Probabilidad condicional Institución Educativa Naranjal

Ing. José Noé Sánchez Sierra Permite calcular la probabilidad de que un evento ocurra si ocurre otro. Se escribe y se calcula:

푃(퐵|퐴) =푃(퐴 ∩ 퐵)푃(퐴) 푐표푛푃(퐴) ≠ 0

Se lee: probabilidad de que ocurra un evento B dado que ocurra un evento A. Ejemplo 1: Una persona lanza una moneda tres veces ¿cuál es la probabilidad de obtener 3 caras dado que salió por lo menos una cara en la prueba anterior? Solución Primero, hallo el espacio muestral de lanzar tres veces una moneda, teniendo en cuenta c:cara, s:sello.

푆 = {푐푐푐, 푐푐푠, 푐푠푐, 푠푐푐, 푠푠푠, 푠푠푐, 푠푐푠, 푐푠푠}

Recuerde que el cardinal, es el número de elementos del espacio, 푐푎푟푑(푆) = 8

Segundo, hallo el espacio muestral del evento A, el cual será que por lo menos hay una cara en los tres lanzamientos. Por tanto, tomando el espacio muestral “S” simplemente elimino el elemento donde no hay caras, y obtengo:

퐴 = {푐푐푐, 푐푐푠, 푐푠푐, 푠푐푐, 푠푠푐, 푠푐푠, 푐푠푠}푐푎푟푑(퐴) = 7 Tercero, me falta hallar el espacio muestral del evento B, donde todos son caras:

퐵 = {푐푐푐}푐푎푟푑(퐵) = 1 Cuarto, hallo la intersección entre A y B, recuerde que la intersección corresponde a los elementos comunes entre ambos conjuntos, en este caso, solo hay uno, por tanto, nos queda:

(퐴 ∩ 퐵) = {푐푐푐}; 푐푎푟푑(퐴 ∩ 퐵) = 1 Quinto, según la fórmula de probabilidad condicional necesito las probabilidades del suceso A y la intersección entre A y B, para ello utilizo la regla de Laplace, que no es otra que dividir los cardinales, como se muestra a continuación:

푃(퐴) =푐푎푟푑(퐴)푐푎푟푑(푆)

=푐푎푠표푠푓푎푣표푟푎푏푙푒푠푑푒퐴

푐푎푠표푠푝표푠푖푏푙푒푠=

78

푃(퐴 ∩ 퐵) =푐푎푟푑(퐴 ∩ 퐵)푐푎푟푑(푆)

=18

Sexto, aplico la fórmula de probabilidad condicional, y la regla del teléfono, u oreja o banano (extremos por extremos, y medios por medios) para simplificar los fraccionarios.

푃(퐵|퐴) =푃(퐴 ∩ 퐵)푃(퐴) =

1878

=17

R/: La probabilidad de obtener 3 caras dado que salió al menos una cara en la oportunidad anterior es de 1/7. Ejemplo 2: Existen casos que solo basta con analizar el ejercicio, sin necesidad de aplicar la fórmula de probabilidad. Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 12 semillas de flores (R) rojas y 6 de flores (B) blancas. ¿Cuál es la probabilidad de qué:

a. La primera sea roja? b. La segunda semilla sea blanca, dado que la

primera fue roja? Solución Primero, hago un conteo del total de casos posibles, para ello organizó los datos en una tabla:

Semillas Cantidad Rojas 12 Blancas 6 Total 18

Segundo, hallo la probabilidad de que sea roja.

푃(푅) =푐푎푠표푠푓푎푣표푟푎푏푙푒푠푑푒푅표푗푎푠푐푎푠표푠푝표푠푖푏푙푒푠(푡표푡푎푙)

=1218

=69

=29

Tercero, hallo la probabilidad de que la segunda semilla sea blanca, pero como ya saque una roja de la bolsa, el total cambia, de 18 pasa a ser 17.

