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8/11/2019 Primeras Clases Estadistica II.docx

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Distribucin Muestral de la Media

La media y la varianza de medias muestrales

En esta parte del curso de estadstica se trabajara con muestras con tamao igual a n

observaciones de una poblacin con media y varianza 2. Antes de analizada la muestra

presentara incertidumbre sobre los resultados obtenidos referentes al parmetro analizado. Estaincertidumbre se debe a que cada una de las observaciones de la muestra es una variable

aleatoria con media y varianza 2. Nuestro principal objetivo es analizar la distribucin muestral

de la media muestral . Para lograr nuestro objetivo primeramente debemos determinar la media y la varianza de esta distribucin. La respectiva desviacin estndar se conoce comoError Estndar de .

Poblacin Finita Poblacin InfinitaMuestreo con reemplazo Muestreo sin reemplazo

Cuadro 1

= Media de la distribucin muestral de = Media de la poblacin.

= Varianza de la distribucin muestral.= Varianza de la poblacin.El caso para muestras grandes

Para aplicar este tipo de caso referente a la forma de la distribucin muestral de la media muestral,

se requiere que se cumpla alguna de estas tres condiciones:

La poblacin posee una distribucin normal con varianza conocida.

La poblacin posee una distribucin normal con varianza desconocida y tamao de la

muestra igual o superior a 30 observaciones (tambin identificado como muestra grande").

La poblacin posee una distribucin desconocida (o no normal), su varianza es conocida o

desconocida y el tamao de la muestra es grande.

Entonces, la distribucin muestral de la media muestral es normal con media y varianza ,los cuales se obtienen segn los casos ilustrados en el Cuadro 1.Como consecuencia a lo anteriormente afirmado, se puede concluir que la variable aleatoria


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Est distribuida normalmente con media 0 y varianza 1. Adems, en los casos en que la varianza

sea desconocida y n 30, reemplazamos la desviacin poblacional por la desviacin muestral s.

Ejemplos:

Supongamos que el incremento porcentual de los salarios de los funcionarios de todas las PIMES

en una ciudad se distribuyen normalmente con una media de 12,2% y desviacin estndar de

3,6%. Si se toma una muestra aleatoria de 9 observaciones de esta poblacin segn los

incrementos porcentuales de salario, Cul es la probabilidad de que la media muestral sea mayor

del 10%?

Solucin:

= 12,2 y n = 9. Nos piden calcular P( . Como se desconoce el tamao de lapoblacin, se supondr que la misma es infinita. Entonces, segn lo mostrado en el Cuadro 1, la

media y el error estndar de la distribucin muestral de

son:

y Por ende, la probabilidad requerida es:

P( = P P Como la poblacin posee una distribucin normal y la varianza poblacional es conocida, entonces,

de acuerdo a lo mencionado en la introduccin del tema, la distribucin muestral de la media

muestral es normal o, lo que es equivalente, la variable Z es normal estndar. Por lo tanto,teniendo es la funcin de distribucin normal estndar, entonces, de la tabla normal, tenemosque:

P ( = = 1 = 1 Se concluye, que la probabilidad de que la media muestral sea mayor del 10% es de96,64%.

Un fabricante declara que la duracin de las llantas que l fabrica sigue una distribucin normal

con una media de 36.000 kilmetros y una desviacin estndar de 4.000 kilmetros. Para una

muestra aleatoria de diecisis llantas, se obtuvo una duracin media 34.500 kilmetros. Si laafirmacin del fabricante es correcta, Cul es la probabilidad de obtener una media muestral tan

pequea como sta o menor?


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Solucin:

Tenemos que = 36.000, y n = 16. Se desea determinar P( ). Como sedesconoce el tamao de la poblacin, supondremos que esta es infinita. Entonces, segn lo

plasmado en el Cuadro 1, la media y el error estndar de la distribucin muestral de la son: y Por tanto, la probabilidad requerida es:

Como la poblacin es normal y la varianza poblacional es conocida y de acuerdo a lo explicado al

inicio del captulo, la distribucin muestral de la media muestral es normal o, lo que es equivalente,

la variable Z tiene distribucin normal estndar. Por lo tanto , teniendo en cuenta que es lafuncin de distribucin normal estndar, entonces, de la tabla normal del apndice, tenemos queP ( = = = Se concluye, que la probabilidad de que la media muestral sea menor o igual a 34.500 kilmetros

es de6,68%.

