predicci.n y el azar

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INTRODUCCIÓN El estudio de la probabilidad juega un papel importante dentro del aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas, ya que se abordan algunos problemas a través de la exploración empírica de situaciones aleatorias, formular hipótesis, contrastar sus expectativas con los resultados que se presentan experimentalmente, producir y discutir sus propias explicaciones. Las explicaciones ayudan al desarrollo de las nociones matemáticas y en todo caso constituyen una fuente de inspiración para que el profesor enriquezca sus actividades de enseñanza. Mediante el estudio de la predicción y el azar, se utilizará la comunicación verbal y escrita para expresar ideas y pensamientos probabilísticos. El usar los conocimientos probabilísticos y procedimientos analíticos como herramientas que permitan verificar, comprobar y poner de manifiesto la veracidad o no de las hipótesis y conjeturas realizadas para interpretar y explicar una situación manipulativa o mental. En este contexto, los estudiantes deberían llegar a valorar más el propio proceso de pensamiento que los resultados inmediatos. Identificar situaciones y aplicaciones diversas del conocimiento probabilístico en distintos ámbitos de la actividad humana (social, científica, tecnológica, estética, etc.), percibiendo el papel que juegan como lenguaje e instrumento en situaciones muy diversas. Cabe señalar que por parte de los estudiantes, se hará la apreciación de las situaciones del azar en la realidad a través de los campos de aplicación de la probabilidad: el hombre y su mundo biológico, físico, social y político. Reconocer las relaciones e interconexiones que existen dentro de las propias matemáticas, además de reconocer la realidad como diversa y susceptible de ser explicada desde puntos de vista contrapuestos y complementarios. En particular y en los casos que nos ocupan, diferenciar los fenómenos deterministas y aleatorios. Desarrollar pequeñas investigaciones que suponen la realización, en algunas actividades, de un estudio con detenimiento, y que potencialmente tienen el valor agregado de favorecer en los estudiantes el desarrollo de cualidades personales como la perseverancia y la dedicación sostenida en el empeño. Actuar, en situaciones tanto reflexivas como manipulativas, de acuerdo con los modos propios de la actividad matemática.

ORGANIZACIÓN DE CONTENIDOS

Para la consecución de los propósitos diseñados para el curso, los contenidos están organizados en cuatro grandes bloques temáticos. El primero, tratará lo referente al azar, como: los juegos de azar y la diferencia entre los fenómenos aleatorios y deterministas. Tiene la prioridad de incursionar en el análisis combinatorio a partir de los juegos de azar, su lenguaje, los fenómenos aleatorios y deterministas, así como las formas de organización de información; en este primer bloque temático se abordarán actividades sencillas, pero que por su sencillez, la comprensión del mismo será menos abrupta. En el segundo bloque se verá en detalle las técnicas de conteo como son:

a) Diagramas de árbol. b) Arreglos rectangulares. c) Permutaciones. d) Combinaciones.

Así mismo, las propiedades y aplicación en el cálculo de probabilidades como:

a) Triángulo de Pascal. b) Teorema del binomio.

Los diferentes tipos de probabilidad, sus propiedades y características, forman parte de la estructura del Bloque No. 3. Las reflexiones que se plantean sitúan el énfasis en la diferencia entre la probabilidad clásica y la de frecuencias; por otro lado, es sabido que gran parte de los problemas cotidianos -si bien no son tan simples- también están condicionados, estos caen dentro de las probabilidades condicionadas, que también forman parte del acervo cultural del curso de La predicción y el Azar.

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La estructura del bloque No. 4 referencia a las funciones de distribución. El propósito de este apartado del programa tiene que ver con las variables aleatorias, la distribución Bernoulli, binomial, exponencial y normal; estos cuatro aspectos rendirán cuenta de las principales funciones de probabilidad y las variables aleatorias.

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS En el caso de esta asignatura, se sugiere desarrollarla en forma de taller, con actividades que se pueden distribuir en sesiones de una a dos horas cada una, según lo plantee el organigrama general del currículum de la Licenciatura. En general, cuando se plantea un problema y se resuelva en forma individual o en equipo, se requiere resaltar los aspectos principales que se tratan y confrontar las posibles diferencias en la interpretación y los diferentes planteamientos de solución; así mismo, se sugiere que las conclusiones a las que se haya llegado de manera individual o grupal, sean puestas en la mesa de la discusión con el firme propósito de enriquecer la cultura del análisis combinatorio, que por su riqueza, rinde cuenta a los comportamientos de la sociedad en general y, por otro lado, permite modelar los patrones que de manera recurrente aparecen en la economía, la física, la química, por citar algunos. En las actividades donde se sugiere resolver problemas, es fundamental que la búsqueda de procedimientos de solución recaiga en los estudiantes; en tanto el profesor será en la organización de los puntos en común, fomentar la confrontación entre ellos y profundizar en los conceptos en los casos que sea necesario. Es conveniente que en las actividades manipulativas, los estudiantes lleven un registro de los resultados, los comparen y analicen. El hacer la actividad acompañándola de una reflexión llevará, sin duda, a los estudiantes, a comprender mucho mejor los conceptos probabilísticos. Se sugiere que el profesor responsable de la materia aplique este tipo de actividades, pese a la cultura que muchos profesores tenemos en el sentido de evitarlas bajo el argumento de ocupar mucho tiempo. Aunque los estudiantes tengan experiencias cotidianas de fenómenos aleatorios y manejen de manera natural la probabilidad, éstas por sí solas no bastan; es necesario repetir algunas experiencias, de manera crítica y reflexiva, haciendo predicciones y viendo si se satisfacen o no, más aún, es recomendable que se trasladen al terreno de las analogías, hoy por hoy mejor conocidas como patrones; por otro lado, encontrar patrones en los comportamientos de las ciencias enriquece la cultura de las matemáticas, favorece la articulación de las mismas y finalmente contribuye al alcance del perfil que supone el Plan 99’ por parte de la Licenciatura de Matemáticas. Además, conviene que las actividades recurran a una gran diversidad de materiales posibles: los juegos clásicos de ruletas, urnas, dados, volados, barajas, etc., son eficaces en la medida que se discutan como parte del acervo crítico y reflexivo. Los ejercicios múltiples, frecuentes y diversos, permitirán al estudiante ir aprehendiendo los conceptos nada triviales de azar y probabilidad, cabe decir, que la multiplicidad, diversidad y frecuencia de los ejercicios no se encuentran sugeridos en la forma clásica, es decir, explicitar un concepto para luego sancionarlo a través de una serie secuenciada de casos similares, sino como una forma recurrente de análisis combinatorio en la búsqueda de patrones. Los conceptos de probabilidad sólo pueden ser aprendidos si se realizan muchos experimentos y se van haciendo reflexiones respecto de los resultados obtenidos.

PROPÓSITOS GENERALES Al término de las actividades propuestas en cada bloque temático, los profesores estudiantes serán capaces de: 1. Utilizar los conocimientos probabilísticos como herramienta para dar solución a problemas de

carácter social, científico o tecnológico. 2. �Utilizar con precisión el lenguaje de la probabilidad.

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3. Dar una explicación sistemática de alternativas en el planteamiento de problemas. 4. Contar con la flexibilidad para modificar el punto de vista o la perseverancia en la búsqueda de

soluciones. 5. Fomentar la curiosidad e imaginación. 6. Desarrollar las habilidades de inferir, generalizar y comunicar los conocimientos de probabilidad. 7. Relacionar las inferencias y generalizaciones con los temas que se abordan en nociones de

probabilidad en secundaria.

BLOQUE I EL AZAR

PROPÓSITO: Al término de las actividades propuestas, el profesor estudiante será capaz de: Construir el concepto de azar en forma intuitiva a partir del análisis de juegos de azar, en particular los tradicionales de su comunidad y situaciones de la vida cotidiana, formalizando su lenguaje matemático y probabilística. TEMAS:

1. Los juegos de azar. 2. El lenguaje del azar. 3. Fenómenos aleatorios y deterministas. 4. Formas de registro.

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: • Introducción a la probabilidad. A. Ruiz Moncayo. Fondo de Cultura Económica. • Espacios probabilizables. Samuel Escarela Cornejo. Serie: notas de clase No. 178-1991,

publicaciones de matemáticas, Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la U.N.A.M.

• Libro para el maestro matemáticas, secundaria. SEP, segunda edición (2001). • Fichero de actividades didácticas, matemáticas, secundaria. SEP, segunda edición (2000). ACTIVIDADES SUGERIDAS: Se propone la actividad para dos sesiones. El grupo se organizará por equipos. En la primera sesión, el profesor escribirá en el pizarrón una lista de juegos como: • Máquinas tragamonedas. • Loterías. • Cartas: póker, 7½, con los que se podrán realizar algunos juegos como: conquián, burro

castigado, canasta, etcétera • Monedas: para el registro de eventos que incluyan volados, disparejos, etcétera • Dados: uno o varios • Dominó. • Ruleta, Bingo, Serpientes y escaleras, etcétera

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El profesor llevará algunos juegos de la lista, pedirá a cada equipo que elijan un juego y documenten las reglas del mismo -la documentación debe tener la mayor claridad en el seguimiento-; luego, respondan cuestiones como: a) ¿Cuáles son los objetos para jugar? b) ¿Cómo se juega? c) ¿Cuántos jugadores intervienen? d) ¿Qué hay que hacer para ganar? Después de jugar y haber analizado el comportamiento del juego, respondan algunas cuestiones como: a) ¿Hay estrategias que permitan ganar? b) ¿Hay ventaja en alguno o algunos de los jugadores? c) ¿Cuáles son esas ventajas? Cada equipo expondrá su trabajo. El profesor fomentará la discusión para confrontar los distintos puntos de vista sobre las características de cada juego. En la segunda sesión, los equipos estarán conformados de la misma manera que la sesión anterior y el profesor pedirá que contesten algunas cuestiones como: a) ¿Cuál es el número de jugadores posibles? b) ¿Cuáles y cuántos son los posibles resultados que se pueden dar? c) ¿Cuántas jugadas son favorables a un determinado jugador? d) ¿Qué probabilidad hay de ganar? e) ¿Qué probabilidad de ganar tiene cada uno de los jugadores? Cada equipo expondrá su trabajo. El profesor fomentará la discusión para confrontar los distintos puntos de vista que pueda haber. También es conveniente discutir que en los juegos de azar existe la incertidumbre en el jugador y para determinar o cuantificar se requiere del cálculo de las probabilidades. Como resultado de la actividad, es conveniente plantear la siguiente pregunta: ¿Qué es el azar? A medida que los estudiantes expresan sus opiniones, el profesor registrará en el pizarrón los aspectos expuestos, de los cuales, conviene destacar los que se ajusten al propósito de la actividad; después confrontará las distintas opiniones de los estudiantes, a fin de llegar a definir las características principales del azar. Posteriormente, leerán la lectura “la noción de azar” que forma parte del material de apoyo para el estudio de los contenidos temáticos del bloque (páginas 335 y 336 del Libro para el maestro), realizar la actividad “el lenguaje del azar” propuesta en la página 336 del mismo documento. Ante el grupo y retomando la actividad 1, el profesor planteará: ¿Todos los juegos son de azar? Posiblemente todos o gran parte de los estudiantes dirán que sí, pero uno o varios dirán que no en forma dudosa. A los que digan que no preguntarles ¿por qué? ¿Qué juego no es de azar o es determinista? El profesor inducirá a la confrontación y planteará si el ajedrez es un juego de azar o no. Organizados en equipos, el profesor pedirá que: describan 3 experimentos aleatorios y 3 experimentos deterministas de la vida cotidiana y/o escolar. Cada equipo expondrá sus resultados procurando que los experimentos sean diferentes, ante el grupo se analizaran y se determinarán las características principales y diferencias entre los dos tipos de fenómenos. Como éstas, el profesor puede diseñar otras actividades similares, cuidando que las mismas contribuyan, como se describe en el apartado de las orientaciones didácticas, con la aplicación en el planteamiento y resolución del problema, no menos importante es recalcar que la analogía forma parte importante de este apartado, pues este concepto contribuye a enriquecer el significado del análisis combinatorio.

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BLOQUE II TÉCNICAS DE CONTEO (ANÁLISIS COMBINATORIO)

PROPÓSITO: Al término de las actividades del bloque, los profesores estudiantes serán capaces de: Desarrollar la habilidad para aplicar las técnicas de conteo en resolución de situaciones problemáticas que se le presenten en la vida cotidiana y/o escolar. TEMAS: 1. Diagramas de árbol y arreglos rectangulares. 2. Principio de conteo. 3. Permutaciones. 4. Combinaciones.

a) Propiedades. b) Triángulo de Pascal. c) Teorema del binomio.

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: • Estadística inferencial básica. Castillo Padilla Juana y Gómez Arias Jorge. Ed. Iberoamérica.

(1998). • Wisniewski P. Ejercicios y problemas de teoría de las probabilidades. Ed. Trillas. (1998). • Probabilidad y Estadística para ingenieros y ciencias. Mendenhall William y Sincich Terry. Ed.

Prentice Hall. Pearson Educación. (1997). • Wisniewski P. Ejercicios y problemas de teoría de las probabilidades. Ed. Trillas. (1998). ACTIVIDADES SUGERIDAS: Organizado el grupo en equipos, el profesor propone el siguiente problema: Vamos a una cafetería que vende tortas. Las tortas las dan sólo con jamón, pierna, y pollo. Uno debe de prepararse su torta a su gusto y un anuncio nos dice: “Con los ingredientes ‘lechuga, jitomate, aguacate y cebolla’, prepare su torta en una de 16 formas posibles.”

El profesor preguntará: ¿Está el anuncio en lo correcto? El profesor hará énfasis en que justifiquen su respuesta. Cada equipo explicará la forma en que resolvió el problema; posiblemente, algunos estudiantes hagan una tabla o arreglo rectangular, un diagrama de árbol o hagan las combinaciones en arreglos de las letras iniciales de los ingredientes por ejemplo: (l, j, a, c), (_, j, a, c), etcétera. El profesor planteará a los estudiantes la siguiente reflexión: ¿Notaron algún patrón para construir el árbol, tabla u arreglo? Si los estudiantes no encuentran ninguna relación, el profesor cuestionará y fomentará que descubran: ponerle o no ingredientes a la torta, es decisión personal, incluso interviene en esta, el gusto por la composición de los alimentos; sin embargo, se sugiere destacar que en la composición no existe ninguna restricción, luego entonces, las respuestas quedan condicionadas no al gusto por el alimento, sino a la combinación sin restricciones. Es recomendable hacer un cartel mostrando las diferentes formas en que puede preparase una torta, luego de discutir en grupo cuál sería la más recomendable de presentar. Discutir en el grupo qué ocurriría si tuviéramos más ingredientes en la elaboración de la torta, por ejemplo 10, habría necesariamente que enumerarlas todas para saber de cuántas formas puede prepararse una torta, o en su defecto, qué tal si nos interesara saber cuántas cajas distintas pueden fabricarse si cada una tiene impreso un número de 5 dígitos. ¿Qué ocurre al construir el árbol, un arreglo o tabla?

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El profesor fomentara la discusión sobre cuál es más conveniente de utilizar. Pida a los profesores estudiantes una propuesta para las placas de los automóviles que tengan un número compuesto por seis dígitos, en lugar de la combinación de letras y números. ¿Cuantas placas se tienen que fabricar? Plantee a los profesores estudiantes el nombramiento de una persona supersticiosa para dirigir el Departamento de Obras Públicas. Por considerarlo de mala suerte, establece que los dígitos en las placas no pueden repetirse, ¿cuántas placas distintas se pueden hacer ahora? Una vez resueltos los problemas propuestos, analizar los procedimientos utilizados por los profesores estudiantes, encontrar una forma común para resolverlos y definir las diferencias entre las permutaciones y combinaciones. El profesor propondrá el siguiente problema que resolverán por equipo: ¿Cuántas maneras hay de seleccionar un comité de 5 personas cuando tenemos un grupo de 7 mujeres y 5 hombres? ¿De cuántas maneras podemos seleccionar un comité de 5 personas, si ese comité debe tener 3 mujeres y 2 hombres? ¿De cuántas maneras podemos seleccionar un comité de 5 personas, si ese comité debe tener 3 mujeres y 2 hombres y hay dos mujeres que no pueden servir juntas? De las tres preguntas, en la tercera habrá ciertas diferencias; tal vez algunos no entiendan el problema y el profesor tendrá que recalcar que dos de las mujeres no pueden estar juntas y no sabemos cuáles son. El profesor debe estar al pendiente de cada uno de los equipos, guiándolos y aclarando sus dudas, como: ¿Si quitamos a una de las dos mujeres el problema está resuelto? ¿Se puede quitar a las dos mujeres conflictivas? ¿Son combinaciones o permutaciones? Si una se llama X y la otra Y, ¿a cuál quitamos?

BLOQUE III PROBABILIDAD

PROPÓSITOS: Al término de las actividades propuestas, los profesores estudiantes serán capaces de:

a) Utilizar la comunicación verbal y escrita para expresar sus ideas y pensamientos sobre la historia y conocimiento de la probabilidad y sus diversas aplicaciones en la actividad humana.

b) Utilizar el conocimiento de la probabilidad en la solución de problemas cotidianos. c) Adquirir el concepto de probabilidad clásica a partir del concepto de la probabilidad

frecuencial. d) Distinguir las características de la probabilidad clásica y la correspondiente a la frecuencial. e) Establecer la relación entre ambas probabilidades. f) Comprender, interpretar y explicar las reglas de la suma y el producto de la probabilidad, así

como la probabilidad condicionada. TEMAS: 1. Historia. 2. Probabilidad de frecuencia relativa. 3. Probabilidad clásica. 5. La regla de la suma y del producto. 6. Probabilidades condicionadas. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: • Probabilidad y Estadística para ingenieros y ciencias. Mendenhall, William y Sincich, Terry. Ed.

Prentice Hall. Pearson Educación. (1997). • Wisniewski, P. Ejercicios y problemas de teoría de las probabilidades. Ed. Trillas (1998).

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• Probabilidad y Estadística, conceptos, modelos, aplicaciones en Excel. Paulo Afonso Lopes. Ed. Prentice Hall. Pearson Educación.

• Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo. EMAT. SEP (2000). • La estadística en cómic. Gonick L. Ed. Zendrera Zariquiey. (1999). • Las probabilidades y la vida. Colección ¿qué sé? Nª 55. Borel Emile. Ed. Oikos-tau. (Pág. 37-50). ACTIVIDADES SUGERIDAS: Plantee el problema de Galileo del texto Problemas de azar que han hecho historia. Los estudiantes trabajarán en equipo y se analizará ante el grupo; posteriormente, el profesor dará a cada equipo uno de los problemas restantes a fin de que lo analicen y discutan entre ellos. El profesor les ayudará en la comprensión del problema y en una posible solución, no es necesario que den una solución precisa, sino que se den cuenta que estos problemas han ayudado en el desarrollo de la probabilidad. Organizado el grupo en equipos, el profesor les indicará que identifiquen eventos de su alrededor en los que puedan predecir con certidumbre el resultado que ocurrirá. Mencionen varias situaciones donde usen el término probabilidad y ¿qué significado tiene para ellos? Los equipos expondrán sus trabajos, el profesor fomentará la confrontación y discusión entre los estudiantes. El profesor se encontrará que los estudiantes mencionan frases como “es probable que hoy llueva”, “es poco probable que pueda ir a la fiesta de mañana” o “es posible que pueda ganar el primer premio de la lotería”. El profesor preguntará: ¿Son estas frases equivalentes? ¿Qué queremos decir con ellas? Si un suceso es posible, ¿es también probable? Si un suceso es probable, ¿es también posible? Haga ver a los estudiantes la necesidad de utilizar un lenguaje con un poco más de formalidad y que cuando decimos probabilidad nos referimos a la medida en que creemos que un evento o suceso particular ocurra. Pida a los alumnos resolver el siguiente problema: Queremos ver si es fácil aprobar un examen de diez preguntas de selección múltiple. Cada una de estas preguntas tiene cuatro alternativas, de las cuales sólo una es correcta. Para aprobar este examen es necesario obtener siete aciertos, ¿cuál es la probabilidad de que un alumno los obtenga? INSTRUCCIONES: Escribe dentro del paréntesis de la derecha, la letra que conteste correctamente cada uno de los planteamientos. 1. 1. Anselmo compra dos plumas por $1.20 cada una ¿Cuál es el error de estimación para

la compra si trunca los centavos del costo de cada pluma? ( )

a) 2 centavos b) 4 centavos c) 20 centavos d) 40 centavos

2. ¿Cuál de las siguientes series ordenadas no es una función? ( ) d) (0, 1), (1, 1), (2, 1), (3, 1) e) (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3) f) (0, 0), (0, 1), (0, 1), (0, 3) g) (0, 1), (1, 0), (2, 3), (3, 2)

3. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene por gráfica la recta más inclinada? ( ) h) y = 4x i) y = 3x j) y = 0.1x k) y = x

4. Don Manuel tenía un terreno rectangular de A metros de frente y B metros de fondo,

pero cedió 10 m de fondo para urbanización. El municipio le compensó con 5 m de frente ¿Cuál es la superficie actual del terreno de Don Manuel?

( )

l) AB - 5 m) AB + 5A - 10B n) AB + 10B - 5A - 5O o) AB + 5B - 10A - 5O

5. Considera la ecuación x2 = - 9x ¿Cuál es su factorización? ( )

p) x(x - 9) = 0 q) 3x(x - 3) = 0 r) x(x - 9) = 0 s) 3x(x + 3) = 0

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6. Para que un sistema de dos o más ecuaciones simultáneas lineales tengan solución,

¿qué condición debe cumplir? ( )

t) Que tengan la misma inclinación. u) Que tengan la misma ordenada en el origen. v) Que al menos una de ellas pase por el origen. w) Que tengan un punto en común.

7. Rosalba dibujó un triángulo inscrito en una circunferencia donde uno de los lados era el

diámetro ¿Cuál de las siguientes características corresponde al triángulo dibujado ( )

x) Un triángulo equilátero. y) Un triángulo isósceles donde los lados iguales son mayores que el desigual. z) Un triángulo escaleno obtusángulo. a) Un triángulo rectángulo.

8. Observa la siguiente figura:

El centro de una circunferencia se encuentra en el punto (2, 3) y la circunferencia pasa por el punto (5, 7) ¿Cuánto mide el radio?

( )

b) 3 c) 4 d) 5 e) 7

9. Si tienen dos triángulos semejantes cuyas áreas son de 4 cm2 y 36 cm2 respectivamente ¿Cuál es la razón de semejanza de las figuras?

( )

f) 31 g)

91 h)

61 i)

181

10. ¿Cuál es la altura de un árbol que proyecta una sombra de 8 m si en ese momento el

ángulo de elevación es de 68º?

( )

j) 2.96 m k) 3.20 m l) 9.8 m m) 20 m

El profesor dice que hoy hará un examen sorpresa de acuerdo con las indicaciones anteriores, que son 10 preguntas y es de opción múltiple y lo contestarán al azar; él sólo mencionara el número de la pregunta y únicamente anotarán la letra que crean que es la correcta; pero primero se calificarán, anotando en la esquina derecha lo que esperan sacar de calificación. Aplica el examen y para calificarlo, el profesor da las respuestas correctas, las cuales están dadas en forma aleatoria, y están dadas por medio de una urna con cuatro canicas de distintos colores. Posteriormente, se construyen las tablas:

Calificación esperada qw qww qww qww qww qww qww qww Calificación obtenida

Calificación qw qww qww qww qww Qww qww Qww qww Frecuencia

Por ejemplo, al aplicar el examen en un grupo de 23 estudiantes, se obtuvieron los siguientes resultados:

Calificación esperada 0 Calificación obtenida

9

Calificación 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Frecuencia 0 0 0 0 0 2 6 5 8 2

Que el profesor plantee problemas similares a los siguientes, de acuerdo con los datos obtenidos del examen aplicado anteriormente: Actividades que tienen que ver con el proceso de evaluación resultan atractivas para el cálculo de las probabilidades; tal es el caso de revisar la probabilidad frecuencial de las respuestas de un instrumento. En tal caso, es conveniente que los profesores estudiantes organicen la información que arroja un examen, como la que a continuación se muestra, y pongan en práctica los conceptos hasta aquí revisados.

Por razones naturales se omite el logotipo

REPORTE DE EVALUACIÓN GLOBAL DE CENTROS

Sistema de Evaluación y Clasificación de Reactivos

GRADO: MATERIA:

TEMA: NÚMEROS NATURALES Y SUS OPERACIONES

RESULTADOS OBTENIDOS

0.0000-0.2499 0.2500-4999 0.5000-0.7499 0.7500-1.0000 OBSERVACIONES

REACTIVO VALOR REACTIVO VALOR REACTIVO VALOR REACTIVO VALOR

83 0.0189 58 0.2727 62 0.5 48 0.7955

98 0.0227 4 0.2841 76 0.5

16 0.053 49 0.2841 75 0.5076

39 0.0568 57 0.2917 43 0.572

87 0.0568 36 0.2955 19 0.5758

96 0.0568 51 0.2955 42 0.5795

100 0.0664 54 0.2955 8 0.6326

35 0.0682 55 0.2955 46 0.6515

88 0.0682 50 0.2992 45 0.6705

91 0.072 53 0.303 60 0.678

84 0.0883 52 0.3068 61 0.7045

90 0.0833 28 0.3144 63 0.7045

92 0.0947 26 0.322 44 0.7159

81 0.1098 30 0.322 47 0.7197

82 0.1098 38 0.322 59 0.7311

34 0.1136 56 0.322

80 0.1174 3 0.3561

89 0.1346 41 0.3674

7 0.1477 5 0.4053

66 0.1477 74 0.428

94 0.1477 40 0.4318

11 0.1553 93 0.4394

13 0.1553 78 0.4621

33 0.1553 10 0.4697

10

68 0.1591 79 0.4735

12 0.1629 77 0.4848

71 0.1629 22 0.4886

67 0.1667 85 0.4924

69 0.1667

2 0.1705

15 0.1705

21 0.1705

32 0.1705

27 0.1742

31 0.1742

65 0.1742

14 0.1780

64 0.1780

95 0.1780

37 0.1856

72 0.1970

73 0.1970

29 0.2008

97 0.2159

20 0.2159

70 0.2197

25 0.2197

94 0.2235

1 0.2235

23 0.2273

17 0.2273

86 0.2311

18 0.2348

9 0.2424

24 0.2424

6 0.2462

El rango seleccionado para elaborar esta clasificación fue

del 50 %

El número de seleccionados tomados aleatoriariamente fue de 2640

a) De un grupo de 23 estudiantes, se elige a uno al azar. Si el estudiante esperaba sacar más de 3. ¿Cuál es la probabilidad de que lo haya logrado?

b) En un grupo estudioso de probabilidad, se escoge una calificación al azar, de los resultados obtenidos en el examen. Si la suma de la calificación esperada y obtenida es 4, ¿cuál es la probabilidad de que la calificación esperada y la calificación obtenida sean iguales?

c) Dado que la calificación esperada es < 5 ¿Cuál es la probabilidad que la calificación real sea igual a la esperada?

d) De un grupo de 23 estudiantes, se eligen tres al azar, si uno de ellos obtuvo de calificación 3, ¿cuál es la probabilidad de que los otros dos hayan obtenido de calificación 4 cada uno?

Los problemas se discuten ante el grupo y motivando a los estudiantes a que se dé una confrontación de los métodos utilizados para resolverlos. Dar a cada estudiante un dado y que haga una serie de 24 lanzamientos, registrando el número de veces que sale cada cara. Antes de iniciar los lanzamientos del dado, el profesor pedirá que escriban el número de veces que esperan que salga cada una de las seis caras y registrar los datos en la tabla.

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Caras

Número de veces esperado

Número de veces obtenido

Razón del número obtenido

1 2 3 4 5 6

Caras Número de

veces esperado Número de

veces obtenido

Razón del número obtenido

Razón

1 2 3 4 5 6

Después, hacer el registro de todo el grupo. El profesor pedirá que cada estudiante lea con atención el texto “la ruleta rusa”; trabajando en equipo, contestar a la cuestión del final. El problema tiene varias soluciones, dependiendo de cómo se interprete el juego de la ruleta rusa, si se considera que antes de jalar el gatillo se gira el tambor o cilindro giratorio siendo cada evento independiente, pueden también considerar a los dos primeros tiros independientes y los dos últimos en serie o considerar los cuatro tiros consecutivos sin girar el tambor. Organizado el grupo en equipos. El profesor tendrá tres urnas: la primera con 3 bolas blancas y 2 negras, la segunda con 2 bolas blancas y 4 negras, y la tercera con 2 bolas blancas y 6 negras. El profesor pedirá a un estudiante, pase y extraiga una bola de una urna elegida al azar y resulta ser blanca. (Al hacer el experimento la bola es blanca o negra, dependiendo del color de la bola que se saca, el profesor cambiará el color, en lugar de blanco poner negro) ¿Cuál es la probabilidad de que se haya extraído de la segunda urna? En caso de que los estudiantes tengan dificultades para resolver el problema, el profesor planteará algunas de las siguientes preguntas para orientarlos: a) ¿Cuáles son los eventos que se tienen? b) ¿Qué probabilidad es la que debemos calcular? c) En la urna dos, ¿cuál es la probabilidad de que sea bola blanca? d) ¿Cuál es el total de casos de que sea bola blanca? e) ¿Cuáles son los casos favorables? Algunos estudiantes lo podrán resolver de manera diferente, utilizando técnicas de conteo, diagramas de árbol, etcétera. Los equipos expondrán sus resultados y el profesor fomentará la confrontación y la guiará a determinar la probabilidad condicional. Se organiza el grupo en equipos y se plantea el siguiente problema: En el aeropuerto de una ciudad, el 30% de los días hay niebla. La probabilidad de que se produzca un accidente en un día con niebla es de 0.001; si no hay niebla, la probabilidad baja a 0.0001. Cierto día ocurrió un accidente ¿Cuál es la probabilidad de que fuera un día con niebla? Para ayudar a los estudiantes, el profesor planteará preguntas similares a las de la actividad anterior.

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BLOQUE IV FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN

PROPÓSITOS: Al término de las actividades propuestas, el profesor estudiante será capaz de: a) Diferenciar las características de las variables aleatorias. b) Calculará, con ayuda de las funciones de distribución binomial, normal (DeMoivre-Laplace-

Gauss), Bernoulli y exponencial, algunas probabilidades en conteo. TEMAS: 1. Variables aleatorias. 2. Distribución Bernoulli. 3. Distribución Binomial (DeMoivre-Laplace-Gauss). BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: • Probabilidad y Estadística para ingenieros y ciencias. Mendenhall William y Sincich Terry. Ed.

Prentice Hall. Pearson Educación. (1997). • Wisniewski P. Ejercicios y problemas de teoría de las probabilidades. Ed. Trillas. (1998). • Probabilidad y Estadística, conceptos, modelos, aplicaciones en Excel. Paulo Afonso Lopes. Ed.

Prentice Hall. Pearson Educación. • La estadística en cómic. Gonick L. Ed. Zendrera Zariquiey. (1999). • Acerca del tratamiento didáctico de la probabilidad. Alatorre Silvia. Correo del maestro No. 26,

Julio 1998. ACTIVIDADES SUGERIDAS: Organizados por equipos y utilizando los datos del examen del bloque anterior, calcular la probabilidad de aprobar el examen; es decir, sacar por lo menos seis. Para responder el problema, tal vez algunos lo resuelvan por medio de un diagrama de árbol, otros calculen la probabilidad del número de aciertos, sin considerar la probabilidad de elegir una de las cuatro opciones de cada pregunta, otros lleguen a resolverlo por medio de la fórmula de la función de probabilidad binomial y graficando los datos. Finalmente, analizar y discutir los distintos procedimientos. Para hacer esta actividad, se requiere contar con una computadora con Excel o con una calculadora Casio Modelo 9950G o Texas Modelo TI 84/92PLUS. En el caso del trabajo con ordenador y paquete Excel, se recomienda que trabajen por grupos de tres estudiantes por máquina. El profesor planteará el siguiente problema: Sea un examen con 5 preguntas del tipo “verdadero-falso” y sea la variable aleatoria X el número de respuestas equivocadas. La probabilidad de que un estudiante acierte, al azar, una opción de respuesta en una pregunta es de 0.5. El profesor cuestionará ante el grupo de cómo se distribuye la variable aleatoria X y ¿por qué? Es recomendable que el profesor registre en el pizarrón las participaciones, destacando aquellas que orientan hacia el propósito de la actividad, es decir, en la distribución binomial y el ingreso de datos en Excel. Utilicen la función DISTR.BINOM que les ayudará a resolver el problema. Se recomienda que al introducir los datos de la función, se oriente a los profesores estudiantes en las formas de introducción, para que sea comprendida la función DISTR.BINOM da la probabilidad de x éxitos de la distribución binomial, o la suma acumulada de probabilidades desde x = 0 hasta un valor estipulado. DISTR.BINOM(núm_éxitos, ensayos, prob_éxitos, acumulado) Donde: “núm_éxitos” es el número de éxitos que se desea. “ensayos” es el número de repeticiones.

