Bojan Bozic, Jure Derganc, Gregor Gomiscek,

Vera Kralj-Iglic, Janja Majhenc, Primoz Peterlin,

Sasa Svetina in Bostjan Zeks

Praktikum iz biofizikeStudijsko leto 2011/2012

Ljubljana, oktober 2011

Kazalo

0 Uvod 2

1 Preucevanje predeljenih sistemov s sledilnimi metodami 13

2 Povrsinska napetost 21

3 Notranje trenje tekocin 27

4 Ultrazvok 36

5 Merjenje toplote in specificna toplota snovi 44

6 Mikroskop 50

7 Lastnosti in merjenje svetlobe 62

8 Prevajanje elektricnih sunkov po zivcnem vlaknu 73

9 Prevodnost elektrolitskih raztopin 82

10 Casovna odvisnost napetosti v vezjih s kondenzatorji in upori 89

11 Osnove elektrokardiografije 102

12 Slikanje z jedrsko magnetno resonanco 113

13 Radioaktivnost 129

1

0 Uvod

0.1 Splosna nacela

Vaje pri predmetu Biofizika predstavljajo pripravo na opazovanje pojavov, ki so pomembnipri delu zdravnikov in zobozdravnikov. Na preprostih sistemih, kot so sistemi, ki jihobravnavamo pri Praktikumu iz biofizike, se ucimo, kako iz dogajanja izbrati pojav, ki senam zdi pomemben, izmeriti relevantne kolicine in oceniti napako ter primerjati rezultatemeritev s teoreticnimi napovedmi. Da bi povecali znanje in tako prispevali k napredkustroke, moramo znati opazanje, ki se nam zdi zanimivo, kar se da objektivno opisati inzakljucke sporociti tudi drugim, ki bi jih to lahko zanimalo. Kvalitete, ki jih zelimo doseciso razumevanje pojava, zanesljivost in kriticnost pri merjenju, odnos do dela in kolegovter prispevek k povecanju znanja vseh v skupini. Te kvalitete se odrazajo pri delu vlaboratoriju, pri predstavitvah rezultatov, pri katerih je razvidno razumevanje pojava, inpri izdelanem zapisu o meritvah.

Ucinek nasega dela v laboratoriju je v veliki meri odvisen od nase predhodne priprave.Ta priprava obsega temeljit studij pojava, ki ga bomo obravnavali in postopka merjenja.Navodila za vaje vsebujejo fizikalne osnove pojavov, ki jih bomo opazovali. Te osnovenaj bi ob povprecnem predznanju iz srednje sole zadostovale zahtevam pri vajah. Ce seizkaze, da z opisom pojava v navodilih iz kakrsnegakoli razloga ne dosezemo zadovoljivegarazumevanja, si pomagamo z ucbeniki, posvetujemo pa se tudi s kolegi in ucitelji.

Vaje opravljamo v skladu z objavljenim razporedom. Na vaje prihajamo tocno. Ce izkakrsnegakoli razloga zamudimo ali smo odsotni, se opravicimo. Na vajah pazimo, da nemotimo kolegov pri njihovem delu. Razen v primerih, ko razpored zahteva, da dolocenovajo izvajamo skupaj s kolegom, vajo izvajamo sami. Ce merimo skupaj s kolegom, pazimona to, da so merilni instrumenti dostopni obema. Pomagamo si med seboj, da bi doseglicimboljsi ucinek. Ce cesa ne razumemo, vprasamo vodjo vaj. Zapisu o meritvah pravimoprotokol. Zaradi preglednosti in jasnosti oblike protokola upostevamo navodila, ki jih davodja vaj.

0.2 Merjenje

Pri merjenju sledimo navodilom za vaje. V navodilih so navedene potrebscine, ki jihbomo uporabljali pri merjenju. Spoznamo se z merilnimi instrumenti. Zavedati se mo-ramo zmoznosti in omejitev merilnih instrumentov. Zapisemo podatke o vsakem merilneminstrumentu: vrsto instrumenta, merilni obseg, natancnost. Pred meritvijo premislimo,kako naj bi potekala in kako bomo zapisovali meritve. Pojav najprej dobro opazujemo.Opazovani pojav izmerimo nekajkrat, da ugotovimo, ali je meritev ponovljiva. Merimo vskladu s tem, kar zahtevajo navodila, in zapisujemo meritve. Pri merjenju zapisujemo vsedobljene meritve in se ne oziramo na svoja pricakovanja. Kar smo izmerili in zapisali, jerezultat nasega dela, ki smo ga opravili po najboljsih moceh, in zato pomemben prispevekk obravnavanju izbranega pojava. Zapiskov, ki so nastali pri merjenju, ne smemo spre-minjati, dopolnjevati, brisati ali prepisovati “na cisto”. Zato zapisujemo s pisalom, ki se

2

ga ne da brisati. Ce med merjenjem ugotovimo, da se nam dolocena meritev ni posrecila,zapisemo pri tej meritvi, kaj se je zgodilo, meritve pa vnaprej ne zavrzemo. Zapisujemotudi razlicne zanimivosti in okoliscine, ki vplivajo na meritev.

Z instrumenti ravnamo previdno. Ce pride do okvare, javimo dezurnemu tehnicnemusodelavcu ali vodji vaj. Pri nekaterih vajah opazujemo elektromagnetne pojave, za karmoramo pred merjenjem zvezati instrumente v elektricni krog. Preden zacnemo meriti,poklicemo tehnicnega sodelavca ali vodjo vaj, ki bo preveril, ali so instrumenti pravilnozvezani. Sele potem smemo prikljuciti vezje na vir elektricne napetosti. Po koncani meritvipospravimo potrebscine. Vodja vaj potrdi s podpisom pravilno opravljene meritve.

0.3 Analiza meritev

Pri analizi sledimo navodilom. Izracunamo kolicine, ki jih zahteva naloga. Meritev in iznjih izracunanih kolicin ne mesamo med seboj, zato izracunanih kolicin ne zapisujemo kmeritvam. V primeru grobih napak, ko nekatere meritve izkljucimo iz analize, navedemorazloge, zakaj smo doloceno meritev zavrgli.

Ce to zahteva naloga, narisemo diagrame in jih nalepimo v zapis analiza meritev. Di-agrami morajo biti pregledni in primerne velikosti. Predvsem ne smejo biti premajhni.Diagramov, ce je le mogoce, ne prepogibamo, zlagamo ali obracamo. Risemo na milimetr-ski papir. Narisemo ordinato in absciso, oznacimo kolicine, ki jih nanasamo, in navedemoenote. Potem vnesemo v diagram merske tocke. Diagram naj bo dovolj velik, da so mersketocke in krivulje, ki jih predvideva teorija, jasno razlocljive. V ta namen izberemo tudiprimerni skali, tako da merske tocke zavzemajo cimvecjo povrsino diagrama. V primeru,da kolicin ne bomo ekstrapolirali do nic, se skala na diagramu lahko zacne tudi z nekovrednostjo, ki je razlicna od nic. Skala naj bo ekvidistancna in naj vsebuje primerno go-stoto stevilk, da lahko z lahkoto dolocimo vrednost katerekoli tocke na diagramu. Mersketocke in oznake na diagramu morajo biti dobro vidne. Pod diagram zapisemo naslov dia-grama, oziroma zapisemo, kaj prikazuje. Ce na diagram risemo krivuljo, ki jo napovedujeteorija, pazimo, kaksne oblike mora biti ta krivulja (premica, eksponentna krivulja, ipd).Ujemanje merskih tock in krivulje namrec ponazarja ujemanje med meritvijo in teoreticnonapovedjo. Merskih tock ne povezujemo med seboj z grbastimi krivuljami ali lomljenimicrtami.

Vcasih naloga zahteva izracun naklonskega koeficienta premice z diagrama. Na dia-gramu izberemo dve tocki na premici, ki se najbolje prilega merskim tockam, zapisemokoordinati obeh tock in nastavimo racun, iz katerega je razvidno, kako smo izracunali na-klonski koeficient. Dolocanje naklonskega koeficienta je podrobno razlozeno v poglavju 0.6.Pazimo na enote, ki jih pisemo tudi v racune.

Ce rezultate analiziramo z racunalniskim programom, podatke, ki smo jih vnesli vracunalnik, natiskamo in nalepimo v zapis analiza meritev. Pri vnasanju podatkov vracunalnik pogosto pride do napak. Zato natancno preverimo, da se podatki, vneseni vracunalnik, ujemajo z zapiski o meritvah. Diagrami, ki jih izdelamo z racunalniskim pro-gramom, naj razen merskih tock in teoreticnih krivulj ne vsebujejo podatkov o analizi, kijih ne potrebujemo. Na diagramih, ki jih nalepimo v zapis analiza meritev, naj bodo samo

3

tisti podatki, ki jih zahteva naloga, in ki bi jih navedli tudi v primeru, da bi meritve anali-zirali brez uporabe racunalniskega programa. Vcasih je ugodno, da del analize naredimo zracunalniskim programom (na primer narisemo merske tocke), del pa “pes” (izberemo naj-ugodnejso premico, ki poteka skozi merske tocke, dolocimo naklonski koeficient, vnesemotekst).

Dobljeni rezultat, ki ga zahteva naloga, kriticno ovrednotimo. Ce rezultat znatno od-stopa od smiselnega, preverimo celoten postopek. Ce ne najdemo napake v postopku,poskusimo poiskati vzrok za odstopanje ali pa predlagamo meritev ali spremembo teorije,ki bi razjasnila ta vzrok. O tem porocamo v protokolu.

0.4 Napake

Ko dolocamo neko kolicino z merjenjem, delamo napake. Tega se obicajno zavemo sele, kone dobimo enakih vrednosti, ce meritev veckrat ponovimo.

Napake izvirajo iz razlicnih virov: napake zaradi izbire metode, napake zaradi spre-menljivih pogojev v okolici, napake, ki izhaja iz presoje in delovanja osebe, ki meri, innapake zaradi omejenosti instrumentov.

• Napake zaradi izbire metode: na primer, pri merjenju razdalje, ki jo premosti nekotelo, ki se giblje z neko konstantno hitrostjo, lahko izmerimo cas potovanja. Pri temje meritev casa obremenjena z napako, lahko pa nastopijo tudi tezave pri vzdrzevanjukonstantne hitrosti. Druga metoda je, da pot izmerimo direktno, na primer z meril-nim trakom. V tem primeru lahko na natancnost merilnega traku vpliva na primertemperatura okolja. Smiselno je izbrati tisto metodo, pri kateri bo napaka predvi-doma manjsa.

• Napake zaradi spremenljivih pogojev v okolici: spreminjanje temperature, vlaznosti,velikosti elektricnega in magnetnega polja ipd.

• Napake, ki izhajajo iz presoje in delovanja osebe, ki meri: te so lahko zaradi povrsnostiin nepazljivosti, ali pa pogojene (slabi refleksi, barvna slepota). Pri odcitavanju vre-dnosti lahko pride do napake, ce ne gledamo pravokotno na skalo instrumenta. Go-vorimo o napaki zaradi paralakse - odcitana vrednost je odvisna od polozaja ocesa.Napaka, ki jo pripisemo osebi, je tudi, ce instrumenti pred meritvijo niso pravilnonastavljeni na nicelno ali referencno vrednost.

• Napake zaradi omejenosti instrumentov: natancnost meritve je omejena z natan-cnostjo, ki jo omogocajo instrumenti. Napake zaradi omejenosti instrumentov lahkoizvirajo tudi iz tega, da instrumentov ne uporabljamo pod pogoji, pod katerimi je nji-hovo delovanje optimalno, ali pa instrumenti niso pravilno umerjeni. Pri instrumentihlahko pride tudi do okvare ali izrabljenosti.

Napakam pri merjenju se ne moremo izogniti. Pomembno pa je, da poleg vrednostiizmerjene kolicine vemo, kako natancno je vrednost te kolicine izmerjena. Lahko si zami-

4

slimo, kaj bi pomenilo, ce bi merili telesno temperaturo z metodo, kjer bi bila napaka nekajstopinj.

0.5 Ocena napake

Kot smo spoznali v prejsnjem poglavju, nujno potrebujemo oceno, koliksna je napaka pridolocanju izbrane kolicine. V ta namen razvrstimo napake v nakljucne, sistemske in grobenapake.

• Nakljucne napake: ce meritev veckrat ponovimo, ugotovimo, da ne dobimo pri vsakimeritvi vedno iste vrednosti. Vrednosti posameznih meritev (xi) so razporejene okrogpovprecne vrednosti

x =1

n(x1 + x2 + x3 + ... + xn) , (0.1)

kjer je n stevilo meritev.

Da prikazemo porazdelitev izmerjenih vrednosti na diagramu, razdelimo obmocje,znotraj katerega lezijo vse izmerjene vrednosti, na ustrezno stevilo enakih intervalov,ki jim pravimo razredi. Prestejemo, koliko izmerjenih vrednosti lezi znotraj posa-meznega razreda. Stevila izmerjenih vrednosti, ki pripadajo dolocenemu razredu,ponazorimo na diagramu z visinami stolpcev. Takemu diagramu pravimo histogram(slika 0.1).

x x

N

Slika 0.1: Histogram izmerjenih vrednosti. Stevilo izmerjenih vrednosti (N), ki lezijo vdolocenem intervalu (razredu), ustreza visini pripadajocega stolpca.

Ce imamo veliko stevilo meritev, se oblika histograma nakljucnih napak pribliza oblikiGaussove krivulje (slika 0.2):

G(x) =1

σ√

2πe−

(x−x)2

2σ2 , (0.2)

kjer je σ standardna deviacija (efektivni odmik) meritve od povprecne vrednosti.

5

σ

xx- +x σx σ

σσ

xx+-x σ x σ

σ

Slika 0.2: Gaussovi krivulji prikazujeta obliki porazdelitev za posamezne vrednosti izmer-jenih meritev. Vrednosti posameznih meritev so razporejene okrog povprecne vrednosti (x).V obmocju [x−σ, x +σ] lezi priblizno 2/3 vseh meritev. Meritev na desni strani je primernacina merjenja s sirso porazdeljenostjo posameznih meritev, torej z vecjo nakljucno na-pako. Zaradi nazornejse predstavitve smo s crticami oznacili vrednosti posameznih meritev.

V obmocju [x−σ, x+σ] lezi priblizno 2/3 vseh meritev. Tako je vrednost x najboljsipriblizek za “pravo vrednost”∗, kakor tudi σ smiselno merilo za porazdeljenost (za-nesljivost, ponovljivost) posameznih meritev, ki izvirajo iz nakljucnih napak (slika0.2). Rezultat meritev podamo z enacbo

x = x± σ , (0.3)

ki vsebuje povprecno vrednost in standardno deviacijo. Za koncno stevilo meritev(n) izracunamo standardno deviacijo z enacbo:

σ =

√

1

n− 1[(x1 − x)2 + (x2 − x)2 + (x3 − x)2 + ... + (xn − x)2] . (0.4)

Standardna deviacija je dobro dolocena, ce imamo veliko stevilo meritev (n ≫ 10).Pri majhnem stevilu meritev, ko niti risanje histograma ni smiselno, je dolocitevstandardne deviacije posameznih meritev z Gaussovo porazdelitvijo le priblizek.

Da se izognemo racunanju vrednosti σ po enacbi (0.4), lahko dolocimo standardnodeviacijo kar s prestevanjem. V ta namen izberemo tako vrednost σ, da bo naintervalu med x− σ in x + σ priblizno 2/3 vseh meritev.

Z vecanjem stevila ponavljanj meritve se standardna deviacija, ki je merilo za na-kljucno napako posamezne meritve, ne zmanjsa, zmanjsa pa se odstopanje povprecnevrednosti (x) od “prave vrednosti” merjene kolicine. To odstopanje opisemo z izra-zom:

σs =σ√n

. (0.5)

∗“Pravo vrednost” bi dobili s povprecenjem neskoncnega stevila meritev.

6

x1x2

xxp

Slika 0.3: Crtice oznacujejo posamezne vrednosti izmerjenih meritev. S prvim nacinommerjenja dobimo manjse vrednosti posameznih meritev v primerjavi z drugim nacinom.Vidimo, da je nakljucna napaka pri prvem nacinu merjenja vecja kot pri drugem. Kro-gec oznacuje pravo vrednost (xp) merjene kolicine, x1 je povprecna vrednost, dobljena sprvim nacinom merjenja, x2 pa je povprecna vrednost, dobljena z drugim nacinom mer-janja. Ker je povprecna vrednost prvega nacina merjenja blizje pravi vrednosti, ima prvinacin merjenja manjso sistemsko napako, ki je primerljiva s standardno deviacijo teganacina merjenja. Sistemska napaka drugega nacina merjenja (x2 − xp) je veliko vecja odpripadajoce standardne deviacije.

Kolicini σs, ki se uporablja kot merilo za oceno natancnosti povprecne vrednostizaradi nakljucne napake, pravimo napaka povprecja. Verjetnost, da bo x v intervalu[“prava vrednost” merjene kolicine −σs, “prava vrednost” merjene kolicine +σs], jeenaka 2/3. Torej, za rezultat merjenja “prave vrednosti” kolicine podamo povprecnovrednost in napako povprecja:

x = x± σs . (0.6)

• Sistemske napake: pri razlicnih nacinih merjenja lahko dobimo razlicne razultate,katerih povprecne vrednosti se razlikujejo bolj kot napovedujejo ocene nakljucnihnapak. Take razlike nastanejo zaradi napak v sistemu merjenja. Teh napak nemoremo odpraviti s ponavljanjem meritev z istim sistemom. Pravimo, da je nacinmerjenja z manjso sistemsko napako bolj tocen. Sistemsko napako moremo oceniti lez drugimi nacini merjenja. Kot primer lahko navedemo merjenje povrsinske napetosti(vaja 2), ki jo merimo s kapilaro in torzijsko tehtnico, pri cemer lahko dobimo velikorazliko med povprecnima vrednostima pri majhnih nakljucnih napakah. Ni nujno, danacin merjenja z manjso nakljucno napako da povprecno vrednost, ki je blize pravivrednosti (slika 0.3).

• Grobe napake: so vrednosti meritev, ki zelo odstopajo od ostalih merskih vrednostipri istem nacinu merjenja. So plod grobih trenutnih nepazljivosti in jih zato prianalizi meritev izlocimo.

Standardna deviacija (σ) in napaka povprecja (σs) dolocata napako absolutno, saj imataisto enoto kot kolicina x (enacbi (0.3) in (0.6)). Relativno napako, ki je brez enote, dobimo,ce absolutno napako delimo s povprecno vrednostjo: σ/x ali σs/x.

7

Pri dolocanju celotne napake upostevamo nakljucno napako povprecne vrednosti in,ce je mozno, ocenjeno sistemsko napako∗. Pri tocnih nacinih merjenja je celotna napakapriblizno enaka σs.

Rezultat merjenja navedemo z natancnostjo, ki jo dopusca celotna napaka. Govorimoo stevilu signifikantnih (od 0 razlicnih) stevil v rezultatu. Ce smo npr. izracunali, daje povprecna vrednost in celotna napaka (absolutna oziroma relativna) merjene kolicineenaka:x = 2, 35142 m ±0, 12738 m oziroma x = 2, 35142 (1± 0, 054171522) m,napisemo rezultat kot:x = 2, 35 m ±0, 13 m oziroma x = 2, 35 (1± 0, 05) m.

Rezultat, ki nas zanima, je vcasih odvisen od vec izmerjenih kolicin. V tabeli 0.1navajamo, kako ocenimo napako kolicine, ki nas zanima, ce v enacbi, ki jo uporabljamo zaizracun, nastopata dve izmerjeni kolicini s povprecnima vrednostima x in y z absolutnimanapakama x in y. Pri mnozenju in deljenju dveh kolicin se njuni relativni napakisestejeta.

Tabela 0.1: Izraracun absolutnih in relativnih napak pri sestevanju, odstevanju, mnozenjuin deljenju dveh kolicin (x in y).

operacija absolutna napaka relativna napaka

x + y ∆x + ∆y ∆x+∆yx+y

x− y ∆x + ∆y ∆x+∆y|x−y|

xy y∆x + x∆y ∆x|x|

+ ∆y|y|

xy

y∆x+x∆yy2

∆x|x|

+ ∆y|y|

0.6 Dolocanje lege premice, ki se najbolje prilegameritvam

Na zgledu praznjenja kondenzatorja pokazemo, kako dolocamo parametra premice (k inn), ki opisuje spreminjanje logaritma napetosti od casa. V koordinatnem sistemu, kjer stax neodvisna in y odvisna spremenljivka, ima enacba premice obliko

y = kx + n . (0.7)

∗Kadar lahko ocenimo sistemsko napako, izracunamo celotno napako (x) z upostevanjem sistemskenapake (σsis) in nakljucne napake povprecne vrednosti (σs) po enacbi

∆x =√

σ2sis

+ σ2s .

8

Praznjenje kondenzatorja je podrobno razlozeno pri vaji stevilka 10. Tukaj samo na kratkodefiniramo problem in zapisemo tudi enacbe, ki so pomembne za analizo.OSNOVE: V elektricnem krogu sta povezana kondenzator s kapaciteto C in upor z upor-nostjo R, kot kaze slika 10.2 na strani 91. V casu t = 0 je kondenzator nabit in ima zacetnonapetost U0, s casom pa se kondenzator prazni preko upora in napetost na njem pada poenacbi

U = U0e− t

τ , (0.8)

kot je izpeljano v poglavju 10.2. Ce enacbo 0.8 delimo z U0 in logaritmiramo, dobimoln U/U0 = −t/τ . Ce upostevamo se zvezo ln U/U0 = ln U − ln U0, lahko zapisemo linearnoenacbo za spreminjanje logaritma napetosti od casa v obliki

ln U = −1

τ· t + ln U0 , (0.9)

kjer je −1/τ naklonski koeficient premice in ln U0 logaritem zacetne napetosti v casu t = 0.NALOGI: Dolocite zacetno napetost (U0) in karakteristicni cas praznjenja kondenzatorja(τ).MERITVE: Na voltmetru opazujemo, kako se napetost spreminja s casom. Izmerjene casezapisujemo v tabelo pri izbranih vrednostih napetosti (tabela 0.2). Meritev praznjenjakondenzatorja izvedemo trikrat.

Tabela 0.2: Izmerjeni casi pri izbranih vrednostih napetosti na kondenzatorju.

U [V] t1 [s] t2 [s] t3 [s]11 4 3 310 7 7 89 9 10 108 13 11 127 23 20 216 32 29 295 39 36 374 47 46 463 58 59 562 81 80 82

ANALIZA: Najprej pri izbranih napetostih izracunamo ustrezne vrednosti logaritmov inpovprecne case (tabela 0.3). Nato izracunane vrednosti vnesemo v ustrezen diagram (slika0.4).

Ker lezijo merske tocke na diagramu priblizno v ravni crti in ker teorija napoveduje, dase logaritem napetosti na kondenzatorju linearno spreminja s casom, lahko na diagramunarisemo premico, ki opisuje to spreminjanje. Premica najbolje opisuje spreminjanje, ko

9

Tabela 0.3: Povprecni casi in logaritmi napetosti pri izbranih vrednostih napetosti merja-nja.

U [V] t [s] ln U11 3,3 2,4010 7,3 2,309 9,7 2,208 12 2,087 21,3 1,946 30 1,795 37,3 1,614 46,3 1,393 57,7 1,102 81 0,69

se odmiki tock na obeh straneh premice “odtehtajo”∗.Na sliki 0.4 je pravilno spreminjanje opisano s polno crto. Pri risanju premic lahko pride

do napak. Crtkana crta opisuje odvisnost logaritma napetosti s prevelikim naklonom.Ta odvisnost je slabo opisana s crtkano crto, ceprav tocke lezijo na obeh straneh crte.Namrec, tocke so v povprecju bolj oddaljene od crtkane crte kot od polne. Pikcasta crtaopisuje odvisnost logaritma napetosti z enakim naklonom kot polna. Tudi v tem primeruje odvisnost slabo opisana, ker vecina tock lezi pod crto.

Zacetno napetost na kondenzatorju in karakteristicni cas praznjenja izracunamo iz na-risane premice, ki se najbolje prilega tockam. Torej s pomocjo polne crte razberemo, daje naravni logaritem napetosti pri t = 0 enak 2,43. Po antilogaritmiranju sledi, da jezacetna napetost 11,4 V. Standardno deviacijo zacetne napetosti lahko priblizno ocenimo,ce narisemo dve dodatni premici z enakim naklonom kot polna crta tako, da je med do-datnima premicama 2/3 vseh tock. Razlika logaritmov zacetnih vrednosti napetosti zadodatni premici je 2σ. V nasem primeru predstavlja priblizno zgornjo dodatno premicopikcasta crta. Pri t = 0 je napetost, ki ustreza pikcasti krivulji, enaka 12,2 V, kar je za 0,8V nad srednjo vrednostjo. Ta razlika predstavlja standardno deviacijo. Zato je relativnanapaka pri merjenju zacetne napetosti enaka

∆U0

U0

=0, 8V

11, 4V= 7% . (0.10)

Naklonski koeficient izracunamo s pomocjo dveh tock, ki lezita na polni crti. Izbranitocki naj ne lezita preblizu skupaj, da ne naredimo prevelike napake pri odstevanju. Vnasem primeru lahko poleg tocke pri t = 0 (t1 = 0 s, ln U1 = 2, 43) izberemo se tocko pri

∗Bolj natancno definiramo lego premice s pogojem, da je vsota kvadratov oddaljenosti tock od njenajmanjsa.

10

-

6

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

lnU

0,511,522,53

t[s]

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Slika 0.4: Odvisnost naravnega logaritma napetosti na kondenzatorju, ki se prazni prekoupora, od casa.

t = 80 s (t2 = 80 s), kjer je vrednost naravnega logaritma enaka 0,63 (lnU2 = 0, 63). Vizbranih tockah upostevamo zvezo med casom in logaritmom napetosti (enacba 0.9):

ln U1 = −t1τ

+ ln U0 in ln U2 = −t2τ

+ ln U0 . (0.11)

Z izlocitvijo logaritma zacetne napetosti (lnU0) iz slednjih enacb lahko izracunamo na-klonski koeficient

k =ln U2 − ln U1

t2 − t1=

0, 63− 2, 43

80 s= −0, 0225 s−1 , (0.12)

karakteristicni cas praznjenja kondenzatorja pa je

τ = −1

k= 44, 4 s . (0.13)

Standardno deviacijo naklonskega koeficienta pa ocenimo z se eno dodatno premico tako,da njen naklon ne odstopa pretirano od naklona crte merskih tock. V nasem primeru jenaklon crtkane crte se sprejemljiv. Njen naklonski koeficient je 0,0246 s−1, torej je relativnanapaka za koeficient k

∆k

k=

0, 0246 s−1 − 0, 0225 s−1

0, 0225 s−1= 0, 093 . (0.14)

11

Ker je cas τ negativna reciprocna vrednost koeficienta k, je relativna napaka casa τ enakarelativnai napaki koeficienta k, kot je razvidno iz tabele na strani 8.REZULTATA: Zacetna napetost na kondenzatorju je: U0 = 11, 4(1 ± 0, 07) V, karakteri-sticni cas za praznjenje kondenzatorja pa je: τ = 44, 4(1± 0, 093) s.

0.7 Merjenje elektricne napetosti in toka ter upornosti

Pri elektricnih vezjih merimo napetost med dvema tockama ali tokove v vezjih. Ko me-rimo napetost na uporu vezemo voltmeter vzporedno z uporom (sl. 0.5a). Na ta nacin jenapetost, ki zene elektricni tok skozi upor, enaka napetosti med prikljucoma voltmetra.Ko merimo elektricni tok skozi upor, vezemo ampermeter zaporedno za ali pred uporom(sl. 0.5b). V tem primeru tece ves tok, ki tece skozi upor, tudi skozi ampermeter.

V

A

a b

Slika 0.5: Vezava voltmetra (a) in ampermetra (b) pri merjenju napetosti na uporu in tokaskozi upor.

Problem, ki nastane pri merjenju, je v tem, da se vezje spremeni pri vezavi voltmetraali ampermetra. Ko merimo z voltmetrom, gre del toka skozi voltmeter, ko merimo zampermetrom, pa se tok nekoliko zmanjsa zaradi upornosti ampermetra. Zato pri merjenjuizmerimo napetost ali tok za spremenjeno vezje. Da bi im manj spremenili lastnosti vezja,imajo ampermetri majhno upornost. Ce bi vezali ampermeter vzporedno z uporom, bistekel skozi ampermeter zaradi majhne upornosti velik tok, ki bi ga poskodoval.

V

A Slika 0.6: Merjenje upornosti.

Upornost lahko merimo posredno, tako da hkrati izmerimo tok, ki tece skozi upor,in napetost na uporu, kot prikazuje slika 0.6. Nato upornost izracunamo po Ohmovemzakonu.

12

1 Preucevanje predeljenih sistemov s sledilnimi

metodami

Seznanili se bomo s principom sledilnih metod, s pojmoma predelek in hitrostna konstantater z merjenjem koncentracije snovi s fotometrom.

Sistem, ki ga lahko obravnavamo kot sestavljenega iz posameznih delov, imenujemopredeljen sistem. Znacilen primer predeljenih sistemov so zivi organizmi, katerih posame-zni sestavni deli so prostorsko loceni z membranami. Posamezni sestavni del imenujemopredelek. To je lahko na primer notranjost celice, nek organ, vsa kri v telesu... Kaj vza-memo za predelek, je odvisno od procesa, ki ga preucujemo, in od natancnosti, s katerosistem obravnavamo. Posamezen predelek obravnavamo, kot da je v termodinamskemravnovesju, kar pomeni, da je v predelku snov enakomerno porazdeljena, da so tempera-tura, tlak, koncentracije raztopljenih snovi... po celem predelku enake. Kadar so nekaterevrednosti termodinamskih kolicin v razlicnih predelkih razlicne, sistem kot celota ni vtermodinamskem ravnovesju in v splosnem snov prehaja iz predelka v predelek.

Merilo za velikost predelka je lahko njegova prostornina, njegova masa, kolicina nekesnovi v predelku ali kaj podobnega. Obicajno nas zanimata velikost predelka in hitrost,s katero se snov izmenjuje med predelkom in okolico ali med predelki. Izmenjava snovimed predelkom in njegovo okolico lahko poteka tudi v stacionarnem stanju, ko se velikostpredelka s casom ne spreminja.

1.1 Vpliv pritoka snovi in velikosti predelka na spreminjanje nje-gove velikosti

Kot primer poglejmo, kako hitro se izmenjuje voda v telesu in koliko je vse vode v telesu.Voda prihaja v telo s hrano in pijaco, izloca pa se z urinom, potom, izdihanim vlaznimzrakom, solzami... Porazdelitev vode v telesu ni enakomerna, a nas zanima le celotnakolicina vode in njena izmenjava z okolico. Gledamo le daljsa casovna obdobja, zato lahkoprivzamemo, da prihaja voda v telo enakomerno. Kolicino vode, ki jo vnesemo v telo,lahko reguliramo, medtem ko je izlocanje predvsem odvisno od kolicine vode v telesu.

Za kvantitativni opis dogajanja oznacimo celotno maso vode (velikost predelka) s m,hitrost pritekanja pa z φm. Vzemimo tak primer, da je hitrost odtekanja mase (dmod/dt)sorazmerna masi vode v telesu: dmod/dt = km, kjer sorazmernostno konstanto k (z enotos−1) imenujemo hitrostna konstanta za izmenjavo vode z okolico. Sprememba mase vode(dm) je v majhnem casovnem intervalu (dt) podana z razliko med maso snovi, ki v temcasu v telo pritece (φmdt), in maso snovi, ki v tem casu odtece (kmdt):

dm = φmdt− kmdt (1.1)

oziromadm

dt= φm − km . (1.2)

13

Ce se pritekajoci tok s casom ne spreminja (φm = konst.), sistem doseze po dolocenemcasu stacionarno stanje. Ugotovimo namrec, da je masa vode v telesu ravno toliksna, daje iztekajoci masni tok (km) enak pritekajocemu (φm). Potem se masa ne spreminja vec:

dm

dt= 0 (1.3)

in velja (enacba 1.2)

m =1

kφm . (1.4)

To pomeni, da se ob povecanem pitju poveca tudi masa vode v telesu.V stacionarnem stanju je celotna masa vode v telesu sorazmerna pritekajocemu toku

in obratno sorazmerna hitrostni konstanti (enacba 1.4). Zato lahko hitrostno konstanto(k) dolocimo tako, da izmerimo pritekajoci tok in maso v stacionarnem stanju. To je zamodelne sisteme izvedljivo, v nasem primeru pa telo sicer lahko stehtamo ali pa dolocimonjegov volumen, vendar nam to ne pokaze, koliko je v telesu vode.

Drug nacin za dolocanje hitrostne konstante bi bil, da bi prekinili vnos vode (φm = 0)in opazovali zmanjsevanje mase s casom zaradi iztekanja. Po enacbi (1.2) velja za ta primer

dm

dt= −km , (1.5)

kar vodi do eksponentnega∗ zmanjsevanja mase vode

m(t) = m0e−kt , (1.6)

kjer je m0 masa v casu t = 0. S poznavanjem odvisnosti mase od casa bi lahko dolocilihitrostno konstanto, vendar je za cloveka to neprimerna metoda, ker ne moremo za daljcasa prekiniti vnosa vode brez posledic, pa se zaradi fizioloske regulacije bi se spremenilahitrost izlocanja. Zato pri proucevanju predeljenih sistemov pogosto uporabljamo sledilnemetode.

1.2 Dolocanje velikosti predelka in hitrostne konstante s sledilom

Sledilo (anglesko: tracer), ki ga dodamo v predelek, mora imeti neko opazno lastnost, ki jolahko merimo, hkrati pa se mora dobro mesati s snovjo, ki jo zelimo proucevati, in hkratiz njo prehajati iz predelka v predelek. V medicini se za sledilo velikokrat uporabljajokratkozivi radioaktivni izotopi. Merljiva kolicina je v tem primeru radioaktivnost†.

Poglejmo, kaj se zgodi v trenutku, ko sledilo vnesemo v predelek, ce se snov ne izmenjujeali pa se zelo pocasi izmenjuje z okolico. Merilo za velikost predelka naj bo prostorninavode, ki jo lahko dolocimo z radioaktivnim sledilom. V predelek prostornine V dodamomajhno kolicino sledila s prostornino V0 in s specificno aktivnostjo (aktivnost na enoto

∗Eksponentne funkcije so razlozene v poglavju 10.1.†Za dolocanje kolicine vode v telesu se bi lahko uporabljala voda, ki ima namesto vodika vezan njegov

radioaktivni izotop tritij.

14

prostornine) a0. Dodano sledilo se enakomerno porazdeli po predelku, katerega prostorninaje sedaj V + V0, zato je specificna aktivnost v predelku manjsa (a1). Celotna aktivnost seseveda ne spremeni, zato velja:

a0V0 = a1(V + V0) . (1.7)

Odtod lahko zapisemo izraz za izracun prostornine predelka

V = V0

(

a0

a1− 1

)

. (1.8)

Obicajno je pri takih meritvah prostornina sledila mnogo manjsa od prostornine predelka(V0 ≪ V ), tako da priblizno velja

V = V0a0

a1

. (1.9)

Z uporabo sledila lahko tudi izmerimo hitrostno konstanto. Poglejmo si primer predelka,ki je v stacionarnem stanju in izmenjuje snov z okolico. Opazljiva lastnost naj bo specificnaaktivnost. V pritekajoci snovi naj ne bo sledila, tako da sledilo le izteka skupaj z iztekajocosnovjo in se njegova koncentracija s casom zmanjsuje. Hitrostno konstanto k, ki je enakaza sledilo kot za snov, lahko izmerimo tako, da dodamo predelku ob casu t = 0 sledilo sspecificno aktivnostjo a0 in merimo casovno odvisnost specificne aktivnosti predelka (a1).Sledilo se zaradi izmenjave snovi z okolico porazdeljuje po prostoru izven predelka. Cepredpostavimo, da je prostornina izven predelka veliko vecja od prostornine predelka, jespecificna aktivnost snovi izven predelka zelo majhna in zato se sledilo, ki iz predelkaizhaja, ne vraca vec vanj. Ker v predelek ne pride nic sledila, je sprememba aktivnostisledila na casovno enoto (d(a1V )/dt) sorazmerna s samo aktivnostjo (a1V )

d(a1V )

dt= −ka1V . (1.10)

Ker je predelek v stacionarnem stanju (V = konst.), lahko prostornino v enacbi (1.10)krajsamo in dobimo

da1

dt= −ka1 , (1.11)

za spreminjanje specificne aktivnosti s casom pa

a1(t) = a1(0)e−kt, (1.12)

pri cemer je a1(0) specificna aktivnost v predelku ob casu t = 0. Specificna aktivnost vpredelku pade na polovicno vrednost v casu t1/2:

t1/2 =ln 2

k=

0,693

k. (1.13)

Z merjenjem casovne odvisnosti specificne aktivnosti (a1(t)) lahko dolocimo tudi pro-stornino predelka (V ). Ce poznamo prostornino in specificno aktivnost sledila (V0 in a0),

15

ki smo ga vnesli v predelek, in ce z ekstrapolacijo dolocimo zacetno specificno aktivnost(a1(0)), ki jo je predelek imel, ko ni se nic sledila odteklo v okolico, lahko po enacbi (1.9)izracunamo prostornino predelka.

Casovno odvisnost specificne aktivnosti pri cloveku dobimo z merjenjem aktivnostiizlocenega urina. Pri merjenju z radioaktivnimi sledili moramo upostevati tudi, da secelotna aktivnost zmanjsuje zaradi radioaktivnega razpada. Razpadni casi za posamezneizotope so znani, aktivnost zaradi radioaktivnega razpada pa pada eksponentno, tako datega popravka ni tezko upostevati.

1.3 Simulacija sledilnih metod s hidrodinamskim modelom

Za razumevanje dogajanj v naravnih sistemih si velikokrat pomagamo z opazovanjem inmerjenji na modelnih sistemih. Modelni sistem je lahko vsak sistem, za katerega veljajoenake zakonitosti kot za sistem, ki nas zanima.

Sledilno meritev predeljenih sistemov lahko simuliramo s hidrodinamskim modelom.Pretakanje snovi ponazorimo s pretakanjem vode, vlogo sledila pa igra barvilo. Koncen-tracija barvila ustreza specificni aktivnosti, kolicina barvila pa celotni aktivnosti.

Hidrodinamski model za sisteme z enim predelkom je posoda, v katero priteka cistavoda, iz nje pa odteka, kar je v posodi. Ce v vodo dodamo barvilo in zacnemo meriti cas,se koncentracija barvila v posodi manjsa eksponentno s casom (enacba 1.12). Koncentracijeposameznih vzorcev bomo dolocali primerjalno, glede na to koliko svetlobe se v tekociniabsorbira.

1.4 Absorpcijski zakon

Kolorimetrija je analitski postopek, s katerim dolocamo koncentracije obarvanih raztopin.Pri prehodu skozi obarvano raztopino ali neko drugo ne popolnoma prozorno snov se

zarek oslabi, ker se del svetlobe absorbira v snovi. Oslabitev vpadlega zarka (dI) je za tankeplasti sorazmerna debelini te plasti (dx) in jakosti vpadle svetlobe (I). Sorazmernostnikoeficient imenujemo absorpcijski koeficient (µ). Absorpcijski koeficient dolocene raztopineje odvisen od valovne dolzine svetlobe (λ) in koncentracije topljenca (c): µ = µ(λ, c). Ceenacbo, ki podaja oslabitev vpadajocega zarka dI,

dI = −µ(λ, c)Idx , (1.14)

integriramo, dobimo absorpcijski zakon∗

I = I0e−µ(λ,c)x , (1.15)

kjer je x debelina plasti, skozi katero je sel svetlobni zarek, I0 in I pa sta jakosti vpadnegain izstopnega zarka. Za majhne koncentracije barvila v prozornem topilu je absorpcijski

∗Absorpcijski zakon velja tudi za absorpcijo zarkov γ (enacba (13.14) na strani 131).