El caso para muestras pequeas

Cuando la poblacin de donde se extrae la muestra es normal con varianza desconocida y quedicha muestra se considere como pequea (menor a 30 observaciones), entonces, la distribucin

muestral de la media muestral no es la normal. En este tipo de casos, la distribucin continua

conocida como Distribucin t de Student es la distribucin que rige a media muestral.

La Distribucin t de Student

Definida por el matemtico William Sealy Gosset, como la distribucin de la variable:

Cuando las muestras se extraen de una poblacin que est distribuida normalmente y nos permite

elaborar inferencias relacionadas con las medias poblacionales cuando se desconoce la desviacin

tpica de la poblacin. La distribucin posee forma de campana (como la distribucin normal) con

media 0, pero con desviacin estndar mayor que 1, lo cual hace que la campana que forma la

distribucin sea menos aguda en el centro y ms alta en las colas que la distribucin normal.


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Hay una distribucin t diferente para cada valor de n 1 (llamado Grado de Libertad).

La distribucin t se aproxima a la distribucin normal a medida que aumentan los grados de

libertad. Para grados infinitos de libertad, las dos distribuciones de probabilidad son idnticas.

Distribucin muestral de la media muestral para muestras pequeas

Si se extrae una muestra de una poblacin con distribucin normal con varianza desconocida y con

n < 30, la distribucin muestral de ser una distribucin t de Student con n 1 grados de libertad.Esto conlleva a que la variable aleatoria tiene distribucin t con n 1 grados delibertad. Aqu, y se calcula de acuerdo a lo mostrado en el Cuadro 1.

Normal Distribution

-5 -3 -1 1 3 5

x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

densit

y

Student's t Distribution

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

density

D. F.

10

7

3

1

Student's t Distribution

-9 -6 -3 0 3 6 9

x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

density

Grados de Libertad


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Ejemplo

Suponga que un Auxiliar de Calidad extrae una muestra de 16 bolsas de una lnea de empaque de

arroz, de una poblacin que sigue una distribucin normal con media de 20 lb. Si la desviacin

estndar muestral es 4, encuentre la probabilidad de que la media muestral sea estrictamente

mayor que 21,753 lb.

Solucin:Tenemos que = 20, s = 4 y n = 16. Debido a que la poblacin normal es normal con

varianza desconocida y a que n < 30, entonces, podemos aplicar la distribucin muestral para

muestras pequeas, es decir la distribucin muestral ser la t de Estudent con n 1 = 15 grados de

libertad. Teniendo en cuenta la informacin del Cuadro 1, encontramos que:

y Con esto, encontramos el valor de t15para 21,753 debido a que

Y teniendo en cuenta la tabla t de Student con 15 grados de libertad, entonces, la probabilidadpedida ser:

Ejemplo

Usted es el lder de I+D de una marca de automviles, y en el desarrollo de una nueva marca de

vehculo desea realizar anlisis referentes al recorrido en kilmetros por litro de gasolina de este

nuevo auto, se extrae una muestra aleatoria de 6 autos del primer lote de produccin y se mide la

cantidad de kilmetros que recorre por litro:

18,6 18,4 19,2 20,8 19,4 20,5

Calcule la probabilidad de que el consumo de gasolina promedio muestral sea menor que 17,6

kilmetros por litro, tomando en cuenta que con un anlisis anterior ya se determin que la

distribucin que sigue la poblacin es normal con media 17.

