8/17/2019 Pregunta 1 Benites 15 2

1/5

1)

a) sea  A={1,2,3,4,5,6 } . Se defne una relación  R en A x A  mediante

(a , b ) R (c , d )⟺a−b=c−d

Probar que R es una relación de equivalencia y calcular el conjunto cociente.

Solución:

Para que R sea una relación de equivalencia debe cumplir que:

i) Ser reexiva ii) Ser simtrica iii) ser transitiva

i) !omo a "b # a " b   (a , b )⇒ R   es reexiva (a –b ) R (a –b)

ii) !omo a−b=c−d   es i$ual que c−d=a−b   ⇒ R   simtrica

(a –b ) R (c – d)   ∧ %c " d)  R (a – b )

iii) Si a−b=c−d   y c−d=e−f    entonces se cumple que a−b=e−f 

⇒ R   es transitiva (a –b ) R (c – d)   ∧ %c " d)

 R (e−f  )⇒ (a – b ) R (e−f  )

Se cumple que: &as clases de equivalencia de R son:

1'( # (' # '* # *'+ # +',   [ (1,2 ) ]={(1,2 ) , (2,3 ) , (3,4 ) , (4,5 ) ,(5,6)}

1' # ('* # '+ # *',   [ (1,3 ) ]={ (1,3 ) , (2,4 ) , (3,5 ) , (4,6 ) }

1'*#('+#',   [ (1,4 ) ]={(1,4 ) , (2,5 ) , (3,6 )}

1'+#(',   [ (1,5 ) ]={ (1,5 ) , (2,6 ) }

1',   [ (1,6 ) ]={ (1,6 )}

8/17/2019 Pregunta 1 Benites 15 2

2/5

,'1   [ (6,1 ) ]={(6 ,1 ) }

+'1#,'(   [ (5,1 ) ]={(5,1 ) , (6 ,2 )}

*'1#+'(#,'   [ (4 ,1 ) ]={(4 ,1 ) , (5 ,2 ) ,(6,3)}

'1#*'(#+'#,'*   [ (3 ,1 ) ]={(3,1) , (4 ,2 ) , (5,3 ) ,(6,4)}

('1#'(#*'#+'*#,'+   [ (2 ,1 ) ]={(2,1 ) , (3 ,2 ) , (4 ,3 ) , (5,4 ) ,(6,5)}

!lases de equivalencia:

[ (1 ,1 ) ]= [(2,2 ) ]=[ (3,3 ) ]=[ (4,4 ) ]=[ (5,5 ) ]= [(6,6 ) ]

[ (1 ,2 ) ]= [(2,3 ) ]=[ (3,4) ]=[ (4,5 ) ]= [(5,6 ) ]

[ (1 ,3 ) ]=[ (2,4 ) ]= [(3,5 ) ]=[ (4,6 ) ]

[ (1 ,4 ) ]= [(2,5 ) ]=[ (3,6 ) ]

[ (1 ,5 ) ]=[ (2,6 ) ]

[ (1 ,6 ) ]

[ (6 ,1 ) ]

[ (5 ,1 ) ]=[ (6 ,2 ) ]

[ (4,1 ) ]= [(5,2 ) ]= [ (6,3 ) ]

[ (3 ,1 ) ]=[ (4 ,2 ) ]= [(5 ,3 ) ]= [(6,4 ) ]

[ (2 ,1 ) ]= [(3 ,2 ) ]=[ (4 ,3 ) ]=[ (5 ,4 ) ]=[ (6,5 ) ]

8/17/2019 Pregunta 1 Benites 15 2

3/5

∴ El conjunto cocientede R es⟹{[ (1,2 ) ] , [ (1 ,3 ) ] , [ (1 ,4 ) ] , [ (1,5 ) ] , [ (1 ,6 ) ] , [ (6,1 ) ] , [ (4,1 ) ] , [ (3,1) ] , [ (2,1) ] , [ (

b)  p∈ N    fjo. -n  A={1,2,3,… ,q }  con q   ∈ N  se defne la si$uiente

relación binaria:

∀ a , b∈ A :a R b⇔mcd ( a , p )=mcd (b , p ) .

/-s  R  relación de equivalencia0 justifcar si es asi calcular el conjunto

cociente para q#1 y p#1.

Solución:

mcd (a , p )=mcd (b , p )

Sea   p=msa=msb=mt ⟹a=b…(1 )∨a=bs…(2) ( s , t ) pesi

2e la ecuación %1)

. Para a#b se cumple R ⇒a Rb⇒∴ R es reflexiva.

. !omo mcd ( a , p )=mcd (b , p )  es equivalente a mcd (b , p )=mcd (a , p )  

⇒aRb∧bRa⇒∴ R es simétrica .

. Si mcd (a , p )=mcd (b , p ) y mcd (b , p )=mcd (c , p )⇒mcd (a , p )=mcd (c , p )  

⇒∴ R es transitiva

∴ R es unarelacionde equivalencia.

. Para p#1 y p#1

→ A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13}

mcd (a ,18 )=mcd (b ,18 )

3alores para a 3alores para b

8/17/2019 Pregunta 1 Benites 15 2

4/5

[1 ]={1,5,7,11,13 }

[2 ]={2,4,8,10 }

[3 ]={3 }

[4 ]={2,4,8,10 }

[5 ]={1,5,7,11,13 }

[6 ]= {6,12 }

[7 ]= {1,5,7,11,13 }

[8 ]= {2,4,8,10 }

[9 ]= {9 }

[10]={2,4,8,10 }

[11]= {1,5,7,11,13 }

[12]={6,12 }

[13]={1,5,7,11,13 }

!lases de equivalencia:

[1 ]=[2 ]=[4 ]=[8 ]=[10 ]

[3 ]

[5 ]=[7 ]=[11 ]= [13 ]=[7 ]

[6 ]=[12]

8/17/2019 Pregunta 1 Benites 15 2

5/5

∴onjunto cociente{ [1 ] , [3 ] , [5 ] , [6 ] }