prisme si piramide

Clasa a VIII-a. Prisme si piramide din variantele SNEE 2007

1. Fie ABCDABC D un paralelipiped dreptunghic cu AA = 3

5 cm, AB = 6 cm si

BC = 3 cm. Fie O mijlocul segmentului [BD] si M mijlocul segmentului [AB] .

a) Demonstrati ca dreptele OM si AB sunt perpendiculare.b) Calculati masura unghiului determinat de dreapta DB si planul (ABC) .c) Calculati valoarea tangentei unghiului determinat de planele (ADM) si (DDM) .

2. Fie ABCDABC D un paralelipiped dreptunghic cu AA = 8

2 cm si BC = 8

7 cm.

Aria patrulaterului ABC D este egala cu 192 cm2.a) Aratati ca AB = 8 cm.

b) Calculati valoarea tangentei unghiului format de dreptele AC si AD.c) Calculati distanta de la punctul D la planul (ABC) .

3. Fie SABC o piramida triunghiulara regulata, de baza ABC. Punctul M este mijlocul

muchiei [BC], masura unghiului determinat de dreptele SM si SA este egala cu 90 si SA =6

2 cm.

a) Aratati ca triunghiul SAC este dreptunghic.

b) Calculati volumul piramidei SABC.

c) Fie punctele A si B mijloacele muchiilor [SA] si respectiv [SB], iar P si Q proiectiilepunctelor A si respectiv B pe planul (ABC). Calculati aria triunghiului CPQ.

4. Piramida triunghiulara ABCD are toate muchiile de lungime a cm, iar punctul M este

mijlocul muchiei [AC].

a) Aratati ca dreapta AC este perpendiculara pe planul (MBD).

b) Calculati aria triunghiului MBD.

c) Calculati distanta de la punctul M la planul (BCD).

5. Piramida patrulatera regulata SPACE, de baza PACE, are muchia bazei PA = 12 cm

si naltimea SO = 6 cm.

a) Calculati volumul piramidei SPACE.

b) Stiind ca punctul M este mijlocul muchiei [SP ], aratati ca dreapta MO este paralela cu

planul (SEC).

c) Calculati masura unghiului determinat de planele (SPC) si (SAC).

6. Prisma dreapta ABCABC cu baza triunghiul echilateral ABC, are muchia bazei AB =4 cm si aria laterala egala cu 72 cm2.

a) Aratati ca muchia laterala a prismei este de 6 cm.

b) Calculati volumul piramidei a carei baza coincide cu una din bazele prismei, iar varful

se gaseste n centrul de greutate al celeilalte baze a prismei.

c) Calculati valoarea sinusului unghiului dintre dreptele AB si BC .

1

7. In prisma dreapta ABCDABC D cu baza patrat, masura unghiului dintre diagonalaDB si planul (ABC) este 60, iar latura bazei este AB = 5 cm.

a) Demonstrati ca dreptele DC si AD sunt perpendiculare.b) Calculati aria laterala prismei.

c) Fie punctele M,N,P,Q situate pe muchiile [AA], [BB], [CC ] si respectiv [DD] astfelncat AM = 7 cm, BN = 3 cm, CP = 1 cm si DQ = 5 cm. Aratati ca punctele M,N,P,Q

sunt coplanare.

8. Piramida patrulatera regulata V ABCD, de varf V si baza ABCD, are muchia bazei de

12 cm si naltimea de 8 cm. Punctul M este mijlocul muchiei [BC].

a) Calculati aria laterala a piramidei.

b) Fie punctul N situat pe muchia [AB] astfel ncat NB = 3AN. Calculati aria triunghiuluiMND.

c) Calculati valoarea tangentei unghiului dintre planele (V AM) si (ABC).

9. In prisma dreapta ABCDABC D cu baza patrat, muchia bazei ABCD este de 6

2

cm si AA = 6 cm. Pe diagonala [AC] a patratului ABCD se iau punctele E si F astfel ncat[AE] [CF ] [AB].

a) Calculati aria totala a prismei.

b) Demonstrati ca patrulaterul BEDF este romb.

c) Calculati masura unghiului dintre planele (C CD) si (DDF ).