Solucin: Tenemos que = 17 y que la muestra escogida se de tamao n = 6. La media muestral

es = 19,4833 y, con esto, la varianza de esta muestra es:

Por tanto la desviacin estndar muestral es . Debido a que la poblacines normal con varianza desconocida y a que n < 30, entonces, la distribucin muestral de

la media muestral es la t de Student con n1 grados de libertad. Y a partir del Cuadro 1,

tenemos que:


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y Con estos valores, el valor de para 17,6 es:

Y con ayuda de la tabla t de Student con 5 grados de libertad, entonces, la probabilidad perdidaser:

Teorema central del lmite: nos dice este teorema que si se toman una serie de observaciones X 1,

X2,, Xn que conforman una muestra aleatoria de tamao n, tomada de una poblacin con media

y varianza

. Entonces, si n es lo suficientemente grande

,

tiene una distribucin

normal aproximada con media y varianza Ejemplo

Un operador de una caldera solo puede escoger entre 6 valores posibles de temperatura para una

parte del proceso, presentndose as que la temperatura sea una variable aleatoria con distribucin

de probabilidad uniforme continua

, -Encuntrese la distribucin de la media muestral de una muestra de tamao n = 60.

Solucin:

La media y la varianza de X son , respectivamente. El teorema centraldel lmite indica que la distribucin de es aproximadamente normal con media yvarianza


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Ejercicios

1) Una maquina empacadora de sal se ajusta para que la cantidad de productos que empaca

promedie 240 gr con una desviacin estndar de 15 gr. La mquina se verifica

peridicamente tomando una muestra de 40 bolsas de sal y se calcula el contenido

promedio. Si la media de las 40 bolsas de sal es un valor dentro del intervalo

, se

piensaque la maquina opera satisfactoriamente; de otra forma, se ajusta. Durante

un turno de trabajo se extrae una muestra de 40 bolsas de sal, y el promedio muestral

estuvo en 236 gr, ante este resultado el Coordinador de Produccin del turno concluye que

la maquina no necesita ajuste. Fue razonable esta decisin?

2) Un curso de estadstica tiene 40 estudiantes. Con base en los aos de experiencias, el

profesor sabe que el tiempo necesario para calificar un examen cualquiera al azar, es una

variable aleatoria con media de 6 minutos y desviacin estndar de 6 minutos.

a) Si los tiempos para calificar son independientes y el profesor comienza a las 2:50 PM.,

hacindolo en forma continua, cul es la probabilidad de que termine de calificar

antes del inicio de las noticias a las 7:00 PM?

b) Si la seccin deportiva empieza a las 7:10 PM, Cul es la probabilidad de que se

pierda parte de esa seccin si espera hasta que termine de calificar los exmenes para

encender el televisor?

3) La duracin de cierto tipo de batera est normalmente distribuida con media de 8 horas y

desviacin estndar de 1 hora. Si hay cuatro bateras en una caja, determine el valor para

el tiempo promedio de duracin de las cuatro bateras, para que se d una probabilidad del

5% de que el tiempo promedio de duracin de estas cuatro bateras exceda el tiempo

promedio de duracin de 8 horas.

4) Suponga que el tiempo (en horas) empleado por el gerente de una empresa para elaborar

un proyecto es una variable aleatoria X, que tiene una distribucin gamma con parmetro Debido a que es grande, se puede comprobar que tieneaproximadamente una distribucin normal. Utilcese este hecho para calcular la

probabilidad de que un gerente seleccionado al azar demore mximo 125 horas en la

elaboracin del proyecto.


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Ejemplo

Se desea estudiar una muestra de 20 trabajadores para saber la proporcin de ellas que tiene ms

de 20 aos trabajando en la compaa. Sabiendo que la proporcin en la poblacin es del 40%,

Cul es la probabilidad de que la proporcin en la muestra sea menor del 50%?

Solucin

Ejercicios

1) El 5% de todos los tornillos fabricados por cierta empresa estn defectuosos. Suponga que

de 1500 tornillos recin fabricados se toma una muestra aleatoria de 50 y que representael porcentaje de defectuosos:

a) Describa la distribucin muestral de y encuentre y .b) Encuentre.c) Calcule d) Determine

2) Una entidad bancaria est considerando una nueva emisin de bonos convertibles. Sus

directores saben que la oferta resultara atractiva para el 20% de los accionistas actuales y

se toma una muestra aleatoria de 130 accionistas.

a) Cul es la probabilidad de que esta proporcin muestral sea superior a 0,15?

b) Cul es la probabilidad de que esta proporcin se halle entre 0,18 y 0,22?


