Probabilidad

Cuando realizamos un experimento, diremos que es:

DetermínistIco: dadas unas condiciones iniciales , el resultado es siempre el mismo.

Aleatorio: dadas unas condiciones iniciales, conocemos el conjunto de resultados posibles, pero NO el resultado final.

SUCESOS DETERMINÍSTICOS Y ALEATORIOS

Un experimento que está sujeto al azar con n posibles resultados equiprobables y mutuamente excluyentes y nA es la cantidad de sucesos que presentan la característica A entonces la probabilidad de que suceda A es:

P(A) = nA/n Ejemplos:

Con un juego de baraja española, al sacar una carta ¿cuál es la probabilidad de sacar un número menor o igual que 3?

12/40 = 3/10

Al lanzar un dado perfectamente equilibrado, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número impar?

3/6 = 1/2

La probabilidad de un suceso es la frecuencia relativa de veces que ocurriría el suceso al realizar un experimento repetidas veces.

CLASIFICACION OMS

469 46,9%

467 46,7%

64 6,4%

1000 100,0

NORMAL

OSTEOPENIA

OSTEOPOROSIS

Total

VálidosFrecuencia Porcentaje

OSTEOPOROSIS

OSTEOPENIA

NORMAL

0 10 20 30 40 50

Porcentaje

CLASIFICACION OMS

P(Normal) = 0,469 P(Osteopenia) = 0,467 P(Osteoporosis) = 0,064

Subjetiva: Grado de certeza que se posee sobre un suceso. Es personal y se puede formular, por ejemplo, en términos de apuestas:

En todas las definiciones nos referimos a sucesos. Recordemos qué son y cuáles las operaciones típicas.

Ejemplo: Dos individuos apuestan Bs 5 por el equipo A y Bs 12 por el equipo B, respectivamente, entonces La probabilidad de que gane A es: 5/(5+12) La probabilidad de que gane B es: 12/(5+12)

Suceso es cada posible resultado de un experimento aleatorio

El conjunto de todos los resultados posibles es el espacio muestral (Ω)

Se llama suceso a un subconjunto del espacio muestral

Dado un suceso A, el suceso contrario (complementario), A’ (o AC), es el formado por los elementos que no están en A

Se llama suceso unión de A y B, AUB, al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos).

Se llama suceso intersección de A y B, A∩B (o simplemente AB), al formado por los elementos que están en A y B

Ω espacio muestral

Ω espacio muestral

A

A’

Ω espacio muestral

A

B

Ω espacio muestral

A

B

Ω espacio muestral

A

B

Unión Intersección

Ejemplo 1: En el experimento aleatorio “lanzar un dado” el espacio muestral es

Ω = 1,2,3,4,5,6

Algunos eventos: Sacar un número impar: A = 1,3,5 Sacar un número primo: B = 1,2,3,5 Sacar un número que no sea impar: A’= 2,4,6 Sacar un número primo no impar: B ∩ A’= 2

Ejemplo 2: En el experimento aleatorio “lanzar una moneda y un dado”, el espacio muestral es

Ω = 1,C, 1,S, 2,C, 2,S, 3,C, 3,S, 4,C, 4,S, 5,C, 5,S, 6,C, 6,S

Algunos eventos: Sacar sello y un número par: A = 2,S, 4,S, 6,S Sacar cara: B = 1,C, 2,C, 3,C, 4,C, 5,C, 6,C Sacar un número par:

D = 2,C, 2,S, 4,C, 4,S, 6,C, 6,S Sacar cara o un número par:

B U C = 2,C, 2,S, 4,C, 4,S, 6,C, 6,S, 1,C, 3,C, 5,C Sacar cara y un número par:

B ∩ C = 2,C, 4,C, 6,C

Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada suceso A un valor numérico P(A) y que verifica las siguientes reglas (axiomas):

P(S) = 1 (S es el evento seguro)

0 ≤ P(A) ≤ 1

P(AUB) = P(A)+P(B) si A∩B = Ø Ø es el conjunto vacío.

