1PRIMENA SLINOSTI NA KRUG (ZLATNI PRESEK) Posmatrajmo krug K i taku P u ravni tog kruga. Neka su prave a i b dve seice datog kruga Kkoje prolaze kroz P. Oigledno je da imamo tri situacije: i)taka P je u krugu ii)taka P je na krugu iii)taka P je van kruga Razmotrimo jednu po jednu situaciju... i)taka P je u krugu abABAB11P Oznaimo sa 1 i A Apresene take prave a sa krunom linijom kkruga K, a sa 1BiBpresene take prave bsa krunom linijom k. Uoimo trougloveABPi 1 1AB P . abABAB11P Uoeni trouglovi su slini jer imaju po dva ista ugla:APB 1 1APB = jer su unakrsni ( uti uglovi na slici) a 1 1PAB PB A =su periferijski uglovi nad istim lukom ( crveni uglovi na slici). Iz slinosti ovih trouglova sledi proporcionalnost odgovarajuih stranica: 1 1 1 1: : AP BP B P A P AP A P BP B P = = www.matematiranje.com 2 ii) taka P je na krugu abP=A =B1 1AB Ovde se takeP , 1 1A iBpoklapaju.Oigledno je 1 10 AP A P BP B P = =jer je 1 10 A P B P = = . Dakle opet je 1 1AP A P BP B P = . iii) taka P je van kruga abPABAB11 Uvedimo ista obeezavanja kao iu prvoj situaciji : 1i A Asu presene take prave a sa krunom linijom kkruga K, a 1BiBpresene take prave bsa krunom linijom k. Uoimo trouglove1PAB i1PBA . abPABAB11 Jasno je da ova dva trougla imaju zajedniki ugao kod temena P ( crveni na slici) a uglovi obeleeni plavom bojom su jednaki kao periferijski uglovi nad istim lukom AB. www.matematiranje.com 3 Dakle, ova dva trougla su slina! Odgovarajue stranice su proporcionalne: 1 1 1 1: : AP BP B P A P AP A P BP B P = = . I trei put smo izvukli isti zakljuak: Ako je K dati krug i P data taka u ravni tog kruga, tada proizvod odseaka koje krug K odredjuje na bilo kojoj seici povuenoj iz take P , ima konstantnu vrednost. Najee se uvodi oznaka21p PA PA = a ovaj konstantan proizvod nazivamo potencijom take P u odnosu na krug K. Ako se taka P nalazi van kruga , zanimljivo je posmatrati situaciju kad iz take P postavimo tangentu na krug i seicu kruga: atAA1TP Ovde bi vailo: 21 1PT PT PA PA PT PA PA = = , odnosno reima bi rekli: Potencija take P u odnosu na krug K jednaka je kvadratu odgovarajue tangentne dui! Najzanimljivija stvar vezana za ovo je takozvani zlatni presek. Ako je neka du AB podeljena takom C tako da je vei odseak geometrijska sredina dui AB i manjeg odseka, to jest ako vai :: : AC AB BC AC AB BC AC = = tada kaemo da smo izvrili zlatni presek dui AB. A BC

Naravno, sada emo vam objasniti kako da nadjete konstrukcijski taku C koja deli du AB po zlatnom preseku. Predpostavljate da ima neke veze sa prethodnim izlaganjem, odnosno sa injenicom da jepotencija take P u odnosu na krug K jednaka kvadratu odgovarajue tangentne dui! www.matematiranje.com 4 Uzmemo proizvoljnu du AB i obeleimo recimo da jea AB = . U taki B podignemo normalu i na njoj nanesemo duinu a2, obeleimo tu taku sa S.Konstruiemo krug poluprenika a2 sa centrom u S. A BSka/2a Dalje spojimo SAidobijemo seicu kruga . Obeleimo te take preseka sa P i 1P . A BSkPP1a/2a/2a Uoimo rastojanje izmedju taaka A i P. Obeleimo recimo da jeAP p = . Ubodemo estar u taku A , uzmemo rastojanje do take P i to rastojanje spustimo dole na du AB. www.matematiranje.com 5 A BSkPP1ppa/2a/2a Obeleimo ovu taku sa C.To je taka koja deli du u zlatnom preseku! A BSkPP1C ppa/2a/2a-pap+aa Dokaz je jednostavan: ( posmatrajte sliku) Na osnovu osobina potencije imamo: 21AB AP AP = , odnosno 2a ( a) p p = + Odavde je: 22 22 22a ( a)a aa - aa(a ) : a (a ) :p pp pp pp p p p p= + = + = = = Zlatni presek www.matematiranje.com 6 U drugom razredu srednje kole ete nauiti da reavate kvadratnu jednainu, pa e vam sledea raunica izgledati jasnije, za sad zapamtite rezultat ove raunice: 22 22 2 221,22 2 21,21 21a ( a)a aa a 0 kvadratna jednaina po a, 1, ,4a24 5 5 1 5a2 2 2 21 5 1 5a a2 21 5a 1, 618033989 ,jer je1, 6180332p pp pp p a b p c pb b acap p p p p p ppp pp= + = + = = = = =| | + = = = = | |\ .| | | |+ = . = || ||\ . \ .+~ ~29891 5a 0, 618033988 ,jer je0, 6180339882p~ ~ Nas interesuje da je :a 1, 618033989 p ~ , odnosno:a :1, 618033989 p ~ ZAPAMTITE OVAJ BROJ! 1, 618033989 Najei zadatak koji daju profesori a vezan za zlatni presek je konstrukcija pravilnog desetougla ili petougla upisanog u krug zadatog poluprenika. Evo kako se konstruie desetougao: AOSrr/2r/2AOSrr/2r/2MPAOSrr/2r/2Mslika 1. slika 2.slika 3. Nacrtamo krug zadatog poluprenika r. Nadjemo sredinu poluprenika ,to jetaka S na slici 1. Iz take S kao centra konstruiemo krug poluprenika 2r i spojimo take A i S. Dobijamo taku M ( slika 2.) Ubodemo estar u A i prenesemo rastojanje AM na poluprenik AO. Dobili smo taku P.