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“prob_éxito” es la probabilidad de éxito en cada repetición. Acumulado es un valor lógico: si es VERDADERO, entonces la función da el valor de la probabilidad de que existan máximo x éxitos. Si es FALSO, calcula la probabilidad de exactamente x éxitos. Dejar que los estudiantes practiquen, haciendo simulaciones, variando el número de ensayos y llevando un registro de las probabilidades; finalmente, hacer un análisis de los resultados obtenidos de las simulaciones. Después, proponer que se resuelva el siguiente problema, utilizando Excel. Un examen tiene 50 preguntas. Calcular la probabilidad de que un estudiante, marcando al azar las respuestas, obtenga una calificación mayor o igual a 6, en los siguientes casos: a) tiene 4 opciones; b) tiene 5 opciones. El propósito es el de impedir que un estudiante totalmente ignorante de la materia obtenga una calificación mayor que 6 cuando marca al azar. Entre todo el grupo se analizarán los resultados y se pondrá a discusión: ¿es necesario colocar 4 ó 5 opciones? En ambos casos, la probabilidad es casi cero y finalmente, el profesor cuestionará ¿será necesario colocar 4 opciones? Mientras los estudiantes dan sus justificaciones, el profesor escribirá en el pizarrón lo más relevante, se analizará y se decidirá que es lo más conveniente en este caso. Trabajando en equipos, el profesor propondrá a los estudiantes el siguiente problema: La distribución de la demanda (un número de unidades por unidad de tiempo) de un producto, a menudo puede aproximarse con una distribución de probabilidad normal. Por ejemplo, una compañía de comunicación por cable ha determinado que el número de interruptores terminales de botón solicitados diariamente tiene una distribución normal con una media de 200 y una desviación estándar de 50. a) ¿En qué porcentaje de los días, la demanda será menos de 90 interruptores? b) ¿En qué porcentaje de los días, la demanda estará entre 225 y 275 interruptores? Con base en consideraciones de costos, la compañía ha determinado que su mejor estrategia consiste en producir una cantidad de interruptores suficiente para atender plenamente la demanda en 94% de todos los días. ¿Cuántos interruptores terminales deberá producir la compañía cada día? El profesor dará la indicación de que deberán utilizar las tablas de valores de la distribución normal y les indicará que deben estandarizar la distribución normal: que tenga media igual a 0 (µ �= 0) y desviación típica igual a 1 (σ �= 1).

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MATERIAL

DE

APOYO

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PROBABILIDADES: UNA INTRODUCCIÓN

Popularmente, a la palabra estadística se le da el único significado de datos numéricos sobre determinado asunto. Es común oir hablar de estadísticas sobre inflación, estadísticas sobre el campeonato de fútbol, entre otros. Pero, como vimos en el capítulo 2, la estadística no es simplemente una técnica de recolección y presentación de datos, sino una ciencia con la cual se intenta sacar conclusiones a partir de datos numéricos originados en obvervaciones. Comprobamos que el objetivo de la estadística es deducir inferencias respecto de una población, partiendo de una muestra de esa población, como instrumento auxiliar en la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre. En este capítulo, veremos que el objetivo también es prever lo desconocido, cuantificándolo adicionalmente para determinar el error en un estimativo (de algo también desconocido, de una población). En resumen, una preocupación por prever los hechos a partir de informaciones existentes,

“El futuro a Dios pertenece, el presentimiento a nosotros”

“Hablar después del juego, comentar al final de la temporada son cosas fáciles. Dar la cara para convencer con presentimientos es lo que ellos saben. Muchos prefieren no arriesgarse en tal empresa, pero el buen cronista deportivo está obligado a ser una especie de vidente. O economista. Él también tiene que intentar prever los hechos.” La teoría del cálculo de probabilidades comenzó con una correspondencia entre dos matemáticos franceses, Blaise Pascal (1623-1662) y Pierre Fermat (1601 -1665), en 1654, con respecto a dos problemas formulados por un jugador compulsivo, el Chevalier de Méré (título del Barón A. G. Méré, 1610 - 1685). A partir de ese momento se realizan estudios de modelos matemáticos con ejemplos, esencialmente de juegos de azar (finalmente esa era la motivación de la época). Por desgracia, tal enfoque se propagó hasta nuestros dias, conllevando a que los libros de probabilidad traigan una serie de ejemplos que se refieren a los juegos de azar, a la extracción de bolas de las urnas, a las jugadas

con monedas (llamadas honestas, como si la mayoría no lo fuese), en el lanzamiento de los dados y en la aparición de determinadas cartas de la baraja, en especial, los ases y los reyes. Además, al aparecer la enseñanza de la teoría de conjuntos en las escuelas brasileñas en la década de 1960, se hizo énfasis en la asociación entre los conceptos probabilísticos y los de tal teoría, con la intención estadística a partir de otros modelos aparentemente más estructurados y de conocimiento general. De todos modos, los dos enfoques tuvieron su importancia hasta la década de 1980, y sus seguidores estaban preocupadpos por proporcionar una mejor comprensión de los conceptos téoricos por medio de estructuras que, a su entender, facilitaría la comprension de los modelos existentes. En nuestros dias, tal visión asociativa ya no es válida, especialmente por la variedad de aplicaciones (no solamente en los juegos de azar) y por la absoluta necesidad de que las personas comprendan como utilizar los conceptos estadísticos en la vida diaria. Ejercicio - ejemplo 3.1 Se tienen 100 tarjetas numeradas del 1 al 100. Se retiran 3 al azar. Determine la porbabilidad de que : a) Las tres tarjetas tengan números

consecutivos. b) Aparezcan dos números consecutivos

(pero no tres). c) De que no aparezcan números

consecutivos. Identifique cuándo este problema –que, con enunciado semejante, es encontrado en los libros de Estadística actuales - fue formulado por primera vez: a) 1950 b) 1900 c) 1850 d) 1800 e) ninguna de las respuestas anteriores El estudio de la relación existente entre los datos por medio de modelos probabilísticos se llama estadística matemática. Sin entrar en discusiones filosóficas con respecto al determinismo o no de nuestra vida, diremos que las variaciones de los fenómenos se deben a un gran número de causas que no

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CONCEPTOS. MODELOS. APLICACIONES CON EXCEL

Alfonso López Paulo

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA…

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podemos controlar y a las cuales el estadístico llama, sencillamente, el azar. “El segundo (Stéphane Mallarmé), poeta estupendo, creó el verso que debiera ser el lema permanente de cualquier apuesta económica. Un lance de dados jamás abolirá el azar.” El resultado de una experiencia generalmente se presenta por azar; pero si ésta se repite una gran cantidad de veces, puede construirse un modelo probabilístico y tomar decisiones con referencia al proceso experimental, con sólo sus características, sin necesidad de volver a repetir la experiencia. La práctica enseña que muchas experiencias son relizadas como si ocurrieran en situaciones estables, y las aplicaciones en los diferentes campos de la ciencia y de la industria se comportan de manera idéntica. En tales circunstancias, usualmente es posible construir un modelo matemático satisfactorio y emplearlo en el estudio de propiedades y en la obtención de conclusiones. El modelo matemático que un estadístico usualmente selecciona es capaz de posibilitar predicciones sobre frecuencia de los resultados que se espera se presenten cuando la experiencia es repetida. Por ejemplo, controlando la calidad de los componentes producidos en una fábrica podemos prever el porcentaje de componentes defectuosos esperados en el proceso de fabricación. En virtud de la naturaleza de los modelos y de los datos estadísticos, es natural que la probabilidad sea la segunda herramienta de la teoría estadística (la estadística descriptiva es la primera) El estadístico ve en las probabilidades, el ideal de la proporción de veces que determinado resultado aparecerá en las repeticiones de un experimento, y un modelo probabilístico es un instrumento matemático que prevé la frecuencia de la ocurrencia de un resultado posible sin que sea necesario repetir el experimento. Debido al hecho de que la probabilidad es una herramienta importante en los métodos estadísticos teóricos y prácticos, una introducción al cálculo de las probabilidades es, siempre, estudiada antes que la inferencia estadística. Emplear modelos matemáticos en la solución de situaciones de la vida real es común en varias ciencias. Por ejemplo, en el estudio del movimiento de un cohete, una sencilla ley suministra un modelo satisfactorio, a pesar de la complejidad del problema. Cuanto más

complejo es el trabajo, más elaborado es el modelo y, una vez que un modelo constituya solamente una representación de la situación actual, las conclusiones obtenidas dependen del grado de adecuación del modelo en relación con la situación que se estudia. Independientemente de la dificultad del problema, es fundamental conocer el campo de aplicación para garantizar que los modelos teóricos sean adecuados a la realidad. “Reino de la fantasía. En las estadísticas, el Brasil de las novelas es un país de otro planeta. En el terreno frío de las estadísticas, hay un abismo entre la ficción y la realidad, más profundo que el existente entre la cualidad de los autores de hoy y el virtuosismo de la fallecida Janet Clair. No es que los autores evadan la miseria. La única novela que hasta hoy se atrevió a mostrarla en todos sus matices, Brasileños y Brasileñas, exhibidas por el canal SBT en 1990, fue un retumbante fracaso de audiencia” En los métodos estadísticos se formulan hipótesis, se conducen experiencias y se verifica si las hipótesis iniciales concuerdan (o no) con los datos experimentales. Aunque los métodos estadísticos sean empleados en todas las ramas de las ciencias, hay diferencias entre los problemas de las ciencias biológicas y sociales –que incluyen variables indeseables que no pueden ser controladas - y los problemas de las ciencias físicas, en las cuales las variables pueden ser controladas satisfactoriamente en el laboratorio. El enfoque dado al estudio de las probabilidades, depende del área en el cual será aplicado. El estadístico puro prefiere tratar el asunto desde el punto de vista axiomático1, en el cual algunas afirmaciones se hacen sin demostración. Quien emplea la estadistica aplicada prefiere pensar en la probabilidad como el número de veces en las que se presentará determinada situación si una experiencia fuera repetida indefinidademente en situaciones de naturaleza repetitiva que pudiera concebirse de esa manera. Experiencias como contar el número de elementos defecutosos de un empaque, o la lectura diaria de una temperatura en un termómetro son ejemplos de experiencias simples. Por otro lado, un

1 Axioma: en la lógica aristotélica, es el punto de partida de un raciocinio, conciderado como evidente, y es la base de las demostraciones de una teoría


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experimento en el cual varias cobayas son alimentadas diariamente con diferentes clases de alimentos, sólo pueden realizarse una vez con el mismo animal; a pesar de esto, tal experimento puede ser imaginado como el primero de una serie ilimitada de experimentos y, por esta razón, ser considerado también como repetitivo.


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Todos conocemos, por intuición, el concepto de probabilidad, o chance, de que algo ocurra. En general, se expresa en términos de porcentaje y son comunes las frases del siguiente tipo: “La probabilidad de que Cobas se recupere es del 80%”. Adicionalmente, se sabe que la probabilidad de que lo imposible suceda tiene un 0% y la probabilidad de que lo seguro suceda tiene un 100%. “La probabilidad de que el equipo falle es del 40 %”, también es una afirmación que cuantifica el sentimiento con respecto a la probabilidad de que el equipo falle. Todas estas probabilidades son cuantificadas por medio de un número que está en el intervalo entre 0 y 1, donde los valores indican el resultado que tiene mayor probabilidad de ocurrir. El 0 (cero) indica que el resultado de interés nunca ocurrirá, y el 1 (uno) indica que el hecho, con certeza ocurrirá. Estos pensamientos naturales son el fruto de la experiencia pasada, de la observación de los de la vida, codificados y resumidos por la estadística descriptiva para su posterior consulta. En la vida diaria, el término probable se refiere a la magnitud del porcentaje de lo que es favorable a lo que se desea en relación con todos los resultados. Acostumbramos a estimar las probabilidades de que lleva, o de conseguir un puesto en el teatro, o de que un equipo de futbol gane un partido. Es difícil, en estos casos, obtener una media exacta de las probabilidades, y podemos conjeturar apenas tentativas intuitivas en la obtención de los resultados probables; dicho ésto, a veces es preciso tener en cuenta un factor que varía con el tiempo, tal como la mejoría en el desempeño de un equipo o el defecto de las mutaciones sociales. “El episodio hace recordar la historia de un suizo que, despavorido con la amenaza de una guerra en Europa, decidió aislarse de todo y de todos. Después de decenas de estudios, el personaje (...) pegó un mapamundio en la pared y dijo: “Es aquí”, apuntando hacia Guadalcanal. Mudóse para allá un poco antes de que comenzara una de las más sangrientas batallas de la Segunda Guerra Mundial”

Para perfeccionar ese conocimiento, se necesita obtener matemáticamente una media numérica de la probabilidad. Cuando no se tiene alguna información, se pueden enumerar los resultados posibles y describirlos como igualmente probables (equiprobables). Por ejemplo, encontrar ventanillas vacías en una oficina pública con cinco ventanillas puede resultar en cualquiera de los números 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Nuestros motivos para definirlos como equiprobables se basan en el hecho de que cada ventanilla es (casi exactamente) simétrica y las condiciones de llegada a esa oficina supuestamente no favorecen a una más que a otra. Cuando tales condiciones de simetría dan un significado razonable a la expresión igualmente probable, podemos decir que siempre que una experiencia consiste en “n” resultados posibles e igualmente probables, la probabilidad de cada resultado

es n

1; aunque útil, esa información es circular

(lo definido aparece como definición). Así, cuando fueron enumerados todos los resultados posibles con la hipótesis de una supuesta igualdad, la probabilidad de determinada situación es el cociente del número de sucesos favorables a la situación y el número total de resultados. La probabilidad así definida se llama probabilidad a priori; en el ejemplo, la probabilidad de encontrar una

ventanilla vacía es de 6

1.

“Carreras equilibradas. Se confirmaron 11 carreras, algunas numerosas y equilibradas... Ese detalle va ciertamente a causar dificultades a los apostadores de la Quiniexacta, de los cuales necesitan acertar en los cinco pares exactos de las últimas cinco carreras.” La probabilidad también puede ser obtenida a partir de una relación entre los sucesos favorables y los desfavorables (o viceversa). Podemos decir que una razón a favor de cierta situación es 2 a 7, queriendo decir con esto

que la probabilidad de que suceda es de 92

.

Estas consideraciones dan como resultado el llamado principio básico de la probabilidad, el cual es el resultado de dividir el número de

LO QUE EL PASADO NOS ENSEÑA Y PREVIENDO UN POCO:

LAS POSIBILIDADES DE QUE LOS HECHOS OCURRAN

LO QUE EL PASADO NOS ENSEÑA…

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casos favorables por el número total de casos posibles.

Pr2(A) = posiblescasosdetotalcasosdetotalnúmero

Esta fue la primera definición del concepto de probabilidad, conocida como “La Ley de Laplace3”

2 La abreviación “Pr” significa la probabilidad de ... 3 Pierre Simón Laplace (1749 – 1827), matemático francés

LO QUE EL PASADO NOS ENSEÑA…

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La definición clásica no incluye determinadas situaciones como, por ejemplo, saber cuál es la probabilidad de que una persona fallezca entre los 50 y los 60 años, ya que no se puede conseguir el número total de casos posibles. Sin embargo, las afirmaciones pueden ser consideradas en tablas de frecuencias, las cuales se clasifican entre las que no tienen pérdida de información y las que sí las tienen, permitiéndonos hacer una analogía entre las tablas de frecuencias y los conceptos probabilísticos. Teniendo en cuenta que este libro presenta los conceptos gradualmente, en la medida que sea necesario, volvamos a las tablas de Estadística Descriptiva. La menor frecuencia absoluta que puede presentarse en una serie observaciones es igual a 0, es decir, no se presenta determinado valor, situación o clase, mientras que la mayor frecuencia absoluta es N, es decir, solamente se presenta aquel valor, situación o clase. Estas afirmaciones pueden expresarse en porcentajes: 0% y 100%, encontrados por medio de la división de la frecuencia absoluta por el total de los valores y multiplicada por 100.

100xtotal

absolutafrecuencia

La fracción “total

absolutafrecuencia” se llama

frecuencia relativa4 En las tablas de frecuencias, se crea una columna para las frecuencias relativas de los valores o de las clases de valores, tal como se muestra en las tablas 3.1 y 3.2, que son continuación de los ejercicios – ejemplos 2.17 y 2.18. Se comprueba que cualquier valor, situación o clase tiene una frecuencia entre el 0% y 100%, incluidos dichos límites. Estos son los valores que las probabilidades pueden tomar, tal como se comprobó en el concepto clásico. Tabla 3.1 Frecuencia relativa del ejercicio –ejemplo 2.17

4 Frecuencia relativa: es la división del número de observaciones en las cuales se presenta el resultado deseado (frecuencia absoluta) por el número total de observaciones hechas.

País Frec.

absoluta Razón

Frecuencia Relativa Frec.

decimal %

Brasil 56 14/25 0.56 = 56%

Estados Unidos 15 3/20 0.15 = 15%

Alemania 7 4/57 0.07 = 7%

Italia 4 1/25 0.04 = 4%

Suecia 3 2/67 0.03 = 3%

Inglaterra/Holanda 2 1/50 0.02 = 2%

Francia 2 1/50 0.02 = 2%

Suecia 2 1/50 0.02 = 2%

Bermudas 2 1/50 0.02 = 2%

Panamá 2 1/50 0.02 = 2%

Inglaterra 1 1/100 0.01 = 1% Francia/Estados Unidos 1 1/100 0.01 = 1%

Holanda 1 1/100 0.01 = 1%

Brasil/Alemania 1 1/100 0.01 = 1%

Chile 1 1/100 0.01 = 1%

Total 100 100/100 1 = 100% FUENTE: EXAME.- Maiores e Melhores, julio de 1998

Intuitivamente, vemos que en la Tabla 3.1, la probabilidad de observar una compañía brasileña es mayor que la de observar una chilena, pues la brasileña tiene un porcentaje (probabilidad) del 56%, mientras que la chilena tiene apenas un 1%.

LO QUE LA EXPERIENCIA NOS ENSEÑA: VOLVIENDO A LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

LO QUE LA EXPERIENCIA NOS ENSEÑA…

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Tabla 3.2 Frecuencias relativas del ejercicio –ejemplo 2.18

Clase Frec.

absolutaRazón

Frecuencia Relativa

Frec. decimal %

100 - 3 600 30 3/8 0.375 = 37.5%

3 600 - 7 100 24 3/10 0.3 = 30%

7 100 - 10 600 10 1/8 0.125 = 12.5%

10 600 - 14 100 10 1/8 0.125 = 12.5%

14 100 - 17 600 0 0 0 = 0%

17 600 - 21 100 3 3/80 0.0375 = 3.75%

21 100 - 24 600 2 1/40 0.025 = 2.50%

24 600 - 28 100 0 0 0 = 0%

28 100 - 31 600 1 1/80 0.0125 = 1.25%

Total 80 80/80 1 = 100% FUENTE: EXAME.- Maiores e Melhores, julio de 1998

Intuitivamente, en la tabla 3.2 vemos que la oportunidad de observar una compañía con un número de empleados entre 100 y 3 600 es mayor que la de observar una compañía con un número de empleados entre 140 100 y 17 600, porque la primera tiene un porcentaje (probabilidad) de 37.5% que es bastante mayor que el porcentaje de la segunda, con el 0%. Los fenómenos estudiados por la estadística son aquellos cuyos resultados, así como las condiciones de experimentación, varían de una observación a otra. El resultado de una observación futura no puede, por consiguiente, ser anticipado exactamente. De todos modos, la práctica muestra que los resultados de una sucesión razonablemente larga de repeticiones del mismo fenómeno, presenta una regularidad en el sentido de que la frecuencia relativa de la cual determinado resultado aparece, tiende a mantenerse constantemente. El fenómeno que presenta esa regularidad estadística se llama fenómeno aleatorio. De esta manera, se puede definir la probabilidad de una situación como la frecuencia relativa con la que ésta se presenta en n observaciones, es decir, el número de veces en las que se presenta esa situación, dividida por el número total de observaciones cuando éstas tienden a infinito. A medida que el número de repeticiones aumenta, se presenta una estabilización de la frecuencia relativa, lo cual es conocido como la regularidad estadística. El error relativo de la estimación de esa probabilidad se hace cada vez menor a medida que aumenta el número

de repeticiones. Este enfoque de la probabilidad se llama frecuencial. “En los partidos en los que ganó, el Flamingo usó uniforme blanco. Y no tuvo como presidente a(..) en el Maracaná. En sus derrotas, vistió uniforme negro. Y tenía a (..) como hincha en el gimnasio. ¿Cómo será en el cuarto campeonato?” Cuando se realiza un experimento, un resultado observado es definido, determinado, no pudiendo presentarse un número fraccionario de veces. Volviendo a examinar una oficina con cinco ventanillas, decimos que la probabilidad de cada uno de los resultados posibles (hallar de 0 a 5 ventanillas vacías) es

de 61

, y con seguridad, no podemos obtener

61

de la unidad con una única observación de

las ventanillas y buscando una ventanilla vacía. ¿Podemos decir, entonces, que obtenemos cada resultado exactamente una vez en seis observaciones o, exactamente 100 veces en 600 observaciones? La respuesta es, evidentemente, no; pero afirmamos que si las seis ventanillas fueran observadas muchas veces, en promedio, los seis resultados posibles se presentarían con frecuencias prácticamente iguales. Si esto no sucede, debemos sospechar que otro factor esta interviniendo en lo que observamos. La simetría, aunque es posible definirla de una manera positiva, en muchos casos es, en esencia, un hecho negativo: puede ser que no exista una diferencia conocida u observable. Si el resultado de nuestro experimento demuestra alguna inconsistencia, tal como el resultado obtenido con mayor frecuencia en la observación de una ventanilla que en otra, creemos que esto se debe a una causa orientadora para este resultado y concluimos que no hay una simetría, base del modelo, o que se ha presentado un problema durante la realización de la observación. “La hora del peligro. De los 577 accidentes que se presentaron entre 1987 y 1996, en los que el avión quedó totalmente destruido, con o sin victimas, casi las dos terceras partes se presentaron entre la fase del descenso y la del aterrizaje. Véase el porcentaje en cada etapa del vuelo. 2%, maniobrando; 14%, en el decolaje; 17%, en el ascenso; 5%, en altitud de crucero;


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6%, en el descenso; 43%, en la aproximación, 22%, en el aterrizaje”. “El error humano. Entre 1987 y 1996, siete de cada diez accidentes de jet se presentaron por fallas de la propia tripulación. Véase los motivos principales: 3%, fallas en el control de tráfico; 4%, por mal tiempo; 6%, falta de mantenimiento; 9%, fallas en el avión; 72%, errores de la tripulación; 6%, otros.” Si la observación fuera repetida 1 000 veces, encontrar dos ventanillas vacías, por ejemplo, podría presentarse 0, 1, 2... 999 ó 1 000 veces. Es posible calcular las probabilidades de dichos resultados y demostrar que la fracción de un éxito (en este caso, encontrar dos ventanillas vacías) en n observaciones, tiende a estabilizarse a medida de que n aumenta indefinidamente. Pero estamos tratando con las probabilidades a priori5, obtenidas a partir de una clasificación de resultados igualmente probables de n observaciones; no podemos demostrar matemáticamente que las leyes de la naturaleza son las leyes de la probabilidad matemática. La igualdad efectiva de la probabilidad a priori y la frecuencia relativa en una extensa serie de repeticiones, son aspectos confirmados apenas por la experiencia. “− Según las estadísticas, uno de cada cinco bebés que nacen hoy, en el mundo, es chino. − ¿Y qué? Somos cinco. Nuestras esposas tendrán un hijo al mismo tiempo. Debemos prepararnos para la posibilidad de que uno de nuestros hijos sea chino. − ¡Qué absurdo! − Es la estadística.6”

5 Es la probabilidad que se establece atendiendo consideraciones sobre la simetría o la regularidad de resultados simples. 6 Herejía: pensar que los modelos probabilísticos obligarán a la naturaleza a comportarse de acuerdo a un modelo matemático.


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Aunque la relación entre el concepto de frecuencia relativa y el de probabilidad sea poco común en los libros de Probabilidad y Estadística, éste no es un concepto nuevo como pudiera parecer. En la obra Ars conjectandi, del matemático francés Jacques Bernouilli (1654 –1705), publicada póstumamente en 1713, aparece enunciada por primera vez una ley que vino a ser llamada teorema de Bernouilli, o ley empírica del azar o también, la primera ley de los grandes números7. Esta ley puede ser expresada de manera más precisa en términos matemáticos, pero ese enunciado es suficiente para resumir los fundamentos del cálculo de las probabilidades. Otro texto es el siguiente: Cuando el número de repeticiones de un experimento aleatorio crece mucho, la frecuencia relativa del evento asociado se va aproximando cada vez más a un cierto valor. Ese valor se llama la probabilidad de ocurrencia del evento. La ley de los grandes números está asociada al concepto de probabilidad a posteriori porque, cuando no se puede establecer la probabilidad a priori, la única opción es la de estimar la probabilidad estudiando el valor límite para el cual las frecuencias relativas se aproximan; esa probabilidad se llama probabilidad a posteriori8. Muy relacionada con la primera ley de los grandes números está la segunda ley de los grandes números: a medida que el número de repeticiones de un experimento aleatorio crece, mayor tiende a ser el valor absoluto de la diferencia entre la frecuencia absoluta experimental de un evento y la frecuencia absoluta teórica (esperada).

7 Es muy probable que, si efectuáramos un número suficientemente grande de ensayos de un experimento, la frecuencia relativa de un acontecimiento se separe mucho de su probabilidad. 8 Probabilidad establecida por la observación experimental de las frecuencias relativas de la ocurrencia de un resultado.

Obsérvese que la primera ley de los grandes números se refiere a la frecuencia relativa; y la segunda, a la frecuencia absoluta.

LA LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS Y LA ATRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

LA LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS Y LA ATRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

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Segunda ley de los grandes números: A medida que el número de ensayos de un experimento aleatorio crece, mayor tiende a ser el valor absoluto de la diferencia entre la frecuencia absoluta de un evento y la frecuencia absoluta teórica (esperada). Existe también el concepto subjetivo, una evaluación personal. La probabilidad personal describe el juicio de una persona con respecto a cuán probable es el que una situación pueda presentarse. No está basada en un cálculo preciso, pero puede ser la evaluación razonable de una persona con experiencia, y diferentes personas podrán asociar probabilidades diferentes a los mismos resultados, pudiendo una de ellas afirmar que determinada probabilidad es 0.9 mientras que la otra puede decir que es de 0.4. El DNRE estimó que el 80 % de los conductores no pagó las multas esperando una amnistía. Independientemente del concepto empleado, las personas se basan en una tentativa de modelaje del comportamiento de la naturaleza, representada por modelos construidos a partir de la observación. Por más perfecto que pueda parecer, un modelo es siempre una simplificación de la realidad. Por ejemplo, si se preguntase cuál es la probabilidad de que una persona pueda sacar una pelota amarilla de una resma de hojas amarillas, la probabilidad no sería, obligatoriamente, igual a 1, porque la persona podría morir segundos antes de retirar la hoja amarilla. “Algunos estudiosos afirman que el mayor poder de la ciencia es el poder de la predicción, a decir, el poder de saber que algo va a suceder (...) Pero existen diferencias entre conocer el futuro por medio de la lógica matemática, por el cálculo de las probabilidades, y conocer el futuro por medio de una misteriosa propiedad de la mente humana”

UN CONCEPTO ADICIONAL

UN CONCEPTO ADICIONAL

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Cuando buscamos el precio de venta de un dólar libre, conducimos lo que se llama un experimento. Diariamente, los resultados pueden presentar una ligera diferencia entre sí a causa de las pequeñas modificaciones en las variables no controladas, incluyendo alteraciones en la tasa de cambio o en el volumen de los negocios. Llamamos experimento al fenómeno que estamos interesados en observar y cada realización del mismo es un ensayo. El experimento aleatorio es aquel que puede generar diferentes resultados, aun si se repite en las mismas condiciones y en cualquier ocasión. Experimento aleatorio: Cualquier proceso de observación que puede repetirse a voluntad en condiciones similares, con la condición de que el resultado no pueda ser previsto antes de cada una de las realizaciones. Espacio muestral: Conjunto de todos los resultados posibles de un evento aleatorio. Evento elemental (o simple): Es un elemento del espacio muestral de un experimento aleatorio. Evento compuesto: Aquel que comprende varios resultados de un experimento aleatorio. Eventos mutuamente excluyentes: Aquellos en que la ocurrencia de un evento excluye la ocurrencia de otro evento. Eventos colectivamente exhaustivos: Aquellos que en un experimento aleatorio, son mutuamente excluyentes y constituyen la totalidad de los resultados posibles para el experimento en cuestión. “El primero (Manuel Duchamp), tal vez el artista más importante del siglo, siempre trabajó con variables controladas, pero dejando abierto el espacio para la intervención del azar. Creó, por ejemplo, cintas a partir de cuerdas de un metro, colgadas de una misma altura –dejando al azar la tarea de escoger la forma que tomaran al tocar el suelo.” De esta manera, se dice que el experimento (y cuantos se hagan), tienen componentes aleatorios. En algunos casos, las variaciones aleatorias que se presentan son tan pequeñas, comparadas con los objetivos del

experimento, que pueden ser ignoradas. De todas maneras, la variación está siempre presente y su magnitud puede ser tal que las conclusiones importantes pueden no ser obvias y, en tal caso, se emplea el método estadístico para modelar y analizar métodos experimentales. Cuando un experimento no es observado, sino que es realizado en el laboratorio, no importa cuán cuidadosamente sea éste planeado: de todos modos las variaciones siempre pueden presentarse. Siendo así, el objetivo del cálculo de las probabilidades es comprender, modelar y cuantificar las clases de variaciones que pueden encontrarse en la observación o en la realización de los experimentos. Cuando se incorpora el concepto de variabilidad a la concepción y a los análisis, se dice mejor a partir de los valores obtenidos. Para cierto experimento, podemos definir el conjunto de todos los resultados que juzgamos posibles. Ese conjunto se llama espacio de las probabilidades o resultados posibles del experimento o, sencillamente espacio muestral, denominado con la letra S9, y cada uno de los resultados posibles es un elemento del conjunto S. Aunque no se pueda prever cuál resultado particular pueda presentarse en la realización del experimento, se puede conocer el conjunto de los resultados posibles del experimento; en la práctica, no estamos interesados en el espacio muestral, sino en algún resultado elemental (solo un elemento de S) o en un subconjunto de resultados elementales. El resultado elemental se llama evento elemental (o simple), si fuera solamente uno, o evento compuesto, en caso contrario. Lo que queremos saber, en la vida real, son las probabilidades de que S presente determinado evento, sea este elemental o no. Complemento de un evento A: Consiste de todos los resultados del espacio muestral que no pertenecen al evento A. Eventos independientes: Aquellos en los que la ocurrencia de uno de los eventos no suministra información con respecto a la ocurrencia o no de otro evento, es decir, que

9 S es la abreviatura de space, del inglés americano, conservada aquí por ser la más usada en los libros que tratan de este tema.

APRENDIENDO MÁS VOCABULARIO ESTADÍSTICO


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la ocurrencia de un evento no tiene influencia en la ocurrencia de otro. Diremos que el evento se presentó en cierto experimento, si el resultado es un elemento del conjunto que define al evento. Si la presencia de un evento (elemental o compuesto) impide que otro evento se presente (también elemental o compuesto), se dice que son eventos mutuamente excluyentes. Como resultado de que dos eventos sean excluyentes mutuamente, la probabilidad de que se presenten al mismo tiempo es cero. Como el complemento de un evento A consiste de que todos los resultados del espacio muestral que no hacen parte del evento A, la probabilidad de que se presente el evento contrario, es igual a 1 menos la probabilidad del evento A considerado. Para los eventos colectivamente exhaustivos, la suma de las probabilidades de que se presenten todos ellos es igual a 1. Finalmente, dos eventos son independientes –es decir, el hecho de que uno de ellos se presente no influye en la probabilidad de que el otro se presente–; la probabilidad de que estos se presenten simultáneamente es igual al producto de sus probabilidades.