16

koeficient za svetlobo dane valovne dolzine kar sorazmeren koncentraciji barvila: µ =k′(λ)c, zato velja

I = I0e−k′(λ)cx , (1.16)

kjer je k′(λ) sorazmernostna konstanta. Za razlicne valovne dolzine je absorbcijski koefici-ent lahko razlicen, a se vedno sorazmeren s koncentracijo. Kar pomeni, da pri osvetljevanjuz belo svetlobo izhodni zarek ni vec bel, a je njegova jakost se vedno odvisna od koncentra-cije. Vidimo, da je oslabitev zarka eksponentno odvisna od dolzine, ki jo zarek prepotujepo snovi, in od koncentraciei raztopine.

1.5 Fotometer

Za dolocanje neznane koncentracije obarvane raztopine bomo uporabljali preprosto napravoza merjenje svetlobnega toka, fotometer. Sestavljata ga izvor svetlobe (svetlobna dioda) inpolprevodniski detektor svetlobe (ki je enak kot pri vaji st. 7). Napetost na detektorju jepremosorazmerna svetlobnemu toku. Fotometer je shematsko prikazan na sliki 1.1. Medizvor svetlobe in detektor se vlozi kiveta z vzorcem. Cim bolj vzorec absorbira svetlobo,manjsi svetlobni tok pride na detektor in manjso napetost izmerimo. Vplivu samega topilain kivete na svetlobni tok pri dolocanju koncentracije topila se izognemo tako, da naredimoreferencno meritev s kiveto napolnjeno s topilom, v nasem primeru vodo. Referencnanapetost je sorazmerna svetlobnemu toku (IR), ki pride na detektor skozi kiveto s topilom(vodo):

UR = bIR = bI0e−µT x−µ , (1.17)

kjer so: b sorazmernostna konstanta, µT je absorbnost topila, z µ pa je oznacen vpliv kivete.Pri merjenju vzorca se svetloba dodatno absorbira zaradi topljenca, tako je izmerjenanapetost:

U = bI = bI0e−µT x−µ−k′(λ)cx . (1.18)

Ce napetost dobljeno pri meritvi vzorca delimo z referencno napetostjo:

U

UR=

bI0e−µT x−µ−k′(λ)cx

bI0e−µT x−µK= e−k′(λ)cx , (1.19)

vidimo, da tako sorazmernostni faktor med napetostjo in svetlobnim tokom (b), kot tudivpliv kivete in topila odpadeta (se pokrajsata) in je razmerje napetosti odvisno le odabsorbcije zaradi topljenca. Ce poznamo vrednost produkta (k′(λ)x), lahko koncentracijotopila izracunamo:

c = − 1

k′(λ)xln(

U

UR

) , (1.20)

Ker sta x (dolzina kivete) in vrsta topljenca pri vseh meritvah enaka, je produkt k′(λ)xkonstanten in ga lahko dolocimo iz umeritve.

Naloge: 1. Dolocite produkt k′(λ)x

2. Dolocite velikost predelka v primeru, ko se snov ne izmenjuje z okolico.

17

Slika 1.1: Skica sestavnih delov fotometra.

3. Dolocite velikost predelka in hitrostno konstanto v primeru izmenjave snoviz okolico.

Potrebscine: sistem posod za pretakanje vode

magnetno mesalo

epruvete za vzorce in stojalo

merilna pipeta

standardne raztopine

raztopine sledila razlicnih koncentracij

stoparica

fotometer

voltmeter

dve casi

Izvedba

1) Priklopite fotometer na napetost in povezite voltmeter s kontakti na prednji stranifotometra. Voltmeter nastavite na merjenje enosmerne napetosti, na obmocje 20 V.S stikalom prizigate in ugasate izvor svetlobe v fotometru. Med meritvami svetila

18

ni potrebno ugasati. Kiveto napolnite malo cez polovico in jo vstavite v odprtino,tako, da je oznaka na kiveti (trikotnik) v smeri oznake na fotometru. Kiveta morabiti z zunanje strani suha, morebitni kondenz ali kapljice obrisite. Pokrijte kivetos pokrovckom, da preprecite, da bi svetloba iz okolice motila meritev, in odcitajtenapetost. Vcasih je potrebno pocakati nekaj sekund, da se napetost ustali. Dapomotoma ne pride do mesanja razlicnih raztopin, jih ne vlivajte nazaj v stekleniceampak jih po uporabi zavrzite.

2) Naloga 1: Umeritev fotometra oziroma dolocitev produkta k′(λ)x. S fotometromizmerite referencno napetost za referencni vzorec (vodo) in napetosti za 4 vzorce zznanimi koncentracijami. Koncentracije raztopin so oznacene na steklenickah. Vre-dnosti vnesite v graf, ki prikazuje odvisnost ln( U

U0) od koncentracije c. Ne pozabite

vnesti tudi vrednosti za koncentracijo c = 0, saj ste jo tudi izmerili. Na grafu narisitese premico, ki se najbolje prilega meritvam (glej razdelek 0.6). Naklonski koeficientpremice je negativna vrednost iskanega produkta k′(λ)x (glejte en. 1.20).

3) Naloga 2: Dolocitev velikosti predelka v primeru, ko se snov ne izmenjuje zokolico. V posodo z neznano prostornino vode (V ) vlijte 10 ml sledila (V0) z znanokoncentracijo (c0 = 0,5%). V posodo vstavite magnet, vklopite magnetno mesaloin pocakajte, da se tekocini dobro zmesata. Nato vzemite vzorec in s fotometromdolocite koncentracijo mesanice (c1). Koncentracijo dolocite iz umeritvene krivuljein izracunajte iz produkta k′(λ)x (en.1.20). Izracunajte V po enacbi za izracunprostornine predelka (en. 1.9).

zgornja posoda

magnet

spodnja posoda

magnetno mesalo

Slika 1.2: Shema postavitve potrebscin, ko se snov izmenjuje z okolico.

4) Naloga 3: Dolocitev velikosti predelka in hitrostne konstante v primeru,ko se snov izmenjuje z okolico. Sistem pretocnih posod je ze prikljucen na

19

vodovodno pipo (slika 1.2). Pipo toliko odprite, da le malo vode iz zgornje posodeodteka skozi cev neposredno v korito. V spodnjo posodo vstavite magnet in vklopitemagnetno mesalo. Iztok iz zgornje posode napeljite v spodnjo in pocakajte, da sevisina vode v spodnji posodi ustali. Zdaj sta dotok in odtok vode izravnana. Sstoparico izmerite cas, v katerem natece iz spodnje posode v merilno caso 200 mlvode. Meritev ponovite petkrat in za izracun prostorninskega pretoka (φV) vzemitepovprecno vrednost. Med meritvijo ne spreminjajte visin cevk, ki vodijo v in izspodnje posode in ne prekinjajte pritoka.

Ko v posodo vlijete 5 ml sledila (V0) – raztopine s koncentracijo barvila c0 = 5%,zacnite takoj meriti cas. Po eni minuti prestrezite prvi vzorec v epruveto, natose vsako minuto enega, da naberete 10 vzorcev. Zaprite dotok vode. Prostorninevzetih vzorcev naj ne bodo prevelike, ker se koncentracija s casom spreminja. Sfotometrom in dolocite koncentracijo barvila v vsakem vzorcu na enako kot ste tonaredli pri prejsni nalogi, le da koncentracije dolociti le na en nacin (ali preracunavateali odcitavate iz grafa).

Narisite diagrama odvisnosti koncentracije od casa in odvisnosti naravnega logaritmakoncentracije od casa. Na teh diagramih narisite se krivulji, ki se najbolje prilegameritvam (glej razdelek 0.6). Iz naklonskega koeficienta premice, ki doloca odvisnostinaravnega logaritma koncentracije od casa, dolocite hitrostno konstanto∗. Ce jepotrebno, podaljsate premico in pri casu t = 0 iz logaritma koncentracije izracunajtezacetno koncentracijo.† Iz te koncentracije in ustrezne koncentracije uporabljenegasledila izracunajte prostornino predelka (V ). Iz prostornine predelka in izmerjenegapretoka (φV) se na drug nacin dolocite hitrostno konstanto (k) (glej enacbo 1.4).

Primerjajte vrednosti hitrostne konstante, ki ju dobimo iz obeh nacinov.

∗Iz teoreticne odvisnosti naravnega logaritma koncentracije od casa (ln c1 = ln c1(0) − kt, prim. z en.1.12), razberemo, da je naklonski koeficient premice negativna vrednost hitrostne konstante.

†Dolocanje vrednosti izven obmocja meritev se imenuje ekstrapolacija.

20

2 Povrsinska napetost

Pri tej vaji se bomo seznanili s povrsinsko napetostjo kapljevin ter z njo povezanim kapi-larnim dvigom.

Povrsinska napetost je pojav, ki je znacilen za kapljevine. V nasprotju s plini so medmolekulami kapljevin privlacne sile dovolj mocne, da se kapljevine ne razsirijo po vsemprostoru, ki jim je na voljo, ampak se drzijo skupaj in imajo gladino ter delajo kapljice.Tako je za molekule kapljevine tudi energijsko bolj ugodno, da so v kapljevini in ne nanjeni povrsini. Pri povecanju povrsine kapljevine je potrebno spraviti na povrsino novemolekule in za to opraviti delo. To delo je sorazmerno stevilu molekul, ki smo jih dodatnospravili na povrsino, in je zato sorazmerno povecanju povrsine. Sorazmernostni koeficientmed delom (A) in povecanjem povrsine (∆S) imenujemo povrsinska napetost (σ),

A = σ∆S . (2.1)

Enota za povrsinsko napetost je J/m2 oziroma N/m. Povrsinska napetost je lastnost stikamed dvema snovema in je odvisna od obeh snovi v stiku.

Za povecanje povrsine je potrebno kapljevini delo dovesti, ce pa se povrsina manjsa,kapljevina delo oddaja nazaj. Zato lahko vpeljemo povrsinsko energijo kapljevine (Ws),katere sprememba je enaka prejetemu delu, ∆Ws = A. Povrsinsko energijo lahko takozapisemo kot

Ws = σS . (2.2)

Povrsinska napetost torej podaja povrsinsko energijo na enoto povrsine.Zaradi povrsinske napetosti deluje na rob povrsine kapljevine sila. Predstavljamo si

pravokotno povrsino (slika 2.1). Za povecanje te povrsine v eni smeri je potrebno delovatiz zunanjo silo, ki premaguje silo zaradi povrsinske napetosti. Ko se povrsina poveca zadS = l dx, opravi sila F delo Fdx, ki je enako spremembi povrsinske energije dWs

Fdx = dWs = σdS = σ l dx . (2.3)

Sila zaradi povrsinske napetosti je torej enaka produktu povrsinske napetosti in dolzineroba, na katerem deluje

F = σl . (2.4)

Povrsinska napetost tako podaja silo zaradi povrsinske napetosti na enoto dolzine robakapljevine (σ = F/l). Sila zaradi povrsinske napetosti hoce povrsino zmanjsati. Kaze vsmeri tangente na povrsino in je pravokotna na rob l.

Povrsinska napetost med plinom in kapljevino je vedno pozitivna, zato bo povrsinskaenergija kapljevine v plinu tem manjsa, cim manjsa bo njena povrsina. Ce ni zunanjih sil,ima kapljica v plinu zato obliko krogle, saj ima krogla med vsemi telesi pri danem volumnunajmanjso povrsino.

21

Slika 2.1: Sila F je nasprotno enaka sili zaradi povrsinske napetosti. Sila povrsinske nape-tosti hoce povrsino zmanjsati.

2.1 Mocenje

Ce na gladki povrsini trdne snovi lezi kapljica kapljevine, imamo tri razlicne mejne povrsine(slika 2.2). Ko kapljica miruje, oklepa tangenta na gladino kapljice ob stiku s trdno snovjokot mocenja (θ). Ta kot je odvisen od povrsinskih napetosti med plinom in kapljevino(σpk), med kapljevino in trdno snovjo (σkt) ter med trdno snovjo in plinom (σtp)

∗. Namejni crti prijemajo tri sile, katerih vsaka ima smer tangente na ustrezno povrsino. Mejnacrta miruje, zato mora biti vsota vseh sil enaka nic. To zahtevo zapisemo za vodoravnosmer, ki je vzporedna povrsini trdne snovi:

−σtp + σkt + σpk cos θ = 0 . (2.5)

Pri tem smo iz enacbe ze pokrajsali dolzino roba stikov snovi l, saj je le-ta pri vseh trehstikih ista. Iz zgornje enacbe sledi

cos θ =σtp − σkt

σpk. (2.6)

Kadar je trdna snov raje v stiku s kapljevino kot s plinom, je σtp > σkt (cim raje stadve snovi skupaj, tem manjsa je njuna povrsinska energija oziroma povrsinska napetost!).Ker je σpk vedno pozitivna, je v tem primeru cos θ > 0, oziroma θ < 90. Pravimo, dakapljevina moci povrsino trdne snovi. V nasprotnem primeru, kadar je trdna snov raje vstiku s plinom kot s kapljevino, oziroma θ > 90, pa kapljevina trdne snovi ne moci.

2.2 Kapilarni dvig

Ce v posodo s kapljevino potopimo kapilaro, se bo v primeru, da kapljevina moci steklo(θ < 90), gladina kapljevine v kapilari dvignila nad gladino v posodi (slika 2.3). Do dviga

∗Povrsinska napetost med trdno snovjo in plinom je manj intuitivna in manj opazna, saj so notranjesile v trdni snovi mnogo vecje od sile povrsinske napetosti. Kljub temu pa velja, da ima mejna povrsinamed trdno snovjo in plinom svojo povrsinsko energijo in torej po enacbi (2.2) tudi povrsinsko napetost.

22

spk

spk

qq

trdna snov

plin

kapljevina

st pskt st p skt

Slika 2.2: Kapljevina na levi podlago moci, kapljevina na desni pa podlage ne moci.

pride, ker je steklo raje v stiku s kapljevino kot z zrakom in jo potegne navzgor. Ta pojavimenujemo kapilarni dvig. V nasprotnem primeru, ce kapljevina stekla ne moci, se bogladina v kapilari spustila pod nivo gladine v posodi.

Slika 2.3: Kapilarni dvig.

Visine kapilarnega dviga ni tezko izracunati. V ravnovesju bo vsota povrsinske energije(Ws) in teznostne energije kapljevine v kapilari (WT ) minimalna (Ws + WT = min). Obeenergiji sta odvisni od visine stolpca v kapilari (h), zato lahko ravnovesno visino stolpcakapljevine v kapilari poiscemo tako, da pogledamo, kje je odvod celotne energije po visinistolpca enak nic.

d(Ws + WT )

dh= 0 (2.7)

Ce ima kapilara radij r, se ob dvigu stolpca sticna povrsina med kapljevino in steklomkapilare poveca za 2πrh. Ravno za toliko je zmanjsana skupna sticna povrsina med zrakomin steklom kapilare. Povrsinsko energijo stolpca kapljevine v kapilari lahko tako zapisemo

23

kotWs = σkt2πrh− σtp2πrh = (σkt − σtp)2πrh . (2.8)

Ob upostevanju enacbe (2.6) dobimo

Ws = − cos θ σpk 2πrh , (2.9)

pri cemer je σpk povrsinska napetost med kapljevino in zrakom, ki jo obicajno oznacimokar s σ in imenujemo povrsinska napetost kapljevine.

Teznostno energijo stolpca v kapilari dobimo, ko upostevamo, da je masa kapljevine vkapilari ρπr2h in da je tezisce kapljevine v kapilari na polovicni visini stolpca (teznostnaenergija nekega telesa je odvisna od visine njegovega tezisca!). Pri tem je ρ gostota kaplje-vine. Teznostna energija kapljevine v kapilari je tako

WT = ρπr2h g1

2h =

1

2ρgπr2h2 . (2.10)

Ko izraza za povrsinsko in teznostno energijo sestejemo, odvajamo po h in vstavimo venacbo (2.7), dobimo zvezo med povrsinsko napetostjo, radijem kapilare in visino kapilar-nega dviga v ravnovesju:

−2πrσ cos θ + ρghπr2 = 0 . (2.11)

Iz te enacbe izrazimo povrsinsko napetost:

σ =ρghr

2 cos θ. (2.12)

Ce kapilaro pomocimo v kapljevino, ki ima θ > 90, in ki torej stene ne moci, lahkoiz zgornje enacbe ugotovimo, da se kapljevina v kapilari spusti pod gladino kapljevine vposodi (h <0).

Naloge: 1. S torzijsko tehtnico izmerite povrsinsko napetost vode.

2. Povrsinsko napetost vode izmerite se s pomocjo kapilarnega dviga.

Potrebscine: torzijska tehtnica

steklena kapilara

destilirana voda

ravnilo

24

Slika 2.4: Shematski prikaz vlecenja zanke iz vode. Zaradi povrsinske napetosti se vodadviguje skupaj z zanko in ima njena gladina ob zanki obliko kraterja. Levo zgoraj: povecanprerez zanke z oznacenimi silami, ki delujejo nanjo. Sila Fv, s katero vlecemo zanko, jenavpicna. Sila zaradi povrsinske napetosti Fσ je vzporedna tangenti na povrsino vode vtocki, kjer se voda in zanka dotikata.

Izvedba

1) Na sprednji strani torzijske tehtnice je okrogel gumb za uravnavanje sile, s katerotehtnica deluje na zanko. Na zacetku silo nastavite na nic. Z vodo napolnjeno posododvigujte, dokler se zanka ne dotakne vodne gladine. Nato z vrtenjem okroglegagumba povecujte silo, s katero vlecete zanko iz vode. Opazujte, kaj se dogaja z vodoob zanki (slika 2.4). Zanko vlecemo zelo pocasi, zato v vsakem trenutku velja, da jerezultanta sil povrsinske napetosti nasprotno enaka sili vlecenja zanke. Z dvigovanjemzanke postaja smer sile povrsinske napetosti vedno bolj navpicna (spomnimo se, daje smer sile povrsinske napetosti vzporedna tangenti na povrsino in pravokotna nasticni rob). Ko postane sila povrsinske napetosti navpicna in silo vlecenja se malopovecamo, porusimo ravnovesje sil in zanka se odtrga od gladine. V tistem trenutkuvelja enacba

σ =F

2l, (2.13)

kjer je l obseg zanke. Dvojni obseg zanke smo vzeli, ker imamo v nasem primeru dvesticni povrsini med zanko in vodo – eno na notranji in drugo na zunanji strani zanke.

25

S torzijsko tehtnico dolocite silo (F ), pri kateri se zanka odtrga od gladine. Meri-tev ponovite petkrat in izracunajte povprecno vrednost sile. Povrsinsko napetostizracunajte po enacbi (2.13). Ocenite natancnost meritve.

2) Stekleno kapilaro najprej napolnite z vodo ter jo nato spet izpraznite (iz kapilarelahko vodo popivnate s papirjem). Izpraznjeno kapilaro pomocite navpicno v vodoin z ravnilom izmerite visino kapilarnega dviga. Pri meritvi upostevajte dno meni-skusa. Po meritvi kapilaro izpraznite in meritev ponovite. Naredite vsaj tri meritve.Dolocite srednjo vrednost visine kapilarnega dviga in iz enacbe (2.12) izracunajtepovrsinsko napetost. Polmer kapilare je naveden pri vaji. Mejni kot med vodo insteklom je zanemarljivo majhen (θ ≈ 0). Ocenite natancnost meritve.

3) Primerjajte dobljeni vrednosti povrsinske napetosti vode.

26

3 Notranje trenje tekocin

Pri tej vaji se seznanimo z nekaterimi pojavi v tekocinah, na katere vpliva njihova visko-znost.

Iz vsakdanjega zivljenja vemo, da nekatere tekocine tecejo “lazje” kot druge - tako npr.med tece tezje kot olje, ta pa tezje kot voda. Lastnost tekocine, ki doloca, kako “lahko” oz.“tezko” tece tekocina, je viskoznost. Bolj kot je tekocina viskozna, tezje tece. V splosnemje opis toka tekocine zapleten, zato tudi stroga fizikalna definicija viskoznosti ni preprosta.V mislih razdelimo tekocino na plasti (slika 3.1). Ce tekocina tece tako, da se plasti urejenogibljejo druga ob drugi, takemu toku pravimo laminarni tok (v nasprotju s turbulentnimtokom, v katerem se ustvarjajo vrtinci).

Slika 3.1: Prerez toka tekocine.V prikazanem primeru tekocinorazdelimo na posamezne plasti,ki se vse gibljejo v smeri osi x,velikost hitrosti pa se od plastido plasti spreminja v smeri osiy.

Gibanje tekocine opisemo, ce podamo velikost in smer hitrosti za vsako plast tekocine.Hitrost vcasih ponazorimo s tokovnicami. Tokovnica je crta, ki je tangentna na vektorhitrosti vzdolz plasti. Ce se hitrost ne spreminja s casom, pravimo, da je tok stacionaren.

V primeru, ko so velikosti hitrosti sosednjih plasti razlicne, zaradi trenja pocasnejseplasti zadrzujejo hitrejse, te pa vlecejo pocasnejse. Pravimo, da delujejo med plastmistrizne sile. S poskusi so ugotovili, da je velikost strizne sile sorazmerna povrsini sticneploskve med plastmi S in kolicini dv/dy, ki opisuje, kako se spreminja hitrost od plasti doplasti pravokotno na tokovnice,

F = ηSdv

dy. (3.1)

Sorazmernostnemu koeficientu η pravimo viskoznost tekocine. Enota viskoznosti je kg m−1s−1

oziroma Pa·s. Se opozorilo: pojma viskoznost ne smemo zamenjevati s pojmom go-stota, saj slednji pove le maso dolocenega volumna tekocine in nima neposredne povezavez gibanjem tekocine.

27

Tabela 3.1: Priblizne viskoznosti nekaterih tekocin pri sobni temperaturi.

tekocina zrak voda kri oljcno olje medη [10−3 Pa·s] 0,02 1 4 100 20000

3.1 Sedimentacija

Ena od osnovnih krvnih preiskav je test sedimentacije eritrocitov. Pri njem merijo, kakohitro se v mm/h posedajo eritrociti v krvni plazmi. Hitrost sedimentcije je pri mnogihbolezenskih stanjih povecana, zato lahko s testom sedimentacije nespecificno ugotavljamoprisotnost bolezni. Za lazje razumevanje sedimentacije, si oglejmo, kaj se dogaja s kroglico,ki pada v viskozni tekocini (slika 3.2). Ko kroglico spustimo v tekocino, nanjo delujetasila teze Fg navzdol in sila vzgona Fv navzgor. Ce je kroglica gostejsa od tekocine, kazerezultanta sil na kroglico navzdol in kroglica pada pospeseno. Nanjo tako zacne delovatitudi sila upora Fu, ki nasprotuje gibanju in torej deluje navzgor. Ce je hitrost kroglice dovoljmajhna, da se v tekocini ne tvorijo vrtinci, je relativno gibanje tekocine glede na kroglicolaminarno. V takem primeru velja linearni zakon, po katerem je sila upora sorazmernahitrosti gibanja. Za kroglico se linearni zakon upora zapise v obliki Stokesove enacbe:

Fu = 6πrηv , (3.2)

kjer je r polmer kroglice, η viskoznost tekocine in v velikost hitrosti kroglice.

Slika 3.2: Shematski prikaz padanja kroglicev viskozni tekocini. Tekocina je v meril-nem valju, na katerem sta oznaki, med kate-rima izmerimo cas padanja kroglice. Kroglicamed oznakama pada z enakomerno hitrostjov. Ravnovesje sil dolocajo sila teze Fg, silavzgona Fv ter sila upora Fu.

Sili teze in vzgona se ne spreminjata, sila upora pa narasca z narascanjem hitrostigibanja kroglice, zato se rezultanta sil na kroglico manjsa. Pri doloceni hitrosti padanjakroglice bo tako rezultanta sil enaka nic in hitrost se kroglici ne bo vec spreminjala. Po

28

zacetku gibanja se kroglici torej hitrost nekaj casa povecuje vse dokler ne doseze koncnehitrosti padanja. Ravnovesje sil pri enakomernem gibanju kroglice izrazimo z enacbo

Fg − Fv − Fu = 0 . (3.3)

Upostevamo, da je teza kroglice

Fg = mg = ρk4πr3

3g , (3.4)

kjer je ρk gostota kroglice in g tezni pospesek, in da je vzgon

Fv = ρ0 ·4πr3

3g , (3.5)

kjer je ρ0 gostota tekocine.Koncno hitrost, ki jo pri padanju doseze kroglica, lahko tako izrazimo iz enacbe za

ravnovesje sil (3.3), pri cemer vanjo vstavimo izraze za sile (3.2), (3.4) ter (3.5):

v =2g(ρk − ρ0)r

2

9η. (3.6)

Po pricakovanju je koncna hitrost obratno sorazmerna viskoznosti (vecja kot je visko-znost, vecje bo trenje), zanimivo pa je, da je koncna hitrost sorazmerna kvadratu polmerakroglice! Ravno ta pojav se uporablja pri testu sedimentacije eritrocitov v krvni plazmi.Pri nekaterih bolezenskih stanjih se eritrociti namrec sprijemajo v skupke. Gostota takegaskupka je seveda enaka gostoti posameznih eritrocitov, efektivni polmer skupka pa je vecjikot efektivni polmer posameznega eritrocita. Skupki eritrocitov zato tonejo hitreje kotprosti eritrociti, kar se pozna kot povecana sedimentacija.

V razmislek: kako pa je hitrost padanja kroglice odvisna od njenega radija, ce kroglicapada z veliko hitrostjo in v tekocini za njo nastajajo vrtinci? V takem primeru ne velja veclinearni zakon upora (enacba 3.2) pac pa kvadratni zakon upora, po katerem je sila uporaFu = 1

2Cρ0v

2πr2.

Naloge: 1. Izmerite hitrost padanja kroglic razlicnih velikosti v tekocini.

2. Preverite odvisnost hitrosti padanja od polmera kroglice.

3. Dolocite viskoznost tekocine, v kateri padajo kroglice.

Potrebscine: kljunasto merilo

z viskozno tekocino napolnjen valj

steklene kroglice razlicnih polmerov

pinceta

stoparica

29

Izvedba

1) V merilnem valju je tekocina z veliko viskoznostjo, zraven pa so kroglice razlicnihvelikosti. S pinceto vzemite po eno kroglico vsake velikosti in ji s kljunastim merilomizmerite premer 2r. Premer manjsih kroglic je najlazje izmeriti, ce jih polozite naprilozen pladenj.

Vsako kroglico posebej spustite v tekocino in izmerite cas ∆t, v katerem pade kro-glica od zgornje do spodnje oznake na merilnem valju. Izmerite tudi razdaljo medoznakama (∆h). Opozorilo: kroglico spustite tako, da bo potovala cim bolj po sredinimerilnega valja. Ce kroglica zaradi povrsinske napetosti ostane na gladini tekocine inne potone, jo potopite s prilozeno palicico. Ko dolocate trenutek, v katerem kroglicapade mimo oznake na merilnem valju, glejte na kroglico v vodoravni smeri, saj lahkov nasprotnem primeru zaradi paralakse pride do napake pri meritvi.

Kroglica pada v zacetku pospeseno, potem pa se vzpostavi ravnovesje sil, tako damed oznakama pada enakomerno. Izracunajte hitrost padanja kroglice

v =∆h

∆t. (3.7)

2) Narisite diagram hitrosti padanja v odvisnosti od kvadrata radija kroglice. Ce jehitrost padanja res odvisna od kvadrata radija, kot to napoveduje enacba (3.6), lezijotocke na diagramu na premici.

3) Ob navodilih za vajo sta podani gostoti tekocine ρ0 in kroglic ρk. Izmerite naklonskikoeficient premice k ter iz njega izracunajte viskoznost tekocine. Pri tem upostevajteenacbo (3.6) iz katere vidimo, da je naklonski koeficient premice enak k = 2g(ρk−ρ0)

9η.

3.2 Dolocanje viskoznosti z merjenjem toka tekocine skozi

Ostwaldov viskozimeter

Ostwaldov viskozimeter je steklena cevka v obliki crke U, ki je sestavljena iz delov zrazlicnimi preseki (slika 3.3). Ce visini gladin tekocine na obeh straneh viskozimetra nistaenaki, tekocina tece proti strani, kjer je gladina nizja. Ker je en odsek viskozimetra zeloozek in ima zato velik viskozni upor (na sliki ima ta odsek dolzino l in polmer r0), je pretoktekocine skozi viskozimeter majhen in izenacevanje poteka pocasi — bolj kot je tekocinav viskozimetru viskozna, pocasneje se izenacujeta gladini. Z merjenjem hitrosti pretokatekocine skozi viskozimeter lahko torej dolocimo njeno viskoznost.

Delovanje viskozimetra si poglejmo se bolj podrobno. Tlak, ki poganja tok tekocineskozi viskozimeter, je po velikosti enak hidrostatskemu tlaku zaradi razlicno visokih gladin,∆p = ρgh, kjer je ρ gostota tekocine, g tezni pospesek, h pa razlika visin gladin (do tegazakljucka pridemo z ugotovitvijo, da bi se tok tekocine skozi viskozimeter ustavil, ce bina nizjo gladino delovali s tlakom ρgh). Ozki odsek viskozimetra ima veliko manjsi radij

30

Slika 3.3: Shematski prikaz Ostwaldovega vi-skozimetra. Kljucen del viskozimetra je zeloozka cevka z dolzino l in polmerom r0.

kot ostali deli, zato lahko viskozno upornost ostalih delov zanemarimo. Po Poiseuille-Hagenovem zakonu bo torej med pretokom skozi viskozimeter (Φv = dV

dt) in tlacno razliko

(∆p = ρgh) veljala zveza

Φv =πr0

4

8ηlρgh , (3.8)

kjer je η viskoznost tekocine, v ulomku 8ηlπr0

4 pa prepoznamo izraz za viskozno upornostozkega odseka viskozimetra. Vidimo, da je velikost pretoka sorazmerna gostoti tekocineρ in obratno sorazmerna njeni viskoznosti η, vsi ostali parametri v enacbi (3.8) pa nisoodvisni od lastnosti tekocine temvec le od geometrije viskozimetra ter volumna tekocine vnjem. Po razmisleku lahko tako pridemo do zakljucka, da je cas t, v katerem se pri danihpogojih pretoci dolocen volumen tekocine V , sorazmeren viskoznosti tekocine in obratnosorazmeren njeni gostoti:

t = kη

ρ, (3.9)

kjer je k konstanta, ki je dolocena z geometrijo viskozimetra ter pretocenim volumnom V(njeno vrednost bi lahko izracunali z integralom k = 8l

πr40g

∫ V

0dVh

).

Ce vrednosti konstante k za Ostwaldov viskozimeter ne poznamo, si lahko pomagamo sprimerjalno meritvijo, pri kateri cas pretoka tekocine z neznano viskoznostjo primerjamo scasom pretoka tekocine z znano viskoznostjo. Ce pri tem pazimo, da v obeh primerih podenakimi pogoji pretocimo enako kolicino volumna, bo tudi vrednost konstante k iz enacbe(3.9) v obeh primerih enaka:

k =tρ

η=

t0ρ0

η0, (3.10)

kjer so t, ρ in η cas pretoka, gostota in viskoznost tekocine z neznano viskoznostjo, t0, ρ0 inη0 pa cas pretoka, gostota in viskoznost tekocine z znano viskoznostjo. Neznano viskoznost

31

lahko tako iz zgornje enacbe izrazimo kot:

η = η0t

t0

ρ

ρ0. (3.11)

Naloga: 1. Dolocite viskoznost alkohola.

Potrebscine: Ostwaldov viskozimeter

prizema za pritrditev viskozimetra

steklenica z vodo, katere viskoznost je podana pri vaji

steklenica z alkoholom z neznano viskoznostjo

pipeta oz. merilni valj

gumijasta zogica za pihanje

stoparica

termometer za dolocanje sobne temperature

Izvedba

1) Viskoznost vode je podana pri vaji. Viskoznost alkohola bomo dolocili s primerjavocasov pretoka alkohola in vode.

Odmerite dolocen volumen tekocine (zahtevana kolicina tekocine je oznacena pri vaji)ter ga vlijte v viskozimeter. Nad ozkim delom cevi je bucka, ki je zgoraj in spodajoznacena. S pomocjo gumijaste zogice crpajte zrak v nizji del viskozimetra, vsedokler se tekocina na drugem delu ne dvigne preko zgornjega znamenja na bucki(natancna navodila za crpanje so na sliki pri vaji). Pri tem pazite, da v viskozimetrune bo zracnih mehurckov! Ko zogico odmaknete, zacne gladina tekocine v buckipadati. Izmerite cas, v katerem se gladina zniza od zgornjega znamenja do spodnjegaznamenja na bucki.

Najprej opravite tri meritve casa pretoka za alkohol t in nato se tri meritve casapretoka za vodo t0. Preden zacnete meriti z vodo, alkohol odlijte nazaj v steklenickoter viskozimeter dobro osusite. Pazite, da v viskozimeter v obeh primerih vlijeteenako kolicino tekocine! Po koncani meritvi z vodo, jo odlijte nazaj v steklenicko.

Gostota vode ρ0 in alkohola ρ ter viskoznost vode η0 so podane pri vaji (pri temupostevajte sobno temperaturo, ki jo odcitate s termometra na steni laboratorija).Viskoznost alkohola izracunajte z uporabo enacbe (3.11).

V razmislek: ali obstaja med gostoto tekocine in njeno viskoznostjo kaksna pove-zava, so na primer gostejse tekocine tudi bolj viskozne? Primerjajte npr. gostote inviskoznosti medu, alkohola in vode.

32

3.3 Dodatek. Uporaba mehanike tekocin pri opisu pretakanjakrvi po zilah

Slika 3.4: Prikaz gibanja rdecih krvnih celic v zili pri veliki hitrosti krvi (a) in pri majhnihitrosti krvi (b). Vidimo, da pri majhni hitrosti krvi pride do nastajanja skupkov rdecihkrvnih celic. V obeh primerih sta oznaceni simetrijski osi eritrocitov.

Krvni obtok je zakljucen sistem, katerega glavna naloga je, da prinasa tkivom hranljivesnovi (kisik, ogljikove hidrate, aminokisline, mascobe, hormone in snovi imunskega odziva)in odnasa odpadne snovi, ki izhajajo iz metabolizma tkiv. Crpalka krvnega obtoka je srce.Srce poganja kri v arterije, ki se razvejijo na manjse arterije, arteriole in v kapilare, kjerpoteka izmenjava snovi med krvjo in tkivi. Kapilare se potem zdruzujejo v venule, majhnevene in vecje vene, ki dovajajo kri proti srcu. Hitrost krvi je najvecja v velikih zilah. Zrazvejanjem arterij se njihov polmer manjsa, njihovo stevilo pa veca, na tak nacin, da seskupni presek veca, hitrost krvi pa manjsa. V aorti je povprecna hitrost krvi priblizno 0,2m/s, v kapilari pa priblizno 0,3 mm/s.

Zavedati se moramo, da je krvni obtok razvejan sistem, da zile nimajo povsod okroglegapreseka, da pride do razvejisc in stikov ter da pride v obtoku do zavojev ali kakih drugihsprememb v geometriji. Kljub temu pa na nekaterih mestih lahko opisemo geometrijo zilz ravno okroglo cevjo s konstantnim presekom.

Kri opisemo kot vodno raztopino nizkomolekularnih organskih in anorganskih snovi inbeljakovin, v kateri plavajo krvne celice in lipoproteini. Rdece krvne celice so dovolj velikein stevilne, da njihova prisotnost pomembno vpliva na mehanske lastnosti normalne krvi.Zaradi prisotnosti rdecih krvnih celic je viskoznost normalne krvi pri dani temperaturiodvisna od gradienta hitrosti gibanja krvi in prostorninskega deleza rdecih krvnih celic.Meritve kazejo, da se pri velikih hitrostih krvi rdece krvne celice gibljejo po sredini zil(slika 3.4a), kjer so strizne sile med celicami in plazmo najmanjse, viskoznost krvi pa skoraj

33

neodvisna od hitrosti krvi. Pri majhnih hitrostih pa so rdece krvne celice bolj enakomernoporazdeljene po preseku zile (slika 3.4b), kar povecuje verjetnost za interakcije med njimi.Tvorijo se skupki rdecih krvnih celic in viskoznost naraste (slika 3.5).

Slika 3.5: Odvisnost viskoznosti od odvoda dvdr

v suspenziji rdecih krvnih celic v plazmipri razlicnih prostorninskih delezih rdecih krvnih celic. Pri eksperimentu uporabljena na-prava ustvari po vsem prostoru konstanten gradient hitrosti dv

dr. Pri majhnih prostornin-

skih delezih se viskoznost ne spreminja z dvdr

, njena vrednost pa je relativno majhna. Znarascanjem prostorninskega deleza rdecih krvnih celic viskoznost postane odvisna od dv

dr;

njena vrednost narasca s padanjem dvdr

. Povzeto po C.G. Caro in sod., The mechanics ofcirculation, Oxford University Press, New York, 1978, str. 179.

Tok skozi zile ni povsod stacionaren. Srce poganja kri v obliki sunkov, kar se prenasatudi na zile, ki imajo zaradi svoje strukture elasticne lastnosti. Te se vzdolz obtoka spre-minjajo. Spreminja se tudi velikost tlaka, ki poganja tok skozi zile (slika 3.6).

Tok krvi je pretezno laminaren, kar pa ne velja v velikih arterijah in venah, pa tudi vokolici razvejisc, kjer se lahko pojavijo zastoji in vrtinci. Poiseuille-Hagenov zakon torejuporabimo, ce nam zadostuje groba ocena in opis nekaterih kvalitativnih lastnosti sistema.Pove nam na primer, da je pri uravnavanju pretoka krvi skozi zile najbolj ucinkovitasprememba polmera zile. Na osnovi Poiseuille-Hagenovega zakona ocenimo, da pri danitlacni razliki p sprememba polmera zile r za 1% povzroci spremembo prostorninskegapretoka krvi za 4%. Obratno, ce nek organ potrebuje doloceno kolicino krvi za svojofunkcijo, je tlacna razlika, ki je potrebna da srce poganja to kolicino krvi, odvisna odpolmera zil. Za dolocen prostorninski pretok zmanjsanje polmera zil za 1% zahteva 4%povecanje tlacne razlike. Pri opisu pojavov, pri katerih je pomembna sestava krvi v zilah,elasticne lastnosti zil in casovna odvisnost, pa upostevamo splosnejse zakone gibanja.

34

levi

vent

rikel

tlak

aort

a

kapi

lara

arte

rije

Slika 3.6: Shematski prikaz spreminjanja tlaka, ki poganja tok skozi zile, vzdolz arterijskegakrvnega obtoka. Shema je simbolicna; v levem prekatu, v aorti in v arterijah je nakazanacasovna odvisnost tlaka, v obliki periodicnih sunkov. V kapilarah je tok stacionaren.

35

4 Ultrazvok

Pri tej vaji se bomo seznanili z osnovnimi znacilnostmi ultrazvoka in njegove uporabe vmedicini.

S cloveskim usesom lahko zaznamo zvok s frekvencami od priblizno 16 Hz do 20 kHz.Zvok, ki ima visje frekvence in je cloveskemu usesu neslisen, imenujemo ultrazvok. Zaradisvoje visoke frekvence in zato majhne valovne dolzine se ultrazvok uklanja manj od slisnegazvoka in ga je mogoce dobro usmerjati.

