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Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y SistemasEscuela de FísicaUniversidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Semestre 02-2006

I. Señales 2D : ImágenesPropiedades básicas de las imágenes.Representación de las imágenes en las bases de Dirac y de Fourier

II. Teoría General de Señales y Sistemas 2DSistemas LSI (Linear Shift Invariant)Sistemas Formadores de imágenesMáscaras

III. Mejora de la ImagenMejora en el dominio espacialMejora en el dominio de las frecuencias espaciales

IV. El Procesador Óptico La lente convergente como procesador óptico de FourierSistema 4F

ANÁLISIS DE SEÑALES Y SISTEMAS 2DImágenes

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Semestre 02-2006

I. Señales 2D : ImágenesPropiedades básicas de las imágenes

Señal temporal (1 D)

Señal espacial (2 D)

),(),( yxIyxf intensidad

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),( yxfyx,Si y son continuas la imagen es ANÁLOGASi y son discretas la imagen es DIGITAL yx, ),( yxf

En las imágenes digitales se habla de dos conceptos fundamen-tales:

Muestreo: PixelesCuantización: Niveles de gris

discretización de x,y

discretización de I (x,y)

• pixel

• el valor es el nivel de gris

La digitalización de una imagen análoga comprende los dosprocesos: Muestreo y Cuantización

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Muestreo

• Para no perder información en la digitalización de una imagen análoga, es necesario aplicar con sumo cuidado el denominado Teorema del Muestreo (… más adelante)

• El efecto del muestreo de una imagen, varía su resolución espacial. A medida que la resolución espacial va decreciendo, se va aumentando el tamaño del pixel y los detalles de la imagen se van perdiendo.

128 x 128 64 x 64 32 x 32

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Cuantización

• El efecto de la cuantización viene dado por la imposibilidad de tener un rango infinito de valores para la intensidad de los pixeles.

• La representación de los niveles de gris con números enteros dependerá del número de bits (n) empleados (2n). Si se em- plean 8 bits, se dispondrá de 256 niveles de gris (0 a 255), obteniéndose imágenes con un rango dinámico de 48 db.

1 bit 2 bit 3 bit 8 bit

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Histograma

• Un histograma de una imagen informa sobre el número de pixeles que hay para cada nivel de gris. Normalizado a la unidad, puede entenderse como la probabilidad de que un valor determinado de gris aparezca en la imagen:

n

nrh kk

rk es el k-ésimo nivel de gris, n es el número total de pixeles, nk es el número de pixeles con valor de gris rk y k= 0,.., L-1, donde L es el número de niveles de giris.

• Analizando el histograma se pueden obtener conclusiones sobre el contraste de la imagen.

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I. Señales 2D : ImágenesRepresentación de las imágenes en la base de Dirac

Una imagen se puede considerar como una colección de puntos dispuestos en un arreglo matricial, cada uno conun nivel de gris determinado por f(x,y). En otras palabrasla imagen se puede representar como una superposicón de deltas de Dirac (impulsos) modulados por f(x,y).

Caso Continuo:

Caso Digital:

yxyxfydxdyyxxyxfyxf ,,, ,,

yxyxfyyxxyxfyxf nm

M

m

N

nnm ,,, ,,

1

0

1

0

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I. Señales 2D : ImágenesRepresentación de las imágenes en la base de Fourier

Una imagen f(x,y) se puede considerar como una superpo-sición de perfiles de ondas planas armónicas:

Caso Continuo: Imagen Análoga

yxyfxfj

yx dfdfeffFyxf yx ,, 2

yfxfjffF yxyx 2exp,

es decir,

en donde F(fx,fy) es la trasnformada de Fourier de f(x,y),

dxdyeyxfffF yfxfjyx

yx

2 ,,

aunque para el caso de imágenes f(x,y) es real, F(fx,fy) es compleja en genral:

yx ffjyxyx effFffF , ,,

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Interpretación Física de la Transformada de Fourier y de las frecuencias espaciales

