Estructuras Algebraicas

Teorema de Lagrange

Un Poco de Historia

• JOSEPH-LOUIS LAGRANGE: Nació el 25 de Enero de 1736 en Turín, Sardinia-Piedmont (Ahora Italia) y falleció el 10 de Abril de 1813 en París, Francia.

Un poco de Historia

• El teorema de Lagrange recibe este nombre debido a un resultado que J.-L. Lagrange publicó en un artículo de 1770/71 sobre el cálculo de raíces de polinomios.

• En aquella época no se había introducido aún el concepto de grupo (todavía no habían nacido ni Abel ni Galois y la definición moderna de grupo como la conocemos es de Cayley en 1854).

• Lagrange estudió un caso particular del teorema, cuando G es el grupo de las permutaciones.

DEFINICIÓN 1

• Una relación ~ en un conjunto S se llama relación de equivalencia si satisface:

• a) a ~ a (reflexividad).• b) a ~ b implica que b ~ a (simetría).• c) a ~ b, b ~ c implica que a ~ c

(transitividad). ∀ a, b, c S.∊

Profundizando…

EJEMPLO:Sea S el conjunto de los enteros y n > 1 un entero fijo. Se define a ~ b para a, b S si n | (a— b). Se verifica que esta es una relación de ∊equivalencia. Puesto que n|0 = a – a, se tiene que a ~ a. Debido a que n|(a—b) implica que n| (b—a)= - (a—b) se tiene que a ~ b implica que b ~ a . Finalmente, si a ~ b, b ~ c , entonces n| (a –b) y n| (b –c) ; por consiguiente n| ((a—b) + (b—c)), esto es n|(a—c). Por lo tanto a ~ c. Esta relación se llama congruencia modulo n.

Definición 1

• Ejemplo:• Sea S el conjunto de todos los artículos de una

tienda de abarrotes; se declara a ~ b, para a, b, Є S, si el precio de a es igual al de b. Evidentemente las reglas que definen una relación de equivalencia son válidas para ésta ~.

• Nótese que al ponderar esta “igualdad generalizada” en S se ignoran todas las propiedades de los elementos de S que no sean su precio.

• Así que a~b son iguales en lo que al atributo de precio se refiere.

Definición 2

• Si ~ es una relación de equivalencia en S, entonces se define [a], la clase de a mediante [a] = { b S| b ~ a).∊

• EJEMPLO:• En el ejemplo 4 se definió a ~ b si b= x-1 ax para

algún x G. Así [a] = {∊ x-1 ax |x G}. En este caso ∊[a] se denotara como cl(a) y se llama clase de conjugados de a en G. Si G es abeliano, entonces cl(a) consiste solamente de a. En realidad, si a Z(G), el ∊ centro de G, entonces cl(a) consta simplemente de a.

Teorema 2.4.1

• Si ~ es una relación de equivalencia en S, entonces S= [a], donde esta unión ⋃pasa sobre un elemento de cada clase y donde [a] ≠ [b] .

Demostración

• Puesto que a [a], se tiene que ∊ ⋃a S ∊ [a] =S. la demostración de la segunda afirmación es muy fácil . Se demuestra que si [a]≠[b] , entonces [a]∩[b]= {} o, de manera equivalente, si [a] ∩ [b] ≠ {} entonces [a]=[b].

• Supóngase, pues, que [a] ∩[b] ≠ {} ; sea c [a] ∩[b]. ∊Por la definición de clase c~a ya que c [a] y c ~ b ya que ∊c [b]. Por lo tanto, a ~c por la propiedad 2 de ~, y ∊entonces puesto que a~c y c~b, se tiene que a~b. de esta manera a [b]; si x ~a y a~b dan lugar a que x~b por ∊consiguiente x [b]. ∊

• Así que [a] [b]. El argumento es obviamente simétrico ⊂en a y b, de modo que [b] [a], de donde [a]=[b] y se ⊂prueba la afirmación hecha anteriormente.

Teorema 2.4.2(Teorema de Lagrange)

• Si G es un grupo finito y H es un subgrupo de G, entonces el orden de H divide al orden de G.