10. Paralelipipedul dreptunghic ABCDABC D are AB = 20 cm, BC = 16 cm si AA =15 cm.

a) Calculati volumul paralelipipedului dreptunghic.

b) Calculati distanta de la punctul B la dreapta DC .c) Fie punctul Q situat pe muchia [AA]. Calculati lungimea segmentului [QA] astfel ncat

perimetrul triunghiului BQD sa fie minim.

11. In cubul ABCDABC D, aria triunghiului DOB este egala cu

3 cm2, unde {O} =BC BC.

a) Aratati ca AB = 2 cm.

b) Aflati volumul piramidei patrulatere regulate OADDA care are varful O.c) Calculati valoarea cosinusului unghiului dintre dreptele DO si AB.

12. Cubul ABCDABC D are muchia AB = 6 cm.a) Calculati aria triunghiului ABD.b) Aratati ca dreptele AC si AO sunt perpendiculare, unde AC BD = {O} .c) Calculati volumul piramidei regulate cu varful n C si baza triunghiul ABD.

13. In piramida patrulatera regulata SABCD, cu baza ABCD, lungimea naltimii este

6

2 cm, iar lungimea muchiei bazei este 12 cm.

a) Calculati volumul piramidei.

b) Calculati valoarea sinusului unghiului format de doua fete laterale alaturate.

c) Calculati distanta de la punctul P, mijlocul naltimii piramidei, la planul (SBC).

2

14. O piramida patrulatera regulata V ABCD, de varf V si baza ABCD, are latura bazei

de 12 cm si naltimea de 6 cm.


b) Calculati valoarea cosinusului unghiului format de o muchie laterala cu planul bazei.

c) Calculati distanta de la punctul H, mijlocul naltimii piramidei, la planul (V AB).

15. Piramida patrulatera regulata V ABCD, cu varful V si baza ABCD, are latura bazei

de 12 cm si naltimea de 8 cm.

a) Calculati aria totala a piramidei.

b) Calculati valoarea sinusului unghiului dintre muchiile laterale V B si V D.

c) Fie H un punct situat pe naltimea [V O] a piramidei. Stiind ca distanta de la punctul

H la planul (ABC) este egala cu distanta de la punctul H la planul (V AB), calculati lungimea

segmentului [OH].

16. Piramida patrulatera regulata V ABCD, de baza ABCD, are V A = AB = 6 cm.

a) Calculati aria laterala a piramidei V ABCD.

b) Demonstrati ca dreptele V B si V D sunt perpendiculare.

c) Calculati valoarea sinusului unghiului format de planele (V AB) si (V DC).

17. Piramida triughiulara regulata ABCD, de baza ABC, are AB = 8 cm si AD = 5 cm.

Punctele M si N sunt mijloacele segmentelor [AB], respectiv [AD].

a) Calculati volumul piramidei ABCD.

b) Calculati valoarea sinusului unghiului dintre dreapta MN si dreapta DC.

c) Calculati lungimea proiectiei segmentului [MN ] pe planul (DBC).

18. Fie cubul ABCDABC D.a) Demonstrati ca planul (ACB) este paralel cu planul (AC D).b) Calculati masura unghiului format de dreptele CD si AC .c) Stiind ca muchia cubului este de 4 m, calculati distanta de la punctul B la planul (AC D).

19. Paralelipipedul dreptunghic ABCDEFGH are AB = 2 cm, BC = 2

3 cm si AE = 2

cm.

a) Calculati aria totala a paralelipipedului.

b) Aflati masura unghiului dintre planele (EBC) si (ABC).

c) Punctul M apartine segmentului [BC] astfel ncat MC = 1 cm. Determinati distanta

de la punctul E la dreapta MD.

20. Piramida triunghiulara regulata V ABC cu baza ABC, are AB = V A = 6 cm.

a) Demonstrati ca muchiile V A si BC sunt perpendiculare.

b) Calculati volumul piramidei V ABC.

c) Calculati distanta de la centrul de greutate al triunghiului V AB la planul (ABC).

