Derivate -(IV)

Riccarda Rossi

Universita di Brescia

Analisi I

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Conseguenze del Teorema di Lagrange

Il Teorema della derivata nulla

Teorema su monotonia e derivata

Condizioni su�cienti per minimi/massimi relativi

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Conseguenze del Teorema di Lagrange: 2. Studiodella monotonia

Teorema su monotonia e derivataSia f : [a, b] ! R, derivabile in [a, b]. Si ha

(i) f 0(x) � 0 8 x 2 [a, b] , f e crescente in [a, b]

(ii) f 0(x) 0 8 x 2 [a, b] , f e non crescente in [a, b]

(iii) Se f 0(x) > 0 per ogni x 2 [a, b], allora f e strettamente crescente in

[a, b]

(iv) Se f 0(x) < 0 per ogni x 2 [a, b], allora f e strettamente decrescente

in [a, b]

� NON VALE IL VICEVERSA di (iii) e (iv)!

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f strettamente crescente in [a, b]

NON IMPLICA

f 0(x) > 0 per ogni x 2 [a, b][

(idem per f strettam. decrescente).

Esempio

f (x) = x3

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,the R

f isirutam. Crescent su R

( God,

Kx, yer

, ecy ⇒ fxtx3< feyky3)

Ma fkxl = 3×2 20 HER peuie

Falsgeheffkx) >otter ] - Jmfaltifcoto !

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Dimostrazione

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Drmosico Ci ),

ecioe '

f crescent sn Taib ] # ftx ) zo

txctaib ].

D Dimosieoe 'implication ⇒

[ queste hid e'

Una conseg . oh ' lagrange

,srdrmosira a parte ,ueolr Ohno Bnf -

Seedii ]Per ipolesi , f e- create sn tails ]

.

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Cio ' implied eke ttxiy C- Eaib ],

con xtyrf ( y ,xl= fly ) - fed

*zo

Allows,

kxe tails

flat lyingnxrfcy ,x ) 20

C ten. del confront )

.

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Drnwsiw ⇐

Trot : ftxlzo ttxttaib ].

Test fe '

Crescent .

Dew dimo share ehe txiy £ Caib ] cow

X -ty ,sr he eke

Xey as fed e fey ).

Apple co Rteor.

dr Lagrange a

flex, y ]

( nota Che

lxiy] E Eaib ]

fereke' taib ] E internally

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Per nipotesif- e- dewvab .

sntalb ] ⇒ fe ' deuvab.

I Cxiy ]sn txiy ]

. -

posso afplrcoreLagrange .

→ Z § £ ] x. y I tale die

tt

*)f'¥41 Fcs ) 20 puiptea '

to015

.

eke Y - × > 0- Qwmdi

,old # )

dedueo die fcgtfex ) z 0

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Qwmdr fcy ) > fcx ) DX

.Tl punto di) delteor

.

sr drmostne

anahegamente Les ! )

.Tl Punto ifii ) sdimosra

hsanow encore deter .di Lagrange

Come supra .

LES ! )

a Idem for @v ).

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Conseguenze di Lagrange: 3. Condizioni su�cientiper massimi/minimi relativi

TeoremaSia f : (a, b) ! R continua su (a, b). Sia x0 2 (a, b). Allora,

(1) se f e derivabile sugli intervalli (a, x0) e (x0, b) e verifica

f 0(x) � 0 8 x 2 (a, x0) e f 0(x) 0 8 x 2 (x0, b) ,

allora x0 e un punto di massimo relativo per f su (a, b).

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⇒to Xo f'

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TeoremaSia f : (a, b) ! R continua su (a, b). Sia x0 2 (a, b). Allora,

(2) se f e derivabile sugli intervalli (a, x0) e (x0, b) e verifica

f 0(x) 0 8 x 2 (a, x0) e f 0(x) � 0 8 x 2 (x0, b) ,

allora x0 e un punto di minimo relativo per f su (a, b).

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