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3) Una empresa quiere estimar la proporcin de posibles compradores de un servicio de

telefona mvil que ven las transmisiones de los partidos de futbol del campeonato local. Al

respecto, se toma una muestra de 120 individuos que se identificaron como posibles

compradores del servicio. Supongamos que la proporcin de posibles compradores en la

poblacin que ven estas transmisiones es 0,25. Determine, entonces, el valor para quea) 0,10 sea la probabilidad de que la proporcin muestral exceda a la proporcin

poblacional.

b) 0,05 se la probabilidad de que la proporcin muestral sea menor o igual a la proporcin

poblacional.

Distribucin Muestral de la Diferencia de Dos Proporciones

En muchas situaciones prcticas el analista estadstico necesita hacer inferencias sobre la

diferencia entre dos proporciones poblacionales.

Sea la proporcin de xitos observada en una muestra aleatoria de tamao , procedente deuna poblacin con proporcin de xitos; y sea, tambin la proporcin de xitos observada enuna muestra aleatoria de tamao, procedente de una poblacin con proporcin de xitos. Silos tamaos muestrales son grandes, entonces, la distribucin muestral de es la normalcon media y varianza Lo anteriormente explicado implica que la variable tiene distribucinnormal estndar, adems, esta aproximacin es vlida si se cumple alguna de las dos condiciones

siguientes:

Ejemplo

Se est analizando la proporcin de productos que salen con un pequeo defecto de presentacin

de dos mquinas empacadoras distintas. Se cree que el 12% de productos generados por la

maquina # 1 presenta este defecto, mientras que el 10% de productos generados por la maquina #

2 presenta el defecto. Si se extraen dos muestras aleatorias, una de 150 unidades de la maquina #1 y otra de 100 unidades de la maquina # 2. Determine la probabilidad de que el porcentaje de

defectuosos en la maquina # 1 sea mayor del 3% con respecto al de la maquina # 2.


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Distribucin Muestral de Diferencia de Medias

Datos Pareados (Muestras Dependientes)

Se analiza el efecto de algn factor en el valor de la media muestral de una poblacin antes y

despus del cambio en el factor, inclusive puede darse tambin en una misma poblacin a la cual

una parte de la misma fue sometida a ese cambio y la otra parte no, con el fin de medir el efecto dedicho cambio en la media muestral.

Supongamos que disponemos de una muestra aleatoria de datos pareados procedentes de

distribuciones con medias . Sean, as, y la media y la desviacin estndar muestral paralas Si se asume que la distribucin de las diferencias es normal(cabe destacar que esto podra ser cierto si las variables X y Y siguen una distribucin normal),

entonces, la distribucin muestral del es la t de Student con grados de libertad.Lo anterior implica que la variable aleatoria tiene una distribucin t con grados delibertad. Aqu,

y varianza

se calculan como se muestra en la siguiente tabla

El objetivo primordial es determinar la distribucin de probabilidad de la media de las diferencias

muestrales pareadas: .

Teorema: Suponga que se dispone de una muestra aleatoria de datos pareados procedentes dedistribuciones con media Sean, as la media y la desviacin estndar muestral paralas diferencias Si se conoce que la distribucin de las diferencias es normal,entonces, la distribucin muestral del es la t de Student con grados de libertad.Este teorema implica que la variable aleatoria tiene distribucin t con grados delibertad. Dnde:

Estadstico Media Varianza

Media Varianza


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Ejemplos:

La tabla de abajo recoge los datos de consumo de gasolina correspondiente a una muestra

aleatoria de 8 automviles norteamericanos de dos modelos diferentes. Se formaron pares con las

dos muestras y cada elemento de un determinado par fue conducido por la misma ruta y por el

mismo piloto:

19,4 18,8 20,6 17,6 19,2 20,9 18,3 20,4 19,6 17,5 18,4 17,5 18,0 20,0 18,8 19,2a) Determine la media y la desviacin estndar muestral de las diferencias en el consumo de

gasolina.

b) Suponiendo que la distribucin de las diferencias poblacionales es normal con media de

-0,807, encuentre la probabilidad de que el consumo promedio de gasolina del auto A sea

mayor que el del auto B.