29

LA FUNDAMENTACIÓN MATEMÁTICA

El objetivo del cálculo de las probabilidades es el de obtener un valor numérico asociado con la ocurrencia de un determinado acontecimiento para facilitar la toma de decisiones relacionadas con él. Pero no existe concordancia entre los conceptos clásicos, frecuencial y subjetivo, la teoría de las probabilidades tuvo que basarse en un conjunto de axiomas en los que las probabilidades son asociadas a los resultados basándose en el conocimiento de la situación bajo estudio. Los axiomas aseguran que las probabilidades asociadas a cada experimento pueden interpretarse como frecuencias relativas y que las asociaciones son consistentes con la comprensión intuitiva de la relación entre los resultados favorables y los resultados posibles. Los axiomas facilitan los cálculos de las probabilidades de que se presenten ciertos eventos partiendo del conocimiento de las probabilidades de otros eventos. Los axiomas fueron enunciados por el matemático ruso Kolmgorov10 y son los siguientes: En un experimento aleatorio en un espacio muestral asociado, una función que asigna a cada resultado un número real, representado por Pr (A), es una función de probabilidad si satisface las siguientes propiedades: 1. Para cualquier evento A, 0 ≤ Pr(A) ≤ 1. 2. La probabilidad del evento cierto es la

unidad, Pr(espacio muestral) = 1. 3. Si los eventos A y B son mutuamente

excluyentes, la probabilidad de ocurrencia del evento A o del evento B es la suma de las probabilidades de la ocurrencia de A y la ocurrencia de B.

El primer axioma afirma que se atribuye a todo evento del espacio muestral algún número real; en el cálculo de las probabilidades, la escogencia de los números que serán asociados a los resultados pudieran ser cualquiera, pero matemáticamente puede comprobarse que deben estar entre 0 y 1.

10 Andrés Nicolaievitch Kolmogrov (1903 – 1987), matemático ruso

El segundo axioma afirma que al espacio muestral como un todo, se le asigna el valor probabilístico 1 y expresa la idea de que la probabilidad del evento seguro, es igual a 1. El tercer axioma afirma simplemente que se suman las probabilidades cuando los eventos son mutuamente excluyentes. Los tres axiomas no necesitan ser demostrados, de todos modos, si la teoría resultante es aplicada en el mundo real, se debe demostrar de alguna manera que los axiomas son realistas, es decir, que representan resultados razonables, comprobados por el concepto frecuencial de la probabilidad11. Los axiomas no indican cómo atribuir probabilidades a los diferentes resultados de un experimento; apenas restringen las formas por las cuales esto puede hacerse. En la práctica, las probabilidades son atribuidas con base en las estimaciones obtenidas en experiencias pasadas en un estudio cuidadoso con respecto al experimento o en suposiciones de que los diferentes resultados presentan la misma probabilidad. Las propiedades aditiva y multiplicativa ayudan al cálculo de las probabilidades

de los eventos no elementales. En muchas situaciones, la estimación de la probabilidad de un evento se actualiza con base en una información adicional, antes probable, pero ahora cierta, debiéndose actualizar el espacio muestral con esta nueva información. La definición de probabilidad condicional puede ser usada para suministrar una expresión general sobre la ocurrencia simultánea de dos eventos. La probabilidad de que dos eventos, A y B, ocurran simultáneamente, Pr(A y B), es igual a: 1. La probabilidad de A multiplicada por la

probabilidad de B, si A ha ocurrido:

11 Probabilidad de un evento E, definido en un espacio muestral S en una función que hace corresponder a cada evento E un número real, indicado por Pr(E), satisfaciendo los tres axiomas fundamentales

COMBINACIÓN DE LOS TRES CONCEPTOS DE PROBABILIDAD: LO QUE LA TEORÍA FUNDAMENTA

COMBINACIÓN DE LOS TRES CONCEPTOS DE PROBABILIDAD…

COMBINACIÓN DE LOS TRES CONCEPTOS DE PRO

30

Pr(A y B) = Pr(A) * Pr(BA)12, o

2. La probabilidad de B por la probabilidad de A, si B ha ocurrido.

Pr(A y B) = Pr(B) * Pr(AB)

Si los eventos A y B fueron independientes, Pr(AB) = Pr(A) (pues A es independiente del resultado de B) y Pr(BA) = Pr(B); en este caso Pr(A y B) = Pr(A) * Pr(B). Esta es la propiedad o ley multiplicativa de las probabilidades. Se deduce (1) y (2) que la probabilidad de A habiéndose presentado B, está dada por

Pr(AB) =)Pr(

)Pr(BAyB

Y que la probabilidad de B habiéndose presentado el evento A, está dada por

Pr(BA) =)Pr(

)Pr(AAyB

Siempre y cuando Pr(A) y Pr(B) sean diferentes de 0 (lo cual es evidente). Esta es la definición de probabilidad condicional13. Si A y B son independientes,

Pr(B A) = )()Pr(

)Pr()Pr()Pr()( BP

ABxA

AAyB

== ,

tal como se vio.

La probabilidad de que se presenten dos eventos, A y B, en la cual, ó A se presenta ó B se presenta o ambas se presentan, es la suma de las probabilidades de cada uno de los dos eventos, menos la probabilidad de que ambos eventos ocurran. La llamada propiedad aditiva de las probabilidades es la siguiente: Pr(A ó B) = Pr(A) + Pr(B) – Pr(A y B) = Pr(A) + Pr(B) – Pr(A)x Pr(B A) = P(A) + Pr(B) – Pr(B)x Pr(A B)

12 Se lee Pr(BA) como la probabilidad de B dada la certeza de que A ha ocurrido y Pr(AB) como la probabilidad de A cuando hay certeza de que B se ha presentado 13 Probabilidad condicional de un evento A, habiéndose presentado un evento B, es denotada por Pr(A B) y calculada por Pr(A B)

= )Pr(

)Pr(BAyB

.

Si A y B fueran independientes, Pr(A ó B) = Pr(A) + Pr(B) – PR(A) x Pr(B) Ejercicio-ejemplo 3.2 Para ilustrar las propiedades, se tiene el problema de calcular la confiabilidad de un conjunto de componentes de un sistema, llamados específicamente sistema de serie paralelo, en los cuales los efectos de fallas en los equipos son considerados mutuamente independientes con la finalidad de simplificar los cálculos matemáticos. Un sistema en serie es aquel en el cual todos los componentes se relacionan de tal manera que el sistema entero fallará si falla cualquiera de sus componentes (fig. 3.1) Un sistema en paralelo (o redundante, fig.3.2) es aquel que solamente fallará si todos los componentes fallan.

Figura 3. 1 Sistema en serie

Figura 3.2

Sistema en paralelo Ejercicio-ejemplo 3.2b a) Determine la confiabilidad del sistema de

la fig. 3.3, sabiendo que la confiabilidad de cada aparato es del 90%;

b) Determine la confiabilidad del sistema de la fig. 3.4, si se sabe que la confiabilidad de cada equipo es de 90%.

Figura 3. 3 Sistema A

Figura 3.4

COMBINACIÓN DE LOS TRES C

31

Sistema B El ejercicio-ejemplo 3.2b podría ser resuelto también por medio del evento complementario, porque la probabilidad de que el sistema funcione es igual a 1 menos la probabilidad de fallar; pero el sistema falla cuando los dos componentes fallen, es decir, fallan el primero y el segundo. De ahí que la probabilidad de no fallar es igual a 1 - (1 - 0,9) * (1 - 0,9) = 99%. Ejercicio-ejemplo 3.314 En una línea de producción de placas para circuitos electrónicos se sabe, a partir de registros históricos, que el 5% de las placas no satisface las especificaciones de longitud y que el 3% no satisfacen las especificaciones de la anchura. Teniendo en cuenta que los cortes para la longitud y el ancho son hechos por máquinas diferentes, es decir, que son independientes, determine: a) La probabilidad de escoger una placa

totalmente conforme a las especificaciones.

b) La proporción de placas que no satisfacen por lo menos a una de las especificaciones:

c) La proporción de placas que no cumplen ninguna de las especificaciones.

d) La probabilidad de un material no conforme, sabiéndose que, si no es conforme en cuanto a la longitud hecha por las máquinas responsables por el corte de las medidas, la probabilidad de ser no conforme en cuanto al largo es del 60%.

e) Si, en el ítem (a) los eventos pueden considerarse como mutuamente excluyentes.

f) Describa dos eventos de este ejemplo que sean mutuamente excluyentes.

14 Mito. Calcular correctamente las probabilidades de todos los ejercicios de los libros de estadística y encontrar que nunca va anecesitar usarlas

32

Se considera que dos o más eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo, es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro. Ejemplo: Una universidad en su proceso de selección clasifica a sus estudiantes que ingresan, de acuerdo a su puntaje obtenido en el bachillerato, “8 ó más” y “por debajo de 8.0”, según promedio ponderado. Estos dos eventos o clasificaciones son mutuamente excluyentes.

REGLA DE LA ADICIÓN Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, esta regla indica que la probabilidad de que ocurra uno u otro de los eventos, es igual a la suma de sus probabilidades. P(A ó B) = P(A U B) P(A U B) = P(A)+ P(B) P(A ó B ó...ó Z) = P(A U B U...U Z) P(A U B U...UZ)= P(A)+ P(B) +... P(Z) Ejemplo: En el proceso de selección de una determinada universidad, los puntajes del ICFES para la admisión en una de sus carreras, se clasificaron bajo los siguientes eventos: Por debajo de 320

(Reprobado)

320 (Satisfactorio) Por encima de 320

(Sobresaliente)

Tomando una muestra aleatoria de 400 alumnos, se tienen los siguientes resultados:

Evento No de

Estudiantes

Probabilidad de

ocurrencia Reprobado

Satisfactorio Sobresaliente

10 360 30

0.025 0.900 0.075

400 1 ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante tenga un puntaje menor o mayor de 320? P( reprobado o sobresaliente) = P(R ó S)

P(R ó S)= P(R U S) = P(R) + P(S) = 0.025 + 0.075 = 0.1

Observe que los eventos son mutuamente excluyentes, lo cual significa que un estudiante no puede tener un puntaje menor de 320, de 320 y mayor de 320 al mismo tiempo.

Obsérvese: P(R u S u S’) = 1 La probabilidad de que un estudiante haya obtenido 320 de puntaje en el ICFES más la probabilidad de que no haya obtenido dicho puntaje debe ser igual a 1. A esto se denomina regla del complemento.

REGLA GENERAL DE LA ADICIÓN Cuando los eventos no son mutuamente excluyentes, la probabilidad de la ocurrencia conjunta de los dos eventos, se resta de la suma de las probabilidades de los dos eventos.

P(A ó B) = P(A) + P(B) - P(A y B) En la teoría de conjuntos, la ocurrencia conjunta hace referencia a la intersección, por lo tanto:

P(A y B) = P(A ∩B) Entonces: P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

RELACIÓN DE EVENTOS INDEPENDIENTES CON LA LEY DE

MULTIPLICACIÓN Se considera que los eventos A y B son independientes si y sólo si la ocurrencia del evento A no tiene efecto en la probabilidad de ocurrencia del evento B y viceversa. Teniendo en cuenta la anterior definición, la probabilidad de que ocurran A y B a la vez, se obtiene al multiplicar las dos probabilidades:

P(A y B) = P(A) * P(B) = P(A ∩ B) P(A y B) = P(A) . P(B) = P(A ∩ B)

Esta regla para combinar probabilidades supone que la ocurrencia de un segundo evento depende de la ocurrencia del primero. Extensión: P(A y B y C y... Z) = P(A) * P(B) * P(C) * ...* P(Z) = P(A ∩ B ∩ C ∩ … ∩ Z)

RELACIÓN DE EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES CON LA LEY DE LA ADICIÓN


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P(A y B y C y... Z) = P(A) • P(B) •P(C) • ...• P(Z) = P(A ∩ B ∩ C ∩ … ∩ Z) Ejemplo: Una prueba de múltiple escogencia con tres preguntas cada una, de las cuales existen cinco opciones de respuesta, es realizada por un alumno; determine la prueba de habilidad de acertar al azar todas las respuestas. La probabilidad de que acierte la primera es

de 51

. La probabilidad que acierte la segunda

es de 51

y la probabilidad que el tercero

acierte es de 51

, por tanto:

1º Pregunta: P(A) 2º Pregunta: P(B) 3º Pregunta: P(C) Aplicando la fórmula de la extensión vista anteriormente, se tiene:

P(A y B y C) = P(A)*P(B)*P(C)

= 51

* 51

* 51

= 125

1

= 0.008 = 0.8% = 1%

PROBABILIDAD CONDICIONAL Para ilustrar este concepto, véase el siguiente ejemplo: Un lote de piezas contiene 90 buenas y 10 defectuosas. Al retirar aleatoriamente una pieza, la probabilidad de seleccionar una buena es del 90%; al retirar una segunda pieza, la probabilidad de que sea buena, depende de la primera extracción. La probabilidad de que la segunda pieza sea buena, es:

9989

: Si la primera pieza seleccionada fuera

buena (quedaban 89 piezas buenas)

10099

: Si la primera pieza seleccionada fuera

mala (quedan las mismas 90 piezas buenas). A esto se le denomina Probabilidad Condicional: la probabilidad de que ocurra un evento X, dado que otro evento Y ha ocurrido.

REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACIÓN Para dos eventos dados A y B, la probabilidad conjunta de que ambos eventos sucedan resulta de multiplicar la probabilidad de que el evento A suceda, por la probabilidad condicional de que ocurra el evento B, dado que A ha ocurrido.

P(A ∩ B) = P(A) * P(B/A) Ejemplo: Teniendo en cuenta el ejemplo anterior de las 90 piezas, se van a seleccionar y dejar por dos, una después de otra. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una pieza buena seguida por otra también buena? La primera pieza seleccionada es el evento A.

P(A) = 10099

La segunda pieza seleccionada es el evento B. Si se considera que la segunda pieza es buena,

P(B/A) = 9989

,

ya que después del evento A sólo quedan 89 piezas buenas P(A ∩ B) = P(A) * P(A/B)

= 10099

* 9989

= 11089

= 0.8091 = 81 %

Interpretación: Al repetirse este experimento en un gran número de veces, 10 000 por ejemplo, aproximadamente 8 000 de ellos resultarán con piezas buenas, tanto en el primero evento como en el segundo. Hay una probabilidad del 81% de que salga, tanto en la primera como en la segunda selección, pieza buena.


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Si un experimento es tal que puede ser tratado en etapas, una a continuación de la otra, la lista de los resultados puede ser simplificada considerablemente si se describe por medio de un gráfico llamado árbol de probabilidades o diagrama de árbol. Cuando un espacio muestral puede ser descrito en diferentes etapas, se representa cada uno de los n1 caminos para completar la primera etapa como la rama de un árbol. Cada una de las formas para completar la segunda etapa puede ser representada como n2 caminos, comenzando con el final de las ramas originales y así sucesivamente. Por ejemplo, un mensaje en un sistema de comunicaciones digital puede ser recibido a tiempo o no. Si se reciben tres mensajes, la fig. 3.5 ilustra el diagrama de árbol que representa el espacio muestral de los resultados posibles.

A

A A

A

E

E

EEE AE A

E AE

A

Mensaje 1

Mensaje 2

Mensaje 3

A tiempo

Atrasado

Figura 3.5

Árbol de probabilidades (diagrama de árbol) Cada fase de un experimento de varias etapas tiene tantas ramas como posibilidades existen en dicha etapa. En el caso de la fig. 3.5, hay dos diferentes en la primera fase y dos ramas secundarias en cada una de las segundas etapas. El número total de ramas terminales del árbol da el número total de resultados posibles de la experiencia compuesta y, por esta razón, los puntos terminales de esas ramas pueden considerarse como puntos muestrales del espacio muestral correspondiente al experimento. Si existen varias fases para un experimento y varias posibilidades en cada fase, el árbol

asociado con el experimento se vuelve muy grande para ser manipulado. En tales problemas, el conteo de los puntos muestrales se simplifica por medio de fórmulas algebraicas: considere un experimento de dos fases para el cual existen r posibilidades para la primera fase y s posibilidades para la segunda fase, correspondientes a cada uno de las posibilidades de la primera fase. El árbol, para representar ese experimento tiene r ramas primarias, y s ramas secundarias saliendo de cada una de las ramas; en consecuencia, el número de ramas terminales es rs. Si se adicionara una tercera fase con t posibilidades, el total sería rst. Esto puede extenderse a cualquier número de fases.

UN AUXILIO AL CÁLCULO MANUAL: EL CONCEPTO DE ÁRBOL PROBABILÍSTICO

UN AUXILIO AL CÁLCULO MANUAL: EL CONCEPTO DE ÁRBOL PROBABILÍSTICO

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En algunos análisis de decisiones, la información probabilística puede obtenerse de más de una fuente, siendo interesante combinar la probabilidad ya conocida con una nueva información adicional. Las probabilidades subjetivas o frecuencias relativas (obtenidas a partir de una muestra) son el grado de fe de quien toma la decisión con respecto a la probablemente verdadera probabilidad15 de esos eventos. En esta situación, es posible modificar las probabilidades a priori con base en la nueva información, actualizando las probabilidades. Para ese desarrollo son tres elementos. El primero es la distribución a priori, es decir, la información existente antes de que las nuevas informaciones se hagan disponibles; por ejemplo, una empresa decide lanzar al mercado un nuevo producto y hace una encuesta de mercado para confirmar (o no) lo que la empresa imagina ser su tajada del mercado, a priori. El segundo es la información adicional, que puede ser el resultado de la encuesta del mercado; ese dato se llama información de la probablemente verdadera probabilidad, un conjunto de probabilidades adicionales. Las probabilidades obtenidas son aquellas que se presentan con base en los valores iniciales de las participaciones en el mercado. Se debe enfatizar que los valores de las probablemente verdaderas probabilidades son probabilidades condicionales. Damos un ejemplo de la identificación de los tres elementos: el director de una empresa imagina que un problema está siendo causado por el departamento de ventas (E1) o por el departamento de producción (E2). Antes de consultar con nadie, el director decide, por su experiencia, que la probabilidad de que el problema sea de ventas es del 80% y que la probabilidad de que el problema se origine en el departamento de producción es del 20%; esas son sus probabilidades a priori. Para mejorar su estimativo, el director resuelve obtener más de una opinión. Consulta entonces a su asesor, el cual responde que el problema esta en E1; el director cree que su asesor conoce bien el

15 Traducción, en este libro, de likelihood.

asunto y que tendría un chance de estar correcto en un 90%. Esta probabilidad es condicional, porque las probabilidades condicionales son las probablemente verdaderas probabilidades del director en cuanto a la capacidad de su asesor de identificar correctamente el problema. El director puede basar su opinión en la capacidad del asesor, con base en las informaciones que éste le dio, con respecto a problemas semejantes: Pr(asesor responde E1 si E1 es verdadero) = Pr(asesor afirma E1 ׀ E1 es verdad) = 90%. Por otra parte, el director siente que, si el problema viene de E2, su asesor podría responder que es E1, apenas con una probabilidad de 30%: Pr(asesor afirma que es E1 cuando E2 es verdadero) = Pr( asesor dice que E1 ׀ E2 es verdad) = 30%. Con estas afirmaciones, el director puede calcular la probabilidad de que sea E1 cuando el asesor responde que es E1, así como la probabilidad de que sea E2 cuando el asesor también responde que es E1. Entonces se calcula la probabilidad de que sea E1 cuando el asesor responde que sí es E1, ponderándose las probabilidades a priori por medio de las probabilidades condicionales de la capacidad del asesor de identificar correctamente el problema. Para revisar la probabilidad a priori de E1, la situación favorable al director es aquella en la cual el problema lo representa E1 y el asesor dice realmente que es E1. Las situaciones posibles de presentarse son: el asesor afirma que es E1, pero la causa del problema es E1 o E2. El hecho de que el asesor afirme que es E1 no garantiza que esto sea verdad, pues también puede ser E2 es decir: [el asesor afirma que es E1 y sí es E1] o [el asesor afirma que es E1 y que el problema esta en E2 ]. Con la notación de la probabilidad condicional, la situación favorable para el director está dada por: Pr(es E1) x Pr(asesor dice E1 siendo E1) = 0,8 x 0,9 = 72% Y la posible situación está dada por:

CONSIDERACIÓN DETALLADA DE LAS INFORMACIONES ADICIONALES


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Pr(es E1) x Pr(asesor dice E1 siendo E1) + Pr(es E2) x Pr(asesor dice E1 siendo E2) = (0.8 x 0.9) + (0.2 x 0.3)= 0.72 + 0.06 = 72% Finalmente, Pr(es E1 │asesor afirma que es E1) =

posiblesssituacionefavorablesituación

= [el problema es E1 y el asesor dice E1 siendo E1] ÷ [el asesor dice que es E1 y el problema es E1 o el asesor afirma que es E1 y el problema es E2, es decir, Pr(si E1│es E1) =

%3.92)Pr()Pr()Pr()Pr(

)Pr()Pr(

212111

111 =×+×

×EEEEEE

EEE

Y la Pr(es E2 dice que es E1) = 7.7%. Los eventos E1 y E2 son exhaustivos y mutuamente excluyentes, y las probabilidades encontradas se llaman probabilidades a posteriori. Si el director consulta a un segundo asesor para una opinión al respecto, las probabilidades a posteriori de la primera iteración se vuelven probabilidades a priori de la segunda iteración, y así sucesivamente. Se puede extender este raciocinio para el siguiente caso: sean B1, B2, B3… Bk, eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos de una espacio muestral S y sea E un evento asociado a S. Con el raciocinio del ejemplo y aplicando la expresión para las probabilidades condicionales.

)Pr()Pr(

)Pr()Pr()Pr(

1j

k

ij

jjj

BEB

BEBEB

×

×=

∑=

Esta expresión se conoce como el Teorema de Bayes, el cual permite calcular probabilidades que tienen dirección contraria a la probabilidad a partir de las probabilidades conocidas. Dicho esto, el teorema de Bayes es útil en el análisis de las decisiones, el cual necesita de esta información probabilística en una forma diferente a la que normalmente se presenta, donde significa la manera más fácil de coleccionar o evaluar datos en las probabilidades condicionales.


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La teoría moderna define la probabilidad como un número que satisface una serie de postulados, pero no indica cómo se debe obtener ese número; simplemente establece las reglas que debemos obedecer al manipular las probabilidades obtenidas. En consecuencia, hay dos grandes corrientes al respecto del problema de la determinación de la probabilidad. La escuela objetivista o frecuencionalista considera que la probabilidad sólo puede obtenerse por medio de las frecuencias relativas y, por consiguiente, solamente es aplicable a las situaciones en las que la experiencia puede repetirse varias veces, en las mismas condiciones. Queda por lo tanto excluida, para los frecuencionalistas, una gran clase de problemas en los que no es posible hablar de frecuencia relativa. Por ejemplo, para los frecuencionalistas no tiene sentido preguntar cuál es la probabilidad de que el hombre llegue a Marte en los próximos 5 años. La escuela subjetivista o personalista considera la probabilidad como una medida de la creencia de una persona racional en una determinada proposición. Diferentes individuos racionales pueden tener grados diferentes de credulidad, aun al frente de una misma evidencia y, por consiguiente, las probabilidades personales para el mismo evento pueden ser diferentes, porque las informaciones de las que disponen pueden ser diferentes. Un subjetivista aplica el concepto de probabilidad a todos los problemas considerados por el frecuencionalista y muchos más, como el viaje a Marte, por ejemplo. A medida que vamos obteniendo más observaciones, podemos ir revisando nuestra evaluación de la probabilidad de una situación ante nuevas informaciones. Así es como, en el caso de existir frecuencias relativas disponibles, basadas en un número grande de observaciones semejantes, la evaluación subjetiva tiende a igualar la evaluación frecuencionalista. La definición clásica, cuando admite que todos los casos posibles son igualmente probables,

puede ser afiliada, en cierto modo, a la corriente subjetivista. Cuando afirmamos que encontrar cualquier número de ventanillas desocupadas es igualmente probable, estamos manifestando nuestra creencia de que esto es verdad. Para un verdadero frecuencionalista, deberíamos observar el resultado de millares de observaciones para demostrar que esto es real.

INTERPRETACIÓN Y DETERMINACIÓN DE PROBABILIDADES

INTERPRETACIÓN Y DETERMINACIÓN DE PROBABILIDADES

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En un experimento, estamos interesados en determinada característica de los resultados que pudieran presentarse. Así como en la estadística descriptiva se usan las escalas para transformar en número las características de los elementos de la muestra, en la realización de un experimento también se debe tener un valor numérico para representar la característica cuya probabilidad de ocurrencia queremos saber. Se representa por X ese valor numérico, cuyo valor depende del resultado del experimento: como X asocia un resultado a un número, X es una función cuyo dominio de definición es el conjunto de los resultados y cuya imagen es el conjunto de los números reales. X está definido en el espacio muestral asociado a la experiencia física en la cual el resultado de cualquier prueba es incierto y, por esta razón, depende del azar. La función X es conocida con el nombre de variable16 aleatoria17 Esto equivale a describir los resultados de un experimento aleatorio por medio de números en vez de palabras, posibilitando un tratamiento matemático más fácil. De esta manera, en el cálculo de las probabilidades se estudian variables aleatorias y se calculan las probabilidades a ellas asociadas, y una medida de probabilidad está asociada al espacio muestral por medio de la variable aleatoria X; esa medida puede ser un número, un área o inclusive, un volumen.

DESARROLLO DE UNA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

Así como en la estadística descriptiva se construyó una tabla de frecuencias sin pérdida de información, en la cual la frecuencia absoluta (y también la relativa) está asociada a cada valor, se puede hacer lo mismo con el cálculo de las probabilidades, originándose una tabla que asocia a cada valor de la variable aleatoria, su probabilidad de

16 Aunque universalmente aceptada, la expresión no es la adecuada, porque X no es una variable sino una función;dicho esto, el resultado es aleatorio pero no el (los) valor(es) de esa función. Se ve que no es ni variable, ni aleatoria. 17 Variable aleatoria es una función real definida sobre un espacio muestral, cuyo dominio es el conjunto de los resultados posibles del experimento aleatorio y cuya imagen es el conjunto de los números reales.

presentarse, tabla llamada distribución de la probabilidad18. Para construir una tabla de probabilidades, considere el siguiente ejemplo: un equipo tiene el 80% de probabilidad de ser rechazado en un examen y, en un experimento, tres equipos son examinados. Suponiendo que el examen de cada equipo es independiente del otro, establecer la distribución de la probabilidad del número X de equipos rechazados. Asociando a cada resultado un determinado número, observe la tabla 3.3, en la cual R indica el equipo rechazado y A el equipo aprobado.

Resultado elementario X RRR RRA RAR ARR RAA ARA AAR AAA

3 2 2 2 1 1 1 0

Tabla 3.3

Resultado del los exámenes de tres equipos. El número 3 está asociado al resultado RRR. Como existe una probabilidad del 80% de que el equipo sea rechazado en cada examen (considerados independientes), entonces 0.8 x 0.8 x 0.8 = 51.2 % es la probabilidad de que haya tres rechazos. Calculando de esta manera, cada uno de los 8 resultados elementales tiene las probabilidades de presentarse mostradas en la tabla 3.4.

Resultado elementario

X Probabilidades

RRR RRA RAR ARR RAA ARA AAR AAA

3 2 2 2 1 1 1 0

0.8 x 0.8 x 0.8 = 0.522 = 51.2 % 0.8 x 0.8 x 0.2 = 0.128 = 12.8 % 0.8 x 0.2 x 0.8 = 0.128 = 12.8 % 0.2 x 0.8 x 0.8 = 0.128 = 12.8 % 0.8 x 0.2 x 0.2 = 0.032 = 3.2 % 0.2 x 0.8 x 0.2 = 0.032 = 3.2 % 0.2 x 0.2 x 0.8 = 0.032 = 3.2 % 0.2 x 0.2 x 0.2 = 0.008 = 0.8 %

Tabla 3.4 Posibilidades de los números de los exámenes.

A partir de estos resultados se determina la distribución de probabilidades de la variable aleatoria X, un número de equipos rechazados en el examen (Tabla 3.5). (Obsérvese que X = 1 equivale a tener rechazado un equipo),

18 Distribución de la probabilidad: Conjunto de todas las probabilidades de un experimento aleatorio y sus probabilidades de presentarse.

EXPRESIÓN NUMÉRICA DE LOS RESULTADOS


39

evento compuesto de tres eventos elementales mutuamente excluyentes ([RAA, ARA y AAR])

X Probabilidades 0 0.8 % = 0.008 1 9.6 % = 0.096 = 0.032 + 0.032 + 0.032 =

0.096 2 38.4 % = 0.384 = 0.128 + 0.128 + 0.128 3 51.2 % = 0.512

Total 100 % = 1

Tabla 3.5 Después de haberse visto los resultados, los valores numéricos de la variable aleatoria son denotados por las letras minúsculas x1, x2… xn, de esta manera, para una variable aleatoria X, que tome los valores x1, x2, etcétera, una función de probabilidad Pr(xi) tiene las siguientes propiedades: a) P(xi) ≥ 0 para todo i, donde P(xi) = P(X =

xi), i = 1, 2, … n b) ∑ para todo i P(xi) = 1 Si la distribución de las probabilidades de una variable aleatoria es conocida explícitamente, entonces el resumen estadístico (por ejemplo, la media y la desviación típica) también será conocido. En la estadística descriptiva, también fue construida una tabla de frecuencias con pérdida de información, en la cual una frecuencia absoluta (y también una relativa) está asociada a cada clase. Al hacerse lo mismo en relación con un intervalo de valores y sus probabilidades, se origina una tabla que asocia a cada intervalo su probabilidad de ocurrencia. Como ahora el número de intervalos depende de la amplitud de cada uno de ellos, la tabla ya no es única, a diferencia de la distribución de la probabilidad, en la cual cada valor estaba perfectamente identificado. Aunque se sepa que los valores originales son finitos, al colocarlos en un intervalo se considera que dicho intervalo tiene infinitos valores. Para estas variables aleatorias, teniendo en cuenta que el total de los valores que la variable aleatoria puede asumir es infinito, la distribución de la probabilidad se expresa generalmente como una función matemática, empleada para determinar la probabilidad de que la variable aleatoria se encuentre entre ciertos límites.

COMPRENDIENDO UN CONCEPTO IMPORTANTE

Considere la tabla y figura 3.6.

Clase Frecuencia absoluta

70 – 90 2

90 – 110 3

110 – 130 6

130 – 150 14

150 – 170 22

170 – 190 17

190 – 210 10

210 – 230 4

230 – 250 2

Total 80

Tabla 3.6 Tabla de frecuencias con amplitud de clase igual a 20

0

5

10

15

20

25

70 - 90 90 - 110 110 - 130 130 - 150 150 - 170 170 - 190 190 - 210 210 - 230 230 - 250

Clases

Frec

uenc

ias

abso

luta

s

Figura 3.6

Histograma de la tabla 3.6, con amplitud de clase igual a 20.

Como en la construcción de la tabla de frecuencias, el número de clases es escogido por quien lo hace, podría ser también la tabla 3.7, en la cual la amplitud de clase es de 10, en vez de 20, con el correspondiente histograma de la figura 3.7.


70-80 1

80-90 1

90-100 1

100-110 2

110-120 3

120-130 3

130-140 6

140-150 8

150-160 12

160-170 10

170-180 10

180-190 7

190-200 6

200-210 4

210-220 1


40

220-230 3

230-240 1

240-250 1

Total 80

Tabla 3.7 Tabla de frecuencias con amplitud de clase igual a 10.

0

5

10

15

70-80 80-90 90-100 100-110 110-120 120-130 130-140 140-150 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200 200-210 210-220 220-230 230-240 240-250

Clases

Frec

uenc

ias

abso

luta

s

Figura 3.7

Histograma de la tabla 3.7 con amplitud de clase igual a 10.

Si la amplitud del intervalo de clase fuera de 40, se obtendría la tabla y figura 3.8


70-110 5

110-150 20

150-190 39

190-230 14

230-270 2

Total 80

Tabla 3.8

Tabla de frecuencias con amplitud de clase igual a 40.

05

1015202530354045

70-110 110-150 150-190 190-230 230-270

Clases

Frec

uenc

ias

abso

luta

s

Figura 3.8

Histograma de la tabla 3.8 con amplitud de clase igual a 40.

Se puede observar que, aunque provenientes de los mismos datos originales, los

histogramas muestran diferentes maneras de presentación de las observaciones porque, dependiendo de la amplitud del intervalo de clase, los intervalos de clase son diferentes. Aun si la escala del eje vertical fuese la de las frecuencias relativas, el aspecto del histograma sería el mismo, pues apenas habría un cambio de escala. Para evitar que la presentación de las frecuencias relativas conduzcan a una distorsión en cuanto a la lectura de éstas como alturas del rectángulo del histograma, ya que son dependientes de la amplitud del intervalo de clase, se modifica el histograma en tal forma que, en vez de que el eje vertical indique la frecuencia relativa de determinado intervalo de clase (y, en último análisis, su probabilidad de ocurrencia), esa probabilidad pase a ser el área del rectángulo del histograma referente a ese intervalo, conforme la siguiente figura, 3.9.

