povodom 50 godina seminara za matematicko programiranje …

SVEU�ILI�TE U ZAGREBUEkonomski fakultet

POVODOM 50 GODINA SEMINARA ZAMATEMATI�KO PROGRAMIRANJE I

TEORIJU IGARANeka opaºanja prvog tajnika Seminara

1966.-1968.

Prof. emeritus Sanjo ZlobecMcGill University

Ovo izlaganje je posve¢eno svima koji su u zadnjih pedeset godina bili povezani saSeminarom

17. studenog 2016.

Prof. emeritus Sanjo Zlobec McGill University (McGill University)50 godina Seminara za MPiTI 17. studenog 2016. 1 / 18

Sadrºaj

1 Uvod

2 Tko je bio Leonid Kantorovi£ (1912.-1986.) ?

3 George Dantzig (1914.-2005.) i simplex algoritam

4 Abraham (Abe) Charnes (1917.-1992.)

5 Quo Vadis Matemati£ko programiranje ?


1. Uvod

Ovih dana obiljeºava se 50 godina neprekidnog rada Seminara zamatemati£ko programiranje i teoriju igara. Prvih 30 godina obiljeºenoje knjiºicom Razvoj matemati£kog programiranja u Hrvatskoj koju jeizdao Matemati£ki odjel Prirodoslovno-matemati£kog fakultetaSveu£ili²ta u Zagrebu. Urednici te knjiºice bili su sada²nji voditeljiSeminara profesor Ljubomir Marti¢ i prof. emeritus Luka Nerali¢. Unjoj je dan detaljan prikaz rada Seminara u periodu 1966.-1996.


1. Uvod

Koristim priliku da s nekoliko crtica stavim Seminar u perspektivu.Opaºanja su osobna i mogu se provjeriti u odabranoj literaturi ili urazgovoru sa spomenutim kolegama. Vidjet ¢emo da je Seminar uvijekbio relevantan za teme koje su u svijetu obradjivane i koje se i sadaobradjuju. Ogroman utjecaj na rad Seminara i izbor tema imao jeprofesor Abraham Charnes, koji je 1975. g. u²ao u uºi izbor zaNobelovu nagradu iz ekonomije. Nekoliko £lanova Seminara je s njimei njegovim biv²im studentima suradjivalo i publiciralo radove. Po£nimos osniva£em matemati£kog planiranja (kasnije zvanog "matemati£koprogramiranje").


2. Tko je bio Leonid Kantorovi£ (1912.-1986.) ?

Kantorovi£a smatraju osniva£em matemati£kog planiranja. Radio je,na po£etku sveu£ili²ne karijere u Lenjingradu, kao teorijskimatemati£ar koji je kasnije po£eo primjenjivati ideje funkcionalneanalize na rje²avanje problema u ekonomskom planiranju. Radio je uvektorskim prostorima s parcijalnim uredjajima na parovimaelemenata. Takvi prostori su kasnije, njemu u £ast, prozvani "Kprostori". Kantorovi£ je primijetio da se mnogi realni problemi moguformulirati i numeri£ki rije²iti koriste¢i strukturu K prostora. Takvi sunpr. problemi distribucije sirovog materijala u svrhu maksimizacijebroja izra�enih proizvoda pod zadanim ograni£enjima. Matemati£ki seovi problemi mogu formulirati kao problemi maksimizacije linearnefunkcije nad konveksnim politopom. Ali u to vrijeme, oko 1938. g.,nisu postojale prakti£ne metode za rje²avanje takvih problema,pogotovo u slu£aju velikog broja produkata.



Budu¢i da je Kantorovi£ radio i kao savjetnik u laboratoriju za obradudrva i drvenih proizvoda, njegova metoda nai²la je na veliko zanimanjeu praksi i bila je opisana u knjiºici koju je izdalo Lenjingradsko drºavnosveu£ili²te 1939. g. pod naslovom "Matemati£ke metode planiranja iorganizacije proizvodnje". Ovo poklapanje teorijskih i prakti£nihsaznanja otvorilo je Kantorovi£u put do Nobelove nagrade zaekonomiju, koju je podijelio s Amerikancem holandskog porijeklaKoopmansom 1975. g., za "Contributions to the Theory of OptimumAllocation of Resources". Tek tada je njegova metoda postalapoznata na zapadu.