21. ABCABC este o prisma dreapta cu baza ABC triunghi echilateral. Volumul prismeieste egal cu 54

3 cm3. Muchiile [AB] si [BB] sunt congruente, iar punctul M este mijlocul

laturii [AB].


b) Aratati ca planele (MCB) si (ABB) sunt perpendiculare.c) Calculati distanta de la punctul B la planul (MCB).

3

22. O piramida patrulatera regulata V ABCD, de baza ABCD, are V A = 10 cm. Fie

punctul M mijlocul segmentului [BC] si VM = 5

3 cm.


b) Calculati masura unghiului format de dreapta V B cu planul (ABC).

c) Fie punctul T situat pe segmentul [DC] astfel ncat V T +TM sa aiba lungimea minima.

Calculati lungimea segmentului [TC].

23. In prisma dreapta ABCABC , cu baza triunghiul echilateral ABC, avem BAAB ={O} , BC CB = {O} , naltimea AA = 6 cm si latura bazei ABC este AB = 8 cm.

a) Demonstrati ca dreptele OO si BB sunt perpendiculare.b) Calculati distanta de la punctul B la dreapta OO.c) Calculati valoarea sinusului unghiului dintre planele (BAC) si (BAC ).

24. Suma lungimilor tuturor muchiilor unui paralelipiped dreptunghic ABCDABC D esteegala cu 60 cm, iar lungimea diagonalei AC este de 9 cm.

a) Calculati aria totala a paralelipipedului dreptunghic ABCDABC D.b) Stiind ca AB = BC = 4 cm, calculati perimetrul dreptunghiului ACC A.c) Stiind ca AC BD = {O} si daca AB = BC = 4 cm, calculati valoarea tangentei

unghiului format de dreapta OA cu planul (DBB) .

25. Muchia cubului ABCDABC D este AB = 4 cm. Punctele M si N se afla pe muchiile[DD], respectiv [BB] astfel ncat MD = BN = 1 cm.

a) Calculati aria totala a piramidei triunghiulare regulate ACDB.b) Calculati lungimea segmentului [MN ].

c) Calculati aria triunghiului AMN.

26. Fie ABCDABC D un paralelipiped dreptunghic care are AB = 6

2 cm, BC = 6 cm

si masura unghiului BAC egala cu 30.a) Aratati ca AA = 6 cm.b) Calculati aria totala a paralelipipedului.

c) Aflati distanta de la centrul fetei (BCC B) la planul (ABC) .

27. Paralelipipedul dreptunghic ABCDABC D n care laturile bazei ABCD sunt AB =30 cm si AD = 40 cm, are naltimea AA = 24 cm.

a) Calculati aria laterala a paralelipipedului.

b) Calculati distanta de la punctul A la dreapta BC.c) Calculati masura unghiului format de planele (ACD) si (ACD).

28. Piramida triunghiulara regulata V ABC are toate muchiile congruente si AB = 12 cm.

Fie M un punct pe muchia [V A] astfel ncat V A = 4 VM si punctul N mijlocul muchiei [BC].a) Aratati ca triunghiul MAN este isoscel.

b) Calculati volumul piramidei triunghiulare regulate V ABC.

c) Calculati valoarea sinusului unghiului dintre planele (MBC) si (ABC).

4

29. In piramida triunghiulara regulata ABCD toate cele sase muchii sunt congruente.

Inaltimea piramidei este DO, punctul M este priectia punctului O pe muchia [DB] si MC =

2

7 cm.


b) Determinati volumul piramidei triunghiulare regulate ABCD.

c) Calculati valoarea sinusului unghiului dintre dreapta MC si planul (BOD).

30. In piramida triunghiulara regulata V ABC, cu baza ABC, avem V A = 6 cm si AB =

6

2 cm.

a) Calculati volumul piramidei V ABC.

b) Demonstrati ca dreptele V A si BC sunt perpendiculare.

c) Punctul P este situat pe naltimea [V O] la distanta egala de toate fetele piramidei.

Calculati lungimea segmentului [PO].

