Universidad Nacional de la Patagonia

Facultad de Ingeniería

Deparamento de Matemática

Catedra: Geometría Diferencial

T.P.No2: Super�cies Regulares - Primera Forma Cuadrática

Ejercicios: Super�cies y Difeomor�smos

1. Demostrar que el cilindro C = {(x, y, z) ∈ <3 : x2 + y2 = 1} es una super�cie regular, hallandoparametrizaciones cuyos entornos de coordenadas lo recubran.

2. ¾Es el conjunto {(x, y, z) ∈ <3 : z = 0 y x2 + y2 ≤ 1} una super�cie regular? ¾Es el conjunto{(x, y, z) ∈ <3 : z = 0 y x2 + y2 < 1} una super�cie regular?

3. Demostrar que el cono de doble hoja, con vértices en el origen, es decir, el conjunto{(x, y, z) ∈ <3 : x2 + y2 − z2 = 0} no es una super�cie regular.

4. Sea f(x, y, z) = z2. Demostrar que 0 no es un valor regular de f aunque f−1(0) sea una super�cieregular.

5. Sea f(x, y, z) = (x+ y + z − 1)2

a) Encontrar los puntos y valores críticos de f .

b) ¾Para qué valores de c es una super�cie regular el conjunto f(x, y, z) = c?

c) Lo mismo para f(x, y, z) = xyz2

6. Sea V un conjunto abierto en el plano xy. Mostrar que el conjunto S = {(x, y, z) ∈ <3 : z = 0 y (x, y) ∈ V }es una super�cie regular.

7. Mostrar que el conjunto S = {(x, y, z) ∈ <3 : z = x2 − y2} es una super�cie regular y comprobarque los incisos a y b son parametrizaciones de S.

a) X(u, v) = (u+ v, u− v, 4uv) con (u, v) ∈ <2.

b) X(u, v) = (uChv, uShv, u2) con (u, v) ∈ <2 y u 6= 0. ¾Qué parte de S con estas parametriza-ciones cubro?

8. Mostrar que las parametrizaciones:

X1(u, v) = (u

u2 + v2,

v

u2 + v2,

1

u2 + v2) y X2(u, v) = (u cosv, u senv, u2) representan la misma

super�cie e indicar de cuál super�cie se trata.

9. La super�cie que admite la parametrización de la forma r(u, v) = r1(u)+r2(v), con r1 y r2 funcionesde clase Ck para algún k se llama super�cie de traslación. Mostrar que parabolóides elípticos ehiperbólicos son super�cies de traslación.

10. Considere una curva regular α(s) = (x(s), y(s), z(s)) con s ∈ I ⊂ <. Sea S el subconjunto de <3

generado por las rectas que pasan por α(s), paralelas al eje z. Dé una condición su�ciente que debesatisfacer la curva α(s) para que S sea el trazo de una super�cie parametrizada regular.

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11. Sea S2 = {(x, y, z) ∈ <3 : x2 + y2 + z2 = 1} la esfera unitaria y sea A : S2 −→ S2 la aplicación queA(x, y, z) = (−x,−y,−z). Probar que A es un difeomor�smo.

12. Sea S ⊂ <3 una super�cie regular y π : S −→ <2 la aplicación que toma cada punto p ∈ S y loproyecta ortogonalmente sobre <2 = {(x, y, z)<3 : z = 0}. ¾Es π diferenciable?.

13. Construya un difeomor�smo entre el elipsoidex2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 y la esfera x2 + y2 + z2 = 1.

Ejercicios: Plano Tangente y Vector Normal

14. Mostrar que la ecuación del plano tangente a (x0, y0, z0) de una super�cie regular dada porf(x, y, z) = 0 donde 0 es un valor regular de f , es:fx(x0, y0, z0)(x− x0) + fy(x0, y0, z0)(y − y0) + fz(x0, y0, z0)(z − z0) = 0.

15. Mostrar que la ecuación del plano tangente de una super�cie con grafo f de una función diferenciablez = f(x, y), en el punto p0 = (x0, y0) esta dada por:z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0).

16. Mostrar que los planos tangentes de una super�cie dada por z = xf(x/y) x 6= 0, donde f es unafunción diferenciable, todos pasan por el origen.

17. Considere la super�cie X(u, v) = (u, v, f(u, v)) donde f es una función diferenciable. Obtenga laaplicación normal.

18. Mostrar que las normales a una super�cie dada por X(u, v) = (f(u)cosv, f(u)senv, g(u)), conf(u) 6= 0, g′ 6= 0, todas intersectan al eje z.

19. Sea el cono circular menos el vértice parametrizado porX(u, v) = (u senα cosv, u senα senv, u cosα)

con u > 0, v ∈ < y 0 < α <π

2es una constante. Describir la imagen de N(u, v).

Ejercicios: Primera Forma Fundamental

20. Calcular la primera forma fundamental de las siguientes super�cies parametrizadas regulares:

a) X(u, v) = (a senu cosv, b senu senv, u2) paraboloide elíptico.

b) X(u, v) = (a u cosv, b u senv, u2) paraboloide elíptico.

c) X(u, v) = (a u Chv, b u Shv, u2) paraboloide hiperbólico.

d) X(u, v) = (a Shu cosv, b Shu senv, c Chu) hiperboloide de dos hojas.

21. Dada la super�cie parametrizada regular X(u, v) = (u cosv, u senv, lncosv + u) con −π2< v <

π

2.

Mostrar que las dos curvas X(u1, v), X(u2, v) determinan segmentos de igual longitud.

22. Mostrar que el áreaA de la regiónR limitada por la super�cie z = f(x, y) es:A =∫ ∫

Q

√1 + f 2

x + f 2ydxdy,

donde Q es la proyección normal de R en el plano xy.

2

23. Se dice que las curvas coordenadas de una parametrización X(u, v) forman la red de TChebyshevsi las longitudes de los lados opuestos de los cuadrilateros que ellos forman son iguales. Mostrar que

la condición necesaria y su�ciente para que esto ocurra es que:∂E

∂v(u, v) =

∂G

∂u(u, v) = 0.

24. Probar que las curvas coordenadas que constituyen la red de TChebyshev es posible reparametrizarlas coordenadas en una vecindad de tal manera que los nuevos coe�cientes de la primera formacuadrática sean: E = 1, F = cosθ,G = 1.

25. Mostrar que una super�cie de revolución siempre puede parametrizarse de modo tal que: E = E(v),F = 0 y G = 1.

26. Sea P = {(x, y, x) ∈ <3 : z = 0} es el plano xy y sea X : U −→ P , la parametrización de P porX(ρ, θ) = (ρ cosθ, ρ senθ), donde U {(ρ, θ) ∈ <2 : ρ > 0, 0 < θ < 2π}. Calcular los coe�cientes de laPrimera Forma Cuadrática de P con esta parametrización.

27. Si S es una super�cie parametrizada regular con área �nita A y T : <3 −→ <3 es una transformaciónortogonal, probar que las áreas de S y T (S) son iguales.

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