prizma i piramida - matematiranje.in.rs matura 2013/v-pdf/14.prizma i piramida... · površinu baze...
TRANSCRIPT
a
a
a
2
2
2
6
6 5
6 25
150
P a
P
P
P cm
= ⋅
= ⋅
= ⋅
=
3
3
3
5
125
V a
V
V cm
=
=
=
a
a
a
a
2d a=
dijagonalni presek Kocka ima 12 ivica. Znači da ćemo dužinu jedne ivice dobiti 24 :12 2a cm= =
2
2
24
2
2
cmP
aP
aaP
DP
DP
DP
=
⋅=
⋅⋅=
a
b
2 2 2D a b c= + +
c
2192
962
)12312443(2
)(2
cmP
P
P
acbcabP
=
⋅=
⋅+⋅+⋅=
++=
cmD
D
D
D
cbaD
13
169
144169
1243 222
222
=
=
++=
++=
++=
Najpre da sa slike odredimo dužine ivica a , b i c.
2cm 2cm
2cm
2cm
2cm
a=4cm
b=2cm
c=4cm
264
322
)8168(2
)424424(2
)(2
cmP
P
P
P
bcacabP
=
⋅=
++=
⋅+⋅+⋅=
++=
Ovde ustvari tražimo površinu kutije, odnosno kvadra.
Pošto rešenje traže u metrima kvadratnim, odmah ćemo pretvoriti:
a = 50cm = 0,5m
b = 40cm = 0,4m
c = 45cm = 0,45m
2
2( )
2 (0,5 0, 4 0,5 0, 45 0, 4 0, 45)
2 (0,2 0, 225 0,18)
2 0,605
1,21
P ab ac bc
P
P
P
P m
= ⋅ + +
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⋅ + +
= ⋅
=
a
a
H
H
a
a
Iz površine baze ćemo naći dužinu osnovne ivice a:
2
249
49
7
B a
a
a
a cm
=
=
=
=
2
2
182
8498
374492
42
2
cmP
P
P
HaaP
MBP
=
+=
⋅⋅+⋅=
⋅⋅+=
+=
a
a
a
a
d=5cm
H=12cm
H
I način :
Upotrebljavamo formulu za površinu kvadrata(baze) 2
2
dB =
2
2
3
2
512
2
2512
2
150
V BH
dV H
V
V
V cm
=
=
= ⋅
= ⋅
=
II način :
Ko nezna onu formulu mora ovako:
2
5 2
5 2
2 2
5 2
2
d a
a
a
a cm
=
=
= ⋅
=
3
2
2
150
124
225
122
25
cmV
V
V
HaV
HBV
=
⋅⋅
=
⋅
=
⋅=
⋅=
a
a
H
H
a
a
d
d
1
2
=16cm
=12cm
Primenom Pitagorine teoreme na plavi trougao nalazimo a:
2 2
2 1 2
2 2 2
2
2
2 2
8 6
64 36
100
10
d da
a
a
a
a cm
= +
= +
= +
=
=
1 2
2
2
2 42
16 12 4 10 4
192 160
352
P B M
d dP aH
P
P
P cm
= +
= +
= ⋅ + ⋅ ⋅
= +
=
Proučimo najpre sliku:
a
a
H
H
a
a
d
D
60o
30o
A
E
M
Uočimo osenčeni trougao AME. On ima uglove od 60, 30 i 90 stepeni pa je on ustvari polovina jednakostraničnog
trougla čija je stranica AE.
A M
E
H
60o
30o
3
2
3
2
8 2 3
2
4 6
ah
AEH
H
H cm
=
⋅=
⋅=
=
△
△
Iz dijagonale osnove nañemo a:
2
4 2 2
4
d a
a
a cm
=
=
=
3
2
664
6416
cmV
V
HaV
HBV
=
⋅=
⋅=
⋅=
aa
H
a=9cm
d=15cm
Primenom Pitagorine teoreme ćemo naći visinu.
cmH
H
H
H
adH
12
144
81255
915
2
222
222
=
=
−=
−=
−=
3
2
3243
3381
124
39
cmV
V
V
HBV
=
⋅=
⋅⋅
=
⋅=
Iz površine baze najpre nañemo dužinu osnovne ivice.
2
3
4
336 3
4
144
12
aB
a
a
a cm
=
=
=
=
aa
H
a
H
( ) 2
2
2 3
2 36 3 3 12 8
72 3 72 4
72 3 4
P B M
P B a H
P
P
P cm
= +
= + ⋅
= ⋅ + ⋅ ⋅
= + ⋅
= +
Proučimo najpre sliku.
Tavan je trostrana prizma visine H = 10m.
