Univerzitet u NišuPrirodno-Matematički fakultet

SEMINARSKI RAD IZ FILOZOFIJE I ISTORIJE MATEMATIKE

TEMA: ZLATNI PRESEK

Seminarski rad

Sadržaj:

Uvod.................................................................................................................................3Primene zlatnog preseka...................................................................................................4Deljenje broja po zlatnom preseku...................................................................................7Podela duži po zlatnom preseku.......................................................................................8Konstrukcija pravougaonika po zlatnom preseku...........................................................10Odstupanja od zlatnog preseka.......................................................................................13Zlatni presek kao mera asimetrije...................................................................................14Zlatni presek primenjen na grčkom hramu.....................................................................14Zlatni presek u vertikalnoj podeli građevina..................................................................15Osnove građevina izvedene po zlatnom preseku............................................................16Fasade građevina izvedene po zlatnom preseku.............................................................16Primena zlatnog preseka na našim crkvenim građevinama............................................17Zaključak........................................................................................................................19Literatura........................................................................................................................20

2

Seminarski rad

Uvod:

Priroda je jedinstveno čudo. Sve što nas okružuje, kao i ono što je postojalo u najdavnijoj prošlosti, proisteklo je iz prvobitnog haosa prisutnog u trenucima nastanka Svemira pre 13,7 milijardi godina.U vremenu kraćem od milionitog dela sekunde po Velikoj eksploziji u kojoj je stvoren Svemir, došlo je do razdvajanja prirodnih sila i formiranja kvarkova i leptona - osnovnih ‘’opeka’’ materije. Već tada je na svemirsku scenu odlučno stupila harmonija. Ona je u borbi s haosom, koristeći njegovu nesputanu slobodu i energetsku moć, iznedrila brojne svetove. Otkrivajući ih, mi se čudimo i divimo načinu na koji je u njih ugrađen sklad i, još više, tome kako sve to uspešno objašnjava, pa čak i predviđa, ljudska misaona tvorevina – matematika, kraljica nauka.U krilu matematike nalazimo pojam zlatnog preseka.Zlatni presek se javlja kao proporcija rastućih oblika u prirodi i vekovima je privlačio pažnju matematičara i umetnika.Pitanje koje može da bude interesantno za nas jeste: zašto podela jedne linije na dva dela, tako da se manji deo odnosi prema većem kao veći prema celini, pokazuje više sklada od ostalih podela? Zašto brojne geometrijske figure koje proizilaze iz zlatnog preseka, kao što su pentagon, dekagon, dodekaedar, ikosaedar, izvesne spirale,itd., eksploatisane često u arhitekturi i dekorativnim umetnostima, pružaju više satisfakcije od ostalih? Pitanje je utoliko interesantnije što se već odavno zna da je princip zlatnog preseka duboko ukorenjen u osnovi prirodnih procesa, da se pojavljuje u mnogim oblicima organske prirode, kako biljnog tako i životinjskog sveta, i da se pokazuje kao princip organskog rasta. U ovom radu odgovorićemo na neka od ovih pitanja.

