UNIVERSIDAD DE BIO-BIOFACULTAD DE CIENCIASDEPARTAMENTO DE DE FISICA

Practica N◦9-10-11ElectromagnetismoSegundo Semetre 2009

230017

1. El sistema de la figura consta de dos cascarones cilindrico concentrico muy del-gado, de longitud L y de radio a y b, el cascaron cilindrico interior tiene cargatotal -q, y el exterior tiene carga total q/2

a) Determine el densidad superficial de carga en cada cilindrob)Determinar el campo Electrico en la region II

ab

II

L

a)

dq = σ0dS ( con σ0 constante)∫dq = σ0dS =⇒ qT = σ0S =⇒ σ0 = qT

S

Cilindro radio a

1

σ0 = qT

S

σ0 = −q2πal

Cilindro radio a

σ0 = qT

S

σ0 = q4πbl

b) Teorema de Gaus

∫~E · ndS = 1

ε0Qencerrada

∫~E · ndS = 2πE(ρ)ρL

Qence =∫

qdS +

∫qdv

︸ ︷︷ ︸0

Qence =

∫

r=a

σ0dS +

∫

r=b

σ0dS

Qence =

∫ L

0

∫ 2π

0

−q

2πaladzdφ +

∫ L

0

∫ 2π

0

q

4πblbdzdφ

Qence =−q2πL

2πaladzdφ +

q2πbL

4πbL

Qence =q

2− q = −q

2

∴E(ρ) =

−q

4πρL

2. Del ejercicio 2 de la clase anterior, utilizando Vρ = V0 −∫ ~r

~r0

~E · d~r sabiendo queen r0 = V , r0 = 2a

2

a

2a

0

~Einterior =λ0

2πρε0

ρ

~Eexterior =λ0 + σ0a2πh

2πρε0

a) En El exterior del cilindro r > r0

b) En el interior del cilindro r < a

a) En l exterior del cilindro r > r0

V (ρ) = V(0) −∫ ~r

~r0

~E · ~r

3

V (ρ) = V −∫ r

2a

λ0 + σ0a2πh

2πρε0ρ· (dρρ + ρdφφ + dzz)

V (ρ) = V −∫ r

2a

λ0 + σ0a2πh

2πρε0dρ

V (ρ) = V − (λ0 + σ0a2πh)

∫ ra

2a

dρ

2πρε0

V (ρ) = V − (λ0 + σ0a2πh

2πε0

)

∫ r

2a

dρ

ρ

V (ρ) = V − (λ0 + σ0a2πh

2πε0

)

∫ r

2a

dρ

ρ

V (ρ) = V − (λ0 + σ0a2πh

2πε0

)

∫ r

2a

dρ

ρ

V (ρ) = V − (λ0 + σ0a2πh

2πε0

)ln(r

2a) |r2a

V (ρ) = V − (λ0 + σ0a2πh

2πε0

)ln(r

2a)

b) En el interior del cilindro r < a

En este caso estaremos en presencia de dos campos electricos, ya que nuestropunto de referencia se encuentra en el exterior del cilindro, lo que nos quedara

V (ρ) = V(0) −∫ ~r

~r0

~E · d~r V (ρ) = V(0) − (∫ ~r

~r0

~E(afuera) · d~r +∫ ~r

~r0

~Eadentro · d~r)

V (ρ) = V − (

∫ a

2a

λ0 + σ0a2πh

2πρε0ρ· (dρρ + ρdφφ + dzz) +

∫ r

a

λ0

2πρε0

ρ · (dρρ + ρdφφ + dzz))

V (ρ) = V − (

∫ a

2a

λ0 + σ0a2πh

2πρε0

dρ +

∫ r

a

λ0

2πρε0

dρρ + ρd)

V (ρ) = V − (λ0 + σ0a2πh

2πε0

ln(a

2a) +

λ0

2πln(

r

a))

3. calcule a la siguiente esfera maciza:

4

a) Calcule el Campo Electrico adentro y afuera de la Esfera. b) Calcule el poten-cial electrico adentro y afuera de la Esfera. c) calcule la Energıa electroestatica.