Zanimljivo je ²to je ameri£ka CIA mislila o Kantorovi£u. Podaci daniniºe postali su poznati nakon sto su Iranci upali u, i "prerovali",ameri£ku ambasadu u Teheranu 1975. g.



An internationally recognized creative genius in the �elds of

mathematics and the application of electronic computers to economic

a�airs, Academician Leonid Kantorovich (pronounced

kahntuhROHvich) has worked at the Institute of Management of the

National Economy since 1971.



He has been involved in advanced mathematical research since the age

15; in 1939 he invented linear programming, one of the most

signi�cant contributions to economic management in the twentieth

century. Kantorovich has spent most of his adult life battling to win

acceptance for his revolutionary concept from Soviet academic and

economic bureaucracies, the value of linear programming to Soviet

economic practices was not really recognized by his country's

authorities until 1965, when Kantorovich was awarded a Lenin Prize

for his work.

International recognition came in October 1975, when the

mathematician was awarded the Nobel Prize for Economics jointly with

T. C. Koopmans, a Dutch-born American economist who discovered

the same concept independently a few years after Kantorovich.



In addition to his mathematical research, Kantorovich has been

directly involved in developing improved designs for high-speed digital

computers, an activity apparently motivated by the Soviet Union's

need for improved computers in solving large economic planning

problems.


3. George Dantzig (1914.-2005.) i simplex algoritam

"Od Drugog svjetskog rata nitko nije utjecao na primjenematemati£kih nauka vi²e od Georga Dantziga" rekao je Veinott.Podsjetimo se da prakti£ne primjene £esto koriste tisu¢e varijabli idesetke tisu¢a jednadºbi. Gotovo istovremeno s razvojem teorijelinearnog programiranja do²lo je do eksplozije primjena, specijalno uindustrijskom sektoru, i brzog razvoja ra£unara i numeri£kih metoda.Time su "Linearno programiranje i simpleks algoritam zajednoomogu¢ili da se £ovje£anstvo po prvi put bavi strukturommatemati£kih modela i rje²ava komplicirane probleme alokacijeobjekata (Mukund Thapa)".

Dantzig je formulirao simpleks algoritam dok je radio za ameri£kuvojsku 1941.-1946. g. Bio je na tom poslu savjetnik za matematiku,radio je i u RAND Corp. 1952.-1960., a kasnije je bio profesor izoperacijskih istraºivanja na UC- Berkeley.


3. George Dantzig (1914.-2005.) i simplex algoritam

Ideja simpleks algoritma geometrijski je jednostavnija odKantorovi£eve metode jer koristi samo elementarne transformacije namatricama. Do optimalnog vrha politopa dolazi se operacijamaJordanovog tipa na pro²irenim matricama sistema linearnih algebarskihjednadºbi (u ºargonu ameri£ke vojske "programima"). U slu£aju"degeneracije", npr. u modelima transporta, moze do¢i do "kruºenjaalgoritma" bez nalaºenja optimalnog rje²enja. Taj fenomen je rije²ioCharnes u radu ²tampanom u £asopisu Econometrics 1952. g. £ime jezaokruºen dokaz konvergencije simpleks algoritma.

Dantzig je dobitnik mnogih priznanja, kao £lanstvo u Nacionalnojakademiji nauka, Ameri£koj akademiji inºenjera, Ameri£koj akademijiznanosti i umjetnosti. Bio je predsjednik Instituta za ManagementSciences, prvi predsjednik dru²tva za Matemati£ko programiranje itd.

Tako smo do²li do jo² jednog velikog, u okvirima ovog Seminara,moºda najvaºnijeg, matemati£kog programera.