U bazi je pravouglo jednakokraki trougao ( polovina kvadrata ) dijagonale d = 8cm.
d=8m45
o45
o
Površinu baze ćemo naći kao polovinu površine ovog kvadrata.
2 2
2
2
832
2 2
3216
2 2
kv
kv
dP m
PB m
= = =
= = =
Zapremina je :
2
16 10
160
V BH
V
V m
=
= ⋅
=
Nacrtajmo najpre sliku.
a=15cmb=
20cm
ab
c
c
H=c
Primenom Pitagorine teoreme nañemo c.
2 2 2
2 2 2
2
2
15 20
225 400
625
25
c a b
c
c
c
c cm
= +
= +
= +
=
=
Kako je c = H, odmah znamo da je i H=25cm
Da sklopimo površinu. Pazi! Nije ona klasična formula, jer se omotač sastoji iz tri različita pravougaonika...
21800
1500300
25)252015(2015
)(2
2
2
cmP
P
P
Hcbaab
P
MBP
=
+=
⋅+++⋅=
⋅+++⋅=
+=
Da se podsetimo : 31 1litar dm=
Data nam je zapremina bazena: 3 3200 200 200000V l dm cm= = =
c=H c
a=80cm
b=50cm
Trebamo naći visinu !
200000 80 50
200000
80 50
50
V a b H
H
H
H cm
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=⋅
=
a
a a
H
BSd
a
H H
Pitagorina teorema :
2 2 2
2
2
36 9
27
9 3
3 3
H d a
H
H
H
H cm
= −
= −
=
= ⋅
=
2
3
36
4
9 36 3 3
4
81 3
2
121,5
V B H
aV H
V
V
V cm
= ⋅
= ⋅
= ⋅
⋅=
=
32 ad =
BSd
AC je manja dijagonala baze!( pogledaj teorijske napomene i podseti se formula)
cmaa
AC 33332
32 =⋅==
⋅=
1CD je dijagonala bočne strane koju tražimo preko Pitagorine teoreme:
( ) ( )
2 2 2
1
2 22
1
2
1
2
1
1
3 22
3 22
25
5
CD CD DD
CD
CD
CD
CD cm
= +
= +
= +
=
=
Imamo dužine stranica pravougaonika, pa nije teško izračunati površinu:
2
1
15
53
cmP
P
CDACP
=
⋅=
⋅=
PIRAMIDA
Primenom Pitagorine teoreme na označeni trougao , dobijamo:
2
2 2
2 2 2
2
2
2
8 6
64 36
100
100
10
ah H
h
h
h
h
h cm
= +
= +
= +
=
=
=
2
2
2
384
240144
1012212
24
cmP
P
P
haaP
MBP
=
+=
⋅⋅+=
⋅+=
+=
2
3
3
12 8
3
144 8
3
384
B HV
V
V
V cm
⋅=
⋅=
⋅=
=
Iskorisićemo zapreminu i naći dužinu osnovne ivice a:
2
2
2
11280 15
3
1280 3
15
256
256
16
a
a
a
a
a cm
= ⋅ ⋅
⋅=
=
=
=
Pitagora:
2
2 2
2
2 2
2
2
2
1615
2
225 64
289
17
ah H
h
h
h
h cm
= +
= +
= +
=
=
2
2
800
17162256
24
cmP
P
haaP
MBP
=
⋅⋅+=
⋅⋅+=
+=
a
a
hH
s
s
a/2
2
2 2
2 2 2
2
2
2
20 12
400 144
256
16
aH h
H
H
H
H cm
= −
= −
= −
=
=
2
2
3
3
3
24 16
3
576 16
3
3072
B HV
a HV
V
V
V cm
⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
=
Preko površine bočne strane ćemo naći apotemu h:
2
820
2
40
8
5
bs
a hP
h
h
h cm
⋅=
⋅=
=
=
a
a
hH
s
s
a/2
2
2 2
2 2 2
2
2
2
5 4
25 16
9
3
aH h
H
H
H
H cm
= −
= −
= −
=
=
2
2
3
3
3
8 3
3
64
B HV
a HV
V
V cm
⋅=
⋅=
⋅=
=
TETRAEDAR
Kako je piramida jednakoivična ( a = s) , njena površina se sastoji iz površine 4 jednakostranična trougla!