• Si en c la separación entre máximos es de 1 cm., decimos que el período fundamental espacial x es igual a 1 cm y que la frecuencia espacial fundamental es igual a 1 cm-1

xx f

1

yy f

1

xx fk 2yy fk 2

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Interpretación Física de la Transformada de Fourier y de las frecuencias espaciales

Si la escena de la figura fuera infinita en extensión, sería periódicacon período espacial 2L, y se podría representar como una serie deFourier bidimensional. El hecho de ser finita implica que su represen-tación se debe realizar con la transformada de Fourier bidimensional.

xx f

1

yy f

1

xx fk 2yy fk 2

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Interpretación Física de la Transformada de Fourier

Ideas fundamentales:

• Cada componente del espectro de Fourier corresponde a un perfil de onda plana armónica. • La componente confrecuencia CERO (componente CD) es la que aporta la información del background (fondo) de la imagen. Es decir corresponde al promedio en nivel de gris de la imagen.

• La componente con menor frecuencia espacial-diferente de CERO- es el armónico fundamental.

• Las componentes con frecuencias espaciales bajas son las responsables de los cambios suaves de la imagen.

• Las componentes con frecuencias espaciales altas son las responsables de los cambios bruscos de la imagen (bordes).

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Caso Discreto: Imagen Digital

1

0

1

0

2exp ,,M

u

N

v

vN

yu

M

xjvuFyxf

1

0

1

0

2exp ,1

,M

x

N

y

yN

vx

M

ujyxf

MNvuF

Para su calculo computacional se suele utilizar algoritmosDenominados FFT (Fourier Fast Transform).

yxf , yxf , vuF , vuF , vu, vu,

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Importancia de la Fase: Experimento de Oppenheim

vu,1

vu,2

vuF ,1

vuF ,2

yxf ,1

yxf ,2

vuF ,2 vu,1

vuF ,1 vu,2con

con

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Teorema del Muestreo (Teorema de Whitaker-Shannon)

• Es la base de la digitalización.

• ¿Cuál es el mínimo número de muestras y cómo deben estar espaciadas para que no se pierda la información? En otras palabras, ¿cuál debe ser el período de muestreo o la frecuencia de muestreo, para digitalizar una señal análoga?

LA RESPUESTA CORRECTA LA DA EL DENOMINADOTEOREMA DEL MUESTREO

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Teorema del Muestreo (Teorema de Whitaker-Shannon): UNIDIMENSIONAL

g kT g kT g kT1 2 3

En general hay un conjunto infinito de señales que pueden generar un conjunto dado de muestras. Sin embargo, si la señal es de banda limitada y si las muestras son tomadas lo suficientementecercanas, las muestras representarán unívocamente a la señaly la podremos reconstruir perfectamente.

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Muestreo de una señal:

(A) Función g t

.

(B) Transformada G

.

C)Función muestreadora p t

.

(D) Transformada P

,

g tM(E) Función muestreada

(F) Transformada GM

,

cM ff 2 cN ff 2 Frecuencia de Nyquist

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Recuperación de la señal:

A) Colección de espectros de G

:

GM

(A)Transformada inversa : g tM

(C) Filtro:

D) Transformada inversa del filtro:

G rectcM 2

(E) Filtrado:

(F) Transformada inversa : g t

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Teorema del Muestreo (Teorema de Whitaker-Shannon): BIDIMENSIONAL

yxf , vuF , vuF ,

vuPvuFvuFM ,,,

yxp , vuP ,

yxpyxfyxfM ,,, vuPvuFvuFM ,,,

vuF ,

muestreo

recuperación

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Teorema del Muestreo (Teorema de Whitaker-Shannon): BIDIMENSIONAL

•El teorema de muestreo tiene una interpretación física muy simple en el análisis de imágenes:

El intervalo de muestreo debe ser escogido deun tamaño menor o igual a la mitad del menordetalle de interés en la imagen.

