Homotecia II

Actividad Inicial • Realiza la homotecia, con

centro en el origen y con razón de homotecia 𝑘 = 2.

• Comprobar el resultado usando GeoGebra.

Hasta ahora, hemos realizado homotecias con valores k, la razón o factor de homotecia 𝑘 > 1 (Caso 1). En este caso, la figura homotética es más grande que la figura inicial. ¿Qué ocurre si la razón de homotecia es un valor de que mayor que cero y menor que 1? Es decir, 0 < 𝑘 < 1. Veamos…

Continuemos…

Caso 2: con centro de homotecia en el origen (0,0) y razón de homotecia 0 < 𝑘 < 1.

Aplicar una homotecia sobre el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶, cuyos vértices son A(3,-3), B(3,3),

C(0,3) y razón de homotecia 𝑘 =1

3.

A’

B’ C’

• Cuando se aplica la homotecia, se comienza trazando los vectores desde el centro O, a cada uno de los vértices de la figura.

• En este caso, 𝑂𝐴 = 3, −3 , 𝑂𝐵 = 3,3 𝑦 𝑂𝐶 = (0,3) • Se pondera cada uno de los vectores por la razón de

homotecia 𝑘 =1

3

Es decir, 1

3 𝑂𝐴 = 1, −1 ,

1

3𝑂𝐵 = 1,1 𝑦

1

3𝑂𝐶 = 0,1

• Se trazan los nuevos vectores, desde el origen. En este caso, el punto extremo se llamará imagen y se designará respectivamente como: 𝐴′, 𝐵′ 𝑦 𝐶′.

• Comprobar el resultado usando GeoGebra.

A

B C

Actividad 4: Aplica las siguientes homotecias

a) Determina la imagen homotética de la figura dada, con centro de homotecia en el origen y factor de homotecia 1/3.

b) Determina la imagen homotética de la figura dada, con centro de homotecia en el origen y factor de homotecia 1/2.

En el “Caso 1” y “Caso 2”, los valores de la razón de homotecia nos entrega una figura “más grande” o “más pequeña”, respectivamente.

En ambos casos, las figuras tienen la misma orientación. Los puntos iniciales y sus imágenes quedan el mismo cuadrante, o en el mismo semieje de los ejes cartesianos.

Recordemos… Cuando ponderábamos un vector por un valor negativo, el nuevo vector tenía las siguientes características:

Mantenía la misma dirección Cambiaba su magnitud o módulo (tamaño), si 𝑘 ≠ −1.

𝑢′ es del mismo tamaño que 𝑢, ya que, la razón de homotecia es igual a -1. 𝑢′′ es más pequeño que 𝑢

El sentido del vector cambiaba 𝑢′ y 𝑢′′ tienen sentido contrario a 𝑢. ¿Qué ocurriría si aplicamos una homotecia con razón de homotecia negativa? Ve el siguiente video para recordar algunos conceptos. o

https://www.youtube.com/watch?v=1nAmTyNSZqE

Caso 3.1: con centro de homotecia en el origen (0,0) y razón de homotecia 𝑘 < −1.

Aplicar una homotecia sobre el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶, cuyos vértices son A(2,-1), B(2,2), C(1,1) y razón de homotecia 𝑘 = −2.

A’

B’

C’

• Cuando se aplica la homotecia, se comienza trazando los vectores desde el centro O, a cada uno de los vértices de la figura.

• En este caso, 𝑂𝐴 = 2, −1 , 𝑂𝐵 = 2,2 𝑦 𝑂𝐶 = (1,1) • Se pondera cada uno de los vectores por la razón de

homotecia 𝑘 = −2 Es decir,

−2𝑂𝐴 = −4,2 ,−2𝑂𝐵 = −4, −4 y −2𝑂𝐶 = −2, −2 • Se trazan los nuevos vectores, desde el origen. En este caso,

el punto extremo se llamará imagen y se designará respectivamente como: 𝐴′ −4,2 , 𝐵′ −4, −4 𝑦 𝐶′ −2, −2

• Comprobar el resultado usando GeoGebra.

A

B

C

-4

Caso 3.2: con centro de homotecia en el origen (0,0) y razón de homotecia −1 < 𝑘 <0.

Aplicar una homotecia sobre el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶, cuyos vértices son A(4,-2), B(2,2), C(0,2) y razón de homotecia 𝑘 = −

1

2.

A’

B’ C’

• Cuando se aplica la homotecia, se comienza trazando los vectores desde el centro O, a cada uno de los vértices de la figura.

• En este caso, 𝑂𝐴 = 4, −2 , 𝑂𝐵 = 2,2 𝑦 𝑂𝐶 = (0,2) • Se pondera cada uno de los vectores por la razón de

homotecia 𝑘 = −2 Es decir,

−1

2𝑂𝐴 = −2,1 ,−

1

2𝑂𝐵 = −1, −1 y −

1

2𝑂𝐶 = 0, −1

• Se trazan los nuevos vectores, desde el origen. En este caso, el punto extremo se llamará imagen y se designará respectivamente como: 𝐴′ −4,2 , 𝐵′ −4, −4 𝑦 𝐶′ −2, −2

• Comprobar el resultado usando GeoGebra.

A

B C

-4

Observaciones • En el caso 3.1 el triángulo homotético es más grande que la figura inicial. Ya que el

valor de la razón es 𝑘 = −2, es decir, 𝑘 < −1.

• En el caso 3.2 el triángulo homotético es más pequeño que la figura inicial. Ya que el

valor de la razón es 𝑘 = −1

2, es decir, −1 < 𝑘 < 0.

• En ambos casos, el triángulo homotético está “invertida”, sin embargo, corresponde

a rotación en 180° con centro en O, y luego agrandar o achicar la figura según

corresponda (composición de transformaciones).

• Las imágenes de los puntos quedan ubicados en el cuadrante opuesto respecto del

origen, o semieje opuesto de los ejes coordenados.

• Las homotecias con factor de homotecia negativo, se les llama Homotecias Inversas.

Homotecia Inversa (Reducción Inversa)

Homotecia Directa (Ampliación Directa)