principi izrada evolventnih profila zubacaomk.mas.bg.ac.rs/files/elementi2/smena3/3-iii_cil... ·...

05/03/2007 MAŠINSKI ELEMENTI 2 1

Principi izrada evolventnih profila zubaca

S obzirom da je kinematska površina zupčaste letve u obliku ravni, to je ona najpogodnija za definisanje svihzupčanika cilindričnih zupčastih parova.

Zupčasta letva koja određuje oblik zubaca cilindričnih zupčastih parova naziva se osnovna zupčasta letva.

Profil osnovne zupčaste određen je standardnim profilom i to tako da se kod cilindričnih zupčanika sa pravimzupcima profil osnovne zupčaste letve poklapa sa standardnim profilom. Dimenzije standardnog profila zavise od

standardnog modula mn.

Kotrljanje podeone prave po podeonoj kružnici bez klizanja prisutno je pri sprezanju zupčanika i zupčaste letve.


pn=mnπ

mnπ/2 mnπ/2

ynmn

ynmn

cnmnpb

αn

Na slici je prikazan standardni profil evolventnih zupčanika sa standardizovanim parametrima.

Standardni modul mn je standardizovana vrednost od koje zavisi veličina zubaca zupčanika. Karakteristični

parametri standardnog profila su:

• koeficijent visine zupca je yn = 1,

• ugao standardnog profila αn = 20°,

• koeficijent visine zaobljenog dela cn = 0,1...0,3, (cn=0,25)

Srednja linija standardnog profila je linija na kojoj je debljina zupca standardnog profila jednaka širini međuzublja. Osim toga, srednja linija deli pravolinijski deo standardnog profila na dva jednaka dela.


Granični broj zubaca

Evolventa počinje od osnovne kružnice poluprečnika rb i evolventu može obrazovati samo pravolinijski deo

profila alata.

Početna tačka pravolinijskog dela profila alata i početna tačka evolvente (osnovna kružnica) seku se u tački N.

Iz ove tačke polazi i normala na sečivo alata koja je istovremeno i tangenta na osnovnu kružnicu.Na osnovu ovako definisanog položaja alata i zupčanika sa slike proizlaze sledeće geometrijske relacije:

α

α ym

ym

C

N

α

rbrb

r

αcosbrrym −=

αrrb cos=

αrrym2

cos−=

2

mzr =

( )αmzym

2cos1

2−=

α

y

α

yzz g 22 sin

2

cos1

2=

−==


Za y = 1 i α = 20° granični broj zubaca iznosi zg=17,1, odnosno za zaokruženi broj zubaca zg=17.Za ovaj broj zubaca zupčanika poklapa se prva tačka evolvente sa prvom tačkom aktivnog dela boka zupca,čime je u potpunosti iskorišćen evolventi deo profila zubca. Smanjivanjem broja zubaca zupčanika ispod

Zg = 17 na svom jednom delu profil zubca ostaje bez evolvente.

Ako je broj zubaca zupčanika manji od graničnog broja zubaca, profil alata zalazi ispod osnovne

kružnice i proseca sebi putanju u vidu krive linije – trohoide, odnosno podseca profil zupca. Podsecanje

profila dovodi do odstranjivanja jednog dela aktivnog profila zupca, čime je smanjen stepen sprezanja profila, osim toga smanjuje se i čvrstoća zupca.

Pomeranje profila. Položaj profila osnovne zupčaste letve u odnosu na podeonu pravu određen je

pomeranjem profila osnovne zupčaste letve. Pomeranje profila osnovne zupčaste letve je algebarska vrednost

rastojanja između srednje linije profila i podeone prave osnovne zupčaste letve i izražava se proizvodom

koeficijenta pomeranja profila osnovne zupčaste letve i modula x•m. Pri tome se odmicanje profila od ose

zupčanika računa kao pozitivno, a primicanje kao negativno.

r

s.l.

p.p

rb


Minimalno pomeranje profila zubaca zupčaste letve (x•m)min.