Demostración• Volvamos al ejemplo 3, donde se estableció que la relación a~b

si ab-1 H es una relación de equivalencia y que [a] = Ha= {ha|∊h H}.∊

• Sea k el numero de clases distintas y llámese Ha1 , … , Hak . Por el teorema 2.4.1, G= Ha1 Ha⋃ 2 ... Ha⋃ ⋃ k y se sabe que Haj ∩ Hai = {} si i≠ j. Se afirma que cualquier Hai tiene un numero de elementos igual a |H| = orden de H.

• Aplíquese H —> Hai . Se asegura que esta aplicación es inyectiva, ya que hai = h´ai , entonces por la cancelación en G se tendría h=h´; por consiguiente la aplicación es inyectiva. Por la misma definición de Hai , la aplicación es definitivamente suprayectiva.

• Por lo tanto Hai , tiene el mismo numero de elementos de |H|.

• Puesto que G= Ha1 Ha2 ... Hak y los Ha⋃ ⋃ ⋃ i tiene |H| elementos, se tiene que |G|= k|H|. Por consiguiente |H| divide a |G|.

Otras definiciones• Si G es finito, el numero de clases laterales izquierdas de

H en G, a saber |G|/ |H|, se llama índice de H en G y se escribe como iG (H).

• Clases Laterales• Sean G un grupo, H ≤ G y ≡ la relación de equivalencia.

Sea a un elemento cualquiera de G. Entonces, [a] = Ha := {xa | x H}. En particular, [1] = ∊H.

• Demostración. Sea z [a], entonces a ≡ z. Por ser ≡ una ∊relación simétrica tenemos que z ≡ a, y por eso, za−1 = x, con x H, luego z = xa Ha. Hemos probado que ∊ ∊[a] Ha. Sea z = xa un elemento de Ha, con x H, ∊ ∊entonces za−1 = x H, o sea z ≡ a, de donde a ≡ z, es decir, z [a].∊

Otras definiciones

• Definición : Sean G un grupo, H ≤ G y a ∊G. El conjunto Ha se llama la clase lateral derecha del elemento a módulo H .

• La proposición anterior muestra que la clase del elemento identidad 1 del grupo G coincide con el subgrupo H. Luego [1] y H tienen la misma cantidad de elementos.

•

Ejemplo:

Teorema 2.4.3

• SI G es un grupo de orden primo p, entonces G es cíclico.

• Demostración:• Sea a G, a∊ ≠ e. Entonces H =< a > el subgrupo cíclico

generado por a tiene orden un divisor de p. Luego hay dos

• posibilidades:• i) ○(H) = p, lo cual implica H = G y G es cíclico

generado por a.• ii) ○(H) = 1, y por lo tanto se tendría a = e, lo cual es

imposible.• Luego G es un grupo cíclico. LQQD.

Grupos Cíclicos

• Un grupo cíclico es un grupo que puede ser generado por un solo elemento; es decir, hay un elemento a del grupo G (llamado "generador" de G), tal que todo elemento de G puede ser expresado como una potencia de a.

Definición 3

• Si G es un grupo finito y a G, entonces el ∊orden de a, escrito ○(a), es el menor entero positivo m tal que am = e

• Demostración• Como a G supongamos que tiene orden ∊

m. Considérese el conjunto A={ e, a, a2 , … , a m-1 }; se afirma que A es un subgrupo de G ( puesto que am =e} y que los m elementos listados en A son distintos. Así que |A|=m = ○(a).

Teorema 2.4.4

• Si G es un grupo finito y a G, entonces ○(a) ∊es un divisor de ○(G).

• Demostración•Sea a G y consideremos el subgrupo cíclico ∊generado por a, H =< a > el cual consiste en los elementos a0 = e, a, a2, … , a n- 1 donde an = e.•Es claro entonces que n = ○(H) y además n = ○(a).De acuerdo al teorema de Lagrange, tendremos que ○(H)|○(G), luego ○(a)| ○(G).

Teorema 2.4.5

• Si G es un grupo finito y a G, entonces ∊ a○(G) = e.

• Demostración• Sabemos que a○(a) = e, y por el teorema 2.4.4• ○(G) = k ○(a) para algún k.• Luego • a○(G) = a○(a)*k

• =(a○(a) )k

• =(e)k • =e

Teorema 2.4.6

• Zn forma un grupo cíclico respecto a la adición :

• [a] + [b]= [a+b].