4.1 Osnovne lastnosti zvoka in ultrazvoka

Zvok se po prostoru prenasa kot nihanje snovi in zato po vakuumu ne more potovati. Prizvocnem valovanju v plinih in kapljevinah je nihanje le v smeri potovanja zvoka, zato jetam zvocno valovanje vzdolzno (longitudinalno). Valovna dolzina (λ), frekvenca (ν) inhitrost (c) zvocnega valovanja so povezane z znano zvezo

λ =c

ν. (4.1)

Hitrost zvoka v snovi je v splosnem odvisna od njene gostote (ρ) in stisljivosti (χ) ponaslednji enacbi:

c =1√

ρχ. (4.2)

Stisljivost trdnih snovi in tekocin je zelo majhna, zato je hitrost zvoka v njih ponavadivelika. V zraku, ki je prakticno idealni plin, se zgornja zveza poenostavi, saj sta gostotain stisljivost idealnih plinov med seboj povezani. Stisljivost idealnega plina pri hitrem(adiabatnem∗) stiskanju je χ = 1/κp, kjer p tlak plina, κ pa je razmerje specificnih toplotpri konstantnem tlaku in konstantni prostornini cp/cv. Pri zraku, ki je sestavljen v glavnemiz dvoatomnih plinov, je razmerje specificnih toplot enako κ = 1, 4. Ob upostevanju splosneplinske enacbe pV = (m/M)RT in zveze za gostoto ρ = m/V dobimo

c =

√

κRT

M, (4.3)

kjer je R plinska konstanta, M molekulska masa plina, T pa temperatura. Vidimo, da sehitrost zvoka v plinih spreminja s temperaturo.

Ko zvocno valovanje prehaja med snovmi, se na meji med njimi delno odbija (slika4.1). Odboj na meji je tem vecji, cimbolj se snovi razlikujeta po gostoti in hitrosti zvoka.Ultrazvok se tako delno odbija na mejah organov v clovekovem telesu. Ta pojav je upora-ben pri ultrazvocnem slikanju, kjer je mogoce s pomocjo signalov, ki se odbijajo od tkiv,rekonstruirati sliko notranjosti telesa.

∗Stiskanje in razpenjanje zraka pri zvocnem valovanju je adiabaten proces, saj se zgoscine in razredcinezraka menjavajo hitro in med njimi prakticno ni prehajanja toplote.

36

Slika 4.1: Odboj ultrazvoka pri prehodu med dvema snovema. Del zvoka nadaljuje pot,ostali del pa se odbije. Odboj je tem vecji, cimbolj se snovi razlikujeta po hitrosti zvoka ingostoti.

4.2 Dopplerjev pojav

Ce se izvor ali sprejemnik valovanja gibljeta glede na snov, po kateri se siri zvok, sprejemnikne zazna enake frekvence, kot jo oddaja izvor. Pojav se imenuje Dopplerjev pojav in jeshematicno prikazan na sliki 4.2.

Leva slika prikazuje primer, ko izvor valovanja miruje, sprejemnik pa se mu priblizujes hitrostjo vs. Izvor oddaja valovanje s frekvenco ν, valovi se sirijo enakomerno stran odizvora s hitrostjo c in valovno dolzino λ. Ker se sprejemnik giblje proti smeri valovanja,zaznava navidezno vecjo hitrost valovanja c′ = c + vs, zaznana valovna dolzina valovanjapa se ne spremeni. Frekvenca, ki jo zaznava sprejemnik je tako

ν ′ =c′

λ=

c + vs

λ= ν

(

1 +vs

c

)

, (4.4)

in je visja od oddane frekvence. V primeru, ko se sprejemnik oddaljuje od izvora, je hitrostvs negativna in je frekvenca, ki jo zazna sprejemnik, nizja od oddane.

Desna slika prikazuje primer, ko sprejemnik miruje, izvor valovanja pa se priblizujes hitrostjo vs. V tem primeru sprejemnik zaznava nespremenjeno hitrost valovanja inzmanjsano valovno dolzino λ′, zato bo zaznana frekvenca visja od frekvence izvora. Zmanjsanjevalovne dolzine je enako razdalji, ki jo prepotuje izvor v eni periodi valovanja. Premik iz-vora valovanja v eni periodi je L = viτ = vi

ν= vi

cλ, zato je frekvenca, ki jo zazna sprejemnik

enaka:

ν ′ =c

λ′=

c

λ− L=

c

λ− vi

cλ

= ν1

1− vi

c

, (4.5)

Vrednost faktorja 1(1−vi/c)

je vecja od 1, zato je zaznana frekvenca ν ′ vecja od oddanefrekvence ν. V primeru, ko pa se izvor oddaljuje od sprejemnika, ima vi negativno vrednostin je zaznana frekvenca manjsa od frekvence izvora.

Hitrosti gibanja so pogosto majhne v primerjavi s hitrostjo valovanja, vc≪ 1. V takih

primerih lahko uporabimo binomski razvoj, za katerega pri majhnih vrednostih x velja:(1 ± x)m ≈ 1 ±mx. Enacba 4.5 se tako poenostavi ν ′ = ν(1 + vi/c), kar je enako kot vprimeru, ko se oddaljuje sprejemnik in izvor miruje. Pri majhnih hitrostih torej ni razlike

37

Slika 4.2: Levo: izvor valovanja miruje, sprejemnik se premika s hitrostjo vs. Desno:sprejemnik miruje, izvor valovanja pa se premika s hitrostjo vi.

med gibanjem izvora in sprejemnika, zato lahko spremembo frekvence zaradi Dopplerjevegapojava zapisemo preprosto kot:

ν ′ = ν(

1± v

c

)

, (4.6)

kjer je v relativna hitrost med izvorom in sprejemnikom in pozitivni predznak velja zapriblizevanje. Zaznana frekvenca se torej poveca, ce se izvor in sprejemnik priblizujetain zmanjsa, ce se izvor in sprejemnik oddaljujeta. Ce je medsebojna hitrost izvora insprejemnika enaka 1% hitrosti zvoka, se bo tudi zaznana frekvenca spremenila za 1%.

4.3 Izvori in detektorji ultrazvoka

Navadni zvocniki in mikrofoni v splosnem niso primerni kot izvori oziroma detektorji ul-trazvoka. V ta namen se najveckrat uporabljajo piezoelektricni kristali. To so kristali, nakaterih se ob majhnem mehanskem stiskanju ali raztegovanju pojavi elektricna napetost.Zvocno valovanje, ki pada na piezoelektricni kristal, povzroci izmenicno stiskanje in raz-tezanje kristala in na kristalu se pojavi elektricni signal enake frekvence, kot je frekvencavpadnega ultrazvoka. Pojav obstaja tudi v obratni smeri: ko piezoelektricni kristal pri-kljucimo na izmenicno napetost, se zacne izmenicno raztezati in stiskati s frekvenco, ki jeenaka frekvenci izmenicne napetosti. Nihanje kristala se prenese na okolisko snov in kristals tem oddaja ultrazvocno valovanje.

4.4 Uporaba ultrazvoka v medicini

Najbolj pogosta ultrazvocna tehnika v medicini je ultrazvocno slikanje (imenujemo jo tudiehografija oz sonografija). Pri tej metodi uporabljamo ultrazvok sibke jakosti s frekvenconekaj MHz. S pomocjo sonde v telo usmerimo ultrazvocne sunke in nato na osnovi signalov,ki se odbijajo na mejah med tkivi, rekonstruiramo sliko. Z ultrazvokom je mozno enostavnoslikati na primer organe v trebusni votlini, tezje (a ne nemogoce!) pa je slikati skozi kostiali zracne votline, pri katerih se gostota zelo razlikuje od okoliske in se zato tam vecino

38

valovanja odbije, skozi pa gre le malo. Sodobne tehnike slikanja uporabljajo tudi Dopplerjevpojav ter na osnovi spremenjene frekvence odbitega signala dolocijo npr. hitrost pretakanjakrvi po ozilju.

Fizikalni vplivi ultrazvoka na tkiva so predvsem mehansko nihanje in segrevanje tkivazaradi absorpcije. Pri majhni jakosti ultrazvocnega valovanja, ki se uporablja pri slikanju,so ti fizikalni vplivi majhni in naj ne bi imeli stranskih posledic. Ker pa bioloski vpliviultrazvoka v celoti se niso povsem raziskani, se vcasih kljub vsemu odsvetuje uporaboultrazvocnega slikanja po nepotrebnem. Po drugi strani fizikalne vplive ultrazvoka s pridomuporabljajo pri fizioterapiji, kjer naj bi pomagali pri lajsanju bolecin in celjenju ran. Polegtega se v zadnjem casu intenzivno raziskuje uporaba t.i. ultrazvocne kirurgije, pri kateriskalpel ni potreben, saj se npr. maligno tkivo unici z natancno usmerjenim ultrazvocnimvalovanjem zelo velike jakosti.

Naloga: 1. Izmerite frekvenco zvoka, ki ga oddajajo glasbene vilice.

2. Izmerite frekvenco in nihajni cas ultrazvoka, ki ga boste uporabili pri vaji.

3. Z uporabo Dopplerjevega pojava izmerite hitrost elektricnega vlakca.

4. Izmerite hitrost ultrazvocnih signalov v zraku.

5. Neobvezna naloga: Izmerite razdaljo med mizo in stropom v ucilnici.

Potrebscine: Poleg osciloskopa boste pri vaji Ultrazvok uporabljali se dve skatli: veni je merilnik frekvence, v drugi pa sta skupaj ojacevalnik in generatorvisokofrekvencnih sunkov, ki imata tudi skupno napajanje.

Ultrazvocni oddajnik. Pri vaji boste uporabljali dva oddajnika. Edenje v sondi s crnim robom in je prikljucen na generator visokofrekvencnihsunkov, drugi pa je pritrjen na elektricni vlakec. Oba imata enako fre-kvenco, le da prvi ultrazvok oddaja v obliki kratkih sunkov, oddajnik navlakcu pa oddaja neprekinjeno sinusno valovanje.

Ultrazvocni sprejemnik. Sprejeti ultrazvocni signal je zelo sibak, zatomora biti sprejemnik najprej prikljucen na ojacevalnik, ta pa je naprejpovezan z osciloskopom in merilnikom frekvence (slika 4.3). Sonda s spre-jemnikom ima bel rob.

Mikrofon. Mikrofon je prav tako kot ultrazvocni sprejemnik prikljucenna ojacevalnik. Na vhodu ojacevalnika je stikalo, s katerim izbirate meduporabo mikrofona in ultrazvocnega sprejemnika.

Osciloskop na zaslonu prikazuje casovni potek zaznanega signala. Nanjem je veliko razlicnih gumbov, zato med izvedbo vaje natancno sleditenavodilom za nastavitve, ki so mu prilozena.

Merilnik frekvence signalu meri frekvenco in na zaslon vsako sekundoizpisuje njeno povprecno vrednost preko ene sekunde. Za zanesljivo pra-vilen rezultat mora meritev tako potekati nepretrgoma vsaj dve sekundi!

39

Slika 4.3: Shema vezave pri vaji ultrazvok.

Izvedba

1) Naloga 1. Na ojacevalnik prikljucite mikrofon in sprejemnik ultrazvoka (sonda zbelim robom) ter ojacevalnik povezite z merilnikom frekvence in osciloskopom (slika4.3). Oddajnik (sonda s crnim robom) povezite z generatorjem sunkov, sinhronizacijogeneratorja sunkov pa z zunanjim prozenjem osciloskopa (TRIG. EXT.).

Na ojacevalniku izberite uporabo mikrofona. Ultrazvoka pri tej vaji ne boste upora-bljali, zato izklopite ultrazvocni oddajnik na vlakcu in generator sunkov. Osciloskopnastavite po prilozenih navodilih. Glasbene vilice primite cisto pri spodnjem delu inz enim krakom vilic nezno udarite po robu mize. Ko vilice lepo zazvenijo, jih pri-blizajte mikrofonu. Z osciloskopom opazujte obliko signala, z merilnikom frekvencepa izmerite njegovo frekvenco. Meritev z merilnikom frekvence mora potekati vsajdve sekundi. Kaksen pa je signal na osciloskopu, ce v mikrofon govorite (zapojete)”A” ali ”S”?

2) Naloga 2. Frekvenco ultrazvoka dolocite z merilnikom frekvence. Uporabili bostele oddajnik na vlakcu, ki oddaja neprekinjeno sinusno valovanje, zato se prepricajte,da je generator ultrazvocnih sunkov se vedno izkljucen. Na zacetek tracnic namestitesprejemnik in vanj usmerite oddajnik na vlakcu. Vlakec mora pri tej nalogi mirovati!Osciloskop nastavite tako, kot je zahtevano v prilozenih navodilih, ojacevalnik panastavite na uporabo ultrazvoka. Ce je vse pravilno povezano in nastavljeno, sena zaslonu osciloskopa pokaze periodicni signal, ki mora izginiti, ce z roko zaslonitesprejemnik ali ce oddajnik usmerite v stran. Z merilnika frekvence odcitajte frekvencouporabljenega ultrazvoka ν. Na osciloskopu izmerite en nihajni cas valovanja, pri

40

cemer pravilno upostevajte nastavljeno casovno enoto. Preverite, ce je reciprocnavrednost nihajnega casa zares enaka izmerjeni frekvenci, τ = 1/ν.

3) Naloga 3. Dopplerjev pojav. Pri tej nalogi boste opazovali, kako se zaradi pre-mikanja izvora ultrazvoka spremeni zaznana frekvenca ν ′. Iz meritve ν ′ boste lahkopo enacbi 4.6 izracunali hitrost izvora. Spet boste uporabili le oddajnik na vlakcu,sprejemnik pa naj bo na zacetku tracnic. Vklopite napajanje vlakca in oddajnik navlakcu. Na osciloskopu se enako kot pri nalogi 2 pokaze sprejeti sinusni signal, me-rilnik frekvence pa meri sprejeto frekvenco ν ′. Vlakcu nastavite hitrost ter ga vozitesem in tja po tracnicah. Opazujte, kaj se dogaja s sprejeto frekvenco, ce se vlakecpriblizuje oziroma oddaljuje od sprejemnika. Pri tem morate biti pozorni na to, dameritev frekvence poteka nepretrgano vsaj dve sekundi. Ce vlakec tracnice prevoziprej kot v dveh sekundah, mu zmanjsajte hitrost. Med voznjo se signal vcasih izgubi,kar lahko za trenutek zmede merilec frekvence. Ali je sprememba frekvence res vecjapri vecji hitrosti vlakca? Ali je sprememba frekvence odvisna od oddaljenosti vlakcaod sprejemnika?

Vlakcu izberite primerno hitrost ter izmerite sprejeto frekvenco ν ′, ce se vlakec pri-blizuje sprejemniku in ce se od njega oddaljuje. Meritvi obeh frekvenc ponovite vsajtrikrat in izracunajte povprecni vrednosti. Iz izmerjenih frekvenc boste lahko poenacbi 4.6 dolocili hitrosti vlakca v med priblizevanjem oziroma oddaljevanjem. Vracunu uporabite izmerjeno frekvenco oddajnika v mirovanju ν iz naloge 2, ter hitrostzvoka c, ki jo boste izmerili v nalogi 4.

Hitrost vlakca dolocite se neposredno, t.j. z meritvijo casa, ki ga vlakec potrebujeza pot 1,5 m, ter primerjajte to meritev z meritvijo, dobljeno preko Dopplerjevegapojava.

4) Naloga 4. Hitrost ultrazvocnega valovanja v zraku boste dolocili z meritvijo casa,ki ga ultrazvocni sunek potrebuje za pot od oddajnika do sprejemnika. Pri tej nalogioddajnika na vlakcu ne boste potrebovali, zato ga izkljucite in vlakec odmaknitestran od sprejemnika. Izklopite tudi napajanje vlakca.

Vklopite generator sunkov in oddajnik (sonda s crnim robom) usmerite proti spre-jemniku. Osciloskop nastavite po navodilih, ki so prilozena vaji. V ultrazvocnihsunkih, ki jih oddaja oddajnik, je ultrazvocno valovanje enake frekvence, kot prinalogi 2 (slika 4.4 A). Ce je vse pravilno povezano in nastavljeno, se na zaslonuosciloskopa pokaze signal sprejetega sunka (slika 4.4 B). Pri tem se zaradi sinhroni-zacije med osciloskopom in oddajnikom casovna os na zaslonu osciloskopa zacne vtrenutku, ko oddajnik sunek odda. Cas od zacetka signala do zacetka prejetega sunka(t) je torej enak casu, ki ga ultrazvocni sunek potrebuje za pot med oddajnikom insprejemnikom. Cas t izmerite kar z zaslona osciloskopa. Ce izmerite se razdaljo xmed sprejemnikom in oddajnikom, lahko hitrost zvoka izracunate kot c = x/t. Primerjenju razdalje si lahko pomagate z merilom na tracnicah. Meritev ponovite pritreh razlicnih oddaljenostih med oddajnikom in sprejemnikom (vse naj bodo vecjeod 50 cm!) in izracunajte povprecno vrednost tako izmerjene hitrosti zvoka.

41

Izmerite temperaturo zraka v ucilnici ter hitrost zvoka izracunajte se po enacbi 4.3(v racunu privzemite, da je zrak idealni dvoatomni plin z molsko maso 29 g/mol. R= 8300 J kmol−1 K−1). Ali se vrednosti ujemata?

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

Slika 4.4: (A) V ultrazvocnem sunku je ultrazvocno valovanje enake frekvence, kot pri nalogi2. (B) Slika na osciloskopu pri nalogi 4. Cas potovanja ultrazvocnega sunka od oddajnikado sprejemnika (t) je enak casu med zacetkom signala in zaznanim sunkom.

5) Naloga 5 (neobvezna). Oddajnik in sprejemnik nastavite enako kot pri nalogi 4,le casovno enoto na osciloskopu nastavite na 2 ms. Sprejemnik odstranite z zacetkatracnic ter ga skupaj z oddajnikom usmerite v strop. Ultrazvocni sunek tako po-tuje od oddajnika do stropa, se tam odbije in pripotuje nazaj v sprejemnik. Snopuporabljenega ultrazvoka ni zelo ozek in pricakujete lahko tudi odboje od sten inpolic na steni. Najlepsi signal boste tako dobili, ce boste oddajnik in sprejemnikdrzali cim dalj od stene. Na zaslonu osciloskopa boste opazili dva sunka. Na zacetkucasovne osi je sunek, ki pripotuje neposredno od oddajnika do sprejemnika. Drugi,veliko sibkejsi sunek, je od stropa odbiti signal (slika 4.5). Cas od zacetka signala dozacetka drugega sunka to je ravno cas, ki ga ultrazvok potrebuje za pot do stropa innazaj. Ce sonde priblizate stropu, se na zaslonu lepo vidi, kako se cas do odbitegasunka skrajsa. Ker iz naloge 4 poznate hitrost ultrazvoka v zraku, lahko brez tezavizracunate visino stropa h. Pri tem morate seveda upostevati, da ultrazvok na potiod oddajnika do stropa in nazaj prepotuje pot 2h.

42

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

Slika 4.5: Slika na osciloskopu pri nalogi 5. Cas potovanja zvocnega sunka od oddajnika dostropa in nazaj (to) je cas med zacetkom signala in sprejetim odbojem.

43

5 Merjenje toplote in specificna toplota snovi

Pri tej vaji se bomo seznanili z merjenjem temperature s termoclenom, z merjenjem toplotein s kalorimetricnim dolocanjem specificne toplote.

Snov lahko segrejemo z dovajanjem toplote. Kolicina dovedene toplote (Q) je soraz-merna z maso snovi (m) in s povecanjem temperature (∆T ). Sorazmernostni koeficient jeodvisen od vrste snovi in ga imenujemo specificna toplota (c):

Q = m c ∆T . (5.1)

Kadar se pri dovajanju toplote tlak ne spreminja, mislimo s c specificno toploto pri kon-stantnem tlaku. Pripomnimo pa lahko, da je pri trdninah in kapljevinah razlika medspecificno toploto pri konstantnem tlaku in specificno toploto pri konstantni prostorninidosti manjsa kot pri plinih in jo lahko navadno zanemarimo. Enota za specificno toplotoje J kg−1K−1. Specificna toplota za nekatere snovi je podana v tabeli 5.1. Specificna to-plota je v splosnem odvisna od temperature. Kadar pa kalorimetricna meritev poteka vobmocju, ko se ta ne spreminja veliko (kar je navadno res, kadar je razlika ∆T med zacetnoin koncno temperaturo majhna), jo smemo vzeti za konstantno.

Tabela 5.1: Specificna toplota nekaterih snovi.

snov specificna toplota

[kJ kg−1K−1]

voda (15 C) 4,18

led (0 C) 2,23

les, 8% vlage (20 C) 1,68

jeklo (20 C) 0,46

zivo srebro (20 C) 0,14

Toplotna kapaciteta (C) nekega telesa pa je kolicina toplote, ki je potrebna, da se totelo segreje za 1 C oz. 1 K. Enota zanjo je J K−1. Ce je telo homogeno, velja C = mc.

5.1 Kalorimetricno merjenje toplote

Specificno toploto snovi lahko dolocamo kalorimetricno. Preprost vodni kalorimeter jeprikazan na sliki 5.1. Sestavlja ga osrednja kalorimetrska posoda, v kateri je znana masavode in merjenec. Mesalo skrbi, da je temperatura vode po vsej kalorimetrski posodienaka. Kalorimetrska posoda je s plastjo zraka izolirana od zunanjega plasca, napolnjenegaz vodo. Ta ima vlogo okolice s stalno temperaturo in zmanjsuje vpliv sprememb v okolicina potek meritve. Kalorimeter lahko priblizno obravnavamo kot toplotno izoliran sistempri konstantnem tlaku.

44

V

plascnapolnjen z vodo

termoclen izolacija (plast zraka)

mesalo

merjenec

kalorimetrskaposoda z vodo

voltmeterojacevalnik

mesanicavode in ledu

Slika 5.1: Vodni kalorimeter.

Specificno toploto merjenca dolocamo tako, da merimo toploto, ki jo ta v kalorimetrusprejme oziroma odda. To toploto dolocamo posredno, z merjenjem spremembe tempe-rature vode v kalorimetrski posodi. Ce je temperatura merjenca (Tm) visja od zacetnetemperature vode in kalorimetrske posode (Tk), merjenec odda pri tem, ko se ohladi nakoncno (zmesno) temperaturo (Tz), toploto

Qm = mm cm (Tm − Tz) , (5.2)

voda in kalorimetrska posoda pa sprejmeta toploto

Qk = (m c + C)(Tz − Tk) , (5.3)

kjer so mm masa merjenca in cm njegova specificna toplota, m masa vode, c specificnatoplota vode, C pa toplotna kapaciteta kalorimetrske posode, termometra in mesala. Tz jezmesna temperatura, potem ko se temperaturi merjenca in vode izenacita. Ce predposta-vimo, da nic toplote ne preide iz kalorimetrske posode v okolico, je oddana toplota enakaprejeti toploti Qm = Qk, zato velja

mm cm (Tm − Tz) = (m c + C)(Tz − Tk) . (5.4)

Iz te enacbe (5.4) lahko izracunamo specificno toploto merjenca, pri cemer je potrebnopoznati toplotno kapaciteto vode in kalorimetra (m c + C), maso merjenca (mm), zacetnitemperaturi merjenca (Tm) in vode (Tk) ter zmesno temperaturo (Tz).

5.2 Toplotna kapaciteta kalorimetra

Toplotne kapacitete kalorimetra (C) obicajno ne poznamo, zato jo moramo dolociti posebej.To lahko napravimo tako, da znani kolicini vode v kalorimetru z znano temperaturo (T1)

45

V

II

I

1 2

Slika 5.2: Termoclen (levo) in porazdelitev nosilcev naboja na stiku dveh kovin (desno).

dodamo znano kolicino vode z znano, vendar drugacno temperaturo (T2) ter, enako kotprej, izmerimo spremembo temperature vode v kalorimetru. Ce se nic toplote ne izgubi vokolico, lahko zapisemo, da sta sprejeta in oddana toplota med seboj enaki:

(m1 c + C)(Tz − T1) = m2 c (T2 − Tz) . (5.5)

Ko enacbo (5.5) preuredimo, lahko izracunamo toplotno kapaciteto C.

5.3 Merjenje temperature s termoclenom

Temperaturo lahko merimo na vec nacinov: z zivosrebrnimi termometri, s polprevodniskimimerilniki temperature, s termoclenom itd.

Pri tej vaji merimo temperaturo s termoclenom. Termoclen je naprava za elektricnomerjenje temperature. Toplotna kapaciteta tistega dela termoclena, ki je pri meritvi tempe-rature v stiku z merjencem, je v primerjavi s toplotnimi kapacitetami zivosrebrnih termome-trov dosti manjsa, zato je termoclen primeren za merjenje hitrih temperaturnih sprememb.Poleg tega ga lahko uporabljamo za merjenje temperature merjencev z majhno toplotnokapaciteto.

Termoclen je sestavljen iz dveh zic iz razlicnih kovin (na sliki 5.2 oznaceni kot kovini Iin II), ki sta speta na dveh koncih (stika 1 in 2). Na stiku dveh razlicnih kovin tista kovina,v kateri so elektroni sibkeje vezani, nekaj elektronov izgubi ter postane pozitivna, kovina,v kateri so elektroni mocneje vezani, pa elektrone prevzame in postane negativna. Processe zelo hitro uravnovesi, saj preseljeni elektroni ustvarjajo elektricno polje, ki nasprotujeselitvi. Napetostno razliko, ki je nastala s preselitvijo elektronov na stiku razlicnih kovin,imenujemo kontaktna napetost . Kontaktna napetost je razen od vrste kovin odvisna tudiod temperature in je ne moremo meriti neposredno. Merimo pa lahko razliko kontaktnihnapetosti med dvema spojema. Kadar sta oba spoja na enaki temperaturi, sta kontaktninapetosti na obeh mestih enako veliki, vendar nasprotnega predznaka, zato med spojemani elektricne napetosti. Pri razlicnih temperaturah pa se kontaktni napetosti razlikujeta inmed spojema nastane elektricna napetost. Tej napetosti pravimo termoelektricna napetostin jo lahko zaznamo z obcutljivim voltmetrom. Za majhne temperaturne razlike medspojema je termoelektricna napetost (U) kar sorazmerna razliki temperatur med sticiscemakovin

U = α(T1 − T2) . (5.6)

46

Sorazmernostno konstanto α imenujemo obcutljivost termoclena. V tabeli 5.2 so podaneobcutljivosti termoclenov za nekaj razlicnih termoclenov.

Tabela 5.2: Obcutljivost termoclena za razlicne pare kovin.

termoclen obcutljivost [µV/K]

zelezo-cink 12,9

zelezo-baker 13,4

zelezo-nikelj 32,0

zelezo-konstantan (58,8 % Cu, 40 % Ni, 1,2 % Mn) 50,0

baker-aluminij 3,3

Za merjenje temperature je uporaben le umerjen termoclen. To je taksen termoclen, zakaterega poznamo odvisnost termoelektricne napetosti od razlike temperatur. Termoclenlahko umerimo primerjalno, z ze umerjenim termometrom. Najenostavneje je, ce poskr-bimo, da en spoj ostane ves cas na isti temperaturi, temperaturo drugega spoja, ki jomerimo z umerjenim termometrom, pa spreminjamo. Tako poiscemo odvisnost termoelek-tricne napetosti od razlike temperatur med spojema.

Naloge: 1. Dolocite toplotno kapaciteto kalorimetra.

2. Dolocite specificno toploto merjenca.

3. Umerite termoclen iz bakra in konstantana ter dolocite njegovo obcutljivost.

Potrebscine: kalorimetrska posoda z mesalom

digitalni voltmeter

termoclen

termosteklenica z mesanico ledu in vode

merjenci

3 graduirane case

2 termometra

plinski gorilnik

47

Izvedba

1) Dolocitev toplotne kapacitete kalorimetra: V termostatirano posodo, v katerije primerjalni konec termoclena, damo mesanico ledu in vode, s cimer dosezemo, dabo v njej temperatura vode in talecega se ledu med poskusom ves cas konstantna.Med celotnim poskusom veckrat preverimo, ali je se dovolj ledu v posodi in ga popotrebi dodamo. V kalorimetrsko posodo nalijemo 800 ml vode (m1 = 0,80 kg) stemperaturo hladne vode iz vodovodne pipe. Vklopimo mesalo. S termoclenommerimo temperaturo vode tako, da spremljamo spreminjanje elektricne napetostina voltmetru in to vsakih 30 sekund – skupaj desetkrat. Ojacitve napetosti medmeritvijo ne spreminjamo. Takoj po desetem odcitku dolijemo 300 ml vode (m2 =0,30 kg) s temperaturo priblizno 70 C, ki smo jo segreli nad plinskim gorilnikom.Izmerimo tocno vrednost temperature tople vode (T2). Zaradi mesanja se sistemhitro uravnovesi, zato 30 sekund po tem, ko smo dolili toplo vodo, znova odcitamovrednost na voltmetru, tej pa naj sledi se 10 meritev, ki si sledijo na vsakih 30 sekund.Po koncani meritvi izpraznimo kalorimeter.

2) Dolocitev specificne toplote: Merjenec segrevamo v vreli vodi tako, da se nedotika sten posode. Izmerimo in zapisemo temperaturo vode. V kalorimeter vli-jemo 800 ml hladne vode (m = 0,80 kg) iz vodovodne pipe. Vklopimo mesalo in stermoclenom v 30-sekundnih presledkih desetkrat izmerimo temperaturo vode v ka-lorimetru, kot pri prvi nalogi. Merjenec takoj po desetem odcitku previdno polozimov kalorimetrsko posodo in se pet minut nadaljujemo z meritvami temperature vodev kalorimetru v presledkih po 30 sekund.

3) Umeritev termoclena: V vecjo caso natocimo iz pipe za nekaj prstov cim bolj hla-dne vode, vsaj toliko, da je bucka umerjenega zivosrebrnega termometra potopljena.V vodo potopimo merilni konec termoclena in zivosrebrni termometer. Pomesamo,da se temperatura po vsej posodi izenaci, zatem odcitamo napetost na voltmetruin hkrati izmerimo temperaturo z zivosrebrnim termometrom. V posodo veckratdolijemo malo tople vode, vsakic pomesamo, da se temperatura vode izenaci, terodcitamo temperaturo in napetost. Odcitke vnasamo v tabelo meritev. Termoclenumerimo v nekoliko vecjem temperaturnem obmocju, kot je bilo temperaturo obmocjeza dolocitev toplotne kapacitete kalorimetra in specificne toplote merjenca. Izmerimose vsaj dve tocki nad najvisjo napetostjo, ki smo jo odcitali pri merjenju temperaturev kalorimetru. Zapisemo si tudi faktor ojacitve napetosti ojacevalnika, ki ga potrebu-jemo za izracum obcutljivosti termoclena. Potem ko nanesemo izmerjene elektricnenapetosti kot funkcijo temperature v diagram, narisemo umeritveno krivuljo, ki jeza majhne temperaturne razlike kar premica. Obcutljivost termoclena izracunamo iznaklonskega koeficienta umeritvene premice, pri cemer upostevamo, da so napetostina termoclenu manjse kot napetosti, izmerjene z voltmetrom.

48

T

T

T

0

1

Z

t

° °° °°

°

°°°° °

° ° ° ° °° ° °

°

Slika 5.3: Temperatura vode v kalorimetru v odvisnosti od casa, pri dolocitvi toplotne ka-pacitete kalorimetra.

Izracun

1) Dolocitev toplotne kapacitete kalorimetra: Narisemo diagram odvisnosti tem-perature vode v kalorimetru od casa. Temperaturo, ki jo odcitamo iz umeritvenekrivulje, nanasamo v stopinjah Celzija. Na isti graf nanasamo oba poteka tempe-rature, preden smo dotocili vodo in po tem; vmes na casovni skali pustimo prostor,ustrezen casu med zadnjo meritvijo temperature zacetne kolicine vode in prvo meri-tvijo zmesne temperature (slika 5.3). Temperatura vode v kalorimetrski posodi se scasom spreminja, ker toplotna izolacija ni popolna. Ce je temperatura vode manjsaod temperature okolice, raste, ce je vecja, pa pada. Ko dodamo toplejso vodo, tem-peratura ne doseze v hipu zmesne vrednosti, ker nekaj casa traja, da se vodi zmesata(slika 5.3). Koncno zmesno in zacetno temperaturo bi zato pravilno dolocili z ek-strapolacijo, ki to uposteva. Pri natancnosti, dosegljivi pri tej vaji, bi bila taksnapedantnost pretiravanje; nadomestimo jo z enostavnim premislekom. Ce se tempe-ratura s casom ne spreminja dosti, kot zacetno temperaturo vzamemo kar povprecekizmerjenih vrednosti temperature preden dolijemo toplejso vodo, za koncno tempe-raturo pa povprecje vrednosti potem, ko se hladna in topla voda zmesata. Ce paugotovimo, da temperatura izrazito pada ali narasca, na oko potegnemo skozi tockepremico in vzamemo kot eno ali drugo temperaturo tocko na premici pred ali po tre-nutku, ko smo dolili toplejso vodo. Toplotno kapaciteto kalorimetra (C) izracunamoiz enacbe (5.5). Specificno toploto vode (c) preberemo iz tabele 5.1.

2) Dolocitev specificne toplote: Narisemo diagram odcitkov temperature v odvisno-sti od casa. Enako kot prej (slika 5.3) dolocimo koncno temperaturo zmesi (Tz) inzacetno temperaturo vode v kalorimetrski posodi (Tk). Ko dodamo merjenec, tempe-ratura ne doseze v hipu zmesne vrednosti, ker nekaj casa traja, da merjenec toplotoodda. Specificno toploto merjenca izracunamo iz enacbe (5.4).

49

6 Mikroskop

Pri tej vaji bomo spoznali uporabo lec, sestavili preprost mikroskop, dolocili njegovo povecavoin locljivost ter se naucili, kako pravilno nastaviti osvetlitev.

Mikroskop in druge opticne instrumente srecamo v medicini na vsakem koraku. Osnovnielementi vseh opticnih naprav so lece, zato je za njihovo pravilno uporabo kljucno, dadelovanje lec dobro razumemo.

6.1 Lece

Lece so izdelane iz stekla ali drugih prozornih materialov, ki imajo drugacen lomni kolicnikod okolice, in zato preusmerjajo svetlobne zarke. Ponavadi so lece osno simetricne in ome-jene s krogelnimi ploskvami. V nasem opisu se bomo omejili na tanke lece, katerih debelinaje majhna tako v primerjavi s krivinskima radijema povrsin lece, kot tudi z razdaljama dopredmeta in do slike. Simetrijsko os lece imenujemo tudi opticna os. Poznamo dva glavnatipa lec: a) zbiralne lece, ki vzporedne zarke zberejo v tocko in so konveksne oblike in b)razprsilne lece, ki zarke razprsijo in so konkavne oblike. Ravnino, v kateri se pri zbiralni lecivzporedni zarki zberejo v tocko, imenujemo goriscna ravnina (slika 6.1 levo). Razprsilnaleca razprsi snop vzporednih zarkov tako, kot da bi izhajali iz tocke v goriscni ravnini predleco (slika 6.1 desno). Tocko, v kateri opticna os prebode goriscno ravnino, imenujemogorisce in jo oznacimo z F , razdaljo med goriscem in leco pa imenujemo goriscna razdaljalece in jo oznacimo z f . Po dogovoru ima zbiralna leca pozitivno, razprsilna pa negativnogoriscno razdaljo. Goriscna razdalja lece je odvisna od lomnega kolicnika snovi, iz katereje leca, lomnega kolicnika okolice in obeh krivinskih radijev lece. Ce je lomni kolicnik snovina obeh straneh lece enak, sta enaki tudi goriscni razdalji na obeh straneh lece in je vse-eno, kako je leca pri preslikavi obrnjena. Reciprocno vrednost goriscne razdalje imenujemolomnost lece. Enota za lomnost je dioptrija D; velja 1 D = 1 m−1.

Osnovna lastnost lece je, da predmet preslika v sliko. Ce se vsi zarki, ki izvirajo iz enetocke predmeta, na drugi strani lece spet zdruzijo v eni tocki, nastane realna slika. Takosliko lahko vidimo na zaslonu ali jo preslikamo naprej enako kot predmete. Ce pa se zarki,ki izhajajo iz ene tocke predmeta, za leco razprsijo, kot da bi izhajali iz ene toce pred leco(v tej tocki se sekajo podaljski preslikanih zarkov), imenujemo presecisce podaljskov zarkovnavidezna (imaginarna) slika. Navidezne slike ne moremo ujeti na zaslon. Iz nje nastanerealna slika le, ce razprsene zarke ponovno zdruzimo z zbiralno leco – na primer z ocesom,pri katerem ocesna leca razprsene zarke spet zbere v realno sliko na mreznici. Navideznosliko lahko slikamo tudi s fotoaparatom, saj v tem primeru razprsene zarke ponovno zberefotoaparatov objektiv.

Velikost in lego slike lahko dolocimo z graficno konstrukcijo, pri kateri je dovolj, dapreslikavo upodobimo s tremi znacilnimi zarki, ki izhajajo z vrha predmeta. Pot trehznacilnih zarkov pri zbiralni leci je prikazana na sliki 6.2 A, pri razprsilni pa na sliki 6.2B. Znacilni zarki pri leci so:

50

Slika 6.1: Shematicni prikaz preslikave vzporednega snopa zarkov z zbiralno leco (levo) inrazprsilno leco (desno). Zarki se lomijo na prehodih v in iz lece. V obeh primerih sta spikcastima crtama oznaceni goriscni ravnini lec. Z F so oznacena gorisca, z f pa goriscnerazdalje.

1. vzporedni zarek (vzporeden je opticni osi), ki ga zbiralna leca lomi tako, da gre nadrugi strani skozi gorisce,

2. srediscni zarek, ki gre skozi sredisce lece in se mu pri prehodu skozi njo smer nespremeni, in

3. goriscni zarek gre skozi gorisce in je po prehodu skozi leco vzporeden opticni osi.

Kjer se vsi trije zarki sekajo, nastane realna slika. Pri razprsilni leci je vloga gorisc zame-njana (goriscna razdalja je tu negativna), zato je pot znacilnih zarkov pri razprsilni lecinekoliko drugacna in je slika predmeta navidezna (slika 6.2 B).

Lega, velikost in vrsta slike so odvisne od goriscne razdalje lece in od lege predmeta prednjo. Ce slika nastane na drugi strani lece, kot je predmet, je realna in obrnjena, ce pa jeslika na isti strani kot predmet, je vedno navidezna in pokoncna. Pri preslikavah predmetaz razprsilno leco je slika vedno navidezna, pokoncna in pomanjsana. Pri preslikavah zzbiralno leco je vrsta slike odvisna od lege predmeta. Realna slika nastane v primeru, koje razdalja med predmetom in leco vecja od goriscne razdalje, pri cemer je slika vecja odpredmeta le, ce predmet od lece ni oddaljen za vec kot dve goriscni razdalji. Ce predmetlezi med goriscem in leco, je tudi pri zbiralni leci slika navidezna, pokoncna in povecana.Ce pa je predmet postavljen ravno v goriscno ravnino zbiralne lece, so zarki na drugi stranilece vzporedni in se sploh ne sekajo (slika 6.2 C). V tem primeru pravimo, da slika nastanev neskoncnosti. Velja namrec, da so zarki z zelo oddaljenih predmetov prakticno vzporedni.

Velikost predmeta ponavadi oznacimo z A, velikost slike z B, oddaljenost predmeta odlece z a, oddaljenost slike od lece z b, z e pa oznacimo razdaljo od gorisca do slike, velja

51

Slika 6.2: Pot znacilnih zarkov s predmeta (predmet je oznacen s crno puscico) pri (A)zbiralni in (B) razprsilni leci. V prvem primeru nastane realna slika (oznacena s sivobarvo), v drugem pa navidezna (oznacena z belo barvo). Slika (C) prikazuje pot zarkov, koje predmet v goriscu zbiralne lece. Preslikani zarki so v tem primeru vzporedni in pravimo,da slika nastane v neskoncnosti.

e = b− f (slika 6.3). Povecava preslikave N je definirana z razmerjem med velikostjo slikein velikostjo predmeta:

N =B

A. (6.1)

Povecavo preslikave lahko izrazimo tudi drugace, pri cemer si pomagamo z dvema paromapodobnih trikotnikov, ki jih tvorijo znacilni zarki preslikave in ki sta na sliki 6.3 oznacenaz razlicnim sencenjem. Iz razmerja istoleznih stranic v dveh parih podobnih trikotnikovrazberemo, da veljajo razmerja A : B = a : b in A : B = f : e, zato lahko povecavopreslikave zapisemo tudi kot

N =b

a=

e

f. (6.2)

Za tanke lece velja, da so oddaljenost predmeta od lece a, oddaljenost slike od lece bter goriscna razdalja lece f med seboj povezane z enacbo lece

1

a+

1

b=

1

f, (6.3)

ki jo lahko prav tako izpeljemo iz razmerja stranic podobnih trikotnikov. Enacba lece veljatako za zbiralne kot tudi za razprsilne lece, upostevati moramo le, da je goriscna razdaljarazprsilnih lec negativna. Po dogovoru ima a vedno pozitiven predznak, b pa ima pozitivenpredznak, ce je slika na drugi strani lece kot predmet in negativnega, ce je na isti strani.