Solucin:

a) En la siguiente tabla, se incluyen las diferencias entre los datos de la tabla anterior.Estas diferencias forman una muestra aleatoria procedente de una poblacin cuya media

es , es decir, la diferencia entre las medias poblacionales entre los dos modelos deautos.

19,4 18,8 20,6 17,6 19,2 20,9 18,3 20,4 19,6 17,5 18,4 17,5 18,0 20,0 18,8 19,2 -0,2 1,3 2,2 0,1 1,2 0,9 -0,5 1,2La media y la varianza muestral de las diferencias en el consumo de gasolina pueden calcularsesegn la informacin recogida en la tabla anterior. As, para la media el resultado es:

Y para la varianza:

Por lo que la desviacin muestral observada es:

b) Tenemos que Sean las variables que representan al consumo

promedio de gasolina de los autos A y B, respectivamente. Nos piden calcular o, lo que es lo mismo, . Hagamos Dnde:


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Entonces tomando en cuenta el teorema planteado al inicio del tema y teniendo en cuenta

la tabla t de Student (con grados de libertad), encontramos que:

Este ltimo resultado (0,019) se obtuvo con ayuda de la funcin de Excel llamada

=DISTR.T.CD(x; grados de libertad) la cual corresponden al clculo del rea a la derecha

de una variable que sigue la distribucin t de Student, en donde x representa el valor que

toma dicha variable (en este caso 2,528).

Por consiguiente, la probabilidad de que el consumo promedio de gasolina del auto A sea

mayor que el del auto B es aproximadamente de 0,019.

Muestras Independientes

Ahora se pasa a considerar el estudio de dos poblaciones completamente diferentes entre ellas,

para estudiar el comportamiento probabilstico de la distribucin muestral de se tienen encuenta los siguientes 3 casos:

Primer caso: varianzas poblacionales conocidas o desconocidas y muestras grandes

Sean las medias de muestras aleatorias independientes de tamaos depoblaciones con medias y varianzas , respectivamente. Supongamos que se cumplealguna de las siguientes condiciones:

a) Ambas poblaciones son normales y ambas varianzas poblacionales sonconocidas;

b) Ambas poblaciones son desconocidas o no normales, ambas varianzas poblaciones son conocidas o desconocidas y Entonces, la distribucin muestral de la diferencia entre dos medias muestrales estar distribuida

normalmente y tendr una media igual a y una varianzas .Cabe destacar que con 30 muestras de cada poblacin, en general, son suficientes para realizar

esta aproximacin.


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Ejemplos

1) Para comparar los pesos promedios de dos tipos de neumticos, que corresponden a

dos empresas A y B que fabrican neumticos, se usara una muestra aleatoria de 20

neumticos de la empresa A y otra muestra de 25 neumticos de la empresa B. Se

sabe que, los neumticos tanto de la empresa A como de la empresa B siguen una

distribucin normal (por tanto la diferencia en los pesos promedios de esas dospoblaciones de neumticos siguen aproximadamente una distribucin normal). En

concreto, el promedio de pesos de los neumticos de la empresa A es de 9,3 kg y su

desviacin estndar es de 1,31 kg, mientras que el promedio de los neumticos de la

empresa B es de 7,9 kg y su desviacin estndar es de 1,13 kg. Encuentre la

probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 neumticos de la empresa A

sea al menos 1,86 kg ms grande que el de los 25 neumticos de la empresa B.

Solucin

Supongamos que representa el promedio de los pesos de los 20 neumticos de laempresa A y

representa el promedio de los pesos de los 25 neumticos de la empresa

B. Nos piden calcular . Como las dos poblaciones son normales convarianzas conocidas, entonces tenemos: La distribucin muestral de es aproximadamente normal. La media de la distribucin muestral de es: La varianza de la distribucin muestral de es:

Entonces para determinar

, encontramos el valor Z para una

diferencia de 1,86 kg. O sea,

En consecuencia,

.