a) Campo Electrico dentro

Primero calcularemos ~E, a travez de Gauss

∫~E · ndS = 1

ε0Qencerrada

E = 4πr2 = 1ε0

Qencerrada

E = 4πr2 = 1ε0

∫dq′

E = 4πr2 = 1ε0

∫ρ0dv

E = 4πr2 = 1ε0

ρ0

∫dv

︸ ︷︷ ︸V olumendeesfera

E = 4πr2 =1

ε0

ρ04

3πr3

E =1ρ0r

3ε0

Campo electrico a fuera

Primero calcularemos ~E, atra vez de Gauss

∫~E · ndS = 1

ε0Qencerrada

5

E = 4πr2 = 1ε0

Qencerrada

E = 4πr2 = 1ε0

∫dq′

E = 4πr2 = 1ε0

∫ρ0dv

E = 4πr2 = 1ε0

ρ0

∫dv

︸ ︷︷ ︸V olumendeesfera

E = 4πr2 =1

ε0

ρ04

3πR3

E =R3ρ0

3ε0r2

b) Afuera V∞ = 0

Vr = Vr0 −∫ v

r0

~E · d~r

Vr = V∞︸︷︷︸0

−∫ r

∞

R3ρ0dr

3ε0r2

I = −R3ρ0

3ε0

∫ r

∞

dr

r2

I = −R3ρ0

3ε0

(−1

r)− (

1

∞)

I =R3ρ0

3ε0r

Vr=afuera =R3ρ0

3ε0r

El voltage en la superficie es el voltage anterior en R

Vsup =R3ρ0

3ε0R=

R2ρ0

3ε0

Voltage adentro

Vr = Vr0 −∫ v

r0

~E · d~r

Vr =R2ρ0

3ε0

−∫ r

R

ρ0rr

3ε0

· d~r

Vr =R2ρ0

3ε0

−∫ r

R

ρ0rdr

3ε0

6

Vr =R2ρ0

3ε0

− ρ0

3ε0

∫ r

R

rdr

Vr =R2ρ0

3ε0

− ρ0

6ε0

(r2 −R2)

Vr =ρ0

3ε0

(R2 − r2

2+

r2

2)

Vr =ρ0

3ε0

(3R2

2− r2

2) 0 6 r 6 R

c) U = 12

∫dqV = 1

2

∫dqVadentro

U =1

2

∫ρ0 dv︸︷︷︸

r2drsinθdθdφ

ρ0

3ε0

(3R2

2− r2

2)

U =4πρ0R

5

15ε0

4. Calcule la Capacitancia del siguiente cable:

Primero calcularemos ~E, atra vez de Gauss

∫~E · ndS = 1

ε0Qencerrada

E2πρl = 1ε0

σ02aπρl

E =σ0a

ε0ρ

∆V = − ∫ b

a~E · ~dr

∆V = −∫ b

a

σ0aρ

ε0ρ· dρρ

7

∆V = −σ0a

ε0

∫ b

a

dρ

ρ

∆V = −σ0a

ε0

ln(b

a)

Qplaca =∫

σ0dS = σo

∫dS = σ02πal

C =| Qplaca

∆V|=| σ02πal

−σ0aε0

ln( ba)|= 2πε0l

ln( ba)

5. Calcule la Capacidad del siguiente sistema:

el campo electrico en la superficie del conductor interior es

E2πρl = σ0

ε02πρla

Qa = σ02πρla

E =σ0a

ρ

m∆V = − ∫ ρ

aEdρ = −(

∫ b

aσ0aρ

dρ0 +∫ d

cσ0aρ

dρ0)

V+ − V− = −σ0aρ

(ln(b/a) + ln(d/c))

C = Qa

∆V

C =σ02πρla

σ0aρ

(ln(b/a) + ln(d/c))

6. Calcula la capacidad en un sistema de lıneas conductoras cilındricas en trifasico

8

V1 = V0Cos(wt)V2 = V0Cos(wt− 2π

3)

V3 = V0Cos(wt + 2π3

)

q1 = q0cos(wt)q2 = q0cos(wt− 2π

3)

q3 = q0cos(wt + 2π3

)

V1 = V11 + V12 + V13

V2 = V22 + V21 + V23

V1 = V33 + V31 + V32

El potencial que siente un cable esta dado por V = −2kλln( ρρ1

)

V1 = −2kλ1ln(aa)− 2kλ2 ln( b

a)− 2kλ3 ln( b

a)

V2 = −2kλ1ln( ba)− 2kλ2 ln(a

a)− 2kλ3 ln( b

a)

V3 = −2kλ1ln( ba)− 2kλ2 ln( b

a)− 2kλ3 ln(a

a)

V1 = −2kln( ba)(λ2 + λ3)

V2 = −2kln( ba)(λ1 + λ3)

V3 = −2kln( ba)(λ1 + λ2)

V1 + V2 + V3 = −4kln( ba)(λ1 + λ2 + λ3)