6.2 Lupa

Navidezna velikost predmetov, ki jih opazujemo z ocesom, je odvisna od zornega kota θ,pod katerim predmet vidimo. Da bi majhne predmete bolje videli, si jih priblizamo in s

52

Slika 6.3: Preslikava predmeta z zbiralno leco. Enacbo tanke lece lahko izpeljemo s pomocjodveh parov podobnih trikotnikov. Na sliki je en par trikotnikov oznacen z vodoravnim, drugipa s posevnim sencenjem.

tem povecamo zorni kot (slika 6.4). Vendar pa ima tak nacin “povecevanja” svojo mejo,saj z ocesom predmetov, ki so preblizu, ne moremo vec dobro izostriti. Za se mocnejsepovecevanje pa lahko pomaga lupa. Lupa je opticna naprava, sestavljena iz zbiralne leca zmajhno goriscno razdaljo, ki jo uporabimo tako, da opazovani predmet postavimo v njenogorisce (lahko tudi med gorisce in leco). Zarki se pri tem na lupi lomijo tako, da predmetvidimo pod vecjim zornim kotom in se nam predmet zato zdi povecan (slika 6.4). Polegtega so zarki za lupo vzporedni (slika 6.2 C), zaradi cesar se nam zdi opazovani predmetzelo dalec in ni tezav s prilagajanjem ocesa za gledanje na blizu (oko je najbolj sproscenopri gledanju na dalec).

Povecava opticnih instrumentov je definirana glede na velikost predmeta, ki jo vidimopri normalni zorni razdalji x0, katere vrednost je dolocena na 25 cm. Z enacbo se povecavodefinira kot razmerje tangensa zornega kota, pod katerim vidimo predmet skozi opticniinstrument, ter tangensa zornega kota, pod katerim vidimo predmet, ki je na normalnizorni razdalji. Iz slike 6.4 vidimo, da je zorni kot na normalni zorni razdalji podan zizrazom tan θ0 = A/x0, zorni kot pri gledanju z lupo pa tan θl = A/fl, zato lahko povecavolupe izrazimo kot

Nl =tan θl

tan θ0

=x0

fl

. (6.4)

Iz enacbe 6.4 razberemo, da zbiralno leco lahko uporabimo kot lupo le, ce je njena goriscnarazdalja manjsa od normalne zorne razdalje. Leca z daljso goriscno razdaljo bi predmetnamrec navidezno pomanjsala.

53

Slika 6.4: Velikost pqredmeta, ki jo vidimo z ocesom, je odvisna od zornega kota. Blizje koje predmet, vecji je zorni kot in predmet se nam zdi vecji. Z lupo lahko zorni kot se dodatnopovecamo. Zorni kot θ je pri gledanju s prostim ocesom podan z izrazom tan θ = A/x, kjerje A velikost predmeta, x pa razdalja med ocesom in predmetom. Pri gledanju skozi lupoje zorni kot podan z izrazom tan θl = A/fl. Ker je pri lupi predmet postavljen v gorisce,so zarki za lupo vzporedni (slika 6.2 C).

54

Slika 6.5: Pot znacilnih zarkov v mikroskopu.

6.3 Mikroskop

Najpreprostejsi mikroskop je sestavljen iz dveh zbiralnih lec: objektiva in okularja (slika6.5). Predmet, ki ga opazujemo, postavimo malo pred goriscno ravnino objektiva, takoda na drugi strani objektiva dobimo realno, obrnjeno in povecano sliko predmeta. Tosliko gledamo skozi okular, ki ga uporabimo kot lupo. Pri mikroskopu pride do povecavedvakrat: najprej predmet poveca objektiv, nato pa povecano sliko povecamo se z okularjem.Povecava mikroskopa je tako enaka produktu povecave objektiva in povecave okularja.Povecava objektiva je podana z enacbo za povecavo preslikave (enacba 6.2), povecavaokularja pa z enacbo za povecavo lupe (enacba 6.4), zato je povecava mikroskopa enaka

NM = NOB ·NOK =e

fOB

x0

fOK. (6.5)

Iz slike 6.5 je razvidno, da je e pri mikroskopu enak razdalji med notranjima goriscemaobjektiva in okularja.

Pri preslikavi z mikroskopom ne sodelujejo vsi zarki, ki prihajajo s predmeta, temvecle tisti, ki vstopajo v objektiv. Skupen presek snopa zarkov, ki sodelujejo pri preslikaviimenujemo zenica, oziroma pravimo, da je odprtina objektiva vstopna zenica. Na straniokularja je izstopna zenica, ki je slika, v katero okular preslika vstopno zenico. Pojem zeniceje predstavljen na sliki 6.6, kjer sta narisana skrajna zarka, ki izhajata iz zgornjega robapredmeta (crtkani crti) in skrajna zarka, ki izhajata iz spodnjega roba predmeta (pikcasticrti). Izstopna zenica je na mestu, kjer se za okularjem sekajo skrajni zarki. Najvec zarkovs predmeta (in torej najvecje vidno polje) lahko torej pri gledanju skozi mikroskop vidimo,

55

Slika 6.6: Vstopna in izstopna zenica mikroskopa.

ce oko postavimo v lego izstopne zenice.Iz enacbe za povecavo mikroskopa bi lahko sklepali, da so dosegljive poljubno velike

povecave. Potrebno bi bilo le uporabiti lece z dovolj majhnimi goriscnimi razdaljami. Izkazepa se, da od dolocene povecave naprej zaradi uklona zarkov ne moremo vec razlocevatipodrobnosti. Zarki, ki padejo na odprtino koncne velikosti, se na robu namrec uklonijo insirijo tudi v geometrijsko senco. Uklon je tem bolj opazen, cim manjsa je odprtina in cimvecja je valovna dolzina svetlobe.

Zaradi uklona se tocka pri preslikavi skozi leco ne preslika v tocko, ampak v nekolikovecjo liso z zamegljenimi robovi. Ce sta dve opazovani tocki preblizu, se njuni sliki (lisi)zlijeta skupaj, zato ju ne moremo vec razlocevati. Locljivost mikroskopa je tako definiranakot najmanjsa razdalja med dvema tockama, na kateri lahko v idealnih pogojih tocki serazlocujemo. Podroben racun pokaze, da je locljivost mikroskopa d enaka

d =0,61λ

NA. (6.6)

kjer je NA numericna apertura objektiva, λ pa valovna dolzina svetlobe, s katero je osvetljenpredmet. Numericna apertura je merilo za kolicino zarkov, ki jih zbere objektiv, in jedefinirana kot

NA = n sin α , (6.7)

kjer je n lomni kolicnik snovi med predmetom in objektivom in α kot med opticno osjo inveznico med goriscem ter robom objektiva. Lomni kolicnik zraka je enak 1.

Za doseganje dobre locljivosti moramo torej uporabiti objektiv s cim vecjo numericnoaperturo oziroma vzorec opazovati s svetlobo s cim krajso valovno dolzino. Kot α, in stem tudi numericna apertura, je tem vecji, cim vecji je radij lece objektiva in cim manjsaje njegova goriscna razdalja. Kadar uporabimo imerzijski objektiv, je med predmetomin objektivom imerzijsko olje, ki ima od zraka vecji lomni kolicnik, n > 1. Zaradi tegaso lomni koti na poti od predmeta do objektiva manjsi in objektiv zbere vec uklonjenihzarkov. Efektivno se s tem poveca odprtina objektiva.

56

Locljivosti mikroskopa ne smemo zamenjevati z najmanjso velikostjo predmeta, ki gase lahko opazimo, saj lahko opazimo tudi od locljivosti dosti manjsi predmet, ce se ledovolj loci od okolice. Podobno kot ce ponoci opazujemo priblizevanje avtomobila. Prioddaljenemu avtomobilu vidimo le eno luc in sele, ko se dovolj pribliza, opazimo, da stadve.

6.4 Nastavitev osvetlitve

Pri mikroskopiranju si zelimo cim bolj jasno in kontrastno sliko, na kateri bomo razlocilicim vec podrobnosti. Pri tem je kljucno, da je opazovani predmet enakomerno in ravnoprav mocno osvetljen. Enakomerno osvetlitev z majhnim, neenakomernim svetilom (npr.zarnico) nam omogoca t.i. Kohlerjeva osvetlitev, ki je ponavadi ze vgrajena v mikroskope.Osnovna znacilnost Kohlerjeve osvetlitve je, da svetloba z vsake tocke svetila enakomernoosvetljuje celoten predmet. Za Kohlerjevo osvetlitev skrbita dve leci z zaslonkama: ko-lektor in kondenzor. Opticne osi kolektorja, kondenzorja, objektiva in okularja se morajoujemati, na opticni osi pa mora biti tudi svetilo. Poti zarkov iz predmeta (imenujemo jihupodabljajoci zarki) in iz svetila (imenujemo jih osvetlitveni zarki) pri Kohlerjevi osvetlitviso prikazane na sliki 6.7. Ostra slika opazovanega predmeta nastane na mestih, v katerihse zberejo upodabljajoci zarki, ostra slika zarnice svetila pa nastane, kjer se sekajo osve-tlitveni zarki. Iz slike 6.7 vidimo, da pri Kohlerjevi osvetlitvi ostra slika zarnice s svetilavedno nastane na drugih mestih kot ostra slika opazovanega predmeta.

Lece so pri Kohlerjevi osvetlitvi postavljene tako, da kolektor svetilo preslika v goriscnoravnino kondenzorja. Osvetlitveni zarki, ki izhajajo iz ene tocke svetila so tako na drugistrani kondenzorja, kjer je opazovani predmet, vzporedni in porazdeljeni po celem svetlob-nem polju. Zato jih pri gledanju skozi mikroskop vidimo kot enakomerno svetlo ozadje.Kolektorska zaslonka je postavljena v ravnino, v kateri se sekajo upodabljajoci zarki, zatojo vidimo ostro hkrati s predmetom. Z njo dolocamo koliksen del predmetne ravnine oz.opazovanega predmeta je osvetljen. Nastavimo jo tako, da je osvetljeno le vidno polje, sajv nasprotnem primeru sipanje svetlobe na podrocjih izven vidnega polja, ki jih v okularjutako ali tako ne vidimo, sliko le pokvari. Kondenzorska zaslonka je postavljena v ravnino,v kateri se sekajo osvetlitveni zarki, zato lahko z njo uravnavamo jakost osvetlitve.

Osvetlitev ponavadi nastavimo po korakih:

1. najprej izostrimo predmet pri priblizni osvetlitvi,

2. zapremo kolektorsko zaslonko in premikamo kondenzor vzdolz opticne osi tako, dahkrati vidimo skozi mikroskop izostren predmet in zaslonko kolektorja

3. kolektorsko zaslonko sedaj odpremo toliko, da se njen rob pokriva z vidnim poljem(da je ravno ne vidimo vec)

4. nastavimo svetlobni izvor ali kolektorsko leco tako, da slika svetila nastane ravno vgoriscni ravnini kondenzorja (to je hkrati ravnina, kjer je kondenzorska zaslonka). Prinastavitvi nam lahko pomaga dejstvo, da je takrat ostra slika svetila tudi v zadnjigoriscni ravnini objektiva (slika 6.7).

57

Slika 6.7: Potek upodabljajocih (zgoraj) in osvetlitvenih (spodaj) zarkov pri Kohlerjevi osve-tlitvi. Realne slike, ki nastanejo pri preslikavah, so narisane s sivo barvo. Iz poteka upo-dabljajocih zarkov je razvidno, da se skozi mikroskop skupaj s predmetom vidi ostro tudikolektorsko zaslonko, katere slika nastane v predmetni ravnini. Povsod, kjer pa se sekajoosvetlitveni zarki, nastane slika svetila oz. kondenzorske zaslonke.

V nasprotju s kondenzorjem, ki ga v praksi nastavimo po vsaki menjavi objektiva, lahkoponavadi kolektor nastavimo le obcasno in ga med vsakdanjim mikroskopiranjem ne pre-mikamo.

Naloge: 1. Narisite znacilne zarke skozi leco v naslednjih primerih (priporoca se, dato nalogo naredite ze doma):

• predmet stoji med zbiralno leco in njenim goriscem

• predmet je med razprsilno leco in njenim goriscem.

2. Dolocite goriscno razdaljo zbiralne lece, za katero le ta ni podana (t.j. leceobjektiva).

3. Na opticni klopi sestavite preprost model mikroskopa brez Kohlerjeve osve-tlitve in narisite shemo postavitve.

4. Izmerite in izracunajte povecavo mikroskopa.

5. Izmerite in izracunajte locljivost mikroskopa.

6. Mikroskopu dodajte se Kohlerjevo osvetlitev in se seznanite z vlogo kolek-torske in kondenzorske zaslonke.

58

Potrebscine: Pri vaji boste uporabljali stiri lece: objektiv, okular, kolektorsko ter kon-denzorsko leco. Poleg njih k opticni klopi spadajo tudi: svetilo, dve za-slonki (ena za kolektor, druga za kondenzor), nastavek za predmet terzaslon. Goriscna razdalja je oznacena na vseh lecah razen pri objektivu.Vsi opticni deli in svetilo morajo biti med izvedbo vaje nastavljeni v istoopticno os!

Predmeti, ki jih boste v vaji opazovali so na prilozenih diapozitivih. Privecini nalog boste uporabljali diapozitiv, na katerem so crke F. Diapozitivez mrezo crtic boste potrebovali le pri nalogi 5, kjer boste dolocali uporabnolocljivost mikroskopa.

Izvedba

1) Naloga 1. V zvezek narisite poti znacilnih zarkov, ki jih zahteva naloga in napisite,ali nastane realna ali navidezna slika. Pri tem si pomagajte z opisom pri sliki 6.2.Goriscna razdalja lece naj bo 3 cm (oz. −3 cm pri razprsilni leci), razdalja med lecoin predmetom 1,5 cm, velikost predmeta pa naj bo 1 cm.

2) Naloga 2. Pri tej nalogi boste dolocili goriscno razdaljo lece objektiva. Goriscnorazdaljo najprej grobo ocenite tako, da z leco objektiva preslikate zelo oddaljen pred-met na zaslon (na primer: z leco objektiva preslikate stropno luc na mizo, ali paokno na nasprotno steno). Ko je slika oddaljenega predmeta na zaslonu ostra, jerazdalja med leco in zaslonom priblizno enaka goriscni razdalji lece, saj so zarki zzelo oddaljenega predmeta prakticno vzporedni in slika pri zbiralni leci nastane vnjeni goriscni ravnini.

Natancno goriscno razdaljo lece dolocite na opticni klopi. Nanjo postavite zapore-doma: svetlobni izvor, nastavek s predmetom na katerem so crke F, objektiv terzaslon. Predmet postavite na oznaceno mesto, svetilo postavite cim blizje predmetu,zaslon pa naj bo od predmeta oddaljen med 25 in 40 cm. Svetilo nastavite na najvecjodovoljeno moc (jakost osvetlitve nastavljate z izbiro napajalne napetosti). S premi-kanjem objektiva po opticni klopi poiscite tisto lego, pri kateri nastane na zaslonuostra slika predmeta. Ali je slika predmeta zares obrnjena na glavo in levo-desno? Iz-merite oddaljenost predmeta od lece (a) in oddaljenost slike od lece (b) ter po enacbi6.3 izracunajte goriscno razdaljo. Meritev ponovite vsaj trikrat pri treh razlicnihoddaljenostih med predmetom in zaslonom. Za vsako meritev posebej izracunajtegoriscno razdaljo ter kot rezultat navedite povprecno vrednost vseh treh meritev.

3) Naloga 3. Pri tej nalogi boste na opticni klopi postavili enostavni model mikroskopabrez Kohlerjve osvetlitve (kondenzor in kolektor boste dodali in nastavili sele kasneje,pri nalogi st. 6). Pri postavitvi si pomagajte s sliko 6.5, na kateri je prikazana potznacilnih zarkov skozi mikroskop. Iz nje je razvidno, da je pri mikroskopu razdaljamed objektivom in okularjem enaka b+fOK , kjer je b razdalja med objektivom in sliko

59

predmeta, ki jo preslika objektiv, fOK pa je goriscna razdalja okularja. Z drugimibesedami, gorisce okularja sovpada s sliko predmeta, ki jo preslika objektiv.

Na opticno klop postavite zaporedoma svetilo, predmet, objektiv. Predmet naj bona oznacenem mestu, razdalja med predmetom in objektivom pa naj bo a = 6 cm,ce vajo delate v laboratoriju I, oziroma a = 6,5 cm, ce delate vajo v laboratoriju II.Na opticno klop postavite se zaslon in z njegovo pomocjo dolocite razdaljo b medobjektivom in sliko, ki jo preslika objektiv. Nato zaslon odstranite z opticne klopiin nanjo na razdaljo b + fOK od objektiva postavite okular (fOK je oznacena naokularju).

Preprost mikroskop je tako sestavljen. Ustrezno zmanjsajte jakost osvetlitve in po-glejte skozi okular. Ce je vse pravilno nastavljeno, vidite povecano sliko predmeta.Opazili boste, da ni vseeno, kako gledate skozi okular: zenico svojega ocesa moratepostaviti natancno v izstopno zenico okularja, ki je pri tem mikroskopu od okularjaoddaljena za kar nekaj centimetrov. Lego izstopne zenice okularja lahko dolocite na-tancno, ce s pomocjo zaslona opazujete, kje se snop svetlobe, ki prihaja skozi okular,zdruzi v najmanjso liso (pri iskanju izstopne zenice naj bo osvetlitev nastavljena nanajvecjo jakost).

Na milimetrski papir narisite shemo mikroskopa v razmerju 1:4 (razdalja 4 cm naopticni klopi je 1 cm na shemi. Primer: ce je dejanska goriscna razdalja lece enaka10 cm, je na shemi ta razdalja enaka 2,5 cm). Velikost predmeta pri risanju izberitepoljubno. Na shemi narisite potek treh znacilnih zarkov s predmeta (slika 6.5).Pazite na natancnost pri risanju - zaradi majhnih nenatancnosti pri risanjuje lahko koncna slika povsem narobe!

4) Naloga 4. Povecavo mikroskopa lahko dolocimo glede na velikost zornega kota, podkaterim skozi mikroskop vidimo predmet. Primerjali boste torej velikosti slike, ki jovidite skozi mikroskop, z velikostjo predmeta, ki jo vidite z normalne zorne razdalje.Pri tem si boste pomagali z merilom. Najprej z njim izmerite dejansko velikost crke Fna predmetu. Nato izmerite navidezno velikost crke F, ki jo vidite skozi mikroskop:z enim ocesom glejte skozi mikroskop, z drugim pa hkrati na merilo, ki ga drziteob opticni osi v normalni zorni razdalji (x0 = 25 cm) pred ocesom (slika 6.8). Nata nacin z merila odcitate navidezno velikost crke F. Povecava mikroskopa je v temprimeru razmerje med navidezno velikostjo slike in dejansko velikostjo crke F.

Povecavo mikroskopa izracunajte se po enacbi 6.5, saj poznate vrednosti e, x0, fOK

in fOB, ter izracunano vrednost povecave primerjajte z izmerjeno.

5) Naloga 5. Locljivost mikroskopa dolocite s tem, da ocenite, katera je najmanjsa raz-dalja med crtami na predmetu, pri kateri crte se jasno vidite. V ta namen uporabitediapozitive, na katerih so mreze z razlicnimi gostotami crt. Zacnete z diapozitivomz mrezo, pri kateri so crte najbolj narazen. Ce crte v tej mrezi se razlocite, vzemitediapozitiv z gostejso mrezo in tako naprej, vse dokler crt ne razlocite vec. Mejalocljivosti mikroskopa je priblizno enaka najmanjsi se vidni razdalji med crtami.

60

x0

Slika 6.8: Gledanje skozi mikroskop pri dolocanju povecave.

Za izracun najvecje teoreticno mogoce locljivosti po enacbi 6.6 morate najprej dolocitinumericno aperturo objektiva. Iz definicije numericne aperture (enacba 6.7) je raz-vidno, da je za to potrebno izmeriti radij lece objektiva ROB in iz tega dolociti kotα. Za valovno dolzino λ vzemite 550 nm, lomni kolicnik zraka pa je 1.

Primerjajte izracunano locljivost z izmerjeno. Ali je locljivost mikroskopa v vsakemprimeru tako dobra kot najvecja teoreticna mogoca locljivost po enacbi 6.6? Zakaj?(namig: Pri opazovanju uporabljamo oci. Je omejitev za prakticno locljivost privaji mogoce majhna povecava mikroskopa ter omejena locljivost ocesa? Kaksni sta“povecava” in locljivost ocesa? Napake lec seveda tudi zmanjsajo locljivost mikro-skopa, a pri majhnih povecavah, kot je pri tej vaji, je ta prispevek skoraj zanemarljiv).

6) Naloga 6. Spoznajte se s Kohlerjevo osvetlitvijo. Na opticno klop dodajte se kolek-tor in kondenzor ter nastavite osvetlitev. Pri tem sledite navodilom, ki so pri vaji.Pri nastavitvi osvetlitve je kljucno, da so vsi deli zares v isti opticni osi! Opazujte,kaksno vlogo imata kolektorska in kondenzorska zaslonka.

61

7 Lastnosti in merjenje svetlobe

Pri tej vaji se bomo seznanili z valovno in delcno naravo svetlobe ter s pojmi spekter, uklonin interferenca. Spoznali bomo, kako se doloci valovne dolzine in izmeri gostoto svetlobnegatoka. Povedali pa bomo tudi nekaj o biofizikalnih osnovah zaznavanja svetlobe z ocesom.

Svetloba ima v zivalskem in rastlinskem svetu pomembno vlogo (fotosinteza, zazna-vanje s fotoreceptorji, poskodbe zaradi ultravijolicne svetlobe). Uporabljamo jo tudi pristevilnih klinicnih, biofizikalnih in biokemijskih meritvah, kot tudi pri zdravljenju. Pri temni pomembna le jakost svetlobnega toka, ampak tudi, kako je svetlobni tok porazdeljenpo valovnih dolzinah (barvah) in kaksno povrsino obseva. Gostota svetlobnega toka, alinatancneje gostota energijskega toka svetlobe (j), je po definiciji enaka energiji, ki pade vcasovni enoti na enoto povrsine pravokotno na smer razsirjanja valovanja.

7.1 Spekter

Porazdelitev gostote svetlobnega toka po valovnih dolzinah oziroma frekvencah imenujemospekter svetlobe. Spekter lahko izmerimo, ce se usmerjen svetlobni curek svetlobe iz izvorarazkloni pri prehodu skozi opticno prizmo ali uklonsko mrezico. Spekter je lahko zvezenali crtast. V zveznem spektru so v nekem podrocju valovnih dolzin zastopane vse valovnedolzine. Predstavimo ga tako, da nanasamo na eno os valovno dolzino (λ), na drugo os padelez gostote energijskega toka, ki pade v majhen interval valovnih dolzin (dj/dλ). Gostotaenergijskega toka svetlobe z valovnimi dolzinami med λ in λ + dλ je

dj =dj

dλdλ . (7.1)

Primer zveznega spektra je narisan na sliki 7.1.Celotno gostoto svetlobnega toka dobimo, ce sestejemo prispevke vseh valovnih dolzin

v spektru

j =

∫ ∞

0

dj

dλdλ . (7.2)

Na sliki 7.1 je torej celotna gostota svetlobnega toka enaka ploscini pod krivuljo. Primerizveznega spektra so spekter soncne svetlobe ali spektri volframovih in halogenskih zarnic.

Crtast pa je spekter, v katerem nastopajo le nekatere valovne dolzine. Predstavimoga tako, da nanasamo na eno os valovno dolzino, na drugo pa gostoto svetlobnega toka.Visina crte predstavlja gostoto svetlobnega toka z doloceno valovno dolzino (slika 7.2).Crtasti spektri so znacilni za svetlobo, ki jo izsevajo atomi pri prehodu iz vzbujenih stanjv nizja energijska stanja. Atomi elementov imajo svoje znacilne spektre. Spektre svetlobedolocenih svetil lahko razlozimo kot superpozicijo crtastega in zveznega spektra. Take se-stavljene spektre imajo neonske (varcne zarnice) in oblocne zarnice. Zelo poznan sestavljenspekter je spekter “svetlobe”, ki jo seva rentgenska cev.

62

λ [ m]µ

3[ 10 W/m ]13

dλdj

0 0.5 1 1.5 2

10

8

6

4

2

0

Slika 7.1: Primer zveznega spektra, ki ga seva sonce, katerega povrsina ima temperaturo6000 K.

7.2 Uklon in interferenca

O uklonu govorimo, kadar se valovanje siri v geometrijsko senco za oviro. Pojav opazimo,ce je velikost ovire ali odprtine primerljiva z valovno dolzino valovanja ali manjsa od nje.Valovne dolzine vidne svetlobe so zelo majhne v primerjavi z dimenzijami predmetov izvsakdanjega zivljenja, zato uklona svetlobe na njih ne opazimo. Z zvokom je drugace, sajso valovne dolzine primerljive, zato slisimo zvok za drevesom, ceprav zvocila ne vidimo.

Valovanja, ki se sirijo iz vec izvorov, med seboj interferirajo, kar pomeni, da je trenutenodmik v posamezni tocki vsota trenutnih odmikov valovanj iz vseh izvorov, ki so doseglato mesto. Valovanja iz izvorov se na dolocenih podrocjih prostora ojacujejo, na drugih paoslabijo. Kadar dva izvora nihata z isto frekvenco in v fazi (hkrati dosegata maksimumein minimume), se valovanji iz takih izvorov najbolj ojacita na mestih, kjer je razlika potiobeh valovanj enaka celemu veckratniku valovne dolzine. Najbolj pa se valovanje oslabi namestih, kjer se poti razlikujeta za lih veckratnik polovicne valovne dolzine (fazi valovanjsta na tem mestu nasprotni).

7.3 Uklonska mrezica

Mislimo si, da pade enobarvna svetloba z valovno dolzino λ pravokotno na ozki rezi, ki stamed seboj oddaljeni za D. Zaradi pravokotnega vpada svetlobe sta odmika v rezah v fazi.Svetloba se na zelo ozki rezi razkloni in izhaja iz nje kot iz tockastega izvora. Valovanji,ki izhajata iz rez, interferirata. Iz slike 7.3 je razvidno, da se dolzini opticnih poti valovanjzelo dalec za rezama, ko lahko obravnavamo, da sta poti vzporedni, razlikujeta za

d = D sin α . (7.3)

63

Slika 7.2: Primer crtastega spektra.

uklonskamrezica

T

uklonskamrezica

αD

α

αD

sinα

α

Slika 7.3: Razlika poti vzporednih zarkov, uklonjenih na sosednjih rezah (levo). Ce stadolzini poti valovanj do izbrane tocke (tocka T) mnogo vecji od razdalje med rezama, lahkoobravnavamo, da sta poti vzporedni (desno).

64

Ce se poti zarkov razlikujeta ravno za veckratnik valovne dolzine, se valovanji najboljojacujeta, na takem mestu nastane interferencni vrh. Ti vrhovi lezijo v smereh (α), zakatere velja pogoj

d = D sin α = Nλ , (7.4)

kjer je N celo stevilo. To stevilo pove, za koliko valovnih dolzin se razlikujeta poti zarkoviz dveh sosednjih rez, in oznacuje uklonski red. Ce se poti valovanj razlikujeta za lihveckratnik polovicne valovne dolzine, se valovanji oslabita, kar se zgodi v smereh, za katerevelja

d = D sin α = (N +1

2)λ . (7.5)

Vidimo, da se na danih rezah pri istem uklonskem maksimumu (N) svetloba z daljsovalovno dolzino bolj ukloni kot svetloba s krajso valovno dolzino.

Smeri uklonskih maksimumov so enake, ce imamo namesto dveh v enakih razmakih rezvec, maksimumi pa so izrazitejsi. Tako pripravo imenujemo opticna ali uklonska mrezicain uporabljamo jo pri dolocanju spektrov.

Ce na rezo ali opticno mrezico pada svetloba, v kateri so zastopane razlicne valovnedolzine (na primer bela svetloba), se le v smeri, ki je nadaljevanje vpadnega zarka, zopetsestavijo prispevki vseh valovnih dolzin – nicti uklonski maksimum je zato enake barve kotvpadna svetloba. Ostali maksimumi so za razlicne valovne dolzine v razlicnih smereh, karpomeni, da se svetloba razkloni. Ce opticni mrezici dodamo se umerjen zaslon, dobimopreprost spektrometer na uklonsko mrezico. V spektrometrih, ki se uporabljajo pri prei-skavah in v raziskovalne namene, so vgrajene se dodatne enote, kot so detektorji svetlobe,merilci premika, izvori svetlobe. Da bi bili uklonski koti dovolj veliki, mora biti razdaljamed zarezami primerljiva z valovno dolzino svetlobe, kar pomeni, da mora imeti uklonskamrezica od 100 do 800 zarez na milimeter.

7.4 Svetlobni kvanti, fotoni

Lastnosti svetlobe, kot sta uklon in interferenca, lahko enostavno razlozimo, ce opisujemosvetlobo kot elektromagnetno valovanje. Po drugi strani pa lahko pojave, kot je fotoelek-tricni pojav, razlozimo, ce privzamemo, da je svetloba sestavljena iz “delckov z dolocenoenegijo” – fotonov. Pravimo, da ima svetloba dvojno naravo: valovno in delcno. Fotone silahko predstavljamo kot energijske delce brez mase, ki se gibljejo s svetlobno hitrostjo c.Energija fotona je sorazmerna frekvenci svetlobe ν

W = hν = hc

λ, (7.6)

kjer je sorazmernostni koeficient Planckova konstanta (h = 6,6× 10−34 Js).Gostoto svetlobnega toka lahko izrazimo z gostoto energije, w = nhν, pomnozeno s

svetlobno hitrostjo:j = nhνc , (7.7)

kjer je n stevilo fotonov na prostorninsko enoto.

65

7.5 Fotoelektricni pojav

V kovini je oblak prevodnih elektronov. Ti se prosto gibljejo po kristalni mrezi, ki jotvorijo ioni kovine, vendar nimajo dovolj energije, da bi premagali mrezni privlak in kovinozapustili. Elektron, ki je blizu povrsine, lahko zapusti kovino, ce dobi iz okolice dovoljenergije. Energijo, ki jo potrebuje elektron, da premaga mrezni privlak in zapusti kovino,imenujemo izstopno delo (Aiz). Pri fotoelektricnem pojavu (fotoefektu) dobijo elektronienergijo z absorpcijo fotona. Nekaj je porabijo za izstopno delo, ostalo pa gre v kineticnoenergijo elektrona (Wkin). Velja

hν = Aiz + Wkin. (7.8)

Do fotoelektricnega pojava pride v kovini le, ce je energija fotona vpadle svetlobe vecjaod izstopnega dela za to kovino (hν > Aiz), kar pomeni, da mora imeti svetloba dovoljveliko frekvenco oziroma dovolj majhno valovno dolzino.

7.6 Polprevodniski merilniki svetlobe

V trdni snovi so elektroni razporejeni po energijskih pasovih. V vsakem energijskem pasuje ogromno stevilo energijskih nivojev za elektrone. Posamezni energijski pasovi so locenis prepovedanimi pasovi. Zadnjemu popolnoma zasedenemu energijskemu pasu pravimovalencni pas, prvemu naslednjemu pa prevodni pas (slika 7.4). Fizikalne lastnosti snovi– nas zanima predvsem prevodnost – pa so odvisne od lege in zasedenosti energijskihpasov. Snov prevaja elektricni tok, ce se elektroni lahko gibljejo, kar pomeni, da morajobiti na razpolago nezasedeni nivoji. Popolnoma prazen prevodni pas in energijsko sirokprepovedani pas (10 eV ali vec) dajeta snovi lastnosti izolatorja. Ce je prepovedani pasozji, je snov polprevodnik, v prevodnikih pa je prevodni pas delno zaseden z elektroni.

Ce polprevodnik ni osvetljen, je pri nizkih temperaturah prevodni pas popolnoma pra-zen, valencni pas pa popolnoma zaseden. Ker v valencnem pasu ni na razpolago praznihmest, se elektroni ne morejo gibati tako, da bi prevajali elektricni tok. Ce pa dobijo nekajenergije iz okolice (termicno vzbujanje ali pa absorpcija fotona), lahko preidejo v prevodnipas, zato se polprevodnikom upor zmanjsuje s temperaturo in osvetljenostjo. Verjetnost,da bo posamezen foton “izbil” elektron v prevodni pas, je odvisna od sirine prepovedanegapasu in energije (valovne dolzine) fotona.

Najpogosteje uporabljamo polprevodniske merilnike (fotoupore, fotodiode, fototranzi-storje) iz silicija ali selena ter iz svincevega in kadmijevega sulfata. Za njihovo napajanjepotrebujemo nizko napetost (od 3 V do 30 V). Spektralna obcutljivost (η) polprevodniskegamerilnika svetlobe, ki ga uporabljamo pri vaji, je prikazana na sliki 7.5.

7.7 Oko

V oceh visjih zivalskih vrst preslikata rozenica in ocesna leca predmet na mreznico, vkateri so za svetlobo obcutljive celice, fotoreceptorji. Fotoreceptorsko celico sestavljatadel, ki skrbi za energijsko preskrbo celice in elektricni prenos signala do zivca, in del, vkaterem se svetloba absorbira in se svetlobni drazljaj preko kemicne pretvorbe spremeni v

66

= 0T T > 0

polprevodnik

aliprevodnipas

prepovedanipas

pas

ener

gija

prevodnikizolator

valencni

inni osvetljen osvetljen

Slika 7.4: Razporeditev elektronov po energijskih pasovih. Sivo so oznaceni zasedeni ele-ktronski nivoji v energijskem pasu. Meja med valencnim ter prepovedanim pasom jeoznacena z debelo polno crto in meja med prepovedanin ter prevodnim pasom je oznacenaz debelo crtkasto crto. Ce je temperatura polprevodnika vecja od nic ali ce je polprevo-dnik osvetljen, nekaj elektronov preide v prevodni pas (tanke crte), zato v valancnem pasunastanejo vrzeli, ki so oznacene z belo crto.

elektricnega. Bistveni sestavni del tega dela je membrana z veliko povrsino. V membraniso kromoproteini (pri cloveku je to rodopsin), ki se ob absorpciji fotona kemicno spremenijo(rodopsin razpade na opsin in retinal), kar sprozi se druge kemijske reakcije, ki povzrocijospremembo prevodnosti celicne membrane. Ravnovesna porazdelitev anionov in kationovna obeh straneh membrane se porusi, kar lahko opisemo kot napetostni sunek, ki se prekosinapse prenese na ocesni zivec.

Za razcep kromoproteinske molekule je potrebna energija, ki jo prinese foton. Ker morabiti energija fotona dovolj velika, je oko obcutljivo le za fotone z valovno dolzino, manjsood priblizno 700 nm. Oko po drugi strani ne zazna fotonov z valovno dolzino, manjso od410 nm, ker se absorbirajo v ocesni leci in rozenici. Glede na to imenujemo obmocje elek-tromagnetnega valovanja med 410 nm in 700 nm vidna svetloba. Daljse valovne dolzine kotvidna ima infrardeca svetloba, krajse pa ultravijolicna. Del ultravijolicne svetlobe z valov-nimi dolzinami blizu vidne svetlobe opazimo kot rumenkasto meglico zaradi fluorescenceflavina v rozenici. Ultravijolicna svetloba poskoduje rozenico, zascitimo se lahko s filtri(dobra soncna ocala ne prepuscajo valovnih dolzin pod 400 nm), delno pa ze s steklom, sajprepusca le svetlobo z valovnimi dolzinami nad 320 nm.

Oko je za zmerno mocno svetlobo (fotopicno gledanje) najbolj obcutljivo za svetloboz valovno dolzino 560 nm. Ce pa je svetloba sibka, gledamo z drugimi, za svetloboobcutljivimi celicami. Vrh obcutljivosti se premakne na 510 nm (skotopicno gledanje).Ustrezni spektralni obcutljivosti ocesa sta narisani na sliki 7.6.

Clovesko oko je med najbolj obcutljivimi merilniki svetlobe. Prilagodi se lahko narazlicne gostote svetlobnega toka. Po eni uri v temi zazna povprecno oko nanosekundenblisk z valovno dolzino 510 nm ze, ce je v njem vsaj petdeset fotonov. Obcutljivost se od

67

Slika 7.5: Obcutljivost polprevodniskega detektorja v odvisnosti od valovne dolzine.Obcutljivost je prikazana v relativnih delezih glede na najvecjo obcutljiost, ki je pri va-lovni dolzini 760 nm.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

350 400 450 500 550 600 650 700 750Valovna dolzina [nm]

skotopicnofotopicno

Slika 7.6: Spektralna obcutljivost ocesa, ki je podana v relativnih delezih glede na najvecjoobcutljivost.

68

ocesa do ocesa razlikuje, tako da lahko sprozi drazljaj v vidnem zivcu v najboljsem primerucelo ze pet fotonov. Casovna locljivost ocesa je pribizno 1/25 s. Barve lahko locimo le prifotopicnemu gledanju, zato pri majhni gostoti svetlobnega toka barv ne locimo.

Naloge: 1. Merjenje gostote svetlovnega toka v odvisnosti od oddaljenosti do zarnice.

2. Dolocite razdaljo med zarezami mrezice, ce poznate valovno dolzino sve-tlobe.

3. Dolocite spekter svetlobnega toka, ki ga seva prilozeno svetilo. Spektralnaobcutljivosti uporabljenega polprevodniskega detektorja je podana na sliki7.5.

Potrebscine: opticna klop

izvor svetlobe (zarnica)

detektor svetlobe (merilec svetlobnega toka)

merilo

Izvedba

1) Merjenje svetlobnega toka v odvisnosti od razdalje med svetilom in detektorjem: Sve-tlobni izvor prikljucite na ustrezno napetost in ga postavite na opticno klop. Ustreznopovezite tudi detektor, napajanje za detektor in voltmeter (slika 7.7). Preverite, ceje napajanje detektorja vkljuceno.

Vse meritve naj potekajo v temi. Voltmeter naj bo nastavljen na istosmerno na-petost (oznaka

≃

). Voltmeter ima vgrajeno lucko za odcitavanje, ki jo prizgemo zrumenim gumbom, pomagate pa si lahko tudi z baterijsko svetilko. Ne svetite z njoneposredno na detektor! Odziv polprevodniskega detektorja narasca z osvetljenostjoin temperaturo, zato izmerite napetost na detektorju, ko ni osvetljen. Dobljeno vre-dnost bomo vzeli kot referencno napetost, saj privzamemo, da se temperatura medcelotno meritvijo ne bo bistveno spreminjala. Pri vseh meritvah svetlobnega toka odizmerjene napetosti odstejte to referencno napetost.