Amplitud d e clase

ÁreaFrecuencia

Relativa

Figura 3.9 La frecuencia relativa como área del histograma

Con este raciocinio para todas las clases, el área total del histograma será igual a 1 (lo cual equivale a que la probabilidad del espacio muestral sea 1 y cualquier área entre dos puntos cualesquiera es el área de los rectángulos entre los puntos que los limitan. Para que el área del histograma represente una frecuencia relativa, se debe, entonces, determinar la altura del rectángulo cuya base sea la amplitud de la clase. Se ve, entonces, que: Área del rectángulo = base x altura Frecuencia relativa = amplitud de clase x altura


41

De allí que:

Altura = clasedeAmplitud

relativaFrecuencia

Por este motivo, en el eje vertical se marca no la frecuencia relativa, sino el valor de la frecuencia relativa dividida por la amplitud del intervalo de clase, llamado densidad de la frecuencia relativa. Para demostrar, en el caso general, que el área total (suma de todas las frecuencias relativas) es siempre 1, primero se obtiene para cada clase. Frecuencia relativa = (densidad de la frecuencias relativa) x (amplitud de clase) = (altura de esa clase en el histograma) x (amplitud de clase) = área del rectángulo del histograma para esa clase. Sumando los rectángulos relativos a todas las clases: ∑ (frecuencias relativas) = área total del histograma Como la suma de las frecuencias relativas es 1, se demostró que el área total del histograma es igual a 1. Cuando la amplitud del intervalo de clase, llamada ∆x, va disminuyendo hasta volverse infinitesimal, la parte superior del histograma tiende a convertirse en una curva continua y la altura del histograma tiende al valor y = f(x) no es una curva. Siendo esto así, debe tenerse cuidado y darse cuenta de que f(x) NO ES probabilidad19 En este caso de las variables aleatorias continuas, se tiene una función de de densidad de probabilidad, que es una función matemática f(x), con una ecuación que la identifica y un gráfico que la representa, y la cual, integrada entre dos límites, da el área bajo la curva comprendida entre esos límites, área ésta que tiene el mismo valor de la probabilidad que la variable aleatoria oscila entre esos límites.

19 Hay que considerar a f(x), la función de probabilidad, como una probabilidad.

Haciendo abstracción de las limitaciones prácticas referentes a la precisión en la medición de los datos, tenemos una variable que puede tomar una infinidad de valores en determinado intervalo. Si esto es así, la probabilidad correspondiente a cada valor posible, individualmente considerado, toma el valor cero. En consecuencia, en el caso de estas variables, solamente tendrán interés las probabilidades de que la variable aleatoria tome valores en determinados intervalos. Haciendo una analogía con la física, es como la distribución de la masa de una barra de hierro, en la cual cada punto tiene una masa teóricamente inexistente. Lo que puede obtenerse es la masa de un determinado trozo de barra. Siendo esto así, para una variable aleatoria X que puede tomar cualesquier valores, una función de densidad de probabilidades, f(x), tiene las siguientes propiedades: a) f(x) ≥ 0 para toda x

b) ∫∞

∞−

= 1)( dxxf

c) P(a ≤ = x ≤ = b) = ∫b

a

dxxf )(

Donde a y b son dos variables cualesquiera de x con la restricción de que a < b. La primera propiedad se debe al hecho de que no hay probabilidades negativas. La segunda indica que la suma de todas las probabilidades referidas a la función de probabilidad de una variable aleatoria, es iguala 1. La tercera propiedad, que puede considerarse como consecuencia de la segunda, dice que la probabilidad que la variable aleatoria oscile entre dos puntos es igual al área comprendida bajo la curva que representa a esa función y


42

esos dos puntos. Interpretada geométricamente, esa propiedad establece que la probabilidad correspondiente a un intervalo estará dada por el área comprendida en ese intervalo bajo el gráfico de la función20.

CLASIFICACIÓN DE LAS DISTRIBUCIONES EN DISCRETAS Y

CONTINUAS Se dice que una variable aleatoria es discreta si todos sus valores pueden ser contados o listados, perteneciendo a un conjunto finito o infinito numerable. Una variable aleatoria es continua si sus valores no pueden ser contados o listados, y puede tomar un número infinito de valores en un intervalo finito o infinito. Decimos, en esencia, que X es una variable aleatoria continua si X puede tomar todos los valores posibles en un determinado intervalo (a, b), donde a y b pueden ser - ∝ y +∝.

DESCUBRIENDO LA FUNCIÓN MATEMÁTICA DE LA FUNCIÓN DE

DENSIDAD DE PROBABILIDAD Obsérvese que, en cuanto al área de los rectángulos del histograma permanezca constante, independientemente de la amplitud del intervalo de clase, no sucede lo mismo con las líneas superiores de esos rectángulos. Esta envolvente caracterizaría la forma de la función f(x), para el mismo problema original, que debe ser modelado por una única función de densidad de probabilidad. Pero esa variación no se presenta con la función de distribución acumulativa, es decir, el área desde el primer valor de la variable aleatoria hasta determinado punto de la misma, independientemente de los intervalos de las divisiones de las clases anteriores, que es lo que identifica a una única distribución acumulativa. Como la función de distribución acumulativa para las variables aleatorias es semejante a la frecuencia acumulativa debajo de, vista en la estadística descriptiva, se puede comprobar que, aunque las tablas 3.6, 7 y 8 tengan diferentes amplitudes de los intervalos de clase, las frecuencias acumulativas para cada una de ellas son iguales para un determinado valor; por ejemplo, la frecuencia absoluta

20 Mito; la función de probabilidad y, principalmente, la función de densidad de probabilidad, son entes que surgen de la imaginación, porque todos los problemas comienzan con la frase “supóngase que …”

acumulada desde 70 hasta 150 es siempre igual a 25, independientemente de si el cálculo se efectúa en una u otra de las tablas. La función de distribución acumulativa (fdc), también llamada función de distribución, es la probabilidad de la variable aleatoria X de alcanzar valores menores o iguales a x, o sea:

F(x) = Pr(X ≤ x) Para una variable aleatoria discreta, la función de distribución de probabilidad, F(x), es la siguiente: F(x) = Pr(X ≤ x) = ∑p(xi) para xi ≤ x. Cuando X toma los valores de x1, x2 y así sucesivamente21. Para una variable aleatoria continua, la función de distribución de probabilidad F(x), es la siguiente:

F(x) = Pr(X ≤ x) = ∫∞

∞−

dttf )( , la cual tiene las

siguientes propiedades: a) F(x) es una función no decreciente b)

+∞→xLim F(x) = 1

c) −∞→x

Lim F(x) = 0

Como la función acumulativa es la integral de la función de densidad de probabilidad hasta x, se tiene que, al tomarse la derivada de la función de distribución acumulativa, se llega, finalmente, a la función de densidad de probabilidad, es decir:

F(x) = dxd

F(x)

21 Teniendo en cuenta que la probabilidad de una variable aleatoria continua es cero en cualquier punto, hay innumerables funciones de densidad de probabilidad.


43

Así como en la estadística descriptiva, los datos brutos eran caracterizados por su media aritmética y su desviación típica, lo mismo sucede con las distribuciones de probabilidad, donde las medidas más importantes son también la media aritmética y la desviación típica.

EL CONCEPTO SEMEJANTE A LA MEDIA ARITMÉTICA: EL VALOR ESPERADO

Como una distribución probabilística es semejante a una distribución de frecuencias sin pérdida de información, el cálculo de su valor esperado es semejante al cálculo de la media aritmética ponderada. En el caso discreto, ésta es la siguiente:

∑∑∑∑∑

∑

=====

= =+=++

== n

ii

nnn

ii

n

ii

n

ii

nnn

ii

n

iii

f

fx

f

fx

f

fx

f

fxfxfx

f

xfx

11

22

1

11

1

2211

1

1

Como

∑=

n

iif

f

1

1 puede ser relacionada con Pi la

expresión puede ser escrita como

∑=

n

iii Px

1 la cual es denotada por E(X), que es

el valor esperado de la variable aleatoria X. En resumen, el valor esperado, o esperanza matemática, o medir µ, de una distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, está dado por:

a.µ = E(X) = siXxxitodop

ii∑ ⋅ )( si X es discreta

b.µ = E(X) = ∫∞

∞−

⋅⋅ siXdxxf )( si X es

continua, donde X = variable aleatoria que interesa, P(x) es la distribución de probabilidad de tipo discreto, y f(x) es la función de densidad de probabilidad. Ejercicio- ejemplo 3.4. Usualmente somos abordados por vendedores de suscripciones de revistas que nos ofrecen un ejemplar gratis como motivación para que

nos suscribamos. La editorial tiene una idea del número de personas que se suscriben a la revista después de recibir el número gratis y consigue crear una función de distribución probabilística de X, que es el porcentaje de nuevas suscripciones. De cada 100 suscripciones, el 60% proviene de los aeropuertos, el 30% de los congresos y el 10% de las estaciones del metro. Como en cada uno de estos sitios el número de personas varía, se anotó la efectividad del sistema, es decir, la relación entre el número de nuevas suscripciones y el número de personas abordadas que aceptaron el ejemplar; en este ejercicio-ejemplo, fueron el 40%, 70% y 20% respectivamente. El costo de donar una revista a una persona es de R$ 1.57, mientras que la utilidad de cada suscripción es de R$ 3.42. Determine el valor esperado de la utilidad líquida por suscripción en la aplicación de este sistema de ventas. El Teorema de Bernoulli y las loterías. Es prácticamente cierto esperar que la frecuencia relativa de un evento E en una serie de repeticiones independientes con probabilidad constante p, sea muy poco diferente de esa probabilidad, cuando se considera un número de repeticiones suficientemente grande. De esta manera, cuando la probabilidad de que se presente un evento es muy cercana a 1, se estimula el estudio de las apuestas en las loterías. Quien intentó ganarse un premio de la Lotería Federal comprando un billete de los 100 000 puestos a la venta, sabe, por experiencia propia, que es virtualmente imposible ganar. Pero la certidumbre de esa imposibilidad sería aún mayor, si alguien intentase ganar comprando un billete cuando son 200 000 los billetes puestos en venta. “Gran suerte. Grupo de empleados gana lotería US$ 296 millones. El chance de acertar de esa manera era de 1 en 80 millones. El grado de dificultad es mejor entendido si se compara con la probabilidad de morirse cayendo en la cama, que es de una en dos millones.” “Dios me ayudó. Gané 24 000 veces la lotería (el ex diputado…, al declarar en la CPI del presupuesto en 1993)” Uno de los casos en los que las condiciones del teorema Bernoulli son satisfechas es el de los juegos del azar, término aplicado para

DETERMINACIÓN DE UNA MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL Y UNA DISPERSIÓN EN EL CÁLCULO DE LAS PROBABILIDADES

DETERMINACIÓN DE UNA MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL…

44

cualquier situación en la cual puede existir lucro o perjuicio para una de las partes, dependiendo de que sean conocidas las probabilidades de ganancia o pérdida. En una lotería, el jugador puede ganar cierta cantidad de dinero A con una probabilidad p, o puede perder otra cantidad B con una probabilidad 1 – p. Observe que, al comprar un billete de lotería o jugar, se está perdiendo la cantidad de dinero B. Si el juego se repite numerosas veces en las mismas condiciones, una pregunta que surge es la referente a la probabilidad de que una persona gane o pierda una cantidad de dinero por encima de un determinado valor. El valor esperado de la ganancia de esa persona es E(G) = pA – (1 – p)B. El juego es favorable al jugador solamente si el valor esperado de su ganancia (su esperanza matemática) es positivo y es desfavorable si es negativo; en el caso de que sea cero, ninguna de las partes tiene ventajas y el juego es llamado justo; usualmente, los juegos de salón son justos. Por el contrario, los juegos con finalidad comercial se hacen expresamente para ser lucrativos para las organizaciones; es decir, la esperanza matemática de la administración de un juego con fines lucrativos es positivo en cada lance del juego y, como es obvio, la expectativa de cualquier jugador es negativa. Esto confirma la observación común de que aquellos jugadores que persisten en jugar un número de veces se arruinan. Al mismo tiempo, la teoría concuerda con el hecho de que las grandes utilidades son obtenidas por los administradores o propietarios de los casinos. Un buen ejemplo es la raspadura, o raspa-raspa, un negocio muy lucrativo operado por varias empresas y por los gobiernos. El apostador compra un cartón donde hay áreas que puedan ser descubiertas; dependiendo de la combinación de los ítems encontrados, se gana determinado premio. Ejercicio-ejemplo 3.5 Encuentre el valor esperado de un juego de raspadura que cuesta US$ 1.00 con una emisión de cinco series de 1 000 000 de billetes cada una, si se prevé la distribución de 975 630 billetes premiados, como se detalla a continuación. a) 5 automóviles con valor de US$ 15 000.00

cada uno.

b) 125 bicicletas de 18 cambios con valor de US$ 150.00 cada una.

c) 1 500 premios de US$ 100.00. d) 9 000 premios de US$ 20.00. e) 65 000 premios de US$ 10.00. f) 100 000 premios de US$ 10.00. g) 350 000 premios de US$ 2.00. h) 450 000 billetes gratis para otra

raspadura. Por otra parte, la esperanza del administrador es siempre positiva y, a causa del gran número de personas que compran la lotería, el número de apuestas hechas es enorme, asegurándole un considerable lucro estable. “En verdad, las oportunidades de ganar en la Megaseña son siempre iguales, sea que usted juegue o no” Este es un ejemplo que se refiere a las apuestas comunes en el Brasil, pero el mismo principio es válido para las instituciones que tienen un gran valor para el público, como las compañías de seguros; éstas garantizan su lucro, reservándose ciertas ventajas para ellas. USO DE LAS CALCULADORAS Y DEL EXCEL PARA ENCONTRAR EL VALOR ESPERADO

Con la calculadora HP 48G El procedimiento emplea dos listas: una que contiene los dos valores y la otra que contiene las probabilidades de esos valores. La probabilidad de la celda 1 de la segunda lista es la correspondiente al valor de la celda 1 de la primera lista, etcétera. Las dos listas deben contener la misma cantidad de datos; en caso contrario, aparece un mensaje de error: • Paso 1: Inscriba los datos de las dos

columnas en ∑DAT, la primera con los valores y la segunda con las probabilidades, respectivamente.

• Paso 2: Oprima la tecla verde [5]; se abre una pantalla con las opciones.

• Paso 3: Escoja Summary Stats… teclee [F].

• Paso 4: Marque ∑XY y oprima la tecla blanca [F] (OK); aparece el resultado de la sumatoria de los productos.

• Paso 5: Digite el total de los números; teclee [÷] y aparece el valor esperado.


45

Con la calculadora Casio CFX – 9850G/9950G El proceso emplea dos listas: una que contiene los valores y la otra que contiene las probabilidades de cada valor. Las probabilidades de la celda 1 en la segunda lista es la relacionada con el valor de la celda 1 de la primera lista, etcétera. Las dos listas deben contener el mismo número de datos; en caso contrario, aparece un mensaje de error. • Paso 1: Inserte los datos en las dos listas;

la primera con los valores y la segunda con las probabilidades de los valores, respectivamente.

• Paso 2: Teclee [MENU] para ir a la pantalla principal.

• Paso 3: Coloque el cursor en la opción RUN y teclee [EXE].

• Paso 4: Apriete, en orden las teclas [OPTN], [F1], [LIST], [F6] (flecha hacia la derecha)[F3] ( Mean) [F6], (flecha hacia la derecha), [F1] (list) [1] (si fuera 1) [2] (si fuera la lista 2)[)] (cierra paréntesis) y [EXE]; aparece en la pantalla el valor esperado de los valores de la lista 1 que tiene las probabilidades de la lista 2.

Con la calculadora Texas TI 83 • Paso 1: Cree las dos listas, la primera

(lista 1) con los valores, y la segunda (lista 2) con las probabilidades.

• Paso 2: Teclee [2nd] [STAT] (LIST); escoja MATH y digite [3], apareciendo mean.

• Paso 3: Teclee [2nd] [1] [,] [2nd] [2] [ENTER].

Con el Excel. Para el cálculo del valor esperado, se emplea copiar función con los siguientes pasos: • Paso 1: Digite en una columna los valores

para los cuales busca el valor esperado, por ejemplo en la columna A, desde A1 hasta A5, y en la columna B las respectivas probabilidades, desde B1 hasta B5, como se muestra a continuación:

• Paso 2: Escoja una celda en la que se desea que aparezca el valor esperado, volviéndola activa.

• Paso 3: Haga clic dos veces en la celda activa y digite: =SUMARPRODUCTO(A1:A5;B1:B5)/SOMA(B1:B5), como se muestra en la siguiente figura:

• Paso 4: Teclee ENTER y el resultado

aparece en la celda activada, como se muestra en la siguiente figura:

“Esos números pueden impresionarte – pero no tanto como los que acosan a los ciudadanos en Sao Paulo. Durante un año, 1.2 oportunidades en 1 000 de chocar su carro en un día sin lluvia, 1.7 oportunidades de ser asaltado y, si muere, 1.8 oportunidades en 100 de que se atropellado. Si nada de esto le acontece a este ciudadano, sobra la certidumbre estadística de que alguien tenga un año peor al que él habrá tenido”

EL CONCEPTO VARIANZA Como se ha visto, este parámetro caracteriza la variabilidad de las variables aleatorias. La varianza se calcula, en el caso discreto, con un razonamiento semejante al cálculo del valor esperado E(X). La varianza de X, VAR(X) = =

∑

∑ ∑ ∑

∑

∑

=

= = =

=

=

+−=

−

n

ii

n

i

n

i

n

iiiiii

n

ii

n

ii

f

ffxfx

f

x

1

1 1 1

22

1

12)( µµµ


46

=

∑∑∑∑

∑

∑

∑

∑

∑===

=

=

=

=

=

= +−=+−n

ii

n

iii

n

iin

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

iii

PfxPxf

f

f

fx

f

fx

111

2

1

1

2

1

1

1

1

1

22

µµµµ

= E(x2) - µ2 = E(x2) – [E(x)]2

VOLVIENDO A ENCONTRAR LA DESVIACIÓN TÍPICA

La raíz cuadrada de la varianza, denotada por DP(X) o, simplemente, σx, continúa teniendo la ventaja de ser expresada en la misma unidad de medida de la variable aleatoria, en manera semejante a la vista en la estadística descriptiva.


47

Es aquel valor que se espera suma matemáticamente una variable aleatoria: Operador matemático: E [.]

E(X)Discreta

Cont inua

Σ x f(x)

A

x{ s∝ +

-∝ x f(x)d(x)

Discreta: Experimento aleatorio de acertar al azar todas las 3 posibilidades de una prueba de tipo falso o verdadero. X: Variable aleatoria discreta que cuenta el número de aciertos. X = 0, 1, 2, 3

E(X) = ∑=

3

0

)(x

xxf

= 0f(0) + 1f(1) + 2f(2) + 3f(3)

x 0 1 2 3

f(x) 81

83

83

81

0(81 ) + 1(

83 ) + 2(

83 ) + 3(

81 )

Como es un promedio, jamás asumirá este valor realmente, teóricamente 1.5, en la práctica no acontece, únicamente señala el desempeño promedio. Continua:

h(y) = 2y 0 < y < 1 = 0 otros y

E(Y) = ]32

32)2( 1

0

1

0

3 ==∫ ydyyy

Valor esperado de Y = 32

PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO

Las demostraciones que siguen son para variable continua. Se deja como ejercicio, efectuarlas para variable discreta.

1. El valor esperado de una constante es la misma constante.

∫∫∞

∞

∞

∞

=∗=== KKdxxfKdxxKfkE 1)()()(

2. El valor esperado de la suma de una

variable aleatoria más una constante es la suma del valor esperado de la variable más la constante. Sea x: variable aleatoria, y K: constante.

E[X + K] = ∫∞

∞

+

|

)()( dxxfKx

= ∫ ∫∞

∞

+∞

∞−

+ dxxKfdxxfx )()

= E[x] + K 3. El valor esperado del producto de una

variable aleatoria por una constante es el producto de la constante por el valor esperado

Sea X: variable aleatoria, y K: una constante.

E[KX] = ∫+∞

∞−

dxxfKx )()(

= K ∫∞

∞

dxxxf )( = E[x]K = KE[X]

4. El valor esperado de la suma de dos fracciones de una variable aleatoria sean r(x) y s(x) es la suma de los valores esperados de las funciones.

Sean r(x) y s(x), dos funciones de X, entonces,

E[r(x) + s(x)] = ∫+∞

∞−

+ dxxfxsxr )()]()([

= ∫+∞

∞−

+ dxxfxsxr )()]()([ = ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

+ dxxfxsdxxfxr )()()()(

= E[r(X)] + E[s(X)]

VALORES ESPERADOS ESPECIALES 1. Media de la distribución de probabilidad de

una variable aleatoria. µx = E[X]

2. Varianza de la distribución de una variable aleatoria.

VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA


48

σ = E[(X – E(x))2] = E[(X - µ)2] = E[X]2 – (E[X])2 = E[X2] - µ2

3. Covarianza de x e y: Cov(x, y) = σxy Cov(x, y) = E[(X - µx)(y - µy)]

PROPIEDADES DE LA VARIANZA 1. La varianza de una constante es cero.

V(k) = E(k2) – (E[k])2, de donde

V(k) = k2 – k2, luego V(k) = 0

2. La varianza de la suma de una constante más una variable aleatoria es igual a la varianza de la variable.

V(k + X) = E[(X + k)2] – (E[X + k])2, de donde = E(X2 + 2Xk + k2) - (E[X + k])2, luego = E[X2) +E[ 2Xk] +E[ k2) – [E(X) +E( k)]2, de donde = E[X2) + 2EX + k2 – (E(X))2 – 2kE(X) - k2, luego = E(X2) – (E(X))2 = V(X) Luego V(k + X) = V(X)

3. La varianza de un producto de una variable aleatoria por una constante, es el producto al cuadrado de la constante por la varianza de la variable aleatoria V(kx) = E[(kX)2] – (E[kX])2, de donde = E[(k2X2] – (kE(X))2, luego = k2E(X2) – k2(E(X))2, de donde = k2[E(X2)] – (E(X)2), y por lo tanto v(kX) = k2V(X)

La varianza de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de las varianzas de dichas variables más dos veces su covarianza.

V(X + Y) = v(X) + v(Y) + 2cov(X,Y)

4. La varianza de la suma de dos variables

aleatorias afectadas por un factor cada uno. V(aX + bY) = a2V(X) + b2V(Y) + 2cov(X,Y)

DESIGUALDAD DE TCHEBYSHEV

La probabilidad que una variable aleatoria x, asuma valores dentro de k desviaciones estándar a partir de una media, es por lo

menos 1 - 21k

P(µ + kσ < x < µ + kσ) ≥ 1 - 21k

La desigualdad deTchebyshev es muy importante, ya que permite determinar límites sobre probabilidades de variables aleatorias

discretas o continuas, sin tener que especificar sus funciones (densidades) de probabilidades. Sirva para hallar la probabilidad de que una varianza aleatoria asuma valores dentro de k desviaciones estándar de la media. Esa probabilidad no

puede ser menor que 1 - 21k

, pero no se sabe

cuánto más puede ser, pues no se conoce la probabilidad exacta por desconocimiento de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X. Demostración: σ2 = E[(x - µ)2] supóngase variable aleatoria continua

= ∫∞

∞−− dxxfx )()( 2µ

σ2 =

∫∫∫+∞

−

+

−

−

∞

−+−+−

σµ

σµ

σµ

σµ

σµµ

k

k

k

k

dxxfxdxxfxdxxfx )()()()()()( 222

d = a + b+ c Si b ≥ 0 → d≥ a + c; por lo tanto,

σ2 = ∫∫+∞

−

−

∞−

−+−

σµ

σµ

σµ

k

k

dxxfxdxxfx )()()()( 22

Ahora bien, x ≥ µ - kσ y x ≥ µ- kσ, en consecuencia |x - µ | ≥ → (x - µ) ≥ k2σ2, reemplazamos (x - µ)2 por k2σ2 y dividiendo ambos lados de la ecuación por k2σ2

∫ ∫−

∞−

∞

+

+≥

σµ

σµσ

σ

σ

σ

σ

σk

k

dxxfk

kdxxfk

k

k)()( 22

22

22

22

22

2, de donde

)()(12 ∞<<++−<<−∞≥ xkPkxPk

σµσµ

Por propiedades de probabilidad complementaria

≥2

1k

- 1 + P(µ - kσ < x < µ + kσ), luego

- ≤2

1k

- 1 + P(µ- kσ < x < µ+ kσ), de donde

1 - ≤2

1k

≤ P(µ - kσ < x < µ+ kσ) y por lo

tanto

P(µ - kσ < X < µ + kσ)≥ 1 - 2

1k

COVARIANZA

Sean X y Y variables con medianas µx e yµ, respectivamente. Entonces, la varianza entre las dos variables se define como:


49

COV(X, Y) = E(x - µx)(y - µy) } = E(xy) - µx . µy La varianza de una variable es la covarianza de dicha variable con ella misma. La covarianza se calcula: Si X e Y son variables aleatorias discretas:

COV(X, Y) =

∑∑∑∑ −=−−xyxy

yxyxxyfyxfyyxx µµµµ .),(),())((

Si X e Y son variables aleatorias continuas:

COV(X, Y) =

∫∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

⋅−=−− yxdydxxy

dydxyxfyyxx µµµµ ),())((

PROPIEDADES DE LA COVARIANZA Si X y Y son estadísticamente independientes, su covarianza es cero, ya que: COV(x, y) = E(x, y) - µxµy, de donde = µxµy - µxµy = 0 Puesto que E(x, y) = E(x) E(y) = µx y µy, cuando X, Y son estadísticamente independientes. 2. COV( a + bx, + c + dy) = bd COV(x, y), Donde a, b, c y d, son independientes

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN El coeficiente de correlación poblacional “p(rho)” Se define como:

Pxy = { } yx

yxCOVyVARxVAR

yxCOVσσ

),()()(`

),(=

Donde “p” es una media de asociación lineal entre 2 variables y oscila entre -1 y +1 “-“ indica una perfecta asociación negativa entre las variables “+” indica una perfecta asociación positiva entre las variables COV(x, y) = ρσµσ

VARIANZA DE VARIABLES CORRELACIONADAS

Sean X y Y dos variables aleatorias; entonces: VAR(x + y) = VAR(x) + VAR(y) + 2COV(x, y) = VAR(x) + VAR(y) + 2 ρ σxσy

VAR(x - y) = VAR(x) + VAR(y) - 2COV(x, y) = VAR(x) + VAR(y) - 2 ρ σxσy Sin embargo, si X e Y son estadísticamente independientes, la COV(x, y) es cero, en cuyo caso la VAR(x + y) y la VAR(x – y) son ambas iguales a VAR(x) + VAR(y).

GENERALIZACIÓN:

Sean ∑=

+++=n

inXXXXi

121 ... , entonces la

varianza de la combinación lineal ∑=

n

i

Xi1

es:

VAR

∑ ∑∑∑= <=

+=

n

i ji

n

i

XjXiCOVXiXi11

),(2

= ∑∑∑<=

+ji

n

ijiijVARXi σσρ

12 ,

Donde ρij es el coeficiente de la correlación entre Xi y Yj y σi y σj son las desviaciones estándar de Xi y Yj. Por ejemplo: VAR(X1 + X2 + X3) = VAR(X1) + VAR(X2) + VAR(X3) + 2 COV(X1, X2)+ 2 COV(X1, X3) + 2 COV(X2, X3) = VAR(X1) + VAR(X2) + VAR(X3) + 2 ρ12σ1σ2 + 2 ρ13σ1σ3 + 2 ρ23σ2σ3 Donde: σ1, σ2, σ3 son las desviaciones estándar de X1, X2, X3, respectivamente y donde: ρ12 es el coeficiente de correlación entre X1 y X2. ρ13 es el coeficiente de correlación entre X1 y X3. ρ23 es el coeficiente de correlación entre X2 y X3.


50

Habiéndose conocido los principales conceptos referentes al cálculo de las probabilidades, veremos ahora distribuciones y funciones de densidad de probabilidad que, por su importancia, merecen un estudio especial. Tales distribuciones parten del enunciado de ciertas hipótesis bien definidas y de cómo diferentes situaciones reales se aproximan a esas premisas; los modelos aquí descritos son útiles en el estudio de tales situaciones.

EL PRIMERO DE MUCHOS: BINOMIAL Observando nuestro mundo Una situación bien conocida es la del examen de opción múltiple. Considere uno de ellos con solamente una pregunta del tipo falso y verdadero. La probabilidad de que alguien lo apruebe, marcando aleatoriamente la respuesta, es del 50 % si acierta en la pregunta, la calificación es de 10. Pero, si el examen tiene 50 preguntas, también del tipo falso y verdadero, intuitivamente se siente que es bastante menor la probabilidad de sacar un 10, aun si cada pregunta tiene la misma probabilidad porque hay mayor número de preguntas. Se desea la probabilidad de que una persona acierte al azar un determinado número de preguntas Condiciones de aplicación La situación en las cuales se puede aplicar este modelo debe tener en cuenta que: a) Se hacen n repeticiones del experimento,

donde n es una constante. b) Sólo hay dos resultados posibles en cada

repetición, arbitrariamente llamados éxito y fracaso sin la obligación de que un éxito sea un resultado deseable.

c) La probabilidad de un éxito (y también de un fracaso) permanece constante en cada repetición; al éxito se le asigna una probabilidad p y al fracaso una probabilidad de 1 – p.

d) Las repeticiones son independientes. En el ejemplo de exámenes de opción múltiple del tipo falso y verdadero, las condiciones se cumplen porque: a) Hay 1 ó 50 preguntas, con la misma

estructura del examen. b) Son apenas dos los resultados posibles de

cada repetición; el éxito consiste en

marcar la respuesta correcta y el fracaso consiste en marcar la respuesta incorrecta.

c) Como la respuesta correcta es marcar al azar, al éxito se le da una probabilidad de p = 0.5 = 50%, y al fracaso, la probabilidad de (1 – p) = 0.5 = 50%; dichas probabilidades permanecen constantes pregunta a pregunta.

d) La respuesta a una pregunta no está influenciada por las respuestas de las demás preguntas y, en consecuencia, son consideradas independientes.

Fórmula de rápido uso para quien está de afán Suponga que se realiza una serie de intentos independientes, donde cada intento puede dar sólo dos resultados posibles. La probabilidad p de éxito en cada intento es considerada constante. Suponiendo que X es el número de éxitos en n intentos, la probabilidad de obtener x éxitos en las n repeticiones idénticas, está dada por la expresión:

Pr(X = x) = xnxxn ppC −− )1( para x = 0, 1, 2,

…, n Esta distribución se llama distribución binomial. Empleo paso a paso: Método clásico. Conociendo el número n de repeticiones, de la probabilidad de éxito y del número deseado de éxitos en las n repeticiones, se calcula la probabilidad aplicando la fórmula. Ejercicio-ejemplo 3. 6 “En un examen de opción múltiple con 50 preguntas, cada pregunta presenta 5 opciones. Encontrar la probabilidad de que un alumno, marcándolas al azar, acierte 30 preguntas.” En el caso de que se desee encontrar la probabilidad de eventos compuestos de otros eventos mutuamente excluyentes, se suman las probabilidades. Ejercicio-ejemplo 3. 7 “En un examen de opción múltiple con 50 preguntas, cada pregunta presenta 5 opciones. Encontrar la probabilidad de que un

MODELOS MATEMÁTICOS


51

alumno, marcándolas al azar obtenga una calificación mayor o igual a 5 en la escala de 0 a 10, es decir, acierte 25 o más preguntas.” Uso de la calculadora HP 46G La HP sólo da el valor de las combinaciones de n elementos tomados de x en x, los pasos son los siguientes: ⇒ Paso 1: Digite el valor de n, teclee [Enter], digite el valor de x y teclee [Enter]. ⇒ Paso 2: Oprima las teclas [MTH] (primera de la segunda fila de las teclas) y [NXT]. ⇒ Paso 3: Oprima la tecla blanca [A] (PROB) y [A] de nuevo(COMB); aparecerá el resultado. Con la calculadora Casio CFX – 9859G/9950G La Casio, sólo da el valor de las combinaciones de n elementos tomados de x en x, los pasos son los siguientes: ⇒ Paso 1: Digite el valor de n. ⇒ Paso 2: Teclee [OPTN], [F6], [F3](PROB), [F2] (n C r), digite el valor de x y teclee [EXE]. Con la calculadora Texas TI – 83 a) Para calcular la probabilidad de x éxitos en n repeticiones: ⇒ Paso 1: Teclee [2da] [DISTR]; escoga DISTR y aparecerá o:binompdf(:. ⇒ Digite el número de repeticiones, [,], la probabilidad de p de éxito de cada intento, [,] y el valor de x:. b) Para calcular la probabilidad desde 0 hasta x éxitos en n repeticiones: ⇒ Paso 1: Teclee [2da] [DISTR]; escoga DISTR y aparecerá o:binompdf(: ⇒ Digite el número de repeticiones, [,], la probabilidad de p de éxito de cada intento, [,] y el valor de x:. Con el Excel Por ejemplo, sea un examen con tres preguntas del tipo falso-verdadero y sea la variable aleatoria X el número de respuestas equivocadas. La probabilidad de que un alumno acierte, al azar, una opción de respuesta en una pregunta es, entonces, 0.5.

