prirucnik matematika konacno sa prilozima finalna verzija 03

MATEMATIKA 6

PRIRUČNIK ZA NASTAVNIKE

Poštovane kolegice i kolege, Pred Vama je udžbenički komplet za matematiku šestog razreda devetogodišnje osnovne škole. Sastavljen je od udžbenika, radne sveske sa zadacima za uvježbavanje i vodiča/priru čnika za nastavnike i rañen je u skladu sa nastavnim planom i programom za 6. razred devetogodišnje osnovne škole. Udžbenički komplet koji se nalazi pred vama nije baziran na mehaničkom, suhoparnom izlaganju matematičkih sadržaja, pravila i operacija. Glavni cilj ovakvog pristupa je želja za promjenom uloge učenika u nastavi. Učenik nije samo pasivan slušalac, nego aktivan sukreator vlastitog učenja i podučavanja. Na ovaj način se kod njega nastoji razvijati mišljenje, jer je cijeli koncept usmjeren ka postupnom oblikovanju misaonog procesa, čime se podstiču i jačaju sposobnosti uma. „Sposobnosti uma“, po Pijažeu i Bruneru, „treba upotrebljavati da bi se one razvijale, jer logika nije uroñena, nego se neprestano gradi, zato prvi zadatak nastave je pravilno razvijanje mišljenja“. Novi nastavni plan program za matematiku u devetogodišnjoj osnovnoj školi zato uvodi postupke koji formiraju različite oblike mišljenja i predlaže aktivnosti koje zahtijevaju neposredno interaktivno umsko surañivanje učenika. Nastavnik ne prenosi matematičke sadržaje, nego posreduje izmeñu učenika i koncepata i pojmova, tako reći, spremnih za upotrebu. Kako kaže Delors (1998): “Nastavnici moraju prilagoditi svoj odnos sa učenicima, zamijeniti ulogu soliste s onom pratećeg vokala (nisu više jedini izvor informacija nego pomažu učenicima tražiti, organizirati i upravljati znanjima) – voditi ih, a ne oblikovati”.

Zato ovako zamišljen koncept ne podrazumijeva jednostavni transfer znanja, kojeg učenicima treba utisnuti u svijest, kao u tabula rasa, nego njegovu aktivnu participaciju u kreiranju postupaka i realizacije nastavnih sadržaja, jer ne treba zanemariti da učenici u tom uzrastu ponekad imaju neku svoju logiku za pojedine matematičke operacije. Nastavnik treba omogućiti da se ti različiti koncepti prodiskutiraju i koncenzusom odaberu oni najprihvatljiviji za sve sudionike. Namjena novog plana i programa za matematike, takoñer, nije da učenici uče matematiku, nego da je otkrivaju, o tome razmišljali i nadograñuju svoje znanje na bazi vlastitih spoznaja. Osobenost matematičkog mišljenja je rješavanje problema. Ne rijetko su matematičke teorije i koncepti stvarani u situacijama u kojima je trebalo riješiti problem, gdje do tadašnja sredstva i načini rješavanja, nisu mogla pomoći. Imperativ je poticati učenike na kreativnost u različitim postupcima i aktivnostima spoznavanja pomoću vlastitog razmišljanja i konceptualizacije. Temeljna karakteristika nastave matematike je pravilno rješavanje problema. Zato treba osnovne matematičke pojmove izvoditi iz konkretnih problemskih situacija za koje će učenici pokazati interes i znatiželju za traženje njihovih rješenja. Problemi se pojavljuju kao potreba, intelektualni interes ili znatiželja, pa motivaciju shvatamo kao suštinski faktor procesa učenja i podučavanja matematike, jer rješavanje problema omogućava i podstiče razumijevanje različitih matematičkih koncepata i sadržaja. Učenici će nastojati da razumiju problem, ako budu njime zahvaćeni i koji bi, rješavajući te probleme iz tih situacija izlazili sa ushićenjem uznemireni i zadovoljni. Time će oni matematiku doživljavati kao nešto što je korisno za život. Zato novi koncept nastave matematike uvodi sklad izmeñu rješavanja konkretnih situacija iz života i učeničke inicijative i spremnosti za postavljanje pitanja i traženje odgovora.

Matematika nije neko unaprijed zadano i sklopljeno znanje, nego usañeno aktivno razmišljanje, zato je zadatak nastavnika, ne da prenosi matematičke sadržaje i znanje, nego da kod učenika stalno podstiču i ohrabruju njihovo zanimanje i radoznalost, te spoznavanje potreba za matematikom. Najprije, nastavnik improvizira problemsku situaciju, a zatim vodi i podržava učenike u njihovom vlastitom nastojanju za traženje mogućih rješenja. Nastavnik nikada ne ograničava učenike u njihovoj samostalnosti u traženju vlastitih puteva do rješenja, što možda ne sadrži formativnu stranu matematičkog obrazovanja. Ali ako učenik ne rješava problem sam, zasigurno se njegove sposobnosti mišljenja neće razvijati, niti će se ostvariti razumijevanje, pa ni usvajanje matematičkih pojmova i koncepata. Pošto se u drugoj trijadi devetogodišnje osnovne škole pojavljuju konkretne stvari i konkretne operacije, nastava se ne smije svesti na apstraktnu ravan, nego na konkretnu ravan, prije svega ona mora biti očigledna. Kao što znamo, učenici, prilikom usvajanja matematičkih pojmova, prolaze tri ravni: konkretnu, slikovitu i ravan sa simbolima. U šestom razredu je, još uvijek, vrlo važna konkretno-iskustvena ravan, pa je to jedna od obaveznih stepenica u razvoju kognitivnih procesa, zato se učenici moraju uključiti u oblikovanje matematičkih pojmova uz spremnost domišljate upotrebe različitih didaktičkih sredstava. Glavne nastavne metode su, prije svih, iskustveno učenje, posmatranje i objašnjavanje (tumačenje). Pomoću njih će učenici u šestom razredu moći usvojiti različite matematičke sadržaje: skupove, relacije i preslikavanja, aritmetiku, sadržaje iz geometrije i algebre. Pri tome bi nastavnici trebali poštovati različite sposobnosti kod učenika, podstičući ih na razvijanje pozitivnog odnosa prema matematici i povjerenja u vlastite matematičke sposobnosti. Zbog velikih razlika meñu učeničkim sposobnostima, u nastavi matematike treba posebnu pažnju posvetiti individualizaciji i diferencijaciji postupaka i zahtjeva. Gore navedeno smo nastojali ispoštovati pri pisanju, kako ovog priručnika, tako i udžbenika i radne sveske sa vježbama za utvrñivanje. U priručniku nudimo šablonizirane primjere za pojedine nastavne jedinice. Najprije je naveden nastavni cilj, koji bi učenici trebali dostići. Zatim se tamo, gdje trebaju, navode didakti čka sredstva. Kao klju čne riječi su navedene osnovne riječi ili pojmovi s kojima se učenici upoznaju, a koje trebaju usvojiti. Svaka nastavna jedinica (pri tome nije uvijek bila namijenjena za jedan školski sat, nego je moguće sadržaje izvesti za dva ili više časova, zavisno od individualnog pristupa u planiranju svakog nastavnika, te od sastava djece u odjeljenju) je podijeljena u tri dijela i to na uvod ili motivaciju , obradu te ponavljanje i utvrñivanje. U utvrñivanju je predviñeno više primjera aktivnosti, odnosno zadataka. Naravno, nije neophodno da nastavnik obradi sve navedene aktivnosti, odnosno da obradi sve predložene zadatke. To bi bilo preambiciozno od autora. Kolegama, nastavnicima se ostavlja na volju da ih dopune svojim planiranim aktivnostima, koje su sami kreirali. Na kraju su još metodičko-didaktičke smjernice, sa kojima nastavnicima skrećemo pažnju na šta moraju biti obazrivi, da bi učenici pravilno formirali osnovne matematičke pojmove i koncepte. Za svaki dio iz matematičkih sadržaja je moguće naći zadatke ili u udžbeniku

(uključujući one na kraju za utvrñivanje) ili u radnoj svesci, kojima se mogu potkrijepiti i utvrditi preñeno gradivo. U priručniku su još prilozi sa raznim slikama i skicama, koje nastavnik može fotokopirati na papir, odnosno foliju za upotrebu u obradi odreñenih nastavnih jedinica. Udžbenik je napisan, prije svega, za učenike, zato smo na početku udžbenika predstavili glavne junake ove knjige: Selmu i Jacu, te Niku i Mirzu, koji će skupa sa nama savladavati predviñene matematičke sadržaje. U udžbeniku smo pokušali sve nove pojmove predstaviti sa problemskim situacijama, koje su učenicima bliske i poznate, jer su uzete sa ilustracijama iz učeničkog miljea. U svakoj nastavnoj jedinici je napisan nastavni cilj, kao informacija namijenjena, prije svega nastavnicima, ali mogla biti od pomoći i roditeljima. Na nekim stranicama se pojavljuju nagovještaji, koji su dati u ruke Jace, Selme, Nike i Mirze, kako bi ih učenici sa većim zanimanjem pročitali. Ovi nagovještaji, koji podsjećaju na strip, pomažu učenicima pri shvatanju matematičkih pojmova, tako da ih podsjećaju na neka matematička znanja ili vještine, koje oni već posjeduju, a koja se u obrañivanim sadržajima samo dublje proučavaju. Ova tehnika omogućava junacima udžbenika da predlažu učenicima svoje strategije računanja koje su prihvatljive od većine učenika. Radnu svesku sa vježbama za utvrñivanje smo pripremali kao komplement udžbenika, jer se tu mogu naći primjeri i zadaci kojih u udžbeniku nema, a koji su dovoljni za kvalitetno utvrñivanje i usvajanje matematičkih sadržaja od strane učenika, odnosno, za postizanje zadanih ciljeva i zato je nastavnici upotrebljavaju u nastavnim satima koji su namjeneni grupnom radu i fleksibilnoj diferencijaciji. Koristeći to, nastavnici će postići da svi učenici budu uspješni, svako u zavisnosti od svojih sposobnosti, mogućnosti, te afiniteta i interesa. Pristupi koji su prezentirani u ovom kompletu podrazumijevaju puno otvorenih pitanja koja se tiču uvoñenja novina u odnosu na ustaljeni tradicionalni pristup. Namjera nam je da predočimo učenicima, roditeljima, a naročito nastavnicima, neke novije pristupe i poglede, koji mogu zadovoljiti zahtjeve iz filozofije koncepcije osnovnog devetogodišnjeg obrazovanja. Ona podrazumijeva da se svi resursi trebaju iskoristiti kako bi se ostvarila teza: dijete – učenik u centru aktivnosti (pažnje). Kao ljudi od matematičke i nastavničke struke, bili bi smo veoma zadovoljni, kada bi naš rad rezultirao većim zadovoljstvom učenika i nastavnika i kada bi učenici intenzivnije shvaćali i doživljavali matematiku kao prijateljicu i nekoga ko im omogućava ljepši i ugodniji život. Autori

PRIJEDLOG PLANA REALIZACIJE PROGRAMSKIH SADRŽAJA IZ MATEMATIKE ZA VI RAZRED OSNOVNE

DEVETOGODIŠNJE OSNOVNE ŠKOLE

MATEMATIKA VI RAZRED 4 sata sedmično 140 sati godišnje PODRUČJA CILJEVI O ČEKIVANI REZULTATI

Z

n

a

nj e

Sticanje znanja: - poznavanje i upotrebu matematičkih simbola, - usvajanje pojma skupa, unije, presjeka, razlike i direktnog produkta skupova, - usvajanje pojma relacije i funkcije, - poznavanje koordinatne prave i koordinatne ravnine, - usvajanje različitih uglova, jedinica za mjerenje uglova, mjerenje uglomjerom, - računanje mjernim brojevima za kutove ( ):,,, ⋅−+ , - grafičkog prenošenja, usporeñivanja, sabiranja i oduzimanja uglova, - usvajanje procedura četiri osnovne računske operacije u skupu N0 i Q

+, - usvajanje znanja o višecifrenim brojevima, razlomcima (decimalnim brojevima) i njihovoj strukturi, - o jednačinama i nejednačinama s nepoznatom "na jednom mjestu", - o rješavanju aritmetičkih (brojevnih) izraza, - upotreba brojeva u različitim kontekstima, u drugim predmetima i svakodnevnom životu, - usvajanje postupaka za četiri računske operacije s razlomcima i decimalnim brojevima, - računanje postotka, - računanje aritmetičke sredine dva ili više brojeva, - računanje pomoću džepnog računala.

Učenik će znati: - matematičkim simbolima

zapisati dva ili više zadanih skupova,

- prepoznati relaciju, odnosno funkciju,

- nacrtati zadanu ugao, kao i već nacrtani izmjeriti uglomjerom,

- znat će računski sabirati, oduzimati, množiti i dijeliti uglove,

- grafički sabirati, oduzimati i množiti uglove,

- prepoznati, razumjeti i pravilno koristiti matematičke simbole,

- prepoznati brojeve prve milijarde i brojeve skupa N0, njihov položaj na brojnom polupravcu i njihovu strukturu ,

- sa sigurnošću obavljati računanja u skupu N0 rješavati matematičke izraze,

- modelirati matematičke izraze prema zadanim (tekstualnim) uslovima,

- prepoznati i rješavati zadatke date riječima (i problemske zadatke),

- procijeniti i provjeriti tačnost rezultata,

- obavljati sve četiri računske operacije u skupu Q+,

- rješavat će jednostavne jednadžbe i nejednadžbe u Q+,

- naučit će izračunavati postotak od zadanog broja, kao i aritmetičku sredinu za dva ili više brojeva,

- računati pomoću džepnog računala.

Spo

sobn

osti

i vje

štin

e

Razvijanje sposobnosti i vještina: - poreñenja, - nizanja, - slijeñenja niza uputa, - prostornog organiziranja i orijentiranja, - vizualizacije i vizuelnog grupiranja, - procjenjivanja, - prepoznavanja obrasca, - induktivnog mišljenja, - induktivnog i analognog zaključivanja, - različitih načina matematičkog izražavanja i komuniciranja, - matematičkog jezika, - prikupljanja, selektiranja i korištenja informacija

Učenik će moći: - promatrajući otkrivati nova svojstva u okruženju i logički ih povezivati, - nakon obavljenog zapažanja izvoditi zaključke, - raditi po odreñenom planu, - pripremati se za odreñeno napredovanje, - koristiti pomagala za crtanje uglova, paralelnih i okomitih pravaca, ... - matematičkim jezikom moći izražavati opće ideje

Vrij

edno

sti i

sta

vovi

Razvijanje spoznaja o društvenim vrijednostima: - razvijanje argumentacije u branjenju ličnih stavova i stavova drugih, - o važnosti donošenja sudova na osnovu provjerenih činjenica i izgrañenih kriterija, - rada, posebno kolektivnog (timskog) rada, - pozitivnim crtama osobnosti, - važnost radovanja osobnom uspjehu, kao i uspjehu drugih, - ocjenjivanje i samoocjenjivanje na osnovu objektivnog i konstruktivnog vrednovanja, - samopouzdanja i samoaktualizacije, - uloge kritičkog mišljenja i zaključivanja u donošenju različitih odluka.

Učenik će: - pokazivati više zanimanja za timski rad i socijalizaciju, - naučiti da sluša argumentaciju i kritički preispituje osobne stavove i stavove drugih, - učenik će naučiti prepoznavati unutrašnje vlastito razmišljanje i vlastito prosuñivanje, - poboljšati ličnu "listu" motiva, emocija i doživljaja, - pokazati više altruizma (čovjekoljubivosti, spremnosti da se pomogne drugima), pokazati više senzibiliteta prema matematici i kriti čkom mišljenju uopće, - prepoznati važnost matematičkih znanja u rješavanju problema i sveprisutnosti matematike u univerzumu.