Definición: La Función ϕ de Euler

Dado n N, se define ϕ (n) como la cantidad de ∊números naturales menores o iguales que n que son primos relativos con el propio n.La función ϕ de Euler cumple las siguientes propiedades:1. Si (m, n) = 1, entonces ϕ(mn)= ϕ(m)ϕ(n). 2. ϕ(pk) = (p - 1)pk – 1

Demostración•Consideremos los numeros1,2,3,…, mn , y formemos la tabla

•Si (k, mn) = 1, entonces se debe tener (k, m) = (k, n) = 1. En cada fila hay ϕ(n) números primos con n. Observando que los números de una misma columna son congruentes entre si modulo n, deducimos que, si (k, n) = 1, entonces todos los números de la k-ésima columna son primos con n. •Consideremos una de estas columnas con (k, n) = 1: n, n + k, 2n + k, . . . (m 1)n + k

0, 1, 2,… k… (n-1)

n n+1, n+2,… n+k… 2n-1

(m-1)n (m-1)1, (m-1)2,… (m-1)k… mn-1

•Estos números pueden considerarse como los valores de la función lineal nx + k : (n; m) = 1, donde x recorre un sistema completo de restos modulo: m,x = 0, 1, 2,. . ., m 1•Entonces, cada columna de la forma anterior forma un sistema completo de restos modulo m, y, por tanto, contiene ϕ (m) números que son primos con m.•Es claro que ϕ(p) = p - 1 con p primo. Sea ahora n = pk, > 1. El sistema completo de restos módulo pk consta de pk-1

sistemas completos de restos modulo p, y en cada uno de ellos hay ϕ(p) números primos con p.

¡Recordar! Dos números enteros a, b

son primos relativos si mcd (a, b)=1.Por ejemplo, 3 y 16 son primos relativos,

pero 7 y 28 no.

Teorema 2.4.7

• Un forma un grupo abeliano, respecto al producto [a] [b]= [ab], de orden φ(n), donde φ(n) es la función φ de Euler.

• Recordar: Grupo es abeliano con respecto a la operación ○ si:

1. (A, ○) tiene una estructura algebraica de Grupo.2. (A, ○) tiene la Propiedad conmutativa

Teorema 2.4.8(de Euler)

• Si a es un entero primo en relación con n, entonces aφ(n) ≡ 1mod n.

• Demostración• Un forma un grupo de orden φ(n), así que

por el Teorema 2.4.5, g φ(n) = e g U∀ ∊ n .• Esto se traduce en [aφ(n) ] = [a]φ(n) = [1],

que a su vez se traduce en n| (aφ(n) - 1).• Esto dice precisamente que aφ(n) ≡ 1mod n

Corolario de Fermat• Si p es primo y p a entonces a ∤ p-1 ≡ 1 mod p

∀ entero a, a p ≡ a mod p . • Demostración

• Sea a un número coprimo con n, entonces: aφ(n) ≡ 1mod n• donde φ(n) es la función φ de Euler. Dado que para cada

primo p, φ(p) = p - 1, entonces obtenemos que:• ap-1 ≡ 1mod p

Para obtener la forma original, utilizamos una sencilla propiedad en aritmética modular que dice que si A, B son dos números enteros cualesquiera tales que A ≡ B (mod n), entonces para cualquier número natural C tenemos que AC ≡ BC (mod n).Multiplicando a en ambos lados de la relación de equivalencia obtenemos la forma original:

ap ≡ amod p

Problemas 2.4• 8. Toda clase lateral izquierda de H en G es una clase

lateral derecha en G. Demostración:

Notemos que si a G entonces, Ha es una clase lateral ∊derecha de H en G, entonces Ha = bH para b G de esto a ∊

Ha y a bH. Como esto es una relación de equivalencia ∊ ∊bH=Ha. De esto: Há = aH Ha·a-1 = a H a-1 Cancelativa H · e = a H a-1 Propiedad de Inverso H = a H a-1 Elemento neutro

9. En Z16, escríbanse cada una de las clases laterales del subgrupo H = {[0], [4], [8], [12],}. (Puesto que la operación en Zn es + , exprésense las clases laterales como [a] + H)( No es necesario distinguir entre clases laterales derechas e izquierdas, ya que Zn es abeliano respecto a +.)