Gostoto svetlobnega toka, ki pade na detektor, spreminjajte tako, da spreminjaterazdaljo med svetilom in detektorjem (x). Gostota svetlobnega toka, ki ga tockastosvetilo seva enakomerno v vse smeri, pada s kvadratom razdalje

j =C

x2. (7.9)

Zakaj pada ravno s kvadratom razdalje? Gostota toka je v katerikoli smeri na dolocenirazdalji enaka, ker svetilo seva enakomerno v vse smeri. Ker povrsina narasca kot

69

x

voltmeter

detektor

transformator in usmernik

U = 220 V U = 220 V

transformatorin usmernik

izvor svetlobe

opticna klop

Slika 7.7: Shema vezave pri merjenju gostote svetlovnega toka v odvisnosti od razdalje medsvetilom in detektorjem (x).

razdalja na kvadrat in ker se svetlobni tok ohranja, je njegova gostota obratno so-razmerna s kvadratom razdalje. Upostevali smo, da je absorpcijski koeficient zrakaza svetlobo tako majhen, da lahko absorpcijo v zraku zanemarimo. Pri linearnemodzivu detektorja pada s kvadratom razdalje izmerjena napetost tudi linearno.

Izmerite napetost na detektorju pri desetih oddaljenostih detektorja od svetila. Pa-zite, da merite na razdaljah, ki so velike v primerjavi z dimenzijami svetila. Upostevajte,da odboji znotraj ohisja navidezno povecajo svetilo. Oddaljenosti izberite tako, dabodo tocke v diagramu, ki bo prikazoval izmerjeno napetost v odvisnosti od reci-procne vrednosti kvadrata razdalje, priblizno enakomerno porazdeljene (vec tock primanjsih oddaljenostih). Narisite odvisnost napetosti U od 1/x2 in preverite, ce lezedobljene tocke na premici. Za obmocje, kjer lezijo izmerjene tocke na premici, lahkozapisemo zvezo j = konst.U , ker je gostota svetlobnega toka obratnosorazmerna skvadratom razdalje x (enacba 7.9).

2) Meritev razdalje med rezami uklonske mrezice z merjenjem uklonskega kota laserskesvetlobe z valovno dolzino 650 nm.

OPOZORILO: NIKOLI NE GLEJTE DIREKTNO V IZVOR SVETLOBE.

Najprej prestavite detektor iz opticne klopi na sanke premicne roke spektrometra inprizgite svetilo. Nato preverite, ce je spekrometer pravilno nastavljen. To pomeni,da so izvor svetlobe, reza in uklonska mrezica na isti osi, kar preverite tako, da jemrezica osvetljena na sredini (slika 7.8). Preverite pravokotno postavitev uklonske

70

o90

opticna os

U = 220 V

izvor svetlobe

mrezica

dodatni zaslon

detektor

voltmeter

αreza

U = 220 V

transformatorin usmernik

Slika 7.8: Shema vezave pri merjenju razdalje med rezama pri uklonski mrezici in primerjenju spektra.

mrezice: oznaka 0 mora biti na sredinski crti, gledano z vrha. Ko je vse na mestu, jesredina nictega uklonskega maksimuma tocno na mestu z oznako 0. Ugasnite svetiloin prizgite laser. Laser imejte prizgan samo med meritvijo. Za valovno dolzino laserjavzemite 650 nm.

Sedaj ste vse pripravili za dolocitev smeri prvega uklonskega maksimuma. Premicnoroko z detektorjem premikate v smeri narascanja kota α toliko casa, da je rdeca pikaprvega uklonskega maksimuma tocno na liniji, ki oznacuje sredino detektorja. Naskali odcitajte uklonski kot in izracunajte razdaljo med sosednjimi rezami opticnemrezice (enacba 7.4).

3) Merjenje spektra svetlobe, ki jo oddaja bela dioda: Ponovno prizgite svetilo. Enakokot pri tocki 2 preverite, da je nicti uklonski maksimum res na oznaki 0. Opazujteprvi uklonski maksimum. Kaksen je spekter svetlobe, ki ga seva svetilo? Pri kateremkotu pricakujete rdeci del spektra?

Z dodatnim zaslonom poskrbite, da na detektor pada res le svetloba, ki je preslaopticno mrezico in ne tudi svetloba, ki bi do detektorja prisla neposredno od svetila –mimo mrezice. Pri vklopljenem izvoru svetlobe ponovno izmerite referencno napetost,tako da postavite detektor v temen del med nicti in prvi uklonski maksimum. Sto meritvijo boste dolocili ozadje za dano postavitev, to je odziv detektorja zaraditemperature in sipane svetlobe, ki ne pripada uklonskemu maksimumu. Zapisite siizmerjeno referencno napetost (Uoz).

71

Z detektorjem izmerite svetlobni tok, ki pada na detektor v odvisnosti od kota.Meriti zacnete tik pred zacetkom prvega uklonskega maksimuma(zapisujte si koteα in ustrezne napetosti na izhodu detektorja (Ui)). Meritev ponavljate, s tem, davsakokrat povecate kot α za eno stopinjo, tolikokrat, da pride detektor ponovno vtemno podrocje. Za vsako odcitavanje z voltmetra ugasnite baterijsko svetilko!

Izmerite tudi sirino detektorja (detektor je majhna crna ploscica, priblizno na sredininavpicnega nosilca) in razdaljo med uklonsko mrezico in detektorjem.

S poznavanjem razdalje med sosednjimi rezami in kotov prvega uklonskega maksi-muma izracunajte valovne dolzine pripadajoce svetlobe po enacbi 7.4. Pri dolocanjusvetlobnega toka pri posamezni valovni dolzini upostevamo ozadje (odstevamo re-ferencne napetosti) in razlicno obcutljivost polprevodniskega detektorja za svetloberazlicnih valovnih dolzin (slika 7.5). Obcutljivost 0,25 pomeni, da detektor zazna le25 % vpadne svetlobe, kot bi jo pri maksimalni obcutljivosti. Elektricni tok prekodetektorja je zato ustrezno manjsi, kot bi bil, ce bi zaznal vse fotone.

Za vsako izmerjeno valovno dolzino iz izmerjenih napetosti na izhodu detektorjain podane spektralne obcutljivosti detektorja (slika 7.5) izracunajte napetost (Ui −Uoz)/η, ki je sorazmerna z gostoto vpadnega toka. Narisite diagram odvisnosti go-stote vpadnega toka od valovne dolzine, kjer na ordinato nanasate kar preracunanenapetosti ((Ui − Uoz)/η).

Da je gostota svetlobnega toka linearno odvisna od napetosti na izhodu detektorja,ste ugotavljali pri tocki 1. V bistvu tako izmerjen spekter podaja odvisnost ∆j/∆λod λ, a cim bolj je ∆λ majhna, tem bolj upraviceno lahko vrhove stolpcev povezemoz gladko krivuljo in to predstavimo kot odvisnost dj/dλ. Seveda se moramo zavedati,da lahko pri malo izmerjenih tockah zaradi tega izgubimo kaksno znacilnost spektra(na primer crto pri sestavljenem spektru).

Dodatek za bolj natancne: Dejansko detektor izmeri celoten tok, ki pada nanj.Ker je koncno sirok, meri hkrati prispevke valovnih dolzin v ozkem pasu. Poglejmo,kaksno spremembo valovne dolzine pomeni majhna sprememba smeri uklonskegamaksimuma. Po odvajanju enacbe 7.4 sledi

D cos α dα = dλ, (7.10)

kjer smo upostevali, da gre za prvi uklonski maksimum (n = 1). Sedaj lahko zapisemosirino pasu valovnih dolzin (∆λ) v odvisnosti od sirine intervala kotov α (∆α): ∆λ =D cosα ∆α. Bistvena ugotovitev je, da je sirina pasu odvisna od uklonskega kota (α),zato moramo to pri natancnem risanju spektra upostevati. Ce za ∆α vstavimo karrazmerje med sirino detektorja in razdaljo med mrezico in detektorjem (pri majhnihkotih je tangens kota kar priblizno enak kotu), lahko izracunamo sirino pasu (∆λ).Da narisemo bolj natancen spekter, ze preracunane napetosti (Ui − Uoz)/η delimose s sirino pasu (∆λ) oziroma kar s cosα, ker so velikost detektorja, razdalja medmrezico in detektorjem ter razdalja med rezami uklonske mrezice konstantne.

72

8 Prevajanje elektricnih sunkov po zivcnem vlaknu

Pri tej vaji se bomo seznanili z osnovnimi znacilnostmi prevajanja elektricnih sunkov pomieliniziranem delu zivcnih vlaken.

8.1 Struktura in elektricne lastnosti zivcnega vlakna

Zivcna vlakna – aksoni – so podaljski zivcnih celic, po katerih se prenasajo drazljaji odene do druge zivcne celice. Debelina aksonov je nekaj mikrometrov, dolgi pa so lahkotudi vec kot en meter. Membrano aksonov nekaterih tipov zivcnih celic obdaja mielinskaovojnica (slika 8.1), ki jo tvorijo posebne celice — v perifernem zivcevju so to Schwannovecelice, v centralnem pa mielinske ovojnice tvorijo oligodendrocite. Mielinske ovojnice aksonobdajajo po priblizno 1 mm dolgih odsekih, med katerimi so 1 µm dolgi Ranvierovi zazemibrez mielina. Raztopina v notranjosti aksona se imenuje aksoplazma. Ker se po zivcnihvlaknih drazljaji prenasajo v obliki elektricnih signalov, je poznavanje elektricnih lastnostizivcnih vlaken kljucno za razumevanje delovanja zivcnega sistema.

Slika 8.1: Tipicna zivcna celica z mieliniziranim zivcnim vlaknom – aksonom.

Enako kot vse telesne raztopine sta zaradi vsebnosti ionov elektricno prevodni tudiaksoplazma in raztopina, ki celice obdaja. Notranjost in zunanjost celice loci celicna mem-brana, ki je v mirovnem stanju slabo prepustna za nekatere ione (Na+, K+...). Poleg tega

73

aktivni membranski transport (zanj je potrebna energija v obliki molekul ATP) nepre-stano vzdrzuje razliko koncentracij razlicnih ionov med aksoplazmo in zunanjo raztopino.Zaradi razlicnih koncentracij ionov v notranji in zunanji raztopini je med notranjostjo inzunanjostjo celice napetostna razlika, ki ji pravimo membranski potencial. Zivcne celiceimajo zmoznost vzdrazenja – ce se njihov membranski potencial spremeni preko kriticnevrednosti, se membranska ionska prepustnost zelo poveca in v aksoplazmo stece ionski tok,ki se pozna kot kratek sunek membranske napetosti (ta napetostni sunek se imenuje tudiakcijski potencial). Nastanek akcijskega potenciala na enem mestu membrane povzrocikriticno spremembo napetosti v sosescini, zato se membrana vzdrazi tudi tam – akcijskipotencial lahko tako v zivcnih celicah potuje vzdolz membrane.

Mielin je elektricno neprevoden, zato lahko v mieliniziranih aksonih ionska izmenjava(in z njo nastanek akcijskega potenciala) poteka le v Ranvierovih zazemih ne pa tudi v mi-eliniziranih odsekih aksona. Ti se tako obnasajo kot pasivni elektricni vodniki. Elektricnisignal torej po mieliniziranih aksonih potuje na naslednji nacin: vzdolz mieliniziranegaodseka se napetostni sunek siri enako kot po elektricnem kablu, v Ranvierovih zazemihpa vzdrazi membrano in povzroci nastanek dodatnega sunka napetosti ter se s tem ojaci.Akcijski potencial tako ne potuje vzdolz celotne dolzine zivca, ampak se pojavlja le v Ran-vierovih zazemih. Tako prevajanje se imenuje saltatorno prevajanje in ima nekaj prednostipred prevajanjem po nemieliniziranih aksonih. Predvsem je saltatorno prevajanje hitrejsein potrebuje manj ATP od prevajanja po nemieliniziranih zivcih. Z izgubo mielina v zivcnihvlaknih so povezana razlicna bolezenska stanja, na primer multipla skleroza.

8.2 Prevajanje elektricnega sunka po mieliniziranem odseku zivca

Mieliniziran odsek zivca je s stalisca elektricne prevodnosti podoben koaksialnemu ele-ktricnemu kablu∗: ima prevodno sredico (aksoplazmo), ki jo obdaja plasc izolacije (mi-elinska ovojnica), zunanjost pa je spet prevodna. Ker v splosnem velja, da je elektricnaupornost obratno sorazmerna precnemu preseku, skozi katerega tok tece, je elektricna upor-nost notranjosti aksona obratno sorazmerna kvadratu radija vlakna: R = ξ/πr2

a, kjer jeξ specificna upornost raztopine, ra pa radij aksona. Precni presek, skozi katerega lahkotece elektricni tok, je v zunanjosti aksona zelo velik, zato je elektricni upor zunanje raz-topine zanemarljiv v primerjavi z uporom notranjosti aksona. Ker je aksoplazma mnogoslabsi prevodnik od kovin (glej tabelo 8.1), je elektricna upornost mieliniziranega odsekazivca veliko vecja kot pri elektricnem kablu. Po koaksialnem kablu lahko elektricni signalbrez dodatne ojacitve prepotuje tudi vec sto metrov, mielinizirani zivec pa potrebuje napriblizno vsak milimeter Ranvierov zazem, v katerem se signal ojaci.

V mieliniziranih odsekih zaradi elektricno neprevodne mielinske ovojnice ni ionske iz-menjave med aksoplazmo in zunanjo raztopino. Ker pa membrana z ovojnico predstavljaneprevodno mejo med dvema prevodnikoma, ima svojo elektricno kapaciteto (podobno kotelektricni kondenzator, slika 8.2). Napetostna razlika med aksoplazmo in zunanjo raz-topino U je tako sorazmerna razliki v elektricnem naboju na obeh straneh e in obratno

∗Primer koaksialnega kabla je kabel, ki povezuje TV sprejemnik in anteno.

74

Tabela 8.1: Specificne elektricne upornosti nekaterih snovi.

specificna

snov upornost

[Ω mm2/m]

baker 0,017

aksoplazma 2× 106

PVC 1017

sorazmerna elektricni kapaciteti membrane C, U = e/C. Podobno kot v ploscatem kon-denzatorju tudi pri membrani velja, da je kapaciteta sorazmerna povrsini prevodnikov inobratno sorazmerna debelini izolacije. Za zivce tako velja, da vecji kot je radij zivca (in stem povrsina), vecja je kapaciteta, ter vecja kot je debelina mielinske ovojnice, manjsa jekapaciteta. Tipicna kapaciteta kvadratnega milimetra mielinizirane membrane je priblizno50 pF.

Slika 8.2: Celicna membrana (levo) je z elektricnega stalisca podobna elektricnemu kon-denzatorju (desno), saj v obeh primerih izolator razmejuje dva locena prevodna dela. Prizivcnih celicah tako elektricno neprevodna membrana z mielinsko ovojnico razmejuje akso-plazmo od zunanje raztopine. Razlika v naboju na obeh straneh membrane e je (podobnokot pri kondenzatorju) preko kapacitete C povezana z razliko napetosti U , e = CU . Kapa-citeta je v obeh primerih sorazmerna povrsini prevodnikov in obratno sorazmerna debeliniizolacije.

Zaradi preprostih elektricnih lastnosti mieliniziranega odseka, je mogoce natancno izracunati,kako se po njem sirijo elektricni sunki. Natancen racun presega nase okvire, zato bomotu navedli le glavne rezultate. Ko na Ranvierovem zazemu pride do nastanka akcijskegapotenciala, v aksoplazmo vdre nekaj pozitivnega elektricnega naboja. Izkaze se, da se tanaboj vzdolz mieliniziranega odseka siri podobno, kot se razsiri crnilo, ki ga kapnemo vposodo z vodo. Skupaj z nabojem vzdolz zivca potuje tudi elektricna napetost med akso-plazmo in zunanjo raztopino (U = e/C). Racun pokaze, da sirjenje napetosti v odvisnosti

75

od casa t in razdalje od zacetka mieliniziranega odseka x popise naslednja enacba

U(t, x) = A

√

rc

te−rc x2

4t , (8.1)

kjer je r elektricna upornost aksoplazme na enoto dolzine (r = R/L), c pa elektricnakapaciteta membrane z ovojnico na enoto dolzine (c = C/L). Konstanta A je sorazmernas kolicino naboja eA, ki ga je zivec prejel z drazljajem, A = eA/(c

√π). Mimogrede:

funkcija iz enacbe (8.1) ima pri danem casu obliko Gaussove krivulje s sredino pri x = 0in standardno deviacijo

√

2t/rc.S pomocjo enacbe (8.1) lahko narisemo, kaksna je napetost med aksoplazmo in zunanjo

raztopino vzdolz mieliniziranega odseka zivca ob nekem izbranem casu. Slika (8.3) prika-zuje U(x) pri treh razlicnih casih t. Iz slike vidimo, da je v vsakem trenutku napetost vmieliniziranem odseku najvecja na njegovem zacetku.

Slika 8.3: Napetost med aksoplazmo in zunanjo raztopino vzdolz mieliniziranega odsekazivca ob treh razlicnih casih od sprozitve sunka na zacetku odseka. Slika je narisana spomocjo enacbe 8.1, za vrednosti konstant: c = 2 pF/mm, r = 20 × 106 Ω/mm in eA =8, 75× 10−14 As. Krivulje na sliki imajo obliko Gaussove krivulje.

Poleg tega si lahko s pomocjo enacbe (8.1) narisemo, kako se na nekem mestu mielini-ziranega odseka napetost med aksoplazmo in zunanjo raztopino spreminja s casom U(t).Slika 8.4 prikazuje, kako se s casom spreminja napetost na razdalji x = 1 mm od zacetkaodseka. Ob casu t = 0, ko je naboj ravno vdrl na zacetek mieliniziranega odseka, se to

76

pri razdalji x = 1 mm se ne pozna in je napetost tam 0 mV. Ko se naboj siri po akso-plazmi, napetost narasca, ob casu tmax doseze najvecjo vrednost Umax in nato zacne spetpadati. Zaradi sunka napetosti na zacetku mieliniziranega odseka aksona se torej s casovnozakasnitvijo tmax sunek napetosti pojavi tudi na drugih delih mieliniziranega odseka.

Slika 8.4: Casovni potek sunka napetosti med aksoplazmo in zunanjo raztopino pri x = 1mm. Vrednosti konstant so enake kot pri sliki 8.3.

Cas tmax lahko izracunamo s pomocjo enacbe (8.1). Maksimum napetosti nastopi takrat,ko je odvod napetosti U(t, x) po casu enak 0. Iz tega pogoja dobimo zvezo za zakasnitevvrha signala v odvisnosti od razdalje

tmax(x) =1

2rcx2 . (8.2)

Ce ta rezultat vstavimo nazaj v enacbo (8.1) (s t = tmax), dobimo odvisnost visinesignala od razdalje

Umax(x) =eA

c

√

2

πe

1

x∝ 1

x. (8.3)

Vidimo, da visina signala v mieliniziranem odseku aksona pada obratno sorazmernoz razdaljo. Mielinizirani odseki tako ne morejo biti poljubno dolgi in morajo biti zatona dolocenih razdaljah prekinjeni z Ranvierovimi zazemi, kjer se signal ojaci. Hitrostprevajanja je najvecja, ce je produkt upornosti in kapacitete rc cim manjsi (hitrost jevelika, ko je majhen tmax, enacba 8.2). Hkrati se z majhno kapaciteto c tudi Umax najmanjzmanjsa (enacba 8.3).

77

8.3 Veriga clenov RC kot model za mieliniziran odsek zivca

Meritve na pravem mieliniziranem odseku aksona so zapletene, zato si bomo pri vaji poma-gali z modelom, ki ima podobne elektricne lastnosti. Dober model mieliniziranega odsekaaksona med dvema sosednjima zazemoma je veriga clenov uporov R in kondenzatorjevC. Tako kot mieliniziran akson ima tudi veriga clenov RC doloceno upornost in dolocenokapaciteto na dolzinsko enoto (slika 8.5). Napetostni sunki se zato po verigi clenov RCprevajajo enako kot po mieliniziranemu odseku aksona. Ker ima zunanja raztopina vprimerjavi z aksoplazmo zanemarljivo upornost, so upori v verigi le na strani, ki predsta-vlja aksoplazmo. Sunke elektricne napetosti, do katerih v aksonu prihaja v Ranvierovihzazemih, bomo pri vaji ustvarili z generatorjem sunkov, ki ga prikljucimo na zacetek verigeRC.

Slika 8.5: Mieliniziran odsek aksona (spodaj) ima enake elektricne lastnosti kot verigaclenov RC (zgoraj). Stran verige z upori R predstavlja aksoplazmo, spodnja stran ve-rige predstavlja zunanjo raztopino, kondenzatorji C pa predstavljajo kapaciteto membranez mielinsko ovojnico. Razdaljo vzdolz verige clenov RC bomo iznacevali z indeksom i, kioznacuje stevilo clenov RC od zacetka verige.

Pri vaji bomo merili, kako se napetost na verigi RC spreminja s casom. Razdalje odzacetka ne bomo oznacevali z x v mm ampak kar z indeksom i, ki oznacuje stevilo clenovRC od zacetka verige (slika 8.5). Zato bomo v skladu z enacbo (8.2) na i-tem mestu izmerilimaksimum napetosti po casu

tmax(i) =1

2RCi2 . (8.4)

Podobno sledi iz enacbe (8.3), da bo visina sunkov napetosti v verigi padala kot 1/i

Umax(i) ∝1

i. (8.5)

Nalogi: 1. Z osciloskopom opazujte elektricne sunke v verigi clenov RC, ter na isti grafnarisite potek napetosti na treh merilnih mestih (i = 10, i = 15 in i = 20).

78

2. Izmerite visino sunka napetosti (Umax) in njegovo casovno zakasnitev (tmax)na razlicnih merilnih mestih. Preverite ujemanje meritev z enacbama 8.4in 8.5.

Potrebscine: osciloskop

generator napetostnih sunkov

veriga clenov RC, R=10 Ω, C=0,10 µF

Izvedba

1) Vkljucite osciloskop in generator napetostnih sunkov, pocakajte, da se ogrejeta ter juzvezite z verigo clenov RC kot kaze slika 8.6. Ozemljitvi z osciloskopa in generatorjanapetostnih sunkov (crni zici) morata biti prikljuceni na tisto stran verige RC, kinima uporov. Rdeco zico iz osciloskopa prikljucite najprej na merilno mesto i = 30.

Osciloskop nastavite po navodilih, ki so prilozena vaji. Osciloskop je instrument, kina svojem zaslonu prikazuje, kako se neka merjena napetost spreminja s casom.

Generator sunkov ustvarja na zacetku verige clenov RC kratke sunke napetosti, obkaterih pritece v verigo nekaj naboja. Naboj se nato siri vzdolz verige, ob tem pase vzdolz verige spreminja tudi napetost. Osciloskop na zaslonu prikazuje napetostna izbranem merilnem mestu v odvisnosti od casa. Prozilec osciloskopa (angleskotrigger) je sinhroniziran z generatorjem sunkov tako, da je cas t = 0 na prikazu osci-loskopa v tistem trenutku, ko generator na zacetek verige RC poslje sunek napetosti.

Ce sta vezava in nastavitev osciloskopa pravilni, bo na zaslonu prikazana casovnaodvisnost napetostnega sunka na merilnem mestu i = 30 (potek napetosti na oscilo-skopu mora biti podoben tistemu s slike 8.4, le da je izhodisce koordinatnih osi nasredini zaslona).

Velikost sunka napetosti se bo na razlicnih merilnih mestih precej razlikovala. Da bidobili primerno sliko na vseh merilnih mestih boste morali med meritvami prilagajaliobmocje prikaza napetosti in casa na osciloskopu. Z delovanjem gumbov za nasta-vljanje obmocja prikaza na zaslonu se najlazje seznanite tako, da jih malo vrtite in obtem opazujete, kako se spreminja slika signala (v navodilih za nastavitev osciloskopaso gumbi za nastavitev obmocja prikaza obarvani z rdeco). Z majhnima gumbomaprestavljate polozaj izhodisca koordinatnih osi, z velikima pa enoti na obeh oseh.Ce izhodisce casa ni na sredini zaslona lahko med spreminjanjem enote casa padez zaslona — nazaj v sredino zaslona ga priklicete z gumbom “SET TO ZERO”. Zadodatna pojasnila v zvezi z delovanjem osciloskopa lahko vprasate vodjo vaj.

2) Naloga 1. Opazujte casovni potek napetosti na treh merilnih mestih (i = 10, i = 15in i = 20).

79

Primerno sliko, kjer bodo poteki napetosti na vseh treh mestih prikazani preko vsegazaslona, dobite n. pr. po naslednjem postopku. Merilno rdeco zico prikljucite najprejna i = 10. Enoto napetosti nastavite na 2 V, enoto casa 50 µs in sele potem izhodiscecasa in napetosti postavite v levi spodnji kot zaslona (ne povsem do roba ampak le3 kvadratke levo in 3 kvadratke dol od sredine zaslona). Ce boste najprej prestaviliizhodisce in sele nato prilagodili enoto casa, lahko izhodisce casa pade z zaslona!

Na isti diagram prerisite casovni potek napetosti na vseh treh merilnih mestih (tobo najlazje, ce boste v vseh treh primerih uporabili kar isto nastavitev osciloskopa).Na narisanem grafu ne pozabite oznaciti enote casa in napetosti.

Se narisani poteki napetosti kdaj sekajo? Razmislite zakaj!

3) Naloga 2. Na vsakem merilnem mestu (i = 5, 10, 15, 20, 25 in 30) izmerite visinosunka napetosti Umax(i) in njegovo zakasnitev tmax(i). Pri vsaki meritvi izberite naj-primernejse casovno in napetostno obmocje opazovanja, tako da boste obe vrednostilahko kar najbolje razbrali z zaslona (sunek naj bo v vsakem primeru prikazan cimbolj cez ves zaslon).

Vrednost Umax(i) z zaslona razberete kot razliko med izhodiscem napetosti in vrhanapetosti (sl. 8.4). Pri tem upostevajte, da je visina enega kvadratka enaka izbranienoti napetosti. Podobno dolocite vrednost tmax(i) — z zaslona razberete razliko medizhodiscem casa in casom vrha napetosti ter upostevate, da je sirina enega kvadratkaenaka izbrani casovni enoti.

Meritve zapisujete v razpredelnico.

Izmerjeno visino sunkov napetosti Umax narisite kot funkcijo 1/i. Ce se meritveskladajo s teorijo, tocke lezijo na premici (enacba 8.3).

Izmerjeno zakasnitev sunkov napetosti tmax narisite kot funkcijo kvadrata merilnegamesta (i2). Ce se meritve skladajo s teorijo, tocke lezijo na premici (enacba 8.4).Narisite tudi premico, ki se najbolje prilega meritvam ter dolocite njen naklonskikoeficient, k = ∆tmax

∆i2. Iz enacbe 8.4 sledi, da je vrednost naklonskega koeficienta

enaka polovici produkta RC, k = 12RC. Preverite, ce je vrednost produkta RC, ki

ga dolocite iz naklonskega koeficienta premice k, enaka vrednosti produkta RC, kiga izracunate iz podatkov o R in C navedenih pri potrebscinah.

80

Slika 8.6: Shema vezave. Izhod generatorja sunkov povezite z zacetkom verige clenov RC,pri cemer crno zico prikljucite na stran brez uporov, rdeco pa na stran z upori. Drugo zicoprikljucite na vhod osciloskopa (CH 1), ter njen nasprotni crni konec s stranjo verige RCbrez uporov. Z rdecim koncem te zice boste merili na merilnih mestih i = 5, 10.... Sin-hronizirajte osciloskop in generator sunkov tako, da povezite se prozilec osciloskopa (EXTTRIG) in vhod generatorja sunkov (SINHR.). Osciloskop nastavite po navodilih, ki so muprilozena pri vaji.

81

9 Prevodnost elektrolitskih raztopin

Pri tej vaji se bomo seznanili s pojmom elektrolitske raztopine, s silo, ki deluje na nabitdelec v elektricnem polju ter s pojmi gibljivosti in ionskega toka. Naucili se bomo dolocitispecificno prevodnost elektrolitske raztopine in ugotovili, da je specificna prevodnost razto-pine sorazmerna koncentraciji ionov v njej.

V zivih sistemih prevajajo elektricni tok raztopine elektrolitov, t.j. snovi, ki z raztaplja-njem v vodi razpadejo (disociirajo) na ione. Za razliko od kovin, kjer so nosilci elektricnegatoka prosti elektroni, prevajajo elektricni tok v elektrolitskih raztopinah ioni. Kadar so no-silci elektricnega toka ioni, govorimo o ionskem toku. Ionski tok tece med dvema mestoma,ce med tema mestoma obstaja razlika elektrokemijskih potencialov, to je vsote kemijskegapotenciala in energije iona v elektricnem potencialu. Ce je elektrolitska raztopina v termo-dinamskem ravnovesju (povsod v raztopini so enaki temperatura, tlak in koncentracija),je razlika kemijskih potencialov enaka nic, na ionski tok pa vpliva le razlika v elektricnempotencialu.

Ionski tokovi igrajo v zivih organizmih pomembno vlogo pri bioelektricnih pojavih, kotje prevajanje sunkov po zivcnih vlaknih, in tudi v celicnem metabolizmu. Pomembni sona primer tokovi ionov H+, K+, Na+ in Cl−. Marsikdaj si pomagamo z merjenjem ionskihtokov tudi pri klinicnih in laboratorijskih preiskavah (dolocanje prevodnosti delov telesa,dolocanje ionov v elektrolitih).

9.1 Elektrolitske raztopine

Stevilo osnovnih nabojev, ki jih nosi posamezen ion, imenujemo valenca (Z). Ker somolekule elektricno nevtralne, nastane pri disociaciji vedno enako stevilo pozitivnih innegativnih nabojev; ni pa nujno, da je stevilo pozitivno nabitih ionov (kationov) enakostevilu negativno nabitih ionov (anionov), primer je reakcija

Na2SO4 2 Na+ + SO2−4 .

Koncentracija posamezne vrste ionov (ci) zato ni nujno enaka koncentraciji raztopine ele-ktrolita (c). Vzeti pa smemo, da v razredcenih raztopinah mocnih elektrolitov disociirajovse molekule elektrolita, zato je koncentracija posamezne vrste ionov v tem primeru enakakar celostevilcnemu veckratniku koncentracije raztopine elektrolita.

9.2 Sila na ion v elektricnem polju

Ce na ione ne deluje zunanje elektricno polje, se ti v snovi, kjer so razporejeni enakomerno,gibljejo le termicno. Povprecna vrednost vsake od komponent hitrosti je takrat enaka nic,tako da se ioni v povprecju ne premikajo. Ce pa je v raztopini elektricno polje ( ~E), ki ganpr. ustvarimo z v raztopino potopljenima elektrodama, prikljuceni na izvir napetosti, padeluje na vsak ion s celotnim nabojem Ze0 sila

~F = Ze0~E . (9.1)

82

Z e0 smo oznacili osnovni naboj (1,6 × 10−19 As). Zaradi te sile se kationi (Z > 0)gibljejo v smeri elektricne poljske jakosti, torej proti negativno nabiti elektrodi (katodi);anioni (Z < 0) pa se gibljejo v nasprotni smeri elektricne poljske jakosti, proti pozitivnonabiti elektrodi (anodi). Elektricni tok, ki tece skozi raztopino, je vsota toka anionov intoka kationov.

Na gibajoce se ione deluje tudi sila upora ~Fu. Ioni se pri gibanju skozi topilo zaletavajov molekule topila in tako izgubljajo kineticno energijo ter se upocasnjujejo. V prvempriblizku lahko za silo upora na en ion uporabimo kar linearni zakon upora za kroglico(glej stran 27):

~Fu = −6πrη~v , (9.2)

kjer je r radij kroglice, ki jo zapolnjuje ion skupaj z vezanimi molekulami vode (ioni v vodiso namrec hidrirani), η pa je viskoznost tekocine.

Ce je ionski tok stacionaren, vemo, da sta sila elektricnega polja in sila upora enakoveliki, in velja

~F + ~Fu = 0 , (9.3)

Ze0~E = 6πrη~v . (9.4)

Povprecna hitrost ionov je torej sorazmerna z elektricno poljsko jakostjo ( ~E)

~v =Ze0

6πrη~E ≡ β ~E . (9.5)

Sorazmernostnemu kolicniku β,

β =Ze0

6πrη(9.6)

pravimo gibljivost. Za katione (Z > 0) je gibljivost pozitivna, kar pomeni, da se gibljejov smeri elektricnega polja, za anione (Z < 0) pa je negativna, ker se gibljejo v nasprotnosmer.

Linearna povezava med ~v in ~E je splosna, sorazmernostni kolicnik v izrazu (9.2) pa veljatocno le, ce je gibajoci se delec zares kroglica, ki je dosti vecja od molekul topila. Zatopredstavljajo izrazi, ki smo jih izpeljali za gibljivost (enacba 9.6), le prvi priblizek. Vendarje tudi iz te preproste enacbe za gibljivost razvidno, kako vplivajo na gibljivost ionov vraztopini njihova vrsta ter lastnosti raztopine, ki jih opisuje viskoznost η. Presenetljivoimajo manjsi ioni pogosto vecji hidracijski ovoj (in s tem r) kot vecji in je posledicnonjihova gibljivost manjsa kot pri vecjih ionih.

9.3 Ionski tok in specificna prevodnost

Obravnavamo raztopino, v kateri je vec razlicnih vrst ionov. Z indeksom i oznacimo posa-mezno vrsto ionov, Zi naj bo valenca teh ionov, ci pa njihova koncentracija (v kmol/m3).

Najprej opazujemo le eno vrsto ionov (i), ki prispevajo k celotnemu elektricnemu toku.Gostota elektricnega toka (ji) je sorazmerna z gostoto naboja (nei) in s povprecno hitrostjo

83

ionov (vi): ji = nei vi. Gostota naboja pa je podana s produktom naboja posameznega iona(Zie0) in stevila le-teh na enoto prostornine. Slednje izrazimo kot produkt koncentracije(ci), ki nam pove stevilo molov ionov na enoto prostornine, in Avogadrovega stevila (NA),ki pove stevilo delcev v enem molu. Skupaj lahko zapisemo:

~i = NAe0Zici~vi . (9.7)

Po enacbi (9.5) pa lahko hitrost v gornjem izrazu izrazimo kot produkt jakosti elektricnegapolja in gibljivosti ionov (βi):

~i = NAe0Ziciβi~E . (9.8)

V enacbi (9.8) prepoznamo splosnejso obliko Ohmovega zakona:

~i = σi~E , (9.9)

kjer je σi specificna prevodnost ionov vrste i. Enota za specificno prevodnost je (Ωm)−1,pogosto pa se zanjo uporablja tudi enota S/cm, kjer je S oznaka za enoto Siemens in velja1 S = 1/Ω. Iz enacb 9.8 in 9.9 vidimo, da lahko pri toku v elektrolitih prispevek ene vrsteionov k elektricni prevodnosti izrazimo kot

σi = NAe0Ziciβi . (9.10)

Ce predpostavimo, da velja izraz (9.6), lahko zapisemo

σi =NAe2

0

6πη

Z2i ci

ri. (9.11)

Tu je ri polmer kroglic, ki predstavljajo hidrirane ione vrste i.Iz izrazov (9.8) in (9.10) vidimo, da je prispevek posamezne vrste ionov h gostoti ele-

ktricnega toka vedno pozitiven, tako za katione (Zi > 0, βi > 0), kot za anione (Zi < 0,βi < 0). Z drugimi besedami: v elektricnem polju se kationi gibljejo v smeri elektricnegapolja, kar predstavlja pozitiven elektricen tok, anioni pa se gibljejo v nasprotno smer, karpa zaradi njihovega negativnega naboja spet predstavlja pozitiven elektricni tok. Tudi izizrazov (9.10) in (9.11) za elektricno prevodnost vidimo, da je ta vedno pozitivna.

Za celotno gostoto elektricnega toka moramo sesteti prispevke vseh posameznih vrstionov

~ =∑

i

~i = NAe0

(

∑

i

Ziciβi

)

~E = σ ~E . (9.12)

Skupna elektricna prevodnost je torej enaka

σ =∑

i

σi = NAe0

∑

i

Ziciβi =NAe2

0

6πη

∑

i

Z2i ci

ri. (9.13)

Ker so koncentracije posameznih vrst ionov sorazmerne s koncentracijo elektrolita, ki jedisociiral (ci), je tudi prevodnost sorazmerna s koncentracijo elektrolita (c), kar je razvidno

84

iz enacbe (9.13). Vidimo tudi, da je prevodnost (σ) tem manjsa, cim vecja je viskoznosttopila. Ker se viskoznost ponavadi manjsa s temperaturo, raztopine pri visjih temperaturahbolje prevajajo elektricni tok kot pri nizkih, torej imajo pozitiven temperaturni koeficientspecificne prevodnosti.

Da je enacba (9.9) res posplosena oblika Ohmovega zakona, kot ga poznamo za tokpo zicah, se hitro prepricamo. Spomnimo se, kako je jakost homogenega elektricnegapolja izrazena z napetostjo, E = U/l, in gostota elektricnega toka s tokom, j = I/S.Potrebujemo se zvezo med upornostjo (R) in specificno prevodnostjo ravnega vodnikadolzine l in preseka S:

R = ξl

S=

1

σ

l

S. (9.14)

Pri tem je ξ specificna upornost, ξ = 1/σ. Ko zvezo med specificno prevodnostjo in uporomvodnika (σ = l/RS) vstavimo v splosni Ohmov zakon (en. 9.9), se dolzina zice l in njenpresek S pokrajsata, ostane pa I = U/R.

9.4 Dolocanje specificne prevodnosti in specificne upornosti

V prejsnjem poglavju smo spoznali, da je specificna prevodnost elektrolitske raztopine so-razmerna koncentraciji ionov v njej (enacba 9.13). Destilirana voda je prakticno izolator,morska voda pa elektricni tok dobro prevaja. Meritev specificne prevodnosti vode namtako lahko sluzi kot groba ocena celotne koncentracije ionov v vodi. Ceprav natancnokoncentracije in vrste ionov v raztopini na ta nacin ne moremo dolociti (k specificni prevo-dnosti prispevajo ioni vseh vrst, pri cemer pa se gibljivosti razlicnih ionov lahko razlikujejotudi za vec kot faktor 2), pa je meritev specificne prevodnosti zelo hitra in preprosta vprimerjavi z razlicnimi kemijskimi metodami.

Specificne prevodnosti raztopine ponavadi ne dolocimo neposredno iz splosnega Ohmo-vega zakona (enacba 9.9), saj je jakost elektricnega polja in gostoto elektricnega tokatezko neposredno izmeriti. Lazje je izmeriti elektricni upor raztopine (R) in nato iz njegaizracunati specificno upornost (ξ) in specificno prevodnost (σ) raztopine.

Specificna upornost je lastnost snovi, upor nekega vodnika pa je odvisen tudi od njegovevelikosti in oblike. Vedno pa velja, da je upor vodnika preprosto sorazmeren specificniupornosti snovi, iz katere je vodnik narejen:

R = kξ =k

σ, (9.15)

kjer je k sorazmernostni koeficient, ki je odvisen le od geometrije vodnika, upostevali pasmo tudi da je specificna prevodnost obratna vrednost specificne upornosti. Iz enacbe 9.14vidimo, da je k za dolgi ravni vodnik kar l/S.

Oblika elektricnih tokovnic toka v ionski raztopini je ponavadi bolj zapletena od obliketokovnic v dolgem ravnem vodniku, zato je sorazmernostni koeficient k v raztopinah tezkoizracunati, njegova vrednost pa ni enostavno l/S. Specificno prevodnost raztopine pa lahkovseeno enostavno dolocimo, ce imamo pri roki standardno raztopino z znano specificno pre-vodnostjo (σ0). V posodo z elektrodama nalijemo doloceno kolicino standardne raztopine,

85

jo povezemo v elektricni tokokrog in izmerimo njen upor R0 ter izracunamo sorazmernostnikoeficient (enacba 9.15), k = σ0R0. Nato postopek ponovimo se z natanko enako kolicinoneznane raztopine ter izmerimo tudi njen upor Rx. Ker je v obeh primerih v posodi enakakolicina raztopine, bo v obeh primerih enaka oblika tokovnic elektricnega toka in zato tudienak sorazmernostni koeficient (k). Ker smo k dolocili ze s pomocjo standardne raztopine,lahko specificno prevodnost neznane raztopine (σx) brez tezav dolocimo s pomocjo enacbe9.15, σx = k/Rx. Iz specificne prevodnosti lahko po potrebi izracunamo se specificnoprevodnost ξx = 1/σx.