2) Retomando el ejemplo anterior, suponga que se tomaron ahora una muestra de 35

neumticos de un modelo de auto ms grande en la empresa A y 39 neumticostambin de un modelo de auto ms grande en la empresa B. Para esta situacin no se

conoce la distribucin de probabilidad de los pesos de los neumticos para ambas

empresas, pero se sabe que manejan un mismo peso promedio. En concreto, el

promedio de pesos de los 35 neumticos de la empresa A es de 12,2 kg y su

desviacin estndar es de 2,31 kg, mientras que el promedio de los 39 neumticos de

la empresa B es de 10,0 kg y su desviacin estndar es de 3,13 kg. Encuentre la

probabilidad de que el promedio de los pesos de la muestra de neumticos de la


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empresa A sea mayor que el de la empresa B en por lo menos la diferencia encontrada

con los datos actuales.

Solucin

Supongamos que

representa el promedio de los pesos de los 35 neumticos de la

empresa A y representa el promedio de los pesos de los 39 neumticos de la empresaB. Nos piden calcular . Aunque desconozcamos tanto ladistribucin de probabilidad de las dos poblaciones de neumticos como sus varianzas

poblacionales, sabemos que ambos tamaos de muestra son mayores que 30, por tanto

tenemos:

La distribucin muestral de es aproximadamente normal. La media de la distribucin muestral de es: La varianza de la distribucin muestral de es:

El no conocer las varianzas poblacionales no se convierte en problema para esta situacin,dado que las varianzas muestrales al ser el tamao de muestra mayor que 30, pueden

estimar con un buen nivel de certeza con las varianzas poblacionales, esta situacin aplica

siempre y cuando los tamaos de muestras sean mayores o iguales a 30

Entonces para determinar , encontramos el valor Z para una diferenciade 2,2 kg. O sea,

En consecuencia,

.


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Segundo caso: varianzas poblacionales desconocidas, iguales y muestras pequeas

Sean las medias de muestras aleatorias independientes de tamaos depoblaciones normales con medias y varianzas las cuales son iguales y desconocidas,respectivamente.

Entonces, la distribucin muestral de la diferencia entre dos medias muestrales seguir unadistribucin con y tendr una media igual a yuna varianza

.

Donde ser conocida como la varianza muestral combinada y su clculo est dado por:

Ejemplo:

1) De un proceso de produccin de atn enlatado, se extraen dos muestras de 15

unidades cada una de dos mquinas enlatadoras. Si se conoce con antelacin que el

peso promedio de las latas de la enlatadora A sigue una distribucin normal con media

de 353 gramos, que el peso promedio de las latas de la enlatadora B sigue una

distribucin normal con media de 349 gramos y que las varianzas del peso de las latas

en ambas maquinas enlatadoras son iguales, pero desconocidas. Determine la

probabilidad de que el peso promedio de la muestras extraidas de la maquina

enlatadora A supere en ms de 5 gramos al peso promedio de la muestra extraida de

la maquina enlatadora B, si la desviacin estndar muestral de la muestra de la

maquina A es de 1,8 gramos y en la maquina B es de 2,2 gramos.

Solucin

Expresado en notacin estadstica, la probabilidad que deseamos calcular es:

Como el problema analizado cumple los requisitos del segundo caso para muestras

independientes, dicha probabilidad de calculara de la siguiente manera:

(

)

Empezamos calculando la varianza muestral combinada:


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Por tanto la probabilidad solicitada es como sigue:

(

)

Para este valor de y con y con ayuda de una tabla con losvalores crticos de la distribucin

podemos hallar que aproximadamente el valor de la

probabilidad requerida es de 0,025 , apenas un 2,5%.

Tambin podemos aplicar la funcin de Excel: DISTR.T.CD(x;grados_de_libertad), la cual nos

permite calcular la probabilidad de que un proceso que sigue una distribucin con ngrados de libertad, tome un valor por encima de un valor x dado. Para este caso dicha funcin en

Excel arroja un valor de:

DISTR.T.CD(2,033;28) = 0,02581

Las funciones de Excel nos permiten un nivel de certeza ms adecuado en lo que a operaciones

con distribuciones de probabilidad se refiere, por tal motivo los ejemplos manejados en el libro se

resolvern con el uso de estas ecuaciones, especialmente en el uso de distribuciones de

probabilidad como la en las cuales el uso de las tablas limita mucho el rangode valores que se pueden calcular, en cambio las funciones de Excel carecen de estaslimitaciones.