•Es interesante anotar que la DFT (Transformada Discreta de Fourier) se aprovecha del teorema de muestreo para realizar la TF (Transformada de Fourier).

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II. Sistemas 2DSistemas LSI (Linear Shift Invariant)

n

kkknk yxfayxfayxfayxfayxf

12211 ,,....,,,

n

kkknn yxgayxgayxgayxgayxg

12211 ,,...,,,

yxfSyxg kk ,,

yxfSyxg ,,

nymxfSnymxg ,,

Lineal:

Si

Entonces

En donde,

Invariante bajo desplazamiento

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II. Sistemas 2DLa Función de Punto Esparcida (PSF): h(x,y)

yxSyxh ,,

Si se conoce el PSF de un sistema LSI, se podrá fácilmentecalcular la señal g(x,y) de salida para cualquier entrada f(x,y)

1

0

1

0

, ,,M

m

N

nnmnm yyxxyxfyxf

1

0

1

0

, ,,M

m

N

nnmnm yyxxhyxfyxg yxhyxfyxg ,,,

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II. Sistemas 2DSistemas Formadores de imágenes: La Función de Punto Esparcida (PSF): h(x,y)

Ejemplo: Sistema Óptico (lente)

La imagen sería la superposición de discos de Airy. El disco deAiry es la respuesta de la lente a un objto puntual.

Imágenes obtenidas de: http://micro.magnet.fsu.edu/primer/anatomy/numaperture.html

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III. Sistemas 2DMejora de la Imagen en el dominio espacial: el empleo de máscaras: h(x,y)

yxhyxfyxg ,,,

23


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III. Sistemas 2DMejora de la Imagen en el dominio espacial: el empleo de máscaras: h(x,y)

1111111

1111111

1111111

1111111

1111111

1111111

1111111

49

1, yxh

Filtros Paso-Bajo: Difumina la imagen

Media 7x7

61825186

1850715018

25711007125

1850715018

61825186

852

1, yxh

Gauss 4

Filtros Paso-Alto: Acentúa los bordes

11111

11111

112611

11111

11111

, yxh

Sharpen 5

11111

11111

112411

11111

11111

, yxh

Laplaciano 3

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III. Sistemas 2DMejora de la Imagen en el dominio de las frecuencias: H(fx,fy)

,,, xfyxhyxg vuFvuHvuG ,,,

vuFvuHyxg ,,, 1

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III. Sistemas 2DMejora de la Imagen en el dominio de las frecuencias: H(fx,fy)

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IV Análisis de Imágenes: Computador Óptico

Luz laser Lentes


Semestre 02-2006


El espectro electromagnético


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•La función de tramitancia del elemento óptico (filmina) es una función arbitraria f(x,y).

•f(x,y) se puede expresar como la suma de un conjunto de funciones armónicas de diferentes frecuencias espaciales. Es decir:

•Por tanto, U(x,y,z) puede expresarse como una superposición de ondas planas:

con:

Propagación de una onda en términos de la transformada de Fourier

yxyfxfi

yx dfdfeffFyxf yx2,,

yxzikyfxfi

yx dfdfeeffFzyxU zyx2,,,



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La onda incidente normal se ha convertido en una onda plana cuyovector de onda presenta unos ángulos de inclinación , es decir, la filmina se ha comportado como una red de difracción:




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yxzikyfxfi

yx dfdfeeffFzyxU zyx2,,,

U(x,y,z) expresado como una superposición de ondas planas:




Semestre 02-2006

Descomposición



Semestre 02-2006

Lente: Procesador Óptico IV Análisis de Imágenes: Computador Óptico


Semestre 02-2006

Procesamiento óptico: Sistema 4f



Semestre 02-2006

Procesamiento óptico: Sistema 4f : filtraje


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