Zelo cisto destilirano vodo, iz katere smo odstranili cim vec ionov, imenujemo tudideionizirana voda. Specificna prevodnost take vode je priblizno 0,1 µS/cm, pri ravnanjuz njo pa moramo biti previdni, saj se lahko hitro ”umaze” z nezelenimi ioni (npr. zez raztapljanjem CO2 iz zraka). Destilirana voda iz lekarne ni nujno tudi deionizirana.Za primerjavo: specificna prevodnost vodovodne pitne vode je reda velikosti 400 µS/cm,gaziranih mineralnih vod pa nekaj tisoc µS/cm (k prevodnosti gaziranih vod zelo prispevatudi raztopljeni CO2), specificna prevodnost kovin pa je reda velikosti 0,5 MS/cm.

Naloge: 1. Izmerite odvisnost specificne prevodnosti raztopine NaCl od koncentracije.

2. Izmerite specificno prevodnost raztopine KCl in primerjajte gibljivosti na-trijevega in kalijevega iona v vodi.

3. Izmerite specificno prevodnost usteklenicene vode ter vodovodne vode izpipe.

Potrebscine: izvor izmenicne napetosti

posoda z elektrodama

dva multimetra, enega uporabljamo kot voltmeter, drugega pa kot am-permeter

stikalo

dva razdelilca

vezne zice

raztopine NaCl razlicnih koncentracij

raztopina KCl

plastenka naravne mineralne vode

casa za vodo iz pipe

86

Izvedba

1) Specificno prevodnost raztopine dolocite preko meritve upora. Upor raztopine (R)dolocite v posodi z elektrodama in sicer preko meritve toka (I) skozi raztopino inpadca elektricne napetosti na raztopini (U), saj iz Ohmovega zakona sledi R = U/I.Padec napetosti na raztopini (U) odcitate z voltmetrom. Ker je upor voltmetra zelovelik v primerjavi z uporom raztopine, je tok izmerjen z ampermetrom enak toku, kitece skozi raztopino (I).

Kot voltmeter in ampermeter boste uporabili multimetra, ki ju boste ustrezno nasta-vili (multimeter je instrument, s katerim lahko merimo razlicne elektricne kolicine,lahko je npr. voltmeter, ampermeter, merilec frekvence ...). Izvor izmenicne napeto-sti, multimetra, stikalo in posodo z elektrodama zvezite po sliki 9.1. Za ampermetergumb na multimetru zavrtite na polozaj mA≃, zici pa povezite z vhodoma COM in mA. Zgumbom SELECT izberite merjenje izmenicne napetosti (na zaslonu mora biti oznakaAC, ki je okrajsava za alternating current, tj. izmenicni tok, DC pa je okrajsava zadirect current, t.j. enosmerni tok). Za voltmeter gumb na multimetru zavrtite namerilno obmocje V∼, zici pa povezite z vhodoma COM in VHzΩ. Izmenicno napetostuporabljamo, ker enosmeren tok v raztopini povzroci elektrolizo. Tokokrog naj bo spomocjo stikala sklenjen le v casu odcitavanja toka in napetosti.

Caso napolnite z vodovodno vodo iz pipe v laboratoriju.

Dolocite upore razlicnih raztopin, pri cemer pazite, da posodo z elektrodama z vsakoraztopino napolnite do enake visine. Pomagate si z oznako na posodi. Da zmanjsatemesanje razlicnih raztopin, pred vsako meritvijo posodo z elektrodama cim boljosusite. Napako zaradi kapljic raztopine, ki kljub vsemu ostanejo po stenah po-sode, zmanjsamo, ce izvedemo meritev najprej z najmanj koncentrirano raztopino,nato pa jemljemo zapovrstjo vedno bolj koncentrirane elektrolitske raztopine. Meritetorej v naslednjem vrstnem redu: pet raztopin NaCl, od manjse do vecje koncentra-cije, raztopino KCl, naravno mineralno vodo ter na koncu se vodovodno vodo iz case.Po meritvi vsako raztopino odlijemo nazaj v njeno steklenico, naravno mineralnovodo pa nazaj v njeno plastenko. Da se ne zmotimo, iz katere steklenice smoraztopino vzeli, to pustimo med meritvijo odprto.

Ko koncate meritev z vodovodno vodo, jo iz posode z elektrodama odlijete nazaj vcaso, caso pa izpraznite v umivalnik. Gumba na multimetrih zavrtite v polozaj OFF.Posode z elektrodama raje ne nosimo po laboratoriju, da se ne poskoduje.

Izmerjena U in I ter izracunana R in σ za razlicne raztopine zapisujemo v razpre-delnico.

Upor izracunamo iz Ohmovega zakona. Specificne prevodnosti raztopin izracunamoiz izmerjenega upora 10 mM raztopine NaCl (R0) in podatka, da je specificna prevo-dnost 10 mM raztopine NaCl enaka 1000 µS/cm (σ0), iz katerega lahko izracunamok za nas primer (enacba 9.15), k = σ0R0. Ostale specificne prevodnosti lahko natobrez tezav izracunamo iz zveze σx = k/Rx.

87

Slika 9.1: Shema vezave za merjenje specificne prevodnosti raztopine. Ampermeter jeoznacen z A, voltmeter z V, izvor napetosti z U, razdelilca pa s crnima pikama. Z volt-metrom izmerimo padec napetosti na raztopini (U), z ampermetrom pa tok skozi raztopino(I) — upor voltmetra je v primerjavi z uporom raztopine zelo velik, zato ves izmerjen tokzares tece skozi raztopino.

2) Naloga 1. Na grafu narisite odvisnost specificne prevodnosti raztopin NaCl odkoncentracije. Je odvisnost res sorazmerna?

3) Naloga 2. Primerjajte specificni prevodnosti raztopin NaCl in KCl z enako koncen-tracijo. Katera je vecja? Kateri ioni so bolj gibljivi, Na+ ali K+? Je rezultat gledena velikosti obeh ionov pricakovan? Kateri ion je vecji in kateri ima vecji hidracijskiovoj v vodi?

4) Naloga 3. Na grafu iz prve naloge oznacite se specificne prevodnosti vode iz pipe terusteklenicene vode. Se specificni prevodnosti obeh vod zelo razlikujeta? Izmerjenospecificno prevodnost usteklenicene vode lahko primerjate z njeno specifikacijo naplastenki.

Dodatna vprasanja

• Ali se specificna prevodnost vodne raztopine poveca, ce vodi dodamo sladkor (npr.glukozo)?

• Kako se spremeni upor raztopine, ce jo v posodo z elektrodama nalijemo vec alimanj?

• Bi bila vezava voltmetra in ampermetra s slike 9.1 uporabna tudi za merjenje uporno-sti destilirane vode, katere upornost v primerjavi z upornostjo voltmetra ni majhna?Bi bilo mogoce upornost destilirane vode kljub vsemu izmeriti z drugacno vezavo(spomnimo se, da ima ampermeter majhen upor)?

88

10 Casovna odvisnost napetosti v vezjih

s kondenzatorji in upori

Pri tej vaji se bomo seznanili z eksponentnimi odvisnostmi in dolocili konstante casovnihodvisnosti napetosti v dveh sistemih s kondenzatorji in upori.

10.1 Eksponentne odvisnosti

Pri matematicni analizi bioloskih sistemov se pogosto srecamo s kolicinami, ki se s casomspreminjajo tako, da je hitrost spreminjanja premo sorazmerna velikosti kolicine same, ∗

dy

dt= ±ky , (10.1)

kjer je y spremenljiva kolicina, dy njena sprememba v casovnem intervalu dt, k pa pozi-tivna sorazmernostna konstanta. Pri pozitivnem y v primeru, ko upostevamo predznak +,kolicina y s casom raste, v primeru, ko upostevamo predznak −, pa kolicina y s casompada. Da resimo enacbo (10.1), jo preuredimo tako, da dobimo spremenljivki y in t vsakona svoji strani enacbe, in integriramo na levi strani od neke zacetne vrednosti y(0) do nekekoncne vrednosti y(t), na desni strani pa od casa t = 0 do nekega koncnega casa t.

∫ y(t)

y(0)

dy

y= ±

∫ t

0

kdt . (10.2)

Dobimo

lny(t)

y(0)= ±kt , (10.3)

kjer smo upostevali, da je∫ b

adxx

= ln ba. Ce enacbo (10.3) antilogaritmiramo, dobimo

eksponentno spreminjanje y s t (slika 10.1),

y(t) = y(0)e±kt . (10.4)

Od velikosti konstante k je odvisno, kako hitro se spreminja kolicina y, zato konstanto kimenujemo hitrostna konstanta. Enota za hitrostno konstanto je 1/s.

Slika 10.1 prikazuje funkcijo y(t), ki je podana z enacbo (10.4). V primeru eksponentnerasti funkcija y(t) s casom narasca preko vseh meja, v primeru eksponentnega padanja pase s casom asimptotsko priblizuje vrednosti 0.

∗Zgledi za taksno spreminjanje so casovno spreminjanje predelka (stran 14), absorpcija svetlobe (stran16) in absorpcija zarkov γ (stran 131)

89

Slika 10.1: Kolicina y se eksponentno spreminja s casom. Nakazana sta podvojitveni caspri eksponentni rasti in razpolovni cas pri eksponentnem padanju. Znacilno za taksnespremembe je, da se kolicina y v enakih casovnih intervalih spremeni za isti faktor.

V primeru eksponentne rasti vpeljemo podvojitveni cas tp. To je cas, pri katerem sevrednost kolicine y podvoji. Cas tp lahko dolocimo iz pogoja, da kolicina y pri tem casuzavzame dvakratno zacetno vrednost, y(tp) = 2y(0). Iz enacbe (10.3) sledi

ln 2 = ktp . (10.5)

Iz enacbe (10.5) izrazimo tp,

tp =ln 2

k. (10.6)

V primeru eksponentnega padanja vpeljemo razpolovni cas t1/2. To je cas, pri kateremse vrednost kolicine y razpolovi. Cas t1/2 lahko dolocimo iz pogoja, da kolicina y pri temcasu zavzame polovico zacetne vrednosti, y(t1/2) = 1

2y(0). Iz enacbe (10.3) sledi

ln1

2= −kt1/2 . (10.7)

Iz enacbe (10.7) izrazimo t1/2,

t1/2 =ln 2

k. (10.8)

Primer eksponentne rasti je spreminjanje stevila celic v celicni kulturi. Za ta sistemvelja dN

dt= aN , kjer je N stevilo celic, konstanta a pa delez celic, ki se razdele na casovno

enoto. Ker je ta zveza analogna enacbi (10.1), iz enacbe (10.6) sledi, da je podvojitvenicas za stevilo celic enak tp = ln 2

a.

Primera eksponentnega padanja sta spreminjanje koncentracije sledila c pri odtekanjusledila iz predelka s konstantnim pretokom topila (vaja “Preucevanje predeljenih sistemov ssledilnimi metodami”), kjer velja dc/dt = −κc, in spreminjanje stevila radioaktivnih jederN zaradi nakljucnih razpadov (vaja “Radioaktivnost”), kjer velja dN

dt= −λN . Pri tem sta

κ in λ pozitivni konstanti.

90

Slika 10.2: Shema vezja pri praznenju kondenzatorja.

10.2 Praznjenje kondenzatorja skozi upor

Obravnavamo sistem, v katerem sta vezana kondenzator s kapaciteto C in upor z upornostjoR (slika 10.2). Na kondenzatorju je v casu t = 0 naboj e(0). Ce je sistem prepuscen samsebi, zacne naboj odtekati s kondenzatorja. Naboj na kondenzatorju je v vsakem casu tsorazmeren napetosti na kondenzatorju U(t)

e(t) = CU(t) . (10.9)

Kondenzator je izvor napetosti, padec napetosti pa imamo na uporu. Padec napetosti nauporu opisemo z Ohmovim zakonom, tako da za tokovni krog velja

U(t)−RI(t) = 0 . (10.10)

Izrazimo U(t) iz enacbe (10.10), jo vstavimo v enacbo (10.9), in izrazimo tok

I(t) =e(t)

RC. (10.11)

Upostevamo tudi, da je tok kolicina naboja, ki na casovno enoto odtece s kondenzatorja,

I(t) = −de

dt, (10.12)

kjer predznak minus oznacuje, da se naboj na kondenzatorju s casom zmanjsuje.Zdruzimo enacbi (10.11) in (10.12), dobimo

de

dt= − e

RC, (10.13)

kjer je 1RC

hitrostna konstanta vezja. Vpeljemo karakteristicni cas praznjenja kondenza-torja τ ,

τ = RC . (10.14)

Enacba (10.13) je analogna enacbi (10.4). Po zgoraj opisanem postopku dobimo resitev

e(t) = e(0)e−tτ . (10.15)

91

Naboj na kondenzatorju torej s casom eksponentno pada. Pravimo, da se kondenzatorprazni. Ce je τ majhen, se kondenzator hitreje prazni, kot ce je τ velik. S primerjavoenacb (10.4) in (10.15) ter (10.8) in (10.14) pa dobimo, da je t1/2 = ln(2)RC.

Iz enacb (10.9) in (10.10) z upostevanjem enacbe (10.15) dobimo, da tudi napetost intok eksponentno padata

U = U(0)e−tτ , (10.16)

I = I(0)e−tτ , (10.17)

kjer je U(0) = e(0)C

in I(0) = e(0)τ

.

Naloga: 1. Dolocite karakteristicni cas praznjenja kondenzatorja τ .

Potrebscine: kondenzator

upor

izvor enosmerne napetosti (usmernik)

pretikalo

digitalni voltmeter

stoparica

vezne zice

Izvedba

1) Zvezite elemente po shemi 10.3. Upostevajte, da kontakti rdece barve ustrezajopozitivnim polom, kontakti crne barve pa ustrezajo negativnim polom. Za lazjovezavo vzemite tudi vezne zice rdece oziroma crne barve. Izberite upor R1, ki jeprikljucen na sive kontakte. Pravilnost vezja preveri vodja vaj. Zatem prikljucitesistem na vir napetosti. Najprej samo opazujte, kako se napetost spreminja s casom,da dobite obcutek za to, kako hitre so spremembe, Postavite pretikalo v polozaj“polnjenje”, da se kondenzator nabije na napetost U(0), ki je priblizno 12 V, nato pav polozaj “praznjenje”, in na voltmetru opazujte padanje napetosti s casom. Viditelahko, da se v zacetku napetost hitro spreminja s casom, kar pomeni, da boste moraliv zacetku meritve dobro uskladiti odcitavanje napetosti z voltmetra in casa s stopariceter zapisovanje v protokol.

Pripravite si tabelo za zapisovanje vrednosti napetosti in casa. V tabeli zapisiteizbrane vrednosti napetosti, odcitavali pa boste cas, v katerem doseze napetost tevrednosti. Pri vecjih napetostih (do priblizno 8 V) odcitavajte v razmiku 2 V, primanjsih napetostih pa v razmiku 1 V. Merite do priblizno 2 V. Ko ste pripravljeni zamerjenje, pretaknite pretikalo v polozaj “polnjenje”, da se kondenzator spet nabije na

92

Slika 10.3: Shema vezja pri merjenju (1. naloga). Simbol U oznacuje izvor enosmernenapetosti, simbol P oznacuje pretikalo, simbol V pa voltmeter.

napetost U(0), nato pa hkrati s sprozenjem stoparice v polozaj “praznjenje”. Celotnomeritev opravite trikrat.

Iz odvisnosti U(t) lahko dolocimo hitrostno konstanto praznjenja kondenzatorja tako,da ugotovimo, pri kateri vrednosti karakteristicnega casa τ eksponentna funkcija(izraz 10.16) najbolj ustreza meritvam. Cas τ najlazje dolocimo tako, da izraz (10.16)na obeh straneh logaritmiramo. Tako dobimo premico

ln(U(t)/V ) = ln(U(0)/V )− t

τ, (10.18)

kjer je V referencna napetost (npr. 1 V). Naklonski koeficient te premice je enak

k = −1

τ. (10.19)

Izdelajte diagram, v katerega na absciso nanesete izmerjene povprecne case, na or-dinato pa ustrezne vrednosti logaritma napetosti. Narisite tudi premico, ki se temmeritvam najbolj prilega in dolocite naklonski koeficient te premice,

k =ln(U(t2)/V )− ln(U(t1)/V )

t2 − t1, (10.20)

kjer sta t2 in t1 casa, ki ustrezata dvema izbranima tockama na premici. Iz enacbe(10.19) potem sledi

τ = −1

k. (10.21)

10.3 Casovne odvisnosti napetosti v vezju z dvema kondenzator-

jema in dvema uporoma

Obravnavamo sistem, v katerem sta vezana kondenzatorja s kapacitetama C1 in C2 inupora z upornostma R1 in R2 (slika 10.4).

93

Slika 10.4: Shema vezja.

Na enem izmed kondenzatorjev (naj bo to kondenzator s kapaciteto C1) je v casu t = 0napetost U1(0) in naboj e1(0), drugi kondenzator pa je takrat prazen, tako da je e2(0) = 0in U2(0) = 0. Ce je ta sistem prepuscen sam sebi, se zacne kondenzator C1 prazniti,kondenzator C2 pa polniti. Po daljsem casu se oba kondenzatorja praznita.

Upostevamo, da je vsota napetosti vseh izvorov in vseh padcev napetosti v zakljucenemtokovnem krogu enaka 0. V vezju (slika 10.4) izberemo dva zakljucena tokovna kroga.Prvega sestavlja kondenzator C1 in oba upora, drugega pa oba kondenzatorja in upor R1.Za prvi krog velja

U1 − I1R1 − I2R2 = 0 , (10.22)

za drugi krog pa veljaU1 − I1R1 − U2 = 0 . (10.23)

Upostevamo tudi, da je vsota vseh tokov, ki pritekajo v neko razvejisce enaka vsoti vsehtokov, ki odtekajo iz tega razvejisca. V nasem primeru velja

I1 = I2 + I3 . (10.24)

Za kondenzator C1 veljae1(t) = C1U1(t) , (10.25)

kjer sta e1 in U1 ustrezna naboj in napetost na kondenzatorju C1. Ce izraz (10.25) odvajamoin upostevamo zvezo med nabojem in tokom, ki ustreza enacbi (10.12), dobimo

I1(t) = −C1dU1

dt. (10.26)

Tok I1 tece v tistem delu tokovnega kroga, ki vsebuje samo kondenzator C1 (slika 10.4).Podobno velja za kondenzator C2

e2(t) = C2U2(t) , (10.27)

in

I3(t) = C2dU2

dt. (10.28)

94

)

U t( )

U t(

t

U

2

1

00

Slika 10.5: Spreminjanje napetosti s casom na obeh kondenzatorjih. Kapaciteti obeh kon-denzatorjev sta enaki.

Tok I3 tece v tistem delu tokovnega kroga, ki vsebuje samo kondenzator C2 (slika 10.4).Iz enacb (10.22–10.28) po daljsem postopku, ki je prikazan v Dodatku na strani 98,

izpeljemo diferencialno enacbo za U1 in njeno resitev, ki da casovni odvisnosti napetostina obeh kondenzatorjih. Pri tem upostevamo, da sta v nasem primeru kapaciteti obehkondenzatorjev enaki, C1 = C2 = C. Na kondenzatorju C1 je

U1(t) = A1e− t

τ1 + B1e− t

τ2 , (10.29)

na kondenzatorju C2 pa je

U2(t) = −A2e− t

τ1 + B2e− t

τ2 , (10.30)

kjer so A1, B1, A2, B2, τ1 in τ2 konstante. Medtem, ko sta τ1 in τ2 lastnost vezja, soA1, A2, B1 in B2 odvisne tudi od zacetnih pogojev.

Odvisnost, ki jo lahko opisemo z dvema casovnima konstantama, imenujemo dvoekspo-nentna funkcija. V nasem sistemu je pri t = 0 na kondenzatorju C1 napetost U1(0), nakondenzatorju C2 pa je takrat napetost 0. Iz enacb (10.29) in (10.30) sledi, da je

A1 + B1 = U1(0) , (10.31)

inA2 = B2 . (10.32)

Slika 10.5 prikazuje napetost na obeh kondenzatorjih U1 in U2 v odvisnosti od casa.Ker sta upora R1 in R2 izbrana tako, da je R1 veliko manjsi kot R2, in je zato τ1 veliko

manjsi kot τ2, lahko posebno preprosto opisemo sistem pri zelo kratkih in zelo dolgih casih.Pri zelo kratkih casih pride do znatnih casovnih sprememb v krogu, ki ga sestavljata oba

95

A

B

Slika 10.6: Slika prikazuje efektivni vezji v limiti zelo kratkih casov (A) in v limiti zelodolgih casov (B), R1 ≪ R2.

kondenzatorja in upor R1 (slika 10.6 A). Ker sta v tem primeru kondenzatorja vezanazaporedno, je njuna skupna kapaciteta enaka C/2, konstanta τ1 (enacba 10.14) pa je enakaτ1 = R1C/2. Pri zelo dolgih casih so casovne spremembe znatne le se v krogu, ki gasestavljata oba kondenzatorja in upor R2 (slika 10.6 B), padec napetosti na uporu R1 paje veliko manjsi kot na uporu R2. Ker sta v tem primeru kondenzatorja vezana vzporedno,je njuna skupna kapaciteta enaka 2C, konstanta τ2 (enacba 10.14) pa je enaka τ2 = 2R2C.Pravilnost izrazov za τ1 in τ2 lahko preverimo tudi z upostevanjem enacb (10.46) in (10.47),ce predpostavimo, da je R1 veliko manjsi od R2.

Naloga: 1. Dolocite konstante dvoeksponentne funkcije, ki opisuje spreminjanje na-petosti na kondenzatorju C1 s casom (A1, B1, τ1 in τ2) v sistemu dvehkondenzatorjev in dveh uporov.

Potrebscine: dva kondenzatorja

dva upora

izvor enosmerne napetosti (usmernik)

pretikalo

digitalni voltmeter

stoparica

vezne zice

96

Izvedba

1) Zvezite elemente po shemi 10.7. V okviru te naloge boste merili spreminjanje na-petosti s casom na obeh kondenzatorjih (na vsakem posebej), zato je voltmeter nashemi prikazan s crtkanimi crtami (za vsakega od obeh primerov). Najprej pri-kljucite voltmeter tako, da boste merili napetost na kondenzatorju C1. Pazite, da jepred zacetkom merjenja kondenzator C2 prazen. To dosezete tako, da kondenzatorC2 kratko sklenete z eno izmed veznih zic, pri cemer mora biti pretikalo v srednjempolozaju, ne pa v polozajih “polnjenje” ali “praznjenje”. Potem, ko je pravilnostvezja preveril vodja vaj, prikljucite sistem na vir napetosti. Podobno kot pri prvinalogi, najprej samo opazujte spreminjanje napetosti s casom: postavite pretikalo vpolozaj “polnjenje”, tako da se kondenzator nabije na napetost U1(0), ki je priblizno12 V. Nato preklopite stikalo na polozaj “praznjenje”, in na voltmetru opazujte pa-danje napetosti s casom. Vidite, da v zacetku (do priblizno 5 V) napetost zelo hitropada, potem pa se padanje napetosti upocasni. To upostevate, ko si pripravite tabeloza zapisovanje vrednosti napetosti in casa. V zacetku (do priblizno 5 V), odcitavajtev razmiku 1 V, ko pa napetost pade pod priblizno 5 V, odcitavajte v razmiku 0,5 V.Merite do priblizno 2 V. Pred meritvijo izpraznite kondenzator C2, postavite pre-tikalo v polozaj “polnjenje”, nato pa v polozaj “praznjenje” in odcitavajte case, kiustrezajo izbranim vrednostim napetosti v tabeli. Meritev opravite enkrat.

Potem prestavite voltmeter tako, da boste z njim merili napetost na kondenzatorjuC2. Izpraznite kondenzator C2. Ponovno boste merili spreminjanje napetosti s casom.Postavite pretikalo v polozaj “polnjenje”, da se kondenzator C1 nabije na napetostU1(0). Na voltmetru ne zaznate spremembe, ker je kondenzator C2 prazen. Natopostavite pretikalo v polozaj “praznjenje”, in na voltmetru opazujte spreminjanjenapetosti s casom. Vidite, da v zacetku napetost hitro raste s casom. Potem konapetost doseze priblizno 5 V se rast napetosti upocasni, ustavi in zacne pocasipadati. To upostevate, ko si pripravite tabelo za zapisovanje vrednosti napetosti incasa. V zacetku, ko bo napetost narascala do priblizno 5 V, boste odcitavali v razmiku1 V, ko pa bo napetost padala, pa boste odcitavali v razmiku 0,2 V. Zapisite si tudinajvecjo napetost. Merite do priblizno 2 V. Postavite pretikalo v srednji polozaj inizpraznite kondenzator C2. Postavite pretikalo v polozaj “polnjenje”, nato pa hkrati ssprozenjem stoparice v polozaj “praznjenje”. Odcitavajte case, ki ustrezajo izbranimvrednostim napetosti v tabeli. Meritev opravite le enkrat.

Narisite diagram, kjer na absciso nanasate cas, na ordinato pa napetosti na konden-zatorjih C1 in C2.

Karakteristicna casa τ1 in τ2 dolocimo z analizo padanja napetosti na kondenzatorjuC1. Narisite diagram, kjer na absciso nanasate cas, na ordinato pa logaritem nape-tosti na kondenzatorju C1, ln(U1(t)/V ). Rezultate lahko ponazorimo s primerom, kije prikazan na sliki 10.8. Karakteristicni cas pocasnega dela padanja napetosti τ2

97

Slika 10.7: Shema vezja pri merjenju (2. naloga).

dolocite iz naklona premice, ki jo dobite pri velikih casih (slika 10.8),

k =ln(U1(t2)/V )− ln(U1(t1)/V )

t2 − t1, (10.33)

kjer sta t1 in t2 izbrana casa (slika 10.8), B1 pa iz odseka podaljska te premice naordinati (slika 10.8).

Nato analizirajte se del, kjer napetost hitro pada. Hitro padajoci prispevek k celotninapetosti pri izmerjenih casih (Uh(t)) dobite, ce odstejete od celotne napetosti (U1(t))pocasno padajoci prispevek

Uh(t) = U1(t)−B1e− t

τ2 . (10.34)

Pri tem uporabite ze doloceni vrednosti B1 in τ2. Iz enacbe (10.29) sledi potem

Uh(t) = A1e− t

τ1 . (10.35)

Ce enacbo (10.35) logaritmiramo na obeh straneh, dobimo premico

ln(Uh(t)/V ) = ln(A1/V )− t

τ1. (10.36)

Narisite diagram logaritma hitro padajocega prispevka ln(Uh(t)/V ) = ln((U1(t) −B1e

− tτ2 )/V ) v odvisnosti od casa t: vrednosti napetosti U1(t) in ustreznih casov

preberite s tabele meritev. Upostevajte samo tocke za dovolj majhne case, pri katerihje argument logaritma pozitiven (Uh(t)/V > 0). Iz naklona premice, ki se najboljeprilega meritvam, dolocite konstanto τ1, iz odseka premice na ordinati pa konstantoA1.

10.4 Dodatek

V tem dodatku prikazemo resevanje sistema enacb (10.22)–(10.28). Postopek je na meji zahtev pripredmetu Biofizika, navajamo pa ga za tiste, ki jih zanima, kako iz sistema enacb (10.22)–(10.28)dobimo dvoeksponentno odvistnost napetosti na obeh kondenzatorjih.

98

1( )ln( )

B /Vln( )1

1ln( )U /V

( )

20 t1t

1 2U t /Vln( )

1U t /V

Slika 10.8: K dolocanju konstant dvoeksponentne funkcije.

V enacbo (10.22) vstavimo za I1 izraz (10.26), za I2 pa izraz dobljen iz enacb (10.24) in(10.28), I2 = I1 −C2dU2/dt,

U1 + R1C1dU1

dt−R2(I1 −C2

dU2

dt) = 0 . (10.37)

Iz enacbe (10.23) izrazimo U2 in upostevamo za I1 izraz (10.26),

U2 = U1 + R1C1dU1

dt. (10.38)

Da dobimo odvod dU2/dt, ki nastopa v enacbi (10.37), odvajamo izraz (10.38) po casu,

dU2

dt=

dU1

dt+ R1C1

d2U1

dt2. (10.39)

Dobljeni izraz vstavimo v enacbo (10.37) in enacbo uredimo,

R1C1R2C2d2U1

dt2+ (R1C1 + R2C2 + R2C1)

dU1

dt+ U1 = 0 . (10.40)

V nasem primeru sta kapaciteti obeh kondenzatorjev med seboj enaki, C1 = C2 = C. Ce toupostevamo, enacba (10.40) preide v

R1R2C2d2U1

dt2+ (R1 + 2R2)C

dU1

dt+ U1 = 0 . (10.41)

Dobimo diferencialno enacbo 2. reda za U1. Podobno diferencialno enacbo dobimo tudi pridusenem nihanju. Diferencialno enacbo (10.41) resimo z nastavkom

U1(t) = A1e−t/τ1 + B1e

−t/τ2 , (10.42)

99

kjer sta A1 in B1 konstanti. Izracunamo odvoda

dU1

dt= −A1

τ1e−t/τ1 − B1

τ2e−t/τ2 (10.43)

ind2U1

dt2=

A1

τ21

e−t/τ1 +B1

τ22

e−t/τ2 , (10.44)

ter vstavimo nastavek (10.42) in odvoda (10.43)–(10.44) v enacbo (10.41). Da bi veljala enacba(10.41), morata biti izraz pred e−t/τ1 in izraz pred e−t/τ2 enaka 0. Iz teh dveh pogojev sledi, daje

R1R2C2 1

τ21,2

− (R1 + 2R2)C1

τ1,2+ 1 = 0 . (10.45)

Dobimo dve realni resitvi kvadratne enacbe (10.45). Eno pripisemo 1/τ1, drugo pa 1/τ2,

1

τ1=

R1 + 2R2 +√

(R1 + 2R2)2 − 4R1R2

2R1R2C, (10.46)

1

τ2=

R1 + 2R2 −√

(R1 + 2R2)2 − 4R1R2

2R1R2C. (10.47)

Odvisnost napetosti od casa na kondenzatorju C2 dobimo, ce izrazimo U2 iz enacbe (10.38),in upostevamo enacbi (10.42)–(10.43),

U2(t) = A1e−t/τ1 + B1e

−t/τ2 + R1C

(

−A1

τ1e−t/τ1 − B1

τ2e−t/τ2

)

. (10.48)

Izraz (10.48) lahko zapisemo tudi kot

U2(t) = B2e−t/τ2 −A2e

−t/τ1 , (10.49)

kjer je

A2 = −A1

(

1− R1C

τ1

)

, (10.50)

in

B2 = B1

(

1− R1C

τ2

)

. (10.51)

V nasem sistemu je pri t = 0 na kondenzatorju C1 napetost U1(0), na kondenzatorju C2 paje takrat napetost 0. Iz enacb (10.29) in (10.30) sledi, da veljata enacbi (10.31) in (10.32)

A1 + B1 = U1(0) , (10.52)

inA2 = B2 . (10.53)

Ce vstavimo izraza (10.50)–(10.51) v pogoj (10.53), dobimo iz sistema (10.52)–(10.53)

A1 = U1(0)

τ2

R1C− 1

τ2

τ1− 1

, (10.54)

100

in

B1 = U1(0)

τ1

R1C− 1

τ1

τ2− 1

. (10.55)

Konstante sistema dveh kondenzatorjev in dveh uporov lahko torej dolocimo tudi, ce poznamovrednosti upora R1, kapaciteto obeh kondenzatorjev C in zacetno vrednost napetosti U1(0).Potem iz enacb (10.46)–(10.47) dolocimo τ1 in τ2, iz enacb (10.54)–(10.55) A1 in B1, iz enacb(10.50)–(10.51) pa A2 in B2.

Ce je R1 veliko manjsi od R2, sledi iz enacbe (10.46), da je τ1 = R1C/2, iz enacbe (10.47),

da je τ2 = 2R2C, ter iz enacb (10.50)–(10.55), da je A1 = A2 = B1 = B2 = U1(0)/2.

101

11 Osnove elektrokardiografije

Spoznali bomo lastnosti elektricnega dipola in se seznanili z opisom srca kot elektricnegadipola. Opisali bomo, kaksno elektricno polje ta ustvarja v telesu, kako ga merimo, inpredstavili preprost model za merjenje elektrokardiograma.

Merjenje EKG (ElektroKardioGrama) je v medicini ena izmed osnovnih preiskav. Sto metodo lahko opazujemo delovanje srca in iz nenormalnih potekov EKG sklepamo narazlicne nepravilnosti (obolenja) srca (slika 11.1).

Pri tej vaji se bomo zato seznanili s fizikalnimi osnovami elektrokardiografije.

Slika 11.1: Primer EKG, kjer merimo casovni potek elektricnih napetosti med levo nogo indesno roko, pri zdravem (levo) in pri bolnem (desno) srcu.

11.1 Osnove EKG

Pri merjenju EKG merimo casovno spreminjanje elektricne napetosti med dolocenimi delitelesa (npr. levo roko – desno roko, levo nogo – levo roko, levo nogo – desno roko), glejsliko 11.2. Izmerjene napetosti so odvisne od trenutnih faz v delovanju srca (npr. sistola –skrcenje srca, diastola – razsiritev srca). Ker je delovanje srca periodicno (s periodo okoliene sekunde), je tudi potek teh napetosti periodicen. Razlike v casovnem poteku EKGnastanejo, ker se bolno srce vzdrazi ter kot posledica krci in siri drugace kot zdravo.

Za razumevanje EKG in napetosti med posameznimi deli telesa moramo poznati pojemelektricnega dipola in elektricnega polja, ki ga tak dipol ustvarja v okolici. Pri razlagiEKG lahko namrec elektricne lastnosti srca v grobem priblizku ponazorimo z elektricnimdipolom, ki se mu periodicno spreminjata smer in velikost. Clovesko telo predstavlja okolicoelektricnega dipola.

11.2 Elektricni dipol

O elektricnem dipolu govorimo, kadar sta elektricna naboja enake velikosti a razlicnegapredznaka (+e,−e) na doloceni razdalji (a)(slika 11.3). Velikost vektorja elektricnega (~pe)dipola je enaka produktu naboja in medsebojne razdalje, smer pa doloca veznica mednegativnim in pozitivnim nabojem.

102

Slika 11.2: Shematski prikaz elektrokardiogra-fije: merjenje osnovnih treh napetosti in nji-hov potek. Pri EKG imenujemo izmerjenoelektricno napetost med levo in desno roko bi-polarni standardni odvod I, med levo nogo indesno roko bipolarni standardni odvod II termed levo nogo in levo roko bipolarni standar-dni odvod III. Puscica predstavlja elektricnidipol srca v dolocenem trenutku (prirejeno po:S. Silbernagl in A. Despopoulos, Taschenatlasder Physiologie, Thieme, Stuttgart 1983).

+e b

6

−e b

~a ~pe , ~pe = e~a

~r

bAϑ

Slika 11.3: Elektricni dipol, njegova velikostin smer. Velikost elektricnega polja v tockiA je odvisna od oddaljenosti te toke od dipola(r) in kota med smerjo dipola in veznico meddipolom in tocko A (ϑ).

V okolici elektricnega dipola je elektricno polje, ki ga v vsaki tocki v prostoru popisemoz elektricno poljsko jakostjo ( ~E) oziroma z elektricnim potencialom (ϕ). Elektricna poljska

jakost je povezana z elektricnim potencialom z zvezo ~E = −gradϕ. Elektricni potencialtockastega dipola (ϕ) pa je enak:

ϕ =pe cos ϑ

4πǫ0r2, (11.1)

kjer je r velikost vektorja ~r, ki povezuje dipol in tocko A v prostoru, ϑ pa je kot medsmerjo dipola in vektorjem ~r (slika 11.3). Dipol lahko obravnavamo kot tockasti dipol,kadar je a ≪ r. Elektricno polje lahko predstavimo s silnicami elektricnega polja aliz ekvipotencialnimi ploskvami. Ekvipotencialne ploskve so ploskve, ki povezujejo tocke zistim elektricnim potencialom. Silnice so crte, ki so pravokotne na ekvipotencialne ploskve,tangenta na silnice kaze v vsaki tocki smer elektricne poljske jakosti, gostota silnic pa dolocanjeno velikost.

Ekvipotencialne crte, ki so presek ekvipotencialnih ploskev in ravnine, so pri tockastemnaboju koncentricni krogi s srediscem v naboju (slika 11.4 levo), oblike ekvipotencialnihcrt pri elektricnem dipolu pa so prikazane na sliki 11.4 desno. V neposredni blizini obeh

103

Slika 11.4: Ekvipotencialne crte (polno) in silnice (crtkano) elektricnega polja pri pozitiv-nem tockastem naboju (levo) in elektricnem dipolu (desno). Elektricna napetost med dvematockama (A,B ali B,C) je enaka razliki med potencialoma ekvipotencialnih crt, ki potekataskozi ti dve tocki (UAB = ϕ(A)− ϕ(B) ali UBC = ϕ(B)− ϕ(C)).

nabojev so krogi, premico dobimo v sredini med nabojema, kjer je potencial enak nic.Elektricna napetost med dvema tockama je enaka razliki med elektricnima potencia-

loma, ki pripadata izbranima tockama. ce torej merimo elektricno napetost med dvematockama, ki lezita na razlicnih ekvipotencialnih crtah (tocki A in B, slika 11.4), dobimonapetost razlicno od nic in enako razliki potencialov teh dveh ekvipotencialnih crt. ce pa jomerimo med dvema tockama na isti ekvipotencialni crti (tocki B in C, slika 11.4), dobimoseveda elektricno napetost enako nic.

11.3 Srce kot elektricni dipol

Delujoce srce lahko v vsakem trenutku ponazorimo z elektricnim dipolom∗. Doloca gavsota elektricnih dipolov posameznih srcnih misicnih celic (glej dodatek na strani 111).Elektricni dipol srca ustvarja v svoji okolici (clovesko telo) elektricno polje, ki ga lahkopopisemo z ekvipotencialnimi ploskvami (slika 11.5). Tocke na telesu, kjer merimo EKG,so na razlicnih ekvipotencialnih ploskvah in izmerjene elektricne napetosti ustrezajo razlikipotencialov teh ekvipotencialnih ploskev (slika 11.2).

V razlicnih fazah delovanja srca se v srcu vzdrazijo razlicne misicne celice, skladno s temse spreminjata tudi velikost in smer elektricnega dipola srca (slika 11.6 levo). Spreminjajocse elektricni dipol pa pomeni, da potekajo skozi tocke na telesu, med katerimi merimoEKG, razlicne ekvipotencialne ploskve v razlicnih trenutkih. Tako dobimo spreminjajocese elektricne napetosti v casu ene srcne periode (slika 11.6 desno) in periodicno funkcijo,

∗Zaradi nazornejse razlage bomo obravnavali srce kot elektricni dipol, clovesko telo pa kot neprevodnosnov. O upravicenosti te slike, kajti clovesko telo je prevodno, bomo razpravljali v naslednjem razdelku.

104

Slika 11.5: Trenutni elektricni dipol srca ustvarja v cloveskem telesu elektricno polje. Nasliki so prikazane ekvipotencialne crte v koronarni ravnini, ki so presek ekvipotencialnihploskev in te ravnine. Ker je clovesko telo koncno in nehomogeno, ekvipotencialne crtedalec od srca niso identicne s tistimi iz slike 11.4. (povzeto po: R.F. Schmidt in G. Thews,Human Physiology, Springer Verlag, Berlin 1989).

ce merimo vec srcnih period (slika 11.7).