Pregled programskih sadržaja – Tematski plan nastavnog gradiva iz matematike za VI razred devetogodišnje osnovne škole

Tema 1. Skupovi, relacije i preslikavanje - 25 časova Tema 2. Kružnica, krug, ugao (kut) - 15 časova Tema 3. Prirodni brojevi - 15 časova Tema 4. Djeljivost u skupu N0 - 15 časova Tema 5. Razlomci - 60 časova Pismene zadaće (u svakom polugodištu po 2 pismene zadaće sa ispravkom i analizom) - 8 časova Informativni časovi - 2 časa Ukupno 140 časova

Orjentacioni raspored programskih sadržaja nastave matematike za VI razred devetogodišnje osnovne škole

MJESEC I BROJ ČASOVA

CILJEVI TEMA I TEMATSKE JEDINICE STRANICA U UDŽBENIKU

STRANICA U RADNOJ

SVESCI

S E

P T

E M

B

A

R

16

čas

ova

Obrazovni: učenici trebaju usvojiti skup i elemente skupa kao osnovni pojam; ureñen par, jednakost ureñenih parova i drugu koordinatu ureñenog para; trebaju definirati relaciju, odnosno funkciju; trebaju znati nacrtati tačke na koordinatnom pravcu i u koordinatnom sistemu u ravni. Vaspitni (odgojni): razvijanje osjećaja za urednost, preglednost, preciznost i istrajnost u radu. Funkcionalni: usvajanje elementarne matematičke kulture neophodne za shvatanje uloge i uspješne primjene matematike u različitim oblastima djelatnosti čovjeka

TEMA 1: SKUPOVI, RALACIJE I PRESLIKAVANJE TEMATSKE JEDINICE

1) Skupovi, primjeri, označavanje i zadavanje

2) Brojnost i jednakost skupova; prazan

skup i podskup

3) Presjek, unija i razlika

4) Ureñeni par; Dekartov proizvod skupova

5) Geometrijske figure kao skupovi

tačaka

6) Relacije: pojam i graf relacije

7) Relacija ekvivalencije i poretka

10; 11; 12; 13; 14; 210; 211 15; 16; 17; 18; 19; 20; 210; 211 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 210; 211 28; 29; 30; 31; 32; 210; 211 33; 34; 35; 36; 37; 38; 210; 211 39; 40; 41; 42 43; 44; 45; 46; 47; 210; 211

4; 5 4; 5 6; 7 6; 7 8; 9; 10 11; 12; 13 11; 12; 13

O K

T O

B

A

R

16

čas

ova

Obrazovni: učenici trebaju znati koji su osnovni pojmovi u geometriji (tačka, prava, ravan, prostor i skup), a koji su izvedeni pojmovi (duž, izlomljena linija, mnogougao, kružnica, krug, središnji ugao…); naučiti jedinice za uglove. Stepene povezati sa stepenima iz geografije radi povezivanja gradiva; treba usvojiti crtanje, mjerenje, usporeñivanje i računske operacije sa uglovima Vaspitni (odgojni): razvijati osjećaj za urednost pri crtanju, za posmatranje raznih uglova i njihovih veličina, razvijati odgovornost za samostalno obavljanje zadataka, izgraditi pozitivne osobine ličnosti Funkcionalni: učenik mora usvojiti i razviti matematički jezik, mora naučiti definirati pojmove koji ga okružuju a osnovne pojmove razumjeti, uočiti sličnost izmeñu algebarskih i geometrijskih zadataka

8) Funkcije ( preslikavanja) 9) Injekcija; sirjekcija i bijekcija 10) Koordinatna poluprava i koordinatni sistem u ravni TEMA 2. KRUŽNICA, KRUG; UGAO (KUT) TEMATSKE JEDINICE

1) Izlomljena linija, mnogougao (mnogokut), kružnica i krug

2) Prava i kružnica i dvije kružnice

3) Ugao – elementi i obilježavanje

4) Konveksni i nekonveksni uglovi;

vrste uglova

5) Središnji ugao, kružni luk i tetiva

6) Prenošenje i usporeñivanje uglova

48; 49; 50; 210; 211 52; 53; 211 54; 55; 56; 211 58; 59; 60; 61; 212; 213 62; 63; 64; 65; 66 67; 68; 69 70; 71 72; 73 74; 75

14; 15; 16; 17 14; 15; 16; 17 17 8; 9 36; 37 22; 23 18; 19; 22; 23 36 20; 21

N

O V

E M

B A

R

16

čas

ova

Obrazovni: Učenici trebaju savladati sve računske operacije; insistirati na skraćenom dijeljenju i množenju; koristiti olakšice. Vježbati zadatke sa više računskih operacija i zagrada, uvježbati red računskih operacija, rješavati zadatke sa općim brojevima i bez zadatih vrijednosti općeg broja, koristiti svojstva računskih operacija. Vaspitni: razvijati misaonost i logičnost kroz rješavanje različitih zadataka, razvijanje prirodnosti i prirodnih logičnosti u radu sa prirodnim brojevima, razvijanje i jačanje samopouzdanja u vlastitu sposobnost učenja i zaključivanja Funkcionalni: Svjesno preuzimanje odgovornosti za urañeno. Pozitivan odnos prema radu, kao i volja za rad i za iskazivanje pozitivnih rezultata rada.

7) Prenošenje i usporeñivanje uglova 8) Grafično sabiranje i oduzimanje

uglova

9) Vrste uglova: puni, opruženi, tupi, pravi, oštri, nula-ugao. Susjedni i usporedni.

10) Mjerenje uglova – jedinice (stepen,

minuta, sekunda); uglomjer

11) Računske operacije sa mjernim brojevima za uglove

12) Komplementni i suplementni uglovi

TEMA 3. PRIRODNI BROJEVI TEMATSKE JEDINICE

1) Skup N i N0 2) Sabiranje i oduzimanje prirodnih

brojeva i osobine (svojstva)

74; 75 77 70; 71; 76 78; 79; 80; 81; 212; 213 82; 83; 84; 85; 212; 213 85; 86; 212; 213 88; 89; 90; 91; 92; 93; 94; 95 96; 97; 98; 99; 100; 214; 215; 216

20; 21 26; 27; 28; 29 30; 31 34; 35 48; 49; 50; 51 38; 39; 40

D

E C

E M

B A

R

18 č

asov

a

Obrazovni: učenici trebaju znati rastaviti složen broj na proste faktore, trebaju znati prepoznati brojeve koji su djeljivi sa: 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15...; trebaju znati odrediti najmanji zajednički sadržalac kao i najveći zajednički djelilac. Moraju razlikovati proste od složenih brojeva kao i relativno proste brojeve. Vaspitni (odgojni): razvijanje logičkog i stvaralačkog mišljenja; razvijanje maštovitosti i sposobnosti percepcije bitnog od nebitnog, razumijevanje materije i problema. Funkcionalni: adaptivnost i fleksibilnost u prihvaćanju promjena, interes za rješavanje problema i zadataka timskim radom.

3) Množenje i dijeljenje prirodnih brojeva i osobine (svojstva)

4) Izrazi sa promjenljivim

5) Pridruživanje brojeva po datom

pravilu (brojna vrijednost izraza) TEMA 4: DJELJIVOST U N 0 TEMATSKE JEDINICE

1) Dijeljenje u skupu N0 2) Faktori i sadržioci prirodnog broja

3) Djeljivost zbira, razlike i proizvoda

4) Djeljivost dekadskim jedinicama i

brojevima 2 i 5

5) Djeljivost sa 4 i 25

6) Djeljivost sa 3, 9, 6 i 15

7) Prosti i složeni brojevi

8) Rastavljanje složenih brojeva na proste faktore

101; 102; 103; 104; 105; 106; 107; 108; 215; 216 109; 214 110; 111; 112; 113; 214; 215 116; 117 118; 119; 217; 218 120; 121; 217; 218 122; 123; 217; 218 124 125; 126 127; 217; 218 128; 129; 217; 218

41; 42; 43; 44; 45; 46; 47; 53; 54; 55; 56; 57; 58 65 65 66; 67 66; 67 66; 67 66 66 66; 67 66 66; 68

J A

N U

A R

4

časa

9) Zajednički djelioci brojeva. Najveći zajednički djelilac (mjera)

130; 131; 217; 218

67; 68

10) Zajednički sadržalac i najmanji

zajednički sadržalac

132; 133; 217; 218

67; 68; 69

Obrazovni: učenik usvaja pojam cijelog, polovine, trećine... kao i zapis istih; crtežima pokazuje zadane brojeve i čita nacrtane dijelove kako bi zapamtio zapis. Preko mjernih brojeva: površine, dužine i vremena i odgovarajućih zadataka odreñuje razlomke izražene manjim odgovarajućim jedinicama, radi računske operacije sa razlomcima, rješava različite jednačine i nejednačine pomoću osobina računskih operacija, računa postotak (procenat), rješava razmjeru kao jednakost dvaju razlomaka (primjena na nastavi geografije, izračunavanje udaljenosti na karti) Vaspitni (odgojni): razvijanje induktivnog mišljenja, procjenjivanja, različiti načini matematičkog izražavanja i komuniciranja korištenjem matematičkog jezika. Konvergentna i divergentna produkcija ideja. Funkcionalni: usvajanje pojmova cjeline i jedinke i opće odnose izmeñu nečega i kolektiviteta (cjeline), odgovarajuće tekstualne zadatke izražavati matematičkim jezikom i pomoću jednačina i nejednačina

TEMA 5. RAZLOMCI TEMATSKE JEDINICE

1) Pojam razlomka. Brojnik i nazivnik 2) Razlomci veći i manji od 1

3) Proširivanje i skraćivanje razlomaka

4) Usporeñivanje razlomaka

5) Razmjera (omjer)

6) Decimalni i postotni zapis razlomka,

postotak (procenat)

7) Pridruživanje tačaka brojnog polupravca razlomcima

136; 137; 138; 219; 220; 221; 222 139; 140; 141; 142 143; 144; 219; 220; 221 145; 146; 147 148; 149 150; 151; 152; 153; 154; 155 156; 157; 158

70; 71; 73; 76; 77 75 74; 75 74; 75 116 116 78

F E

B R

U A

R

16

časo

va

8) Sabiranje i oduzimanje razlomaka

istih nazivnika 9) Sabiranje i oduzimanje razlomaka

različitih nazivnika

10) Osobine sabiranja razlomaka

11) Sabiranje i oduzimanje decimalnih brojeva

12) Jednačine sa sabiranjem i

oduzimanjem razlomaka

13) Nejednačine sa sabiranjem i oduzimanjem

159; 160; 161 162; 163 164; 165 166; 167; 168 169; 170; 171 172; 173; 174

79 118; 119 96; 97; 98; 99 122; 123 123

M A

R T

17 ča

sova

A

P

R

I

L

17 č

asov

a

14) Množenje razlomka prirodnim brojem i razlomak kao dio prirodnog broja

15) Množenje razlomka razlomkom i

osobine množenja

16) Množenje decimalnih brojeva dekadskim jedinicama

17) Množenje decimalnog broja

prirodnim brojem i decimalnog broja decimalnim brojem

18) Dijeljenje razlomka prirodnim

brojem i dijeljenje razlomka razlomkom

19) Dijeljenje decimalnih brojeva

dekadskim jedinicama

20) Dijeljenje decimalnog broja prirodnim i decimalnim brojem

175; 176 177; 178; 179 180 181; 182; 183 184; 185; 186 187; 188; 189 190; 191; 192

72; 73 120; 121 100; 101 104; 105 120; 121 102; 103 106; 107; 108; 109

M

A J

16

časo

va

21) Periodični decimalni brojevi 22) Aritmetička sredina datih brojeva

23) Brojni izrazi sa zagradama

24) Izrazi sa promjenljivim veličinama

25) Jednačine sa množenjem i

dijeljenjem

26) Nejednačine sa množenjem i dijeljenjem

193; 194 195 196 197; 198 199; 200 201; 202; 203

124; 125 112; 113; 114; 115 122; 123 122; 123

J U

N I

4

časa

1) Džepno računalo i računanje pomoću

njega 2) Problemski zadaci za vrhunske

matematičare

204; 205; 206; 207 231

128; 129; 130; 131 110; 111; 117; 126

PRIRUČNIK

SKUPOVI, RELACIJE, PRESLIKAVANJE

SKUPOVI. PREDSTAVLJANJE, BROJNOST I JEDNAKOST. PODSKUP Nastavni cilj: Učenik je usvojio pojam skupa, i njegovo različito predstavljanje. Učenici znaju pojmove brojnosti skupa i podskupa, te slove pod kojima su dva skupa jednaka. Učenici znaju pojam praznog skupa sa njegovim praktičnim primjenama.

udžbenik str. 10

udžbenik str. 12

udžbenik str. 14

UVOD (MOTIVACIJA)

• Pojam skupa

Učenici posmatraju ilustracije na stranici 10 u udžbeniku. Slobodno daju svoje komentare na njih, obraćajući pažnju na elemente pojedinih skupova. Nastavnik/ca ih potiče da pronañu još nekoliko primjera iz neposrednog okruženja.

• Brojnost i jednakost skupa i podskup. Učenici posmatraju svoj razred, kao skup učenika. Prebrojavajući ga dolazi se do pojma brojnost skupa, a ako se uzmu imena učenika koja počinju sa slovom „A“, dolazi se do zaključka da je taj skup, podskup sadržan u početnom skupu svih učenika u razredu. OBRADA

a. Posmatrajući ilustracije na stranicama 10 i 11 učenici pokušavaju definirati pojam skupa. Uz pomoć nastavnika, dolaze do zaključka da je pojam skupa - osnovni pojam. Nastavnik/ca bira primjere skupova pogodnih za ilustraciju različitih tipova predstavljanja. Ovdje se učenicima predstavlja Venov dijagram kao veoma pogodan način predstavljanja skupova. Nastavnik pokazuje različite načine predstavljanja skupova, a onda to učenici rade u četveročlanim grupama (zadatak 2 i 4 sa stranice 14 u udžbeniku).

b. Analiziranjem primjera skupova iz okruženja, dolazi se do pojmova prebrojivih i

neprebrojivih skupova. Učenici posmatraju plakat sa imenima učenika iz svog odjeljenja. Zajedno zaključuju da se skup R učenika iz njihovog razreda prebrojiv i odreñuju n(R).

c. Koristeći ilustracije sa stranice 17 učenici usvajaju pojam praznog skupa. Koristeći

ilustracije na stranici 17 ili 18, lako će se doći do pojma podskupa datog skupa. Uočiti da je svaki skup i prazan skup, podskup tog skupa. Koristeći grupni rad, treba uvježbati pronalaženje svih podskupova datih skupava (na stranici 18).

udžbenik str. 15

udžbenik str. 17

udžbenik str. 18

Klju čne riječi: Skup, element skupa, Venov dijagram, opisno predstavljanje skupova, brojnost i jednakost skupova, prazan skup, podskup skupa.

UTVRðIVANJE I PROVJERAVANJE Nastavnik formira četveročlane grupe i dijeli im radne listiće sa zadacima kojima se utvrñuje preñeno gradivo. Na kraju predstavnici grupa referišu rezultate i zapisuju na tabli. O eventualnim različitim rezultatima se vodi rasprava i analiziraju se pristupi i uočavaju eventualne greške.

• Rješavamo zadatke iz udžbenika na stranici 14 i 20 i u radnoj svesci na stranici 4 i 5.

DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE Učenici su tokom ranijeg školovanja razvrstavali elemente u odnosu na jednu, odnosno dvije osobine. Razvrstavanje je udruživanje elemenata po odreñenim osobinama i rezultat toga je skup. Učenici trebaju usvojiti pojmove elementa (člana) skupa, podskupa, te bi trebali znati oblikovati i tumačiti Venov dijagram i ostale načine predstavljanja skupova. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________


PRESJEK, UNIJA I RAZLIKA SKUPOVA Nastavni cilj: Učenik je usvojio pojam presjeka, unije i razlike skupova. Izgradio je vještine baratanja sa tim operacijama.

udžbenik str. 21

udžbenik str. 22

udžbenik str. 23

UVOD (MOTIVACIJA)

• Presjek skupova

Učenici posmatraju i analiziraju ilustracije na stranici 21 u udžbeniku iz kojih se nazire pojam presjeka skupova, koji se temelji na osobini da se njegovi elementi nalaze i u jednom i u drugom skupu, istovremeno.

• Unija skupova Analizirajući sliku sa stranice 23 ili udruživanjem skupa dječaka i skupa djevojčica iz razreda, učenici dolaze do spoznaje potrebe uvoñenja pojma unije skupova. Uočavaju razliku operacija unija skupova i sabiranje (da li je moguće sabirati kruške i jabuke, odnosno da li je moguće naći njihovu uniju).

• Razlika skupova Slično, pokazati sličnost operacija oduzimanja brojeva i razlike skupova. OBRADA

a. Posmatrajući ilustracije i zadatke na stranici 22 učenici dolaze do pojma presjeka skupova. Zajedno sa nastavnikom, oni formuliraju definiciju i zapisuju je u svoje sveske. Koristeći zadatke 1, 2 i 3 na stranici 22, organizirati grupni rad u četveročlanim grupama sa po jednim zadatkom. O rezultatima, predstavnici grupa izvještavaju ostale učenike, te zapisuju na tabli. O eventualim neslaganjima u rezultatima kod istih zadataka, vodi se diskusija i istraga o eventualnim greškama. Na pogodnim primjerima nastavnik navodi učenike da isprobaju osobine komutativnosti i asocijativnosti operacije presjeka skupova.

b. Koristeći primjer na strani 24 učenici provjeravaju rezultat i primjenjuju zakone

komutacije i asocijacije. Nastavnik ukratko izriče tvrdnje o spomenutim zakonitostima. Kao i u prethodnom, koristeći iste grupe, rješavaju se zadaci na stranici 25 i na isti način diskutiraju rješenja i rješavaju eventualne nesuglasice.

udžbenik str. 24

udžbenik str. 26

udžbenik str. 27

Klju čne riječi: Skup, element skupa, Venov dijagram, opisno predstavljanje skupova, brojnost i jednakost skupova, prazan skup, podskup skupa.

c. Koristeći osobine da se elementi skupa sadrže u prvom, a ne sadrže u drugom skupu,

uvesti učenike u pojam razlike skupova i odmah uočiti da ne vrijedi zakoni komutacije i asocijacije. O tome nastavnik ukratko sastavlja tvrdnje, koje učenici zapisuju i naglašavaju nekom drugom bojom. Kao i u prva dva slučaja, formirane grupe rade zadatke na strani 27 i nakon toga diskutiraju o rješenjima i pronalaze kompromis u rješavanju spornih situacija.

UTVRðIVANJE I PROVJERAVANJE Nastavnik formira četveročlane grupe i dijeli im radne listiće sa zadacima kojima se utvrñuje preñeno gradivo. Na kraju predstavnici grupa referišu rezultate i zapisuju na tabli. O eventualnim različitim rezultatima se vodi rasprava i analiziraju pristupi i uočavaju eventualne greške.

• Rješavamo zadatke iz radne sveske na stranici 6. DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE Učenici usvajaju pojam presjeka, unije i razlike skupova uz naglašavanje predstavljanja na Venovom dijagramu. Tokom časa više puta ponoviti šta je presjek, unije i razlika skupova, te naglasiti da su u presjeku dva skupa oni elementi koji se nalaze i u jednom i u drugom skupu, istovremeno, da su u uniji dva skupa oni elementi koji se nalaze u jednom ili drugom, te da su u razlici dva skupa oni elementi koji se nalaze u prvom, a ne nalaze u drugom skupu. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________


UREðENI PAR. DEKARTOV PROIZVOD SKUPOVA. Nastavni cilj: Učenici znaju razliku izmeñu para i ureñenog para elemenata. Znaju to povezati sa praktičnim primjerima. Učenici znaju pojam Dekartovog proizvoda skupova, te načine njegovog predstavljanja.

udžbenik str. 28

udžbenik str. 29

udžbenik str. 30

UVOD (MOTIVACIJA)

• Ureñeni par elemenata

Podstaknuti ilustracijama na stranici 28 učenici pronalaze u prirodi parove i meñu njima, ureñene parove.