31. In cubul ABCDABC D punctul M este mijlocul segmentului [BC] si AM = 9 cm.a) Aratati ca AB = 6 cm.

b) Calculati volumul piramidei triunghiulare regulate AC BD.c) Fie punctul N mijlocul segmentului [AB]. Demonstrati ca DN (AAM).

32. In cubul ABCDABC D punctul M este mijlocul muchiei [BC] si AM = 12 cm.a) Aratati ca AB = 8 cm.

b) Calculati valoarea tangentei unghiului format de dreapta BD cu planul (ABC).c) Calculati distanta de la punctul C la planul (AAM).

33. In paralelipipedul dreptunghic ABCDABC D, de baza ABCD, se cunosc urmatoarelelungimi: BA = 6 cm, CA = 9 cm si DA = 7 cm.

a) Demonstrati ca dreptele AB si BC sunt perpendiculare.b) Calculati volumul paralelipipedului.

c) Calculati valoarea sinusului unghiului format de planele (ABC) si (BAD).

34. Piramida triunghiulara regulata V ABC are V A = 10 cm si raza cercului circumscris

bazei ABC de 4

3 cm.


b) Fie punctul E,mijlocul laturii [AB]. Calculati valoarea sinusului unghiului dintre dreptele

V E si BC.

c) Calculati perimetrul minim al triunghiului MBC, unde punctul M apartine muchiei

[AV ].

35. Fie prisma dreapta ABCABC cu baza ABC triunghi echilateral. Latura bazei arelungimea de 24 cm si naltimea prismei are lungimea de 12 cm.


b) Calculati distanta de la punctul A la planul (ABC).c) Calculati valoarea sinusului unghiului dintre dreptele AB si AC.

5

36. In piramida patrulatera regulata V ABCD de baza ABCD, lungimea naltimii [V O]

este egala cu lungimea laturii [BC] a patratului ABCD si punctul M este mijlocul laturii

[BC].

a) Aratati ca triunghiul VMA este isoscel.

b) Stiind ca VM = 4

5 cm, aflati volumul piramidei patrulatere regulate V ABCD.

c) Stiind ca VM = 4

5 cm, determinati distanta de la punctul A la planul (V BC).

37. Piramida triunghiulara regulata V ABC, de varf V si baza ABC, are AB = 24 cm si

V A = 12

5 cm. Punctul M este mijlocul laturii [BC].

a) Calculati volumul piramidei V ABC.

b) Calculati distanta de la punctul M la muchia AV.

c) Calculati valoarea tangentei unghiului dintre planele (AVM) si (AV B).

38. Prisma dreapta ABCABC , cu baza triunghiul echilateral ABC, are aria laterala egalacu 48 cm2 si aria totala egala cu 8 (6 +3) cm2.


b) Calculati volumul prismei ABCABC .c) Fie puntul G centrul de greutate al triunghiului ABC . Calculati distanta de la punctul

A la planul (GBC).

39. Patratele MNPQ si NPRT sunt situate n plane perpendiculare si MN = 10 cm.

a) Aratati ca PNRQ este o piramida triunghiulara regulata.

b) Calculati distanta de la punctul R la mijlocul segmentului [QT ].

c) Calculati masura unghiului determinat de dreptele NQ si TP.

40. Prisma dreapta ABCDABC D, cu baza patratul ABCD, are AB = 6 cm si AA = 7cm.

a) Calculati volumul prismei.

b) Fie {O} = AC BD. Calculati distanta de la punctul O la dreapta AC.c) Fie {O} = AD AD. Calculati masura unghiului determinat de dreptele OO si BC.

41. In cubul ABCDABC D cu AB = 5

2 cm, notam AC BD = {O}. Punctul Meste simetricul punctului B fata de dreapta AD.

a) Demonstrati ca dreapta MD este perpendiculara pe planul (DDB).b) Calculati distanta de la punctul M la dreapta DB.c) Demonstrati ca dreptele DB si DO sunt perpendiculare.

42. Prisma dreapta ABCDABC D are ca baze patratele ABCD si ABC D, naltimeaAA = 9 cm si DB = 3

41 cm.


b) Calculati aria triunghiului ACD.c) Calculati distanta de la punctul B la planul (ACD).

