Principio de Bernoulli

Esquema del Principio de Bernoulli. El principio de Bernoulli, tambin denominado ecuacin de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido movindose a lo largo de una lnea de corriente. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinmica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en rgimen de circulacin por un conducto cerrado, la energa que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energa de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes: 1. Cintica: es la energa debida a la velocidad que posea el fluido. 2. Potencial gravitacional: es la energa debido a la altitud que un fluido posea. 3. Energa de flujo: es la energa que un fluido contiene debido a la presin que posee. La siguiente ecuacin conocida como "Ecuacin de Bernoulli" (Trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos trminos.

donde:

= velocidad del fluido en la seccin considerada. = densidad del fluido. = presin a lo largo de la lnea de corriente. = aceleracin gravitatoria = altura en la direccin de la gravedad desde una cota de referencia.

Para aplicar la ecuacin se deben realizar los siguientes supuestos:

Viscosidad (friccin interna) = 0 Es decir, se considera que la lnea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido. Caudal constante Flujo incompresible, donde es constante. La ecuacin se aplica a lo largo de una lnea de corriente o en un flujo irrotacional

Aunque el nombre de la ecuacin se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar por Leonhard Euler. Un ejemplo de aplicacin del principio lo encontramos en el flujo de agua en tubera.

Caractersticas y consecuenciaCada uno de los trminos de esta ecuacin tiene unidades de longitud, y a la vez representan formas distintas de energa; en hidrulica es comn expresar la energa en trminos de longitud, y se habla de altura o cabezal, esta ltima traduccin del ingls head. As en la ecuacin de Bernoulli los trminos suelen llamarse alturas o cabezales de velocidad, de presin y cabezal hidrulico, del ingls hydraulic head; el trmino se suele agrupar con para dar lugar a la llamada altura piezomtrica o tambin

carga piezomtrica. Tambin podemos reescribir este principio en forma de suma de presiones multiplicando toda la ecuacin por , de esta forma el trmino relativo a la velocidad se llamar presin dinmica, los trminos de presin y altura se agrupan en la presin esttica.

DISTRIBUCION DE VELOCIDADES EN UNA SECCION TRANSVERSAL: Debido a la esencia de la superficie libere y a la friccin a lo largo de las paredes del canal, las losidades en un canal no estn del todo distribuidas en su seccin. La mxima velocidad medida en canales normales a menudo ocurre por debajo de la superficie libre a una distancia de 0.05 a 0.25 de la profundidad; cuanto mas cercas estn las bancas mas profundo se encuentra este mximo. La distribucin de secciones de un canal depende tambin de otros factores, como una forma inusual de la seccin, la rugosidad del canal y la presencia de curcas, en una

corriente ancha, rpida y poco profunda o en un canal muy liso la velocidad mxima por lo general se encuentra en la superficie libre. La rugosidad del canal causa un incremento en la curvatura de la curva de distribucin vertical de velocidades. En una curva la velocidad se incremente de manera sustancial en el lado convexo, debido a la accin centrifuga del flujo. Contrario a la creencia usual, el viento en la superficie tiene muy poco efecto en la distribucin de velocidades. CANALES ABIERTOS ANCHOS. Observaciones hechas en canales muy anchos han mostrado que la distribucin de velocidades en la distribucin central en esencial es la misma que existira en un canal rectangular de ancho infinito. En otras palabras bajo esta condicin, los lados del canal no tienen prcticamente ninguna influencia en la distribucin de velocidades en la distribucin central y, por consiguiente el flujo en esta regin central puede considerarse como bidimensional en el anlisis hidrulico. LA MEDICION DE LA VELOCIDAD: la seccin transversal del canal se divide en franjas verticales por medio de un numero de verticales sucesivas y las velocidades medias en las verticales se determinan midiendo las velocidades a 0.6 de la profundidad en cada vertical o tomando las verticales promedio a 0.2 y a 0.8 de la profundidad cuando se requieren resultados mas confiables. DISTRIBUCION DE PRESION EN UNA SECCION DE CANAL: La presin en cualquier punto de la seccin transversal del flujo en un canal con pendiente baja puede medirse por medio de la altura de la columna de agua en un tubo piezometrito instalado en el punto. Al no considerar las pequeas perturbaciones debidas a la turbulencia, etc... Es claro que el Agua de subir desde el punto de medicin hasta la lnea de gradiente hidrulico o superficie del agua. En efecto la aplicacin de la ley hidrosttica a la distribucin de presiones en la seccin transversal es valida solo si los filamentos del flujo no tienen componentes de aceleracin en el plano de la seccin transversal. Este tipo de flujo se conoce tericamente como FLUJO PARALELO es decir, aquel cuyas lneas de corriente no tienen curvatura sustancial ni divergencia. EFECTO DE LA PENDIENTE EN LA DISTRIBUCION DE PRESIONES. Con referencia a un canal inclinado, recto de ancho unitario y Angulo de pendiente 0, el peso del elemento agua sombreado de longitud dl=wy cos0 de l. La presin debida a este peso es wy cos" 0 de l. la presin unitaria es por consiguiente igual a wy= cos0" y la altura 8 es:

h= y cos al cuadrado0 h= d cos 0 donde d= cos0, la profundidad de agua medida perpendicularmente desde la superficie. Ntese que apartar de la geometra la ecuacin no se aplica de manera estricta al caso de flujo variado en particular cuando 0 es muy grande en tanto que la ecuacin aun es aplicable. En canales de pendiente alta la velocidad de flujo por lo general es grande y mayor que la velocidad critica. Cuando esta velocidad alcanza cierta magnitud, el agua atrapara aire, produciendo un inchamiento de su volumen y un incremento en la profundidad 9. PRINCIPIOS DE ENERGIA Y MOMEMTUM ENERGIA DEL FLUJO EN CANALES ABIERTOS: en hidrulica elemental se sabe que la ENERGIA total del agua en pies-lb. Por lb. De cualquier lnea de corriente que pasa a travs de una seccin de canal puede expresarse como la altura total en pies de agua que es igual a la suma de la elevacin por encima del nivel de referencia, la altura de presin y la altura de velocidad. Energa de un flujo gradualmente variado en canales abiertos. Por ejemplo, con respecto al plano de referencia, la altura total H de una seccin O que contiene el punto a en una lnea de corriente del flujo de un canal de pendiente alta puede escribirse como: H= za + da cos0 + Va al cuadrado/ 2g Flujo: es el desplazamiento del agua. Agua: liquido de composicin H2O. Hidrolgica: Relativo a la hidrologa. Viscosidad: Resistencia que ofrece un fluido al movimiento relativo de sus molculas. Rugosidad: Calidad de rugoso. Laminar: De forma de lmina Turbulento: 3 fs. [corriente fluida] Que tiene turbulencias. Hidroelctrica: [fenmeno electroqumico] Que se produce con el concurso del agua. Cunetas: 2 Zanja en los lados de un camino, para recibir las aguas llovedizas.

Canaleta: conducto que recibe y vierte el agua de los tejados. Presin: Fuerza ejercida sobre la unidad de superficie de un cuerpo por un gas, un lquido o un slido Convexo: Que tiene, respecto del que mira, la superficie ms prominente en el medio que en los extremos. Terrapln: Desnivel en el terreno con una cierta pendiente. Uniforme: Que tiene la misma forma, manera de ser, intensidad, etc Variado: Que tiene variedad. Sequias: Tiempo seco de larga duracin. PREGUNTAS RELACIONADAS CON EL FENOMENO: Flujo de agua en canales abiertos. 1.- Cmo se da el flujo a travs de los canales? 2.- Por qu se da el flujo? 3.- Qu tipo de movimiento presenta el flujo? 4.- Qu tipo de flujo existen? 5.- Cmo es la velocidad del flujo? 6.- en que tipo de canal se da mejor el flujo? 7.- Qu influencia tiene la gravedad y la viscosidad en el flujo del canal? 8.- en donde termina el flujo? 9.- Cmo se clasifican los flujos? 10.- Cmo es que se comporta el flujo? 11.- Cundo un flujo es laminar? 12.- Cmo acta la energa en el flujo del canal? 13.- Cmo se distribuye los efectos de presin?

14.- Cules son los tipos de canales artificiales y naturales? 15.- Cmo se mide la velocidad del canal? 16.- Cules son los elementos geomtricos de un canal? 17.- Qu importancia tiene la hidrulica en el flujo de agua en canales?

Esquema del efecto Venturi.

o escrita de otra manera ms sencilla:

donde

es una constante-

Igualmente podemos escribir la misma ecuacin como la suma de la energa cintica, la energa de flujo y la energa potencial gravitatoria por unidad de masa:

As el principio de bernoulli puede ser visto como otra forma de la ley de la conservacin de la energa, es decir, en una lnea de corriente cada tipo de energa puede subir o disminuir en virtud de la disminucin o el aumento de las otras dos. Esta ecuacin permite explicar fenmenos como el efecto Venturi, ya que la aceleracin de cualquier fluido en un camino equipotencial (con igual energa potencial) implicara una disminucin de la presin. Este efecto explica porqu las cosas ligeras muchas veces tienden a salirse de un automvil en movimiento cuando se abren las ventanas. La presin del aire es menor fuera debido a que est en movimiento respecto a aqul que se encuentra dentro, donde la presin es necesariamente mayor. De forma, aparentemente, contradictoria el aire entra al vehculo pero esto ocurre por fenmenos de turbulencia y capa lmite.

