primeri za proraČun dinamiČke izdrŽljivosti osovina i vratila
TRANSCRIPT
PRIMERI ZA PRORAČUN DINAMIČKE IZDRŽLJIVOSTI OSOVINA I VRATILA
PRIMER 1
Točak krana obrće se oko nepomične osovine (sl. 26). Osovina je srednje fino brušena. Materijal Č.50Ispitati sigurnost u sredini osovine.
Slika 26
Poznati podaci:
Prečnik osovine d=50 mmOpterećenje F=25 kNRazmak držača osovine l=200 mm
Rešenje:
Momenat savijanja u sredini osovine
M f=F2∙l2=25000
2∙
2002
=50000004
=1250kNmm
Otporni momenat
W=d3 ∙ π32
= d3
10=503
10=125000
10=12500mm3
Gornja granica naprezanja
σ 0=M f
W=1250000
12500=100
Nmm2
Amplituda naprezanja
σ a=12∙ σ0=
12∙100=50
N
mm2 (sl. 1, slučaj 3)
Dinamička izdržljivost materijala
σW=24 0N
mm2 ( Tabela 3: Č.50 )
Faktor veličine
K=0,68 (sl. 7, linija b)
Faktor finoćeχ=0,9 (sl. 8, linija d )
Faktor koncentracije naponaβk=1 (Tabela 5)
Dinamička izdržljivost
σ D=K ∙ χβk
∙ σW=0,68∙0,91
∙240=147N
mm2
Stepen sigurnosti
νD=σDσa
=14750
=2,9 4
Prema tabeli 1 ovaj stepen sigurnosti dovoljan je za dinamičko naprezanje sa vrlo jakim udarima.
PRIMER 2
Kotur za uže napresovan je na osovinu od Č.50 (sl. 27). Osovina je srednje fino brušena.Ispitati sigurnost u presecima I i II.
Slika 27
Poznati podaci:
Veći prečnik osovine d=80 mmManji prečnik osovine d1=60 mmOpterećenje F=24 kNRazmak između ležišta L=400 mmŠirina kotura b=70 mm
Rešenje:
Presek I
Moment savijanja
M f=F2∙( L2 −b
2 )=12000∙( 4002
−702 )=12000 ∙165=1980Nm
Otporni momenat
W=d3 ∙ π32
= d3
10=803
10=512000
10=51200mm3
Gornja granica naprezanja
σ 0=M f
W=1980000
51200=38,7
Nmm2
Amplituda naprezanja
σ a=σ 0=38,7N
mm2 (sl.1, slučaj 5)
Dinamička izdržnjivost materijala
σW=240N
mm2 ( Tabela 3: Č.50 )
Faktor veličine
K=0 ,85 (sl. 7, linija a)
Faktor finoće
χ=0,9 (sl. 8, linija d )
Faktor koncentracije napona
βk=2 (Tabela 5)
Dinamička izdržljivost
σ D=K ∙ χβk
∙ σW=0,85∙0,92
∙240=92N
mm2
Stepen sigurnosti
νD=σDσa
= 9238,7
=2,38
Prema tabeli 1 ovaj stepen sigurnosti dovoljan je za dinamičko naprezanje sa jakim udarima.
Presek II
Slika 28
Moment savijanja
M f=F2∙( L2 −b
2−15) (sl. 28)
¿12000 ∙( 4002
−702
−15)=12000 ∙150=1800Nm
Otporni momenat
W=d1
3 ∙ π32
=d1
3
10=603
10=216000
10=21600mm3
Gornja granica naprezanja
σ 0=M f
W=1800000
21600=83,4
Nmm2
Amplituda naprezanja
σ a=σ 0=83,4N
mm2 (sl.1, slučaj 5)
Dinamička izdržljivost materijala
σW=240N
mm2 ( Tabela 3: Č.50 )
Faktor veličine
K=0 ,66 (sl. 7, linija b)
Faktor finoće
χ=0,9 (sl. 8, linija d )
Da bi odredili α k moramo najpre izračunati odnose
ρa=10
30=0,33
tρ=10
10=1
Sa ovim vrednostima nalazimo α k
α k=1,5 (sl. 9)
Stepen osetljivosti materijala
ηk=0,45 (sl. 14, za Č.50, srednja vrednost)
Faktor koncentracije napona (Tabela 5)
βk=1+(αk−1 )∙ ηk=1+(1,5−1 ) ∙0,45=1+0,225=1,225
Dinamička izdržljivost
σ D=K ∙ χβk
∙ σW=0,66∙0,91,225
∙240=117N
mm2
Stepen sigurnosti
νD=σDσa
= 11783,4
=1,4
Prema tabeli 1 ovaj stepen sigurnosti nije dovoljan je za dinamičko naprezanje sa jakim udarima.