Tercer caso: varianzas poblacionales desconocidas, diferentes y muestras pequeas

Sean las medias de muestras aleatorias independientes de tamaos depoblaciones normales con medias y varianzas las cuales son diferentes ydesconocidas, respectivamente.

Entonces, la distribucin muestral de la diferencia entre dos medias muestrales seguir una

distribucin con media igual a y una varianza .


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Donde los grados de libertad se calculan de la siguiente manera:

Ejemplo:

Retomando el ejercicio anterior, supongamos que en esta ocasin la varianzas poblacionales de

los pesos de las latas de atn para ambas maquinas A y B son diferentes y desconocidas.

Solucin

Expresado en notacin estadstica, la probabilidad que deseamos calcular es:

Como el problema analizado cumple los requisitos del segundo caso para muestras

independientes, dicha probabilidad de calculara de la siguiente manera:

(

)

(

)

En donde lo novedoso de este caso es el cambio en la forma del clculo de los grados de libertad:


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Por tanto la probabilidad de que la diferencia entre los dos pesos promedios de las dos mquinas

enlatadoras de atn sea mayor que 5 es:

El anterior resultado se obtuvo aprovechando la funcin de clculo en Excel asociado al clculo de

probabilidades de la distribucin t con cola a la derecha explicado en el ejercicio anterior:

DISTR.T.CD(1,36;27) = 0,0925

En conclusin la probabilidad de que el peso promedio de las latas de atn de la maquina

enlatadora A sea mayor en por lo menos 5 gramos en comparacin con el peso promedio de las

latas de atun enlatadas en la maquina B es del 9,25%.

DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA VARIANZA Y RAZON DE VARIANZA

Antes de hablar sobre la distribucin de la varianza muestral, iniciemos definiendo el termino

varianza muestral, como sigue:

Sea una muestra aleatoria de una poblacin. Entonces la cantidad recibe el nombrede Varianza Muestral. Y su raz cuadrada, , se denomina Desviacin Tpica Muestral, donde lamedia de su distribucin muestral es la verdadera varianza poblacional, es decir:

Si la variable de estudio sigue una distribucin normal, puede probarse que la variable aleatoria:

Sigue una distribucin conocida con el nombre de

Por tanto se concluye que, si s2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamao n de una

poblacin, distribuida normalmente con media y varianza 2, entonces, la distribucin muestral de es una distribucin X2con grados de libertad.


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La Distribucin X2

y sus Propiedades

Algunas propiedades de la distribucin X2(se lee ji-cuadrada o chi-cuadrada) son las siguientes:

La distribucin existe solo para los valores positivos de la variable, esto va en congruencia

con el hecho de que la varianza no puede ser negativa.

El nico parmetro del cual depende la distribucin X2

son los grados de libertad (loscuales se representan con la letra ), por tanto la forma de la distribucin nicamentedepende de los grados de libertad presente, generando un nmero infinito de

distribuciones X2.

La sumatoria de toda el rea bajo la curva de la distribucin X2

,incluyendo los ejes, es

igual a 1.

Las distribuciones X2

son sesgadas a la derecha, dado que poseen colas estrechas que se

extienden hacia ese lado, por tanto la distribucin no es simtrica.

La media y la varianza de la distribucin X2se calculan como sigue:

La distribucin X

2es muy comnmente utilizada en la estadstica aplicada, aunque existen tablas

que nos permiten calcular las reas asociadas a varias de las distribuciones X2posibles, pero no

ha todas, por tal motivo se enseara el uso no solo de las tablas correspondientes a las

distribuciones X2

ms utilizadas, sino a calcularla con la funcin de Excel relacionada a esta

distribucin, la cual no posee limitaciones en su clculo, calculando incluso reas no solo a la

derecha sino tambin a la derecha, mientras que las tablas usualmente calculan reas a la derecha

solamente.

En resumen si s2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamao n, entonces la distribucin

muestral de s2tiene como media

2y la varianza de la distribucin muestral de s

2dependen de la

distribucin de la poblacin, si dicha distribucin es normal, ser igual a , dicha funcin surgede: * +

Y como ya conocamos que , por tanto: * +

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