3

Seminarski rad

PRIMENE ZLATNOG PRESEKA

Osnovni zadatak teorije proporcija sadržan je u stvaranju vizuelnog rada i ravnoteže. Čovek je, da bi zadovoljio svoje potrebe izrađivao, od davnina, proizvode i predmete koji, osim funkcije i namene, moraju biti u određenoj razmeri, pre svega u odnosu na njega kao njihovog korisnika. Tako je telo čoveka, kao i njegovi delovi, postalo osnova za dimenzionisanje prostora, nameštaja i upotrebnih predmeta. Bitne proporcije uočene su na glavi čoveka,širina i visina i odnos pojedinih detalja glave i lica među sobom. Tako je sredina glave, po visini, određena horizontalnom linijom koja prolazi po sredini očiju, a slično je analizirano i sa ostalim detaljima. Zatim je niz umetnika utvrđivao koliko puta se glava čoveka sadrži u visini njegovog tela. K.Belanže je visinu tela podelio na osam delova (glava). Poliklet je podelio telo na sedam delova, Lisip na osam, istovetno i Mikelanđelo, a Vitruvije i Leonardo da Vinči na sedam. Kod starih Egipćana zabeležena je podela na devetnaest delova, čije su dužine odgovarale dužini srednjih prstiju. Proporcije širine tela postavio je Vitruvije pokazujući da se oko njega može opisati krug čiji se centar nalazi u pupku, pod uslovom da telo leži sa raširenim rukama i nogama. Leonardo je ovaj postupak izmenio na taj način što je ruke raširio u pravoj liniji, a noge skupio, tako da je kvadrat opisan oko tela imao presek dijagonala nešto iznad pubisa, znači niže od pupka. U mnogim slučajevima korišćene su, kao merne jedinice, naročito u graditeljstvu, stopa (fut) i lakat, mada je on bio vrlo nepouzdan: u Nemačkoj bilo je 136 vrsta lakata različitih dužina, dok su dužine stopa, u raznim zemljama, bile između 25 i 34 cm, u Engleskoj 30,5 cm , Japanu 30,3 cm, u Kini 31,8 cm. Znatno kasnije, Cajsung je (XIX vek) proporcije zasnivao na zlatnom preseku. Međutim, M.Borisavljević je, četrdesetih godina XX veka, kritikovao Cajsunga, Fehnera, Valerija i druge, koji su u zlatnom preseku gledali jedinu lepotu forme.Najzad je francuski arhitekta Korbizje uveo 1945. godine u teoriju i praksu sistem proporcija zasnovan na zlatnom preseku, primenjen na čoveku, kao i modularni sistem - modulor.H.Vesling je ukazao 1941. godine na neophodnost primene zakona u graditeljstvu, uz ograničenje, da je i najlepša proporcija samo jedno od sredstava u oblikovanju. Ovim je, sasvim sažeto, naznačeno da je čovek prihvaćen kao mera svih stvari i temelj proporcija svake umetnosti uopšte. Nema pouzdanih podataka da su egipatski graditelji i umetnici poznavali princip zlatnog preseka. Egipatski sistem proporcija zasnivao se na kvadratu i njegovim transformacijama u pravougaonike posredstvom dijagonala. Tako je dijagonala kvadrata postala duža strana novog pravougaonika (1 : ), njegova dijagonala

duža stranica novog pravougaonika (1: ) i tako redom, do pravougaonika čija je dijagonala , dobijenog udvostručavanjem osnovnog kvadrata čija je dijagonala .

4

Seminarski rad

Kvadrat je tako postao mera za površinu, a proporcionisanje je obavljano u kombinaciji sa sistemom dijagonala. Pored ovih geometrijskih likova Egipćani su koristili i " sveti trougao ", čije su stranice izražene brojevima 3,4 i 5. Veliki napredak načinili su stari Grci stremeći idealnom liku čoveka u umetnosti, pa su i mere hramova zasnivali na antropomorfnim proporcijama, na usklađivanju graditeljskih mera sa merama čovečjeg tela. Pitagorejci su, slično Egipćanima, otkrili postojanje nesamerljive veličine, na primeru kvadrata, tj. odnosu njegove stranice i dijagonale. Zlatni presek bio je osnova grčkih antropomorfnih proporcija u arhitekturi. Platon je pisao : " da se dve stvari na lep način sjedine bez nečeg trećeg. Između njih mora nastati veza koja ih sjedinjuje. To se može najbolje izvršiti proporcijom. Ako se od bilo koja tri broja, srednji odnosi prema najmanjem kao najveći prema srednjem, i obrnuto, najmanji prema srednjem kao srednji prema najvećem, onda će poslednje i prvo biti srednje, a srednje prvo i poslednje, sve je dakle, nužno isto, a budući da je isto čini jedno jedino ". Opis pristaje, kao što se uočava, pojmu zlatnog preseka. O zlatnom preseku govorio je i Platonov učenik Eudoksije, ali je prvu jasnu definiciju izneo Euklid (oko 300.god.pre nove ere) u svojim "Elementima " . Zlatni presek primenjen je na najlepšim grčkim hramovima, posebno dorskim, na celom gabaritu i detaljima. Nema podataka da su, znatno kasnije, poznavali proporcije zlatnog preseka Vitruvije i Alberti. Mnogi autori uočavali su te proporcije u prirodi, u biljnim i životinjskim oblicima, tako da su botaničari smatrali da je zlatni presek " osnovni niz rasporeda lišća ", dok su neki to zapažali na mnogim primerima u organskom svetu. Prvi astronom koji je ukazao na zlatni presek bio je Kepler i nazivao ga je " božanski rez". Tako je on delio dužinu po spoljnom i srednjem razmeru i to označavao "proporcionalnim deljenjem ", što se smatralo prikladnijim od zlatnog preseka koji su često nazivali nekom vrstom alhemije. Pojedini autori taj rez su nazivali i " proporcionalno nizanje " analogno aritmetičkom i geometrijskom nizu. Proporcionalno nizanje primenio je V.šen-Vildeneg na primeru ruke čoveka. Najveća, sačuvana, Keopsova piramida ( oko 3000 god.pre nove ere ) pokazuje prilično tačne odnose proporcionalnog nizanja i smatra se nekom vrstom kosmičkog planetarijuma. Njena tačno izračunata stranica prema zlatnom preseku samo je 6,3 cm veća od 230,364 m ili 440 lakata. Proporcije ove piramide iskazao je Kepler konstruišući pravougli trougao sa stranicama AC (major)=1000,AB/2 (minor)=618,BC=786,1 i ova veličina je srednja proporcionala majora i minora : BC= =786,1