En el Excel, la función DISTRBINOM, como se muestra en la siguiente figura ayuda a la respuesta del problema.

DISTRBINOM da la probabilidad de x éxitos de la distribución binomial, o la suma acumulada de probabilidades desde x = 0 hasta un valor estipulado, la sintaxis es la siguiente:

DISTRBINOM(num-s; intentos; probabilida-s; acumulativo). • núm-s es el número de éxitos que se

desea, • intentos es el número de repeticiones, • probabilidad-s es la probabilidad de éxito

en cada repetición, • acumulativo es un valor lógico: si es

VERDADERO, entonces DISTRBINOM da el valor de la probabilidad de que existan máximo x éxitos, es decir, da:

∑=

−−x

i

xnxxn ppC

0

)1(


52

Si FALSO, calcula la probabilidad de exactamente x éxitos, es decir,

xnxxn ppC −− )1(

a) Para calcular la probabilidad de dos

aciertos en el ejercicio anterior, por ejemplo, Núm-s = 2, Intentos = 3, Probabilidades = 0.5 y Acumulado = FALSO.

b) Para calcular la probabilidad de, máximo, 2 aciertos, se cambia el acumulado por VERDADERO.

Ejercicio-ejemplo 3.8 Un examen que tiene 50 preguntas. Calcule la probabilidad de que un alumno marcando al azar las respuestas, obtenga una calificación mayor o igual a 6, en los siguientes casos: a) tiene 4 opciones b) tiene 5 opciones El propósito es el de impedir que un alumno totalmente ignorante de la materia obtenga una calificación mayor que 6 cuando marca al azar. Aun con 4 opciones, la probabilidad de obtener una calificación mayor o igual a 6 es prácticamente cero. Siendo así, no sería necesario colocar tampoco 4 opciones.

CONOCIENDO EL NOMBRE Y EL ORIGEN DEL MODELO MATEMÁTICO

Para encontrar la expresión matemática de la función que permite la probabilidad de que x éxitos en n repeticiones, se deduce de inmediato que, si hay x éxitos, hay (n – x) fracasos, supóngase que un éxito se representa por la letra S y un fracaso por la letra I. un resultado posible es un término con 3 éxitos, entonces: SSS (3 veces) y I… II (n – 3) veces. Como los eventos son independientes, las probabilidades de que se presente esa sucesión es el producto de las probabilidades de los resultados individuales. Hay tres factores p y (n – x) factores (1 – p), y de esta manera, la probabilidad de obtener esa sucesión es:

P3(1 – p)n-3 Pero, resultados idénticos pueden obtenerse para cualquier otra sucesión con 3 éxitos y (n

– 3) fracasos en un determinado orden; ésta también tendría 3 factores y p y n – 3 factores 1 – p, obteniéndose el mismo resultado:

P3(1 – p)n-3 Para obtener la probabilidad de x éxitos y n – x fracasos en cualquier orden, se deben conseguir las probabilidades de todas las sucesiones de x éxitos y de n – x fracasos para todas las ordenaciones posibles. Por el análisis combinatorio, la cantidad de sucesiones con n elementos, de los cuales x son iguales a S y n – x son iguales a I, está dada por la permutación de n elementos con x y (n – x) objetos repetidos. La expresión matemática es:

)!(!!,

xnxnP xnx

n −=−

Esta expresión tiene la misma forma de

xnC calcula los coeficientes del desarrollo del

Binomio de Newton, se identificó a este modelo probabilística con el nombre de distribución binomial, con parámetros n y p.

PROPIEDADES DEL MODELO a) El valor esperado (media) de una

distribución binomial es: µ = E(X) = np

b) La varianza de una distribución binomial es: σ2 = VAR(X) = np(1 – p)

Con el ejemplo de la aplicación a la confiabilidad de sistemas, está en el sistema k-de-n, que tiene n componentes, exigiendo que k ≤ n de esos componentes para la correcta aplicación del sistema. Tales sistemas se llaman sistemas k-den si k = n, se tiene un sistemas en serie; si k = 1, se tiene un sistema en paralelo. Para facilidad del cálculo, se admite que todos los componentes sean estadísticamente idénticos y que funcionen independientemente unos de otros. Sea R la confiabilidad (probabilidad de que determinado componente ejecute la función para la cual fue diseñado en las condiciones ambientales previstas y para un determinado lapso de tiempo) de un componente, entonces el experimento de observar la situación de los n componentes puede ser concebido como sucesión de intentos internos con probabilidad


53

de éxito igual a R. La confiabilidad del sistema es: Rkn = Pr(k o más componentes funcionando), Es decir, k ó k + 1, hasta todos los n. Cada una de estas situaciones es mutuamente excluyente en relación con cualquier otra. Entonces, Rkn = Pr(k o más componentes funcionando) = Pr(componentes funcionando) + Pr(k + 1

componentes funcionando) + ... + Pr(n componentes funcionando

=

∑=

n

kiofuncionandscomponenteieexactament ___Pr(

Entonces,

Rk→ n = ∑=

−−n

ki

iniin RRC )1(

Donde R = confiabilidad de que un componente funcionará.

EL SEGUNDO MODELO MATEMÁTICO: POISSON

Observando nuestro mundo Las colas (filas de espera) son uno de los hechos más evidentes en la vida diaria, sea en un supermercado, pasando por los bancos e incluyendo los accesos a los peajes de las carreteras durante los días feriados, afectando todo esto la vida de millares de ciudadanos. “Si no es un caso fatal, la espera es eterna: los pacientes que necesitan de cirugías necesarias, pero no urgentes –en los hospitales públicos de Río- están condenados a hacer larga cola y pueden pasar más de un año antes de ser atendidos.” Tales hechos comienzan a preocupar al gobierno, el cual busca soluciones. “Para resolver el problema de las colas que nunca dejan de presentarse, el Ministerio de Salud tiene dos estrategias.” Se observa que toda fila está conformada por personas u objetos (que se pueden contar), los cuales están esperando para realizar una determinada actividad que consume tiempo (tiempo éste que es medible). Inicialmente,

analicemos el problema con relación a las entidades que causan la creación de una cola. Condiciones de aplicación del modelo matemático Al hacerse un estudio de las entidades que demandan un servicio en un tiempo ilimitado de observación, se debe tener en cuenta las siguientes condiciones: a) El número de llegadas en cualquier

intervalo de tiempo parece depender solamente de la duración del intervalo de tiempo; cuanto mayor es el intervalo, mayor debe ser el número de llegadas.

b) Las llegadas se presentan independientemente unas de otras; es decir, un exceso o falta de llegadas en algún intervalo de tiempo no tiene efecto sobre el número de llegadas que se presenten en cualquier otro intervalo.

c) La probabilidad de que dos o más llegadas se presenten en un pequeño intervalo de tiempo t, es muy pequeño cuando la compra con la de una única llegada.

Fórmula de rápido uso para quien tenga afán Sea X una variable aleatoria que pueda tomar los valores 0, 1, 2, 3…, X… La probabilidad de que X tome un valor k está dada por la siguiente expresión de distribución de probabilidad:

P(X = k) = !k

e kλλ− para k = 0, 1, 2, …, n …

En la cual λ es el parámetro (media de los eventos que se presentan) por unidad de observación, normalmente el tiempo. Esta distribución se conoce como Distribución de Poisson22

22 Aunque se hace el ejemplo contando con el tiempo, los eventos pueden presentarse relacionados con el espacio, el área, o el volumen: para el área, por ejemplo, las condiciones serían: a) El número de ocurrencias en cualquier área puede

depender solamente del área; a mayor área, mayor tiende a ser el número de ocurrencias del evento

b) Las ocurrencias se presentan independientemente, es decir, que un exceso o falta de ocurrencia del evento en algún área no afecta el número de ocurrencias en alguna otra área

c) La probabilidad de que dos o más ocurrencias es un área pequeña es muy pequeña cuando se la compra con la de una sola ocurrencia


54

El símbolo e representa la base de los logaritmos naturales, cuyo valor es 2.7183, aproximadamente. Uso paso a paso Método clásico. • Paso 1: Identifique la situación como si

pudiera ser modelada para esa distribución

• Paso 2: Identifique el valor del parámetro λ;

• Paso 3: Use la fórmula sustituyendo a λ por su valor y a k por el valor deseado

Ejercicio-ejemplo 3.9 Una oficina de consultoría recibe, en promedio, cinco llamadas telefónicas por hora. Encuentre la probabilidad de que, en determinada hora, tomada al azar, sean recibidas exactamente tres llamadas. Ejercicio- ejemplo 3.10 Según datos históricos de cierta empresa, 3 es el promedio de llamadas recibidas en 20 minutos: a) encuentre la distribución de probabilidad

de este ejemplo; b) encuentre la probabilidad de tener, como

máximo, 2 llamadas en 40 minutos, en un intervalo escogido aleatoriamente.

Usando calculadoras Con la calculadora HP 48G. La HP no calcula directamente esta probabilidad.

Con la calculadora Texas TI – 83. a) Para encontrar la probabilidad de x éxitos: Paso 1: teclee [2nd][DISTR];

escoja DISTR y aparecerá B:possonpdf(:; Paso 2: digite el valor del

parámetro, [,] y el valor de x; b) Para encontrar la probabilidad acumulada desde 0 hasta x éxitos: Paso 1: teclee [2nd][DISTR];

escoja DISTR y aparecerá C:possonpdf(:; Paso 2: Digite el valor del

parámetro, [,] y el valor de x;

Con Excel En Excel (hoja electrónica de cálculo) se tiene, en “Colocar función”, POISSON, como se muestra en la siguiente figura:

POISSON da la probabilidad de x éxitos de la distribución de Poisson o la suma cumulada desde x = 0 hasta algún valor estipulado para la variable. La sintaxis es la siguiente:

X es el número de éxitos que se desea Media es el parámetro λ Acumulativa es un valor lógico: si es VERDADERO, entonces POISSON da el valor de la probabilidad que se presente un máximo de x éxitos, si FALSO, calcula la probabilidad de que ocurran exactamente x éxitos


55

Observe las siguientes figuras para los ejercicios ejemplos planteados:

Obsérvese que el valor lógico VERDADERO, acumula la probabilidad de 0.25025915.

En tanto, el valor lógico FALSO, devuelve exactamente el valor de acuerdo con el número de éxitos esperados, en este caso: 0.14037389.

CONOCIENDO EL ORIGEN DEL MODELO MATEMÁTICO

Al estudiar una situación que cumpla con las condiciones del problema, tal como el de las colas, debe tenerse en cuenta que: a) La probabilidad de n llegadas en un

intervalo de tiempo de duración, t depende, únicamente, de la duración t del intervalo de tiempo y no de los puntos inicial y final del mismo.

Indicamos la probabilidad por Pn(t) para n = 0, 1, 2, 3… De esta manera:

Pn(t) ≥ 0 y ∑∞

=

=0

1)(n

n tP

Con P0(0) = 1 y Pn(0) = 0 para n > o, ya que la probabilidad de que lleguen 0 elementos en el tiempo t = 0 es igual a 1. Para simplificar este modelo, suponga también que cada Pn(t) es continua y diferenciable en el intervalo 0 ≤ t ≤ ∝;

b) Sean dos intervalos de tiempo no

yuxtapuestos y sucesivos, t y ∆t. en la figura 3. 1423, consiste en que ha habido “k llegadas en el primer intervalo t” y “n – k llegadas en el intervalo ∆t” y que esas llegadas son independientes.

k Llamadas n - k Llamadas

t ∆τ

Por lo tanto, la probabilidad de que ambos eventos se presenten en el intervalo (t + ∆t) es igual a Pk(t)Pk-n(∆t), de esta manera, la probabilidad de n llegadas en el intervalo de duración (t + ∆t) se obtiene sumando esos términos para todos los k ≤ n. En consecuencia,

Pn(t + ∆t) = ∑∞

=− ∆

0)()(

nknk tptp ;

c) Adicionalmente, para simplificar el

modelo, considere que la probabilidad de más de una llegada tiene el valor 0 cuando t > 1, o sea que, P2(t) = 0, P3(t) = 0, P4(t) = 0, y así sucesivamente.

Como ∑∞

=0

)(n

n tP = P0(t) + P1(t) + … +… =

1, entonces

P0(t) + P1(t) + ∑∞

=0

)(n

n tP = 1

Por lo tanto,

∑∞

=0)(

nn tP = 1 - P0(t) - P1(t)

Partiendo de las condiciones iniciales del problema, se tiene que:

23 Evento “n llegadas en el intervalo de duración t + ∆t, habiendo “k llegadas en el intervalo de duración t y n + k llegadas en el intervalo de duración ∆t”


56

Pn(t + ∆t) =

∑∑∞

=−−−

∞

=

∆+∆+∆=∆2

1100

)()()()()()()()(k

knknnknk

n tPtPtPtPtPtPtPtP

Que es aproximadamente igual a: Pn(t + ∆t) = Pn(t)[1 - λ∆t] + Pn – 1(t) λ∆t [Pn(t + ∆t) - Pn(t)] = λ[- Pn(t) + Pn – 1(t)] ∆t

)()()]()([

1 tPtPt

tPttPnn

nn−+−=

∆−∆+

λλ

Haciendo tender ∆t a cero, tendremos que: Pn(t) = - λ Pn(t) + λPn-1(t) para n = 1, 2, …

Para cada n, tenemos una ecuación diferencial y de diferencias finitas. Diferenciando una función. qn(t) = e-λtPn(t), el sistema se toma en pn(t) = λqn-1(t) Vemos que q’1(t) = λ y de aquí que q1(t) = λt q’2(t) = λ q1(t) = λ2t y entonces

2)()(

2

2ttq λ

=

Como qn(t) = λqn-1(t), entonces,

!)()(nttqn

nλ

=

Por la definición de qn(t) = e-λtPn(t) = !)(nt nλ

Se encuentra finalmente que el valor de

Pn(t) = e-λtPn(t) !)(nt nλ

A este modelo se le llamó Modelo de Poisson. Propiedades del modelo La media y la varianza de una distribución de Poisson son iguales:

µ = σ2 = λ

EL TERCER MODELO MATEMÁTICO: EXPONENCIAL

Observando nuestro mundo Volviendo a las colas (la gente siempre vuelve…), vimos que toda línea de espera está formada por personas u objetos (que pueden contarse), los cuales esperan para realizar una determinada actividad que consume tiempo (tiempo que también es medible) Primero, analizamos el problema con relación a las entidades en las que se forman colas; ahora vamos a analizar el tiempo que consume el proceso de cumplir esta actividad.

En la distribución de Poisson, definimos la variable aleatoria como el número de eventos en determinado período y en el cual la media de los eventos está denotada por “λ”. Así como el número de eventos que se presentan es una variable aleatoria, observamos que el tiempo entre esos eventos también es una variable aleatoria. Condiciones de aplicación El número de eventos debe tener una distribución Poisson. Fórmula de rápido uso para quien está de afán El período de tiempo T entre llegadas o conteos sucesivos de Poisson con media λ > 0, es una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad está dada por:

f(t) = λe-λt, para t ≥ 0 Teniendo en cuenta la estructura matemática de esta función de densidad de probabilidad, entonces es llamada exponencial con parámetro λ. Ejercicio- ejemplo 3.11 Cuando observamos la duración de las baterías de los video-juegos, concluimos que esta vida no es más que el intervalo entre las fallas sucesivas de las baterías; para esas fallas se puede aplicar el proceso de Poisson. De esta manera, el tiempo promedio entre esas fallas viene a ser la vida media de la batería. Suponga que muchísimas baterías fueron usadas y que se observó (algo raro de acontecer en la vida diaria, pues solo las fábricas lo hacen), que cada 7 días había necesidad de cambiarlas (es decir, que la vida promedio de las baterías es una semana) Las fallas de las baterías son aleatorias e independientes y obedecen a una distribución de Poisson; entonces, para el tiempo de vida de una batería se puede emplear la función exponencial. a) Encuentre la probabilidad de que la batería

funcione por lo menos durante dos semanas.;

b) Encuentre la probabilidad de que una batería puede fallar en un lapso de tres días.

c) Encuentre la probabilidad de que una batería pueda funcionar entre 3 y 4 semanas.

d) Encuentre la desviación típica del tiempo de vida de una batería.

57

e) Sabiendo que una batería ya duró una semana, encuentre la probabilidad de que dura, por lo menos, más de dos semanas.

Empleo paso a paso Método clásico. Conociendo el parámetro λ, se calcula probabilidad a partir de la fórmula.

USANDO LAS CALCULADORAS Con la calculadora HP 48G La HP utiliza para su cálculo la función ex; los pasos son los siguientes: • Paso 1: Digite el valor de λ, teclee (+/-), a

la izquierda de [ENTER] y teclee[ENTER]. • Paso 2: Oprima la tecla roja y [1/x]

(equivale a ex). • Paso 3: Digite λ, [ENTER] y oprima la tecla

[X]. Con la calculadora Casio CFX-9850G/9950G La calculadora Casio utiliza para su cálculo la función ex; los pasos son los siguientes: • Los cálculos se realizan en el modo RUN.

Teclee [SHIFT], [In] (ex), digite el número (si es negativo, el signo que lo precede) y teclee [EXE].

Con la calculadora TI – 83 Teclee [2nd], [In] (ex), digite el número (si es negativo, con el signo que lo precede) y teclee [EXE]. Con el Excel En Excel, la función DISTEXPON, como lo muestra la siguiente figura 3.15:

Ayuda en el cálculo de la solución del problema; DISTEXPON (DISTR.EXP) suministra la probabilidad de x éxitos de la distribución exponencial, o la suma acumulada desde x = 0 hasta algún valor estipulado de la variable, la sintaxis es la siguiente:


58

X es la cantidad de éxitos que se desea (es el valor de la función, un número no negativo). Lambda es el parámetro λ

Acumulativo es un valor lógico: si es VERDADERO, entonces DISTEXPON da el valor de la probabilidad de que exista un máximo de x éxitos; si FALSO, calcula la probabilidad de exactamente x éxitos. Resolviendo el problema

Obsérvese que la función DISTEXPON en el valor lógico VERDADERO devuelve una probabilidad acumulada de 0.950212932 para una batería que se espera falle a los tres días.


59

Obsérvese que la función DISTEXPON en el valor lógico VERDADERO devuelve una probabilidad acumulada de 0.149361205 para una batería que se espera falle exactamente a los tres días. Conociendo el origen del modelo Sea T el tiempo, a partir de determinado punto, hasta que se presente el primer evento. La distribución de T puede obtenerse a partir del número de eventos, pues existe una relación entre ellos: por ejemplo, puede pasar de 30 segundos el “tiempo hasta el primer evento”, lo que equivale a decir que nada ha pasado en esos 30 segundos. Este razonamiento es suficiente para encontrar la distribución probabilística de T. En general, sea N la variable aleatoria que indica el número de eventos en t segundos. Si el número promedio de eventos por unidad de

tiempo es tλ

, entonces N tiene una

distribución de Poisson con media λt. Dicho esto, el punto inicial para medir a T no importa, porque la probabilidad de que suceda determinado número de eventos en un proceso de Poisson, depende solamente de la longitud del intervalo observado y no de su ubicación. Si el período que se está estudiando es igual a t, entonces: Pr(la variable aleatoria tiempo > tiempo especificado) = Pr(T > t) esto es equivalente, en la distribución de Poisson, a tener N = 0. En consecuencia: Pr(N = 0) =

)Pr()Pr().Pr(1!

)( 0

tTtTPerotTeote t ≤=>−== −

−

hλλ λ

es la función de distribución acumulativa de T,

es igual a 1 - te /−−r

, para todo t ≥ 0. Diferenciando con respecto a t, se llega a una función de densidad de probabilidad.

f(t) = λe-λt, para t ≥ 0, en la cual λ es la misma media por unidad de tiempo en la distribución de Poisson:

µ = λ1

y σ2 = 2

1λ

Propiedades del modelo La media y la varianza de una distribución exponencial son iguales y valen: se dice que la distribución exponencial tiene la propiedad

de no tener memoria. Esto significa, por ejemplo, que la propiedad de la vida de un cierto equipo supere (s + t), unidades de tiempo, teniendo en cuenta que ya transcurrieron t unidades de tiempo sin fallar, es la misma que la probabilidad de la vida útil del equipo de superar las unidades de tiempo. Matemáticamente, esa propiedad se representa por:

Pr(tT

T ts

>> + ) = Pr(X >s) para todo s y t ≥ 0.

Ejercicio- ejemplo 3.12 En Excel, calcule la probabilidad aproximada de que un equipo, cuya vida media de 2 años y 4 meses puede ser modelada por la distribución exponencial, puede durar: a) hasta tres años b) más de tres años c) hasta 2 años y 4 meses d) más de dos años y 4 meses e) más de 3 años después de haber funcionado durante un año

EL CUARTO MODELO MATEMÁTICO: LA DISTRIBUCIÓN DE DEMOIVRE – LAPLACE

– GAUSS (LA DISTRIBUCIÓN NORMAL) Observando nuestro mundo Cuando tomamos medidas, podemos ver que existe un valor alrededor del cual tienden a concentrarse, y es razonable suponer que hay una probabilidad mucho mayor de encontrar una medida próxima a ese valor que una medida alejada de éste. También es razonable suponer que la probabilidad de conseguir una medida mayor o menor que dicho valor es la misma. Ese valor, el que por ejemplo se refiere a las mediciones, es el valor verdadero de lo que se quiere encontrar. Describiéndolo numéricamente: a) Si el valor verdadero es 30, hay una

probabilidad mayor de encontrar una medida entre 29 y 31 de la que hay que encontrar una medida entre 45 y 47; aunque la diferencia entre estas medidas es la misma (31 – 29) = (47 – 45) = 2, las probabilidades de que se presenten son diferentes, pues existe una proporcionalidad entre las diferencias de las medidas y las probabilidades de que se presenta.


60

b) La probabilidad de encontrar algo encima del verdadero valor es del 50%, así como es del 50% la probabilidad de encontrar una medida por debajo del verdadero valor (hay que recordar que es aleatorio el error para más o para menos; como nada se sabe, se aplica el concepto de equiprobabilidad).

La distribución usada más ampliamente en los problemas estadísticos es la distribución de DeMoivre24 – Laplace25 - Gauss26 , conocida como la distribución normal. Aunque el nombre normal puede dar lugar a algunas distorsiones, porque conduce a pensar que todos los fenómenos se comportan según este modelo, lo cual no es verdad. Además, se dice que esta distribución normal tiene forma sinusoidal (forma que adquiere una función seno), lo que también es falso (basta comprobar con la función seno para ver las grandes diferencias) porque lo que distingue a esa distribución probablística es una función de densidad de probabilidad, es decir, su ecuación matemática. Dependiendo de la dispersión de los datos, el gráfico de la curva puede ser achatado, puntiagudo o, inclusive, tomar el aspecto de lo que llaman la “la forma del seno”. ¡Herejía! .- La distribución DeMoivre-Laplace_Gauss tiene forma sinusoidal. ¡Herejía! .- Afirmar que todos los problemas obedecen o siguen una distribución DeMoivre-Laplace-Gauss. Condiciones de aplicación En situaciones en las cuales los valores tienden a concentrarse alrededor de un valor central. Fórmula de rápido uso para quien está de afán La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria DeMoivre-Laplace-Gauss está dada por:

−−2

2

2)(exp

21)(

σµ

πσxxf para -∝ < x < ∝

donde los parámetros son:

24 Abraham DeMoivre (1667 – 1754), matemático francés. 25 Pierre Simon Laplace (1749 – 1827), matemático francés. 26 Carl Fredich Gauss (1777 – 1855), matemático alemán llamado el “Príncipe de las matemáticas”.

µ, es la media de la población σ, es la desviación típica. La figura 3.16 (siguiente) muestra una función de densidad de probabilidad de DeMoivre-Laplace-Gauss.

0 10-10 20 30 40-40 -30 -20 Uso paso a paso Al resolver cualquier problema que necesite de la distribución de DeMoivre-Laplace-Gauss, dibuje siempre el gráfico de la función y sombree las áreas deseadas para visualizar las probabilidades que se desea encontrar. Método clásico. Encontrar el área bajo la curva de DeMoivre- Laplace-Gauss y entre dos límites, exige la integración de la función de densidad de probabilidad entre esos límites, integración que sólo puede hacerse por métodos numéricos. Como los valores de los parámetros de la función de densidad de probabilidad varían para toda combinación posible de m y s2, se vuelve muy difícil calcular esa área bajo la curva de Demoivre-Laplace-Gauss, cada vez que se desea calcular las probabilidades. Con todo, el área entre ciertos límites puede encontrarse relacionando las distribuciones que tengan cualesquier medidas desviaciones típicas con solamente una distribución de DeMoivre-Laplace-Gauss conocida como reducida (o patronizada), con media 0 y desviación típica igual a 1, cuyas áreas entre dos límites están tabuladas. Esta distribución reducida es identificada con N(0, 1), donde el primer parámetro representa la media y el segundo es la varianza. Su función de densidad es:

22

21)( zezf −

π para - ∝ < z < ∝


61

Las áreas entre - ∝ y z están en la siguiente tabla (3.9) z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0 0.50000 0.50399 0.507980 0.51197 0.51595 0.51994 0.52392 0.52799 0.53188 0.53586

0.1 0.53983 0.54380 0.547758

0.2 0.57926 0.58317 0.587064

0.3 0.61791 0.62172 0.625515

0.4 0.65542 0.65910 0.662757

0.5 0.69146 0.69497 0.698468

0.6 0.72575 0.72907 0.732371

0.7 0.75804 0.76115 0.732371

0.8 0.78814 0.79103 0.793892

0.9 0.81594 0.81859 0.811213

1.0 0.84134 0.84375 0.846135

1.1 0.86433 0.86650 0.868643

1.2 0.88493 0.88686 0.888767

1.3 0.90320 0.90490 0.906582

1.4 0.91924 0.92073 0.922196

1.5 0.93319 0.93448 0.935744

1.6 0.94520 0.94630 0.947383

1.7 0.95543 0.95637 0.957283

1.8 0.96407 0.96485

1.9 0.97128 0.97193

2.0 0.97725 0.977784

2.1 0.98214 0.982570

2.2 0.98610 0.986447

2.3 0.98928 0.989555

2.4 0.99180 0.990223

2.5 0.99379 0.993963

2.6 0.99534 0.995472

2.7 0.99653 0.996635

2.8 0.99744 0.997522

2.9 0.99813 0.998192

3.0 0.99865 0.998693

Las tablas encontradas en la mayoría de los libros de probabilidad presentan no los valores de la función de densidad de probabilidad, sino la función de distribución acumulativa, porque para una variable aleatoria continua interesan las probabilidades de la variable aleatoria que están entre dos valores, es decir, el área por debajo de la función de densidad de probabilidad y limitada por esos valores. De todos modos, debe tenerse cuidado cuando se calculan esas áreas, teniendo en cuenta que cuando que éstas son presentadas en las tablas publicadas con límites diferentes. Siendo estos así, dibujar el área buscada es casi obligatorio para calcular correctamente la probabilidad deseada. La lectura de la tabla 3.9 se hace de la siguiente manera: en la primer columna, los números representan el entero y la décima del valor de z; en la primer fila los números representan la centésima del valor de z. De esta manera, el área está limitada entre - ∝ y z es el valor

obtenido en el cruce de la línea (con la parte entera y a décima de z) y la columna (con la centésima de z). Cualquier otra área es obtenida por la suma o resta de áreas, o restando de 1 (el área total bajo la curva es igual separar 1), o de 0.5 (aprovechando la simetría de la curva en relación con la media) Ejercicio- ejemplo 3. 13 Encuentre las siguientes probabilidades: a) Pr(z < 1, 23) b) Pr(z > 1, 23) c) Pr(1 < z < 1, 5) d) Pr(- 1 < z < 2) Cualquier distribución de DeMoivre-Laplace-Gauss con media de µ y desviación típica de σ es colocada en la forma de la distribución reducida mediante la transformación afín:


62

σµ−

=xz

Se conserva la propiedad de que el área entre los límites a y b de la variable X, es igual al área entre los límites za y zb de la distribución reducida. El valor de z representa el número de desviaciones típicas con el que cualquier valor de X se aleja de la media de todos los valores de X, pudiendo ser negativo o positivo, el valor está a la derecha de la media; si z es negativo, a la izquierda de la media. En la media, el valor de z es cero. En consecuencia, se puede usar la tabla de la distribución reducida para calcular el área entre cualesquier límites de cualquier distribución de DeMoivre-Laplace-Gauss27. Ejercicio ejemplo 3.14 Encuentre el valor de z que corresponde al área (probabilidad) del 5% a la derecha de z.

EMPLEANDO CALCULADORAS Con la calculadora HP 48G La HP calcula la probabilidad desde x hasta +∝ para cualquier distribución de DeMoiver-Laplace-Gauss. • Paso 1: Teclee [MATH] (primera tecla de

la segunda fila de teclas) y [NXT]. • Paso 2: Oprima la tecla blanca [A] (PROB)

y [NXT] de nuevo. • Paso 3: Digite el valor de la media µ y

treclee [ENTER]. • Paso 4: Digite la varianza σ2, teclee

[ENTER]; si tiene la desviación típica,

digítela y oprima la tecla roja y [ x ] [x2]. • Paso 5: Digite el valor de x y oprima la

tecla blanca [C] (OTPN); el resultado aparece.

Con la calculadora Casio CFX-9850G/9950g Los cálculos se realizan en la modalidad RUN para la distribución reducida: • Paso 1: Teclee [OPTN] (F6), [F3] (PROB)

[F6].

27 No confundir los valores de z (las abscisas van desde - ∝ hasta + ∝) con los valores de las áreas entre dos abscisas y por debajo de la curva de DeMovier-Laplace-Gauss (áreas que valen entre 0 y 1).

• Paso 2: Digite: a) [F1] si desea calcular la probabilidad

de – (hasta el valor z aparece P); digite el valor de x y oprima la tecla [EXE].

b) [F2] si desea calcular la probabilidad desde 0 hasta el valor de z, aparece (Q); digite el valor de x y oprima la tecla [EXE].

c) [F4] si desea calcular el valor de la variable reducida z para su valor, si esa operación es una sucesión de cálculos a partir de una lista de valores, aparece t (digite el valor de x y oprima la tecla [EXE].

Con la calculadora Texas TI – 83 a) Para encontrar el área entre dos valores:

• Paso 1: Teclee [2nd][DISTR]; escoja DISTR, apareciendo 2:normalcdf(:;.

• Paso 2: Digite el límite inferior, [,], el límite superior [,], la media [,] y la desviación típica.

b) Para encontrar la ordenada en la abscisa

x: • Paso 1: Teclee [2nd][DISTR]; escoja

DISTR, apareciendo 1:normalcdf(:;. • Paso 2: Digite el límite inferior, [,], la

media [,] y la desviación típica. Con el Excel En el Excel, la reducción para la distribución DeMoivre-Laplace-Gauss reducida es hecha por la función PADRONIZAR de la función colocar función, como se muestra en la siguiente figura:


63

Al aceptar la función aparecerá el cuadro de diálogo siguiente:

Figura 3.17 La función PADRONIZAR (NORMALIZACIÓN) con la función Colocar Función.

Een el cual, al digitar los valores de x en la media y de la desviación típica, aparecerá el valor de z.

La función DISTR.NORMP, suministra el área bajo la curva de DeMoivre-Laplace-Gauss desde -∝ hastra z, como se muestra en la siguiente figura:

Figura 3.18: La función DIST.NORMP (DISTR.NORM.ESTAND).

La función DISTR.NORMP suministra: a) El área bajo la curva de DeMoivre.Laplace-

Gauss desde -∝ hasta X, debiendo ser digitados la media y la desviación típica y la acumulativa VERDADERO.

b) La abscisa de la curva de

DeMoivre.Laplace-Gauss en el punto X, debiendo digitarse la media y la desviación típica así como la acumulativa FALSO, como se muestra en la siguiente figura:


64

Figura 3.19: La función DISTR.NORM. En caso de que sean dadas las áreas entre -∝ y z, la función INV.NORMP, como muestra la siguiente figura, hace volver el valor de z.

Figura 3.20: La función INV.NORMP (DISTR.NORM.ESTAND.INV).

Si se dan las áreas entre -∝ hasta X, la función, la función INV.NORM, figura 3.21, hace volver el valor de X, conocidas la media y la desviación típica


65

Figura 3.21: La función INV.NORM (DISTR.NORM.INV).

