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8/17/2019 Pregunta 1 Benites 15 2
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1)
a) sea A={1,2,3,4,5,6 } . Se defne una relación R en A x A mediante
(a , b ) R (c , d )⟺a−b=c−d
Probar que R es una relación de equivalencia y calcular el conjunto cociente.
Solución:
Para que R sea una relación de equivalencia debe cumplir que:
i) Ser reexiva ii) Ser simtrica iii) ser transitiva
i) !omo a "b # a " b (a , b )⇒ R es reexiva (a –b ) R (a –b)
ii) !omo a−b=c−d es i$ual que c−d=a−b ⇒ R simtrica
(a –b ) R (c – d) ∧ %c " d) R (a – b )
iii) Si a−b=c−d y c−d=e−f entonces se cumple que a−b=e−f
⇒ R es transitiva (a –b ) R (c – d) ∧ %c " d)
R (e−f )⇒ (a – b ) R (e−f )
Se cumple que: &as clases de equivalencia de R son:
1'( # (' # '* # *'+ # +', [ (1,2 ) ]={(1,2 ) , (2,3 ) , (3,4 ) , (4,5 ) ,(5,6)}
1' # ('* # '+ # *', [ (1,3 ) ]={ (1,3 ) , (2,4 ) , (3,5 ) , (4,6 ) }
1'*#('+#', [ (1,4 ) ]={(1,4 ) , (2,5 ) , (3,6 )}
1'+#(', [ (1,5 ) ]={ (1,5 ) , (2,6 ) }
1', [ (1,6 ) ]={ (1,6 )}
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,'1 [ (6,1 ) ]={(6 ,1 ) }
+'1#,'( [ (5,1 ) ]={(5,1 ) , (6 ,2 )}
*'1#+'(#,' [ (4 ,1 ) ]={(4 ,1 ) , (5 ,2 ) ,(6,3)}
'1#*'(#+'#,'* [ (3 ,1 ) ]={(3,1) , (4 ,2 ) , (5,3 ) ,(6,4)}
('1#'(#*'#+'*#,'+ [ (2 ,1 ) ]={(2,1 ) , (3 ,2 ) , (4 ,3 ) , (5,4 ) ,(6,5)}
!lases de equivalencia:
[ (1 ,1 ) ]= [(2,2 ) ]=[ (3,3 ) ]=[ (4,4 ) ]=[ (5,5 ) ]= [(6,6 ) ]
[ (1 ,2 ) ]= [(2,3 ) ]=[ (3,4) ]=[ (4,5 ) ]= [(5,6 ) ]
[ (1 ,3 ) ]=[ (2,4 ) ]= [(3,5 ) ]=[ (4,6 ) ]
[ (1 ,4 ) ]= [(2,5 ) ]=[ (3,6 ) ]
[ (1 ,5 ) ]=[ (2,6 ) ]
[ (1 ,6 ) ]
[ (6 ,1 ) ]
[ (5 ,1 ) ]=[ (6 ,2 ) ]
[ (4,1 ) ]= [(5,2 ) ]= [ (6,3 ) ]
[ (3 ,1 ) ]=[ (4 ,2 ) ]= [(5 ,3 ) ]= [(6,4 ) ]
[ (2 ,1 ) ]= [(3 ,2 ) ]=[ (4 ,3 ) ]=[ (5 ,4 ) ]=[ (6,5 ) ]
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∴ El conjunto cocientede R es⟹{[ (1,2 ) ] , [ (1 ,3 ) ] , [ (1 ,4 ) ] , [ (1,5 ) ] , [ (1 ,6 ) ] , [ (6,1 ) ] , [ (4,1 ) ] , [ (3,1) ] , [ (2,1) ] , [ (
b) p∈ N fjo. -n A={1,2,3,… ,q } con q ∈ N se defne la si$uiente
relación binaria:
∀ a , b∈ A :a R b⇔mcd ( a , p )=mcd (b , p ) .
/-s R relación de equivalencia0 justifcar si es asi calcular el conjunto
cociente para q#1 y p#1.
Solución:
mcd (a , p )=mcd (b , p )
Sea p=msa=msb=mt ⟹a=b…(1 )∨a=bs…(2) ( s , t ) pesi
2e la ecuación %1)
. Para a#b se cumple R ⇒a Rb⇒∴ R es reflexiva.
. !omo mcd ( a , p )=mcd (b , p ) es equivalente a mcd (b , p )=mcd (a , p )
⇒aRb∧bRa⇒∴ R es simétrica .
. Si mcd (a , p )=mcd (b , p ) y mcd (b , p )=mcd (c , p )⇒mcd (a , p )=mcd (c , p )
⇒∴ R es transitiva
∴ R es unarelacionde equivalencia.
. Para p#1 y p#1
→ A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13}
mcd (a ,18 )=mcd (b ,18 )
3alores para a 3alores para b
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[1 ]={1,5,7,11,13 }
[2 ]={2,4,8,10 }
[3 ]={3 }
[4 ]={2,4,8,10 }
[5 ]={1,5,7,11,13 }
[6 ]= {6,12 }
[7 ]= {1,5,7,11,13 }
[8 ]= {2,4,8,10 }
[9 ]= {9 }
[10]={2,4,8,10 }
[11]= {1,5,7,11,13 }
[12]={6,12 }
[13]={1,5,7,11,13 }
!lases de equivalencia:
[1 ]=[2 ]=[4 ]=[8 ]=[10 ]
[3 ]
[5 ]=[7 ]=[11 ]= [13 ]=[7 ]
[6 ]=[12]
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∴onjunto cociente{ [1 ] , [3 ] , [5 ] , [6 ] }