푃(퐵|푅) =푐푎푠표푠푓푎푣표푟푎푏푙푒푠푑푒푏푙푎푛푐푎푠푐푎푠표푠푝표푠푖푏푙푒푠(푛푢푒푣표푡표푡푎푙)

=6

17

Ejemplo 3: Se lanza un dado, hallar la probabilidad de que salga un número 2, si sabemos que sale un número par.

Solución Para solucionar este ejercicio, seguiré el mismo procedimiento que en el ejemplo 1. Manera formal Primero, hallo el espacio muestral de lanzar un dado

푆 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 푐푎푟푑(푆) = 6 Segundo, hallo el espacio muestral del evento A, donde sale un número par:

퐴 = {2, 6, 8}푐푎푟푑(퐴) = 3 Segundo, hallo el espacio muestral del evento B, que es que salga un dos:

퐵 = {2}푐푎푟푑(퐵) = 1 Cuarto, hallo la intersección entre A y B, recuerde que la intersección corresponde a los elementos comunes entre ambos conjuntos, en este caso, solo hay uno, por tanto, nos queda:

(퐴 ∩ 퐵) = {2}; 푐푎푟푑(퐴 ∩ 퐵) = 1 Quinto, según la fórmula de probabilidad condicional necesito las probabilidades del suceso A y la intersección entre A y B, para ello utilizo la regla de Laplace, que no es otra que dividir los cardinales, como se muestra a continuación:

푃(퐴) =푐푎푟푑(퐴)푐푎푟푑(푆)

=푐푎푠표푠푓푎푣표푟푎푏푙푒푠푑푒퐴

푐푎푠표푠푝표푠푖푏푙푒푠=

36

=12

푃(퐴 ∩ 퐵) =푐푎푟푑(퐴 ∩ 퐵)푐푎푟푑(푆)

=16

Sexto, aplico la fórmula de probabilidad condicional, y la regla del teléfono, u oreja o banano (extremos por extremos, y medios por medios) para simplificar los fraccionarios.

푃(퐵|퐴) =푃(퐴 ∩ 퐵)푃(퐴) =

1612

=26

=13

R/: La probabilidad de obtener 2 después de sacar un número par a lanzar un dado es de 1/3. Otra forma de solucionarlo. Si al lanzar el dado obtengo un número par, mi nuevo espacio de muestro pasa de ser 6 a 3 elementos, y de allí solo tengo una sola oportunidad, es decir, 1 de 3. Por tanto, la probabilidad de obtener un dos, después de haber sacado un número par al lanzar el dado es de,

푃(퐵|퐴) =13

Ejercicios 1. Se lanza un dado, hallar la probabilidad de

obtener el número 5, si sabemos que obtuvimos un número mayor que 3. (desarróllelo de las dos maneras)

2. Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 15 semillas de flores (R) rojas y 7 de flores (B) blancas. ¿Cuál es la probabilidad de qué:

a. La primera sea roja? b. La segunda semilla sea blanca, dado que la

primera fue roja? c. La segunda semilla sea roja, dado que la

primera fue roja? 3. Una persona lanza una moneda cuatro veces

¿cuál es la probabilidad de obtener 3 caras dado que salió por lo menos una cara en la prueba anterior?

4. En una empresa hay 75 empleados, de los cuales, 40 son encargados de sección, y 35 son administrativos. Algunos de ellos utilizan ordenador para sus tareas, y otros no. Tal como se muestra en la siguiente tabla: Calcular la probabilidad de que al elegir una persona de la empresa sea un encargado, sabiendo que no tiene ordenador. (Clave: la intersección es la suma de cada columna, el total de sin ordenador, es una intersección, y con ordenador otra)

5. Explique la solución del siguiente ejercicio:

Tarea: Dar dos ejemplos de diagrama de árbol (investigue)

Sin Ordenador

Con Ordenador

Total

Encargados 8 32 40 Administrativos 20 15 35 Total 28 47 75