Da vidimo da li će se povećati sigurnost osovine, ako mesto Č.50 usvojimo kvalitetniji Č.70
Veličine koje zavise od materijala:
Dinamička izdržljivost
σW=35 0N
mm2 (Tabela 3)
Faktor finoće
χ=0,88 (sl. 8, linija d )
Stepen osetljivosti materijala
ηk=0,6 (sl. 14, za Č.70, srednja vrednost)
Ponovo računate veličine:
Faktor koncentracije napona (Tabela 5)
βk=1+(αk−1 )∙ ηk=1+(1,5−1 ) ∙0,6=1+0,3=1,3
Dinamička izdržljivost
σ D=K ∙ χβk
∙ σW=0,66∙0,881,3
∙350=156N
mm2
Stepen sigurnosti
νD=σDσa
= 15683,4
=1,87
Vidimo, dakle, da čelik sa većom čvrstoćom daje i veći stepen sigurnosti prema tabeli 1, dovoljan za dinamičko naprezanje sa jakim udarima.
Pokušajmo sada da dobijemo veći stepen sigurnosti povećanjem prečnika d1 sa 60mm na 70mm, a da pri tome zadržimo prvobitni materijal Č.50.
Slika 29
Sa poluprečnikom krivine ρ=5mm (sl. 29) biće odnosi
ρa= 5
35=0,143
tρ=5
5=1
Sa ovim vrednostima nalazimo α k
α k=1 ,7 5 (sl. 9)
βk=1+(αk−1 )∙ ηk=1+(1,75−1 ) ∙0,45=1+0,338=1,338
Ne menja se
χ=0 ,9
σW=24 0N
mm2
Faktor veličine ima novu vrednost
K=0 ,87
Dinamička izdržljivost postaje veća
σ D=K ∙ χβk
∙ σW=0,87 ∙0,91,338
∙240=140N
mm2
Moment savijanja postaje veći
M f=F2∙( L2 −b
2−1 0)
¿12000 ∙( 4002
−702
−10)=12000 ∙155=1860Nm
Otporni momenat postaje veći
W=d1
3 ∙ π32
=d1
3
10=703
10=343000
10=34300mm3
Amplituda naprezanja
σ a=σ 0=M f
W=1860000
34300=54,2
Nmm2
Stepen sigurnosti
νD=σDσa
= 14054,2
=2,58
Prema ovome, zadržavajući raniji, jevtiniji materijal Č.50, veći stepen sigurnosti možemo dobiti i usvajanjem većih prečnika.
Stepen sigurnosti νD=2,58 dovoljan je, prema tabeli 1, za dinamičko naprezanje sa jakim udarima.
PRIMER 3
Kotur za uže iz primera 2. vezan je za osovinu kukastim klinom (slika 30).Ispitati sigurnost osovine u preseku III.
Slika 30
Poznati podaci:
Veći prečnik osovine d=80 mm
Manji prečnik osovine d1=60 mmOpterećenje F=24 kNRazmak između ležišta L=400 mmŠirina kotura b=70 mm
Rešenje:
Momenat savijanja u sredini osovine
M f=F2∙L2=24000
2∙
4002
=12000 ∙200=24000Nm
Otporni momenat
W=d3 ∙ π32
= d3
10=803
10=512000
10=51200mm3
Gornja granica naprezanja
σ 0=M f
W=24000000
51200=46,8
Nmm2
Amplituda naprezanja
σ a=σ 0=46,8N
mm2
Dinamička izdržljivost materijala
σW=¿240N
mm2 ( Tabela 3: Č.50 )
Faktor veličine
K=0,6 2 (sl. 7, linija b)
Faktor finoće
χ=0,9 (sl. 8, linija d )
Faktor koncentracije napona
βk=1,48 (sl. 15, linija a, Č.50)
Dinamička izdržljivost
σ D=K ∙ χβk
∙ σW=0,62∙0,91,48
∙240=90,5N
mm2
Stepen sigurnosti
νD=σDσa
=90,546,8
=1,93
Prema tabeli 1 ovaj stepen sigurnosti dovoljan je za dinamičko naprezanje sa jakim udarima.