5

Seminarski rad

Uglu CAD=51,83 odgovara sin(0,7861) što je približno π/4=0,7854. Uglu ACD=38,16 odgovara sin(0,618) i oba ugla odgovaraju uglovima piramide. Odnos π/4=0,7854 može poslužiti kao osnova za merenje kružne linije, 2rπ=4×440 lakata, odnosno r=280,25 lakata što skoro odgovara stvarnoj visini piramide od 280 lakata (148,208 m). Ako se obim osnove piramide 931,22 m (4×440 lakata) podeli dvostrukom visinom biće 931,22/(2×148,208)=3,1416 što odgovara broju π. Izraženo u laktovima (4×440)/(2×280)=3,1428 pa je razlika 3,1428 - 3,1416=0,0012. Kako su Egipćani računali π kao količnik 256/81=3,16 onda je to vrednost , pa se može zaključiti da su proporcije piramide bile sredine između zlatnog preseka i vrednosti . Kao što se uočava, jedinica mere, u pokazanom primeru, bila je lakat, ali se na drugim prostorima primenjivala i stopa, šaka i palac, kako navodi Vitruvije. Kako navodi B.Nestorović zlatni presek primenjuje se " retko u proporcijama celina, već u odnosima delova, jer ni dugi blokovi, ni visoki oblakoderi nisu u odnosima bliskim 8 : 5 (1,60), ali se ti odnosi mogu u njima sadržati ". Svaki oblik moguće je raščlaniti određenim proporcijama zasnovanim na zakonima geometrije. Cela arhitektura svodi se, u stvari na geometriju. Svako delo deluje, između ostalog, svojim oblikom u celini ili u delovima koji su u nekom merljivom odnosu prema glavnom delu ili jezgru kompozicije.Geometrijski oblici u obliku kocke ili poliedra čine osnovu trodimenzionanih kompozicija u graditeljstvu.

6

Seminarski rad

Zlatan presek, kao što je navedeno, javlja se u mnogim prirodnim oblicima, kao opšti zakon, na primer u kristalima, biljnim plodovima, cvetovima biljaka i drugim, tako što se njihovi delovi ili članovi odnose kao 1 : 0,618. N.Brunov je zastupao gledište da su klasične grčke građevine zasnovane na iracionalnim brojevima, posebno zlatnom preseku. Za teoriju primene zlatnog preseka u graditeljstvu značajni su radovi Zoltovskog, Hembidža i Mesela. Zoltovski je pored odnosa zlatnog preseka (0,618 : 0,382) uveo " funkciju zlatnog preseka " (0,528 : 0,472). Hembidž je smatrao da se ceo rast organskog sveta odvija prema zlatnom preseku. On od poznatih pravougaonika izdvaja one sa dijagonalama , , . Mesel je uveo pojam empirijskog određivanja proporcija posmatranjem arhitekture i vajarstva. Proveravajući vrednost zlatnog preseka Fehner je 1876. godine predočio posmatračima niz pravougaonika i pokazalo se da se najveći broj njih opredelio za pravougaonik konstruisan prema zlatnom preseku. Odnos njegovih stranica bio je 21 : 34 (0,6176).

DELJENJE BROJA PO ZLATNOM PRESEKU

U ovom postupku kvadratu nekog broja doda se kvadrat njegove polovine pa se zatim ovaji zbir korenuje. Od dobijenog rezultata oduzme se polovina broja koji se deli i ostatak daje major tog broja

Na primer

tako da je minor 1-0,618=0,382. Dalje je

.

PODELA DUŽI PO ZLATNOM PRESEKU

7

Seminarski rad

Euklid je izveo podelu duži tako da je površina pravougaonika sastavljena od te duži i jednog odsečka jednaka površini kvadrata drugog odsečka i dao je formulu

M=

Ako je AB=a i BC=a/2 biće AC= . Iz CH=BC

sledi da je

AH= AC – CH=

AH=

Za a=1 AH=M=

Prema Euklidu

(M + m)×m= M2 ili (M- major, m- minor)

što odgovara definiciji zlatnog preseka

Prema 11.stavu II knjige Euklidovih Elemenata konstrukcija zlatnog preseka je sledeća: Konstruiše se kvadrat ABCD i stranica AD se prepolovi tačkom E na jednake delove AE=DE. Produži se DA do Z i odmeri EZ=EB. Zatim se konstruiše kvadrat na AQ i produži HQ do tačke K. Na taj način duž AB podeljena je na odsečke AQ i QB prema zlatnom preseku.