• Dekartov proizvod Predstaviti situaciju šahovskog meča izmeñu dvije ekipe, gdje svaki igrač prve ekipe mora igrati sa svakim igračem druge. Ovu situaciju povezati sa skupom svih ureñenih parova, kojima je prvi element iz prvog, a drugi element iz drugog skupa. OBRADA

a. Uz pomoć ilustracija na stranicama 28 i 29 dovesti učenike u situaciju da znaju razlikovati ureñene parove od običnih parova elemenata. Koristeći rad u parovima, doći do više primjera ureñenih parova. Jedan učenik će rezultate tog rada zapisivati na tabli. Svi zajedno diskutiraju rješenja i zajednički rješavaju eventualne nedoumice. Uz pomoć nastavnika se dolazi do formulacije o jednakosti dva ureñena para, te upoznaje načini predstavljanja ureñenog para elemenata.

b. Iz praktičnog problema odreñivanja parova igranja šahovskog meča izmeñu dvije

ekipe, dovesti do pojma skupa svih ureñenih parova, kod kojih je prvi element iz prvog skupa, a drugi element iz drugog, tj. Dekartovog proizvoda. Nastavnik će pozvati nekog učenika da na tabli predstavi skupove A i B sa po 5 elemenata – početnim slovom prezimena igrača. Svi zajedno će odrediti sve parove, kojima je prvi element iz prvog, a drugi element iz drugog skupa. U prihvaćanju ovog pojma, učenicima može pomoći i primjer na stanici 31, koji može još poslužiti kod brojnosti Dekartovog proizvoda, u zavisnosti od brojnosti početnih skupova. Ovaj zaključak, nastavnik zapisuje na tabli, a učenici ga naglašavaju drugom bojom u svojim sveskama.

udžbenik str. 31

udžbenik str. 32

Klju čne riječi: Par elemenata, ureñeni par, Dekartov proizvod skupova, predstavljanje Dekartovog produkta skupova.

c. Koristeći drugi primjer na stranici 31, nastavnik predstavlja dva načina prikazivanja

Dekartovog proizvoda skupova. Zajedno sa učenicima se dolazi do pojma Dekartov kvadrat, kao u primjeru na stranici 32.

UTVRðIVANJE I PROVJERAVANJE Kroz formiranje četveročlanih grupa i podjelu radnih listića sa po jednim zadatkom sa stranice 32, učenici uvježbavaju formiranje Dekartovog proizvoda i njegovog predstavljanja. Na kraju predstavnici grupa referišu rezultate i zapisuju na tabli. O eventualnim različitim rezultatima istih zadataka se vodi rasprava i analiziraju eventualni različiti pristupi te uočavaju eventualne greške.

• Rješavamo zadatke iz radne sveske na stranici 7. DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE Učenici usvajaju pojam ureñenog para, znaju ga zapisivati i šematski predstaviti. Kroz uvježbavanje na temu Dekartov proizvod, uvijek ponavljati definiciju ureñenog para. Uočiti povezanost Dekartovog proizvoda sa praktičnim situacijama. Insistirati na modeliranju uz pomoć praktičnih primjera, a tek onda generalizirati i saopštavati i zapisivati tvrdnje. Dekartov proizvod uvijek vezati sa nekim načinom njegovog predstavljanja. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________


RELACIJE. RELACIJA EKVIVALENCIJE I PORETKA. Nastavni cilj: Učenici znaju uočiti relaciju i predstaviti je na razne načine, znaju njene osobine, te kada je neka relacija – relacija ekvivalencije, a kada poretka.

udžbenik str. 39

udžbenik str. 40

udžbenik str. 41

UVOD (MOTIVACIJA)

• Relacija i njeno predstavljanje

Nastavnik ukratko predstavlja učenicima svijet relacija, odnosno praktičnim primjerima iz okruženja, zajedno konstatira da su relacije svugdje oko nas, npr.: veza izmeñu učenika i brojeva u dnevniku, učenika i ocjena iz zadnjeg kontrolnog rada itd. Učenici uočavaju da moraju postojati dva skupa, čiji će elementi biti u odreñenoj relaciji, a uz pomoć nastavnika oni to povezuju sa Dekartovim proizvodom. Uočavaju značaj Venovog dijagrama i mrežastog načina predstavljanja.

• Relacija ekvivalencije i relacija poretka Koristeći ilustraciju i primjer na stranici 43 uoči se praktičnost zadane relacije. Učenici će shvatiti suštinu te relacije, a uz pomoć nastavnika, kao i njene osobine: refleksivnosti, simetričnosti i tranzitivnosti, koji vrijede u prirodi kao zakoni. OBRADA

a. Uz pomoć ilustracija na stranici 39 pokazati učenicima praktičan primjer relacije i različite načine njenog predstavljanja. Uz pomoć nastavnika učenici usvajaju matematičku relaciju sa stranice 41. Dovesti učenike u situaciju da znaju razlikovati ureñene parove od običnih parova i predstavljaju je šematski i kao skup ureñenih parova. Nakon toga, koristeći zadatke sa stranice 42, učenici u grupama po 4 rješavaju zadatak, predstavnici prezentiraju rješenja, a o eventualnim različitim pristupima i rezultatima se vodi rasprava i postiže koncenzus.

b. Koristeći primjer sa stranice 43 nastavnik zajedno sa učenicima formulira tvrdnje o

osobinama relacija: RST i antisimetričnost, sa adekvatnim zapisivanjem pomoću matematičkih simbola. Na primjerima sa stranice 45, učenici, uz pomoć nastavnika, uvježbavaju ispitivanje osobina danih relacija.

c. Nastavnik, na osnovu usvojenih pojmova, definira relacije ekvivalencije i poretka, te

potpunog poretka.

udžbenik str. 43

udžbenik str. 44

udžbenik str. 46

Klju čne riječi: Relacija, graf relacije, refleksivnost, simetričnost, antisimetričnost i tranzitivnost. Relacije ekvivalencije i relacija poretka.

UTVRðIVANJE I PROVJERAVANJE Koristeći zadatke sa stranice 47 organizuje se grupni rad po 4 učenika, na uobičajeni način rada, sa razmjenom iskustava izmeñu različitih grupa. O eventualnim različitim iskustvima vodi se rasprava do postizanja koncenzusa o pravilnim rješenjima.

• Rješavamo zadatke iz radne sveske na stranici 11, 12 i 13. DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE Učenici usvajaju pojam relacije na osnovu niza praktičnih primjera iz okruženja. Dati poticaja učenicima da pronalaze sebi prilagodljive primjere, bez ustručavanja. Kroz rad na primjerima, stalno dovoditi u vezu relacije i Dekartovog proizvoda posmatranih skupova. Ne treba insistirati da učenici znaju definicije i tvrdnje, nego ih poticati da nañu primjer, na kome mogu objasniti osobine relacije, te odrediti da li je ona relacija, ekvivalencije, poretka ili potpunog poretka. Učenicima ove dobi je teško simbolima zapisivati zaključke u postupcima ispitivanja osobina relacija. Dovoljno je da znaju opisati postojanje navedenih osobina. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________


FUNKCIJE. VRSTE FUNKCIJA. KOORDINANTNI SISTEM U RAV NI. Nastavni cilj: Učenici shvataju pojam funkcije i znaju je predstaviti na razne načine; shvataju pojmove injekcije, sirjekcije i bijekcije, te znaju prikazati tačke u koordinantnom sistemu.

udžbenik str. 48

udžbenik str. 49

udžbenik str. 51

UVOD (MOTIVACIJA)

• Funkcije (preslikavanja)

Nastavnik navodi učenike da daju primjere funkcija iz njihovog okruženja, bez udubljivanje u korektnost izrečenih primjera.

• Injekcija, sirjekcija i bijekcija. Koristeći praktičnu situaciju, kao npr. na stranici 52, učenici će shvatiti suštinu vrsta preslikavanja. OBRADA

a. Uz pomoć ilustracija na stranici 48 pokazati učenicima praktičnost pridruživanja. Pokazati sličnost funkcije sa relacijom, te objasniti u čemu je razlika. Nastavnik ukratko formulira potrebne stavove oko funkcija, kao što je to na stanici 49. On treba pažljivo uvesti funkciju zapisanu formulom, navodeći nekoliko preslikavanja odreñenih tačaka, te formiranjem tabele sa vrijednostima promjenjive i vrijednostima slika.

b. Koristeći primjer 1 iz stranice 51, pozvati učenika da na tabli zajedno s nastavnikom

predstavi funkciju f(x)=x+2 tabelarno ili kao skup ureñenih parova. c. Koristeći primjere sa stranica 52 i 53, nastavnik oprezno uvodi pojam injekcije,

sirjekcije i bijekcije. Ukratko se zapisuje definicije ovih pojmova. d. Nastavnik uvodi pojam koordinatnog sistema u ravni, dovodeći to u vezu sa mrežnim

načinom prikazivanja relacija. Koristeći primjer sa stranice 54, nastavnik zajedno sa učenicima unosi u ravan odreñen broj tačaka. Ističući važnost koordinatnog sistema za budući rad u matematici i životu, nastavnik ukratko izriče difiniciju koordinatnog sistema u ravni i ističe Dekarta kao najzaslužnijeg za njegovo uvoñenje u matematici.

e. Nastavnik postavlja zadatak iz primjera na stranici 56. Nakon kraćeg vremena on

poziva učenika da zadatak riješi na tabli. Nakon toga pomoću grupnog rada, uvježbava se predstavljanje funkcija u koordinatni sistem, na uobičajen način za grupni rad, akcentirajući razmjenu stečenih iskustava.

udžbenik str. 52

udžbenik str. 54

udžbenik str. 55


UTVRðIVANJE I PROVJERAVANJE Koristeći zadatke sa stranice 56 (udžbenik) i 14 – 17 (radne sveska) nastavnik organizira grupni rad po 4 učenika, na uobičajeni način rada, sa razmjenom iskustava izmeñu različitih grupa. O eventualnim različitim iskustvima vodi se rasprava koja dovodi do prihvatljivih rješenja. DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE Učenici usvajaju pojam pridruživanja i funkcije izmeñu dva skupa. Znaju šta je domena i kodomena. Znaju pronaći primjere iz praktičnih situacija, te odrediti prirodu i vrstu preslikavanja. Održavati princip postupnosti i kauzalnosti kroz povezanost preslikavanja i relacija. Nije potrebno insistirati da učenici znaju ispisati definicije i tvrdnje, jer za neke od njih to pričinjava poteškoće. Bitnije je gajiti razumijevanje i ispravan stav o funkcijama, predstavljanju, vrstama te koristima od funkcija. Bitno je da učenici prihvate Dekartov koordinatni sistem kao nešto što je korisno. Dovesti u vezu Koordinatni sistem sa koordinatama na geografskim kartama. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

KRUŽNICA. KRUG. UGAO.

IZLOMLJENA LINIJA. KRUŽNICA I KRUG. PRAVA I KRUŽNIC A. ODNOS DVIJU KRUŽNICA. Nastavni cilj: Učenici shvataju pojam mnogougaone linije i mnogougla (poligona). Učenici znaju konstruirati kružnicu danog poluprečnika, znaju razlikovati krug od kružnice. Znaju odrediti u kom su odnosu prava i kružnica, kao i meñusobni odnos dviju kružnica.

udžbenik str. 58

udžbenik str. 59

udžbenik str. 60

UVOD (MOTIVACIJA)

• Izlomljena linija. Mnogougao (poligon).

Pomoću štapića učenici formiraju razne izlomljene linije, a onda i zatvorene izlomljene linije. Zapisuju ih u sveske, pomoću geometrijskog pribora. Moguće je da učenici sami izvedu definiciju izlomljene linije i mnogougla.

• Krug i kružnica. Nastavnik iznosi problem radnika za ureñenje parkova oko formiranja zasada ruža u lijehama u obliku krugova. Učenici iznose ideje kako da pomognu radniku da uspješno uradi posao. Uz pomoć nastavnika oni dolaze do definicije kružnice i kruga.

• Prava i kružnica. Odnos dvije kružnice. Učenici iznose poklopce od galona u kružnom obliku i štap. Na upit nastavnika u kom odnosu mogu biti poklopac (krug) i štap (prava), učenici, nakon isprobavanja, odgovaraju na koje su situacije naišli. O tome pojedinačno (ili kao predstavnici grupe) obavještavaju ostale u razredu i na kraju se pravi zajednički zaključak. Slično se radi samo sa dva poklopca od galona ili nečeg drugog u kružnom obliku. OBRADA

a. Nakon uvoda, a uz pomoć ilustracija na stranici 58 i 59 učenici dolaze do pojma izlomljena linija, zatvorena linija i mnogougla. Uz pomoć učenika, nastavnik formulira definicije i učenici ih zapisuju u sveske. Grupnim radom (po 4 učenika) mogu se rješavati zadaci formiranja pomoću štapića odreñeni mnogouglova (trougao, četverougao, petougao itd.). O tome se vode zabilješke u sveskama i razmjenjuju rezultati nakon završetka grupnog rada.

b. Koristeći vrtlarov problem i skice na stranici 58 učenici dolaze do pojma kružnice, i

uočavaju razliku izmeñu kružnice i kruga. Jedan učenik crta kružnicu na tabli sa zadatim poluprečnikom, koristeći geometrijski pribor. Nakon toga učenici u parovima crtaju kružnice zadanih poluprečnika.

udžbenik str. 61

udžbenik str. 62

udžbenik str. 65


c. Koristeći zaključke iz uvoda, koji se tiču odnosa izmeñu kružnice i prave, učenici uz

monitoring nastavnika dolaze do zaključka kao na stranici 62, te ih zapisuju u svoje sveske. To je prilika da se definira tangenta, sekanta, te tetiva i dijametar ili prečnik kružnice i kružni luk. Sve definicije trebaju biti popraćene odgovarajućim crtežima sa adekvatnim oznakama. Sve odnose izmeñu kružnice i prave posmatrati kroz operacije u skupovima tačaka na pravoj i kružnici.

d. Nakon zaključaka iz uvoda, nastavnik navodi učenike na zaključak na stranici 65, te ih

zapisuje na tabli uz odgovarajuće crteže. I ovdje se kružnice posmatraju kao skupovi tačaka i razni odnosi kružnica se definiraju pomoću operacija meñu skupovima tih tačaka.

UTVRðIVANJE I PROVJERAVANJE Koristeći zadatke sa stranice 64 i 66 (udžbenik) i 36 – 37 (radna sveska), nastavnik organizira grupni rad po 4 učenika, na uobičajeni način, sa razmjenom iskustava izmeñu različitih grupa. O eventualnim različitim iskustvima vodi se rasprava koja dovodi do prihvatljivih rješenja za sve učenike i nastavnika. DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE Učenici usvajaju pojam izlomljene linije, te kako se dolazi do zatvorene izlomljene linije tj. do mnogougla. Treba respektirati učeničke stavove iako ne budu potpuno matematički tačne. Razgovorom doći do usaglašavanja stavova. Stalno održavati vezu sa preñenim gradivom, npr. posmatrajući prave i kružnice, kao skupove tačaka, te vršeći operacije meñu tim skupovima. Primjerenije je tražiti da učenici znaju konkretizirati problematiku kruga, te odnosa sa pravom i drugim krugovima u praksi nego da izgovaraju suhoparne definicije i tvrdnje. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________


UGAO. VRSTE UGLOVA. Nastavni cilj: Učenici usvojili pojam ugla (kuta). Razumiju pojmove: vrh, krak, ivice (rubovi) i unutrašnjost ugla. Znaju vrste uglova i poznaju više načina obilježavanja uglova. Znaju šta je centralni ugao, luk i tetiva.

udžbenik str. 67

udžbenik str. 68

udžbenik str. 70

UVOD (MOTIVACIJA)

• Ugao. Elementi ugla

Zajedno sa likovima iz udžbenika obnove se pojmovi ugla, poluprave, prave i osobine vezane za uglove, a koji su učenici učili u 5. razredu. Ponove se elementi i poznati načini obilježavanja uglova.

• Vrsta uglova. Učenici, na osnovu skica na stranici 70, prave razliku izmeñu konveksnih i nekonveksnih uglova, što je osnova za uvoñenje pojmova oštrog, pravog, opruženog, tupog i udubljenog ugla. Koristeći skice na stranici 72, učenici mogu doći do saznanja o centralnim uglovima, luku i tetivi. OBRADA

a. Koristeći ilustraciju na stranicama 67 i 68, učenici slične uglove crtaju u svoje sveske, boje ih odgovarajućim bojama, utvrñuju šta je unutrašnjost, šta vanjska oblast, te uočavaju glavni elementi ugla (vrh i kraci). Nastavnik uvodi sve vrste obilježavanja uglova. Učenici koriste zadatke na stranici 22 radne sveske te popunjavaju tabele.

b. Koristeći ilustracije na stranici 71, učenici se upoznaju sa svim vrstama uglova i

njihovim osobinama. Koristeći zadatak 6 na stanici 23 (radna sveska), učenici precrtavaju uglove i tabelu u svoje sveske. Zatim se dijele u četveročlane grupe i nakon diskusije unutar grupe popunjavaju tabelu. Slijedi izvještavanje predstavnika grupa i usaglašavanje, nakon eventualnih različitih pogleda.

c. Nastavnik dovodi u vezu uglove i krug, te postavlja situaciju da se vrh ugla poklopi sa

središtem kruga. Uočava se veza veličine centralnih uglova i pripadajućih tetiva i lukova. Nastavnik/ca ukratko zapisuje odgovarajuće tvrdnje i definicije, nakon njihove provjere. Zatim se rješava grupno (po 4 člana) zadatak br. 2 na stranici 73 udžbenika.

udžbenik str. 71

udžbenik str. 72

udžbenik str. 73

Klju čne riječi: Ugao, unutrašnjost ugla, oštri, pravi, opruženi, tupi, udubljeni nulti i puni ugao. Centralni ugao, tetiva i luk .