2
2
2
2
34
4
3
6 3
36 6
aP
P a
P
P cm
=
=
=
=
a
a
s sH
rr
ou
h
Primenom Pitagorine teoreme dobijamo apotemu h . Da vas podsetimo: 3
6u
ar =
2
2 2
2
2 2
2
2
2
2
3
6
20 3 324
6
20 3576
6
576 100
676
26
ah H
h
h
h
h
h cm
= +
⋅= +
⋅ = +
= +
=
=
2
2
33
4 2
400 3 3 20 3 263
4 2
300 3 780 3
1080 3
P B M
a a hP
P
P
P cm
= +
⋅= + ⋅
⋅ ⋅= + ⋅
= +
=
a
a
s shH
a / 2
2
2 2
2 2 2
2
2
2
5 4
25 16
9
3
ah s
h
h
h
h cm
= −
= −
= −
=
=
( ) 2
2
2
36316
2
383
4
38
23
4
3
cmP
P
haaP
MBP
+=
⋅⋅+
⋅=
⋅⋅+=
+=
Pazi: moramo da stavimo rešenje u zagradu ako ne izvlačimo zajednički!
a
a
s sH
rr
ou
h
2
2 2
2
2 2
2
3
6
313 12
6
325
6
35
6
3 30
30 racionališemo...
3
30 3
3 3
30 3
3
10 3
ah H
a
a
a
a
a
a
a
a cm
= −
= −
=
=
=
=
= ⋅
=
=
2
2
3300
124
33100
3
1
4
3
3
1
3
1
cmV
V
Ha
V
HBV
=
⋅⋅⋅
⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
a
a
H h
a
ss
3
2
a
2
2 2
2
2 2
2
2
3
2
6 33
2
9 27
36
6
ah H
h
h
h
h cm
= +
= +
= +
=
=
( )
2
2
36 6
4 2
36 3 6 66 6 54 3 108 54 3 54 2
4 2
54 3 2
a a hP
P
P cm
⋅= ⋅ + ⋅
⋅= ⋅ + ⋅ = + = + ⋅
= +
2
2
354
32
336
34
36
3
1
3
1
cmV
V
aV
HBV
=
⋅=
⋅⋅⋅=
⋅⋅=
Iz površine omotača ćemo naći apotemu:
62
4 3120 3 6
2
120 3 12 3
10
a hM
h
h
h cm
⋅=
⋅= ⋅
= ⋅
=
Dalje nam treba visina H, dakle i slika…
a
a
H h
a
ss
3
2
a
2
2 2
2
2 2
2 2 2
2
2
3
2
4 3 310
2
10 6
100 36
64
8
aH h
H
H
H
H
H cm
= −
⋅= −
= −
= −
=
=
( )
2
2
3
1
3
1 36
3 2
4 3 38
2
16 3 3 4
192 3
V B H
aV H
V
V
V cm
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅
=
a
a
ss
a2a
H
60o
60o
60o
Dijagonalni presek je jednakostranični trougao, dakle s = 2a, pa je :
cma
a
5
102
=
=
Visina piramide je ustvari visina tog jednakostraničnog trougla stranice 10cm, pa je :
3
2
10 3
2
5 3
sH
H
H cm
⋅=
=
=
2
3
1
3
1 36
3 4
25 35 3
2
125 3
2
375
2
187,5
V B H
aV H
V
V
V
V cm
= ⋅ ⋅
⋅= ⋅ ⋅ ⋅
⋅= ⋅
⋅=
=
=
a) Iskoristićemo zapreminu da nañemo H.
2 2
2
1 3 36
3 4 2
8 3352 3
2
352 32
352
32
11
a aV H H
H
H
H
H cm
= ⋅ = ⋅
= ⋅
=
=
=
b)
a
a
H h
a
ss
3
2
a
2
2 2
2 2 2
2
2
3
2
11 (4 3)
121 16 3
169
13
ah H
h
h
h
h cm
= +
= +
= + ⋅
=
=
v)
( )
2
2
2
36 6
4 2
8 3 8 136 6
4 2
64 36 6 4 13
4
96 3 52 24 4 3 24 13
24 4 3 13
P B M
a a hP
P
P
P
P cm
= +
⋅= ⋅ +
⋅= ⋅ +
= ⋅ + ⋅ ⋅
= + = ⋅ + ⋅
= +
a
Hh
a
ss
3
2
a
45o
45oO
P
S
Osenčeni trougao je jednakokrako- pravougli!
O P
S
45o
45o
h
On je polovina kvadrata. Dakle, h je dijagonala tog kvadrata čija je stranica OP.
2
2
3 3 2
3 6
d a
h OP
h
h cm
=
= ⋅
= ⋅
=
□ □
( )
2
2
36 6
4 2
36 3 6 3 66 6 54 3 54 6
4 2
54 3 6
a a hP
P
P cm
⋅= ⋅ +
⋅= ⋅ + ⋅ = +
= +