8

Seminarski rad

Na sledećem crtežu prikazana je podela duži po zlatnom preseku pri čemu je potrebno konstruisati pravougli trougao čije su katete 1 i 1/2 odnosno AB=1 i BC=AB/2

Tada je AC= i AD= , jer je CD=BC= i tačka D pripada AC. Dalje je

AD=AM, odnosno AM= , a BM=1-0,618=0,382.

Usvojeno je da se izraz označava sa ∅ i da predstavlja merni broj koji

izražava aritmetičku podelu po zlatnom preseku. Dalje je

∅ ili ∅2 jer je 1,6182=2,618

Takođe je

/∅ jer je .

Često se zlatan presek definiše kao sistem ∅.

Obeležavanje zlatnog preseka iz prethodnog primera prikazano je na slikama :

9

Seminarski rad

Prema zlatnom preseku mogućno je neprekidno deljenje duži - neprekidna podela. Isto tako vrednost ∅=1,618 pogodna je za izračunavanje nove dužine jer je L=1,618 l=∅l

KONSTRUKCIJA PRAVOUGAONIKA PO ZLATNOM PRESEKU

Konstrukcija se izvodi tako što se odsečak M uzme za kraću stranicu novog pravougaonika (BCDE) i tada će stranice tog pravougaonika biti u odnosu (m+M) : M. Ako se hipotenuza AC pravouglog trougla ABC produži do tačke G,tako da je DG paralelno sa BC dobija se novi pravougaonik CDGF koji je sastavljen od dva kvadrata CDIH I FGIH ili pravougaonik M×2M. Pod uslovom da je M=1 biće odnos M : 2M=1 : 2.Tada je CG= . Znači da su u trouglu CDG stranice u odnosu 1 : 2 : ili 1 : 2 : 2,236. Kako je

AC=

MC=AC – AM=

CD=MC=0,618stranice pravougaonika BCDE su 1 i 0,618 , a njegova površina je 1×0,618=0,618.

Odnosi stranica su

10

Seminarski rad

Uopšte je .

Moguće je konstruisati pravougaonik po zlatnom preseku koristeći pravougli trougao ABC gde je AB=1/2 i BC=1.

11

Seminarski rad

Kako je ranije AC= onda je

BE=BA+AE=BA+AC= +AC= =1,618, a pravougaonik BCDE biće

BC×BE=1×1,618=1,618 a odnosi stranica

Ovde treba pomenuti da su Rimljani koristili za praktično proporcionisanje tzv. pompejski šestar. Često je u praksi korišćen pravougaonik :1 i za njega se može ustanoviti veza sa

zlatnim presekom koristeći aritmetičku sredinu ∅

Dati pravougaonik 1⋅ sastavljen je iz ∅ + 1/∅, tj.1,618+0,618 a kako je 1,618+0,618=2,236= onda je reč o pravougaoniku sastavljenom iz dva pravougaonika zlatnog preseka.

ODSTUPANJA OD ZLATNOG PRESEKA

12

Seminarski rad

Treba napomenuti da se u praksi odstupalo od zlatnog preseka tako što se umesto broja 1,618 koristio odnos 8 : 5=1,6, a to nije ni bilo suviše bitno, jer se i prilikom građenja odstupalo od projektnih mera iz različitih razloga. Ipak se odnos 5 : 8=0,625 bolje uklapao u niz 5,25,125,250,375,500,625...jer je uspostavljena veza sa decimalnim sistemom, na primer (5:8)*100=625, (5:8)*800=500,(5:8)*600=375,(5:8)*400=250,(5:8)*200=125,... Pomenute vrednosti odgovaraju Lame-ovom nizu 125,250,375,625...Odnos 5 : 8 pogodan je kao što se uočava iz sledećeg

i kao i i redom

gde su važni odnosi jer se u njima major i minor podudaraju sa članovima niza koji počinje sa brojem 125, važnim u građevinskoj praksi.Naknadno je dokazano da se broj 625 izražen kao 625 mm=125/2 cm poklapa sa laktom koji se koristio u Danskoj,Pruskoj i Rajnskoj oblasti prilikom izgradnje gotskih crkava. Broj 5 smatran je i kao prabroj u kojem su Pitagorejci videli kroz petougao simbol njihovog udruživanja. Da bi se ova teorijska razmatranja bolje razumela i uvideo njihov značaj ukazaće se na neke primere primene proporcije zlatnog preseka. B.Nestorović navodi da su neki teoretičari arhitekture smatrali optimalnim udaljenjem objekta sa gledišta najpovoljnije vidljivosti i vizuelne percepcije ako je odnos stranica objekta a : b=1 : 1,618 odnosno a : b=1 : ∅.