11.4 Elektricno polje v telesu

Ugotoviti moramo, ali enacba za elektricni potencial dipola v praznem prostoru, ki smojo uporabili pri razlagi EKG, ustreza tudi za prevodno clovesko telo. V prevodni snovilahko tece elektricni tok, zato je ustreznejsa razlaga naslednja. Med depolarizacijo misicnecelice se naboji na membrani prerazporedijo (slika 11.10) in elektricni tok, ki tece v nekemtrenutku v okolico, lahko, kot bomo pokazali v naslednjem odstavku, opisemo s trenutnimtokovnim dipolom, ki ima isto smer kot elektricni dipol celice. Vsota vseh trenutnih to-kovnih dipolov celic da trenutni tokovni dipol srca. V nadaljevanju tega razdelka bomopokazali, da lahko njegove ekvipotencialne ploskve opisemo z enacbo za elektricni potencialv praznem prostoru (enacba 11.1).

Poglejmo najprej, kako se elektricna poljska jakost pri tockastem tokovnem izvoru raz-likuje od elektricnega polja zaradi naboja e, ki se nahaja v praznem prostoru. Izpeljatimoramo torej enacbo, ki velja za elektricno poljsko jakost stalnega tockastega tokovnegaizvora v prevodni snovi. Tockasti tokovni izvor je tocka v prostoru, v kateri se pojavljajonovi pozitivni naboji na casovno enoto. Ker so naboji enako nabiti, novi naboji odri-vajo prejsnje, v prostoru pa dobimo prostorsko spreminjajoci se elektricni potencial. Podolocenem casu se v prostoru vzpostavi stacionarno stanje. Kolikor naboja v enoti casapritece v nek prostorski element snovi, ga tudi odtece. Ker naboji zaradi simetrije odte-kajo od tokovnega izvora na vse strani enakomerno, je gostota elektricnega toka (j) naoddaljenosti r od tockastega izvora na vseh mestih te oddaljenosti enaka in sicer taka, da

105

Slika 11.6: Vektor elektricnega dipola srca opise prostorsko krivuljo v casu ene srcne pe-riode, spreminjanje njegove projekcije na frontalno (koronarno) ravnino je narisano nasliki levo. Srcne faze so oznacene z velikimi tiskanimi crkami. Vektor kaze iz izhodiscakoordinatnega sistema in ponazori spreminjanje velikosti in smeri elektricnega dipola srca(njegove projekcije na frontalno ravnino) v razlicnih srcnih fazah: vektor opise v zacetnifazi P najmanjso zanko v blizini izhodisca koordinatnega sistema, sledi faza QRS, kjer vek-tor srcnega dipola doseze najvecjo velikost in najvecje spremembe, njegovo spreminjanje pase konca s srednje veliko zanko v fazi T (povzeto po: R.K. Hobbie, Intermediate Physicsfor Medicine and Biology, J. Wiley & Sons, New York 1978). Vpliv spreminjanja vektorjaelektricnega dipola srca na casovni potek bipolarnega standardnega odvoda II pokaze slikadesno. Skladno s spreminjanjem velikosti in smeri vektorja srcnega dipola se spreminja tudimerjena elektricna napetost. Na desni sliki, kjer je podana elektricna napetost v odvisnostiod casa, vidimo, da se napetost spremeni najbolj v fazi QRS, manj v fazi T in najmanj vfazi P (povzeto po: R.F. Schmidt in G. Thews, Human Physiology, Springer Verlag, Berlin1989).

je celotni tok skozi krogelno ploskev povrsine 4πr2 enak naboju na casovno enoto (I), ki sepojavi v tockovnem izvoru (j 4πr2 = I). Gostota toka na oddaljenosti r od izvora je torejenaka

j =I

4πr2. (11.2)

Elektricna poljska jakost, ki poganja ta tok, je po Ohmovem zakonu (~ = σ ~E, σ je specificnaprevodnost snovi) enaka

E =j

σ=

I

σ 4πr2, (11.3)

Ker elektricni tok v prevodni snovi tece v smeri silnic elektricnega polja, je elektricnapoljska jakost v prostoru v okolici tockastega tokovnega izvora enako odvisna od razdaljeod izvora kot elektricna poljska jakost naboja v praznem prostoru. Elektricno polje v

106

I

II

III

Slika 11.7: Elektrokardiogram (bipolarmi standardni odvodi I, II in III) je ponavljajoca sefunkcija s periodo delovanja srca t0.

prevodni snovi, ki nastane zaradi tockastega tokovnega izvora, lahko zato opisemo z enacbo

E =e∗

4πǫ0r2, (11.4)

kjer je e∗ = ǫ0I/σ navidezni naboj. Vidimo, da lahko za elektricno poljsko jakost pritockastem tokovnem izvoru v prevodniku uporabimo enacbo, ki jo poznamo za prazenprostor, le vpeljati moramo navidezen naboj.

Kako pa je pri tokovnem dipolu? Opisati hocemo elektricno poljsko jakost, kjer jev prostoru tockasti tokovni izvor (I+) in od njega za doloceno razdaljo (a) odmaknjenitockasti ponor (I−). Ponor je mesto, na katerem naboji izginjajo. Vsi naboji, ki so sepojavili v izvoru, v ponoru tudi poniknejo, ce sta absolutni vrednosti (I+) in (I−) enaki.Ker lahko elektricno poljsko jakost tockastega izvora v prevodni snovi opisemo z enacbo,ki ima enako obliko kot enacba za naboj v praznem prostoru (enacba 11.4), lahko tudielektricno poljsko jakost sistema tockastih izvorov v prevodni snovi opisemo z enacbo,ki ima enako obliko kot enacba za sistem nabojev v praznem prostoru. Po analogiji stockastim tokovnim izvorom sklepamo, da se v okolici sistema izvor – ponor vzpostavienako elektricno polje, kot da bi imeli v praznem prostoru navidezni elektricni dipol z

107

vrednostjo

p∗ =ǫ0I+

σa . (11.5)

Zato lahko elektricni potencial tokovnega dipola opisemo z enacbo (11.1), kjer nadomestimope s p∗.

Zakljucimo lahko, da je opis EKG z enacbami, ki veljajo za prazen prostor, zadovoljiv,saj oblike ekvipotencialnih ploskev tockasih tokovnih izvorov v prevodni snovi sovpadajoz oblikami ekvipotencialnih ploskev, ki jih v praznem prostoru ustvarijo ustrezni naboji.

11.5 Model za merjenje elektrokardiograma (EKG)

Kot dvodimenzionalen model cloveskega telesa uporabimo prevodno plasticno folijo (crnebarve). Trenutni elektricni dipol srca lahko ponazorimo tako, da na izvor enosmerne ele-ktricne napetosti prikljucimo posamezni par kontaktov iste barve, ki se nahaja v srediniplosce (slika 11.8). S preklapljanjem izvora enosmerne elektricne napetosti med tremipari kontaktov razlicnih barv (1-modra, 2-rdeca, 3-rumena) ponazorimo spreminjanje ele-ktricnega dipola srca (le njegove smeri, ne pa tudi velikosti), kar predstavlja razlicne fazesrca. Zunanji kontakti (crn, siv in zelen) pa predstavljajo tocke na cloveskem telesu (levaroka-lr in desna roka-dr, leva noga-ln), med katerimi merimo EKG.

Podobno kot pri cloveku, kjer pri EKG merimo razlicne elektricne napetosti med po-sameznimi pari tock telesa zaradi spreminjanja elektricnega dipola srca, merimo tudi prinasem modelu razlicne elektricne napetosti med posameznimi pari tock na foliji pri razlicnihdipolih. Za razliko od srca, kjer elektricni dipol v eni periodi opise zapleteno krivuljo nasliki 11.6, v nasem modelu dipol v eni “periodi” opise le en krog∗. Ker pri modelu lahkopreklapljamo le med sestimi smermi dipola (↑,ր,ց,↓,ւ inտ), izmerjeni EKG ni zveznafunkcija, pac pa dobimo le sest napetosti med posameznima tockama v eni “srcni periodi”.

Naloge: 1. izmerite in narisite ekvipotencialne crte okoli prvega polozaja dipola

2. narisite ekvipotencialne linije okoli drugega polozaja dipola

3. izmerite osnovne tri napetosti (bipolarne standardne odvode I, II in III)pri razlicnih “trenutnih elektricnih dipolih srca”

4. narisite EKG

Potrebscine: model za merjenje EKG

izvor enosmerne elektricne napetosti

voltmeter (multimeter)

vezne zice

∗Spreminja se le smer, ne pa velikost dipola.

108

MODEL ZA MERJENJE EKG

ln

lr

IZVOR ENOSMERNE NAPETOSTI+

-0

12

3

drON/OFF

COM V

VOLTMETER

Slika 11.8: Model elektrokardiograma (EKG): crna folija predstavlja prevodno clovesko telo,trije pari kontaktov razlicnih barv v sredini ponazarjajo trenutne polozaje elektricnega dipolasrca v razlicnih srcnih fazah (1-modra, 2-rdeca, 3-rumena) in zunanji kontakti tocke nacloveskem telesu (lr-crn, dr-siv in ln-zelen), kjer merimo EKG.

Izvedba

1) Povezite par kontaktov modre barve na modelu za merjenje EKG, ki ponazarja tre-nutni polozaj elektricnega dipola srca, z izvorom enosmerne napetosti. Pazite napolariteto izvora, saj le-ta doloca smer dipola (po dogovoru je prikljucek pozitivnegapola rdec, negativnega pola pa crn)! Napetost med poloma dipola izmerite z voltme-trom (multimetrom), ki ga pred tem nastavite na merjenje napetosti. Prikljucite gavzporedno na par kontaktov modre barve. Pozitivni pol dipola povezite s “pozitiv-nim” polom voltmetra (oznaka V) z rdecim kablom, s crnim kablom pa negativni poldipola z “negativnim” polom voltmetra (oznaka COM oziroma ⊥). Vklopite izvorenosmerne napetosti. Napetost U0 naj bo med 190 mV in 200 mV, zato nastavitemerilno obmocje voltmetra temu primerno (enosmerna napetost − DCV, 200 mV).Vklopite voltmeter in izmerite U0. Po potrebi uravnajte napetost z gumbom, ki jena izvoru enosmerne napetosti.

Ekvipotencialno crto dipola izmerite tako, da “negativni” pol voltmetra povezete zniclo na izvoru enosmerne napetosti (slika 11.9). Z vezno zico, povezano s “pozitiv-nim” polom voltmetra, pa potujte po foliji in poiscite tocke, ki so na istem potencialu– tedaj kaze voltmeter isto napetost. S pomocjo merila ob robu folije dolocite koor-dinate najmanj sedmih tock, ki priblizno dolocajo to ekvipotencialno crto. Zapisitekoordinati vsake tocke v razpredelnico pri izmerjeni elektricni napetosti in jih sprotivnesite na milimetrski papir. Skozi njih narisite ekvipotencialno crto, ki jo oznacite z

109

MODEL ZA MERJENJE EKG

ln

lr

IZVOR ENOSMERNE NAPETOSTI+

-0

drON/OFF

COM V

VOLTMETER

Slika 11.9: Model za merjenje EKG, pripravljen za merjenje ekvipotencialnih crt.

velikostjo njenega potenciala. Na milimetrski papir vnesite tudi polozaj pozitivnegain negativnega pola opazovanega dipola ter oznacite polariteto obeh polov.

Tako dolocite pet karakteristicnih oblik ekvipotencialnih crt za merjeni dipol: pripotencialih okoli −40 mV in 40 mV, pri potencialih okoli −20 mV in 20 mV ter pripotencialu 0 V.

2) Na isti milimetrski papir narisite (z rdeco barvo) koordinate polov dipola, ki gapredstavlja par kontaktov rdece barve. Oznacite pozitivni in negativni pol.

V skladu s prej izmerjenimi ekvipotencialnimi linijami in s teorijo narisite z rdecobarvo (brez merjenja!) tri karakteristicne ekvipotencialne crte za ta dipol: crte spotenciali −40 mV, 20 mV ter 0 V.

Na isti milimetrski papir vnesite tudi polozaj kontaktov na modelu, ki predstavljajotocke na cloveskem telesu, med katerimi merimo EKG. Iz slike ocenite, kaj bi sezgodilo z elektricno napetostjo med kontaktoma, ki predstavljata levo nogo in desnoroko, ce bi spremenili dipol iz prvega v drug polozaj!

3) Merjenje EKG: Pripravite si tabelo, v kateri stolpci predstavljajo posamezne standar-dne bipolarne odvode (I – leva roka/desna roka, II –leva noga/desna roka, III – levanoga/leva roka), vrstice pa predstavljajo posamezne smeri trenutnega elektricnegadipola (↑, ր, ց,↓, ւ in տ ).

Za vse tri standardne bipolarne odvode (I, II in III, slika 11.2) izmerite napetosti zavseh sest polozajev dipola (izvor napetosti preklaplajte med kontakti modre, rdecein rumene barve; pazite na polarieto!) in izmerjene napetosti vnesite v tabelo.

4) Za ponazoritev EKG (bipolarnih standardnih odvodov I, II in III) narisite enega pod

110

drugim tri diagrame, kjer na abscise ekvidistantno nanesete polozaje vseh sestih di-polov (oznacite jih s stevilko ali s puscico); ordinate pa predstavljajo napetosti zaposamezne odvode. Teh sest dipolov ponazarja, kot je opisano v opisu modela zamerjenje EKG, elektricne dipole srca pri razlicnih srcnih fazah. Ce privzamete, daso le-te casovno enakomerno razporejene cez celo srcno periodo, lahko abscisa pred-stavlja casovno os. S crto povezane meritve posameznega bipolarnega standardnegaodvoda na diagramu pa predstavljajo njegov potek v eni srcni periodi. S crtkano crtonadaljujte potek se za naslednjo periodo!

11.6 Dodatek: trenutni elektricni dipol srca

Misicna celica, ki je osnovni delcek srcne misice, je nevtralna, vendar v relaksirani fazi po-larizirana (slika 11.10 levo). Tedaj kljub porazdelitvi nabojev preko membrane, celica kotcelota navzven ne deluje kot elektricni dipol v okolici(Posamezen delcek polarizirane mem-brane si lahko predstavljamo kot dipol, a se ti dipoli paroma iznicijo). Pri krcenju misicnecelice pa pride do postopne depolarizacije celice (slika 11.10 desno) – naboj na membranicelice se pri tem prerazporeja (nekateri deli membrane niso vec polarizirani, drugi pa sevedno), in celotna celica deluje navzven kot elektricni dipol. Popolnoma depolariziranacelica prav tako ne predstavlja elektricnega dipola. Vsota vseh elektricnih dipolov srcnihmisicnih celic doloca trenutni elektricni dipol srca (slika 11.11).

Slika 11.10: Razporeditev elektricnega naboja v polarizirani (levo) in v delno depolariziranimisicni celici (desno). Vidimo, da relaksirana misicna celica nima “neto” elektricnegadipola, pri vzdrazenju pa pride do elektricnega dipola (~pcelica).

111

Slika 11.11: Primeri nekaj srcnih faz kazejo trenutne depolarizacije razlicnih misicnih celic(osenceno), kot posledica dobimo razlicne trenutne elektricne dipole srca (puscica). Pri(c) je vrednost trenutnega elektricnega dipola srca enaka 0. Crta s puscicami prikazujedele srca, kjer se spreminja polarizacija celic (polarizacijski val). Oznaki D.A. in L.A.oznacujeta desni in levi atrij, oznaki D.V. in L.V. pa desni in levi ventrikel (povzeto po:R.K. Hobbie, Intermediate Physics for Medicine and Biology, J. Wiley & Sons, New York1978).

112

12 Slikanje z jedrsko magnetno resonanco

Pri tej vaji bomo spoznali, da so nekatera atomska jedra magnetni dipoli, in predstavilinjihovo obnasanje v zunanjem magnetnem polju. Seznanili se bomo tudi s tem, kako lahkoto lastnost uporabimo za slikanje tkiv.

12.1 Uvod

V zadnjih desetletjih so se razvile stevilne metode za slikanje cloveskega telesa, ki so pov-zrocile velik napredek v medicinski diagnostiki. Racunalniska tomografija (ang. computertomography – CT) in slikanje z jedrsko magnetno resonanco (ang. magnetic resonanceimaging – MRI) sta najbolj znani (slika 12.1). Pri racunalniski tomografiji (CT) je slikaodvisna od absorpcije rentgenskih zarkov v bioloskih tkivih, pri slikanju z jedrsko magnetnoresonanco pa sliko doloca obnasanje atomskih jeder v magnetnem polju.

Slika 12.1: Primer slikanja z jedrsko magnetno resonanco: rezina glave (levo) in hrbtenice(desno).

Ker si medicinske diagnostike v bliznji bodocnosti ni mogoce vec zamisljati brez slikanjaz jedrsko magnetno resonanco, kakor tudi ne brez drugih slikovnih metod, je prav, da seseznanimo z osnovnimi naceli metod slikanja in s fizikalnimi osnovami jedrske magnetneresonance.

113

12.2 Osnove jedrske magnetne resonance

12.2.1 Magnetni dipol jedra

V naravi obstajajo atomi, katerih jedra so magnetni dipoli (spini). Magnetni dipol imatudi jedro vodika (1H), kar je pomembno za slikanje z magnetno resonanco, saj priblizno70% cloveskega telesa sestavlja voda. Ostala jedra, ki jih tudi lahko izkoriscamo za slikanjez jedrsko magnetno resonanco, so predvsem izotop ogljika (13C), natrij (23Na) in fosfor(31P).

Ce vektorsko sestejemo vse posamezne magnetne dipole jeder, dobimo skupen magnetnidipol. Magnetni dipol na volumsko enoto imenujemo magnetizacija ( ~M). Magnetizacijapopise povprecno urejenost jedrskih magnetnih dipolov.

12.2.2 Vzbujanje in relaksacija jeder

Pri merjenju signala z jedrsko magnetno resonanco so pomembne naslednje lastnosti jedr-skih magnetnih dipolov:

1. Ce ni nobenega zunanjega magnetnega polja, kazejo magnetni dipoli jeder enako-merno v vse smeri. Magnetizacija je enaka nic.

pm

pmxyyx

z

B

pmz

0

Slika 12.2: Precesija magnetnega dipola ~pm

okoli smeri zunanjega magnetnega polja ~B0.Smer magnetnega dipola se spreminja tako,da se konica vektorja giblje po kroznici vsmeri puscice, medtem ko je zacetek vektorjav izhodiscu koordinatnega sistema. Kompo-nenta ~pm v smeri magnetnega polja ~B0 jeoznacena s ~pmz

, s ~pmxypa oznacimo kompo-

nento, ki je precna na smer polja (projekcija~pm na ravnino xy).

2. Ce jedra z magnetnim dipolom postavimo v zunanje magnetno polje ~B0,∗ se le-ta

delno usmerijo v smer zunanjega magnetnega polja.† Vsak magneten dipol, ki niusmerjen natancno v smeri ~B0, precedira okrog smeri magnetnega polja (slika 12.2).Krozna frekvenca te precesije, ki jo imenujemo Larmorjeva krozna frekvenca (ω), jeodvisna od vrste jeder in od velikosti zunanjega magnetnega polja (B0).

ω = 2πν = γB0 . (12.1)

∗Zunanje magnetno polje ~B0 kaze po dogovoru v smeri osi z.†Energija magnetnih dipolov je v smeri magnetnega polja nizja kot proti smeri magnetnega polja.

114

V tabeli 12.1 so podana giromagnetna razmerja (γ) nekaterih jeder. Larmorjevakrozna frekvenca za vodikova jedra (γ=267,5 MHz/T) znasa pri nasem instrumentu(B0 = 0,2 T) 53,5 MHz.

Tabela 12.1: Giromagnetna razmerja (γ) jeder, ki so pomembna za medicinsko diagnostiko.

Jedro γ

[MHz/T]

H1 267,5

C13 67,3

Na23 70,7

P31 108,3

V staticnem magnetnem polju kaze magnetizacija ~M v ravnovesju v smeri zunanjegamagnetnega polja, saj so vse komponente magnetnih dipolov v ravnini xy (~pmxy)

enako verjetne in je njihova vsota v tej ravnini enaka nic ( ~Mxy=0). Precesija posa-meznih jedrskih magnetnih dipolov zato nic ne vpliva na magnetizacijo, ki ima odnic razlicno le z−komponento, ki pa se s casom ne spreminja.

3. Ce je vektor magnetizacije odklonjen iz smeri magnetnega polja, precedira okoli smerizunanjega magnetnega polja z Larmorjevo frekvenco. Precesijo sistema jeder z ma-gnetnimi dipoli lahko tudi zaznamo z detekcijsko tuljavo, ki lezi pravokotno na smerzunanjega magnetnega polja (slika 12.8). Namrec, ce jedra precedirajo v detekcijskituljavi, se zaradi spreminjajoce se magnetizacije in s tem spreminjajocega se magne-tnega polja v detekcijski tuljavi inducira napetost.

Vektor magnetizacije lahko odklonimo iz smeri magnetnega polja za dolocen kot,ce na sistem (jeder z magnetnimi dipoli) deluje dodatno izmenicno magnetno po-

lje v smeri pravokotno na ~B0 s krozno frekvenco, ki je enaka Larmorjevi frekvenci:B1(t) = B1,0 cos ωt. Temu pravimo vzbujanje jeder. Odklonski kot je sorazmerenamplitudi dodatnega magnetnega polja (B1,0) in casu njegovega delovanja, ki je redavelikosti ms. Od teh visokofrekvencnih sunkov sta najosnovnejsa 90-ski in 180-skisunek. 90-ski sunek (sunek π/2) je elektromagnetno valovanje visoke frekvence stako amplitudo in dolzino trajanja, da se smer magnetizacije v vzorcu odkloni za 90

(slika 12.3a), 180-ski sunek (sunek π) pa je tisti, pri katerem se smer magnetizacijev vzorcu odkloni za 180.

4. Po prenehanju sevanja elektromagnetnega valovanja se magnetizacija vraca v ravno-vesno stanje, torej v smer zunanjega magnetnega polja.

Ta proces imenujemo relaksacija in ga opiseta dve karakteristicni konstanti: spinsko-mrezni relaksacijski cas (T1) in spinsko-spinski relaksacijski cas (T2). Spinsko-mrezni

115

relaksacijski cas opise, kako hitro oddajo jedra z magnetnim dipolom dobljeno ener-gijo svoji okolici. Spinsko-spinski relaksacijski cas pa opise medsebojni vpliv jeder(interakcijo) z magnetnimi dipoli, kajti posamezno jedro zaradi svojega magnetnega

dipola zazna tudi magnetno polje drugih jeder, ne le ~B0. Vzrok za magnetno poljedrugih jeder so namrec njihovi magnetni dipoli. Relaksacijski cas T1 opise hitrostvracanje komponente magnetizacije, ki kaze v smeri zunanjega magnetnega polja,(Mz) proti ravnovesni vrednosti, relaksacijski cas T2 pa hitrost zmanjsevanja kompo-

nente, ki je pravokotna na smer zunanjega polja, ( ~Mxy) proti ravnovesni vrednosti,ki je enaka nic.

Spinsko-mrezni in spinsko-spinski relaksacijski cas, ki popisujeta relaksacijo jeder vtkivih, se razlikujeta med seboj tako v zdravih kakor tudi v bolnih tkivih (tabela12.2). Glavni vzroki, ki vplivajo v bioloskem tkivu na relaksacijska casa T1 in T2, so:a) koncentracija vode v tkivu, b) lastnosti makromolekul (npr. proteinov), obdanihz vodnimi molekulami ter c) koncentracija lipidov in paramagnetnih ionov. Vsi tifaktorji so v razlicnih kombinacijah prisotni v posameznih zdravih tkivih, spremenijopa se tudi v istem tkivu pri razlicnih boleznih. Kot bomo videli kasneje, so razlicnevrednosti obeh relaksacijskih casov eden izmed osnovnih pogojev za kontrast (npr.med tumorjem in zdravim tkivom) pri slikanju z jedrsko magnetno resonanco.

Tabela 12.2: Tipicna relaksacijska casa T1 in T2, ki popisujeta vracanje magnetnih dipolovjeder vodika v ravnovesno stanje v razlicnih zdravih in bolnih cloveskih tkivih.

organ T1 [ms] T2 [ms]

siva substanca 920 100

bela substanca 780 90

misica 870 45

jetra 500 42

kostni mozeg 241 53

tekocina (koleno) 1980 800

maligni tumor (prsa) 995 75

benigni tumor (prsa) 1200 90

Poglejmo si se malo podrobneje spinsko-spinsko relaksacijo! Ce magnetno polje ni navseh mestih natancno enako, imajo jedra z magnetnim dipolom na razlicnih mestihrazlicne precesijske frekvence ω (prim. enacbo 12.1). Zaradi razlicnih precesijskihfrekvenc magnetni dipoli v izbranem trenutku po 90-skem sunku niso zavrteni zaenak kot, saj “pocasni” magnetni dipoli vse bolj zaostajajo, “hitri” pa so vse boljspredaj (slike 12.3b, c in d). Pravimo, da se izgublja fazna povezava med magnetnimidipoli. Shematsko so razmere po mnogih precesijskih obhodih prikazane na sliki 12.3e.

116

Komponenta magnetizacije v ravnini xy ( ~Mxy), ki je enaka vsoti komponent posame-znih magnetnih dipolov v ravnini xy, se zato s casom manjsa. Casovno spreminjanjevelikosti komponente magnetizacije v ravnini xy (Mxy) lahko popisemo z eksponentnofunkcijo:

Mxy(t) = Mxy0 e− t

T∗

2 , (12.2)

kjer je T ∗2 relaksacijski cas, v katerem se izgubi fazna povezava med magnetnimi

dipoli, ce magnetno polje ni na vseh mestih enako.

Slika 12.3: Precesija magnetnih dipolov po odklonu magnetizacije ( ~M) za 90. Tankepuscice kazejo smeri magnetnih dipolov, zavite puscice pa smer spreminjanja smeri magne-tnih dipolov. Razlike v smereh magnetnih dipolov se povecujejo zaradi razlicnih precesijskihfrekvenc, kot prikazujejo slike po abecednem vrstnem redu.

Magnetno polje ni na vseh mestih enako zaradi dveh razlogov: zaradi spremenljivegamagnetnega polja, ki ga ustvarijo dipoli drugih jeder, in zaradi nehomogenosti zuna-njega magnetnega polja. Zato se Mxy v splosnem zmanjsuje hitreje, kot bi se samona podlagi sprememb magnetnega polja zaradi magnetnih dipolov. Na zmanjsevanjeMxy namrec znatno vpliva nehomogenost zunanjega magnetnega polja ( ~B0) zaradineidealnih magnetov, s katerimi ustvarjamo magnetno polje. Zato je skupen relaksa-cijski cas T ∗

2 znatno krajsi od spinsko-spinskega relaksacijskega casa T2, ki ga dolocajole interakcije med dipoli∗.

∗Obratna vrednost relaksacijskega casa T ∗2 je vsota obratnih vrednosti dveh prispevkov:

1

T ∗2

=1

T2

+1

T2∆B0

,

117

12.2.3 Meritev signala pri jedrski magnetni resonanci

Pri slikanju z jedrsko magnetno resonanco polozimo clovesko telo v zunanje magnetnopolje z gostoto magnetnega polja priblizno od 0,5 T do 3 T.∗ Jedra vzbujamo z razlicnimisunkovnimi zaporedji in nato merimo odziv na vzbujanje.

Navedimo dve osnovni sunkovni zaporedji:

(a) vzbujanje s samo enim 90-skim sunkom:

Napetost, ki se inducira v detekcijski tuljavici zaradi precesije magnetizacije po 90-skem sunku (slika 12.3), imenujemo signal proste precesije. Amplituda signala je pre-mosorazmerna Mxy(t) (enacba 12.2). Zato je signal proste precesije najvecji takoj posunku, s casom pa se njegova amplituda zmanjsuje s casovno konstanto T ∗

2 zaradi zgu-bljanja fazne povezave. Signal lahko opazujemo na zaslonu osciloskopa, vendar zaradivisoke Larmorjeve frekvence (nekaj MHz) vidimo le ovojnico hitro nihajoce induciranenapetosti (slika 12.4A).

(b) vzbujanje z enim 90-skim sunkom, ki mu po izbranem casu TE/2 sledi 180-ski sunek:

Pri tem zaporedju zaznamo z detekcijsko tuljavo dodaten signal, ki ga imenujemospinski odmev, z maksimumom v casu TE po 90-skem sunku (sliki 12.4B in C).

Nastanek signala spinskega odmeva je shematsko prikazan na sliki 12.5. Po 90-stopinj-skem sunku magnetizacija krozi v ravnini xy (slika 12.3). Fazna povezava med magnetnimidipoli se izgublja in signal se zmanjsuje, kot ga opisuje relaksacijski cas T ∗

2 . Ce tedaj na

magnetne dipole delujemo s 180-skim sunkom v smeri pravokotno na ~B0, dobimo tikpo njegovem prenehanju zavrteno sliko stanja tik pred 180-skim sunkom. To vrtenjemagnetnih dipolov okrog osi, ki je pravokotna na ~B0, povzroci, da so sedaj “pocasni”magnetni dipoli spredaj, “hitri” pa zadaj (slika 12.5). Ker “pocasni” se naprej zaostajajo,“hitri” pa prehitevajo, se fazna razlika med magnetnimi dipoli zmanjsuje in ob casu TEmagnetni dipoli spet krozijo z isto fazo. V detekcijski tuljavi se tedaj inducira signalspinskega odmeva (sliki 12.4B,C): ko je fazna razlika med magnetnimi dipoli se velika, stainducirana napetost in s tem opazovani signal majhna, z zmanjsevanjem fazne razlike sesignal povecuje, doseze maksimalno vrednost in spet pada zaradi upadanja fazne povezavepri nadaljnjem krozenju.

Kljub temu, da se obnovi fazna povezava, ki se je izgubila zaradi nehomogenosti zuna-njega magnetnega polja, je signal spinskega odmeva nizji kot signal proste precesije, ker vcasu TE nekaj magnetnih dipolov izgubi fazno povezavo zaradi interakcije.

kjer je T2∆B0cas, ki opisuje zmanjsevanje fazne povezave med magnetnimi dipoli zaradi nehomogenosti zu-

nanjega magnetnega polja, in T2 spinsko-spinski relaksacijski cas, do katerega pride zaradi interakcije medmagnetnimi dipoli. V splosnem prevladuje vpliv nehomogenosti zunanjega magnetnega polja (T2∆B0

≪ T2

in T ∗2 ≈ T2∆B0

), zato T2 direktno tezko dolocimo.∗Za primerjavo naj navedemo, da je gostota zemeljskega magnetnega polja desettisockrat manjsa

(10−4 T).

118

90O

90O

90O

180O

180O

t

t

t

ISE

ISE

A

B

C

TE/2TE/2

TE/2TE/2

Slika 12.4: Shematski prikaz sunkov in signalov pri vzbujanju z 90-skim sunkom (A).Vzbujanje s sunkovnim zaporedjem 90- in 180-skega sunka za dva razlicna casa spinskegaodmeva: krajsi (B) in daljsi (C). Narisana je le ovojnica visokofrekvencnih signalov. Stanko crtkano krivuljo je shematsko narisano padanje maksimuma spinskega odmeva v od-visnosti od casa spinskega odmeva: ISE ∝ e−TE/T2.

119

Slika 12.5: Nastanek spinskega odmeva. (a) Takoj po 90-skem sunku kazejo magnetnidipoli v isto smer. (b) Pri 180-skem sunku pride do vrtenja magnetnih dipolov, ki kazejov razlicne smeri. Z F so oznaceni “hitri” magnetni dipoli, z S pa “pocasni”. (c) V casuTE spet kazejo magnetni dipoli v isto smer.

Maksimum spinskega odmeva (ISE) je tako odvisen od gostote jeder (ρ) ter relaksacij-skega casa T2, ni pa odvisen od nehomogenosti zunanjega magnetnega polja. Popisemo galahko z naslednjo odvisnostjo:

ISE ∝ ρ e−TE

T2 , (12.3)

kjer je TE cas spinskega odmeva.V praksi je potrebno sunkovna zaporedja ponavljati. V tem primeru je maksimum

spinskega odmeva (ISE) odvisen tudi od relaksacijskega casa T1 in sicer:

ISE ∝ ρ (1− e−TR

T1 ) e−TE

T2 , (12.4)

kjer je TR je cas ponavljanja sunkovnega zaporedja oziroma cas med 90-stopinjskimi sunki.Izraz v oklepaju popise odvisnost velikosti spinskega odmeva od spinsko-mrezne relaksacije– v primeru daljsih casov ponavljanja se komponenta magnetizacije v smeri magnetnegapolja bolj relaksira in visje vrednosti Mz inducirajo v naslednjem zaporedju visji signalspinskega odmeva.

Poleg zgoraj opisanih sunkovnih zaporedij, uporabljamo za vzbujanje jeder na splosnorazlicne kombinacije visokofrekvencnih sunkov. Izmerjeni signali so odvisni od izbire sun-kov in casovnih razmikov med njimi ter od casa ponavljanja.

12.2.4 Kontrast pri slikanju z jedrsko magnetno resonanco

Zaporedje 90- in 180-skega sunka je eno izmed klasicnih zaporedij za vzbujanje jeder prislikanju z jedrsko magnetno resonanco. Enacba (12.4) prikazuje, da je maksimum spinskega

120

odmeva (ISE) odvisen tako od lastnosti tkiva (ρ, T1, T2) kakor tudi od parametrov, ki jihlahko nastavimo na aparatu (TR, TE).

Tako imamo moznost, da za razlicne T1 in T2 v opazovanih tkivih (npr. pri tumorju inzdravem tkivu v okolici) nastavimo taka TR in TE, da se bo signal ISE iz razlicnih tkivkar se da razlikoval. Le tako bomo namrec dobili dober kontrast med opazovanimi tkivi,saj velikemu signalu ISE ustreza svetlo obmocje na sliki, majhnemu signalu ISE pa temno.

Kot primer poglejmo, kaksen cas spinskega odmeva (TE) potrebujemo, da dobimooptimalen kontrast med tumorjem in okoliskim tkivom. Privzemimo, da je T2 v tumorjuveliko daljsi kot v zdravem tkivu v okolici. Tedaj moramo uporabiti tak TE, pri kateremje signal iz tumorja se visok, iz zdravega tkiva v okolici pa ze nizek. To bo le tedaj, kobo TE krajsi od T2 tumor in daljsi od T2 zdravo tkivo (enacba 12.3). V tem primeru dobimona sliki dober kontrast. Ce bi vzeli krajsi cas spinskega odmeva (TE < T2 zdravo tkivo), bidobili visoke signale tako iz tumorja kakor tudi iz okoliskih tkiv, torej temu primerno slabkontrast. Podobno bi se zgodilo pri casu spinskega odmeva TE, daljsem od T2 tumor, le dabi v tem primeru dobili nizke signale in prav tako slab kontrast.

V splosnem se izkaze, da je diagnosticni potencial slikanja z jedrsko magnetno reso-nanco, ob danih lastnostih tkiva (ρ, T1 in T2), odvisen predvsem od pravilne izbire sun-kovnih zaporedij in od primerne nastavitve casov med sunki (npr. TR in TE).

12.3 Slikanje

Spoznali smo, kako merimo signal in od cesa je odvisna njegova velikost. Da pa lahkojedrsko magnetno resonanco uporabimo za slikanje, moramo vedeti, od kod – iz kateregadela telesa – je signal prisel.

Opazujmo rezino vzorca v ravnini xy, pri cemer se gostota magnetnega polja v enismeri (recimo x) enakomerno spreminja:

Bz = B0 + Gx . (12.5)

pri cemer gradient magnetnega polja (G) doloca, kako je gostota magnetnega polja odvisnaod x. Lastna frekvenca jeder (ν) je sorazmerna z gostoto magnetnega polja (enacba 12.1),zato se enakomerno s koordinato x spreminja tudi lastna frekvenca jeder

ν(x) =1

2πγ(B0 + Gx) . (12.6)

Ker se torej magnetno polje, v katerem so jedra, spreminja, je signal spinskega odmeva,ki se inducira v tuljavi, sestavljen iz mnozice frekvenc. Iz signala, ki je funkcija casa, zmatematicnim postopkom (Fourierjevo transformacijo), ki ga izvedemo z racunalnikom,izracunamo, koliksna je visina signala v odvisnosti od frekvence oziroma koliko signalapripada posamezmim frekvencam. Z gradientom dosezemo, da imajo jedra v ravnini xy istelastne frekvence na vzporednih pasovih. Ko poznamo porazdelitev signala po frekvencah,vemo, s katerega pasu na ravnini xy izvira dolocen del signala zaradi linearne odvisnostimed ν in x (enacba 12.6).

121

Z eno smerjo vzorca glede na gradient smo dobili visino signalov, ki pripadajo vzpore-dnim pasovom, ki so v nasem primeru pravokotni na koordinato x. Da dobimo porazdelitevsignala po ravnini, je potrebno vzorec slikati iz vec smeri. Pri tomografu, ki ga uporabljamopri vaji, to napravimo tako, da postopoma vrtimo vzorec, tuljavici, ki ustvarjata gradient,pa sta pri miru. Za vsako smer posnamemo signal spinskega odmeva in s Fourierjeve trans-formacije dobimo porazdelitev signala po frekvencah. Zaradi linearne odvisnosti frekvencood polozaja vzdolz spreminjanja magnetnega polja lahko dolocimo se visine spinskih od-mevov v odvisnosti od polozaja v dolocenih smereh (slika 12.6).

ISE

Bz

II

I

III

ba

x

ν

Slika 12.6: Shematski prikaz slikanja. Na izbranih primerih vzorcev so temneje prikazanapodrocja, za katera je signal spinskega odmeva visok. a) Enakomerno narascanje gostotemagnetnega polja s polozajem vzdolz osi x (en. 12.5). Odvisnost signala spinskega odmeva(ISE) od frekvence (ν), ki ga dobimo s Fourierjevo transformacijo za izbrano smer gradientagleda na vzorec, pri cemer ν enakomerno narasca z x. b) Odvisnost signala spinskegaodmeva od frekvence pri razlicnih smer gradienta glede na vzorec. Porazdelitev II je zelopodobna porazdelitvi na sliki a, ceprav se vzorca precej razlikujeta.

Iz posnetih projekcij (porazdelitev signala vzdolz dolocenih smeri) racunalnik sestaviporazdelitev signala po ravnini – sliko rezine vzorca. Pri slikanju razlicnih vzorcev lahkodobimo pri nekih smereh enake projekcije (slika 12.6). To pomeni, da iz posamezne pro-jekcije v splosnem ne moremo dolociti porazdelitve visin spinskih odmevov po ravnini.

Ogledali si bomo, kako iz vec projekcij, posnetih v razlicnih smereh, sestavimo sliko.Metodi pravimo rekonstrukcija iz projekcij∗. Na sliko drugo za drugo nanasamo posamezneprojekcije, za katere vemo smer glede na gradient. Pri posamezni projekciji vemo, kateremu

∗angl. backprojection reconstruction

122

a

I I

IIIb

II

Slika 12.7: Rekonstrukcija slike. a) Pripis vrednosti prve projekcije posameznim pasovomna sliki. b) Pristetje vrednosti s projekcij, ki so bile posnete pri drugih smereh. Pasovi po-sameznih projekcij se krizajo in vsota prispevkov najbolj narasca na mestih, ki predstavljajodele vzorca z visokim signalom.

pasu ustreza visina signala. Ker ne poznamo, kako so posamezni deli vzorca, ki lezijona izbranem pasu, prispevali k visini signala, na sliki kar celotnemu pasu pripisemo istovisino signala (slika 12.7a). Sliko vsakokrat razdelimo na pasove, ki so pravokotni gledesmer projekciji, in vsakokrat delom slike, ki lezijo na posameznem pasu, pripisemo istevrednosti. Nove vrednosi pristejemo vrednostim na sliki, ki smo jo do tedaj sestavili (slika12.7b). Pasovi posameznih projekcij se krizajo, zato na mestih, ki predstavljajo dele vzorcaz mocnim signalom, vsota prispevkov bolj naraste.

