Universidad Nacional de la Patagonia “San Juan Bosco” Facultad de Ingeniería Departamento de Matemática Cátedra: Geometría Diferencial T.P.Nº 3: Segunda Forma Cuadrática - Curvaturas Principales Clasificación de Puntos de una Superficie

Ej. 1: Obtenga la segunda forma cuadrática y la función curvatura normal de las siguientes superficies.

a) X(u,v)=(f(u) cos v, f(u) sen v, g(u)) superficie de revolución b) X(u,v)=(u,v, f(u,v,)) gráfica de una función

Ej. 2: Considera la superficie X(u,v)=(f(u),g(u),v) donde α(u)=(f(u),g(u),0) es una curva regular. Verifique que para cada q=(u,v) existe una dirección w, tangente a X en q, para la cual la curvatura normal se anula. Ej. 3: Clasifique el punto q=(0,0) para las siguientes superficies:

a) X(u,v)=(u, v, u2+v4) b) X(u,v)=(u,v, u2-v3) c) X(u,v)=(u,v,u2+au3+bv2) donde a y b son números reales constantes.

Ej. 4: Calcular las curvaturas media y de Gauss de S en el punto p:

a) S={(x,y,z) / xyz=1} p=(1,1,1) b) S={(x,y,z) / x+y+z=1} p cualquiera

Ej. 5: Sea S una superficie regular orientada, p∈S y {v1 , v1} una base ortonormal del plano tangente TpS formada por autovectores de dNp. Sean k1 y k2 las curvaturas normales en el punto p en las direcciones de v1 y v2. a) Probar que si v(θ)=cos θ v1 + sen θ v2, se cumple que la curvatura normal en el punto p en la dirección v(θ) es k1 cos2 θ + k2 sen2 θ .

b) Probar que la curvatura media en p viene dada por la fórmula ∫=π

θθπ

2

0

))((21)( dvkpH n .

Ej. 6: Probar que la suma de las curvaturas normales en dos direcciones ortogonales en un punto p de S es constante. Ej. 7: Mostrar que en el origen del hiperboloide z=axy se tiene K=-a2 y H=0.

Ej. 8: Pruebe que el helicoide X(u,v)=(v cos u, v sen u, bu) b>0, es una superficie mínima que

satisface la relación 012

<≤− Kb

.

Ej. 9:Considere la esfera de radio a>0 definida por X(u,v)=(a sen v cos u, a sen v sen u, a cos v) u∈ R, v∈(0,π). Obtenga la curvatura gaussiana y verifique que es constante.

Ej. 10:Considere la superficie de rotación X(u,v)=(f(u) cos v, f(u) sen v, g(u)). Obtenga K(u,v) y H(u,v) en función de f, g y sus derivadas. Verifique que si la curva generatriz (f(u), 0, g(u)) está

parametrizada por longitud de arco, entonces ffK ´´

−=

Ej. 11:Considere la superficie X(x,y) = (x,y,f(x,y)) que describe el gráfico de una función diferenciable f(x,y). a) Obtenga K(x,y) y H(x,y) b) Haciendo fx=p, fy=q, fxx=r, fxy=s, fyy=t probar que : K=0 si y sólo si rt-s2=0 H=0 si y sólo si (1+p2)t+(1+q2)r-2pqs=0 Ej. 12: Verifique que: a) Si X es una superficie de curvatura gaussiana K<0, entonces X no posee puntos umbílicos b) Los puntos umbílicos de una superficie mínima son planares. Ej. 13:Verifique que el toro posee puntos elípticos, hiperbólicos y parabólicos

),)cos(,cos)cos((),( rsenusenvuravuravuX ++= (u,v)∈R y 0<r<a. Ej. 14:Verifique que todos los puntos del cono de una hoja menos el vértice

),,(),( 22 vuvuvuX += son parabólicos.

Ej. 15: Sea X(u,v) una superficie y α(t)=X(u(t),v(t)) una curva regular de X tal que el plano tangente a X en (u(t),v(t)) es constante e independiente de t. Probar que para todo t, (u(t),v(t)) es un punto planar o parabólico de X. Ej. 16: Considere la superficie de rotación generada por la curva regular α(u)=(f(u),0,u) con f:I→ R y tal que f(u)>0. Probar que todos los puntos de la superficie son parabólicos, si y sólo si, la superficie describe un cilindro circular o un cono. Ej. 17: Sea X(u,v) una superficie y q=(u0,, v0) un punto no umbílico. Probar que: a) Las direcciones determinadas por Xu(q) y Xv(q) son direcciones principales en q, si y sólo si, F(q)=f(q)=0. b) Si Xu(q) y Xv(q) son direcciones principales, entonces las curvaturas principales en q están dadas por:

)()(

1 qEqe

k = )()(

2 qGqg

k =

Ej. 18: Verifique que todos los puntos de una superficie de la forma X(u,v)=(u cos v, u sen v, f(v)), donde f es una función diferenciable y estrictamente monótona, son hiperbólicos.

Ej. 19: Sea X(u,v) una superficie que no tiene puntos umbílicos. Verifique que las curvas coordenadas son líneas de curvatura si y sólo si f=F=0. En este caso las curvaturas principales están dadas por

k1(u,v)=),(),(

vuEvue ; k2(u,v)=

),(),(

vuGvug

Ej. 20: Verifique que los meridianos y paralelos de una superficie de rotación son líneas de curvatura. Ej. 21: Sea X(u,v) una superficie. Verifique que las curvas coordenadas son líneas asintóticas si y sólo si e=g=0. Ej. 22: Muestre que en un punto hiperbólico, las direcciones principales bisecan las direcciones asintóticas.

Ej. 23: Pruebe que si la curvatura media se anula en un punto no planar, entonces ese punto posee dos direcciones asintóticas ortogonales. Ej. 24: Determine las líneas asintóticas y las líneas de curvatura del helicoide X(u,v)=(v cos u, v sen u, cu) y muestre que su curvatura media es igual a cero. Ej. 25: Determine las líneas asintóticas del catenoide X(u,v)=(cosh v cos u, cosh v sen u, v)