Prema M.Borisavljeviću, polje vida predstavlja elipsa upisana u pravougaonik konstruisan po zlatnom preseku.

13

Seminarski rad

ZLATNI PRESEK KAO MERA ASIMETRIJE

Takođe, pokazuje B.Nestorović da se asimetrična kompozicija može izvesti pomoću zlatnog preseka.

ZLATNI PRESEK PRIMENJEN NA GRČKOM HRAMU

Složeniji je primer tipičnog grčkog hrama (osnove i preseka) koji je konstruisan primenom zlatnog preseka.

14

Seminarski rad

ZLATNI PRESEK U VERTIKALNOJ PODELI GRAĐEVINA

Na vili Skazi primenjen je zlatni presek u vertikalnoj podeli prizemlja i sprata i u fasadi koja odgovara pravougaoniku zlatnog preseka.

Slično, vertikalno raščlanjivanje primenjeno je na crkvi Madona di Sanbiado u Montepulćanu. U prvoj podeli obavljeno je odvajanje kupolnog dela od osnovne mase. Zatim je izvršena podela kupolnog dela i prizemnog dela od sprata. Uočljiva je podela sprata sa naglaskom na timpanonu.

15

Seminarski rad

OSNOVE GRAĐEVINA IZVEDENE PO ZLATNOM PRESEKU

Osnova crkve u Il Džezu u Rimu čini pravougaonik konstruisan po zlatnom preseku sa neznatnim odstupanjem. Istovremeno je i centar kupole proporcionisan po istom principu.

Izvesna odstupanja mogu se protumačiti nepodudaranjem projekta sa izvedenim objektom ali je i u tom slučaju jasno da je korišćena podela po zlatnom preseku.

FASADE GRAĐEVINA IZVEDENE PO ZLATNOM PRESEKU

Fasada zgrade Zgrafito u Firenci odgovara pravougaoniku konstruisanom po zlatnom preseku, a ta je podela vidljiva u postavljanju ulaznog portala i odvajanju prizemnog dela zgrade i završnog sprata.

Interesantan primer je primena zlatnog preseka na slici Raspeće Peruđina, gde je središni otvor, sa lučnim završetkom u tzv.zlatnom pravougaoniku. Pri tom je i lučni elemenat tačno na podeli duži u odnosu M : m.

16

Seminarski rad

PRIMENA ZLATNOG PRESEKA NA NAŠIM CRKVENIM GRAĐEVINAMA

Na osnovi crkve manastira Banje kod Priboja može se uočiti da je u obliku pravougaonika 1 : 1,618.

Još jedan primer je na osnovi crkve manastira Psače, na kojoj je očevidna primena zlatnog preseka na glavnom prostoru izuzimajući oltarsku apsidu.

PSAČA

17

Seminarski rad

DRENČA I NOVA PAVLICA

Na ostacima temelja stare crkve u Trepči zlatni presek može se uočiti u unutrašnjem delu, unutar pilastera.

Kod bazilike u Caričinom gradu, južno od Akropolja, primenjen je zlatni presek na narteksu sa tremom. Njihova zajednička dužina dobija se obrtanjem dijagonale polovine kvadrata naosa.

AB=1 i EB=AB/2, pa je EC= .

EC=EF i AF=AE+EF= .

18

Seminarski rad

Zaključak:

Ograničen obim ovog rada nije dopustio brojniju analizu primene zlatnog preseka, ali je pokazano da se on primenjivao i da ga je moguće primeniti u mnogim slučajevima.Pokazuje se da jedan logički kriterijum, jednostavnost, odnosno logičko savršenstvo, postaje neosporni izvor estetskog zadovoljstva.Posmatran iz ove dinamičke perspektive, zlatni presek potvrđuje se kao najjednostavniji mogući odnos između delova i celine, i verovatno je to razlog što ga i genije prirode i ljudski genije odabiraju kao najsavršeniji, time i najlepši. Znači da zlatan presek, uz najšire matematičko i umetničko obrazovanje, može neizmerno da koristi svakom stvaraocu.

19

Seminarski rad

Literatura:

1. http://www.arhitektura.rs 2. http://milan.milanovic.org 3. http://milan.milanovic.org/math/srpski/zlatni/zlatni.html 4. http://sr.wikipedia.org

20