EL CONOCIMIENTO DEL ORIGEN DEL

MODELO MATEMÁTICO El estudio de la llamada “distribución normal” se inició en el siglo XVII, cuando se comenzó a observar que si un objeto era pesado repetidamente en la misma balanza, los pesos observados no eran idénticos, presentándose una diferencia entre las medidas. Si se hiciera un número razonable de mediciones, la distribución de las observaciones presentaba un patrón regular, que hoy se conoce como el de la distribución normal de DeMoivre-Laplace-Gauss; errores de observación de características diferentes también seguían el mismo patrón. De hecho, la distribución era conocida inicialmente como la curva normal de los errores. Esa curva, originada por DeMoivre en 1773, fue también estudiada por Laplace y Gauss28. Básandose en los trabajos de Pascal29, de Fermat30 y de Bernoulli31, DeMoivre, cuando se encontraba exiliado en Londres, fue capaz

28 Respetando la historia y por un sentido de justicia, se llama en este libro a la distribución conocida como normal, distribución de DeMoivre-Laplace-Gauss. 29 Blaise Pascal (1623 – 1662), matemático francés. 30 Pierre de Fermat (1601 – 1665), matemático francés. 31 Lakob Bernoulli (1654 – 1705), matemático belga.

de demostrar que la curva matemática que modela los problemas de esta clase tiene la siguiente forma:

−−2

2

2)(exp

21)(

σµ

πσxxf para -∝ < x < ∝

donde µ es la medio y σ es la desviación típica de la población. Sin embargo, Gauss llegó a esta distribución a partir del estudio de una distribución de la población de errores de medición, investigando a cuál ley obedecían los errores de observación para que la media aritmética de una serie de ellas fuera el valor más probable de la verdadera magnitud. Con base en los argumentos de Gauss, pero más próximas a sus aplicaciones, vamos a deducir la expresión de la función densidad de probabilidad de DeMoivre-Laplace-Gauss. Suponga que el valor real de una media es la media de un gran número de observaciones. Al calcularse las diferencias entre las observaciones y el valor de la media aritmética y sumarlas, esta suma será siempre igual a cero, porque, conforme vimos en el capítulo 2, la suma de las diferencias positivas es siempre igual a la suma de las diferencias negativas. Sabemos que la probabilidad de un error o desviación en el intervalo que va desde x + dx es igual a f(x)dx. En n observaciones independientes, en las que los errores son x1,


66

x2, …, xn, la probabilidad del error total es proporcional a a.

Y = [f(x1)] [f(x2)] [f(x3)]… [f(xn)] Como en el siglo XVIII, las multiplicaciones extensas se hacía empleando logaritmos, nada es más natural que escribir: ln Y =ln f(x1 + ln f(x2) + ln f(x3) + … + lnf(xn) Se desea encontrar a f(x); como hemos considerado que el valor real de una medida es la media de un gran número de observaciones, es razonable suponer que la función buscada es aquella que hace de Y un máximo para el valor real µ de la media. En términos matemáticos, esto significa que, inicialmente, la primera derivada debe hacerse igual a cero,

µdYd )(ln

= 0, o sea, aplicando la regla de

cadena:

0)()(

...)()(

)()( 2

2

21

1

1 =+++µµµ ddxx

xfxf

ddxx

xfxf

ddxx

xfxf n

n

n

Los valores de x aún dependen de µ, desconocida, porque, si las medidas son m1, m2 …, entonces, x1 = m1 - µ; x2 = m2 - µ; y así sucesivamente. Al tomar la derivada con respecto a µ, se tiene que:

1...21 −===µµµ ddx

ddx

ddx n

De esta manera:

0)1()()(

...)1()()()1(

)()(

2

2

1

1 =−++−+− xxfxf

xxfxfx

xfxf

n

n

0)()(

...)()(

)()(

2

2

1

1 =+++n

n

xfxf

xfxf

xfxf

Teniendo en cuenta que esa ecuación se relaciona con el concepto de suma desviaciones con respecto a la media aritmética (la suma de ambas es igual a 0), debemos tener que:

)()(

i

i

xfxf

debe ser proporcional a xi (cualquier

desviación observada) para todo i. En otras palabras,

)()(

i

i

xfxf

= kxi

donde k es una constante de proporcionalidad. Integrando con respecto a x, tenemos que:

ln f(x) = Ckxteconskx ln2

tan2

22

+=+

Entonces: ln f(x) – lnC = 2

2kx,

22 2

)(2

)(lnkx

eCxfykx

cxf

== , finalmente,

2

2

)(kx

Cexf =

La constante C puede encontrarse integrando a f(x) entre -∝ y +∝ e igualando a 1 el resultado y el valor de k se consigue calculando el valor esperado y la varianza de esa distribución e igualándolas a µ y a σ2. El resultado es la distribución de DeMoivre-Laplace-Gauss.

NAVEGANDO POR LA INTERNET Diríjase a la dirección:

http://www.thinks.com/java/balldrop/normal.http

Y vea una simulación de la distribución de DeMoivre-Laplace-Gauss. Usted puede salirse de la Internet y la simulación continuará; siga observando el comportamiento de la caída de las esferitas. Ejercicio- ejemplo 3.15 Se comprobó que la longitud de un objeto puede obedecer a una distribución de DeMoivre-Laplace-Gauss con medio de 100 mm y desviación típica de 2 mm. a) Encuentre la proporción de objetos que son mayores de 103.3 mm. b) Encuentre la proporción de los resultados que se encuentran entre 98.5 y 102.0 mm. c) Encuentre la proporción de objetos que están debajo de 96.5 mm. d) Es importante que la longitud del objeto no sea muy grande cuando se compara un cierto valor buscado; si la gerencia decide que un máximo del 5 % de los objetos deben tener una longitud mayor que ese valor, recomiende un límite para la especificación.


67

PROPIEDADES DEL MODELO Mito: Existe solamente una distribución De Moivre-Laplace-Gauss; por eso, se afirma que todo el mundo es normal. La distribución de DeMoivre-Laplace-Gauss: a) Tiene como parámetros la media µ y la

desviación típica σ, formando una familia infinita de distribuciones, una para cada valor de µ y cada valor de σ.

b) Es simétrica con relación a la media aritmética µ.

c) La media, mediana y moda son iguales y corresponden al máximo de la función de densidad de probabilidad.

d) Desplaza su localización si hay una variación en la media; cuando la media aumenta, el gráfico se desplaza hacia la derecha; y cuando la media disminuye, el gráfico se desplaza hacia la izquierda, pero sin alterar su forma.

e) Se hace más aplanada o más puntiaguda, alrededor de la media si la varianza (o desviación típica) aumenta o disminuye, respectivamente.

f) Tiene teóricamente la proporción de los valores de la población que se encuentra entre µ ± σ (la media más o menos una desviación típica) igual al 68.25 %; el 95.44 % del área total está entre µ ± 2σ y el 99.74 % está entre µ ± 3σ.

g) Tiene un número infinito de clases. h) Tiene como asíntota el eje de las abscisas. i) Su amplitud es ilimitada. j) Tiene puntos de inflexión en las abscisas µ

+ σ y µ - σ. Se acostumbra a afirmar que todo el mundo es normal, es decir, que todo obedece a la distribución de DeMoivre-Laplace-Gauss. Si este mito fuera cierto realmente ¿cuál es la razón de la existencia de las demás distribuciones probabilísticas?


68

Caso discreto: Sean X e Y, 2 variables aleatorias discretas. Entonces la función: f(x, y) = P(X = xy Y = y) Se conoce como la función de probabilidad conjunta discreta y genera la probabilidad conjunta de que X tome el valor de x y Y tome el valor de Y. Función de probabilidad marginal En relación con f(x, y), f(x) y f(y) se denominan funciones de probabilidad individuales o marginales. Estas funciones de probabilidad marginales se obtienen de la siguiente manera:

∑=y

yxfxf ),()( Función de probabilidad

marginal de X.

∑=x

yxfxf ),()( Función de probabilidad

marginal de Y. Función de probabilidad condicional El interés se centra en estudiar el comportamiento de una variable condicionada por los valores de otra u otras variables. f(x y) = P(X = x Y = y) = f(x, y) * f(x); f(y) > 0 Función de probabilidad de X; ésta da que la probabilidad de que X tome el valor x, dado que Y ha asumido el valor de y.

f(x y) = P(X = x Y = y) = )(),(

xfyxf

; f(y) > 0

Momentos estadísticos 1. Momento con respecto al origen de la

variable aleatoria: µr. 2. Momento con respecto a la media de la

variable aleatoria µr. r: No. de orden del momento. µr: r-ésimo momento con respecto al origen 0.

µr: r-ésimo momento con respecto a la media.

E[x ]r3r = =

X f(x) r

A

X

X f(x)dx rS8

8

E(x - [ ] rr = =

A

X

f(x)d x S

88

f(x) (x - r

(x - r

Casos especiales: 1. µr’ Si r = 0 → t

0µ = E[x0] = E[1] = 1

Si r = 1 → t1µ = E[1] = µ : media de la

variable

Si r = 2 → t2µ = E[x2]

Si r = 3 → t3µ = E[x3]

2. µr Si r = → t

0µ = E[(x - µ)0] = E[1] = 1

Si r = → µ1 = E[(x - µ)] = 0. Primer momento respecto a la media Si r = → µ2 = E[(x - µ)2] = σ2 = E[x2] –

E([x])2 = t2µ - (µ)2

= t2µ - ( t

1µ )2. El 2º momento respecto a la

media de 2 momentos respecto al origen Si r = 3 → µ3 = E[x3 – 3x2µ + 3xµ2 - µ3] = E(x3) –E[3x2µ] + E[3xµ2] – E[µ3] = E[x3] – 3µE [x2] + 3µ2>E[x] - µ3

= t3µ - 3 t

1µt2µ + 3 3

1 )( tµ - 31 )(3 tµ

= t3µ - 3 t

1µt2µ + 2 3

1 )( tµ

El momento respecto a la media siempre es posible expresarlo en términos del momento respecto del origen. → Si r = igual a 4 → µ4 = E[(x - µ)4] = ? El estudiante debe realizarlo como ejercicio

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD CONJUNTA

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD CONJUNTA

69

MODELO HIPERGEOMÉTRICO

Características del experimento hipergeométrico a) Se extrae sin reemplazo un subconjunto

(muestra aleatoria) de tamaño n elementos a partir de un conjunto mayor (población) de elementos.

b) K de los N elementos (resultados) del conjunto mayor (población) son considerados éxitos y el resto, N – K, fracasos.

X: Variable aleatoria que cuenta el número de éxitos en la muestra aleatoria seleccionada: X = 0, …… , n; n < k 0, …… , k; n > k P(A) = n(A) = n(s)

n(s) = NCn = [ ]Nn

n1 = [ ]Kx

n1 = [ ]KNxn−−

n(A) = [ ]Kx [ ]KNxn−−

[ ][ ][ ]Nn

KNxn

Kx

−− = h(X; N, n, K), x = 0, …… , n; n

< K = 0 ; Otros x

Modelo binomial negativo Toma su nombre del hecho que cada término en la expresión de pK(1 – q) – k , corresponde a los valores x = k, k +1, k + 2 … OBJETIVO: Es encontrar ensayos hasta que ocurra el K-ésimo éxito. Tiene las mismas características de la distribución binomial, es decir: a) El experimento consiste de n ensayos

repetidos, es decir, en sucesión y en igualdad de condiciones.

b) Los n ensayos son independientes. c) Cada ensayo termina en un resultado

clasificable únicamente como éxito o fracaso.

d) La probabilidad “P” de éxito en un ensayo se mantiene constante durante todo el experimento.

MODELOS DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUO

Modelo uniforme

f(x;α,β) = αβ −

1 para α < x < β

otros x f(x;α,β) = 0 para En todo el recorrido es constante, por lo que se denomina uniforme y tiene la misma función de probabilidad

∫∫∫ −−

=−

=−

=−

===β

α

βα

β

α

β

α αβαβ

αβαβαβµ

)(29(211)(

222lXXdxdxxfxdxxEx

2αβµ +

=X

σ2x = E(X2) – (E(X2)) = 4

)(3

222 αβαβαβ +−

++

E(X2) = αβ −

1 β

α

β

α αβαβlxdxX 32

)(311−

=− ∫

++=

−++−

=−−

=3

)()(3

))(()(3

222233 αβαβαβ

αβαβαβαβαβ

σ2x = 12

)(12

)2(12

2(3444 222)2222 αβαβαβαβαβαβαβ −=

+−=

++−++

MODELOS DE PROBABILIDAD DE TIPO DISCRETO


70

Modelo de probabilidad gama

Γ (α) = dxex x−−∫α

α

0

1 : a > 0

Al integrar una función matemática Gama

Γ (α) = dxex x−−∫α

α

0

1 : Integrando por

partes

= (α - 1) dxex x−−∫α

α

0

2 Donde u = xα-1

y dv = e-

xdx (α - 1)[(α - 1)] = (α -

2) )2()2(0

3 −Γ−=−−∫ ααα

α dxex x

EntoncesΓ (α) = (α - 1) (α - 2) (α - 3) … (α - k)Γ (α - k), cuando (α - k) > 0 Al restringirlo a σ = (Z+), tenemos que Γ (n) = (n – 1)(n – 2 )(n – 3) … (4)(3)(2)(1)Γ (1) donde:

Γ (1) = xdxe x −∫∞

−

0

= 1; ya que X1-1 = x0 = 1 Función generatriz de momentos: (F. G. M.)

Mx(t) = (1 - βt)-α; t < β1

Media y varianza

µx = ∫∞ −

−

Γ0

1

)(1 dxeXx

xβσ

σβα

(utilizando la f.d.m) Utilizando la F. G. M

µx = 01

0 )1()1( =−−

=− −−−=− ttt

dxd ββαβ ασ

= αβ(1- βt)-α-1t=0 = αβ µx = αβ

222 )]([( XEXEx −=σ

= 2222212 )1()( αββαααβµµ =−−=−

donde:

01

02

2

2 )1()1( =−−

−− −=−= tt t

dtdt

tdd αα βαββµ

= 02 )()1)(1( =

−− −−−− tt ββααβ α

= )1(2 +ααβ

Modelo de probabilidad Beta

∫ −− −=1

0

11 )1(),( dxxx βαβαβ ; 0

< x < 1 La variable aleatoria continua X sigue el modelo de probabilidad BETA, si su función de densidad de probabilidad se expresa así:

0,;10;)()()(),,( 1 ><<

ΓΓ+Γ

= − βαβαβαβα α xxxf

= 0 α, β > 0; Otros x

∫ ∫ −− −ΓΓ+Γ

=1

0

1

0

1)1( )1()()()(),;( dxxxdxxf βα

βαβαβα

=

)()()(),(1),(

)()()(

βαβαβαβα

βαβα

+ΓΓΓ

=⇒=ΓΓ+Γ BB

∫ −− −ΓΓ+Γ

==1

0

11 )1()()()()( xdxxxxEx

βα

βαβαµ

)1()()1(

)()()(

++ΓΓ+Γ

∗ΓΓ+Γ

βαβα

βαβα

βαα

βαβαβα

βαβα

+=

+Γ+ΓΓ

∗ΓΓ+Γ

)()()()(

)()()(

βααµ+

=x

Se deja como investigación para el alumno, hallar:

)1()( 22

+++=

βαβααβσ x


71

1. El estudio de las relaciones entre los datos

por medio de modelos probabilísticos se llama Estadística Matemática.

2. Las variaciones de los fenómenos se deben a un gran número de causas que no podemos controlar, y a las cuales el estadístico llama, simplemente, el azar.

3. En los métodos estadísticos se formulan hipótesis con base en los datos experimentales.

4. Cuando consideraciones de simetría suministran un significado razonable para la frase igualmente probables, podemos decir que, si un conjunto de n ocurrencias equiprobables, incluye m formas equiprobables en las cuales un evento o una especial situación puede presentarse,

la probabilidad de este evento es nm

.

5. La probabilidad también puede ser obtenida a partir de una relación entre los eventos favorables.

6. La primera definición del concepto de probabilidad, es conocida como la ley de Laplace: Resultado de la división entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.

7. Según el concepto frecuencial de la probabilidad, la probabilidad deuna situación es la frecuencia relativa en n observaciones de esa situación, es decir, es el número de ocurrencias de la situación dividido por el número de observaciones, cuando este tiende a infinito. A medida que el número de repeticiones aumenta, hay una estabilización de la frecuencia relativa, lo cual se conoce como, regularidad estadística.

8. NO puede demostrar matemáticamente que las leyes de la naturaleza son las leyes de la probabilidad matemática.

9. Primera ley de los grandes números (Teorema de Bernoulli): Es muy poco probable que, si efectuamos un número suficientemente grande de ensayos de un experimento, la frecuencia relativa de un acontecimiento se aleje mucho de su probabilidad.

10. Segunda ley de los grandes números: A medida que el número de repeticiones de un experimento aleatorio crece, mayor tiende a ser el valor absoluto de la diferencia entre la frecuencia absoluta experimental del evento y la frecuencia absoluta teórica (esperada).

11. Probabilidad a priori es la probabilidad que se establece atendiendo a consideraciones de simetría o de regularidad de eventos simples.

12. Probabilidad a posteriori es la probabilidad obtenida por la observación experimental de las frecuencias relativas de ocurrencias de un resultado.

13. El concepto subjetivo de probabilidad describe el juicio de una persona, sobre cuán probablemente puede presentarse una situación.

14. Experimento aleatorio es cualquier proceso de observación que puede repetirse a voluntad en condiciones análogas, en el cual un resultado no puede ser previsto antes de cada una de sus realizaciones.

15. El objetivo del cálculo de las probabilidades es el de comprender, modelar y cuantificar los tipos de variaciones que pueden encontrarse en la observación o en la realización de los experimentos. Cuando se incorpora este concepto de variabilidad en el pensamiento y en los análisis, se decide mejor a partir de los valores obtenidos

16. Espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

17. Evento muestral (o simple) es un resultado de apenas un elemento el espacio muestral de un experimento aleatorio. Evento compuesto es aquel que incluye varios resultados de un experimento aleatorio.

18. Eventos mutuamente excluyentes son aquellos en los que la ocurrencia de un evento impide la ocurrencia de otro evento.

19. El complemento de un evento A consiste en los resultados del espacio muestral que no hacen parte del evento A.

20. Eventos colectivamente exhaustivos son aquellos que, en un experimento aleatorio, son mutuamente excluyentes y constituyen todos los resultados posibles par el experimento en curso.

21. Eventos independientes son aquellos en los que la ocurrencia de uno de los eventos no da información con respecto a la ocurrencia (o no) del otro, es decir, la ocurrencia de un evento no tiene influencia sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento.

22. En un experimento aleatorio con un espacio muestral asociado, representado

RESUMEN

RESUMEN

72

por Pr(A), es una función de probabilidad si satisface las siguientes propiedades: a) Para cualquier evento A, 0 ≤ Pr(A) ≤ 1. b) La propiedad del evento cierto es la

unidad, Pr(espacio muestral) = 1. c) Si los eventos A y B son mutuamente

excluyentes, la probabilidad de ocurrencia del evento A o del evento B es la suma de las probabilidades de las ocurrencias de A y de B..

23. La probabilidad del evento E, definido en un espacio muestral S, es una función, que hace corresponder a cada evento E un número real, indicado por Pr(E), que satisface los tres axiomas fundamentales.

24. La probabilidad condicional de un evento A, dado que ha ocurrido el evento B, se denota por Pr(AB) (que se lee, la probabilidad de A dado que B ha sucedido o simplemente, p de A dado B) y se calcula por:

)Pr()Pr()Pr(

BAyBBA =

25. La probabilidad de ocurrencia de dos eventos, A y B, es decir, que A ocurra o B ocurra o ambos ocurran, es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los eventos, menos la ocurrencia de ambos simultáneamente. Esta es la llamada la propiedad aditiva de la probabilidad.

26. Si un experimento es tal que pueda ser tratado por etapas, una a continuación de la otra, la lista de los resultados puede ser considerablemente reducida si se describe por medio de un gráfico, llamado árbol de probabilidades.

27. Teorema de Bayes: supóngase los eventos B1, B2, B3, ... , Bk, mutuamente excluyentes y exhaustivos de un espacio muestral S y sea E un evento asociado a S. Aplicando la expresión para la probabilidad condicional, se tiene que:

)Pr()Pr(

)Pr()Pr()Pr(

1j

k

ij

jjjj

BEB

BEBBB

∑=

×

×=

28. La escuela objetivista o frecuencionalista considera que la probabilidad solamente puede obtenerse por medio de las frecuencias relativas y, por consiguiente, solamente es aplicable a situaciones en las que la experiencia puede repetirse varias veces, bajo las mismas condiciones.

29. La escuela subjetivista o personalista considera la probabilidad como una medida de la creencia de una persona racional en una posición dada. Diferentes individuos racionales puede tener grandes

diferencias de creencias, aun encarados con la misma evidencia y, por consiguiente, las probabilidades personales para el mismo acontecimiento pueden ser diferentes, porque las informaciones que tienen puede ser diferentes.

30. La variable aleatoria es una función definida sobre un espacio muestral cuyo dominio es el conjunto de los resultados de un experimento aleatorio y cuya imagen es el conjunto de los números reales.

31. Una distribución de probabilidades es el conjunto de todas las posibilidades de un experimento aleatorio y sus probabilidades de ocurrencia.

32. La función de densidad de probabilidad es una función matemática f(x), con una ecuación que la identifica y un gráfico que la representa, y que, integrada entre dos límites, suministra el área debajo de la curva comprendida entre esos límites, área ésta, que tiene el mismo valor de la probabilidad que la variable aleatoria asuma valores entre esos límites

33. Se dice que una variable aleatoria es discreta si todos sus valores pueden ser listados, es decir, pertenencen a un conjunto finito o infinito numerable.

34. Se dice que una variable aleatoria es continua si sus valores no pueden ser listados, sino que pueden tomar un número infinito de valores en un intervalo finito o infinito.

35. Como la función acumulativa es la integral de la función de densidad de probabilidad hasta el valor x, al derivar la función de distribución acumulativa se encuentra la función de densidad de probabilidad.

36. El valor esperado o media µ de una distribución, está dado por: a) a) ∑ ⋅==

itodoPii xPxxE )()(µ si X es discreta

b) b) ∫∞

∞−

⋅== dxxfxxE )()(µ si X es continua

37. La varianza mide la variabilidad de las variables aleatorias y es igual a:

E(X2) - µ = E(X2) - [ E(X )] 2 38. Distribución binomial: Se considera que

una serie de ensayos independientes son realizadas, donde cada tentativa puede resultar en uno solo de los resultados posibles. La probabilidad p de éxito en cualquier intento es considerada constante. Suponiendo que sea X el número de éxitos en las n idénticas repeticiones está dada por la expresión:

RESUMEN

73

Pr(X = x) = 10C P1(1 – p)n-1 para x = 1, 2,

3, ... , n 39. Para una variable aleatoria binomial, el

valor esperado (la media), está dado por µ = E(X) = np, y la vairanza por σ2 = VAR(X) = np(1 – p)

40. Dsitribución d Poisson: sea X una variable aleatoria que toma los valores de 1, 2, 3, ... , n La probabilidad de que X tome el valor k es

P(X = k) = !k

e kλλ para k = 1, 2, 3, ... , n

41. La media y la varianza de una distribución de Poisson son iguales y valen µ = σ2 = λ

42. La distribución exponencial modela el intervalo de tiempo T entre llegadas o conteos sucesivos de un proceso de Poisson en medida λ = 0 y tiene una función de densidad de probabilidad dada por

f(t) = te λ− , para t ≥ 0

43. La media y la varianza de una variable aleatoria exponencial son iguales a:

λµ 1

= y 22 1

λσ =

44. La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria de DeMoivre-Laplace-Gauss está dada por:

∞<<∞−

−−= xxxf 2

2

2)(exp

21)(

σµ

πσ

donde sus parámetros son: µ media de la población σ la desviación típica de la población 45 La distribución DeMoivre-Laplace-Gauss constituye una familia infinita de distribuciones, una para cada µ y para cada σ. Es simétrica alrededor de la media, y la media, la mediana y la moda son iguales y corresponden al máximo de la función de la probabilidad.

RESUMEN

74

1. La Folha de S. Paulo presentó el 21/12/98

los escenarios para un determinado acontecimiento que sería realizado: más probable, probable, poco probable, improbable, muy improbable. Estime las probabilidades asociadas con cada uno de esos términos.

2. El Jornal do Brasil del 23/1/99 publicó la carta de un lector que pedía una revisión del procedimiento de los sorteos de la Megassena porque “estoy sorprendido nuevamente con los sorteos 147 de Megassena y 495 de la Quina, ambos del día 24 de diciembre, que premiaron los números 06, 23 y 38, comunes a los dos concursos”. Comente al respecto.

3. ¿La siguiente noticia contradice la teoría estadística? “Avión hiere bañistas en la playa de Lebion.”

4. La Folha de S. Paulo del 20/01/98, publicó la siguiente noticia: “La... está con una nueva promoción en sus 63 almacenes. Por cada US$ 40.00 en compras, el cliente gana una “raspadura” premiada. La empresa invirtió US$ 50 000”. Comente esta noticia.

5. Describa un posible espacio muestral para cada uno de los siguientes experimentos: a) Se sabe que un gran lote de chips RAM

contiene un pequeño número de chips ROM. Tres chips son sacados al azar y se examinan para saber si un chip es RAM o ROM.

b) Una caja con 10 chips contiene un chip defectuoso y nueve buenos. Se sacan al azar 3 chips de la caja y se examinan.

c) Una instrucción Si... entonces... si no… se ejecuta 4 veces.

6. Considere un equipo de computadoras con cinco drives idénticos. Un posible experimento aleatorio consiste en comprobar el sistema para ver cuántos drives están disponibles actualmente. Cada drive está en uno de dos estados: ocupado (llámelo 0) o disponible (llámelo 1). Un resultado del experimento (un elemento del espacio muestral) puede ser representado por una terna compuesta de ceros y de unos. Un cero en la posición i de la terna indica que drive i está ocupado y un 1 indica que está disponible. a) Diga cuántos elementos tiene el

espacio muestral. b) Haga una lista del espacio muestral,

identificando cada evento elemental por EEi. Ejemplo: EE0 = {0, 0, 0, 0, 0}.

c) Haga una lista del evento E1 definido como “hay mínimo 4 drives disponibles”.

d) Haga una lista del evento contrario al evento E1.

e) Describa, en palabras, el evento E1. f) Haga una lista del evento E2 definido

por “hay máximo 4 drives disponibles” g) Haga una lista del evento E3 definido

por “como mínimo hay 4 drives disponibles” y “como máximo 4 drives están disponibles”.

h) Haga una lista del evento E4 definido por “el drive 1 está disponible”.

i) Haga una lista del evento E5 definido por “como mínimo hay 4 drives disponibles” o “el drive 1 está disponible”.

j) Si E6 es el evento “el drive 1 está ocupado”, indique su relación con el evento E4.

7. Demuestre los siguientes teoremas: a) La probabilidad del evento imposible

es cero. b) La probabilidad del evento contrario es

igual a 1 menos la probabilidad del evento considerado.

c) La probabilidad de que suceda por lo menos uno de dos eventos A o B cualesquiera, definidos en el mismo espacio muestral S, es igual a las sumas de las probabilidades de los dos eventos menos la probabilidad de que A y B ocurran simultáneamente. Generalice el teorema de la suma para cualquier número de eventos.

d) Si A y B son mutuamente excluyentes, Pr(A y B) = 0.

e) La probabilidad de que ocurran simultáneamente dos eventos A y B del mismo espacio muestral S, es igual al producto de la probabilidad de uno de ellos por la probabilidad condicional del otro, dado que el primero ocurrió.

8. En un sistema k-de-n, compruebe que: a) R1/n = Rparalelo b) Rn/n = Rserie

9. Suponga un canal binario de comunicaciones que transmite palabras de n bits cada una. La probabilidad de una transmisión correcta es p y el código es capaz de corregir hasta )0( ≥ll errores.

Por ejemplo, si ningún código o verificación de pariedad es usado, entonces 0=l . Si se emplea el código de Hamming para la correción de error único, entoncs 1=l .

PROBLEMAS PROPUESTOS


75

Considerando que la transmisión de bits sucesivo es independiente, escriba la fórmula de la probabilidad de la transmisión correcta de una palabra.

10. Se desea comprar dos esquemas diferentes para aumentar la confiabilidad de un sistema usando la redundancia. El sistema necesita de s componentes idénticos en serie para operar y existen más componentes, cada uno con la misma confiabilidad R; a) Decida cuál de los esquemas de las

figuras 3.22 y 3.23 suministra la mayor confiabilidad.

b) La confiabilidad de cada componente es R; encuentre las confiabilidades de las dos configuraciones para m=3 y s=2, comparando las dos expresiones para el esquema A y el esquema B.

1 2 3

1 2 3

m cadenas en paralelo

Figura 3.22 Esquema A

m c

ompo

nent

es

Figura 3.23 Esquema B

1

1

m c

ompo

nent

es

2

2

m c

ompo

nent

es

3

311. Dibuje una función de densidad de

probabilidad reducida DeMoivre-Laplace-Gauss y sombree el área deseada para obtener el área... a) a la derecha de z = 1.0 b) a la izquierda de z = 1.0 c) a la derecha de z = 0.34 d) entre z = 0 y z = 1.5 e) entre z = 0 y z = - 2.88 f) entre z = - 0.49 y z = - 0.20 g) entre z = - 0.49 y z = 0.49 h) entre z = 2.5 y z = 2.8 i) a la izquierda de z = - 0.2 j) a la derecha de z = - 0.2 k) entre z = - 0.2 y z = 0 l) entre z = -0.2 y z = 0.4

12. En una población con media 25 y desviación típica de 2, encuentre los valores de z que corresponden a los siguientes valores de esa población: a) 23.0 b) 23.5 c) 24.0 d) 25.2 e) 25.5

13. Una población de DeMoivre-Laplace-Gauss tiene media 40 y desviación típica 3.

Encuentre los valores correspondientes a los siguientes valores de z. a) 0.10 b) 2.00 c) 0.75 d) – 2.53 e) – 3.00 f) – 3.20

14. Teniendo en cuenta que la media de una distribución de probabilidad es un parámetro de gran importancia, demuestre las siguientes propiedades: a) La media de una constante es igual a

la misma constante b) Si multiplicamos los valores de una

variable aleatoria por una constante, la media queda multiplicada por esa constante.

c) La media de la suma o la diferencia de variables aleatorias es igual a la suma o diferencia de las medias de esas variables.

d) Si sumamos o restamos una constante a los valores de una variable aleatoria, la media crece o disminuye en el valor de esa constante.


76

e) La media del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de las medias de esas variables.

15. Demuestre las siguientes propiedades de la varianza: a) La varianza de una constante es cero. b) Si multiplicamos todas los valores de

una variable aleatoria por una constante, su varianza queda multiplicada por el cuadrado de esa constante.

c) La varianza de la suma o diferencia de variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de esas variables.

d) Si sumamos o restamos una constante a los valores de una variable aleatoria, su varianza no se altera.

16. Demuestre que, para la distribución binomial, la media es igual a np y la varianza es igual a npq.

17. Demuestre que, para la distribución de Poisson, la media y la varianza son iguales.

18. Demuestre que, para la distribución exponencial, la media y la varianza son iguales.

19. Un grupo de vendedores de suscripciones de un proveedor es observado continuamente durante 80 minutos en el período de mayor afluencia de público. En ese tiempo, ellos efectuaron 30 entrevistas, empleando un tiempo total de 4 200 segundos. Encuentre la tasa media de llegadas de los presuntos clientes.

20. En el Jornal do Brasil del 24 de enero de 1999, apareció la siguiente noticia: “Según las probabilidades matemáticas, haciéndose una apuesta mínima en la Megassena, el chance de acertar los 6 números del universo de 60 (Sena) es de uno en cada 50 063 860 apuestas, es decir que, si en el sorteo hubiere apuestas con todas las combinaciones posibles, hay, según los fundamentos matemáticos, una ocasión favorable cada 50 063 860 apuestas.” a) Desarrolle los cálculos necesarios para

encontrar el valor 50 063 860. b) Haga un comentario sobre la expresión

probabilidades matemáticas. 21. Para resolver cualquier problema del

cálculo de probabilidades, los pasos son los siguientes: a) Paso 1: Identifique el espacio muestral

del experimento aleatorio. b) Paso 2: Asigne las probabilidades. c) Paso 3: Identifique los eventos de

interés.

d) Paso 4: Calcule las probabilidades deseadas.

Suponga un laboratorio con 6 microcomputadoras. Suponga que cada micro tiene la misma probabilidad de estar ocupado (o disponible). Estudie los siguientes eventos: • Como mínimo hay 2 micros ocupados

pero no más de 5. • Como mínimo hay 3 micros ocupados

pero no más de 5. • Todos los micros disponibles o un

número par de micros ocupados. e) Encuentre cuál de los eventos A, B, y

C es el más probable. f) Se decide comprar más micros

solamente si la probabilidad de que por lo menos uno de los eventos A, B, y C se presentara en un porcentaje mayor del 90%. ¿Cuál es su decisión?

