aleatoria discreta.

• Sea una variable aleatoria discreta. () función de probabilidad de . Entonces la funcion generadora de momentos de es: ()


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Distribución de Bernoulli


Experimento

Dicotómico

Exito

Fracaso

• Lanzamiento de una moneda: cara o cruz

• Lanzamiento de dado: número específico

• Preguntas “si” o “no”

}Experimentos de

Bernoulli


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Definición (

( )− * , )

• Consiste en realizar un experimento aleatorio una sola vez y observar sicierto suceso ocurre o no, siendo la probabilidad de que esto sea así(éxito) y el que no lo sea (fracaso).

• Variable aleatoria discreta que toma los valores 0 si el suceso noocurre, y

1 en caso contrario. Se denota

⤳

⤳ ⇔ → - → • Los principales momentos de son:


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Ejemplo • Lanzamiento de una moneda al aire.• Posibles resultados: 2

• : probabilidad cara 0.5 • : probabilidad cruz 1 0 . 5

( 1 )− *0,1

1 → 1 0.5(0.5)−0.5 0 → 0 0.5(0.5)−0.5 • La función de probabilidad es:

0 10

• La de distribución es: 0 < 0 0 ≤ ≤ 11 ≥ 1


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Distribución Binomial


Definición• Se dice que una variable aleatoria sigue una ley binomial de parámetros y , ⤳ , si la suma de variables aleatorias independientes

de Bernoulli con el mismo parámetro .•

Se interpreta de la siguiente manera: Supongamos que realizamos pruebas de Bernoulli , donde en todas ellas la probabilidad de éxitoes la misma (), y se quiere calcular el número de exitos obtenidosen el total de las pruebas.

• La función de probabilidad de una variable binomial es:


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Definición• La función de distribución de una variable binomial es:

• El valor esperado de esta variable es: • La varianza de esta variable es:


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Ejemplo• La probabilidad de que cierta clase de componente sobreviva a una

prueba de choque es . Calcular la probabilidad de que sobrevivanexactamente dos de los 4 componentes que se prueban.

• Supongamos que las pruebas realizadas son independientes y con

probabilidad de éxito

para cada una de las cuatro pruebas, por

tanto la variable ⤳ , , tenemos que calcular 2 42 34

14 4!2!2! ∙ 34 ∙ 27128 0.2109

• La esperanza es:

3 • La varianza es: 34


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Distribución Geométrica (o de fracasos)


Definición• Consideramos una sucesión de variables aleatorias independientes de

Bernoulli,

•

posee una distribución geométrica,

⤳ , si esta es la suma

del numero de fracasos obtenidos hasta la aparición del primer éxito enla sucesión por ejemplo


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Distribución Geométrica (o de fracasos)


Definición• La función de probabilidad es:

• La media es:

• La varianza es:


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Distribución Geométrica


Ejemplo• En un proceso de fabricación se puede suponer por estudios previos

que la probabilidad de que un artículo sea defectuoso es 0 . 0 1.Inspeccionamos artículos secuencialmente hasta encontrar uno

defectuoso. Calcular la probabilidad de que el quinto artículo

seleccionado sea el primer defectuoso.

•Definimos ≡"ú í «,⤳.

í 4 0 . 9 9 ∙0.010.0096

• La media es: .. 99 • La varianza es : .(.) 9900


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Distribución Geométrica


Aplicaciones• Como área de aplicación de este tipo de distribución, podemos citar

situaciones donde los ingenieros intentan determinar la eficacia de un

sistemas de conmutación telefónica durante periodos ocupados. En

este caso, el éxito representa la conexión al sistema de conmutación. La

variable sería el número de intentos fracasados antes de una conexión

al sistema (éxito).


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Conclusiones

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• Durante esta clase aprendimos y reforzamos los conocimientos devariables aleatorias discretas. Aprendimos los principales conceptos

que definen una variable aleatoria discreta, función de probabilidad y

función de distribución. Para esto, se utilizó ejemplos significativos que

muestran el proceso de formalización. Además, se estudió las

distribuciones de Bernoulli, Binomial y geométrica. Para estasdistribuciones se definieron ejemplos ilustrativos.

Presentación Objetivos Contenido Conclusiones Preguntas Bibliografía


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PREGUNTAS

37Presentación Objetivos Contenido Conclusiones Preguntas Bibliografía


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Bibliografía

38Presentación Objetivos Contenidos Conclusiones Preguntas Bibliografía

• Introduction to the Practice of Statistics. Authors: W.H. Freman. 2002

• Applied Statistics and Probability for Engineers. Authors: D. Mongomery and G.

Runger. 2011

• Bioestadística: Métodos y Aplicaciones. Autores: Francisca Ríus Díaz, Francisco

Javier Barón Lopez, Elisa Sánchez Font y Luis Parras Guijosa

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