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Flussi di campi vettoriali, il teorema di Stokes e ilteorema della divergenza
Riccarda Rossi
Universita di Brescia
Analisi II
Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Flussi, Stokes, Divergenza Analisi II 1 / 96
Richiami di teoria• Sia S una superficie, con rappresentazione parametrica data da T ⇢ R2
e�!r : T ! R3, �!r = �!r (u, v) regolare.
Il versore normale a S e
�!n =1����
@�!r@u
⇥ @�!r@v
����
✓@�!r@u
⇥ @�!r@v
◆
Flusso di un campo vettoriale attraverso SSia A ⇢ R3 aperto, �!r (T ) ⇢ A,
�!F : A ! R3 di classe C1. Il flusso di
�!F
attraverso S e ZZ
S
�!F ·�!n dS
con · il prodotto scalare.
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Quindi
ZZ
S
�!F ·�!n dS =
ZZ
T
�!F (�!r (u, v)) ·
✓@�!r@u
(u, v)⇥ @�!r@v
(u, v)
◆du dv
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• Nel caso di S in forma cartesiana
S : z = f (x , y), (x , y) 2 T ⇢ R2
si ha
�!n =1s
1 +
����@f
@x
����2
+
����@f
@y
����2
✓�@f
@x
�!i 1 �
@f
@y
�!i 2 + 1
�!i 3
◆
quindiZZ
S
�!F ·�!n dS
=
ZZ
T
�!F (x , y , f (x , y)) ·
✓�@f
@x
�!i 1 �
@f
@y
�!i 2 + 1
�!i 3
◆dx dy
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Es. 1.Calcolare il flusso di
�!F (x , y , z) = xy
�!i 1 + xy
�!i 2 + z
�!i 3
attraverso
S :
(z = 1� x2 � y2,
z � 0
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Es. 2.Calcolare il flusso del rotore di
�!F (x , y , z) = y
�!i 1 + z
�!i 2 + x
�!i 3
attraverso
S :
(z = 1� x2 � y2,
z � 0
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Il teorema di Stokes
Sia S una superficie, con rappr. parametrica
�!r : T ! R3, �!r = �!r (u, v) regolare e semplice.
e sia� = @S (curva semplice, chiusa, reg. tratti)
percorsa lasciando a sinistra il versore normale a S , A ⇢ R3, e
�!F : A ! R3 di classe C1.
Si ha ZZ
Srot(
�!F ) ·�!n dS =
I
�
�!F · d�
Si passa da un integrale di superficie a un integrale curvilineo!
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^
Es. 3. (e ancora l’Es. 2.)Il flusso del rotore di
�!F (x , y , z) = y
�!i 1 + z
�!i 2 + x
�!i 3
attraverso
S :
(z = 1� x2 � y2,
z � 0
Stokes: ZZ
S
�!rot(
�!F ) ·�!n dS =
I
�=@S
�!F · d�
qui: � : x2 + y2 = 1
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Es. 4.Il flusso del rotore del campo
�!F (x , y , z) = y
�!i 1 + 2z
�!i 2 + 3x
�!i 3
attraverso
S :
(x2 + y2 + z2 = 1
z � 0
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Es. 5.
Il flusso del rotore del campo
�!F (x , y , z) = xy
�!i 1 + xy
�!i 2 + 0
�!i 3
attraverso la regione piana S = S1 [ S2, con
S1 =n(x , y) 2 R2 : 0 x 1, 0 y sin
⇣⇡2x⌘o
,
S2 =n(x , y) 2 R2 : 1 x
p2, 0 y
p2� x2
o.
Applichiamo la formula di Stokes studiamo � = @S
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con
8><
>:
�1 segmento fra (0, 0) e (p2, 0)
�2 arco circonf. x2 + y2 = 2 da (p2, 0) a (1, 1)
�3 curva y = sin�⇡2 x
�da (1, 1) a (0, 0)
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Es. 5.Calcolare ZZ
Srot
�!F ·�!n dS
con �!F (x , y , z) = x2
�!i +
�!j + z
�!k ,
S e il triangolo di vertici (0, 0, 0), (1, 1, 0) e (0, 0, 1) ed �!n e la normale
tale che �!n ·�!i > 0.
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Richiami di teoria: il teorema della divergenza
V ⇢ R3 chiuso e limitato
S = @V superficie regolare chiusa�!F : A ⇢ R3 ! R3,
�!F 2 C 1(A) con A insieme aperto, V ⇢ A.
Allora ZZZ
Vdiv(
�!F ) dxdydz =
ZZ
S
�!F ·�!n dS
ove �!n e versore normale esterno a S e
div(�!F ) =
@F1@x
+@F2@y
+@F3@z
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Es. 6.Calcolare il flusso di
�!F (x , y , z) = xy
�!i 1 + xy
�!i 2 + z
�!i 3
attraverso la superf. S1 [ S2, dove
S1 :
(z = 1� x2 � y2
z � 0e S2 :
(z = 0
x2 + y2 1
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.
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Es. 7.
Calcolare il flusso di
�!F (x , y , z) = y
�!i + x
�!j + z3
�!k
attraverso la superficie sferica S di centro (0, 0, 0) e raggio 2.
Applichiamo il Teorema della divergenzaZZ
S
�!F ·�!n dS =
ZZZ
Vdiv
�!F dxdydz
doveV = {(x , y , z) 2 R3 : x2 + y2 + z2 4} .
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