UTVRðIVANJE I PROVJERAVANJE Koristeći zadatke sa stranice 69, 71 i 73 (udžbenik), te i 22 i 23 (radna sveska), nastavnik organizira grupni rad po 4 učenika, na uobičajeni način rada, sa razmjenom iskustava izmeñu različitih grupa, gdje se nakon urañenih zadataka, o eventualnim različitim iskustvima vodi rasprava o različitim pristupima i pravi dogovor koji će važiti za sve. DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE Učenici se stalno potiču na ponavljanje o pojmovima: krak, vrh, unutrašnja i vanjska oblast ugla, centralni ugao, tetive i lukovi itd. Nastavnik stalno prati da li učenici pravilno upotrebljavaju obilježavanje uglova. Nastavnik ima od papira izrezane sve vrste uglova, koje učenici mogu koristiti pri rješavanju zadataka. Nastavnik svaki put provjerava rad učenika i odmah, zajedno sa njima, rješava nastale probleme. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________


PRENOŠENJE I UPOREðIVANJE UGLOVA. SUSJEDNI, UPOREDNI I UNAKRSNI UGLOVI. GRAFI ČKO SABIRANJE I ODUZIMANJE UGLOVA. Nastavni cilj: Učenici znaju prenijeti zadani ugao i usporeñivati ih po veličini, znaju odrediti susjedne, usporedne i unakrsne uglove i odnose meñu njima, operacije sabiranja i oduzimanja pomoću geometrijskog pribora.

udžbenik str. 74

udžbenik str. 75

UVOD (MOTIVACIJA)

• Prenošenje ugla i usporeñivanje uglova

Usporeñivanje uglova je zgodno započeti sa usporeñivanjem „isječenih uglova“ od raznobojnih papira. Zaključuju: ako unutrašnja oblast jednog ugla leži u istoj drugog, onda je on manji od donjeg ugla. Isječene uglove usporeñuju po veličini. Situacija se, zatim, prenosi na tablu.

• Susjedni, unakrsni i usporedni uglovi Nastavnik/ca pokazuje učenicima, skice na stranici 76. Oni konstatiraju glavne osobine koje imaju usporedni, susjedni i unakrsni uglovi.

• Grafi čko sabiranje i oduzimanje uglova Nastavnik crta na tabli dva oštra i dva tupa ugla i zamoli učenike da ih pravilno obilježe. Zatim, pred njih postavlja problem - da saberu dva oštra ugla, a onda da od jednog tupog, oduzmu jedan oštri ugao. Ovu materiju treba povezati sa jednakosti dva centralna ugla i prenošenjem uglova. OBRADA

a. Koristeći ilustraciju na stranici 74, nastavnik, zajedno sa učenicima radi prenošenje uglova, koristeći lenjir i šestar. Zatim se radi u grupama po 4 učenika na rješavanju drugog primjera na stranici 75. Nastavnik prati rad grupa i priskače u pomoć onima kojima je ona potrebna.

b. Koristeći ilustraciju na stranici 76, učenici crtaju slike u svoje sveske i zapisuju

osnovne informacije koje im daje nastavnika, a koje govore o odnosu usporednih, susjedni i unakrsnih uglova.

c. Na osnovu uputa u skicama na stranici 77, nastavnik traži od učenika prijedloge za

sabiranje (oduzimanje) uglova. Nakon toga rade zajedno jedan primjer sabiranja i jedan primjer oduzimanja uglova.

udžbenik str. 76

udžbenik str. 77

Klju čne riječi: Prenošenje uglova, usporeñivanje uglova po veličini, susjedni, usporedni i unakrsni uglovi, sabiranje i oduzimanje uglova pomoću šestara i lenjira .

UTVRðIVANJE I PROVJERAVANJE Koristeći zadatke na stranici 77 (udžbenik), te zadatke na stranici 20 i 21 (radna sveska), organizira se grupni rad po 4 učenika, a nakon toga se povede rasprava o teškoćama na koje se nailazi u rješavanju i o najlakšim putevima za njihovo rješavanje. DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE Učenici u ovoj nastavnoj temi saznaju nešto od matematičke terminologije (usporedni, susjedni uglovi). Zbir i razlika uglova, za razliku od računskog načina, odreñuje se isključivo pomoću geometrijskog pribora (šestar i lenjir). Zbog lakšeg prihvatanja pojma sabiranja i oduzimanja uglova dobro bi bilo da učenici sumu i razliku nekih uglova dobijaju koristeći izrezivanjem i stavljanjem modela uglova od papira u boji. Kada odreñujemo sumu i razliku uglova pomoću šestara i lenjira, posebno je važno napomenuti da se na oba ugla koje sabiremo, odnosno oduzimamo, kao i na slici zbira, odnosno razlike nacrtamo luk sa jednakim poluprečnicima. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________


MJERENJE UGLOVA I JEDINICE ZA MJERENJE UGLOVA. PRET VARANJE STEPENA U MINUTE I SEKUNDE I OBRATNO. SABIRANJE I O DUZIMANJE UGLOVA. Nastavni cilj: Učenici znaju jedinice za mjerenje uglova i vladaju mjerenjem i usporeñivanjem uglova pomoću mjerenja uglomjerom. Znaju pretvarati stepene u niže jedinice i obratno, te računskim putem znaju sabirati i oduzimati uglove.

udžbenik str. 78

udžbenik str. 79

udžbenik str. 80

UVOD (MOTIVACIJA)

• Uglovi

Učenici od obojenog papira izrezuju uglove različitih veličina. Oštri uglovi se oboje npr. plavom, prave - crvenom, tupe - zelenom, opružene - narandžastom, udubljeni - žutom bojom. Sve uglove izmjere i uporede po veličini, od najmanjeg do najvećeg. Uz to se razgovara o krakovima, vrhu i oznakama uglova. OBRADA

a. Koristeći ilustracije sa stranice 78, učenici vrlo brzo savladaju mjerenje uglova, kao i odnose izmeñu većih i manjih jedinica i obratno, te pretvaranje jednih u druge koristeći operacije množenja i dijeljenja prirodnih brojeva. Korištenjem ilustracije sa stranice 80, učenici pretvaraju stepene u minute, te minute i stepene u sekunde. Učenici uzimaju sličan primjer i opisuju kako su radili.

b. Učenici odreñuju veličinu opruženog ugla pomoću dva stavljanja dva isječena prava

ugla. Ustanovljavaju da je opruženi ugao dva puta veći od pravog. To zapišemo uz odgovarajuću sliku u svesci. Zatim se stavi tri prava ugla tako da imaju zajednički vrh i da oblikuju udubljen ugao. Na kraju se pomoću četiri prava ugla formira puni ugao. Sve se to zapiše sa odgovarajućim slikama u sveskama. Tako se doñe do pojma puni ugao. Kao i kod drugih uglova, i ovdje učenici opisuju položaj krakova ugla. Vidi se da je puni ugao četiri puta veći od pravog, a dva puta od opruženog ugla. Sve se to simbolički napiše u sveske ispod odgovarajućih slika. Zatim se formiraju grupe po četiri učenika i rade zadaci sa stranice 79 sa uobičajenim načinom rada, koje podrazumijeva razmjenu iskustava na kraju rada.

c. Pomoću ilustracija na stranici 82 učenici se koriste iskustvima Jace, Mirze i Nike u

sabiranju i oduzimanju uglova. Uvijek se ima na umu odnos izmeñu većih i manjih jedinica uglova. Operacije sabiranja i oduzimanja, ali i pretvaranje manjih u veće ugaone jedinice i obratno se uvježbavaju grupnim radom (po 4 učenika) koristeći zadatke na stranici 82.

udžbenik str. 81

udžbenik str. 82

Klju čne riječi Jedinice za mjerenje uglova, pretvaranje većih u manje jedinice i obratno, mjerenje uglova, sabiranje i oduzimanje uglova.

UTVRðIVANJE I PROVJERAVANJE Koristeći zadatke na stranici 79, 81, 82 i 83 (udžbenik), te na stranici 24 – 31 (radna sveska), organizira se grupni rad po 4 učenika, a nakon toga predstavnici grupa informiraju ostale učenike u razredu o radu svoje grupe i o teškoćama na koje su nailazili, odnosno o tome šta je išlo bez problema. DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE Nastavna materija je opet primjerena za izvoñenje različitih aktivnosti, preko kojih će učenici doći do novih iskustava, spoznaja i znanja. Uvijek ponavljati šta učenici znaju o vrstama uglova, o mjerenju i crtanju uglova. Kod sabiranja i oduzimanja uglova, stalno imati u podsvijesti odnose izmeñu stepeni, minuta i sekunda. Istovremeno se vodi računa o pravilnom potpisivanju: stepeni ispod stepena, minute ispod minuta itd. Naročito je značajno srediti rezultat sabiranja, ako je broj minuta ili sekundi veći od 60. Na početku nastavnik zadaje jedan zadatak sabiranja uglova i aktivno prati kako se učenici snalaze prikupljajući iskustva i postupke učenika u sabiranju uglova što će pomoći oko kreiranja strategija za podučavanje. Takoñer treba paziti na slučaj da je umanjenik sadržan od manjeg mjernog broja minuta i sekundi od umanjioca, te, u tom slučaju, o pozajmljivanju jednog stepena za pretvaranja u minute kako bi oduzimanje bilo moguće. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________


MNOŽENJE I DIJELJENJE UGLOVA. KOMPLEMENTNI I SUPLEM ENTNI UGLOVI Nastavni cilj: Učenici znaju množiti i dijeliti mjerne brojeve uglova prirodnim brojem, te pojmove komplementnih i suplementnih uglova.

udžbenik str. 84

udžbenik str. 85

UVOD (MOTIVACIJA)

Učenici znaju da je opruženi ugao jednak dvostrukom proizvodu pravog ugla, da je puni ugao jednak četiri prava ugla, ili da je puni ugao jednak dva opružena ugla. Postavlja se problem proizvoda bilo kojeg mjernog broja ugla i prirodnog broja. Nastavnik podstiče razgovor o problemu množenja i dijeljenja uglova sa prirodnim brojem. Saslušava ideje koje dobija od učenika i dobija dragocjena iskustva, što se koristi u efektnijem postizanju ciljeva sata. OBRADA

a. Ponavljajući odnos izmeñu pravog, opruženog i punog ugla, nastavnik postavlja jedan lakši zadatak oko množenja i jedan sa dijeljenjem mjernih brojeva uglova sa prirodnim brojem. Slično kao na stranici 84.

b. Koristeći zadatke sa stranice 84, učenici rade u četveročlanim grupama. Nastavnik

naglašava da učenici stalno moraju imati na umu odnos izmeñu stepena, minuta i sekundi, kako bi mogli uraditi zadatke i rezultat napisati u prihvatljivom obliku (broj minuta i sekundi mora biti manji od 60). Za neke učenike je dobro u grupnom radu koristiti 6. zadatak na stranici 31 radne sveske. Poslije grupnog rada se pristupa referiranju od predstavnika grupa o rezultatima i o problemima na koje su nailazili pri rješavanju zadataka. Iskustva se podijele sa drugim učenicima. Nastavnik može ukratko napisati definiciju množenja i dijeljenja mjernih brojeva uglova prirodnim brojem, pomoću stavova koje su iznijeli učenici na osnovu svojih iskustava.

c. Nastavnik saopštava učenicima da su, od bitne važnosti, uglovi koji se dopunjuju do

90o, odnosno 180o, zbog primjene u trigonometriji u kasnijim razredima. Na osnovu ilustracija na stranici 85 i 86 učenici upotpunjuju pojam komplementnih i suplementnih uglova. To je prilika da se ponovi sabiranje i oduzimanje mjernih brojeva uglova. Učenicima će svakako pomoći junaci iz udžbenika na stranici 86.

udžbenik str. 86

Klju čne riječi Jedinice za mjerenje uglova, pretvaranje većih u manje jedinice i obratno, mjerenje uglova, sabiranje i oduzimanje uglova.

UTVRðIVANJE I PROVJERAVANJE Koristeći zadatke na stranici 84 i 86 (udžbenik) i 34 – 35 (radna sveska), organiziara se grupni rad po 4 učenika, a nakon toga predstavnici grupa izvještavaju svoje kolegice i kolege o rezultatima rada svoje grupe ostale učenike u razredu. Eventualne teškoće i stečena iskustva koriste za bogaćenje prakse svakog učenika, ali i nastavnika. DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE Koristeći znanja o pretvaranju većih ugaonih jedinica u manje i obratno, te odnosa izmeñu pravog, opruženog i punog ugla, učenici uz pomoć nastavnika veoma brzo trebaju usvojiti vještine množenja i dijeljenja mjernih brojeva uglova prirodnim brojem. Nastavna materija je primjerena za izvoñenje različitih aktivnosti, preko kojih će učenici doći do novih iskustava, spoznaja i znanja, a naročito izgradnje vještina slušanja, iznošenja stavova i razvijanja osjećaja za timski rad.. Vrste uglova stalno ponavljati, ali ih sada treba vezati za njihove mjerne brojeve. Kao kod sabiranja i oduzimanja uglova, i ovdje treba stalno imati u podsvijesti odnose izmeñu stepeni, minuta i sekunda. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

SKUP N I No PRIRODNIO BROJEVI Nastavni cilj: Učenik poznaje skup prirodnih brojeva. Usporeñuje i ureñuje prirodne brojeve po veličini. Poznaje pojam sljedbenik prirodnog broja. Razlikuje parne i neparne brojeve.

udžbenik str. 88

udžbenik str. 89

UVOD (MOTIVACIJA)

• Cifre i brojevi

Učenici posmatraju fotografije na stranici 88. Razgovaramo sa njima i zaključujemo gdje sve srećemo brojeve i šta s njima izražavamo. Promišljamo sa kojim znacima oblikujemo zapise pojedinačnih brojeva. Nastavnik poziva nekoliko učenika da zapišu po jedan broj na tabli, pročitaju ga i kažu koje su brojke koristili za njegovo zapisivanje.

• Sastavimo brojeve Učenici rade u grupama po tri ili četiri. Svaka grupa riješi zadatak na stranici 88. Nastavnik pozove predstavnika svake grupe da objasni kako je njegova grupa riješila zadatak. Učenici drugih grupa usporeñuju te rezultate sa svojim rezultatima te uočavaju sličnost ili razliku u rješavanju. O eventualnim razlikama se kasnije porazgovara. Nastavnik zatim pozove učenike da napišu sve trocifrene brojeve, koji se mogu sastaviti od cifara 6, 2 i 0. Posebno razmisliti o položaju cifre nula (0). OBRADA

a. učenici posmatraju ilustracije na stranici 89. Uz to nastavnik uvede pojam skupa prirodnih brojeva. Zajedno izvedemo neke aktivnosti brojanja. Izbrojimo koliko nas je u razredu, koliko je svjetiljki u učionici... Zatim počnemo brojati nešto što ne možemo izbrojiti, na primjer: u dvorištu prebrojavamo kamenčiće, na livadi prebrojavamo biljke... Ustanovimo da brojanje počinje sa jedan ( jedna, jedno), zatim brojimo dok ne izbrojimo. Nekih stvari ima toliko da ih ne možemo izbrojiti, odnosno za to bi nam trebalo puno vremena. Pošto brojanje počinjemo sa jedan, 1 je najmanji broj, a 0 nije prirodan broj.

b. Nastavnik zapisuje na tabli brojeve 3, 5, 1, 2, 6, 4 i poziva na tablu učenika, da ih poreda po veličini: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ureñenost prirodnih brojeva se može predstaviti na brojnoj polupravoj, koju, takoñer, nacrtamo na tabli, a učenici u svoje sveske.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Poluprava ima početak u tački 1, strelica pokazuje da se nikada ne može završiti brojanje. Zaključimo da nema najvećeg prirodnog broja. To radimo na način što promišljamo: ako prirodnom broju dodamo 1, dobijamo nasljednika tog broja, koji je opet prirodan broj. Taj postupak se nikad ne završava, nego se dobijaju samo veći prirodni brojevi. Kada se radi o ureñenosti prirodnih brojeva, svaki od njih možemo usporeñivati po veličini. Takoñer, pojmove parnih i neparnih brojeva vežemo za pitanje: da li je cifra jedinica paran, odnosno, neparan broj.

udžbenik str. 93

udžbenik str. 94

Klju čne riječi: Cifre, brojevi, prirodni brojevi, skup prirodnih br ojeva, bezbrojno, brojna poluprava, sljedbenik, parni broj, neparni broj, Venov prikaz, podskup.

UTVRðIVANJE I PROVJERAVANJE

• Veće, manje Nastavnik zapisuje na tabli npr. 15 000 000. Učenici pročitaju broj, zatim svako od njih zapisuje u svoju svesku broj koji je veći od broja sa table, i broj koji je manji od broja na tabli. Tu se može dogovoriti kako da se upotrebljavaju znakovi < odnosno >, na primjer: 15 000 150 > 15 000 000, odnosno 268 < 15 000 000. Nastavnik prozove pojedine učenike da pročitaju šta su zapisali. Aktivnost ponovimo sa različitim brojevima.