Zdravnik diagnostik si zeli jasne slike, na kateri bo razlocil posamezne organe med sebojin ugotovil bolezenska stanja. Zahteva se torej, da je slika kontrastna in ima dobro prostorskolocljivost. Slike rekonstruiramo in obdelujemo z racunalnikom, kar pomeni, da je zapis slikedigitalen. Tako sliko si lahko predstavljamo sestavljeno iz majhnih kvadratkov (npr. 256×256 ali512×512), za katere smo za vsakega dolocili visino izmerjenega signala, ki jo na sliki predstavimoz barvo ali odtenkom sivine.

Prostorska locljivost slike navidezno ne predstavlja problema, saj lahko sliko razdelimo na veckvadratkov. Manjsi so kvadratki, manjsi volumen v vzorcu predstavljajo. A to ima smisel le, celahko za tako majhne volumne vzorca dovolj natancno izmerimo posamezne velikosti signalov.Manjsi kot je volumen, manjsi je signal. Tezave so tudi pri rekonstrukciji slike, saj za vecjoprostorsko locljivost potrebujemo vec izmerjenih projekcij, kar pomeni daljsi cas merjenja. Pridaljsih casih merjenja pa je pacient tezko pri miru. Na vecjo prostorsko locljivost lahko vplivatudi dihanje ali utripanje srca. Za optimalno slikenje je potrebno iskati kompromis.

Druga zahteva je, da je slika kontrastna. Pri sumu tumorja v mozganih mora biti ta na slikijasno locen (druge barve, oster prehod) od ostalih tkiv. Zato moramo poskrbeti, da bo visina

123

Slika 12.8: Shematski prikaz lege vzorca v NMR spektrometru/MR tomografu (tloris – levo,naris – desno). Tuljava za vzbujanje jeder in detekcijo signala ovija epruveto z vzorcem,ki lezi med severnim (N) in juznim (S) polom stalnega magneta. Z gradientnima tuljavi-cama ustvarimo gradient magnetnega polja, ki je potreben pri slikanju. Puscica na tlorisuprikazuje smer vrtenja vzorca pri slikanju.

signala spinskega odmeva iz tumorja drugacna kot iz ostalih tkiv. Vemo, da je visina spinskegaodmeva odvisna tako od lastnosti tkiva (T1 in T2), kot tudi od nastavitve casovnih parametrovslikanja (ponavljalnega casa TR in casa spinskega odmeva TE). Iz tabele 12.2 vidimo, da serelaksacijski casi za razlicna zdrava in bolna tkiva razlikujejo, kar pomeni, da lahko posnamemosliko, na kateri bomo ta tkiva locili med seboj, a le pri pravilni izbiri casov TE in TR.

Za dovrseno slikanje je potebno sodelovanje zdravnikov, ki postavijo predhodno diagnozo,

in operaterjev tomografa, ki izberejo sunkovna zaporedija in primerne nastavitve casovnih spre-

menljivk na aparatu. Sodelovanje je za zdravnike lazje, ce razumejo osnove jedrske magnetne

resonance.

12.4 Opis sistema za merjenje

Vajo boste opravili z NMR spektrometrom/MR tomografom, katerega osrednji del je stalnimagnet z jakostjo magnetnega polja enako 0,2 T. Vzorec se postavi v sredino magneta inse ga vzbuja s pomocjo visokofrekvencnih sunkov, ki se jih s programatorjem posilja∗ vtuljavo, ovito okoli vzorca (slika 12.8). Signale, ki se inducirajo v isti tuljavi, se nato zaznain opazuje.

Vzbujanje jeder in detekcijo signala nastavite na frontalni plosci aparata. Detektiranesignale opazujete na zaslonu osciloskopa, ki je prikljucen na spektrometer/tomograf ali pana monitorju racunalnika, ki je povezan z osciloskopom.

Z racunalnikom je omogoceno poleg zajemanja signalov in njihovega prikazovanja namonitorju tudi slikanje z jedrsko magnetno resonanco. Z racunalnikom prav tako izracuna-mo sliko vzorca iz izmerjenih projekcij glede na smer gradienta magnetnega polja. Gradient

∗Lucka na celni plosci tomografa zasveti vsakic, ko vzorec vzbudimo z izbranim sunkovnim zaporedjem.

124

Slika 12.9: Tretji vzorec predstavlja model za rezino cloveskega telesa, kjer pricakujetetumor. S crko T je v vzorcu oznacena manjsa cevka, ki je napolnjena z isto raztopinokot prvi vzorec in predstavlja tumor. Preostali del vzorca, ki predstavlja zdravo tkivo, jenapolnjen z isto raztopino kot drugi vzorec. Desno je slika take rezine v glavi, kjer je tumoroznacen prav tako s crko T.

(dodatno magnetno polje) ustvarimo s pomocjo dveh fiksnih tuljavic∗, zato je smer tegagradienta stalna. Razlicne projekcije vzorca dobimo z vrtenjem vzorca.

Pri vaji bomo uporabili tri vzorce, prva dva za dolocanje spinsko-spinskih relaksacijskihcasov, tretji vzorec pa je prirejen za slikanje z jedrsko magnetno resonanco. Prvi vzorec jeraztopina vode in CuSO4 s koncentracijo 5 · 10−3 mol/l, drugi vzorec pa raztopina vode inMnCl2 s koncentracijo 3 · 10−4 mol/l. Razlicni paramagnetni ioni v vzorcih omogocajo, dapri poskusu lahko predstavimo lastnosti bolnega tkiva (tumor – prvi vzorec) in zdravegatkiva (drugi vzorec) s pomocjo T1 in T2 relaksacijskih casov teh dveh raztopin. Prerezskozi tretji vzorec je narisan na sliki 12.9. V vecji epruveti, ki je napolnjena z raztopino izdrugega vzorca, imamo se manjso cevko, napolnjeno z raztopino iz prvega vzorca. S temvzorcem lahko ponazorimo spreminjanje kontrasta med zdravim in bolnim (tumor) tkivomna slikah, posnetih pri razlicnih casih spinskega odmeva. Pri tem spoznamo moznostpovecanja oziroma pomanjsanja diagnosticnega potenciala slikanja z jedrsko magnetnoresonanco.

Naloge: 1. dolocite vrsto opazovanih jeder

2. izmerite velikost spinskega odmeva dveh vzorcev pri dveh casih spinskegaodmeva in izracunajte spinsko-spinski relaksacijski cas za oba vzorca

3. ugotovite primernejsi cas spinskega odmeva za slikanje z jedrsko magnetnoresonanco

4. posnemite sliko vzorca pri obeh casih spinskega odmeva (tocka 2) in opa-zujte spreminjanje kontrasta

Potrebscine: NMR spektrometer/MR tomograf

∗Pri najvecjem gradientu se magnetno polje v vzorcu spremeni za 0,06%.

125

Slika 12.10: Signal, ki ga dobimo, ce je frekvenca vzbujanja jeder atomov v vzorcu identicnaz Larmorjevo frekvenco, ki jo napoveduje enacba 12.1 (desno – b) in razlicna od nje (levo– a). (Te krivulje dobimo z merskim postopkom: frekvenco signala, ki ga inducirajo jedraatomov v vzorcu, “primerjamo” s frekvenco vzbujanja tako, da inducirani signal zajemamos frekvenco vzbujanja.)

osciloskop z zaslonom na tekoce kristale

racunalnik z monitorjem

vzorca za dolocanje spinsko-spinskega relaksacijskega casa

vzorec za slikanje z jedrsko magnetno resonanco

Izvedba

1.A ∗Nastavitev resonancne frekvence opazovanih jeder (Larmorjeve frekvence):

V odprtino na zgornji strani spektrometra/tomografa vstavite prvi vzorec.

V zacetku boste opazovali le signal proste precesije (slika 12.4A), ki ga povzroci90-ski sunek. Natancno nastavite dolzino trajanja 90-skega sunka. Ta je pravilnonastavljena tedaj, ko je v tuljavi inducirani signal proste precesije po 90-skem sunkunajvisji. Preostane vam se natancna dolocitev resonancne (Larmorjeve) frekvence 90-stopinjskega sunka, s katero vzbujate jedra v vzorcu. Ob idealni nastavitvi opazitesignal proste precesije podoben tistemu na sliki 12.10 desno, v nasprotnih primerihpa signal podoben tistemu na sliki 12.10 levo†.

1.B Dolocitev resonancne (Larmorjeve) frekvence in vrste opazovanih jeder:

∗Natancnejse navodilo za izvedbo je pri vaji. Lahko ga dobite tudi na spletni strani: http://biofiz.mf.uni-lj.si/studij/literatura.html.

†Pri klinicnem MR-tomografu preberete pri tem postopku sporocilo ”adjust frequency”.

126

Zabelezite stevilo delcev na potenciometru za nastavitev Larmorjeve frekvence (P ).Pri spreminjanju potenciometra se frekvenca vzbujanja spreminja po enacbi:

ν = ν0 + kP , (12.7)

kjer je ν0 = 8, 5 MHz in k = 5 · 10−5 MHz/delec. V skladu z enacbo 12.1 izracunajtegiromagnetno razmerje jeder v vzorcu. Pri racunu upostevajte, da je gostota ma-gnetnega polja v magnetu spektrometra enaka 0,2 (1 ± 10%) T. Katera jedra soto? Ali lahko opazujete signale drugih jeder s pomocjo nasega aparata? Velikostgiromagnetnih razmerij je podana v tabeli 12.1.

2.A Meritev velikosti spinskega odmeva pri casih spinskega odmeva TE = 3 ms in TE =18 ms:

Ker hocete v tem delu vaje opazovati signal spinskega odmeva, morate spremenitinacin vzbujanja jeder – 90-ski sunek nadomestite s sunkovnim zaporedjem, v kate-rem 90-skemu sunku sledi v casu TE/2 se 180-ski sunek. Le tedaj morete v casuTE dobiti spinski odmev (sliki 12.4B in C).

Natancno nastavite dolzino trajanja 180-skega sunka. Ta je pravilno nastavljenatedaj, ko je inducirani signal spinskega odmeva najvisji.

Najprej morate izmeriti visino spinskega odmeva pri casu spinskega odmeva (TE),enakem 3 ms. S potenciometrom nastavite cas med 90- in 180-skim sunkom tako,da bo maksimum spinskega odmeva pri 3 ms. Visina spinskega odmeva je razlikamed vrhom spinskega odmeva in signalom dalec stran, ko je signal spinskega odmevaenak nic (slika 12.4B).

Dolocite se visino spinskega odmeva pri casu spinskega odmeva (TE), ki je enak18 ms. S potenciometrom nastavite cas med 90- in 180-skim sunkom tako, da bomaksimum spinskega odmeva pri 18 ms (slika 12.4C).

2.B Izracun spinsko-spinskega relaksacijskega casa za oba vzorca:

Spinsko-spinski relaksacijski cas lahko izracunamo z upostevanjem enacbe (12.4) indejstva, da so ρ, T1 in TR pri meritvah spinskih odmevov posameznega vzorca pri3 ms in 18 ms enaki. Ce enacbo za visino spinskega odmeva pri TE = 3 ms delimoz enacbo za visino spinskega odmeva pri TE = 18 ms, dobimo:

ISE1

ISE2

= e−

TE1−TE2T2 , (12.8)

po logaritmiranju pa sledi:

T2 =TE2 − TE1

lnISE1

ISE2

, (12.9)

kjer sta TE1 in TE2 casa spinskega odmeva (v nasem primeru enaka 3 ms in 18 ms),ISE1 in ISE2 pa sta visini odgovarjajocih spinskih odmevov.

127

3. Ugotovitev primernejsega casa spinskega odmeva za slikanje z jedrsko magnetno re-sonanco:

Na podlagi gornjih rezultatov razmislite, ali je pri slikanju vzorca 3 mozno razlocevatimed raztopino v manjsi cevki (vzorec 1) in raztopino v okolici (vzorec 2), ce vzorec 3vzbujamo z zaporedjem 90- in 180-skega sunka. Ce je, kaksen cas spinskega odmevaje primernejsi za vecji kontrast – 3 ms ali 18 ms?

4.A Slikanje vzorca pri dveh casih spinskega odmeva (tocka 2):

Vzorec 3 boste slikali dvakrat: prvic s casom spinskega odmeva 3 ms in drugic scasom 18 ms.

Nastavite vse parametre na spektrometru/tomografu, ki so potrebni za slikanje zjedrsko magnetno resonanco. Z vrtenjem vzorca izmerite razlicne projekcije merje-nega vzorca glede na smer gradienta. Iz njih boste s pomocjo racunalnika kasnejeizracunali sliko vzorca z metodo “backprojection reconstruction”.

4.B Kontrast na slikah vzorca 3 pri dveh casih spinskega odmeva, primerjava z diagnostikotumorja:

Ali vidite kaksno razliko v vzorcu 3 med raztopino v manjsi cevki in raztopino vokolici? Ali je kontrast boljsi na sliki vzorca pri TE = 3 ms ali TE = 18 ms? Popotrebi optimirajte kontrast na sliki s tipkami ←, → ter ↑, ↓.Zeleli bi ugotoviti, ali se v doloceni rezini cloveskega telesa nahaja tumor. Privze-mite, da lastnosti vzorca 1 odgovarjajo tumorju in lastnosti vzorca 2 zdravemu tkivuv njegovi okolici. Ali je zaporedje 90- in 180-skega sunka primerno za diagnozotumorja? Ce je, pri katerem casu spinskega odmeva je kontrast, in s tem tudi boljzanesljiva diagnoza, med “tumorjem” in “zdravim tkivom” boljsi (TE = 3 ms ali TE= 18 ms)?

128

13 Radioaktivnost

Pri tej vaji se bomo seznanili z radioaktivnostjo, preverili, ali je razpad jeder nakljucenproces in izmerili razpolovno debelino aluminija za sevanje izotopa 40

19K. Spoznali bomotudi, kaksne varnostne ukrepe moramo upostevati pri delu z radioaktivnimi snovmi.

13.1 Razpad jeder

Jedra so sestavljena iz protonov in nevtronov. Nekatera jedra so nestabilna. Nestabilnojedro razpade v drugo jedro, pri cemer izseva enega ali vec delcev. Pravimo, da so nestabilnajedra radioaktivna. Radioaktivna jedra lahko nastanejo tudi pri obstreljevanju stabilnihjeder z visokoenergijskimi delci, ki jih dobimo iz jedrskih reaktorjev in pospesevalnikov.Pri takih jedrih govorimo o umetni radioaktivnosti.

Jedrski razpad je nakljucen proces. To pomeni, da ne moremo napovedati, kdaj bodoloceno jedro razpadlo. Ce pa obravnavamo vzorec, v katerem je veliko stevilo radioak-tivnih jeder, pa lahko napovemo, koliko jeder v vzorcu bo razpadlo v dolocenem casovnemintervalu.

V nekem vzorcu je v dolocenem trenutku N radioaktivnih jeder, pri cemer je N velikocelo stevilo. Ker radioaktivna jedra v vzorcu razpadajo, se s casom njihovo stevilo v vzorcuN manjsa. Poleg trenutnega stevila jeder v vzorcu nas zanima tudi, koliko jeder razpadev casovni enoti. Kolicini, ki pove, koliko jeder razpade v casovni enoti, pravimo aktivnost(A),

A = −dN

dt. (13.1)

Enota za aktivnost je becquerel (Bq) ali stevilo razpadov v casovni enoti (1/s).Ce je v vzorcu vec radioaktivnih jeder, pricakujemo, da bo tudi stevilo razpadov vecje.

Stevilo razpadov v casovni enoti, (ki je enako zmanjsanju stevila jeder v vzorcu), je soraz-merno stevilu radioaktivnih jeder v vzorcu N ,

−dN

dt= λN, (13.2)

Sorazmernostnemu koeficientu λ pravimo razpadna konstanta. Razpadna konstanta jekarakteristicna za doloceno vrsto jeder.

Iz enacb (13.1) in (13.2) sledi, da je aktivnost sorazmerna trenutnemu stevilu radioak-tivnih jeder v vzorcu,

A(t) = λN(t). (13.3)

Enacbo (13.2) preuredimo, tako da so na levi strani kolicine, ki vsebujejo spremenljivkoN , na desni strani pa kolicine, ki vsebujejo spremenljivko t, in integriramo na levi straniod stevila jeder pri zacetnem casu N(0) do stevila jeder pri nekem izbranem casu N(t), nadesni pa od zacetnega casa t = 0 do izbranega casa t,

∫ N(t)

N(0)

dN

N= −λ

∫ t

0

dt. (13.4)

129

Upostevamo, da je∫ b

adxx

= ln( ba), tako da iz enacbe (13.4) sledi

lnN(t)

N(0)= −λt. (13.5)

Enacbo (13.5) antilogaritmiramo, da dobimo odvisnost stevila radioaktivnih jeder v vzorcuod casa,

N(t) = N(0)e−λt. (13.6)

Potem iz enacb (13.6) in (13.3) sledi, da stevilo radioaktivnih jeder v vzorcu in aktivnostvzorca v vzorcu s casom eksponentno padata.

Eksponentne spremembe so v splosnem opisane pri vaji “Casovna odvisnost napetostiv vezjih s kondenzatorji in upori”. Tam obravnavamo (stran 90), da je pomembna kolicina,ki opisuje sistem, razpolovni cas t1/2. To je cas, pri katerem se stevilo radioaktivnih jederv vzorcu razpolovi. Razpolovni cas je z razpadno konstanto λ v zvezi

t1/2 =ln(2)

λ. (13.7)

13.2 Delci α in β ter zarki γ

Najpogostejsi procesi, pri katerih jedra izsevajo delce, so razpadi alfa (pri katerih jedroizseva delec α), in razpadi beta (pri katerih jedro izseva delec β). Pri teh in tudi prinekaterih drugih procesih lahko nastane tudi eden ali vec visokoenergijskih fotonov, ki jimpravimo zarki γ.

Delec alfa (α) je helijevo jedro z vrstnim stevilom 2 in masnim stevilom 4. Sestavljenje iz dveh protonov in dveh nevtronov in ima dva pozitivna osnovna naboja. Poznamo dvevrsti delcev beta. Delec beta minus (β−) je elektron, delec beta plus (β+) pa pozitron. Tadva delca imata enako maso in nasprotno enaka naboja; delec β− ima en negativen osnovninaboj, delec β+ pa en pozitiven osnovni naboj.

Pri razpadu alfa nestabilno jedro X z vrstnim stevilom Z in masnim stevilom A razpadev jedro Y z vrstnim stevilom Z−2 in masnim stevilom A−4 ter v delec α. Na novo nastalojedro je lahko v vzbujenem stanju in preide v osnovno stanje tako, da izseva enega ali vecvisokoenergijskih fotonov, energija pa se sprosti tudi v obliki kineticne energije nastalihdelcev. Proces simbolicno zapisemo kot

α : AZX → A−4

Z−2Y +42 α. (13.8)

Poznamo dve vrsti razpada beta. Pri razpadu beta minus nestabilno jedro X z vrstnimstevilom Z in masnim stevilom A preide v jedro Y z vrstnim stevilom Z + 1 in masnimstevilom A ter v delec β−. Na novo nastalo jedro je lahko v vzbujenem stanju. V temprimeru preide v osnovno stanje tako, da izseva enega ali vec visokoenergijskih fotonov,energija pa se sprosti tudi v obliki kineticne energije nastalih delcev in v obliki delcaantinevtrino ν. Energija nastalih fotonov je karakteristicna za doloceno vrsto jeder. Processimbolicno zapisemo kot

β− : AZX → A

Z+1Y + β− + ν. (13.9)

130

Pri razpadu beta plus nestabilno jedro X z vrstnim stevilom Z in masnim stevilom Apreide v jedro Y z vrstnim stevilom Z − 1 in enakim masnim stevilom ter v delec β+, kije pozitron. Na novo nastalo jedro je lahko v vzbujenem stanju. V tem primeru preidev osnovno stanje tako, da izseva enega ali vec visokoenergijskih fotonov, energija pa sesprosti tudi v obliki kineticne energije nastalih delcev in v obliki delca nevtrino ν. Energijanastalih fotonov je karakteristicna za doloceno vrsto jeder. Proces simbolicno zapisemo kot

β+ : AZX → A

Z−1Y + β+ + ν. (13.10)

Delci beta imajo lahko katerokoli kineticno energijo med 0 in neko zgornjo mejo, ki jekarakteristicna za doloceno vrsto jedra.

13.3 Absorpcija delcev α in β ter zarkov γ

V splosnem se pri prehodu visokoenergijskih delcev skozi snov energija teh delcev zmanjsuje.Nabiti delci alfa in beta izgubljajo energijo s trki in se pri tem upocasnijo, fotoni pa oddajosvojo energijo snovi in pri tem izginejo.

Pri delcih α, β− in β+ absorpcijo opisemo tako, da podamo mero za to, kako daleclahko prodrejo delci v snov. Tej meri pravimo doseg. Doseg je odvisen od lastnosti snoviin delcev, ki prodirajo vanjo. V splosnem je doseg vecji, ce je masa delcev, ki prodirajo vsnov, manjsa.

Pri opisu absorpcije zarkov γ obravnavamo tanek raven koscek snovi, v katero prodirajozarki γ. Vpeljemo gostoto energijskega toka zarkov γ j, ki je sorazmerna stevilu fotonov.Zmanjsanje gostote toka j v koscku debeline dx je sorazmerno toku j,

−dj

dx= µj, (13.11)

kjer je µ absorpcijski koeficient. Zanima nas, kako pojema gostota toka zarkov γ z globinoprodiranja v snov x. Enacbo (13.11) preuredimo, tako, da so na levi strani kolicine, kivsebujejo spremenljivko j, na desni strani pa kolicine, ki vsebujejo spremenljivko x, inintegriramo na levi strani od zacetne gostote toka j(0) do gostote toka pri izbrani globiniprodiranja j(x), na desni pa od zacetne x = 0 do neke izbrane globine prodiranja x,

∫ j(x)

j(0)

dj

j= −µ

∫ x

0

dx. (13.12)

Dobimo

lnj(x)

j(0)= −µx. (13.13)

Da dobimo odvisnost gostote toka zarkov γ od globine prodiranja x, enacbo (13.13) anti-logaritmiramo,

j(x) = j(0)e−µx. (13.14)

Iz enacbe (13.14) sledi, da gostota toka zarkov γ j z globino prodiranja eksponentno pada.Slika 13.1a prikazuje gostoto toka zarkov γ v odvisnosti od globine prodiranja. Odvisnost

131

Slika 13.1: Gostota toka zarkov γ (j) v odvisnosti od globine prodiranja x (a) in logaritemgostote toka v odvisnosti od globine prodiranja x (b). Na enako debelih rezinah pade gostotatoka za isti faktor – podobno kot na sliki 10.1.

je eksponentna (enacba 13.14, slika 13.1a), ln(j) pa je linearna funkcija spremenljivke x(enacba 13.13, slika 13.1b). Podobno kot pri casovnih spremembah, kjer smo vpeljalirazpolovni cas, vpeljemo razpolovno debelino x1/2, ki nam pove, pri koliksni debelini plastise gostota toka zarkov γ razpolovi. Razpolovna debelina je z v zvezi z absorpcijskimkoeficientom

x1/2 =ln(2)

µ, (13.15)

Delci beta v snovi ionizirajo in vzbujajo atome, dokler se ne ustavijo. Pri tem jelahko njihova pot v snovi neravna in tako daljsa kot je njihov doseg. Delci, ki vstopajov snov, ponavadi nimajo enake energije, izmerjena gostota toka delcev pa je odvisna tudiod lastnosti merilne naprave. Poleg tega pride pri tem, ko se nabiti delci ustavljajo vsnovi, do zavornega sevanja v obliki zarkov γ. Zato v primeru, ko obravnavamo delce zmaso, izmerjena gostota toka v odvisnosti od globine prodiranja v splosnem ni enostavnafunkcija.

Izkaze se, da je odvisnost j(x) za delce β pri nekaterih snoveh zelo podobna eksponen-tnemu padanju. To je posledica dejstva, da imajo delci β razlicne energije. Slika 13.2aprikazuje obliko odvisnosti gostote toka delcev β−od globine prodiranja za aluminij. Vi-dimo, da se oblika krivulje na prvi pogled ne razlikuje od odvisnosti gostote toka zarkov γod globine prodiranja (slika 13.1a). Razliko opazimo sele, ko narisemo logaritem gostotetoka od x (slika 13.2b). Za priblizen opis prodiranja delcev β− v snov v tem primeru lahkouporabimo razpolovno debelino, ki nam pove, pri kateri debelini filtra pade gostota tokadelcev na polovico vrednosti.

132

Slika 13.2: Gostota toka delcev β (j) v odvisnosti od globine prodiranja x (a) in logaritemgostote toka v odvisnosti od globine prodiranja x (b).

13.4 Zaznavanje visokoenergijskih nabitih delcev in zarkov γz Geiger-Mullerjevo stevno cevjo

Geiger-Mullerjeva stevna cev ima valjasto katodo in anodo, ki je tanka nitka v sredini cevi(slika 13.3). Cev je napolnjena s plinom. Visokoenergijski nabit delec v cevi lahko ioniziraatom plina, tako da nastane par ion - elektron. Ce je napetost med katodo in anodo dovoljvelika, se elektroni v elektricnem polju med katodo in anodo tako pospesijo, da imajo obtrkih z atomi plina dovolj energije za nadaljnjo ionizacijo atomov plina. Tako se sprozielektronski plaz (vsak prvotni elektron se pomnozi cca 108 krat).

Ione in elektrone pospesi polje v cevi, tako da se ioni gibljejo proti katodi, elektroni paproti anodi. Ko ion prispe do katode, se zdruzi z elektronom in se tako rekombinira v atomplina. Ko elektron prispe do anode, pa vstopi vanjo, in tako v elektricnem krogu nadomestielektron, ki se je rekombiniral z ionom. Tako elektronski plaz sprozi sunek toka, ki ga prekoojacevalnika zazna stevna naprava, v cevi pa se za tem vzpostavi prvotno stanje.

Elektroni so lazji in manjsi od ionov, zato hitreje prispejo do anode, kot prispejo ioni dokatode. Da bi se v cevi vzpostavilo prvotno stanje, pa morajo tudi ioni prispeti do katode.Geiger-Mullerjeva cev med tem ne more zaznati delca, ki bi priletel vanjo. Pravimo, daje cev nekaj casa mrtva, casovnemu intervalu, ko cev ne more zaznati delca, pa pravimomrtvi cas. Ta je ponavadi med 100 in 300 µs.

Stevilo sunkov, ki jih izmerimo z Geiger-Mullerjevo cevjo, je odvisno od napetosti medkatodo in anodo. Geiger-Mullerjeva cev zacne steti sele pri doloceni napetosti, ki je dovoljvelika, da pospesi elektrone do te mere, da lahko povzrocijo nove ionizacije. Tej napetostipravimo napetost praga. Ce napetost med katodo in anodo vecamo nad napetostjo praga, jenjeno delovanje nespremenjeno na intervalu okrog 150 V. Pri visjih napetostih pa se atomiplina lahko ionizirajo zaradi mocnega polja v cevi, tako da stevna naprava pokaze vecjo

133

A Geiger− Mullerjava cev katoda

anoda

R napravastevna

visoka napetost

B

+

+

-

- -+

-

--

elektron

atom

ion

-

Slika 13.3: Shema Geiger-Mullerjeve stevne naprave (A) in skicirana razlaga nastankaelektronskega plaza (B). Negativno nabiti elektroni ⊖ se gibajo proti anodi, pozitivno nabitiioni ⊕ pa proti katodi. Vijugasta crta simbolizira trk med elektronom in atomom.

vrednost, kot jo povzrocijo visokoenergijski delci, ki priletijo vanjo. Odvisnosti izmerjenegastevila sunkov (ki ustreza gostoti toka delcev, ki vstopajo v Geiger-Mullerjevo cev) odnapetosti med katodo in anodo U , pravimo karakteristika Geiger-Mullerjeve cevi (slika13.4). Vidimo, da pri majhnih napetostih cev ne zazna delcev. Pri napetosti praga krivuljastrmo naraste in potem v sirokem intervalu, ki mu pravimo delovni plato, ostane skorajnespremenjena. Pri nadaljnjem vecanju napetosti pa stevilo napetostnih sunkov narastezaradi spontane ionizacije plina. Ce zelimo kar se da natancno izmeriti aktivnost izvora,moramo Geiger-Mullerjevo cev uporabljati v obmocju delovnega platoja.

Izkoristek Geiger-Mullerjeve cevi za nabite delce je blizu 100 %, izkoristek za zarke γpa je samo 1-2 %. Z Geiger-Mullerjevo cevjo lahko ugotovimo, koliko je bilo delcev, kiso sprozili plaz. Ne moremo pa ugotoviti, katere vrste delci so sprozili plaz, ali pa meritinjihovih energij.

Tudi ce v blizini Geiger-Mullerjeve cevi ni radioaktivnega izvora, stevna naprava pokazedoloceno stevilo sunkov. Kozmicni delci, radioaktivne snovi v okolici in snovi, iz katere jecev izdelana, so namrec tudi izvor radioaktivnosti. Tej radioaktivnosti pravimo ozadje.

134

Slika 13.4: Karakteristika Geiger-Mullerjeve stevne cevi pri izvoru z doloceno aktivnostjo.

13.5 Vpliv radioaktivnosti na organizme

Radioaktivnost vpliva na ziva bitja. Visokoenergijski delec odda svojo energijo pri pre-hodu skozi celico, pri tem pa lahko spremeni ali pa unici biolosko pomembno molekulov celici. Pride lahko do prekinitve vezi v molekuli dezoksiribonukleinske kisline (DNK),na nepravilnosti v funkciji celice pa pomembno vplivajo tudi poskodbe proteinskih mole-kul. Do poskodb biolosko pomembnih molekul lahko pride direktno, zaradi ionizacije, kijo povzroci delec, lahko pa pride tudi do interakcije s prostimi radikali, ki nastanejo zaradiionizacije vodnih molekul. Vsako sevanje v nacelu lahko povzroci poskodbe tkiva.

Ce pride do tega, da je bilo zivo bitje nekaj casa izpostavljeno radioaktivnemu sevanju,je pri dolocanju ucinka tega sevanja pomembno, kaksna je bila vrsta sevanja (kateri delci,kako globoko delci prodrejo v tkivo), koliko casa je trajalo sevanje, koliko sevanja se jeabsorbiralo in na kaksen nacin je sevanje delovalo na organizem.

Kolicini absorbiranega sevanja pravimo prejeta doza D. Enota za prejeto dozo je gray(1 Gy = 1 J/kg). Rastline in nizje razvite zivali so bolj odporne na ucinke sevanja kotvisje razvite zivali in clovek. Ucinke sevanja na tkiva v cloveskem organizmu opisemo zekvivalentno dozo De,

De = D · RBE, (13.16)

kjer je RBE relativna bioloska ucinkovitost, ki je lastnost dolocene vrste sevanja in nampove, kako obcutljivo je tkivo za to vrsto sevanja. Za zarke γ in delce beta je RBE = 1, zadelce alfa je RBE = 10, za termicne nevtrone je RBE = 3, za hitre nevtrone je RBE = 10in za tezke ione je RBE = 20. Enota za ekvivalentno dozo je sievert (Sv).

V sodobnih laboratorijih uporabljamo radioaktivne snovi. Nevarno je, ce zaradi ma-lomarnosti ali neupostevanja pravil pride do obsevanja ljudi ali pa da radioaktivne snovi

135

preko rok, ust, nosa ali oci pridejo v telo, kjer predstavljajo izvor kontinuiranega sevanja.Ce ravnamo z radioaktivnimi snovmi previdno, pa se nam ni treba bati poskodb.

13.6 Splosna navodila za delo z radioaktivnimi snovmi

Radioaktivno snov imenujemo vzorec. Vzorce hranimo v svincenih hramih. Vzorec prevza-memo od odgovorne osebe in ga po koncu merjenja vrnemo odgovorni osebi. Kadar delamoz radioaktivno snovjo, vnaprej dobro premislimo, kako bi zahtevano nalogo opravili v karnajkrajsem casu. Vzorca ne smemo prijemati z rokami. Za prestavljanje vzorca upora-bljamo posebne klesce, ki omogocajo, da se z rokami ne priblizamo vzorcu. Tudi sicer smopri merjenju kolikor mogoce dalec stran od vzorca. Kadar delamo z radioaktivno snovjo,se ne dotikamo oci, ust, uses in nosu. V prostoru, kjer delamo z radioaktivno snovjo, nesmemo jesti. Ce pride do nesrece, takoj obvestimo odgovorno osebo.

Naloge: 1. Izmerite ozadje

2. Preverite, ali je jedrski razpad nakljucen proces

3. Ocenite razpolovno debelino aluminija za sevanje izvora 4019K

Potrebscine: vzorec

Geiger-Mullerjeva cev z Geiger-Mullerjevim stevcem

aluminijasti filtri

Izvedba

1) Radioaktivni izvor, katerega aktivnost boste merili, vsebuje 4019K, ki seva delce β− in

zarke γ. Razpolovni cas 4019K je 1, 26 · 109 let. Snov, ki jo uporabljamo pri vajah, je

sestavina kuhinjske soli in ni nevarna zdravju. Pri ravnanju z vzorcem pa moramobiti vseeno previdni.

2) Merjenje z Geiger-Mullerjevo cevjo

a) Ce Geiger-Mulerjeva (G-M) cev se ni prikljucena na G-M stevec, jo prikljucite(BNC konektor – levo od prikazovalnika).

b) Prizgite G-M stevec (On/Off) in pocakajte, da se na zaslonu izpise 0.

c) Nastavitev napetosti:

• Pritisnite gumb Select tolikokrat, da zasveti lucka pri G-M voltage inizbiro potrdite z gumbom Enter.

• S potenciometrom Reg. G-M voltage nastavite napetost med 550 in 580V (oznaka V se na zaslonu ne izpise) in izbiro potrdite z gumbom Enter.

136

d) Nastavitev casa stetja sunkov:

• Z gumbom Select izberite Gate in izbiro potrdite z gumbom Enter. Zdajzacne utripati lucka v okvirju Control period.

• Z gumbom Select izbirate med periodami 1, 10, 60, 100 sekund in Con-tinuous.

• Izberite zelen cas (za ozadje 100 s) in izbiro potrdite z gumbom Enter. Zdajutripa lucka pri izbiri Continuous – pritisnite gumb Select, da ugasne.

• Ko gorita obe lucki – pri izbranem casu in pri izbiri Gate, ste pripravljenina meritve.

e) Meritve:

• Ce na zaslonu ni izpisana 0, pritisnite gumb Reset.

• Za meritev pritisnite gumb Start/Stop. Med potekom meritve utripa luckapri napisu Gate. Ko preneha utripati (gori), je meritev koncana in rezultatlahko odcitate z zaslona.

• Za ponovitev meritve pritisnite gumb Start/Stop.

• Ce zelite spremeniti cas merjenja ponovno pritisnete gumb Select, da utripalucka pri napisu Gate in izbiro potrdite z gumbom Enter. Nato z gumbomSelect izberete nov cas merjenja, ki ga potrdite z gumbom Enter. Enakokot prej z gumbom Select izkljucite utripanje lucke pri napisu Continu-ous.

3) Merjenje ozadja: Preverite, ali je vlozisce prazno in vzorec ni v blizini G-M cevi, terali kaze stevec vrednost nic. Izberite cas merjenja 100 s in 5 krat izmerite stevilosunkov. So izmerjene vrednosti enake? Zakaj - kako si razlagate rezultate? Kotaktivnost ozadja ali na kratko ozadje vzemite povprecno vrednost. Pri podajanjurezultatov moramo biti pozorni – aktivnost se meri v Bq, kar je stevilo razpadov nasekundo. Ce uporabljamo oziroma podajamo ozadje kot stevilo razpadov v kateremdrugem casovnem intervalu (recimo 10 ali 100 s), moramo to posebej poudariti.

4) Merjenje aktivnosti vzorca: Vzorec namestite v vlozisce tako, da je manj zascitenapovrsina vzorca obrnjena proti Geiger-Mullerjevi cevi. Izberite cas merjenja 10 s.Merite stokrat.

Dolocite povprecno stevilo sunkov (N), ki jih daje izvor, in dolocite efektivni odmikσ. Efektivni odmik dolocimo na enak nacin, kot bi dolocili slucajno napako, ceimamo veliko stevilo meritev (Uvod, enacba 0.4). Dolocite tudi napako povprecja σs

(Uvod, enacba 0.5). Ce aktivnost ozadja predstavlja znaten del izmerjene aktivnosti,ki je vsota aktivnosti vzorca in aktivnosti ozadja, je potrebno ozadje upostevati. Priprimerjavi pazite na casovni interval. Ce je ozadje primerljivo z aktivnostjo izvora,aktivnost ozadja odstejete od izmerjene aktivnosti (N), da dobite aktivnost izvorasamega. Upostevanje ozadja vrednosti σ ne spremeni, saj je v enacbi 0.4 razlika medposameznim izmerkom, ki vsebuje tudi ozadje, in povprecno izmerjeno vrednostjoaktivnosti, ki vsebuje tudi ozadje, ista.

137

Efektivni odmik za nakljucne procese lahko ugotovimo tudi drugace. Ce izracunamokoren iz povprecja stevila sunkov (N), ocenimo vrednost efektivnega odmika za iz-brani casovni interval merjenja (10 s). Preverite tudi, ali se efektivni odmik σ pri-

blizno ujema z ocenjeno vrednostjo (√

N). Ce vrednosti mocno odstopata, preveriteracun.

Rezultate velikega stevila meritev lahko predstavimo s porazdelitveno funkcijo. Vsemeritve lezijo znotraj nekega intervala. Ugotovimo, koliksen je ta interval in ga razde-limo v razrede. Prestejemo, koliko meritev lezi v dolocenem razredu. Porazdelitvenofunkcijo dobimo, ce kot absciso upostevamo razrede, kot ordinato pa stevilo meritevv posameznih razredih. Diagramu porazdelitvene funkcije pravimo tudi histogram.

Narisite histogram meritev stevila sunkov. Stevilo sunkov doloca razred. Prestejte,koliko meritev pade v posamezen razred. Narisite diagram, pri katerem na ab-sciso nanesite razrede, na ordinato pa stevilo meritev, ki pripadajo ustreznim razre-dom. Oznacite izracunano povprecno vrednost in efektivni odmik v levo in v desno.Oznacite tudi, koliksna je napaka povprecja. Da bi primerjali rezultate meritev steoreticnimi napovedmi, na isti diagram narisite tudi teoreticno Gaussovo krivuljo,ki ustreza prej doloceni povprecni vrednosti in efektivnemu odmiku. Prestejte, kolikomeritev pade v interval [N − σ, N + σ]. Teorija napoveduje, da v ta interval pade68 % vseh meritev.

5) Dolocitev razpolovne debeline aluminija: Vzorec pustite, kot pri prejsnji nalogi. Casmerjenja pa nastavite na 100 s. Med izvor in Geiger-Mullerjevo cev (na policko nadvzorcem) vstavljajte filtre razlicnih debelin. Filtre sestavite iz aluminijastih ploscic.Za vsako skupno debelino 3 krat izmerite stevilo sunkov v 100 sekundah. Debelinefiltrov izbirajte tako, da boste do debeline, ki zadrzi vse sunke iz vzorca (Ali v temprimeru stevec v 100 sekundah zabelezi 0 sunkov ali ozadje?), presteli sunke za vsaj5 razlicnih debelin. Absorbcijo v snovi prikazite z diagramom, kjer narisite steviloizmerjenih sunkov, ki so posledica prisotnosti izvora, v odvisnosti od debeline filtra.V graf lahko vnasate povprecno vrednost ali pa kar vse tri meritve za posameznodebelino filtra. Upostevajte tudi meritev brez filtrov iz prejsnje tocke, izmerjenovrednost pa seveda preracunajte na ustrezen casovni interval. Skozi tocke smiselnopotegnite krivuljo in s slike dolocite, pri kateri debelini filtra pade stevilo sunkov napolovico vrednosti, dobljene brez filtrov.

138