22. Considere el siguiente segmento de un programa de computador: Si B Entonces Repita S1 hasta B1 Si no Repita S2 hasta B2 Se comprobó que, el 60 % de las veces, que B1 es verdadero y, en las restantes B2 es verdadero. Exactamente una intuición es común a las instrucciones S1 y S1: escriba (buenos días). Después de 200 ejecuciones de ese segmento del programa, fueron impresos, en 24 de las ocasiones, exactamente 3 mensajes de buenos días. Si la probabilidad de la condición B es verdadera en más de un 60%, se aceptará ese segmento del programa ¿Cuál es su decisión?

23. Un meteorólogo acierta en un 80% los días de lluvia y en un 90% los días soleados. Llueve el 10% de los días. Habiendo previsto que llueve ¿Cuál es la probabilidad de que llueva realmente?

24. Un método A de diagnóstico de cierta enfermedad da resultados positivos para un 80% de los portadores de la enfermedad y el 10% para los sanos. Un método B de diagnóstico de esa misma enfermedad da positivo para el 70% de los portadores y del 5% para los sanos. Si el 15% de la población es portadora de la enfermedad, calcule la probabilidad de que: a) Una persona resulte positiva con

ambos métodos. b) Entre dos personas enfermas, por lo

menos una salga positivo con alguno de los métodos.


77

25. La confiabilidad (probabilidad de funcionar) de un equipo es del 90%. Encuentre la confiabilidad de que un sistema funcione con dos componentes, si estos fueran instalados: a) en serie. b) en paralelo.

26. Encuentre los valores de z correspondientes a las siguientes probabilidades: a) 0.0505 a la izquierda de z. b) 0.0228 a la izquierda de z. c) 0.0228 a la derecha de z. d) 0.4772 entre z = 0 y z. e) 0.0240 entre z y – z. f) 0.9760 debajo de – z o encima de z.

27. Una compañía de aviación llegó a la conclusión de que el 5% de las personas que hacen reservación en cierto vuelo no llegan a ambarcarse. En consecuencia, adoptó la política de vender 70 sillas para un avión con 68 puestos ¿Cuál es la probabilidad de que todas las personas que lleguen para ese vuelo encuentren sitio en él?

28. Después de 28 días de mezclado, el Cemento Portland común tiene una resistencia media a la compresión de 4 000 psi (libras por pulgada cuadrada). Datos anteriores permiten afirmar que esa resistencia tiene una distribución de DeMoivre-Laplace-Gauss con desviación típica de 120 psi (libras por pulgada cuadrada). Encuentre las siguientes probabilidades para una resistencia a la compresión de 28 días: a) menor de 3 900 psi. b) menor de 3 850 psi. c) mayor de 3 850 psi. d) mayor de 3 880 psi.

29. La renta promedio de una gran comunidad puede ser razonablemente aproximada por una distribución DeMoivre-Laplace-Gauss con media de US$ 5 000 y desviación típica de US$ 3 000: a) ¿Qué porcentaje de la población se

estima que tenga una renta superior a US$ 8 600?

b) En una muestra de 50 perosnas, ¿cuántas de ellas se puede esperar que tengan menos de US$ 2 000 de renta?

30. Un comerciante en hierro asegura que su producto presenta una resistencia a la tensión que puede aproximarse por una distribución de DeMoivre-Laplace-Gauss con media de 50 000 psi y varianza de 8 100 psi. Suponiendo verdadera la hipótesis, ¿qué porcentaje de medidas dará resultado?

a) superior a 50 000 psi b) inferior a 49 950 psi

31. Un valuador de muebles calcula que su capacidad para estimar los costos de los proyectos tiene una distribución DeMoivre-Laplace-Gauss alrededor del costo verdadero con desviación típica de US$ 10 000 En tal caso, ¿cuál es el porcentaje de las veces de su estimación dentro de: a) ¿US$ 15 000 del verdadero costo? b) ¿US$ 20 000 del verdadero costo? c) ¿US$ 27 000 del verdadero costo

32. Un proceso industrial produce tuberías que tienen un diámetro promedio de 4 cm. y desviación típica de 0.2 cm. Los tubos que varíen en más de 0.3 cm. a partir de la media se consideran defectuosos. Con los datos anteriores que permiten afirmar que los valores obedecen a una distribución DeMoivre-Laplace-Gauss, encuentre: a) el porcentaje de tubos defectuosos. b) la probabilidad de encontrar dos tubos

defectuosos seguidos. c) la probabilidad de encontrar dos tubos

perfectos en sucesión. 33. Determinado proceso produce un 5% de

ítems defectuosos. Si se tomara al azar una muestra de 5 ítems, calcule la probabilidad de encontrar 2 productos defectuosos.

34. Un laboratorio de microcomputadoras tiene una biblioteca de 100 sub-rutinas y cada semana, en promedio, son encontrados (y corregidos) bugs en dos de las sub-rutinas. Encuentre la probabilidad de que sean encontrados dos errores en más de 3 sub-rutinas la próxima semana.

35. El número de llamadas que llegan a un servidor tiene una tasa media de 10 mensajes por segundo. Encuentre la probabilidad de que: a) Ninguna llamada llegue en un período

de 1 segundo. b) 15 ó menos llamadas lleguen en un

período de 1 segundo. 36. Se estima que el número promedio de

defectos superficiales en 20 metros cuadrados de papel producido con determinado procesos es de 3. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar más de 2 defectos en 40 metros cuadrados de papel seleccionados aleatoriamente?

37. Se comprobó que el número de buffers en uso en determinado sistema puede obedecer a una distribución DeMoivre-Laplace-Gauss con media 100 y desviación típica de 10. Encuentre la probabilidad de que el número de buffers: a) No exceda de 120. b) Esté entre 980 y 120.


78

c) Exceda los 130. 38. La vida de determinado sistema en

período de degradación, obedece a la distribución de DeMoivre-Laplace-Gauss con una media de 10 000 horas y desviación típica de 1 000 horas. Encuentre la confiabilidad para un tiempo de operación de 500 horas, sabiendo que la edad del componente es: a) 9 000 horas. b) 11 000 horas.

39. La detección de un ruido transmitido por una señal obedece a una distribución de DeMoivre-Laplace-Gauss con media 0V y desviación típica de 0.45V. Si el sistema interpreta que un dígito 1 es transmitido cuando la tensión excede el valor de 0.9V: a) Encuentre la probabilidad de que se

detecte una señal interpretada como un 1, cuando ninguna fue transmitida. Esta probabilidad es conocida como falsa alarma.

b) Encuentre los límites simétricos alrededor de 0 que incluya el 99% de todas las lecturas del ruido.

c) Si un dígito 1 es interpretado como un dislocamiento de 1.8V en la medida de la distribución del ruido, encuentre la probabilidad de que ese ruido no sea detectado. Esa probabilidad es conocida como detección perdida.

40. El diámetro de un “punto” producido por una impresora obedece a una distribución de DeMoivre-Laplace-Gauss con un diámetro promedio de 0.002 pulgadas y desviación típica de 0.0004 pulgadas: a) Encuentre la probabilidad de que el

diámetro de un “punto” sea mayor que 0.0026 pulgadas.

b) Encuentre la probabilidad de que un diámetro esté entre 0.00014 y 0.0026 pulgadas.

c) ¿Cuál es la máxima variabilidad que se seguirá (valor de la desviación típica) para que la probabilidad de que un diámetro esté entre 0.0014 y 0.0026 pulgadas, sea del 99.5 %?

41. Una lámpara incandescente es comercializada sin propaganda en cuanto a su duración y cuesta US$ 3.00 Sin embargo, con respecto a una nueva lámpara fluorecente, afirman que dura 40 veces más, pero su costo es de US$ 60.00 ¿Vale la pena comprar esa lámpara?


79

Ejercicio- ejemplo 3.1 Se tienen 100 tarjetas numeradas del 1 al 100. Se retiran 3 al azar. Determine la porbabilidad de que : a) Las tres tarjetas tengan números

consecutivos b) Aparezcan dos números consecutivos

(pero no tres) c) De que no aparezcan números

consecutivos Identifique cuándo este problema – que, con enunciado semejante, es encontrado en los libros de Estadística actuales - fue formulado por primera vez: a) 1950 b) 1900 c) 1850 d) 1800 e) ninguna de las respuestas anteriores Respuesta: Este problema fue propuesto por Leonard Euler, matemático francés (1707 – 1783), hace más de 200 años. Ejercicio-ejemplo 3.2 a) Determine la confiabilidad del sistema de

la figura 3.3, sabiendo que la confiabilidad de cada aparato es del 90%;

b) Determine la confiabilidad del sistema de la figura 3.4, si se sabe que la confiabilidad de cada equipo es de 90%.

Respuesta: a. Para que el sistema funcione, los dos

equipos deben funcionar simultáneamente. Aplicando la propiedad multiplicativa para los eventos, tenemos que:

Pr(ambos funcionen) = 0.9 x 0.9 = 0.81 %

b. Para que el sistema funcione, por lo

menos uno de los dos equipos debe funcionar, es decir, o el primero, o el segundo, o los dos. Aplicando la propiedad aditiva, tenemos que:

Pr( el 1º, o el 2º, o ambos funcionen) = Pr(1º funcione) + Pr(2º funcione) – Pr(ambos funcionen) = Pr(1º funciona) x Pr(2º funciona); entonces = 0.9 + 0.9 –0.9*0.9 = 99 % = 0.99

Ejercicio-ejemplo 3.3 En una línea de producción de placas para circuitos electrónicos se sabe, a partir de registros históricos, que el 5% de las placas no satisface las especificaciones de longitud y que el 3% no satisface las especificaciones de la anchura. Teniendo en cuenta que los cortes para la longitud y el ancho son hechos por máquinas diferentes, es decir, que son independientes, determine: a) La probabilidad de escoger una placa

totalmente conforme a las especificaciones.

b) La proporción de placas que no satisfacen por lo menos a una de las especificaciones.

c) La proporción de placas que no cumplen ninguna de las especificaciones.

d) La probabilidad de un material no conforme, sabiéndose que, si no es conforme en cuanto a la longitud hecha por las máquinas responsables por el corte de las medidas, la probabilidad de ser no conforme en cuanto al largo es del 60%.

e) Si, en el ítem (a), los eventos pueden considerarse como mutuamente excluyentes.

f) Describa dos eventos de este ejemplo que sean mutuamente excluyentes.

Respuesta: a. Sea el evento A = (placas que satisfacen

las especificaciones en cuanto a longitud). Sea el evento B = (placas que satisfacen las especificaciones en cuanto a ancho). Por la propiedad multipicativa, siendo A y B independientes, Pr = satisfacer largo y ancho) = (0.95)(0.97) = 92.15 % = 0.9215

b. Pr(A) = 1 – Pr(placas no satisfacen

especificaciones de longitud) = 1 – 0.05 = 95 % = 0.95

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS-EJEMPLOS


80

Pr(B) placas no satisfacen las especificaciones en cuanto a ancho) = 1 – 0.03 = 97 % = 0.97 La probabilidad deseada es la de no tener tener placas que no obedezcan a la longitud, o al ancho o a ambos. Por la propiedad aditiva es igual: [0.05 + 0.03 – (0.05)(0.03)] = 7.85 % = 0.0785. Por lo tanto, 7.85 de las placas tendrán por lo emos una característica calidad que no satisface las especificaciones.

c. La probabilidad deseada es la de no tener

placas que no obedezcan las exigencias de largo y ancho a la vez, es decir, (0.5) (0.03) = 0.15 % = 0.0014. En consecuencia, menos del 1 % de las placas no obedecerá las exigencias de largo y ancho.

d. La probabilidad que interesa es la

proporción de piezas no conformes con la longitud y el ancho, sabiéndose que si no cumplen las especificaciones de longitud, la probabilidad de no obedecerlas es del 60 %. Por la propiedad multiplicativa, es igual a (0.05)(0.60) = 3 % = 0.03.

En consecuencia, si los eventos no son independientes, el 3 % de las placas no satisfarían las especificaciones de longitud y ancho. Se puede ver que este valor es completamente diferente al obtenido en la parte c, donde los eventos fueron considerados independientes.

e. Se sabe que Pr(A) = 0.95, Pr(B) = 0.97

entonces la probabilidad de que los dos se presenten a la vez es (0.95) (0.97) = 92.15 % = 0.9215.

Si A y B fueran mutuamente excluyentes, la probabilidad de que la placa sea conforme a las especificaciones debería ser cero. Con todo, este no es el caso, pues la probabilidad calculada es 92.15 % en consecuencia, A y B no son mutuamente excluyentes.

f. Como una placa no puede ser conforme a las especificaciones o no serlos simultáneamente, entonces los eventos son mutuamente excluyentes.

Ejercicio- ejemplo 3.4 Usualmente, somos abordados por vendedores de suscripciones de revistas que nos ofrecen un ejemplar gratis como motivación para que nos suscribamos. La editorial tiene una idea del número de personas que se suscriben a la revista después de recibir el número gratis y consigue crear una función de distribución probabilística de X, que es el porcentaje de nuevas suscripciones. De cada 100 suscripciones, el 60% proviene de los aeropuertos, el 30% de los congresos y el 10% de las estaciones del metro. Como en cada uno de estos sitios el número de personas varía, se anotó la efectividad del sistema, es decir, la relación entre el número de nuevas suscripciones y el número de personas abordadas que aceptaron el ejemplar; en este ejercicio-ejemplo, fueron el 40%, 70% y 20% respectivamente. El costo de donar una revista a una persona es de R$ 1.57, mientras que la utilidad de cada suscripción es de R$ 3.42. Determine el valor esperado de la utilidad líquida por suscripción en la aplicación de este sistema de ventas. Respuesta: La ganancia esperada en los aeropuertos es de (0.4) (US$3.42 – US$ 1.47) + (0.6) (-US$1.47) = US$ 0.142. La ganancia en los congresos es de (0.7) (US$3.42 – US$ 1.57) (0.3) (-US$1.47) = US$ 0.854. La ganancia esperada en el metro es de (0.2) (US$3.42 – US$ 1.57) + (0.8) (-US$1.47) = US$ 0.806. Ahora se puede calcular la utilidad total (0.6) (– US$ 0.142) + (0.3) (-US$ 0.854) + (0.10) (- US$ 0.806) = US$ 0.0904. De modo que de cada US$ 1.00 invertido, la utilidad es de US$ 0.0904. Ejercicio- ejemplo 3.5 Encuentre el valor esperado de un juego de raspadura que cuesta US$ 1.00 con una emisión de cinco series de 1 000 000 de billetes cada una, si se prevé la distribución de 975 630 billetes premiados, como se detalla a continuación. a) 5 automóviles con valor de US$ 15 000.00

cada uno. b) 125 bicicletas de 18 cambios con valor de

US$ 150.00 cada una. c) 1 500 premios de US$ 100.00. d) 9 000 premios de US$ 20.00. e) 65 000 premios de US$ 10.00. f) 100 000 premios de US$ 10.00.


81

g) 350 000 premios de US$ 2.00. h) 450 000 billetes gratis para otra

raspadura. Respuesta: El número de casos posibles es de 5 000 000. Al comprar la raspadura, el apostador ya pierde US$ 1.00 y no tiene 975 630 oportunidades de ganancia, como aparentemente se cree, porque en 450 000 ocasiones recibe, no el dinero sino otra “raspadura”. De esa manera, el valor esperado de la ganancia de una persona es la siguiente: [(5) (US$ 15 000) + (1 500) (US$ 150) + (1 500) (US$ 100) + (9 000) (US$ 20) + (65 000) (US$ 10) + (100 000) (US$ 4) + (350 000) (US$ 2) + (450 000) (US$ 0) + (5000000 – 975 630) (-US$ 1)] / 5000000

= 0000005

3700244$0003802$ USUS −

= - US$ 0.328874, redondeando por defecto tenemos que: = - US$ 0.33 En resumen, tiene una pérdida de US$ 0.33 al jugar con la raspadura Ejercicio- ejemplo 3. 6 En un examen de opción múltiple con 50 preguntas, cada pregunta presenta 5 opciones. Encontrar la probabilidad de que un alumno, marcándolas al azar, acierte 30 preguntas Respuesta: Como las opciones son 5, la probabilidad de éxito es 0.2; es decir, cada una de las opciones representa el 20 % de éxito, siendo así

Pr(X = 30) = 3050303050 )2.01()2.0( −−C , de

donde Pr(X = 30) = (1.073742824 X 10-21)( 0.11529215) = 1.237940039 x 10-23. Ejercicio- ejemplo 3. 7 En un examen de opción múltiple con 50 preguntas, cada pregunta presenta 5 opciones. Encontrar la probabilidad de que un alumno, marcándolas al azar obtenga una calificación mayor o igual a 5 en la escala de 0 a 10, es decir, acierte 25 o más preguntas. Respuesta:

La respuesta está dada por:

15050

2550 )8.0()2.0( −

=∑ i

i

iC , se deja al profesor

alumno para que realice los cálculos Ejercicio- ejemplo 3.8 Un examen que tiene 50 preguntas. Calcule la probabilidad de que un alumno, marcando al azar las respuestas, obtenga una calificación mayor o igual a 6, en los siguientes casos: a) tiene 4 opciones b) tiene 5 opciones Respuesta: Para obtener una calificación mayor o igual a 6, el alumno debe acertar en 30 o más preguntas. De esta manera, la probabilidad buscada resulta al sumar desde x = 30. Pero el Excel da solamente la suma desde x = 0 hasta un determinado valor. Entonces, el cálculo de la probabilidad de que un alumno obtenga una calificación igual o mayor que 6 se hace de la siguiente manera: a. Se calcula la probabilidad de que el

alumno no acierte hasta 29 preguntas. Como la suma de todas las probabilidades es 1, se resta del 1 el resultado dado por el Excel. Se tiene, entonces, que DISTRBINOM(29; 50; 0,2; VERDADERO) = 0.999999999.

Con este resultado, la oportunidad de que un alumno obtenga una calificación mayor o igual que 6, marcando aleatoriamente las respuestas, será de 0.000000001.

b. En el caso de las 4 opciones, se tiene que:

DISTRBINOM(29; 50; 0.25; VERDADERO) = 0.999999936.


82

Con este resultado, la oportunidad de que un alumno obtenga una calificación mayor o igual que 6, marcando aleatoriamente las respuestas, es de 0.000000164, la cual aunque 164 veces mayor que la de 5 opciones, también es, prácticamente cero. Ejercicio- ejemplo 3.9 Una oficina de consultoría recibe, en promedio, cinco llamadas telefónicas por hora. Encuentre la probabilidad de que, en determinada hora, tomada al azar, sean recibidas exactamente tres llamadas. Respuesta: En este problema λ = 5 y k = 3, entonces:

!35)3(

35−

==eXP , de donde

P(X =3) = 1404.06

)125)(006737722.0(= de

donde La probabilidad de que a determinada hora se reciban exactamente tres llamadas es de 14.04 %. Ejercicio- ejemplo 3.10 Según datos históricos de cierta empresa, 3 es el promedio de llamadas recibidas en 20 minutos: a) Encuentre la distribución de probabilidad

de este ejemplo. b) Encuentre la probabilidad de tener, como

máximo, 2 llamadas en 40 minutos, en un intervalo escogido aleatoriamente.

Respuesta: a. La distribución de las respuestas es la

siguiente: x 0 1 2 3 4 5 6 7

Pr(x) 0.002 0.015 0.045 0.089 0.134 0.0161 0.160 0.138

x 8 10 11 12 13 14 15 más de 15 Pr(x) 0.069 0.041 0.023 0.011 0.005 0.003 0.000 0.000

b. En este ejemplo, una unidad de tiempo es de 40 minutos. En consecuencia, λ se encuentra al calcular el promedio de de llamadas en 40 minutos, es decir, λ = 6 La probabilidad buscada es:

Pr(X ≤ 2) = Pr(X = 0) + Pr(X = 1) + Pr(X = 2) P(X) =


83

236)002478653.0(

16)002478653.0(

01)002478653.0(

!26

!16

!06

!

261606

++=++=−−−− eee

ke kλλ

=

...6196.0044615754.0014871918.0002478653.02

)0899231508.0(1

)014871918.0(=++=+

= 6.2 % = 0.0619663325

= 0.61968804 = 6.2 % por defecto Ejercicio- ejemplo 3.11 Cuando observamos la duración de las baterías de los video-juegos, concluimos que esta vida no es más que el intervalo entre las fallas sucesivas de las baterías; para esas fallas se puede aplicar el proceso de Poisson. De esta manera, el tiempo promedio entre esas fallas viene a ser la vida media de la batería. Suponga que muchísimas baterías fueron usadas y que se observó (algo raro de acontecer en la vida diaria, pues solo las fábricas lo hacen), que cada 7 días había necesidad de cambiarlas (es decir, que la vida promedio de las baterías es una semana). Las fallas de las baterías son aleatorias e independientes y obedecen a una distribución de Poisson; entonces, para el tiempo de vida de una batería se puede emplear la función exponencial. a) Encuentre la probabilidad de que la batería

funcione por lo menos durante dos semanas.

b) Encuentre la probabilidad de que una batería puede fallar en un lapso de tres días.

c) Encuentre la probabilidad de que una batería pueda funcionar entre 3 y 4 semanas.

d) Encuentre la desviación típica del tiempo de vida de una batería.

e) Sabiendo que una batería ya duró una semana, encuentre la probabilidad de que dura, por lo menos, más de dos semanas.

Respuesta: a. Como la vida media de una batería es de 1

semana, la tasa de fallas es λ = 1 semana.

Si el tiempo de vida de una batería se representa por X, deseamos encontrar.

Pr(X > 2) = 1 – Pr(X ≤ 2) = 1 – [1- e-λx] = 1 – [1- e-1x2] = 13.5 %

b. 3 días de la semana representan los 73

de

semana; entonces, Pr(X ≤ 73

)


84

= [1 - 731x

e−

] = 1 – e-0.428 = 0.65

c. Pr(3 ≤ X ≤ 4) = F(4) – F(3) =

[ ] [ ] %14.30314.00183.00497.011 43)3(1)4(1 ==−=−=−−− −−−− eeee

d. σ = λ1

= 1 semana

e. Pr

%5.13135.0)1Pr(1)2Pr(1

)1Pr()3Pr(

13

==≤−≤−

=>>

=

⟩⟩

XX

XX

XX

Ejercicio- ejemplo 3.12 En Excel, calcule la probabilidad aproximada de que un equipo, cuya vida media de 2 años y 4 meses puede ser modelada por la distribución exponencial, puede durar: a) Hasta tres años. b) Más de tres años. c) Hasta 2 años y 4 meses. d) Más de dos años y 4 meses. e) Más de 3 años después de haber

funcionado durante un año. Respuesta:

Como λ = 333333.2

1, entonces, se tiene que:

a. La probabilidad de que dure hasta tres años es del 72 %.

b. La probabilidad de que dure más de tres años es del 28 %.

c. La probabilidad de que dure más de tres años es del 63 %.

d. La probabilidad de que dure más de dos años y 4 meses es del 33 %.

e. La probabilidad de que dure más de tres años después de haber funcionado durante un año es del 28%.

Ejercicio-ejemplo 3. 13 Encuentre las siguientes probabilidades: a) Pr(z < 1.23) b) Pr(z > 1.23) c) Pr(1 < z < 1.5) d) Pr(- 1 < z < 2) Respuesta a. Pr(z < 1.23) se obtiene directamente de la

tabla en el cruce de la línea 1.2 con la columna 0.03; el resultado es 0.8906651

= 89.0651 %, redondeado por exceso equivale al 89 %

b. Pr(z > 1.23) equivale al área obtenida al restar el valor de Pr(z < 1.23), entonces, 1 - 0.8906651 = 0.10934 = 10.934 %, redondeado por defecto, corresponde al 11 %

c. Pr(1 < z < 1.5); la probabilidad hasta z = 1.5, es igual a 0.9331927 y hasta z = 1, es iagual a 0.8413447 Entonces el área perdida, porsustracción es 0.9331927 - 0.8413447 = 0.091849 = 9.1849 %, redondeado por exceso es iagual al 9 %

d. Pr(- 1 < z < 2); la probabilidad hasta z = 2 es igual a 0.977250; hasta z = -1 es igual al área a la derecha de z = +1 la cual a su vez, es igual a 1 – el área de la izquierda de z = 1 Entonces, el resultado es 0.1586553 El área buscada, por sustracción es 0.977250 - 0.1586553 = 0.8185947 = 81.85947 %, redodndeado por defecto es igual al 82 %

Ejercicio-ejemplo 3.14 Encuentre el valor de z que corresponde al área (probabilidad) del 5% a la derecha de z. Respuesta: Esta área no es legible directamente; el valor de z encontrado es el correspondiente a la probabilidad de - ∝, es decir, 1 – 0.0505 = 0.9495. De manera que, el valor de z es + 1.65, aproximadamente. Ejercicio-ejemplo 3.15 Se comprobó que la longitud de un objeto puede obedecer a una distribución de DeMoivre-Laplace-Gauss con medio de 100 mm y desviación típica de 2 mm. a. Encuentre la proporción de objetos que

son mayores de 103.3 mm. b. Encuentre la proporción de los resultados

que se encuentran entre 98.5 y 102.0 mm.

c. Encuentre la proporción de objetos que están debajo de 96.5 mm.

d. Es importante que la longitud del objeto no sea muy grande cuando se compara un cierto valor buscado; si la gerencia decide que un máximo del 5 % de los objetos deben tener una longitud mayor que ese


85

valor, recomiende un límite para la especificación.

Respuesta: a. Sea X la longitud de la pieza; los valores

de los parámetros para la distribución de DeMoivre-Laplace-Gauss son: µ = 100 σ = 2 El valor de la distribución de DeMoivre-Laplace-Gauss correspondiente a 103.3 mm es:

Z1 = 65.12

1003.103=

−=

−σµX

En el Excel, se emplea la función EMPADRONIZAR En consecuencia, Pr(X >103.3) = Pr(Z > 1.65). En el Excel, en la función DISTR.NORMP, con z = 1.65, Pr(X ≤ 1.65) = 0.9505, la cual también es igual a Pr(Z ≤ 103.3, entonces: Pr(Z > 1.65 ) = 1 – Pr(Z ≤ 1.65) = 1 – 0.9505 = 0.0495, de donde La probabilidad buscada, Pr(X > 103.3) es del 4.95 %, redondeada por defecto equivale al 5 % En el Excel, el cálculo podría haber sido hecho directamente con la DISTR.NORM colocando VERDADERO en el acumulativo.

b. Se quiere encontrar Pr(98.5 ≤ X ≤ 102.0). Los valores de la distribución de DeMoivre-Laplace-Gauss reducida se calcula como:

Z1 = 00.12

1000.102=

−

Z1 = 75.02

1005.98−=

−

Con el Excel se encuentran Pr(Z ≤ 1.00) = 0.8413 y Pr(Z ≤ - 0.75) = 0.2266; La probabilidad buscada es igual a 0.8413 – 0.2266 = 0.6147 Por consiguiente, se espera que 61.47 % sea 62 % por redondeo en exceso de los resultados se encuentren entre 98.5 y 102.0 mm.

c. Se busca Pr(X > 96.5) equivale a la Pr(X ≤ 96.5), ya que el valor de la probabilidad de una variable aleatoria continua es un valor específico es cero. El valor de la X en la distribución de DeMoivre-Laplace-Gauss reducida es:

75.12

1005.961 −=

−=Z

Con el Excel se encuentra que la Pr(Z ≤ -1.75) = 0.0401 Por consiguiente,

aproximadamente el 4% de las piezas seleccionadas presentó una longitud menor dse 96.5 mm

d. Llamando al límite de la especificación como A, se desea que un A tal que Pr(Z ≤ A) = 1 – 0.05 = 0.95 El siguiente paso consiste en encontrar un área de 0.95 y obtener el valor de Z, es decir, Z = 1.645 El paso final consiste encontrar el límite de A:

1.645 = mmX

X 29.1032

100

2

1 =−

, de

donde: X1 = 103.29 mm En consecuencia, el límite de especificación A establecido para alcanzar la estipulación deseada, debe ser de 103.29 mm.


86

CONCEPTOS BÁSICOS

Es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, los cuales nos permiten resolver muchos problemas prácticos. Por ejemplo, podemos averiguar cuántos números diferentes de teléfonos, placas o loterías se pueden formar utilizando un conjunto dado de letras y dígitos. Además, el estudio y comprensión del análisis combinatorio no va a servir de andamiaje para poder resolver y comprender problemas sobre probabilidades, sin embargo, incide en esta rama de las matemáticas. Principios fundamentales del análisis combinatorio: En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operación. Para estos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el cálculo señalado. El análisis combinatorio también se define como una manera práctica y abreviada de contar; las operaciones o actividades que se presentan son designadas como eventos o sucesos. Ejemplo: 1. Señalar las maneras diferentes de vestir

de una persona, utilizando un número determinado de prendas de vestir.

2. Ordenar 5 artículos en 7 casilleros. 3. Contestar 7 preguntas de un examen de

10. 4. Designar 5 personas de un total 50 para

integrar una comisión. 5. Sentarse en una fila de 5 asientos 4

personas. 6. Escribir una palabra de 7 letras utilizando

4 consonantes y 3 vocales. I. Principio de multiplicación: Si un evento o suceso “A” puede ocurrir, en forma independiente, de “m” maneras diferentes y otro suceso de “n” maneras diferentes, entonces el número de maneras

distintas en que pueden suceder ambos sucesos es “m x n”. Ejemplo 1: En la etapa final de futbol profesional de primera, cuatro equipos: CRISTAL (C), BOYS (B), ESTUDIANTES (E), UNIVERSITARIO (U), disputan el primer y segundo lugar (campeón y subcampeón) ¿De cuántas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dichos lugares? Solución : • METODO 1: utilizando el diagrama del

árbol.

BC C

U

C B E

U

C

E U U

C U B

E

C BC CC U

B CB EB U

E CE UE U

U CU BU E

Existen 12 maneras diferentes en que estos equipos se pueden ubicar en el primer y segundo lugar.

• METODO 2: Utilizando el principio de

multiplicación.

1o 2o

4 x 3Se pueden ubicar de 12 formas

Justificación:

1º. El primer lugar puede ser ocupado por cualquiera de los cuatro equipos.

2º. El segundo lugar puede ser ocupado por cualquiera de los otros tres equipos que restan.

ANÁLISIS COMBINATORIO


87

3º. Por el principio de multiplicación, se observa que el evento del primer lugar se presenta de 4 maneras y el del segundo lugar de 3 maneras distintas, entonces el número de maneras totales será: 4 x 3 = 12.

Ejemplo 2: ¿Cuántas placas para automóviles pueden hacerse si cada placa consta de dos letras diferentes seguidas de tres dígitos diferentes? (considere 26 letras del alfabeto) Solución:

letras Dígitos

26 x 25 x 10 x 9 x 8 Se pueden elaborar 468 000 placas

Justificación: 1º. El primer casillero puede ser ocupado por

cualquiera de las 26 letras. 2º. El segundo casillero puede ser ocupado

por cualquiera de las 25 letras que restan. 3º. El tercer casillero puede ser ocupado por

cualquiera de los 10 dígitos ( del 0 al 9). 4º. El cuarto casillero puede ser ocupado los 9

dígitos restantes. 5º. El quinto casillero puede ser ocupado por

cualquiera de los 8 dígitos restantes. 6º. Por el principio de multiplicación, el

número de placas será = 26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468 000.

II. Principio de adición: Supongamos que un evento A se puede realizar de “m” maneras y otro evento B se puede realizar de “n” maneras diferentes; además, no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A ∩ B = ∅) entonces el evento A o el evento B se realizarán de “m + n” maneras. Ejemplo 1: Un repuesto de automóvil se vende en 6 tiendas en la Victoria o en 8 tiendas de Breña. ¿De cuántas formas se puede adquirir el repuesto?

Solución: Por el principio de adición:

Victoria ó Breña

6 formas + 8 formas = 14 formas Ejemplo 2: Se desea cruzar un río. Para ello se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1 deslizador. ¿De cuantas formas se puede cruzar el río utilizando los medios de transporte señalados? Solución: Aplicando el principio de adición, se tiene:

Bote Lancha Deslizador 3 ó 2 ó 1 Existen 3 + 2 + 1 = 6 maneras


88

En diferentes casos, se tomará de algún conjunto parte de sus elementos o todos ellos, para formar diferentes agrupaciones, que se van a distinguir por el orden de sus elementos o por la naturaleza de algunos de ellos. Si los elementos que forman una agrupación son diferentes entre sí, serán llamados agrupaciones sin repetición y si algunos de ellos son iguales se dirá que son agrupaciones con repetición. Entre los métodos de conteo más conocidos tenemos: permutación, variación y combinación.