Ecuacin de Bernoulli y la Primera Ley de la TermodinmicaDe la primera ley de la termodinmica se puede concluir una ecuacin estticamente parecida a la ecuacin de Bernouilli anteriormente sealada, pero conceptualmente distinta. La diferencia fundamental yace en los lmites de funcionamiento y en la formulacin de cada frmula. La ecuacin de Bernoulli es un balance de fuerzas sobre una partcula de fluido que se mueve a travs de una lnea de corriente, mientras que la primera ley de la termodinmica consiste en un balance de energa entre los lmites de un volumen de control dado, por lo cual es ms general ya que permite expresar los intercambios energticos a lo largo de una corriente de fluido, como lo son las prdidas por friccin que restan energa, y las bombas o ventiladores que suman energa al fluido. La forma general de esta, llammosla, "forma energtica de la ecuacin de Bernoulli" es:

donde:

es el peso especfico ( ). es una medida de la energa que se le suministra al fluido. es una medida de la energa empleada en vencer las fuerzas de friccin a travs del recorrido del fluido.

Los subndices y indican si los valores estn dados para el comienzo o el final del volumen de control respectivamente. g = 9,81 m/s2 y gc = 1 kgm/(Ns2)

Suposiciones

La ecuacin arriba escrita es un derivado de la primera ley de la termodinmica para flujos de fluido con las siguientes caractersticas.

El fluido de trabajo, es decir, aqul que fluye y que estamos considerando, tiene una densidad constante. No existe cambio de energa interna.

Demostracin

Escribamos la primera ley de la termodinmica con un criterio de signos termodinmico conveniente:

Recordando la definicin de la entalpa conoce como volumen especfico

, donde . Podemos escribir:

es la energa interna y se

que por la suposiciones declaradas ms arriba se puede reescribir como:

dividamos todo entre el trmino de la aceleracin de gravedad

Los trminos del lado izquierdo de la igualdad son relativos a los flujos de energa a travs del volumen de control considerado, es decir, son las entradas y salidas de energa del fluido de trabajo en formas de trabajo ( ) y calor ( ). El trmino relativo al trabajo consideraremos que entra al sistema, lo llamaremos y tiene unidades de longitud, al igual que , que llamaremos quin sale del sistema, ya que consideraremos que slo se

intercambia calor por va de la friccin entre el fluido de trabajo y las paredes del conducto que lo contiene. As la ecuacin nos queda:

o como la escribimos originalmente:

As, podemos observar que el principio de Bernoulli es una consecuencia directa de la primera ley de la termodinmica, o si se quiere, otra forma de esta ley. En la primera ecuacin presentada en este artculo el volumen de control se haba reducido a tan solo una lnea de corriente sobre la cual no haban intercambios de energa con el resto del sistema, de aqu la suposicin de que el fluido debera ser ideal, es decir, sin viscosidad ni friccin interna, ya que no existe un trmino entre las distintas lneas de corriente.

Aplicaciones del Principio de BernoulliChimenea Las chimeneas son altas para aprovechar que la velocidad del viento es ms constante y elevada a mayores alturas. Cuanto ms rpidamente sopla el viento sobre la boca de una chimenea, ms baja es la presin y mayor es la diferencia de presin entre la base y la boca de la chimenea, en consecuencia, los gases de combustin se extraen mejor. Tubera La ecuacin de Bernoulli y la ecuacin de continuidad tambin nos dicen que si reducimos el rea transversal de una tubera para que aumente la velocidad del fluido que pasa por ella, se reducir la presin. Natacin La aplicacin dentro de este deporte se ve reflejado directamente cuando las manos del nadador cortan el agua generando una menor presin y mayor propulsin. Carburador de automvilEn un carburador de automvil, la presin del aire que pasa a travs del cuerpo del carburador, disminuye cuando pasa por un estrangulamiento. Al disminuir la presin, la gasolina fluye, se vaporiza y se mezcla con la corriente de aire. Flujo de fluido desde un tanque La tasa de flujo est dada por la ecuacin de Bernoulli.