43. Cubul ABCDABC D are AB = 6 cm. Pe laturile patrtului ABCD alegem puncteleM (AB), N (BC), P (CD), Q (DA) astfel ncat AM = BN = CP = DQ = 2 cm.

a) Calculati distanta de la punctul A la dreapta BD.

6

b) Demonstrati ca MNPQ este patrat.

c) Calculati valoarea raportului dintre volumul cubului si volumul piramidei patrulatere

regulate OMNPQ, unde {O} = AC BD.44. In cubul ABCDABC D punctul M este mijlocul laturii [AB], punctul N este mijlocul

laturii [BC] si DM = 2

5 cm.

a) Demonstrati ca AN DM.b) Calculati aria totala a cubului.

c) Daca aria triunghiului AMD este egala cu a cm2, aratati ca a se afla n intervalul (9; 10).

45. Piramida triunghiulara regulata ABCD, de varf D si baza ABC, are BC = AD = 6

cm. Punctele M si N sunt mijloacele muchiilor [AB], respectiv [CD].

a) Calculati volumul piramidei ABCD.

b) Calculati distanta de la punctul C la planul (ABN).

c) Calculati masura unghiului dintre dreptele MN si AC.

46. In piramida triunghiulara regulata V ABC, de baza ABC, naltimea [V O] are lungimea

egala cu 12 cm, iar distanta de la punctul O la planul (V BC) este egala cu 7, 2 cm.

a) Aratati ca AB = 18

3 cm.

b) Calculati aria laterala a piramidei V ABC.

c) Stiind ca punctele G1, G2, G3 sunt centrele de greutate ale fetelor V AB, V AC, respectiv

V BC, calculati volumul piramidei regulate V G1G2G3.

47. Piramida patrulatera regulata V ABCD cu varful V si baza ABCD, are AB = V O = 10

cm, unde AC BD = {O}.a) Calculati aria laterala a piramidei ABCD.

b) Calculati distanta de la punctul A la planul (V BC).

c) Calculati valoarea sinusului unghiului dintre muchia V A si planul (V BC).

48. In interiorul cubului ABCDABC D consideram punctul M astfel ncat MABCD safie piramida patrulatera regulata. Punctele O si O sunt centrele fetelor ABCD si respectivABC D.

a) Calculati masura unghiului format de dreptele AC si BD.b) Aratati ca punctele O, M si O sunt coliniare.c) Pentru AB = 6 cm, calculati lungimea segmentului [OM ] astfel ncat apotema piramidei

regulate MABCD sa aiba aceeasi lungime ca si muchia cubului.

49. Prisma dreapta ABCABC , cu una din baze triunghiul echilateral ABC, are AB = 10cm, BB = 5 cm si punctul M situat pe muchia [AC ] astfel ncat AM = 5 cm.


b) Determinati masura unghiului dintre dreptele AA si MB.c) Calculati distanta de la punctul M la planul (BBC).

50. In cubul ABCDABC D lungimea muchiei este egala cu 6 cm.a) Calculati perimetrul triunghiului ACD.b) Calculati aria totala a piramidei triunghiulare regulate ACBD.c) Aratati ca dreapta BD este perpendiculara pe planul (ACD).

7

51. Prisma dreapta ABCABC , cu una din baze triunghiul echilateral ABC, are AB = 18cm si AA = 6 cm. In triunghiul ABC, bisectoarele unghiurilor B si C se intersecteaza n I.Paralela prin punctul I la latura [BC] intersecteaza laturile [AB] si [AC] n M si respectiv N.

a) Demonstrati ca MN = BM + CN.

b) Calculati aria totala a prismei.

c) Calculati masura unghiului dintre planele (ABC) si (AMN).

52. In prisma dreapta ABCDABC D cu baza ABCD patrat, avem BC CB = {O},AB = 2 cm si naltimea BB = 2

3 cm.

a) Aratati ca DO = 2

2 cm.

b) Demonstrati ca triunghiul AOD este dreptunghic.c) Calculati valoarea unghiului format de dreapta AO si dreapta BD.