PERMUTACIÓN Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos considerando el orden en su ubicación; cuando en el arreglo sólo entran parte de los elementos del conjunto se llama variación. Es importante resaltar que el orden es una característica importante en la permutación; cuando variamos el orden de los elementos se dice que permutamos dichos elementos. Ejemplo: Determinar los diferentes arreglos o permutaciones que se pueden hacer con las letras a, b y c tomadas de dos en dos. Solución: Método 1. Sea el conjunto: A{a, b, c}, entonces los arreglos pueden ser: ab, ba. ac, ca, bc, cb

Número de arreglos = 6 Método 2: (principio de multiplicación).

1o 2o

3 x 2 Los arreglos son 6

Justificación: 1. El primer casillero puede ser ocupado por

cualquiera de las tres letras, existiendo 3 posibilidades.

2. El segundo casillero puede ser ocupado por cualquiera de las otras dos letras restantes, existiendo 2 posibilidades.

Teorema 1: Permutación lineal con elementos diferentes “El número de permutaciones de “n” objetos diferentes, tomados en grupos de k elementos

(siendo k ≤ n) y denotado por nkP , estará

dado por:

)!(!knnPnk −

= ; donde: n, k ε N y 0 ≤ k ≤ n

Estas permutaciones son llamados lineales, porque los objetos son ordenados en una línea recta de referencia. Ejemplo: En una carrera de 400 metros participan 10 atletas ¿De cuantas formas distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares con medalla de oro, plata y bronce? Solución : Método 1: Empleando el principio de multiplicación.

Oro Plata Bronce

10 x 9 x 8 Pueden ser premiados de 720 formas

Justificación: 1. El primer casillero (medalla de oro) puede

ser ocupado por cualquiera de los diez atletas, existiendo 10 posibilidades.

2. El segundo casillero (medalla de plata) puede ser ocupado por cualquiera de los nueve atletas restantes, existiendo 9 posibilidades.

3. El tercer casillero (medalla de bronce) puede ser ocupado por cualquiera de los ocho atletas restantes, existiendo 8 posibilidades.

Método 2: usando la fórmula de permutación lineal. Se busca las diferentes ternas (k = 3) que se pueden formar con los 10 atletas (n = 10)

720!7

1098!7!7!1010

3 ===xxxP

MÉTODOS DE CONTEO

MÉTODOS DE CONTEO

89

RECORDAR: 1) n! = 1 x 2 x 3 x ................ x n 2) 0! = 1 3) 1! = 1 4) n! = (n – 1)! x n Teorema 2: Permutación lineal con elementos repetidos El número de permutaciones (P) distintas de “n” elementos tomados de “n” en “n” en donde hay un primer grupo de n1 objetos iguales entre si; n2 objetos iguales entre sí de un segundo tipo y así sucesivamente hasta nk objetos iguales entre si de un último tipo, entonces: Ejemplo: ¿De cuántas maneras distintas se podrán ordenar las siguientes figuras?

Donde: n1 + n2 + n3 + ...... + nk = n Solución: Como entran todos los elementos del conjunto y estos se repiten, se trata de una permutación con repetición, donde n1 = 3 (tres círculos), n2 = 2 (dos cuadrados), n3 = 1 (un triángulo), n4 = 1( un rombo), luego:

P71,1,2,3 =

4202

7654112!3

7654!3!1!1!2!3

!7===

xxxxxxxxxx

xxx

PERMUTACIÓN CIRCULAR Son agrupaciones donde no hay primero ni último elemento, por hallarse todos en una línea cerrada. Para encontrar el número de permutaciones circulares que se pueden formar con “n” objetos distintos de un conjunto, hay que considerar fija la posición de un elemento, los n – 1 restantes podrán cambiar de lugar de (n – 1)! Formas diferentes tomando todas las posiciones sobre la circunferencia relativa al primer punto. El número de permutaciones circulares será:

)!1( −= nPnc

Ejemplo 1: ¿De cuántas formas diferentes puede sentarse alrededor de una mesa circular, un padre y sus cinco hijos? Solución: Se trata de una permutación circular:

12012345!5)!16(6 ===−= xxxxPc .

Ejemplo 2: ¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar las cifras del 1 al 7 en la siguiente figura?

Solución: Este problema se puede resolver como la conjunción de dos eventos: Primero, ubico una cifra en el centro (7 posibilidades) y, segundo, las otras 6 cifras, las cuales por ordenarse en una circunferencia se podrán permutar de (6 –1 )! formas, por lo tanto: # de maneras = 7 x 5! = 7 x 120 = 840

MÉTODOS DE CONTEO

90

Es cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer con parte o todos los elementos de un conjunto dado, sin considerar el orden en su ubicación. El número de combinaciones de “n” elementos diferentes tomados de “k” en “k”, con k≤ n, está dada por:

)1.().........2)(1()1......().........3)(2)(1(

!)!(!

−−+−−−−

=−

=kkk

knnnnnkkn

nCnk

Ejemplo 1: Si disponemos de 5 puntos no colineales, ¿cuál es el máximo número de triángulos que se podrán formar? Solución: Para dibujar un triángulo sólo es necesario 3 puntos en el plano, luego se escogerán 3 puntos (k = 3) de un total de 8 puntos (n = 5) Además, no importa el orden, ya que el triangulo ABC es igual al CBA, por lo tanto se trata de una combinación.

10123345

!3!2!55

3===

xxxxC

Observación. En las permutaciones interesa el orden, se buscan ordenaciones. En las combinaciones no interesa el orden, se busca agrupaciones. Ejemplo 2: Una señora tiene 3 frutas: manzana (M), fresa (F) y piña (P). ¿Cuántos sabores diferentes de jugo podrá preparar con estas frutas?

Solución: Método 1: en forma gráfica. • Cuando se elige una fruta de las tres, los

sabores son 3: F, P, M. • Cuando se eligen 2 de las tres frutas, los

sabores son 3: FP, FM, PM. • Cuando se eligen las 3 frutas los sabores

son 1: FPM. • Total de sabores diferentes: 3+3+1=7. Método 2: Empleando combinaciones. • Se puede escoger una fruta de las tres ó 2

frutas de las tres ó las tres frutas de las tres; además, en este caso no importa el orden; por lo tanto usamos el principio de adición aplicado a la combinación:

Número de maneras diferentes=

CCC 3

3

3

2

3

1 ++

Número de maneras diferentes=

7133123123

1223

13

=++=++xxxx

xx

Total de sabores diferentes: 3 + 3 + 1 = 7 Ejemplo 3: Se desea formar un comité de 7 seleccionando 4 físicos y 3 matemáticos de un grupo de 8 físicos y 6 matemáticos ¿De cuantas maneras podrá seleccionarse? Solución:

• 1 o Seleccionamos 4 físicos entre 8 en C8

4

formas

C8

4 7012345678==

xxxxxx

• 2o Seleccionamos 3 matemáticos entre 6

en C 6

3 20

1234566

3==

xxxxC

• Aplico el principio de multiplicación

C8

4 xC 6

3 = 70 x 20 = 1 400

Observación. En la práctica, se presentan diferentes combinaciones que no resultan sencillas, éstas son las combinaciones con repetición. Para obtener las diferentes combinaciones con repetición de “n” elementos en el cual hay repetición de los elementos (CR) agrupados de k en k, se utiliza la siguiente fórmula:

!)1..().........2)(1(1

kknnnnCCR kn

k

n

k

−+++== −+

PROPIEDADES DE cn

k

1) nCn =1

, 1=Cn

n , 1

0=Cn

2) CC n

kn

n

k −=

3) CCC n

k

n

k

n

k

1

11

+

++=+

4) CC n

k

n

k kn 1

1

−

−=

5) CC n

k

n

k knn 1−

−=

6) CC n

k

n

k kkn

1

1−

+−=

COMBINACIÓN

COMBINACIÓN

91

1. ¿Cuántos numerales de dos cifras se

pueden formar con los dígitos 1, 3, 5 y 7? A) 16 B) 12 C) 10 D) 14 e)8

Solución: Método 1: mediante arreglo numérico. • Con los dígitos dados, formamos los

siguientes números:

77757371575553513735333117151311

Respuesta: Se pueden formar 16 numerales. Observación. En estos casos, el orden es importante; además, los elementos del conjunto pueden repetirse, como por ejemplo: 11, 33, 55, 77. Método 2: mediante la aplicación de los principios de análisis combinatorio. • La forma general del numeral pedido es :

ab • Los valores que pueden tomar los dígitos a

y b en el numeral ab son:

ab

7531

7531

Cantidad de números = 4 x 4 = 16 Observación. a) a toma 4 valores. b) b toma 4

valores. c) Para formar el numeral ab primero escribo las cifras de las decenas(4 posibilidades) y luego la cifra de las unidades (4 posibilidades), luego por el principio de multiplicación, la cantidad de numerales será: 4 x 4 = 16. 2. Determinar cuántos numerales de 3 cifras

existen en el sistema de base seis. A) 160 B) 120 C) 100 D) 140 e) 180

Solución:

• La forma general del numeral es abc , hallaremos las posibilidades que pueden

tomar a, b y c en base seis y luego multiplicamos el número de las posibilidades

a b c

...112001

555

5 x 6 x 6 = 180 numerales Respuesta: Se pueden formar 180 numerales. Observación. a) En base seis solo se dispone de los dígitos: 0,1,2,3,4 y 5. b) La primera cifra a no puede ser cero, sólo puede tomar las cifras: 1,2,3,4 y 5; es decir 5 posibilidades. c) Las cifras b y c, como no dicen que son diferentes, pueden tomar 6 valores o posibilidades. 3. ¿Cuántos numerales de la forma:

8)3()2( cbbaa −+ existen?

A) 260 B) 2 00 C) 300 D) 240 e) 180 Solución: • En estos tipos de problemas hay que tener

en cuenta que cuando una variable representa una cifra, y ésta se repite en el numeral, entonces a dicha variable se le considera una sola vez al calcular la cantidad de numerales.

• En nuestro problema, con la indicación anterior, tendremos:

8)3()2( cbbaa −+

775...142031↓↓↓

Cantidad de numerales = 5 x 5 x 8 = 200

Respuesta: Se pueden formar 200 numerales.

4. ¿Cuántos numerales de tres cifras

diferentes existen en el sistema de base decimal? A) 900 B) 780 C) 800 D) 648 e) 724

PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMAS RESUELTOS

92

Solución:

La forma general del numeral es abc , hallaremos las posibilidades que pueden tomar a, b y c en base diez y luego multiplicamos el número de las posibilidades, teniendo en cuenta que las tres cifras deben ser diferentes

a b c

)210()110(9......112001

−−

↓↓↓

# numerales = 9 x 9 x 8 = 648 Respuesta: Se pueden formar 648 numerales. 5. ¿Cuántos numerales de la forma:

9)3

()14( bba

a existen?

A) 9 B) 18 C) 26 D) 48 e) 24 Solución: Los valores de “a” deben ser factores de 14 y además menores que 9; luego los valores posibles de “a” solo pueden ser: 1,2,7; es decir hay 3 posibilidades. Los valores de “b” son múltiplos de 3, menores que 9; luego los valores de “b” solo pueden ser: 0,3 y 6; es decir hay 3 posibilidades.

9314 bbaa

721

630

cantidad de números = 3 x 3 = 9 números Respuesta: Se pueden formar 9 números. Observación. 1) ""a por ser primera cifra no puede ser cero. 2) A las posibilidades de ""a y

""b se les aplica el principio de multiplicación. 6. ¿Cuántos números de 3 cifras tienen por lo

menos un 6 en su escritura? A) 196 B) 188 C) 252 D) 480 e) 248

Solución: a) Podemos representar el procedimiento de

solución mediante un diagrama de Venn:

Observación. Para hallar los números que tienen por lo menos un 6 en su escritura, se consideran: 1) Los que tienen un sólo 6. 2) Los que tienen dos 6. 3) Los que tienen tres 6.

b) Del gráfico anterior, se deduce que: El

número de cifras por lo menos con un 6 = número de tres cifras - número de tres cifras que no usan el 6.

x = abc - y ............ (1) c) Calculamos el número de tres cifras que

existen:

a b c

10109......112001↓↓↓

cantidad de números9 x 10 x 10 = 900

Explicación: 1) “a” puede tomar los valores del “1” al

9, es decir hay 9 posibilidades para las centenas.

2) Para “b” y “c” hay 10 posibilidades, ya que b y c pueden tomar los valores del “0” al 9.

3) Para hallar la cantidad de números de 3 cifras aplicamos el principio de multiplicación.

d) Cálculo del número de 3 cifras que no

usan cifra “6”

PROBLEMAS RESUELTOS

93

a b c

10109......112001↓↓↓

cantidad de números8 x 9 x 9 = 648

Explicación:

a) “a” puede tomar los valores del “1” al

“9”; sin considerar el “7” es decir hay posibilidades para las centenas.

b) Para “b” y “c” hay 9 posibilidades, ya que b y c pueden tomar los valores del “0” al “9”, exceptuando a “7”.

c) Para hallar la cantidad de números de 3 cifras aplicamos el principio de multiplicación.

d) Remplazando los valores obtenidos en los pasos “c” y “d” en la ecuación (1) de l paso (b), se tiene:

X = 900 – 648 = 252 Respuesta: Se pueden formar 252 números.

7. ¿Cuantos grupos diferentes de tres

alumnos podrían formarse con un grupo de 5 estudiantes? A) 16 B) 10 C) 12 D) 15 e) 18

Solución: MÉTODO 1. Por conteo directo. • Sean A, B, C, D y E los alumnos, los

diferentes grupos de 3 serían : ABC, ABD, ABE, ACD, ACE , ADE, BCD, BCE, BDE, CDE

Respuesta: Se pueden formar 10 grupos diferentes. Método 2: Por fórmula. • Como el grupo de alumnos ABC, CBA y

BAC son el mismo grupo de alumnos, entonces no interesa el orden de los elementos y se trata de una combinación:

101233455

3==

xxxxC

Respuesta: Se pueden formar 10 grupos diferentes.

8. Con 7 sumandos diferentes ¿Cuántas sumas distintas de 4 sumandos se podrán efectuar con 7 sumandos? A) 56 B) 35 C) 42 D) 64 e) 70

Solución: En la suma no importa el orden que se dispongan los sumandos, por lo tanto se trata de una combinación; además, para cada suma se escogen grupos de 4 sumandos de los siete de que se disponen.

35123445677

4==

xxxxxxC

Respuesta: Se pueden formar 35 sumas diferentes.

9. ¿De cuántas formas se pueden ubicar en una fila de 7 asientos, 3 hombres y 4 mujeres, si éstas deben ocupar los lugares impares? A) 160 B) 135 C) 144 D) 14 e) 170

Solución: Representemos gráficamente el problema, y luego emplearemos el principio de multiplicación

Posibilidades

4 3 3 2 2 1 1Número de formas

4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x1 = 144

M M M MH H H

Respuesta: Se pueden ubicar de 144 formas diferentes.

10. ¿Cuántos números de 4 cifras diferentes y

mayores que 5 000, se pueden formar con los siguientes dígitos: 1, 3, 4, 6, 9? A) 52 B) 48 C) 27 D) 96 e) 49

Solución:

Sea : abcd el número, entonces se tiene: a b c d

↓↓↓↓ 2342

Total de números2 x 4 x 3 x 2 = 48

PROBLEMAS RESUELTOS

94

Respuesta: Se pueden formar 48 números de cuatro cifras diferentes. Explicación: “a” puede ser “6” o “9”, es decir tiene 2 posibilidades; “b”, tiene (5 - 1) posibilidades; “c” tiene (5 – 2) posibilidades y “d” tiene (5 – 3) posibilidades ya que las cifras deben ser diferentes.

11. Un grupo de 16 personas desean escoger

entre sus miembros un comité de 3 personas que los represente ¿De cuantas formas distintas se puede seleccionar dicho comité? A) 1 120 B) 48 C) 300 D) 560 e) 440

Solución: Para formar un comité, no interesa el orden en que se dispongan las tres personas, por lo que los posibles comités serán combinaciones de 16 personas tomadas en grupos de 3, así:

56012314151616

3==

xxxxC

Respuesta: Se puede seleccionar el comité de 560 formas diferentes.

12. A la final de un torneo de ajedrez se clasifican 10 jugadores ¿cuántas partidas se jugará si se juega todos contra todos? A) 1120 B) 48 C) 300 D) 560 e) 440

Solución: Si “A” juega con “B” es lo mismo decir que “B” juega con “A”, la partida es la misma, no interesa el orden de sus elementos, pero es una agrupación de 2 en 2, de un total de 10 elementos. Por lo tanto, se trata de una combinación.

4512910

!8!2!1010

2 ===xx

xC

Respuesta: Se jugarán 45 partidas.

13. ¿De cuántas maneras diferentes podrá viajar una persona de A a D sin retroceder?

A) 24 B) 48 C) 36 D) 18 e) 30

Solución: Identificamos con un nombre a cada camino diferente:

Analizamos por tramos: I) ABD: para llegar a B, se puede utilizar

cualquiera de los 3 caminos (1, 2, 3) señalados. De B a D se puede ir por el camino z, luego habría 3 formas diferentes de llegar: 1z, 2z, 3z; por lo tanto en el tramo ABD hay 3 formas.

II) ACD: para llegar a C se puede utilizar un camino para llegar a B (1, 2, 3) y luego otro camino para llegar a C(4, 5, 6). Que aplicando el principio de multiplicación se tendría:

A B C

Número de maneras de llegar de A a C = 3 x 3 = 9 pasando por B

Pero también hay dos caminos directos para llegar a C(x, y); por lo tanto, el número total de caminos para llegar de A a C es : 9 + 2 = 11 formas; y de C a D hay 3 formas (7, 8, 9) Finalmente, se tiene: De A a C y de C a D De A a D

11 formas

3 formas

11 x 3 formas

Número total de formas diferentes = 33 formas

• En conclusión, los caminos de (I) y (II), pueden ser ABD ó ACD = 3 + 33 = 36 formas

Respuesta: 36 maneras diferentes.

PROBLEMAS RESUELTOS

95

14. En un examen de matemáticas, un estudiante debe responder siete preguntas de las diez dadas. ¿De cuántas formas diferentes debe seleccionar, si él debe responder por lo menos, tres de las cinco primeras preguntas? A) 64 B) 55 C) 50 D) 110 e) 120

Solución:

El estudiante puede responder tres de las 5 primeras preguntas y cuatro de las últimas 5 preguntas; ó cuatro de las primeras 5 preguntas y tres de las últimas; ó cinco de las primeras 5 y dos de las últimas. Como no interesa el orden, se trata de una combinación; por lo tanto tenemos:

11010505012451

12334555

1233455

2

5

5

5

3

5

4

5

4

5

3 =++=++=++xxx

xxxxxx

xxxxxxx CCCCCC

Respuesta: 110 maneras diferentes. 15. El servicio de inteligencia de cierto país,

desea enviar mensajes a sus agentes secretos. Sólo quiere utilizar las siguientes letras: V, A, M, P, I, R, O. ¿Cuántas palabras claves de cinco letras pueden formarse, si ninguna letra puede repetirse? A) 2520 B) 1550 C) 1850 D) 1100 e) 1200

Solución: Método 1: usando el principio de multiplicación.

Número de maneras7 x 6 x 5 x 4 x 3

2 520 Método 2:(usando permutación).

2520!2

76543!2!2!7

)!57(!77

5 ===−

=xxxxxP

16. Un hombre tiene 9 bonos financieros de 9 compañías distintas, y piensa regalarlos a sus 3 hijos de la siguiente manera: A su hijo mayor, 4; a su segundo hijo, 3; y al menor 2 ¿De cuantas formas puede repartir los bonos? A) 1640 B) 1360 C) 680 D) 1100 e) 1120

Solución: Se trata de una permutación con repetición donde intervienen todos los elementos. Hay 41 maneras de arreglar los bonos para su hijo mayor; 31 formas para arreglar los bonos para el segundo

hijo y 21 formas para el hijo menor. Luego, se tiene:

136012123!498765!4

!2!3!4!99

2,3,4 ===xxxxxxxxxx

xxP

Respuesta: Los bonos se pueden repartir de 1360 formas.

17. La selección peruana de voleibol está

conformado por 12 chicas. ¿De cuántas formas se puede conformar un equipo de 6, si se sabe que 2 chicas se niegan a jugar en el mismo equipo?

A) C12

632 B) C11

535

C) C10

5617

D) C10

5311

e) C10

494

Solución: La delegación de 6 chicas se puede presentar en los siguientes casos: 1er caso: Si no figura ninguna de las dos chicas que se niegan a jugar juntas, las seis chicas deben elegirse de entre 10. Número de equipos =

CCCC 10

5

10

5

10

6

212

6 65

61610

=+−

==−

Observación. Hemos aplicado la propiedad:

CC n

k

n

k kkn

1

1−

+−=

2do caso: Si figura una de las dos chicas que se niegan a jugar juntas, las otras cinco chicas deben escogerse de entre las 10 restantes.

Número de equipos = CCC x 10

5

10

5

2

12=

∴ número total de equipos =

CCC 10

5

10

5

10

5 6172

65

=+

PROBLEMAS RESUELTOS

96

Respuesta: El número total de equipos

que se pueden formar es C10

5617

.

18. ¿De cuántas maneras diferentes se

pueden sentar 8 personas en una mesa redonda de 5 asientos, si 3 están en espera? A) 1640 B) 1344 C) 680 D) 1124 e) 1120

Solución: El número de grupos de 5 personas que se ubican en la mesa circular es:

5612345456788

5==

xxxxxxxxC

El número de formas en que cada grupo de 5 personas se pueden sentar en la mesa es:

(5 – 1)! = 4! = 24 Número total de formas = 56 x 24 = 1344 Respuesta: 1344 maneras diferentes

19. La tripulación de un bote es de 10 hombres, cuatro solamente pueden remar a babor y tres a estribor ¿De cuántas formas se pueden distribuir para remar, sabiendo que cinco hombres deben ubicarse a cada lado para mantener el equilibrio del bote?

PROA

Babor

Estribor

POPA A) 3x(5!)2 B) 6x(4!)2 C) 3!x(5!)2 D) 12x(3!)2 E) 6x (5!) x (4!)

Solución: Sean {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} los tripulantes del bote de los cuales: a, b, c y d pueden remar sólo a babor y h, i, y j pueden remar sólo a estribor. Además cinco hombres están ubicados a cada lado del bote. a, b, c y d pueden ubicarse a babor de

P54 formas distintas ocupando 4 lugares

(observar que en este problema el orden es importante). Los lugares que sobran a babor pueden ser ocupados por d, e ó f, es

decir 3 formas distintas. Luego los cinco lugares a babor pueden ser ocupados de:

P54 . 3 formas o maneras distintas.

A estribor h, i, y j pueden acomodarse de

P53 formas diferentes ocupando 3

lugares; y sobrando 2 lugares. Uno de los lugares que sobra puede ser ocupado de 2 formas diferentes, pues uno de los tripulantes e, f ó g ya está ubicado a babor, quedando (3 – 1) de ellos para ocupar aquel cuarto lugar. El quinto lugar a estribor puede ser ocupado de (3 – 2 ) sola forma, por el que queda de los dos anteriores. Por tanto los cinco lugares a

estribor pueden ser ocupados de: 1.2.53P

maneras diferentes. Como se trata de un suceso simultaneo, aplicamos el principio de multiplicación para los dos resultados anteriores:

Número de formas diferentes = P54 . 3 x

1.2.53P = 3.)!5(

!2!5.6.

!1!5 2=

Respuesta: 2)!5(3x formas diferentes.

20. Señale cuántos productos diferentes, cada

uno de tres factores primos, podrá obtenerse con los cinco factores primos: a, b, c, d, e (a < b < c < d < e). A) 40 B) 35 C) 30 D) 24 e) 56

Solución: Método 1: Por conteo directo. Se deben formar números de la forma P = x . y . z; donde x, y, z son números primos. Caso 1: Los tres factores son iguales; es decir: x = y = z, los productos serán: P1 = a a a; P2 = b b b; P3 = c c c; P4 = d d

d; P5 = e e e

Son 5 casos posibles ( )55

1=C

Caso 2: Dos factores son iguales y uno es diferente; es decir: x = y; con z diferente, los productos serán: P6 = a a b; P7 = a a c; P8 = a a d; P9 = a a e; P10 = b b a P11 = b b c; P12 = b b d; P13 = b b e; P14 = c c a; P15 = c c b P16 = c c d; P17 = c c e; P18 = d d a; P19 = d d b; P20 = d d c P21 = d d e; P22 = e e a; P23 = e e b; P24 = e e c; P25 = e e d

PROBLEMAS RESUELTOS

97

Son 20 casos posibles

( 2 )201025

3== xC

Caso 3: Los 3 factores son diferentes; es decir: x ≠ y ≠ z, los productos serán: P26 = a b c; P27 = a b d; P28 = a b e; P29 = a c d; P30 = a c e P31 = a d e; P32 = b c d; P33 = b c e; P34 = b d e; P35 = c d e

Son 10 casos posibles ( 105

3=C )

Finalmente, se tendrá: 5 + 20 + 10 = 35 formas posibles. Método 2: Aplicando combinación con repetición. • En este caso aplicamos la fórmula:

!)1..().........2)(1(1

kknnnnCCR kn

k

n

k

−+++== −+

Con n = 5 y k = 3, es decir:

35!3

)25)(15(5135

3

5

3 =++

== −+CCR

Respuesta: 35 formas diferentes.

PROBLEMAS RESUELTOS

98

1. ¿Cuántos cables de conexión son

necesarios para que puedan comunicarse directamente 2 oficinas de las 8 que hay en un edificio? A) 20 B) 56 C) 28 D) 14 E) 16

2. Las ciudades A y B están unidas por 6

caminos diferentes, B y C por 10 caminos diferentes y las ciudades C y D por 8 caminos diferentes ¿De cuántas maneras diferentes una persona puede viajar de A a D, pasando por B y C? A) 200 B) 256 C) 240 D) 140 E) 480

3. La municipalidad de Lima ha ordenado que

los moto taxis sean amarillos y tengan las placas 6 caracteres (3 letras seguidas de 3 números). ¿Cuántas placas diferentes se podrán formar? (considerar 26 letras del alfabeto) A) 203 x 103 B) 262 x 102 C) 263 x 103 D) 26 x 103 E) 26 x 25 x 24

4. ¿Cuántos números de 3 cifras que sean

impares, se pueden escribir con los dígitos: 4, 5, 7, 9 y 8, si no se pueden repetir los dígitos? A) 20 B) 56 C) 28 D) 14 E) 36

5. De seis números positivos y 5 números

negativos, se escogen 4 números al azar y se multiplican. Calcular el número de formas que se pueden multiplicar, de tal manera que el producto sea positivo. A) 60 B) 96 C) 128 D) 140 E) 170

6. El equipo de futbolito de un salón de clase

debe escoger dos madrinas, una para el equipo y otra para las camisetas; si en total hay 8 candidatas. ¿De cuántas maneras se puede escoger a las dos madrinas? A) 16 B) 56 C) 28 D) 64 E) 36

7. Se tiene una urna con 9 bolas numeradas.

Se quiere saber, ¿de cuántas maneras podemos sacar primero 2 bolas, luego 3 y finalmente 4? A) 630 B) 210 C) 1080 D) 108 E) 1260

8. ¿Cuántos numerales, en el sistema

quinario, de la forma )2

()3( cba + ?

A) 20 B) 50 C) 100 D) 40 E) 80 9. ¿De cuántas maneras diferentes se

pueden repartir los 10 miembros de un

club en tres comités de 5, 3 y 2 miembros respectivamente? A) 2520 B) 5040 C) 1440 D) 1125 E) 800

10. En una despedida de soltera a la que

asistieron sólo chicas, todas bailaron entre sí, al menos una vez. Si en total se lograron conformar 28 parejas diferentes, el número de chicas que participó fue.... ? A) 16 B) 12 C) 8 D) 4 E) 36

COMPRUEBA TUS SABERES

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PROBLEMAS DE NIVEL I

1. Una clase consta de 7 niños y 3 niñas. ¿De

cuántas maneras diferentes el profesor puede escoger un comité de 4 alumnos? A) 160 B) 210 C) 128 D) 144 E) 105

2. ¿Cuántas palabras diferentes de tres

letras, aunque carezcan de significado, se puede formar usando las letras de la palabra PELON (sin repetir las letras)? A) 60 B) 96 C) 128 D) 140 E) 170

3. Cuatro chicas y dos varones van al cine y

encuentran 6 asientos juntos en una misma fila, donde desean acomodarse ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse, si las cuatro chicas quieren estar juntas? A) 160 B) 72 C) 128 D) 144 E) 64

4. Tienes 5 libros, ¿de cuántas maneras

diferentes puedes escoger uno o más de dichos libros? A) 30 B) 36 C) 28 D) 40 E) 31

5. ¿Cuántos números de dos cifras pueden

formarse con los dígitos: 1, 2, 3, 4 y 5, si: a) los dígitos no pueden repetirse, y b) si se permite la repetición? A) 20 y 25 B) 18 y 36 C) 22 y 28 D) 20 y 40 E) 16 y 32

6. Luis tiene 10 amigos de los cuales invitará

a su matrimonio solamente a 7. ¿De cuántas maneras puede hacer la invitación, si dos de sus amigos están enemistados y no pueden asistir juntos? A) 56 B) 64 C) 36 D) 44 E) 128

7. En una reunión se encuentran 5 mujeres y

8 hombres. Si se desea formar grupos mixtos de 5 personas, ¿de cuántas maneras pueden formarse tales grupos de modo que en cada uno de ellos estén siempre dos mujeres? A) 560 B) 390 C) 120 D) 140 E) 280

8. Una persona tiene billetes de valores

diferentes. ¿Cuántas sumas distintas de dinero se puede formar tomados de 3 en 3? A) 60 B) 56 C) 128 D) 40 E) 70

9. ¿Cuántos numerales del sistema octavario (base 8) existen de la forma:

)2

()4()2( cabba −+ ?

A) 108 B) 144 C) 128 D) 192 E) 72 10. ¿Cuántos números múltiplos de 5,

menores que 4 000 y de cifras diferentes, se pueden formar con los dígitos del 0 al 9? A) 108 B) 491 C) 528 D) 392 E) 372

PROBLEMAS DE NIVEL II 11. Hay 5 candidatos para presidente de un

club, 6 para vicepresidente y 3 para secretario ¿De cuántas maneras se pueden ocupar estos tres cargos? A) 108 B) 64 C) 128 D) 72 E) 90

12. ¿Cuántas combinaciones pueden hacerse

con las letras: a, b, c, d y e, tomadas de cuatro en cuatro, entrando “a” en todas ellas? A) 10 B) 4 C) 8 D) 12 E) 2

13. Una Combi tiene 21 asientos, 4 filas de 4

asientos cada uno con un pasillo al medio y al final 5 asientos juntos. Se desea ubicar 13 pasajeros de los cuales 2 siempre van al lado de la ventana y 4 juntos al pasillo central. ¿De cuántas formas se le puede ubicar, si hay 10 asientos con ventana disponibles?

A) !8)4

15( B) !15)4

15( C) !10)4

15(

D) 4

!15 E)

!4!15

14. A una reunión asistieron 30 personas. Si

se saludan estrechándose las manos, suponiendo que cada uno es cortés con cada uno de los demás, ¿cuántos apretones de manos hubo? A) 60 B) 435 C) 870 D) 120 E) 205

15. ¿Cuántos números de cinco cifras

presentan algún 4 en el sistema de base “5”? A) 1732 B) 1525 C) 1840 D) 960 E) 1205

16. En el curso de matemáticas hay 4

profesores y 5 profesoras. Se quiere formar comisiones de 4 personas, sabiendo que los profesores Martínez y

DESAFÍOS

DESAFÍOS

100

Caballero no pueden estar en la misma comisión a menos que la comisión esté formada por lo menos por una mujer. ¿Cuál es el máximo número de comisiones que se puede formar? A) 160 B) 145 C) 128 D) 125 E) 105

17. En una empresa trabajan 5 mecánicos, 4

físicos y 2 ingenieros geólogos. Se desea formar una comisión de 5 personas en la cual haya siempre un físico. ¿De cuántas formas se puede seleccionar dicha comisión? A) 108 B) 140 C) 80 D) 124 E) 120

18. ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden

formar con las cifras: 1, 2, 4, 6, 7 y 8 de tal manera que sean menores que 5 000 y no permitiéndose repeticiones de las cifras? A) 138 B) 340 C) 280 D) 454 E) 180

19. Se tienen 6 bolitas marcadas con los

dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 y 6 ¿Cuántos números se puede obtener? A) 1956 B) 2496 C) 1080 D) 1244 E) 1200

20. Tengo 15 sillas de las cuales 8 son

defectuosas. ¿De cuántas maneras podemos elegir 5 sillas de las cuales por lo menos 4 sean defectuosas? A) 490 B) 560 C) 546 D) 480 E) 520

DESAFÍOS

predicci.n y el azar

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