PRIMER 4
Vratilo sa dva zupčanika prenosi čisto naizmenično promenljiv momenat torzije Mt=650 Nm.Ispitati sigurnost vratila u presecima I, II, III i IV.Materijal vratila: Č.50 fino brušen.
Slika 31
Dimenzije vratila:d1= 70 mmd2= 60 mmd3= 50 mm (sl. 31)
Predhodnim proračunom određeni su momenti savijanja:
MfI= 940 NmMfII= 1490 NmMfIII= 958,5 NmMfIV= 1245 Nm
Otporni i polarni otporni momenti preseka vratila:W1= 34300 mm3 Wo1= 68600 mm3
W2= 21600 mm3 Wo2= 43200 mm3
W3= 12500 mm3 Wo3= 25000 mm3
Rešenje:
Presek I
Gornja granica naprezanja
σ 0=M fI
W 1
=94000034300
=27,4Nmm2
τ 0=M t
W o1
=65000068600
=9,46Nmm2
Amplituda naprezanja
σ a=σ 0=27,4N
mm2 (sl. 1, slučaj 5)
τ a=τ 0=9,46N
mm2 (sl. 1, slučaj 5)
Fiktivno naprezanje (Tabela 2)
σ 1a2 =σ a
2+3 ∙ τa2=27,42+3 ∙9,462=750+3∙9=750+270=1020
N
mm2
σ 1a=32N
mm2
Dinamička izdržljivost materijala
σW=240N
mm2
Faktor veličine
K=0,6 4 (sl. 7, linija b)
Faktor finoće
χ=0,93 (sl. 8, linija c )
Faktor koncentracije napona
βk=1,8 (sl. 15, linija b)
Dinamička izdržljivost
σ D=K ∙ χβk
∙ σW=0,64 ∙0,931,8
∙240=79,3N
mm2
Stepen sigurnosti
νD=79,332
=2,48
Prema tabeli 1 ovaj stepen sigurnosti dovoljan je za dinamičko naprezanje sa jakim udarima.
Presek II
Gornja granica naprezanja
σ 0=M fII
W 2
=149000021600
=69Nmm2
τ 0=M t
W o2
=6500 0043200
=15Nmm2
Amplituda naprezanja
σ a=σ 0=69N
mm2 (sl. 1, slučaj 5)
τ a=τ 0=15N
mm2 (sl. 1, slučaj 5)
Fiktivno naprezanje (Tabela 2)
σ 1a2 =σ a
2+3 τa2=692+3 ∙152=4761+3∙225=4761+675=5436
N
mm2
σ 1a=73,7N
mm2
Dinamička izdržljivost materijala (Tabela 3: Č.50)
σW=240N
mm2
Faktor veličine
K=0,6 6 (sl. 7, linija b)
Faktor finoće
χ=0,93 (sl. 8, linija c )
Faktor koncentracije napona
βk=1 (Tabela 5)
Dinamička izdržljivost
σ D=K ∙ χβk
∙ σW=0,66∙0,931
∙240=147N
mm2
Stepen sigurnosti
νD=σ Dσ1a
= 14773,7
=2
Prema tabeli 1 ovaj stepen sigurnosti dovoljan je za dinamičko naprezanje sa jakim udarima.