S espacio muestral

100%

B

S espacio muestral

A

A

Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A suponiendo que ha sucedido B:

)(

)()|(

BP

BAPBAP

S espacio muestral

B

“tam

año”

de

uno

resp

ecto

al

otro

Error frecuentísimo: No confundir probabilidad condicionada con intersección. En ambos medimos efectivamente la intersección, pero…

En P(A∩B) con respecto a P(S)=1 En P(A|B) con respecto a P(B)

Concepción clásica:

¿casos

posibles?

¿casos

favorables?

B

A

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,10

B

A

¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?

P(A|B) = 1 P(A|B) = 0,8

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,08

A

B

A

B

¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?

P(A|B) = 0,05 P(A|B) = 0

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,005

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0

Los problemas de probabilidad pueden resolverse a partir de los axiomas, pero es más cómodo si usas algunas reglas de cálculo: P(A’) = 1 - P(A)

P(S)=1 , P(Ø)=0

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)(Generaliza esta expresión para 3 o más (n) eventos. Utiliza una notación adecuada)

P(A ∩ B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B)

P(A∩B∩C) = P(A) P(B|A) P(C|A∩B) (Esta es la regla de la multiplicación. Generaliza esta expresión para 4 o más (n) eventos Utiliza una notación adecuada)

Ejemplo: Considerar el siguiente sistema de filtros junto con la probabilidad de que cada el filtro funcione correctamente.Calcular la probabilidad de que el sistema filtre de manera eficaz.

P(A) = 0,9

P(A U (B∩C)) = P(A)+P(B∩C)-P(A∩B∩C)=P(A)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)

= 0,9 + 0,8 x 0,7 - 0,9 x 0,8 x 0,7 = 0,956

P(C) = 0,7P(B) = 0,8

Ejemplo: Tenemos en un cajón dos tipos de analgésicos: 20 del tipo A y 10 del tipo B. Si cogemos tres analgésicos al azar, ¿cuál es la probabilidad de los tres sean del tipo A?

Llamamos Ai = el i-ésimo analgésico extraído es de tipo A.P(A1∩A2∩A3)= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2) = (20/30)(19/29)(18/28) = 0,28079

Dos sucesos son independientes si el que ocurra uno no añade información sobre el otro.

A es independiente de B

P(A|B) = P(A)

P(A ∩ B) = P(A) P(B)

Se ha repetido en 1000 ocasiones el experimento de elegir a una mujer de una población muy grande. El resultado está en la tabla. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer

tenga osteoporosis? P(Osteoporosis) = 64/1000 = 0,064 (6,4%)

Coincide con la noción frecuentista de probabilidad P(osteoporosis)=P(osteoporosis y menopausia)+P(osteoporosis y No

menopausia)

Es la probabilidad marginal (de la osteoporosis. respecto de la menopausia) o probabilidad total.

Recuento

189 280 469

108 359 467

6 58 64

303 697 1000

NORMAL

OSTEOPENIA

OSTEOPOROSIS

CLASIFICACIONOMS

Total

NO SI

MENOPAUSIA

Total

¿Probabilidad de tener osteopenia u osteoporosis? P(OsteopeniaUOsteoporosis) = 467/1000+64/1000 = 0,531

Son sucesos disjuntos Osteopenia ∩ Osteoporosis = Ø

¿Probabilidad de tener osteoporosis o menopausia? P(OsteoporosisUMenopausia) = 64/1000+697/1000 - 58/1000 =

0,703 No son sucesos disjuntos

¿Probabilidad de una mujer sin osteoporosis o menopausia? P(Normal) = 469/1000 = 0,469 P(Normal) = 1- P(Normal’) = 1- P(OsteopeniaUOsteoporosis) = 1-