( slika 3.) Seate se, ovo je postupak traenja zlatnog preseka... 7 Dobijena duAPje ustvari duina stranice desetougla! ABCDEFGHIJOSPAOSPslika 4.slika 5. U otvor estara uzmemo rastojanje AP i prenosimo ga po krunoj liniji poevi od take A. (slika 4.) Spojimo te take i eto traenog desetougla upisanog u krug zadatog poluprenika. ( slika 5.) Ako profesor od vas trai da nacrtate pravilan petougao upisan u krug zadatog poluprenika, vi nacrtate najpre desetougao pa spojite svako drugo teme! ABDEC E sad da se vratimo na zlatni presek i da vam ispriamo nekoliko zanimljivosti Zlatni pravougaonik je pravougaonik ije se stranice nalaze u odnosu zlatnog preseka.a : b 1, 618033989 ~ www.matematiranje.com 8 Da bi konstruisali zlatni pravougaonik podjemo od kvadrata AFEB. M je sredina stranice AF. Ubodemo estar u taku M i spustimo rastojanje do preseka sa produetkom AF. Dobijamo taku D. Sad nije teko nai i etvrto teme C. Ako nastavimo sa konstrukcijom zlatnih pravougaonika, dobijamo: Uvek kad odstranimo kvadrat, ostaje zlatni pravougaonik. Uradimo sada sledee: ubodemo estar u F i opiemo etvrtinu kruga poluprenika FA ( duina stranice kvadrata), zatim ubodemo estar u N i opiemo etvrtinu kruga poluprenika NE , ubodemo estar u P i opiemo etvrtinu kruga poluprenika PJ...i tako dalje. Dobili smo takozvanu zlatnu spiralu. www.matematiranje.com 9 Antiki arhitekti su smatrali da gradjevine imaju izuzetan izgled ako su im dimenzije odredjene zlatnim presekom. ak se verovalo da gradjevine sa zlatnim presekom imaju magine moi. Poznati Partenon u Atini je gradjen po zlatnom preseku. Egipatske piramide imaju proporcije zlatnog preseka, zgrada ujedinjenih nacija... Zlatni presek se nalazi i udelima uvenih muziara: dela Baha, Mocartove sonate, Betovenova peta sinfonija, muzika ubertaNalazi se naslikama Leonarda Ipak, najzanimljivije je to da zlatni presek nalazimo i u prirodi: Ukoliko podelimo broj enki pela i mujaka u konici, dobijamo priblino 1,6. Izmerimo oveju duinu od vrha glave do pupka, pa to podelimo sa duinom od pupka do podaopet1,6. Seme suncokreta raste u suprotnim spiralama a medjusobni odnosi prenika rotacije su 1,6. Na kuici ( koljci) mekuca nautilusa takodje je odnos spiralnog prenika prema svakom sledeem 1,6. Kada se govori o zlatnom preseku , neizbeno se mora pomenuti iFibonaijev niz. Medjutim, kako se nizovi ue tek u treoj godini, mi emo pokuati da vam na jednom primeru objasnimo kakav je to Fibonaijev niz. Dobijemo na poetku godine jedan pad zeeva, koji svakog meseca izvede novi par a on postaje produktivan, to jest izvodi novi par mesec dana, kad odraste. Koliko emo parova zeeva imati za godinu dana? Mi smo vam nacrtali jedan dijagram da bi pojasnili stvari: www.matematiranje.com 10 mesec1. januar1. februar1. mart1. April1. maj1. jun1. jul1. avgust1. septembar1. oktobar1. novembar1. decembarparovibroj parova odraslihzeeva (O)broj parova zebebaeva ( B)OOBOB OOB O O BO B O O B OBOO O O O O OO O B B B B BOO O O OO OO O OOO O B BB B B B B B...........................................................................UKUPANBROJPAROVA ZEEVA1 0 11 122 1 33 2 55813213455891443581321345589813213455891442331. januarnaredne godine233 144 377 Parovi beba zeeva su obeleeni sa B, a kad porastu (mogu da daju novi par) sa O. Pogledajte kolonu sa Brojem parova odraslih zeeva. U njoj su brojevi 1,1,2,3,5,8,13,21,... 1123581321345589144233 To je Fibonaijev niz. Naravno on se nastavlja dalje... Vi se sada pitate zato je ovaj niz tako specijalan? 11 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89... Poevi od treeg lana, svaki sledei lan niza dobijamo tako to saberemo prethodna dva lana... 2=1+1 3=2+1 5=3+2 8=5+3 itd. Pa i nije neto ba mnogo specijalno, kaete vi sada...Ali... Prava stvar tek dolazi na videlo! Ako podelimo dva uzastopna lana niza poevi od 3 i 5 dobijamo: 51, 67381, 65131, 6258211, 61513341, 61921551, 61734891, 61855. itd~==~~~~ Da li vam je poznat ovaj broj? 1, 618033989je zlatni presek, a ovde je priblino svuda ba on! Zato je ovaj niz specijalan.