V1 + V2 + V3 = λ1 + λ2 + λ3 = 0

por ejemplo

V1 = −2kln( ba)(−λ1 + λ1λ2 + λ3︸ ︷︷ ︸

0

)

V1 = 2kln( ba)(λ1)

9

V1 = V0Cos(wt)

V0Cos(wt) = 2kln( ba)(λ1)

λ1 = Q1

l

q1 = q0cos(wt)

V0Cos(wt) = 2kln( ba) q0cos(wt)

l

V0 = 2kln( ba

q0

l

q0 =l

2kln( ba)︸ ︷︷ ︸

C

V0

C =l

2kln( ba)

7. Del siguiente sistema:

a) Determine σo en terminos de la diferencia de potencial y la separacionb) Determine la energıa electroestatica

~E = σ0zε0

a) ∆V = − ∫ d

0~E · ~dr

∆V = − ∫ d

0σ0zε0· (dxx + dyy + dzz

∆V = − ∫ d

0σ0

ε0dz

10

∆V = −σ0dε0

σ0 =| ε0∆Vd

|

b) U = 12

∫2placas

dq′V (r′)

U = 12(∫

placainfdq′V (r′) +

∫placasup

dq′V (r′))

U = 12(∫

σ0dS ′V (r′) +∫ −σ0dS ′V (r′))

U = 12(∫

σ0dS ′V+ +∫ −σ0dS ′V−)

U = σ0

2(∫

dS ′V+ −∫ −dS ′V−)

U = σ0

2(V+ − V−)︸ ︷︷ ︸

∆V

∫dS ′

︸ ︷︷ ︸Area

U = σ0

2∆V Area

Reemplazando el valor de σ0 calculado anteriormente

U =ε0∆V Area∆V

2d

U =1

2

ε0Area

d︸ ︷︷ ︸C

∆V 2

U =1

2C∆V 2

8. Un sistema de placas cuadradas esta dispuesto de manera tal que se forma unangulo α = 30◦ entre las placas.La placa inferior esta a potencial nulo y la placasuperior a potencial V0. Para resorlvr el problema del potencial entre las placasse plantea que una funcion de la forma V = C1 + C2φ satisface la ecuacion deLaplace y podrıa satisfacer las condiciones de borde para el potencial en la su-perficie de abajo y la superficie de arriba.

11

Verifique que la funcion propuesta satisface la ecuacion de laplace

Exiga que el potencial satisfaga las condiciones en φ = 0 y φ = α y determinelas constantes C1 y C2 en terminos de los parametros V0, a y α.

Obtenga el campo electrico en el interior del condensador.

Obtenga la distribucion superficial de carga en la placa inferior. Grafiquedicha densidad versus coordenadas ρ.

Determine la carga total sobre la placa inferior.

¿Cuanto vale la capacidad?.

Nota: el laplaciano y el gradiente en coordenadas cilindricas son:

∇V =∂V

∂ρρ +

1

ρ

∂V

∂φφ +

∂V

∂zz

∇2V =1

ρ(ρ

∂V

∂ρ) +

1

ρ2+

∂2V

∂φ2+

∂2V

∂z2

1) C = C1 + C2φ

∇2V =1

ρ(ρ

∂C1 + C2φ

∂ρ)

︸ ︷︷ ︸0

+1

ρ2+

∂2C1 + C2φ

∂φ2

︸ ︷︷ ︸0

+∂2C1 + C2φ

∂z2︸ ︷︷ ︸0

∇2V = 0

2) V (φ = 0) = 0 ⇒ C1 + C2 = 0 C1 = 0V (φ = α) = V0 ⇒ C1︸︷︷︸

0

+C2α = V0 ⇒ C2 = V0

α

V = 0 + V0

αφ

V = V0

αφ

12

3) ~E = −~∇V = −(∂

∂ρ(V0

αφ)ρ +

1

ρ

∂

∂φ(V0

αφ)φ +

∂

∂zz(

V0

αφ))

~E = −φV0

ρα

4)σabajosup = ε0

~E · n

n en la placa inferior es φ

σabajosup = ε0 − φ V0

ρα· φ

σabajosup = −ε0

V0

ρα

5) Q =

∫dq =

∫σdS =

∫−ε0

V0

ραdρdz

ddz

dS

Q = −ε0V0

α

∫ L+a

L

dρ

rho

∫ a

0

dz

Q = −ε0V0

αln

L + a

L

6)C =| Q

∆V|

C =| −ε0V0

αlnL+a

L

V0 − 0|

13

C =ε0

αln

L + a

L

farg/FARG

14