10,531= 0,469

Recuento

189 280 469

108 359 467

6 58 64

303 697 1000

NORMAL

OSTEOPENIA

OSTEOPOROSIS

CLASIFICACIONOMS

Total

NO SI

MENOPAUSIA

Total

Si es menopáusica… ¿probabilidad de osteoporosis? P(Osteoporosis|Menopausia) = 58/697 = 0,098

¿Probabilidad de menopausia y osteoporosis? P(Menop. ∩ Osteoporosis) = 58/1000 = 0,058

Otra forma:

058,01000/58697

58

1000

697

)|(.)().(

MenopisOsteoporosPMenopPisOsteoporosMenopP

Recuento

189 280 469

108 359 467

6 58 64

303 697 1000

NORMAL

OSTEOPENIA

OSTEOPOROSIS

CLASIFICACIONOMS

Total

NO SI

MENOPAUSIA

Total

¿Son independientes menopausia y osteoporosis? Una forma de hacerlo

P(Osteoporosis) = 64/1000 = 0,064 P(Osteoporosis|Menopausia) = 58/697 = 0,098

La probabilidad de tener osteoporosis es mayor si ha pasado la menopausia. Añade información extra. No son independientes.

¿Otra forma? P(Menop. ∩ Osteoporosis) = 58/1000 = 0,058 P(Menop.) P(Osteoporosis) = (697/1000) x (64/1000) =

0,045 La probabilidad de la intersección no es el producto de

probabilidades. No son independientes.

Recuento

189 280 469

108 359 467

6 58 64

303 697 1000

NORMAL

OSTEOPENIA

OSTEOPOROSIS

CLASIFICACIONOMS

Total

NO SI

MENOPAUSIA

Total

A1 A2

A3 A4

Es una colección de sucesos

A1, A2, A3, A4…

tal que la unión de todos ellos forman el espacio muestral , y sus intersecciones son disjuntas.

¿Recordar cómo formar intervalos en tablas de frecuencias?

Sucesoseguro

A1

A2

A3

A4

A1 A2

A3 A4

B

Todo suceso B, puede ser descompuesto en sus componentes respecto de la partición disjunta

B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 )

Descomponemos el problema B en subproblemas más simples.

Sucesoseguro

A1

A2

A3

A4

B

B

B

B

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada una de las componentes de una partición disjunta del espacio muestral, entonces…

… podemos calcular la probabilidad de B.

P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2) + P(B∩A3) + P( B∩A4)

= P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)+ P(A3) P(B|A3) + P(A4) P(B|A4)

Sucesoseguro

A1

A2

A3

A4

B

B

B

B

P(A1)

P(A2)

P(A3)

P(A4)

P(B|A1)

P(B|A2)

P(B|A3)

P(B|A4)

Ejemplo (I): En esta aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los hombres, son fumadores el 20%.

¿Qué porcentaje de fumadores hay? P(F) = P(M∩F) + P(H∩F)

= P(M)P(F|M) + P(H)P(F|H)

=0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2

= 0,13 (13%)

Prob. Total. Hombres y mujeres forman una partición disjunta

Estudiante

Mujer

No fuma

Hombre

Fuma

No fuma

Fuma

0,7

0,1

0,20,3

0,8

0,9

•Los caminos a través de nodos representan intersecciones.

•Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.

Hombre

MujerFuman

ii

P(B A )P(A |B)

P(B)

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada una de las componentes de una partición disjunta del espacio muestral, entonces…

…si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai.

donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:

P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )

= P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)+ P(A3) P(B|A3) + P(A4) P(B|A4)

Se elije una persona fumadora al azar, ¿qué probabilidad hay de que sea hombre?.

( ) ( ) ( | )( | )

( ) ( )

( ) ( | )

( ) ( | ) ( ) ( | )

0,3 0,2 0,3 0,20,46

0,3 0,2 0,7 0,1 0,13

P H F P H P F HP H F

P F P F

P H P F H

P H P F H P M P F M

Estudiante

Mujer

No fuma

Hombre

Fuma

No fuma

Fuma

0,7

0,1

0,20,3

0,8

0,9

FumanHombre

Mujer