Presek III
Gornja granica naprezanja
σ 0=M fIII
W 3
=95850012500
=76,6Nmm2
τ 0=M t
W o3
=650000250 00
=26Nmm2
Amplituda naprezanja
σ a=σ 0=76,6N
mm2 (sl. 1, slučaj 5)
τ a=τ 0=26N
mm2 (sl. 1, slučaj 5)
Fiktivno naprezanje (Tabela 2)
σ 1a2 =σ a
2+3 τa2=76,62+3 ∙262=5867,5+3∙676=5867,5+2028=7895,5
N
mm2
σ 1a=89N
mm2
Dinamička izdržljivost materijala (Tabela 3: Č.50)
σW=240N
mm2
Faktor veličine
K=0,6 8 (sl. 7, linija b)
Faktor finoće
χ=0,93 (sl. 8, linija c )
Faktor α k možemo odrediti na osnovu odnosa
ρa= 5
25=0,2
tρ=5
5=1
Sa ovim vrednostima nalazimo α k
α k=1,7 (sl. 9)
Stepen osetljivosti materijala
ηk=0,45 (sl. 14, za Č.50)
Faktor koncentracije napona
βk=1+(αk−1 )∙ ηk=1+(1,7−1 ) ∙0,45=1+0,315=1,315
Dinamička izdržljivost
σ D=K ∙ χβk
∙ σW=0,68∙0,931,315
∙240=115N
mm2
Stepen sigurnosti
νD=σ Dσ1a
=11589
=1,29
Prema tabeli 1 ovaj stepen sigurnosti nije dovoljan za dinamičko naprezanje sa jakim udarima.
Pokušajmo povećati sigurnost vratila na taj način što prečnik d3 izjednačimo sa prečnikom d2.d3=d2= 60 mm
Veći otporni momenti
W3= 21600 mm3
Wo3= 43200 mm3
Daju manja naprezanja
σ 0=M fIII
W 3
=95850021600
=44,4Nmm2 =σa
τ 0=M t
W o3
=65000043200
=15Nmm2=τa
Fiktivno naprezanje takođe postaje manje
σ 1a2 =σ a
2+3 τa2=44,42+3 ∙152=1971,4+3 ∙225=1971,4+675=2646,4
N
mm2
σ 1a=51 ,4N
mm2
Faktor veličine mašinskog elementa postaje manji
K=0,6 5 (sl. 7, linija b)
Faktor finoće ostaje nepromenjen
χ=0,93 (sl. 8, linija c )
Faktor koncentracije napona postaje manji
βk=1 (Tabela 5)
Jer je d3=d2= 60mm , a klin ne prolazi kroz presek III.
Dinamička izdržljivost materijala se ne menja (Tabela 3: Č.50)
σW=240N
mm2
Dinamička izdržljivost mačinskog elementa postaje veća
σ D=K ∙ χβk
∙ σW=0,65∙0,931
∙240=145N
mm2
Stepen sigurnosti
νD=σ Dσ1a
= 14551,4
=2,84
Prema tabeli 1 ovaj stepen sigurnosti dovoljan je za dinamičko naprezanje sa vrlo jakim udarima.
Presek IV
Gornja granica naprezanja
σ 0=M fIV
W 2
=124500021600
=57,7Nmm2
τ 0=M t
W o2
=65000043200
=15Nmm2
Amplituda naprezanja
σ a=σ 0=57,7N
mm2 (sl. 1, slučaj 5)
τ a=τ 0=15N
mm2 (sl. 1, slučaj 5)
Fiktivno naprezanje (Tabela 2)
σ 1a2 =σ a
2+3 τa2=57,72+3 ∙152=3329,3+3 ∙225=3329,3+675=4004,3
N
mm2
σ 1a=63,3N
mm2
Dinamička izdržljivost materijala (Tabela 3: Č.50)
σW=240N
mm2
Faktor veličine
K=0,6 6 (sl. 7, linija b)
Faktor finoće
χ=0,93 (sl. 8, linija c )
Da bi odredili α k moramo najpre izračunati odnose
ρa= 5
30=0,167
tρ=5
5=1
Sa ovim vrednostima nalazimo α k
α k=1,7 (sl. 9)
Stepen osetljivosti materijala
ηk=0,45 (sl. 14, za Č.50)
Faktor koncentracije napona (Tabela 5)
βk=1+(αk−1 )∙ ηk=1+(1,7−1 ) ∙0,45=1+0,315=1,315
Dinamička izdržljivost
σ D=K ∙ χβk
∙ σW=0,66∙0,931,315
∙240=112N
mm2
Stepen sigurnosti
νD=11263,3
=1,77
Prema tabeli 1 ovaj stepen sigurnosti dovoljan je za dinamičko naprezanje sa srednjim udarima.
Veći stepen sigurnosti mogli bi dobiti – kao što smo u ranijim primerima videli – povećanjem prečnika u opasnom preseku, ili korišćenjem kvalitetnijeg materijala.