U graničnom slučaju nastanka pojave podsecanja profila zubaca zupčanika, vrh pravolinijskog dela alata u

obliku osnovne zupčaste letve zalazi u unutrašnjost osnovnog kruga zupčanika. Tačka N na osnovnom krugu

zupčanika određuje granični položaj alata. Na osnovu geometrijskih odnosa sa dole prikazane slike proizlaze sledeće geometrijske relacije:

xmrrym b +−= αcos

( ) ( )αrymαrrymxm b2cos1cos −−=−−=

αrrb cos=

2/mzr =

αz

yxx2

min sin2

−==


Ova vrednost predstavlja minimaln koeficijent pomeranje profila pri kome ne nastupa podsecanje. Za

zupčanike sa standardnim profilom kod koga je yn = 1 i α =20°, minimalni koeficijent pomeranja profila ima

vrednost nulu pri broju zubaca 17 (tačna vrednost 17.1).

Efekti nastali pozitivnim pomeranjem profila alata su:

• smanjuje se ili potpunu izbegava podsečenost zubaca,• smanjuje se granični broj zubaca zupčanika,• ukupna visina zupca, u odnosu na nepomereni profil, se pomera iznad osnovnog kruga,• zupci postaju šiljastiji, pri velikim pozitivnim vrednostima pomeranja profila alata, postoji opasnost da zubac

zupčanika postane potpuno šiljast; tada je debljina zupca na temenom krugu jednaka nuli,• poprečni presek podnožja zupca se povećava, povećava se nosivost podnožja,• povećava se radijus krivine profila zubaca, odnosno evolvente, pa je nosivost bokova zubaca veća,

ra

rb

Trohoida


Geometrijske mere zubaca

Lučna debljina zupca na podeonoj kružnici. Polazeći od uslova kotrljanja podeone prave popodeonom krugu proizlazi da je lučna debljina profila zupca na podeonom krugu jednaka širini međuzubljaprofila osnovne zupčaste letve na podeonoj pravoj.

+= αx

πms tg2

2


Lučna debljina zupca na kružnici poluprečnika ry određuje se na osnovu lučne debljine zupca na podeonojkružnici. Na osnovu geometrijskih odnosa sa dole prikazane slike proizlazi lučna debljina zupca na kružnicipoluprečnika ry:

( )DCBDACCBACAB2

−−=−==ys ) ) ) ) ))

( )αrαrrr

ssyyyy

yinvinv

22−−=


−+=

−+= yyyyy αα

d

sdαα

r

srs invinvinvinv

22

Na osnovnoj kružnici je dy = db, αy = 0, inv α y = , a na temenoj dy = da , αy = αa:

+= α

d

sds bb inv

−+= aaa αα

d

sds invinv

Za granični slučaj kada profili zubaca zupčanika postanu šiljasti sa = 0 , određuju se napadni ugao profila i

poluprečnik na temenoj kružnici zupčanika:

( ) αd

sαinv sa inv0 +== ( )

( )00

cos =

= =sa

bsa

α

rr

Odnos lučne debljine profila zupca sy i lučne širine medjuzublja ey:

yyy spe −= yyy spe −=

y

by

r

rα =cos


Mera preko zubaca omogućuje posrednu kontrolu koraka na osnovnoj kružnici pb i debljine zupca sb.

Mera preko zubaca (W) je rastojanje raznoimenih bokova između određenog broja zubaca (merni broj

zubaca zw), mereno duž zajedničke normale krajnjih obuhvaćenih bokova zubaca. Mera preko

zw zubaca( zw = 3) obuhvata (zw - 1), osnovnih koraka pb i jednu debljinu zupca na osnovnom krugu sb:

( ) bbW spzW +−= 1


Sprezanje i dimenzije zupčanika

Za razliku od svih drugih, par evolventnih profila može se sprezati na bilo kom osnom rastojanju. U bilokojoj tački njihovog trenutnog dodira, zajednička normala prolazi uvek kroz trenutni pol, a po definiciji evolvente, ona mora tangirati oba osnovna kruga. Usled toga, zajednička normala zauzima kod evolventnih zupčanika stalan položaj u odnosu na ose obrtanja. Pošto u svakoj tački dodira profili moraju imati zajedničkunormalu, to znači da na ovoj zajedničkoj normali moraju ležati sve tačke u kojima se profili u toku sprezanja

dodiruj, pa ova normala predstavlja istovremeno i liniju na kojoj leži dodirnica profila cilindričnih evolventnih

zupčanika.

db1


U proizvoljnoj trenutnoj tački dodira, napadni uglovi profila malog i velikog zupčanika su različiti. Jedino utrenutku kada se spregnuti profili dodiruju u trenutnom polu, ovi napadni uglovi su međusobno jednaki.

Napadni ugao profila u trenutku njihovog dodira u trenutnom polu predstavlja istovremeno i ugao između

dodirnice profila i zajedničke tangente kinematskih krugova u trenutnom polu, pa se naziva ugao dodirnice ( αw )

Ugao dodirnice pri sprezanju određuje se iz uslova da je korak na kinematskom krugu jednak zbiru debljinazubaca na kinematskim krugovima spregnutih zupčanika, odnosno da je debljina zupca jednog zupčanika jednaka širini međuzublja drugog zupčanika na njihovim kinematskim krugovima, pošto se ovi kotrljaju jedan podrugome bez klizanja.

21 www ssp +=

−++

−+= wwww

wαα

d

sdαα

d

sd

z

πdinvinvinvinv

2

22

1

11

1

1

( )( )

+−++= uααu

d

s

d

szπ w 1invinv

2

2

1

11

( )( )2121 invinv zzαα

m

ssπ w +−+

+=

ααzz

xxαw invtg2inv

21

21 ++

+=


Ugao dodirnice profila

C

Ako je zbir pomeranja profila x1+x2=0, ugao dodirnice αw= α, što znači da se u tim slučajevima kinematski i

podeoni krugovi poklapaju.

Za x1+x2>0, αw> α i obrnuto.


Osno rastojanje spregnutog evolventnog zupčanog para određeno je dodirom kinematskih

kružnica koje se medjusobno kotrljaju bez klizanja:

w

www

b

w

bww

dd

rrrrrra

α

α

α

α

α

α

αα

cos

cos

cos

cos

cos

cos

coscos

2

21

212121

+=

=+=+=+=

wα

αzzma

cos

cos

2

21 +=

Prečnici kinematskih kružnica su odredjeni veličinom osnog rastojanja i prenosnog odnosa:

11

+=

u

arw 12 ww urr =


Prečnici podeonih kružnica odredjeni su izrazima:

11 mzd = 22 mzd =

Za slučaj da je zbir koeficijenta pomeranja profila zubaca, tj. x1+x2=0, tada se kinematske i podeone kružnice

poklapaju tj. rw1 = r1 odnosno rw2 = r2. Na osnovu ovih relacija kinematski prenosni odnos se može odrediti

na sledeći način:

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

cos

cos

cos

cos

z

z

r

r

αr

αr

αr

αr

r

ru

wb

wb

w

w=====

Prečnici podnožnih kružnica dobijaju se posmatranjem sprezanja osnovne zupčaste letve i zupčanika

I odgovaraju dubini do koje prodire alat pri obradi jednog i drugog zupčanika.


( )xcmrr af −+−= 01


Prečnici temenih kružnica dobijaju se na osnovu osnog rastojanja, prečnika podnožnih

krugova i temenog zazora.

21 fa rcmra ++=

12 fa rcmra ++=

cmrar fa −−= 21

cmrar fa −−= 12

Koeficijent temenog zazora je obično c=0,2.

principi izrada evolventnih profila zubacaomk.mas.bg.ac.rs/files/elementi2/smena3/3-iii_cil... ·...

Documents