4. Abraham (Abe) Charnes (1917.-1992.)

Abraham Charnes-ov nau£ni rad moºe se opisati velikim brojemrazli£itih tipova optimizacije, svaki sa speci�£nim uvjetimaoptimalnosti i speci�£nim numeri£kim metodama. Smatra se da jeCharnes formulirao i sa svojim kolegama rije²io prvi nelinearni model uindustriji mije²anja nafte s razli£itim kemijskim speci�kacijama da bidobio najjeftiniju prihvatljivu kombinaciju za kori²tenje odre�enihtipova avionskih benzina.U knjizi "Systems and Management Science by Extremal Methods"izdanoj povodom njegovog 70. ro�endana (Kluwer, 1992) njegoviradovi su podijeljeni u nekoliko velikih podru£ja: linearno i nelinearnoprogramiranje s probabilisti£kim komponentama kaochance-constrained programming, complete characterizations ofduality in nonconvex programming, goal and multi-objectiveprogramming, nove primjene u raznim menadºerskim situacijama,semi-in�nitno programiranje, procjene e�kasnosti menadºera, dataenvelopment analysis (DEA) itd.



Samo u podru£ju DEA troje £lanova na²eg Seminara je izradilodoktorske disertacije na PMF i Ekonomskom fakultetu. Slijede¢egodine, voditelj Seminara Nerali¢, koji je s Charnesom i drugimkolegama objavio nekoliko zapaºenih radova iz DEA, organizira sekcijuu Pragu u £ast Charnesa i DEA. Barem jedan od u£esnika u toj sekcijibit ¢e Kenneth Kortanek kojemu je Charnes bio voditelj na doktoratuiz semi-in�nitnog programiranja. (To su programi s kona£nim brojemvarijabli i beskona£nim brojem ograni£enja.) Prvi me�unarodnisimpozij iz tog podru£ja organiziran je u Austinu 1981. Tom prilikomsastali su se ekonomisti, inºenjeri i matemati£ari koji su radili u tompodru£ju. Simpozij je podrºala Ameri£ka akademija nauka.



Iz biogra�je: "In 1975 Charnes was shortlisted for the Nobel Prize in

economics. In 1982 he was awarded (jointly with William Cooper and

Richard Du�n) the John von Neumann Theory Prize. In 2006 he

received (jointly with William W. Cooper) the "INFORMS Impact

Prize" and several other outstanding awards."

Voditelji Seminara Marti¢ i Nerali¢ bili su kod Charnesa na studijskimboravcima.


5. Quo Vadis Matemati£ko programiranje ?

Matemati£ko programiranje pokriva mnoga podru£ja nauka koja sebave raznim aspektima optimizacije, tipi£no pod nekim ograni£enjima.U nekim situacijama metode matemati£kog programiranja vode do�teorijskih� rezultata. Spomenimo samo dva, bez ulaºenja u detaljekoji se mogu na¢i u literaturi.



1 Kako okarakterizirati to£ku x∗ u unutra²njosti kompaktnogkonveksnog skupa K u kojoj je derivacija jednaka nuli?Odgovor slijedi:

Za detalje i dokaz: J. Global Opt. 46 (2010) 155− 161.2 Kako okarakterizirati �ksnu to£ku f (x∗) = x∗ u unutra²njosti

kompaktnog konveksnog skupa K u domeni neke Lipschitzove funkcijef (x)?Odgovor: Ova to£ka x∗ , i samo ova to£ka, je apex (vrh) dre�ene klasekvadratnih parabola. Pogledati autorovu stranicu na Researchgate-u.



Ovi odgovori mogu imati neo£ekivane interpretacije. Npr.karakterizacija stacionarne to£ke x∗ ne koristi diferencijalni ra£un zaf ′(x∗) i ne treba rje²avati jednadzbu f ′(x∗) = 0; vidjeti udºbenikNerali¢-�ego, �Matematika� (Element, Zagreb, £etvrto izdanje).

Numeri£ke i prakti£ne mogu¢nosti matemati£kog programiranja subezgrani£ne. Nobelova nagrada iz ekonomije ove godine dodjeljena jeza priloge "teoriji ugovaranja" ("contract theory"). Matemati£kigrubo re£eno, radi se o problemu optimalnog "lociranja ugovora".


Hvala!


povodom 50 godina seminara za matematicko programiranje …

Documents