53. Cubul ABCDABC D are AB = 4 cm, O este centrul bazei ABCD, iar M estemijlocul muchiei [DD].

a) Calculati aria triunghiului BMO.b) Demonstrati ca planele (AMO) si (BMO) sunt perpendiculare.c) Calculati valoarea sinusului unghiului format de dreptele AC si MO.

54. Paralelipipedul dreptunghic ABCDABC D are AB = 30 cm si BC = AA = 15 cm.a) Calculati aria totala a paralelipipedului.

b) Calculati tangenta unghiului format de dreapta AC cu planul (ABC).c) Determinati pozitia punctului M pe muchia [BB] astfel ncat perimetrul triunghiului

AMC sa fie minim.

55. Prisma dreapta ABCABC are bazele triunghiurile echilaterale ABC si ABC . Punc-tul O este centrul de greutate al bazei ABC, AB = 12 cm si AA = 5 cm.


b) Calculati distanta de la punctul O la dreapta AB.c) Calculati valoarea tangentei unghiului determinat de planele (ABC) si (ABO).

56. Paralelipipedul dreptunghic ABCDABC D are dimensiunile AB = AD = 8 cm siAA = 6 cm.

a) Calculati lungimea segmentului [AC].b) Calculati distanta de la punctul O, intersectia diagonalelor AC si BD, la dreapta AC.c) Calculati valoarea sinusului unghiului format de planele (ABD) si (C BD).

57. In piramida triunghiulara regulata V ABC, latura bazei ABC este AB = 12 cm si

naltimea [V O] a piramidei are lungimea de 6 cm. Se noteaza cu D si E mijloacele muchiilor

[V A] si respectiv [V B].


b) Demonstrati ca dreapta DE este paralela cu planul (ABC).

c) Aflati masura unghiului dintre planele (DOE) si (ABC).

58. Piramida triunghiulara regulata V ABC, baza ABC, are AB = 12 cm si AV = 12 cm.

Punctele M si N sunt mijloacele muchiilor [BC] si respectiv [AV ].

8

a) Calculati volumul piramidei.

b) Calculati masura unghiului dintre dreptele MN si AC.

c) Fie O centrul de greutate al bazei si MN V O = {G}. Aratati ca punctul G se afla ladistanta egala de cele patru fete ale piramidei.

59. Cubul ABCDABC D are AB = 18 cm.a) Calculati aria triunghiului AC B.b) Calculati distanta de la punctul B la planul (AC B)c) Calculati volumul piramidei triunghiulare regulate DABC .

60. Piramida patrulatera regulata V ABCD, cu baza ABCD, are AB = 6

2 cm si volumul

egal cu 144

3 cm3. Punctul E este situat pe muchia [AV ] astfel ncat AE = 2 V E.a) Aratati ca triunghiul V AC este echilateral.

b) Calculati aria laterala a piramidei.

c) Calculati distanta de la punctul E la planul (V BD).

61. Prisma dreapta ABCABC are ca baze triunghiurile echilaterale ABC si ABC ,lungimea naltimii [AA] de 4 cm, punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC siAG = 2

7 cm.


b) Calculati volumul prismei ABCABC .c) Fie P mijlocul segmentului [BC ]. Aratati ca dreapta AC este paralela cu planul (ABP ).

62. In cubul ABCDABC D, punctul M este mijlocul laturii [AB], iar MD = 6 cm.a) Aratati ca AB = 4 cm.

b) Calculati distanta de la punctul C la punctul de intersectie al dreptei MD cu planul

(BBC ).c) Calculati distanta de la punctul C la planul (MC D).

63. Prisma dreapta ABCDABC D are ca baze, patratele ABCD si ABC D, aria lat-erala egala cu 100

3 cm2 si volumul egal cu 125

3 cm3.

a) Aratati ca AA = 5

3 cm.

b) Calculati distanta de la punctul A la dreapta BC.c) Calculati masura unghiului dintre planele (DCB) si (ABC ).

9

prisme si piramide

Documents