• Prikazi Učenici rade u paru. Nastavnik napiše na tabli: B={3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}. Najprije, učenici opisuju skup B: šta su elementi skupa B? Zatim nastavnik poziva učenike da formiraju Venov prikaz, u kojem će označiti sa S podskup parnih brojeva, koji se nalaze u skupu B. Potom, učenici mogu obrazovati još dva skupa: ponovo podskup S skupa B, parnih brojeva, te skup C, elemenata iz skupa B, većih od 18. Zatim treba porazgovarati o presjeku i uniji skupova S i C. Da li postoji koji element skupa B, koji se ne sadrži ni u skupu S ni u skupu C?

• Rješavamo zadatke iz udžbenika na stranici 93 i u radnoj svesci na stranici 48 i 49.

DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE Učenici razlikuju pojmove cifre i broja. Cifre su znaci, s kojima oblikujemo zapis broja. Sam

zapis je broj. Broj 12 je manji od broja 17 . Znači: 12 17 Kada uporeñujemo količine, govorimo, na primjer: broj 12 je manji od broja 17. To zapisujemo sa znacima 12<17. Učenici su se susretali sa prirodnim brojevima, a da ih tako nisu nazivali. Svi brojevi koje su upotrebljavani u brojanju, različiti od nule su prirodni brojevi. Naglasimo da je broj 1 najmanji prirodan broj, a da nula nije prirodan broj. Učenici poznaju pojam sljedbenik i prethodnik. Nekoliko predviñanja je potrebno pa da se uoči da najmanji prirodan broj nema svog prethodnika. Pojam beskonačnog je za učenike još vrlo apstraktan, zato ga ne upotrebljavamo. Uočimo da se postupak traženja sljedbenika prirodnih brojeva nikad ne završava, nego se uvijek dobija veći prirodan broj. Korisno je ponoviti pojmove presjeka i unije skupova, te oblikovati Venov dijagram.

SKUP N I No SABIRANJE I ODUZIMANJE PRIRODNIH BROJEVA. OSOBINE. Nastavni cilj: Učenik poznaje zakon komutacije i asocijacije u sabiranju prirodnih brojeva. Zna ulogu nule u sabiranju prirodnih brojeva. Znaju naći nepoznate elemente u razlici.

udžbenik str. 96

udžbenik str. 97

udžbenik str. 98

Nastavni materijal: Kocke za igru, žetoni, liste za zapisivanje rezultata UVOD (MOTIVACIJA) Učenici rade u parovima. Svaki par ima kockice i papir za zapisivanje rezultata, na kojem je nacrtana tabela sa dva stupca. Nastavnik daje uputstvo: svaki od učenika reda kocke dvaput i račun sabiranja bilježi u odgovarajući stupac, npr. 3 + 5 = 8. Na kraju pogledamo da li smo dobili isti rezultat u slučaju kada su rezultati bili u obrnutom redu (5 + 3 = 8). OBRADA a. Iz aktivnosti sa kockicama za igru je moguće zaključiti da redoslijed sabiraka u sabiranju

prirodnih brojeva možemo mijenjati. Sažeto izložimo zakon o zamjeni mjesta sabiraka (zakon komutacije): Ako dva broja sabiramo, svejedno je kojim ćemo redom sabirati sabirke.

b. Nastavnik zapisuje na tabli račun, npr. 25 + 13 + 36 =

Ispod tog računa zapisuje još dva računa: (25 + 13) + 36 = i 25 + (13 + 36) =

Učenici objašnjavaju značaj zagrada, zatim računaju: (25 + 13) + 36 = 38 + 36 = 74 i 25 + (13 + 36) = 25 + 49 = 74. Ustanovimo da oba puta dobijamo isti rezultat. Nastavnik, ukratko navede zakon asocijacije (udruživanja) sabiraka: Svejedno je ako prvo saberemo prva ili druga dva sabirka.

Na stranici 98 u udžbeniku se može vidjeti ilustracija kako su Selma i Mirza računali. Učenici sa različitim pristupima u sabiranju spoznaju upotrebu oba zakona: komutacije i asocijacije. Računaju onako kako im je lakše, na premjer: 38 + (24 + 12) = 38 + 36 = 74 i (38 + 12) + 24 = 50 + 24 = 74

udžbenik str. 99

udžbenik str. 100

Klju čne riječi: Sabiranje, sabirci, zbir, zagrade, zakon komutacije i asocijacije sabiraka, umanjenik, umanjilac, razlika.

c. Nastavnik pokazuje učenicima vezu izmeñu sabiranja i oduzimanja. Pokazati učenicima

kako za oduzimanje prirodnih brojeva ne vrijede zakoni komutacije i asocijacije. Oduzimanje se provjerava sabiranjem: a – b = c ⇔ a = b + c. Primjenom ove ekvivalencije kao i ekvivalencije: a - b = c ⇔ b = a - c, je moguće uvesti linearne jednačene, koje će učenici moći rješavati kao što to rade na stranici 99 i 100 udžbenika.

UTVRðIVANJE I PROVJERAVANJE Učenici rade u grupama po 4. Nastavnik im zadaje zadatke iz prvog zadatka stranice 54, radne sveske sa zahtjevom da se sabiranje izvodi primjenom zakona komutacije asocijacije. Nakon toga predstavnici grupa izvještavaju na koji način su riješili zadatke. O eventualnim razlikama se povede rasprava. Na isti način se radi sa zadatkom 4 na stranici 55 radne sveske. Da se naglasak na pitanje: da li ovi zakoni vrijede za oduzimanje.

• Rješavamo zadatke iz udžbenika na stranici 98 i 100, te odgovarajuće u radnoj svesci.

DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE U ovoj nastavnoj jedinici je važno učenicima dati do znanja važnost osobina sabiranja, te njihove spretne upotrebe u računanju. Osobine je potrebno usvojiti na konkretnim primjerima, uočiti opravdanost njihove upotrebe. Ne insistirati na osobinama u apstraktnim ravnima, nego isključivo u konkretnim primjerima. Nastavnik pokazuje, najprije, nekoliko primjera spretnog računanja, a kasnije učenike ne primorava da računaju onako kako je on računao, odnosno onako kako se njemu čini da je najspretnije. Učenici veoma često imaju svoj način razmišljanja pri izvoñenju algoritama sabiranja i oduzimanja. Svakako je bitno da učenici spoznaju uloge broja 0 pri sabiranju i oduzimanju prirodnih brojeva i da to znaju na odgovarajući način upotrebljavati.

KUP N I No

MNOŽENJE I DIJELJENJE PRIRODNIH BROJEVA. OSOBINE. Nastavni cilj: Učenik poznaje zakon komutacije i asocijacije u množenju prirodnih brojeva. Zna ulogu nule u množenju prirodnih brojeva. Znaju naći nepoznate elemente u proizvodu i količniku.

udžbenik str. 101

udžbenik str. 101

udžbenik str. 103

Nastavni materijal: Kocke za igru, žetoni, liste za zapisivanje rezultata UVOD (MOTIVACIJA) Nastavnik postavi žetone na grafoskop i projicira sliku, ne na zid nego na tablu. Učenici govore koliko je ukupno žetona. Mogući su odgovori: Imamo 3 vrste po 5 žetona, ukupno 1553 =⋅ . Ili: Imamo 5 stupaca sa po 3 žetona, ukupno 1535 =⋅ žetona.

OBRADA

a. U prebrojavanju žetona moguće je zaključiti da redoslijed faktora u množenju prirodnih brojeva nije bitan. Sažeto se izloži zakon o zamjeni mjesta faktora (zakon komutacije): Ako dva prirodna broja množimo, svejedno je kojim ćemo redom množiti faktore.

b. Sagledavajući ilustraciju na stranici 102 i 103 udžbenika, nastavnik zapisuje na tabli

račun 5 · 3 · 4 = Ispod toga zapisuje još dva računa: 5 · (3 · 4)=, (5 · 3) · 4 =

c. Učenici ponove značaj i ulogu zagrada, te računaju: 5 · (3 · 4) = 5 · 12 = 60, (5 · 3) · 4

= 15 · 4 = 60 Ustanovi se da oba puta dobijamo isti rezultat. Nastavnik, ukratko, navede zakon asocijacije (udruživanja) faktora: Svejedno je ako prvo pomnožimo prva dva faktora a onda proizvod sa trećim, ili ako prvi faktor pomnožimo sa proizvodom druga dva faktora. d. Koristeći ilustraciju iz udžbenika na stranici 104, uvodi se pojam distribucije

množenja u odnosu na sabiranje prirodnih brojeva.

udžbenik str. 106

udžbenik str. 107

Klju čne riječi: Množenje, faktori, djeljenik, djelilac, koli čnik, zagrade, zakon komutacije i asocijacije faktora.

e. Nastavnik dovodi u vezu dijeljenje prirodnih brojeva s množenjem, onako kako to

rade glavni likovi u udžbeniku na stranici 106 i 107. Naročito je važno da se usvoji pravilo po kojem se ureñuje prvenstvo računskih operacija u kombinaciji sa zagradama. U tom smislu je pogodan primjer na stranici 107 udžbenika.

f. Povezanost množenja i dijeljenja te primjena dijeljenja i množenja prirodnih brojeva je pogodno kroz rješavanje odgovarajućih linearnih jednačina, kao na stranici 108 udžbenika

UTVRðIVANJE I PROVJERAVANJE Nastavnik pripremi 4 listića na kojima je zapisano po 5 brojeva, na primjer: Učenici biraju po jedna broj sa svakog listića, a onda radi odgovarajući račun množenja. U računanju se koriste zakoni komutacije i asocijacije u svrhu olakšica i množenju, npr. 4 · 5 · 25 · 200 = (4 · 25) · (5 · 200) = 100 · 1000 = 100 000 Aktivnost ponoviti nekoliko puta.

• Rješavamo zadatke iz udžbenika na stranici 98 i 100, te odgovarajuće u radnoj svesci.

DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE U ovoj nastavnoj jedinici je važno naglasiti značaj osobina množenja i dijeljenja prirodnih brojeva u konkretnim primjerima, naglašavajući korist od upotrebe tih osobina. To će u nekoliko primjera pokazati nastavnik, tako da podstakne učenike na slične aktivnosti, bez prisile da se osobine znaju samo iskazati kroz definicije i tvrdnje. Kao i kod sabiranja i oduzimanja, i ovdje učenici veoma često imaju svoje vlastite pristupe pri izvoñenju algoritama množenja i dijeljenja. I ovdje je bitno da učenici spoznaju uloge broja 0 pri množenju i dijeljenju, naročito kada je nula u ulozi djelioca

11 4 38 100 3

4 30 5 40 8

11 25 50 18 15

200 0 4 35 70

SKUP N I No IZRAZI SA PROMJENJIVIM. BROJNI IZRAZI. Nastavni cilj: Učenici, uzimajući u obzir redoslijed računskih operacija, izračunava vrijednost brojnog izraza. Oni znaju koristiti zakon distribucije.

udžbenik str. 109

udžbenik str. 110

udžbenik str. 111

Nastavni materijal: Kocke od kartona ili plastike, čaše od jogurta, drvene bojice (žetoni), listovi za crtanje. UVOD (MOTIVACIJA) Učenici rade u parovima. Svaki par imaju potrebne kocke od kojih naprave višespratnice po uputama nastavnika: Napravite višespratnicu, koja ima prizemlje i 6 spratova, u prizemlju i na svakom spratu ima po 4 stana. Dogovorimo se da svaki stan predstavimo sa jednom kockicom. Kada učenici sazidaju višekatnicu, onda je još dograde sa kockama druge boje: Prizemlju dodajte još 5 stanova, a prvom spratu 3 stana. Zatim učenici računaju broj stanova zgradi i to zapisuju svoje sveske. Nastavnik pozove jednog učenika da račun zapiše na tabli i da ga obrazloži. Ako se desi da ima učenika sa drugačijim računom, onda ga on zapisuje na tabli i obrazloži rezultat. OBRADA

a. Koristeći ilustraciju na stranici 109 udžbenika, učenici nacrtaju pravougonik Uz pomoć nastavnika, oni dolaze do obrasca za računanje obima. Na primjeru svoje sveske učenici će izmjeriti njene stranice i naći obim, kao što su to uradili Jaca i Niko na 109 stranici.

b. Nakon defniranja pojma brojnog izraza, zajedno sa učenicima uraditi zadatak 1. na

stranici 111, a nakon toga učenici podijeljeni u četveročlane grupe rješavaju zadatke iz primjera 3 na stranici 111.

c. Ponavljajući zakon distribucije, nastavnik pojašnjava zadatke iz prvog primjera na

stranici 112.

d. Nastavnik pojašnjava učenicima princip rada zagrada u računanju brojnih izraza i to potkrepljuje sa primjerom 3. na stranici 110.

e. Koristeći pravila računanja sa zagradama, te redoslijed računskih operacija,

organizirati grupni rad sa učenicima koristeći zadatke na stranici 66 radne sveske.

udžbenik str. 112

udžbenik str. 113

Klju čne riječi: Izraz sa promjenjivim, brojni izraz, redoslijed ra čunskih operacija, upotreba zagrada.

UTVRðIVANJE I PROVJERAVANJE Rješavanje zadataka iz udžbenika i radne sveske. DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE Učenici bi trebali uzimati u obzir redoslijed računskih operacija pri računanju brojnih izraza. Poželjno je da učenici budu toga svjesni u konkretnim situacijama (kao npr. primjer broja stanova u zgradama), gdje je količina prikazana brojnim izrazom, očigledno predstavljena. Potrebno je stalno podsticati upotrebu i naglašavati prednosti upotrebe zakona distribucije na konkretnim primjerima kako bi učenici spoznali njegovu suštinu. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

SKUP N I NO DJELJIVOST U SKUPU NO Nastavni cilj: Učenici spoznaju kada je neki prirodan broj djeljiv sa nekim drugim prirodnim brojem, razumiju šta su faktori i sadržioci prirodnog broja, znaju kada je neki prirodan broj djeljiv sa dekadskim jedinicama 2 i 5, 4 i 25, 3 i 9, 6 i 15.

udžbenik str. 116

udžbenik str. 117

udžbenik str. 118

Nastavni materijal: Klikeri, zrna kukuruza ili graha, listovi za crtanje, UVOD (MOTIVACIJA) Učenici rade u grupama po 4. Po uputama nastavnika, iz svojih kesica vade kuglice ili zrnca kukuruza ili graha i prebroje ih, a rezultat zapišu na list. Jedan od učenika daje svakom učeniku iz grupe po jednu zrnku. Nakon završenog dijeljenja, svaki od učenika prebroji svoja zrna. O rezultatima dijeljenja predstavnik svake grupe referiše ostalim učenicima. U slučaju da svi učenici u grupi imaju isti broj zrnaca, tada je provedeno dijeljenje bez ostatka, u suprotnom je bilo dijeljenje sa ostatkom. Rezultate dijeljenja predstavnici grupe zapisuju na tabli i obrazlažu rezultat. OBRADA a. Pomoću nekoliko jednostavnih primjera, kao što to rade Jaca i Mirza, nastavnik može izvesti zaključak o dijeljenju sa i bez ostatka i napisati tvrdnje u općem obliku: a : b = c ⇔ a = b · c ili a = b · c + r, gdje je r ostatak pri dijeljenju broja a brojem b. b. Naglasiti da se svaki broj djeljiv npr. sa brojem 5, može napisati u obliku 5n, ako je djeljiv bez ostatka, ili 5n+1, ako pri dijeljenu sa brojem 5 daje ostatak 1 itd. U tom smislu definirati parne i neparne brojeve, kako je to urañeno na stranici 117 udžbenika. c. Ako se ponovi vježba sa početka, ali sada predstavnik grupe dijeli svakom članu grupe, na primjer po 3 zrna, pa ako svi dobiju isti broj zrnaca, tada se može izvesti zaključak da je dati (ukupan) broj zrnaca djeljiv sa brojem 3 ili da je broj 3 faktor tog broja. U tom slučaju broj koji predstavlja ukupan broj zrnaca je sadržilac broja 3. Nakon ovih razmatranja i još nekih pokušaja sa drugim brojevima, nastavnik zapisuje definiciju kao na stranici 118 i 119 udžbenika. d. Slično se može demonstrirati djeljivost zbira i razlike brojeva nekim brojem. Fiksirati slučaj kada različite grupe sa različitim brojem zrnaca pri dijeljenju sa istim brojem dobiju rezultat bez ostatka. Sastavljanjem ukupnih količina zrnevlja na jednu gomilu, može se provjeriti da je ta količina takoñer djeljiva sa istim brojem. To isto se može pokazati i za razliku tih količina.

udžbenik str. 120

udžbenik str. 122

udžbenik str. 124

Klju čne riječi: Djeljivost brojeva, faktor, sadržilac broja, djeljivost zbira i razlike brojeva istim brojem. Djeljivost sa dekadskim brojevima, 2, 5, 4, 25, 3, 9, 6 i 15.

e. Dovodeći u vezu množenje sa dekadskim jedinicama, dijeljenje brojeva dekadskim jedinicama, kao što rade Niko i Jaca na stranici 122, izvesti zaključak o dijeljenju prirodnih brojeva sa dekadskim jedinicama. f. Slično izvesti zaključak kada je u pitanju dijeljenje sa brojevima 2 i 5, 4 i 25, 3 i 9, te 6 i 15. UTVRðIVANJE I PROVJERAVANJE Rješavanje zadataka iz udžbenika (119, 121, 123) i radne sveske (strana 67). DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE Učenici bi trebali poznavati i osjećati djeljivost brojeva sa i bez ostatka. Ne insistirati da učenici znaju definicije napamet, naročito tvrdnje u općem obliku, nego da djeljivost znaju smjestiti u praktičan sadržaj ili situaciju. Na osnovu praktičnih situacije učenici trebaju da osjećaju značenje pojma faktora i sadržioca nekog broja. Djeljivost sa zadanim brojevima vezivati sa olakšice pri množenju i dijeljenju. Nije potrebno da učenici znaju definicije djeljivosti sa nekim brojevima. Prikladnije je da oni znaju tu praktično pokazati, poštujući i njihove vlastite algoritme. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