• Demostración:Sea H = { [0], [4], [8], [12],} Z16 +H[0] + H = [0] , [4] , [8] , [12] [1] + H = [1] , [5] , [9] , [13] [2] + H = [2] , [6] , [10] , [14] [3] + H = [3] , [7] , [11] , [15] G = H ([1] + H) ([2] + H) ([3] + H) ⋃ ⋃ ⋃

13. Hallar los órdenes de todos los elementos de U18 ¿Es cíclico U18?

• Demostración :Los elementos de U18 son todos los primos relativos entonces

U18 = {[1], [5], [7], [11], [13], [17]}

El orden de estos son:• [1]1 = [1] entonces ○ ([1]) = 1• [5]1 = [5]; [5]2 = [25] = [7]; [5]3 = [125] = [17]; [5]4 = [625] = [13]; [5]5

= [3125] = [11]; [5]6 = [15625] = [1] entonces ○([5]) = 6• [7]1 = [7]; [7]2 = [49] = [13]; [7]3 = [343] = [1] entonces ○([7]) = 3• [11]1 = [11]; [11]2 = [121] = [13]; [11]3 = [1331] = [17]; [11]4 = [14641]

= [7]; [11]5 = [161,051] = [5]; [11]6 = [1,771,561] = [1] entonces ○([11]) = 6

• [13]1 = [13]; [13]2 = [169] = [7]; [13]3 = [2,197] = [1] entonces 0([13]) = 3

[17]1 = [17]; [17]2 = [289] = [1]; entonces ○([17]) = 2• ¨ Este grupo es cíclico ya que 0([5]) = 6 y 0([11]) = 6 entonces las

potencias de [5] y [11] generan todos los elementos U18

15. Si p es primo, demuéstrese que las únicas soluciones de x² ≡ 1(p) son x ≡ 1(p) o bien x ≡ -1(p)

• Demostración • Sea x² ≡ 1 mod p Hipótesis • P | x² - 1 por Definición de congruencia• P | (x+1)(x-1) por Diferencia de cuadrados• P | (x+1) o P | (x-1) por Propiedad de divide• x ≡ -1 mod p ó x ≡ 1 mod p esto por Definición

de congruencia.

22. Verifique el teorema de Euler para n=14 y a=3 , a= 5

• Demostración:• 3ϕ(14) ≡ 1 mod 14 Por el teorema de Euler• [1], [3], [5], [9], [11], [13] Primos relativos con n=14• ϕ (14) = 6 Paso 2, y definición de ϕ• 36 ≡ 1 mod 14 Teorema de Euler• 14| 36 -1 Definición de congruencia• 14| 728 Potencias• 56 ≡ 1 mod 14 Teorema de Euler• 14| 56 -1 Definición de congruencia• 14| 15624 Potencias

30. Si en G a5 = e y aba-1 = b², hallar 0(b) si b≠ e

Demostración:1. aba-1 = b² hipótesis 2. aba-1 * aba-1 = b² * cancelativa3. ab *b a -1 = b4 inverso 4. ab2 a-1 = b4 potencia5. a *aba-1 *a-1 = b4 hipótesis6. a²b( a-1)² = b4 potencia7. a²b( a-1)² *a² b ( a-1)² = b4* b4 cancelativa8. a² b² ( a-1)² = b8 inversos y potencias9. a² * aba-1 * ( a-1)² = b8 hipótesis 10. a³ b( a-1)3 = b8 potencia11. a³ b( a-1)3 *a³ b( a-1)3 = b8 *b8 cancelativa12. a³ b²( a-1)3 = b16 inverso y potencia13. a³ *aba-1 *( a-1)3 = b16 hipótesis

Continuación…

14. a4b ( a-1)4 = b16 potencia15. a4b ( a-1)4 * a4 b ( a-1)4 = b16 * b16 cancelativa16. a4b²( a-1)4 = b32 inverso y potencia17. a4 *aba-1 *( a-1)4 = b32 hipótesis18. a5 b(a-1)5 = b32 potencia19. eb(a5) -1 = b32 hipótesis20. eb(e) -1 = b32 hipótesis21. b = b32 neutro22. b · b-1 = b32 · b-1 Cancelativa 23. e = b31 inverso

·o(b) = 31 definición de orden.

Con números se puede demostrar cualquier cosa.

Thomas Carlyle (1795-1881) Historiador, pensador y ensayista inglés.

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