Dispositivos de Venturi En oxigenoterapia, la mayor parte de sistemas de suministro de dbito alto utilizan dispositivos de tipo Venturi, el cual esta basado en el principio de Bernoulli.

Ecuacin de BernoulliBarbol Julio 2003

1 Formulacin de la ecuacinLa ecuacin de Bernoulli describe el comportamiento de un fludo bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

(1)

2 ParmetrosEn la ecuacin de Bernoulli intervienen los parmetros siguientes:

: Es la presin esttica a la que est sometido el fludo, debida a las molculas que lo rodean : Densidad del fludo. : Velocidad de flujo del fludo. : Valor de la aceleracin de la gravedad ( : Altura sobre un nivel de referencia. en la superficie de la Tierra).

3 AplicabilidadEsta ecuacin se aplica en la dinmica de fludos. Un fludo se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a

que las molculas de los fludos no estn rgidamente unidas, como en el caso de los slidos. Fludos son tanto gases como lquidos. Para llegar a la ecuacin de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad:

El fludo se mueve en un rgimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no vara con el tiempo. Se desprecia la viscosidad del fludo (que es una fuerza de rozamiento interna). Se considera que el lquido est bajo la accin del campo gravitatorio nicamente.

4 Efecto BernoulliEl efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuacin de Bernoulli: en el caso de que el fludo fluja en horizontal un aumento de la velocidad del flujo implica que la presin esttica decrecer. Un ejemplo prctico es el caso de las alas de un avin, que estn diseadas para que el aire que pasa por encima del ala fluya ms velozmente que el aire que pasa por debajo del ala, por lo que la presin esttica es mayor en la parte inferior y el avin se levanta.

5 Tubo de VenturiEl caudal (o gasto) se define como el producto de la seccin por la que fluye el fludo y la velocidad a la que fluye. En dinmica de fludos existe una ecuacin de continuidad que nos garantiza que en ausencia de manantiales o sumideros, este caudal es constante. Como implicacin directa de esta continuidad del caudal y la ecuacin de Bernoulli tenemos un tubo de Venturi. Un tubo de Venturi es una cavidad de seccin parte se estrecha, teniendo ahora una seccin entonces tenemos que . Por tanto: por la que fluye un fludo y que en una . Como el caudal se conserva

(2)

Si el tubo es horizontal entonces , y con la condicin anterior de las velocidades vemos que, necesariamente, . Es decir, un estrechamiento en un tubo horizontal implica que la presin esttica del lquido disminuye en el estrechamiento.

6 Breve historia de la ecuacin Los efectos que se derivan a partir de la ecuacin de Bernoulli eran conocidos por los experimentales antes de que Daniel Bernoulli formulase su ecuacin, de hecho, el reto estaba en encontrar la ley que diese cuenta de todos esto acontecimientos. En su obra Hydrodynamica encontr la ley que explicaba los fenmenos a partir de la conservacin de la energa (hay que hacer notar la similitud entre la forma de la ley de Bernoulli y la conservacin de la energa). Posteriormente Euler dedujo la ecuacin para un lquido sin viscosidad con toda generalidad (con la nica suposicin de que la viscosidad era despreciable), de la que surge naturalmente la ecuacin de Bernoulli cuando se considera el caso estacionario sometido al campo gravitatorio.

ECUACION DE LA CONTINUIDAD

Consideremos una porcin de fluido en color amarillo en la figura, el instante inicial t y en el instante t+Dt. En un intervalo de tiempo Dt la seccin S1 que limita a la porcin de fluido en la tubera inferior se mueve hacia la derecha Dx1=v1Dt. La masa de fluido desplazada hacia la derecha es Dm1=rS1Dx1=rS1v1Dt. Anlogamente, la seccin S2 que limita a la porcin de fluido considerada en la tubera superior se mueve hacia la derecha Dx2=v2Dt. en el intervalo de tiempo Dt. La masa de fluido desplazada es Dm2=r S2v2 Dt. Debido a que el flujo es estacionario la masa que atraviesa la seccin S1 en el tiempo Dt, tiene que ser igual a la masa que atraviesa la seccin S2 en el mismo intervalo de tiempo. Luego v1S1=v2S2 Esta relacin se denomina ecuacin de continuidad. En la figura, el radio del primer tramo de la tubera es el doble que la del segundo tramo, luego la velocidad del fluido en el segundo tramo es cuatro veces mayor que en el primero. La ecuacin de continuidad se escribe

v1S1=v2S2 Que nos dice que la velocidad del fluido en el tramo de la tubera que tiene menor seccin es mayor que la velocidad del fluido en el tramo que tiene mayor seccin. Si S1>S2, se concluye que v1