SKUP N I No PROSTI I SLOŽENI BROJEVI. ZAJEDNI ČKI DJELILAC I SADRŽILAC BROJEVA Nastavni cilj: Učenici spoznaju kada je neki prirodan broj prost, a kada složen, kako ga mogu rastaviti na proste faktore, odrediti najveći zajednički djelilac i najmanji zajednički sadržilac.

udžbenik str. 127

udžbenik str. 128

udžbenik str. 129

Nastavni materijal: Kuglice, zrna kukuruza ili graha, listovi za crtanje, UVOD (MOTIVACIJA) Učenici rade u parovima. Iz svoje kesice jedan od učenika uzima svoje kuglice. Najprije, kuglice dijele na dva dijela, a onda na tri itd. Moguće je da se desi da se količina kuglica ne može podijeliti na jednake dijelova. Uz pomoć nastavnika učenici mogu zaključiti koji su prosti, odnosno složeni brojevi. Postupak se može ponoviti nekoliko puta. Jedan od učenika iz svakog para informiše o kojem se broju radi i obrazloži njegovo svojstvo prostog, odnosno složenog broja. Nastavnik poziva jednog učenika da rezultate bilježi na tabli u dvije kolone: prostih, odnosno složenih brojeva. U slučaju složenih brojeva, moguće je pokazati da svaki od njih može napisati u obliku proizvoda prostih brojeva. OBRADA a. Na osnovu ispisanih primjera na tabli, nastavnik, uz asistenciju učenika, može pristupiti definiranju prostih i složenih brojeva kao što je to na stranici 127 udžbenika. b. Nastavnik uradi par primjera rastavljanja složenih brojeva na proste faktore kao što to rade glavni likovi udžbenika na stranici 128, a zatim se formiraju grupe po 4 učenika. Nastavnik im podijeli listiće sa po dva zadatka rastavljanja brojeva na proste faktore. Nakon urañenog posla predstavnici grupa na tabli zapisuju rezultate uz obrazloženje. c. Učenici u formiranim grupama ponovo razmatraju zadatke i uočavaju zajedničke faktore datih brojeva. Uz pomoć nastavnika i ilustracija na 130 i 131 stranici udžbenika učenici dolaze do pojma najveći zajednički djelilac. Nastavnik nenametljivo iskazuje definiciju NZD brojeva na osnovu učeničkih spoznaja. d. Koristeći preñeno gradivo, nastavnik predstavlja problem traženja broja koji sadrži neke druge brojeve kao faktore, kao što je to urañeno na stranici 132 i 133 udžbenika. Nastavnik pokazuje učenicima šematski prikaz traženja najmanjeg zajedničkog sadržioca brojeva. U grupnom radu učenici uvježbavaju tehniku traženja NZS brojeva, nakon čega o rezultatima rada izvještavaju odjeljenje. O eventualnim spornim slučajevima se vodi rasprava kao što je to u slučaju relativno prostih brojeva (koji su djeljivi samo sa sobom i sa jedinicom).

udžbenik str. 130

udžbenik str. 131

udžbenik str. 133

Klju čne riječi: Prosti i složeni brojevi, relativno prosti brojevi, najveći zajednički djelilac, najmanji zajednički sadržilac.

UTVRðIVANJE I PROVJERAVANJE Rješavanje zadataka iz udžbenika (129, 133) i radne sveske (strana 68 - 70). DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE Učenicima treba prokazati pojmove prostih i složenih brojeva na praktičnim primjerima. Povezati NZS i NZD kao potrebu za primjenu u budućem radu (kod sabiranja razlomaka, skraćivanja i proširivanje - samo načelno). Pogled na bilo koji broj treba kod učenika izazivati pitanja o kojem se broju radi, da li se on može rastaviti na proste faktore itd. Nije potrebno da učenici znaju definicije kao u udžbeniku. Bitnije je da oni znaju suštinu i potrebu rada sa brojevima, odreñivanje njihovih meñusobnih veza, struktura, različitog predstavljanja (kao proizvoda prostih brojeva). ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

RAZLOMCI POJAM RAZLOMKA, BROJNIK I NAZIVNIK. RAZLOMCI VE ĆI I MANJI OD 1 Nastavni cilj: Učenici usvajaju pojam razlomka i znaju ih zapisivati. Znaju kad je razlomak veći ili manji od 1. Znaju razlikovati vrste razlomaka, te pretvarati neprave razlomke u mješovite brojeve i obratno.

udžbenik str. 136

udžbenik str. 137

udžbenik str. 138

Nastavni materijal: Kuglice, žetoni, lončić, krug od papira, grafoskop. UVOD (MOTIVACIJA) Učenici rade u grupama po četiri. Svaka grupa pripremi 1m=10 dm trake i 10 žetona, te

lončić. Nastavnik na tabli napiše razlomak 10

3. Učenici, zatim, razlomak prikazuju bojeći

odgovarajuću dužinu trake ili pomoću žetona. Nastavnik poziva jednog učenika da opiše kako su u njegovoj grupi predstavili razlomak. Posebno se porazgovara o tome kako se predstavlja razlomak pomoću žetona: imamo 10 žetona, 3 žetona smo stavili u lončić, što znači da je u

lončiću 10

3 od svih žetona. Na takav način učenici mogu predstaviti i druge razlomke, npr.

10

2,

10

4,

10

5,

10

6,

10

7,

10

8 itd.

Pogledamo sliku na stranici 136. Koristeći se praktičnom situacijom, oko izrezaka pice, porazgovara se učenicima o dijelovima pice na slikama. Nastavnik može napraviti ogled sa krugom od obojenog papira, razrezanog na šestine, tako što ga stavi na grafoskop. Poslije uzimanja po jednog dijela kruga, nastavnik pita po jednog učenika koliko je dijelova kruga

ostalo i tu situaciju napiše na tabli. Na tabli su nacrtane slike sa brojevima ispod: 16

6 = , 6

5,

6

4,

6

2,

6

1. Učenici uviñaju da je ispod svake (razlomačke) crte broj 6, što znači da je krug

podijeljen na 6 jednakih dijelova. Iznad crte su različiti brojevi, jer smo posmatrali slike sa različitim brojem dijelova – šestina. Takoñer, učenici uviñaju da svi dijelovi desno od jedinice, manji od jednog cijela. Oni uočavaju da su brojevi iznad crte manji od broja ispod crte. OBRADA

a. Nastavnik uzima jedan od zapisanih razlomaka, npr. 6

5 i ponovo ga piše sa većim

znacima. Saopštava da je upravo zapisao na tabli jedan razlomak, te da je broj iznad crte brojilac, a ispod crte imenilac. Crtu naziva razlomačkom crtom. Nove pojmove zapisuje pored razlomka. Nakon toga zajedno proučavaju sliku na stranici 137, gdje uočavaju različite razlomke nastalih bojenjem odgovarajućih dijelova jednog cijela.

udžbenik str. 139

udžbenik str. 140

udžbenik str. 141

Klju čne riječi: Razlomak, brojilac, imenilac, razlomačka crta, pravi i nepravi razlomci, mješoviti brojevi.

b. Koristeći se slikama na stranicama 139, 140 i 141, učenici se uz pomoć nastavnika upoznaju sa pojmovima pravog, nepravog, prividnog razlomka, te sa mješovitim brojem. Predstavljajući praktične situacije u primjerima na stranici 141, učenici uočavaju odnos izmeñu nepravog i razlomka i mješovitog broja. Pomoću primjera na stranici 142, učenici uz pomoć nastavnika pretvaraju nepravi razlomak u mješoviti broj i obratno. Nakon toga nastavnik pojašnjava i zapisuje na tabli nove pojmove.

UTVRðIVANJE I PROVJERAVANJE Nastavnik organizira grupni rad koristeći radne listiće sa odabranim zadacima na stranicama 138 i 142 (udžbenik) i 71 – 75 (radna sveska). DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE Učenici u ovoj nastavnoj temi saznaju neke nove pojmove iz matematičke terminologije. Nastavnik pažljivo uvodi učenike u dodir sa novim pojmovima, tako da oni osjete njihovo značenje. Imenilac daje razlomku ime, znači da li se radi o polovinama, trećinama, četvrtinama itd., dok brojilac kaže koliko smo dijelova uzeli. Izmeñu imenioca i brojioca je razlomačka crta.

Učenici spoznaju da razlomci 2

2,

3

3... predstavljaju, ustvari, jedno cijelo tj. predstavljaju

situaciju kada smo izabrali sve dijelove, na koje je cijelo podijeljeno. Učenici moraju biti svjesni da ako je imenilac veći, to znači da smo cijelo podijelili na više

dijelova i da su dijelovi sa većim imeniocem manji od onih sa manjim imeniocem, npr. 6

1 je

manja od 3

1.

U zavisnosti od odnosa izmeñu brojioca i imenica, učenicima je jasno kada su razlomci manji, odnosno veći od 1. Istovremeno u drugom slučaju oni znaju nepravi razlomak pretvoriti u

mješoviti broj npr. 5

31

5

8 = .

___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

RAZLOMCI PROŠIRIVANJE I SKRA ĆIVANJE RAZLOMAKA. UPORE ðIVANJE RAZLOMAKA. UPORE ðIVANJE RAZLOMAKA. RAZMJERA Nastavni cilj: Učenici znaju proširivati i skraćivati razlomke, znaju usporeñivati razlomke po veličini i razumiju pojam razmjere te znaju ga upotrijebiti u rješavanje jednostavnijih problema.

udžbenik str. 143

udžbenik str. 144

udžbenik str. 145

Nastavni materijal: Kuglice, žetoni, lončić, krug od papira, grafoskop. UVOD (MOTIVACIJA) Učenici ponavljaju pojmove iz preñenog gradiva o razlomcima. Zatim se posmatra slika na stranici 141. Učenici mogu zaključiti da se ista vrijednost cijelog može napisati na više načina

npr. 2

1=

4

2=

6

3=

8

4=

10

5. Koristeći sliku neki učenici će primijetiti i druge primjere, kao što

su: 3

1=

6

2=

9

3,

4

1=

8

2,

5

1=

10

2,

3

2=

6

4=

9

6... Pomoću slike se učenici mogu snaći u poreñenju

razlomaka po veličini, na primjer u usporeñivanju razlomaka 6

3 i

8

4,

7

7 i

9

7,

5

3 i

4

3.

OBRADA

a. Učenici prate dijalog junaka iz udžbenika na stanici 143. Iz jednakosti

2

1=

4

2=

6

3=

8

4=

10

5, oni uočavaju da svaki slijedeći razlomak dobiven množenjem i

broioca i imenioca istim brojem (u ovom slučaj brojem 2). Nastavnik, na osnovu tvrdnji učenika, izriče odgovarajuće tvrdnje i učenici ih zapisuju ispod odgovarajućih zapisa u svojim sveskama. Nastavnik povezuje rastavljanje na proste faktore kao potrebu da bi se uspješno obavilo skraćivanje razlomaka.

b. Koristeći se slikom na stranici 145, udžbenika nastavnik učenicima postavlja zadatke

usporeñivanja razlomaka sa istim brojiocima u prvom i sa istim imeniocem u drugom slučaju. Uz pomoć Selme na strani 146, učenici uočavaju potrebu proširivanja razlomaka, kao postupka potrebnog kod usporeñivanja razlomaka po veličini.

c. Koristeći konkretnu situaciju na stranici 148, udžbenika, učenici uz pomoć nastavnika

uočavaju primjenu razlomaka na uvoñenju pojma omjera. Nastavnik formira četveročlane grupe u postavlja im zadatke iz primjera na stranici 149. Nakon urañenog posla, predstavnici grupa koje prve urade zadatak izvještavaju ostale učenike i postupak zapisuju na tabli. Eventualne nejasnoće se rješavaju na licu mjesta.

udžbenik str. 146

udžbenik str. 148

udžbenik str. 149

Klju čne riječi: Proširivanje i skraćivanje razlomaka, usporeñivanje razlomaka po veličini, razmjera.

UTVRðIVANJE I PROVJERAVANJE Nastavnik organizira grupni rad u četveročlanim grupama sa radnim listićima i zadacima sa stranica 146 i 147 (udžbenik) i 75 – 78 (radna sveska). Posao završiti izvještavanjem grupa o rezultatima svog rada. Svi zadaci moraju biti napisani na tabli. DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE Učenici u ovoj nastavnoj temi saznaju da se svaki razlomak može napisati u beskonačno različitih oblika, što omogućava proširivanje razlomaka. U tom smislu je dobro da učenici shvate kada razlomci imaju istu vrijednost, uviñajući da su u tom slučaju brojioci i imenioci sa istim meñusobnim odnosima. Nastavnik potvrñuje princip kauzalnosti upotrebom postupka rastavljanja na proste faktore brojioca i imenica prilikom skraćivanja. Važno je ispoštovati postupnost i princip od prostog ka složenom. To je bitno u slučaju usporeñivanja razlomaka, gdje je bitno direktno odrediti odnos izmeñu razlomaka istih imenilaca. Kada se tome doda vještina proširivanja razlomaka, neće biti teško učenicima shvatiti kako treba usporeñivati razlomke po veličini. Ovo gradivo učenici treba da osjete i dožive kao nešto sasvim prirodno, jer je to osnova za mnoge dijelove matematike u starijim razredima. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

RAZLOMCI DECIMALNI POSTOTNI ZAPIS RAZLOMKA. PRIDRUŽIVANJE TA ČAKA BROJNOG POLUPRAVCA RAZLOMCIMA. Nastavni cilj: Učenici poznaju dekadske razlomke, znaju pretvarati decimalne bojeve u razlomke i obratno, te decimalne brojeve i razlomke u procente. Učenici znaju predstavljati razlomke na brojnoj pravoj.

udžbenik str. 150

udžbenik str. 152

udžbenik str. 153

UVOD (MOTIVACIJA) O problemu u udžbeniku na stranici 150 se vodi rasprava, koliki je udio čokoladnog, a koliko pudinga od jagoda. Dijelovi se zapisuju sa dekadskim razlomcima. Vodi se razgovor o tome

koliko ti dijelovi iznose skupa. Zapiše se račun: 10

6+

10

4=

10

10.

OBRADA

a. Nastavnik saopštava da se dijelovi mogu napisati sa decimalnim brojevima, umjesto sa dekadskim razlomcima. Ponovimo da brojilac razlomka govori koliko dijelova jednog cijela smo uzeli. U tom primjeru imamo desetine koje zapisujemo pomoću zareza. Prije zareza se zapisuju brojevi cijelih.

10

6=0,6

10

4=0,4.

b. Nacrtamo brojnu polupravu, na njoj označimo brojeve 0 i 1 (udaljenost meñu njima je npr. 10 cm). Duž izmeñu 0 i 1 podijelimo na deset jednakih dijelova, zapišemo desetine sa razlomkom i decimalnim brojevima. Nakon ovoga nastavnik izvede zaključak i zapiše na tabli ključne definicije sa primjerima decimalnih razlomaka.

c. Proučimo problem na stranici 151 i o ilustraciji se povede razgovor o pitanju: koliko

slastičaru ostaje torte ako je prodao 3 desetine torte. Učenicima podijelimo dva kruga podijeljene na deset jednakih dijelova. Izrežemo 3 desetine jedne torte i izračunamo

koliko torte je još ostalo slastičaru. Nakon dogovaranja zapiše se rezultat 10

71 .

Nastavnik obavještava učenike da se umjesto zareza negdje upotrebljavaju tačke, kao što je to na kalkulatorima. Sada se piše 1.7 umjesto 1,7. O ovome nas obavještavaju i Niko i Mirza na stranici 149 udžbenika. Nastavnik piše definicije i zaokružuje izvedene jednakosti (kao na stranicama 152 i 153).

d. Govoreći o dekadskim razlomcima, sa imeniocem 100, nastavnik govori učenicima da

je 1% (1 procenat), ustvari, razlomak 100

1. Nakon toga se dolazi do obrasca za

pretvaranje bilo kojeg razlomka u procenat (str. 154).

udžbenik str. 154

udžbenik str. 156

udžbenik str. 157

Klju čne riječi: Decimalni broj, procenat, predstavljanje razlomaka na brojnoj polupravoj .

e. Učenici ponove definiciju brojne poluprave (str.54). Koristeći ilustracije na stranici

154, učenici prave vezu izmeñu obojenih dijelova pravougaonika i tačaka na brojnoj polupravoj. Učenici vide prednost predstavljanja razlomaka na brojnoj pravoj u postupku usporeñivanja razlomaka ili decimalnih brojeva. Nakon nekoliko primjera i koristeći uputstva junaka udžbenika na stranici 158, učenicima se saopštavaju pravila oko usporeñivanja razlomaka i decimalnih brojeva po veličini.

UTVRðIVANJE I PROVJERAVANJE U utvrñivanju gradiva se organizuje grupni rad u četveročlanim grupama sa radnim listićima i zadacima sa stranica 155 i 158 (udžbenik) i 83 – 85 (radna sveska). Grupni rad organizirati na uobičajen način, uključujući obaveznu razmjenu iskustava i otvoreno iznošenje eventualnih različitih stavova. DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE Učenici u ovoj nastavnoj temi upoznaju decimalne brojeve i uočavaju njihovu vezu sa razlomcima i procentima. Uočavaju tijesnu vezu izmeñu desetinskih razlomaka i procenata, te decimalnih brojeva. Sa decimalnim brojevima, učenici zapisuju mješovite brojeve, koji pored cijela imaju dio sa desetinskim razlomkom. Nastavnik posvećuje veliku pažnju pravilnom čitanju i zapisivanju decimalnih brojeva. Radi kasnije upotrebe i računanja sa razlomcima i decimalnim brojevima, važno je da dijete usvoji predstavljanje brojeva na brojnoj pravoj, pomoću koje je moguće efikasnije usporeñivati razlomke i decimalne brojeve po veličini. Kod učenika se pojavljuju problemi pri zapisivanju u oblik decimalnog broja, npr. razlomka

10

6. U takvim primjerima je preporučljivo da se brojevi 0,6 i 0,06 zapišu na tabli, da ih

učenici pravilno pročitaju i opišu. Nije suvišno da se oni predstave na brojnoj pravoj. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

RAZLOMCI SABIRANJE I ODUZIMANJA RAZLOMAKA ISTIH I RAZLI ČITIH NAZIVNIKA OSOBINE. Nastavni cilj: Učenici znaju sabirati i oduzimati razlomke sa istim i različitim imeniocima i pri tom znaju koristiti osobine komutativnosti i asocijativnosti.

udžbenik str. 159

udžbenik str. 160

udžbenik str. 161

UVOD (MOTIVACIJA) Problem sabiranja razlomaka istih imenilaca se može objasniti sa primjerom sabiranja soka u

pakovanju po 2 dl što je peti dio od jednog cijela ili 5

1. Učenici će lako spoznati da su dva

soka dvije petine itd. Lako je vidjeti da je 2 soka sabrano sa 2 soka ustvari 4 petine, što se

zapisuje 5

2+

5

2=

5

4. Učenici od ranije znaju da je zbir 2 petine i 3 petine ustvari 5 petina ili

jedno cijelo, te je lako uvesti sabiranje mješovitih brojeva sa istim imeniocem, kod pravog razlomka. OBRADA

a. Nastavnik uz pomoć ilustracije na stranici 159, uz korištenje distributivnosti dijeljenja u odnosu na sabiranje, izvodi pravilo za sabiranje razlomaka istih imenioca. Odgovarajuću tvrdnju zapisuje na tabli. Nakon toga se urade primjeri na stranicama 159 i 160, gdje su sabrani dva mješovita broja, tako što su sabrani na dva načina. Prvi sabiranjem prvo cijelih pa onda pravih pripadajućih razlika, a drugi pretvaranjem mješovitog broja u nepravi razlomka, pa sabiranjem kao dva razlomka sa istim imeniocem, a onda ponovno pretvaranjem u mješoviti broj. U skladu sa tim, nastavnik traži od učenika da iskažu definiciju sabiranja razlomaka istih imenioca.

b. Koristeći distributivnost dijeljenja u odnosu na sabiranje, izvodi se pravilo za

oduzimanje razlomaka istih imenioca. Slično se radi kao kod sabiranja.

c. Nastavnik postavlja problem 5

2+

4

3 i pita učenike za njihovo mišljenje o načinu

rješavanja. Učenici shvate brzo da je potrebno svesti razlomke na zajednički imenilac, jer takve razlomke znaju sabirati. Isti postupak je i sa oduzimanjem. Nastavnik, poštujući izrečene iskaze učenika, saopštava adekvatne definicije i tvrdnje. Na kraju se uradi prvi primjer na stranici 163, na oba načina, ostavljajući učenicima na volju koji će izbor biti njihov.

d. Kao i kod prirodnih brojeva, nastavnik navede učenike da prihvate da i kod sabiranja

razlomaka vrijede zakoni komutacije i asocijacije. Oni se demonstriraju sa po jednim primjerom.

udžbenik str. 162

udžbenik str. 163

udžbenik str. 164

Klju čne riječi: Sabiranje razlomaka sa istim i različitim imeniocima. Oduzimanje razlomaka sa istim i razli čitim imeniocima. Komutativnost i asocijativnost sabiranja razlomaka.

UTVRðIVANJE I PROVJERAVANJE U utvrñivanju gradiva se organizira grupni rad u četveročlanim grupama sa radnim listićima i zadacima sa stranica 161 i 165 (udžbenik) i 118 i 119 (radna sveska). Grupni rad organizirati na uobičajen način, uključujući obaveznu razmjenu iskustava i otvoreno iznošenje eventualnih različitih stavova. DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE Učenici u ovoj nastavnoj temi primjenjuju dosad stečena znanja na konkretnim radnjama sabiranja i oduzimanja razlomaka. Na osnovu postupnosti, učenici shvataju sabiranje i oduzimanje razlomaka različitih imenilaca na osnovu pravila kod istih radnji, ali sa razlomcima istih imenilaca. Povezuju sabiranje razlomaka sa vještinom traženja zajedničkih sadržalaca prirodnih brojeva. Uviñaju kauzalnost gradiva iz matematike i potrebu aktivnog odnosa u održavanju kondicije. Na isti način učenici spoznaju korist od zakona komutacije i asocijacije u sabiranju razlomaka, jer se složeniji zadaci (od više od dva sabirka, ili članova razlike) mogu puno lakše uraditi zamjenom mjesta pa udruživanjem dijelova zbira ili razlike koji možda daju cijele brojeve. Uvijek učenicima govoriti na kredit da im je sabiranje običnih razlomaka osnova za uspješnije savladavanje velikog broja tema iz matematik, počev od jednačina pa dalje. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

RAZLOMCI

SABIRANJE I ODUZIMANJA DECIMALNIH BROJEVA. Nastavni cilj: Učenici znaju sabirati i oduzimati decimalne brojeve.

udžbenik str. 166

udžbenik str. 167

UVOD (MOTIVACIJA) Najprije ponoviti gradivo sa stranice 150 o decimalnom zapisu razlomka, te sabiranje i oduzimanje razlomaka sa dekadskim imeniocima. Problem sabiranja i oduzimanja decimalnih brojeva rješavati postavlajnjem konkretnih (životnih) primjera iz praktičnog života (kao na stranici 166). OBRADA

a. Razgovara se o situacijama u problemima na stranici 157. Problem sabiranja i oduzimanja je lako riješiti pomoću pozicijske računaljke. U svakom slučaju, nastavnik uradi par primjera, kao na stranici 167, dajući akcenat na pravilno potpisivanje. Na prvom primjeru stranice 166 se pojavljuje račun: 34,75 + 36,45 =

D J d s 3 3

4, 6,

7 4

5 5

7 1, 2 0 Naročito obratiti pažnju na slučajeve kada se u sabiranju dobije više od 10 odgovarajućih dekadskih jedinica ili kod oduzimanja, kada veću dekadsku jedinicu oduzimamo od manje, kao na primjeru koji naglašava učiteljica na stranici 167. b. Sabiranje i decimalnih brojeva povezati sa sabiranjem razlomaka (ili mješovitih brojeva) sa dekadskim razlomcima. Uraditi par primjera koristeći taj način, kao na stranici 167. c. Posebno se razmatraju slučajevi upotrebe nule, naročito kada se sabiraju ili oduzimaju decimalni brojevi sa različitim brojem decimalnih mjesta. Npr. 1,582 + 3,6 +2,11 ili

1,582 1,582 3,6 3,600 + 2,11 + 2,110

7,292

udžbenik str. 168

Klju čne riječi: Sabiranje i oduzimanje cijelih brojeva, potpisivanje.

UTVRðIVANJE I PROVJERAVANJE Ova materija zahtijeva dosta uvježbavanja, sve dok sabiranje i oduzimanje decimalnih brojeva, za učenike ne postane rutinirano. Utvrñivanje je moguće izvesti prvo u grupama po četiri, na uobičajen način, a zatim, podjelom radnih listića svim učenicima i upotreba individualnog rada na pet vrsta zadataka. Na kraju posla je neophodno povesti raspravu o tome gdje nastaju problemi i kako ih riješiti, odnosno koji zadaci ne predstavljaju problem. U oba slučaja koristiti zadatke na stranici 168 (udžbenik) i 97 – 100 (radna sveska). DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE Učenici u ovoj nastavnoj temi primjenjuju dosad stečena znanja na konkretnim radnjama sabiranja i oduzimanja decimalnih brojeva. Učenici trebaju shvatiti značaj usvajanja ovog gradiva, kao potrebe za kvalitetniji život. To se može potkrijepiti sa tekstualnim zadacima na stranici 168, gdje su prikazane praktične situacije u kojima se svako od učenika može naći. Kauzalnost se može uvidjeti u svoñenju sabiranja i oduzimanja decimalnih brojeva na iste operacije sa razlomcima. Veoma je bitno naglasiti učenicima ulogu nule u sabiranju i oduzimanju decimalnih brojeva. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

RAZLOMCI JEDNAČINE I NEJEDNA ČINE SA SABIRANJEM I ODUZIMANJEM RAZLOMAKA. Nastavni cilj: Učenici znaju rješavati jednačine i nejednačine sa sabiranjem i oduzimanjem razlomaka.

udžbenik str. 169

udžbenik str. 170

udžbenik str. 171

UVOD (MOTIVACIJA) Nastavnik nacrta na tabli vagu, koja je u stanju ravnoteže. Na jednoj strani vage naznači teret od 2 cijela i 1 trećina kg a na drugoj 8 i po kilograma. Otvori se diskusija oko toga kojoj strani treba i koliki teret dodati pa da imamo ravnotežu. Djeca spoznaju da će vaga biti u stanju ravnoteže ako su mase tereta na oba tasa jednake. Sa druge strane se uoči za koliko je teret na težoj strani teži od mase tereta na lakšoj strani. Uočimo koje mase tereta možemo dodavati dok se vaga ne dovede u stanje ravnoteže. To može biti motiv za rješavanje nejednačina sa sabiranjem i oduzimanjem razlomaka. OBRADA

a. Nastavnik napiše na tabli jednačinu x + 3

12 =

2

18 . On učenicima objašnjava kakvu

vezu ima jednačina sa vagom. Znak jednakosti znači da imamo ravnotežu: na obje strane jednačine su iste količine. Pitamo se, takoñer, kolika količina se krije u znaku x, da bi

lijeva strana bila jednaka 2

18 .

Ili: Koji broj moramo dodati broju 3

12 , da bi se dobio zbir

2

18 . Rješavanjem problema

kao što to radi Mirza na stranici 169, dobije se rezultat x = 6

16 . Nastavnik zapisuje i

zaokružuje napisano pravilo na tabli, koje govori o rješavanju jednačine kod koje je jedan sabirak zbira nepoznat. b. Slično se uradi zadatak na stranici 170, gdje je nepoznata veličina umanjenik ili umanjilac. Nakon urañenog primjera na stranici 171, nastavnik ukratko zapisuje pravilo rješavanja jednačina na tabli i zaokružuje ga drugom bojom. c. Koristeći rezultate kod jednačina sa sabiranjem i oduzimanjem razlomaka, odmah se uspostave pravila kao što su na stranici 172, a prije toga se urade primjeri na istoj stranici udžbenika.

udžbenik str. 172

udžbenik str. 173

Klju čne riječi: Jednačine. Nejednačine. Rješavanje jednačina i nejednačina.

UTVRðIVANJE I PROVJERAVANJE Rješavanje jednačina i nejednačina je materija za čije usvajanje je potrebno niz alata i postupaka, koji se proučavaju u ranije preñenom gradivu. Uvježbavanje ove materije je uobičajeno zgodno za sve vrste i oblike rada, od individualnog do pojedinačnog. Ova materija zahtijeva dosta uvježbavanja, sve dok sabiranje i oduzimanje decimalnih brojeva, za učenike ne postane rutinirano. Utvrñivanje je moguće izvesti prvo u grupama po četiri, na uobičajen način, a zatim, podjelom radnih listića svim učenicima i upotreba individualnog rada na pet vrsta zadataka. Na kraju posla je neophodno povesti raspravu o tome gdje nastaju problemi i kako ih riješiti, odnosno koji zadaci ne predstavljaju problem. U oba slučaja koristiti zadatke na stranici 168 (udžbenik) i 122 – 123 (radna sveska). DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE Učenici u ovoj nastavnoj temi primjenjuju dosad stečena znanja vezana za sabiranje i oduzimanje razlomaka. Za uvježbavanje je zgodno koristiti sve oblike rada, od pojedinačnog do rada u parovima i grupnog rada. Grupni rad je pogodan jer su učenici u grupnom radu opušteniji i osloboñeni od eventualnih bojazni za pogrešne prijedloge. Pokazano je da učenici ponekad imaju svoje algoritme i fazone u rješavanju zadataka koji im više pogoduju. Njih svakako, treba prodiskutirati i uzeti u obzir prilikom grañenja strategija podučavanja. Istraživanja su pokazala da učenici uspješnije uče u timskom radu i zato ovaj način rada treba upotrebljavati, gdje god je to moguće. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

RAZLOMCI MNOŽENJE RAZLOMKA PRIRODNIM BROJEM. MNOŽENJE RAZLO MKA RAZLOMKOM. OSOBINE MNOŽENJA RAZLOMAKA. Nastavni cilj: Učenici znaju množiti razlomke prirodnim brojem, znaju izračunavati dijelove prirodnih brojeva izražene razlomcima, te znaju množiti razlomak razlomkom, koristeći osobine množenja razlomaka.

udžbenik str. 175

udžbenik str. 176

udžbenik str. 177

UVOD (MOTIVACIJA) Nastavnik se koristi konkretnim situacijama, kao što to rade Mirza i Niko na stranici 175, pregledajući količinu meda smještenih u tegle u ostavi. Pošto se prirodan broj može napisati kao razlomak (prividni), tada je jasno kako treba množiti razlomak razlomkom. OBRADA a. Koristeći primjer sa stranice 175, nastavnik u dijalogu sa djecom, prebrojava i piše na tabli

rezultat razmatranja: kg4

33

4

15

4

35

4

3

4

3

4

3

4

3

4

3 ==⋅=++++ . Na osnovu ovoga učenici sami

izvedu definiciju množenja razlomka prirodnim brojem. b. Na osnovu drugog primjera na stranici 175, učenici uviñaju primjenu množenja razlomka prirodnim brojem. Nakon izrade i dva primjera na stranici 176, učenici će biti sposobni da računaju dijelove od prirodnih brojeva izražene u razlomcima. c. Koristeći se množenjem razlomaka prirodnim brojem, izvedemo pravilo koje se zapiše na tabli i uokviri drugom bojom. Posebno obratiti pažnju na množenje mješovitih brojeva, kao što je to urañeno u drugom primjeru na stranici 177. d. Težište se prenosi na zadatke sa kombinovanim operacijama, kao što je treći primjer na stranici 177. e. Koristeći se osobinama komutacije i asocijacije za množenje razlomaka, a koji proizilaze iz istih osobina za množenje prirodnih brojeva, mogu se raditi složeniji zadaci na lakši način.

udžbenik str. 178

udžbenik str. 179

Klju čne riječi: Množenje razlomka prirodnim brojem, množenje razlomka razlomkom. Komutativnost i asocijativnost množenja razlomaka.

Množenje razlomaka razlomkom je značajno jer se pomoću toga mogu računati dijelovi od nekog broja, a koji su izraženi u razlomcima. Istovremeno, u kombinaciji sa drugim operacijama, sabiranja i oduzimanja i upotrebom zagrada u pisanju brojnih izraza, mogu se rješavati složeniji zadaci, koji su naročito izazovni za učenike, jer zadatak počinje sa složenim, a završava se sa veoma jednostavnim izrazom. Kao i u prošloj temi, utvrñivanje se može raditi sa nekoliko metoda, zavisno od sastava i raspoloženja učenika, pa i nastavnika. U svakom slučaju rad na ovim zadacima učenicima obezbjeñuje vještine potrebne u savladava ju kasnijih matematičkih tema. U svakom slučaju se mogu koristiti zadaci na stranicama 176 i 179 (udžbenik) i 121 i 122 (radna sveska). DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE U ovoj temi učenici ističu vještine vještog baratanja razlomcima kada je u pitanje množenje razlomaka razlomkom, ali i množenjem razlomaka zbirom ili razlikom razlomaka ili množenje suma ili razlika razlomaka meñu sobno, što kod učenika izgrañuje vještine postupnosti u rješavanju komplikovanijih problema. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

RAZLOMCI

DIJELJENJE RAZLOMKA PRIRODNIM BROJEM. DIJELJENJE R AZLOMKA RAZLOMKOM. Nastavni cilj: Učenici znaju dijeliti razlomke prirodnim brojem, znaju dijeliti razlomak razlomkom.

udžbenik str. 184

udžbenik str. 185

UVOD (MOTIVACIJA) Nastavnik sa učenicima ponavlja dijeljenje prirodnih brojeva i zapisuje definicije: a : b = c, b≠ 0 i a = b · c. Koristeći analogiju može se dobiti dobra priprema za dijeljenje razlomaka. OBRADA a. Koristeći razmišljanje Mirze i Nike na stranici 184, dolazi se do pravila dijeljenja razlomka

prirodnim brojem. Nakon urañenog primjera na stranici 184, nastavnik zapisuje pravilo

b

a

b

nx

y

xn

b

a =⋅⇔=:

na tabli i okružuje ga drugačijom bojom krede. b. Prethodni slučaj je prihvatljiv ako je brojilac razlomka djeljiv sa prirodnim brojem. Problem se javlja kada to nije slučaj. Tada se uvodi pravilo:

b

a

nb

nan

nb

a

nb

an

b

a =⋅⋅=⋅

⋅⋅= ;: ,

nakon čega se urade primjeri na stranici 184. c. Koristeći znanje iz prethodnog pasusa i činjenice da je prirodan broj, u stvari, prividni razlomak, urade se zadaci (nastavnik zajedno sa učenicima) na stranici 185. Obrati se pažnja na situaciju :

1=⋅⋅=⋅ab

ba

a

b

b

a,

gdje se za razlomak b

a uvodi pojam njegove recipročne vrijednosti

a

b.

Nakon toga se razlomci dijele bez problema jer se njihovo dijeljenje svodi na množenje koje je ranije usvojeno. d. Posebnu pažnju posvetiti dijeljenju mješovitih brojeva, te količniku dva razlomka i uvoñenju pojma dvojni razlomak, te u diskusiji sa učenicima, doći do pravila rješavanja dvojnog razlomka:

cb

da

d

cb

a

d

c

b

a

⋅⋅==: ,

nakon čega treba uraditi primjere na stranici 186, udžbenika.

udžbenik str. 186

Klju čne riječi: Koli čnik razlomka i prirodnog broja, koli čnik razlomka i razlomka. Recipročna vrijednost razlomka, dvojni razlomak.

Formirati grupe od po 4 člana na uobičajen način sa zadacima na radnim listovima sa stranica 184 i 186 (udžbenik), te 120 i 121 (radna sveska). DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE U ovoj temi učenici stiču vještinu baratanja razlomcima kada je u pitanje dijeljenje razlomaka prirodnim brojem i dijeljenje razlomka razlomkom, sa i bez upotrebe recipročnih vrijednosti. Nastavnik podcrtava usvojena pravila kao nešto sa čime je lakše živjeti, povezujući to sa stvarnim životom. Dijeljenjem i rješavanjem dvojnih razlomaka stvoren je odličan alat za rješavanje širokog spektra zadataka sa kombinacijom svih vrsta operacija, ali i zagrada, sa promocijom principa permanencije, tj. da sve što vrijedi za slične zadatke sa prirodnim brojevima, vrijedi i kod razlomaka. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

RAZLOMCI MNOŽENJE I DIJELJENJE DECIMALNIH BROJEVA DEKADSKIM, PRIRODNIM I DECIMALNIM BROJEM. PERIODI ČNI DECIMALNI BROJ. Nastavni cilj: Učenici znaju množiti i dijeliti decimalne brojeve i dekadske, prirodne brojeve, te množiti i dijeliti decimalne brojeve sa decimalnim brojevima. Znaju prepoznati decimalni periodični broj i odrediti njegov pretperiod i period.

udžbenik str. 180

udžbenik str. 181

udžbenik str. 182

UVOD (MOTIVACIJA) Nastavnik sa učenicima proučava problem u prvom primjeru na stranici 180. Problem se zapisuje u obliku proizvoda:

0,26 ·10 =; 0,26 ·100 = Postaviti pitanje učenicima kako riješiti ove zadatke. Uvažiti i ideje koje se svode na pretvaranje decimalnog broja u razlomke, a onda množenje sa dekadskim brojem. Provjeravajući rezultat dolazi se do slučaja kada treba uraditi slijedeće zadatke: 2,6 : 10 = i 26 : 100 =. Učenici zaključuju šta se u ova dva slučaja dešava sa decimalnim zarezom. Koristeći ova iskustva se lakše uvodi u operacije množenja i dijeljenja decimalnih brojeva prirodnim i decimalnim brojem. OBRADA a. Fokusirajući se na problem iz uvoda na stranici 180, nastavnik postavlja probleme koje sa učenicima rješava uz njihovo objašnjenje. Nakon toga se zapisuje kratka definicija koja se zaokružuje u sveskama drugom bojom. b. Slično se postupa kada je u pitanju množenje decimalnog broja prirodnim brojem i decimalnog broja decimalnim brojem. Učenici na osnovu, zajednički, urañenih primjera na stranici 180, 181 i 182, uviñaju šta se dešava sa decimalnim zarezom u sva tri slučaja. Nastavnik pomaže učenicima da iskažu definicija naznačenih operacija i na kraju se zapisuju u svesku. c. Fokusirajući se na provjeru množenja u sva tri slučaja, učenici zaključuju da se to svodi na dijeljenje decimalnih brojeva sa dekadskim prirodnim i decimalnim brojem. U ovom slučaju se uviña da decimalni zarez, umjesto kretanja u desno, ide u lijevo za onoliko mjesta koliko je decimalnim mjesta u djeljeniku i djeliocu.

udžbenik str. 187

udžbenik str. 190

udžbenik str. 193

Klju čne riječi: Proizvod i količnik decimalnog broja i dekadskog i prirodnog, te decimalnog broja. Periodični decimalni broj .

d. Nastavnik postavlja problem kada pretvaranje razlomka u decimalni broj ne završava sa konačnim brojem decimalnih mjesta, kao što je to slučaj u zadacima na stranici 193 udžbenika. Nakon što se urade zadaci na stranici 193 i primjer na 194 strani, učenicima se saopštavaju definicije periodičnih decimalnih brojeva, te njegovog sastava i mješovito periodičnog broja. Formirati grupe od po 4 člana na uobičajen način sa zadacima na radnim listovima sa stranice 180, 183, 188, 189, 192 i 194(udžbenik), te na stranicama 100-109 (radna sveska). DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE U ovoj temi učenici stiču vještine baratanja sa decimalnim brojevima, gdje je potrebno upoznati učenike sa svim nepoznanicama i zamkama koje učenici doživljavaju. Treba stalno ponavljati pravila operacija sa decimalnim brojevima, jer je njihova upotreba ogromna naročito u drugim predmetnim oblastima (fizika, hemija...). Dobro je povezati operacije sa decimalnim brojevima sa operacijama sa razlomcima, te učenicima dati do znanja da mogu postojati različiti pristupi rješavanju matematičkih problema, odnosno da poznavanje više načina u rješavanju problema predstavlja posebnu vrijednost. Poslije obrade računskih operacija sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja razlomaka i decimalnih brojeva, otvara se polje uvježbavanja rješavanja složenijih zadataka sa kombinacijama operacija i upotrebe svih vrsta zagrada, vodeći računa o prednosti računskih operacija množenja i dijeljenja, nad sabiranjem i oduzimanjem. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

RAZLOMCI ARITIMETI ČKA SREDINA DATIH BROJEVA. BROJNI IZRAZI SA ZAGRADAMA. IZRAZI SA PROMJENJIVIM VELI ČINAMA. Nastavni cilj: Učenici znaju odrediti aritmetičku sredinu brojeva i primijeniti je u praktičnim situacijama. Za odreñenu vrijednost promjenjive veličine učenici znaju izračunati vrijednost izraza sa promjenjivim i izraza sa.

udžbenik str. 195

udžbenik str. 196

UVOD (MOTIVACIJA) Nastavnik sa učenicima proučava problem u prvom primjeru na stranici 195, vezan za račun prosječne temperature. U diskusiji sa učenicima se dolazi do zaključka da će prosječna temperatura za tri dana biti količnik zbira izmjerenih temperatura sa brojem mjerenja. Principom kauzalnosti i permanencije se rukovodimo kada je u pitanju račun sa brojnim izrazima u zagradama i računom vrijednosti izraza sa promjenjivim veličinama za odreñene vrijednosti tih veličina, jer je to obrañeno u poglavlju prirodnih brojeva. OBRADA a. Fokusirajući se na problem iz uvoda na stranici 195. nastavnik zapisuje matematički model računa prosječne vrijednosti temperatura:

153

45

3

111618 ==++

U diskusiji sa učenicima se izvede zaključak o računu prosječne vrijednosti tj. Aritmetičke sredine brojeva. Podcrtavajući pravilo za račun aritmetičke sredine, učenici urade u svojim sveskama zadatke koje je nastavnik napisao na tabli sa stranice 195. Na osnovu shvatanja aritmetičke sredine, moguće je shvatiti da je skup razlomaka beskonačan skup, jer za svaka dva susjedna razlomka postoji treći koji je izmeñu njih i koji je aritmetička sredina svojih krajnjih susjeda. b. Račun aritmetičke sredine se može nazvati i sreñivanje odreñenog brojnog izraza. Sa zagradama. Nakon izrade zadataka sa stranice 196, učenicima će biti izazovno srediti bilo koji sličan izraz. c. Proširivanjem izraza i uvoñenje u njegov sastav i promjenjive veličine, dobija se izraz sa promjenjivim veličinama, koje nije ništa drugo nego poopćenje brojnih izraza sa zagradama. Treba pitati učenike da li znaju za neke takve izraze i o njihovim prijedlozima ozbiljno prodiskutiovati insistirajući na slobodnim izricanjem stavova učenika.

udžbenik str. 197

udžbenik str. 198

Klju čne riječi: Prosjek ili aritmeti čka sredina, brojni izraz sa zagradama, izraz sa promjenjivim veličinama

Formirati grupe od po 4 člana za uvježbavanje. Formirati radne listove za grupni rad, koristeći zadatke sa stranica 195, 196 i 198, udžbenika, te zadatke na stranicama 114 i 115, te 124 i 125 iz radne sveske. DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE U ovoj temi se upoznavaju sa računom aritmetičke sredine ili prosjeka. Oni trebaju shvatiti da je taj račun zastupljen skoro u svakom segmentu života, od prosječne ocjene u razredu, školi, svih pojedinačnih predmeta, prosjeka u učenju na nivou škole, do prosječnog prinosa pšenice ili kukuruza po hektari ili prosječnom trošenju džeparca po danu. Sreñivanje brojnih izraza je prilika da se ponove operacije sa razlomcima i decimalnim brojevima, te prednost u računanju. Kada je u pitanju izraz sa promjenjivim veličinama, učenici treba da shvataju da su oni samo uopćavanje nekih brojnih izraza i da za svaku vrijednost promjenjive imamo ponovio brojni izraz. Učenici treba da iskažu neke poznate obrasce (obim ili površina pravougaonika, kvadrata itd.) i da shvate da se radi o izrazu sa promjenjivim veličinama, te da se radi o obrascima za računanje vrijednosti brojnog izraza sa odgovarajuće vrijednostima promjenjivih. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

RAZLOMCI JEDNAČINE I NEJEDNA ČINE SA MNOŽENJEM I DIJELJENJEM. Nastavni cilj: Učenici znaju rješavati jednačine i nejednačine sa množenjem i dijeljenjem razlomaka i decimalnih brojeva.

udžbenik str. 199

udžbenik str. 200

udžbenik str. 201

UVOD (MOTIVACIJA) Nastavnik pita učenike: kako se rješavaju jednačine i nejednačine sa sabiranjem i oduzimanjem razlomaka. Nakon povratnih informacija od učenika, on zapisuje opći oblik i pravila za rješavanje:

a · x = b, a≠ 0 i a · x = b⇒x = b : a ili x = a

b,

x : a = b ⇒ x = b · a dalje je jasno jer se radi o množenju ili dijeljenju razlomaka ili decimalnih brojeva. Slično je sa nejdnačinama koje se nadovezuju na nejednačine sa sabiranjem i oduzimanjem razlomaka. OBRADA

a. Koristeći pravila iz uvoda, a koja vrijede za prirodne brojeve, urade se zadaci (zajedno nastavnik sa učenicima) na stranici 199 i 200. b. Sada se fokusiramo na slučaj kada je promjenjiva veličina u imeniocu razlomka, te

nakon napisanog pravila: i a : x = b⇒x =a : b ili x = b

a, rješavaju se primjeri na

stranici 200. c. Koristeći isti princip permanencije, obrañuju se nejednačine sa množenjem i dijeljenjem. Ovdje treba više povesti računa o grafičkom zapisivanju rješenja, jer je poznato da to kasnije učenicima treba u skoro svim razredima, osnovne i srednje škole. d. Nakon izrade zadataka na stranici 201 i 202, učenicima se posebno objasni razlika izmeñu rješenja nejednačina sa znakom ≤ ili ≥ i > ili <, gdje se u prva dva slučaja u rješenje uzima i krajnja tačka

udžbenik str. 202

udžbenik str. 203.

Klju čne riječi: Jednačine. Nejednačine. Rješavanje jednačina i nejednačina.

UTVRðIVANJE I PROVJERAVANJE Kada se rješavanju jednačina i nejednačina sa sabiranjem i oduzimanjem razlomaka i decimalnih brojeva doda znanje množenja i dijeljenja razlomaka dobija se mogućnost postavljanja, kopmplikovanijih zadataka – jednačina i nejednačina sa razlomcima i decimalnim brojevima. Ovdje je potrebno dosta uvježbavanja, sve dok rješavanje jednačina i nejednačina za učenike ne bude predstavljalo veliki problem. Utvrñivanje je moguće izvesti prvo u grupama po četiri, na uobičajen način, a zatim, podjelom radnih listića svim učenicima i upotreba individualnog rada na pet vrsta zadataka. Na kraju posla je neophodno, nakon prezentiranja rezultata u prvom slučaju i prezentaciji rezultata, povesti raspravu o tome gdje nastaju problemi i kako ih riješiti, odnosno koji zadaci ne predstavljaju problem. U oba slučaja koristiti zadatke na stranici 200 i 203 (udžbenik) i 122 – 123 (radna sveska). DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE Učenici u ovoj nastavnoj temi primjenjuju dosad stečena znanja vezana za sabiranje i oduzimanje, te množenja i dijeljenja razlomaka. Za uvježbavanje je zgodno koristiti sve oblike rada, od pojedinačnog do rada u parovima i grupnog rada. Grupni rad je pogodan jer su učenici u grupnom radu opušteniji i slobodniji u iznošenju svojih stavova. Grupni rad je pogodan za njegovanje timskog rada i stvaranja osjećaja za timski rad, te razvijanje vještina slušanja i saopštavanja stavova sa argumentacijom, te poštivanja različitosti. ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

RAZLOMCI

DŽEPNO RAČUNALO I RA ČUNANJE POMOĆU NJEGA. Nastavni cilj: Učenici znaju sabirati, oduzimati, množiti i dijeliti decimalne brojeva sa kalkulatorom. Znaju upotrebljavati džepno računalo u rješavanju raznih problema.

udžbenik str. 204

udžbenik str. 205

UVOD (MOTIVACIJA) Učenici rade u parovima. Nastavnik zapiše na tabli nekoliko primjera. Npr.: 723 · 35 + (226 + 358) : 2 – 4897 : 83 = (57 568 – 28 312) : 318 + 562 . 345 ·186 – 5 553 340 : 806 = 36 896 + 45 376 · 31 – 17 · 45 642 = Učenici traže vrijednost tih izraza pomoću kalkulatora. Učenici u svakoj grupi usporeñuju rezultate, pa ako dobiju različite rezultate ponovo računaju dok ne usaglase rezultat, analizirajući gdje se moglo pogriješiti. OBRADA

a. Učenik stavi sliku džepnog računala na grafoskop i pokazuje im kako se unose decimalni brojevi. Napominje im da umjesto zareza ovdje koristimo decimalnu tačku. Učenici u svoje kalkulatore unesu npr. 4,5. Nastavnik ih pozove da izračunaju vrijednost izraza: 4,5 · 0,64 : 1,8 = . Izraz i njegovu vrijednost zapišu u svoje sveske. Pri tome ih nastavnik upozori da rezultat zapišu sa decimalnim zarezom, a ne sa decimalnom tačkom: 4,5 · 0,64 : 1,8 = 1,6 Neki učenik može pravilno pročita zapis sa decimalnim brojevima. b. Zajedno se pozabavimo zadatkom broj 3 na stranici 201. Najprije pročitamo zadatak, zatim čitajući još jednom zapisujemo podatke na tablu. Učenik zamoli nekog učenika da ponovi zadatak svojim riječima. Prodiskutiramo kako bi smo ga mogli riješiti i zapišemo odgovarajuće račune. Ako iz jednog kg brašna dobijamo 1,25 kg hljeba, onda će se iz 84 kg brašna dobiti 84 · 1,25 = 105 kg hljeba. Ako svaka vekna teži 0,5 kg, onda imamo 2 vekne za svaki kg, pa je to skupa 105 · 2 = 210 vekni, što se može izračunati i bez upotrebe kalkulatora. Tu se može zaključiti da kalkulator upotrebljavamo kada se susretnemo sa komplikovanijim računom. U drugom slučaju, zaključuje se da će sa istom količinom brašna dobiti manje vekni sa masom vekni od 0,75 kg. Dakle, 105 kg hljeba: 0,75 kg = 140 vekni. Zaključujemo da je kalkulator koristan i da ga upotrebljavamo kada smo u stisci sa vremenom, kao što to kaže Selma na stranici 204. U tom smislu, učenici moraju steći osjećaj da je kalkulator pomoćno sredstvo za računanje.

udžbenik str. 206

udžbenik str. 207.

Klju čne riječi: Kalkulator, pokazivač, uklju čeno/isključeno, tipka, brisanje, broj, decimalna tačka, računska operacija.

UTVRðIVANJE I PROVJERAVANJE Nastavnik zapisuje neke račune dijeljenja, npr. na stranici 206, koji u rezultatu nemaju decimalni zarez. Učenici rezultate ocjenjuju i postavljaju zareze na odgovarajuća mjesta. Svoje odgovore provjeravaju pomoću kalkulatora. U uvježbavanju se mogu koristiti još zadaci na stranicama 205 i 207 (udžbenik) i 128– 131 (radna sveska). DIDAKTI ČKO-METODI ČKE SMJERNICE Učenici sistematično započinju svoje prve korake u računanju sa kalkulatorom, zato će takvi koraci biti kratki i lagani. Učenike moramo uvjeriti da, računanje sa džepnim računalom, na kraju, ne smijemo uzeti zdravo za gotovo. Uvijek treba provjeriti da li dobijeni rezultat ima smisla. Oni moraju spoznati da je kalkulator veoma korisno pomagalo, ako ga znaju pravilno i pametno upotrijebiti. Besmisleno je s njim računati vrijednosti izraza, koje ćemo brže izračunati na pamet (na primjer 205 · 2; 3,5 · 1000; 240 + 130; 520 : 2...). ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

P R I L O Z I

Postupak rješavanja problema 1. Pročitaj zadatak. 2. Podvuci i zapiši podatke. 3. Navedi plan rješavanja. 4. Napiši račune. 5. Zapiši odgovor. 6. Provjeri svoje rješenje. .

prirucnik matematika konacno sa prilozima finalna verzija 03

Documents