CAPTULO4CAPTULO4

Energa electrosttica yEnerga electrosttica yEnergaelectrostticayEnergaelectrostticaycapacidadcapacidadpp

ndice del ndice del captulo 4captulo 4ndice del ndice del captulo captulo

4 1 Energa potencial electrosttica4.1 Energa potencial electrosttica.

4.2 Capacidad.

4.3 Almacenamiento de energa elctrica.

4.4 Asociacin de condensadores.

4.5 Dielctricos.

4 6 Estructura molecular de un dielctrico4.6 Estructura molecular de un dielctrico.

4.1 Energa potencial electrosttica 4.1 Energa potencial electrosttica Laenergapotencialelectrostticadeunsistemadecargaspuntualeseseltrabajo

necesarioparatransportarlascargasdesdeunadistanciainfinitahastasusposicionesfinales.

LaenergapotencialelectrostticaUdeunsistemaden cargaspuntualesviened ddadapor:

== n n n jiii kqqVqU 2121

Consideremos un conductor esfrico de radio R Su energa potencial electrosttica

= = i i ij ijr1 1 ,22

ConsideremosunconductoresfricoderadioR.Suenergapotencialelectrostticasedeterminadelsiguientemodo:

QVkQqdqkUdqkqVdqdUQ 12 =====

Paraunaseriedeconductores

QVR

qdqR

UdqR

VdqdU220

===== n1deformaarbitraria:

==

iiiVQU

121

4.1 Energa potencial electrosttica 4.1 Energa potencial electrosttica Ejemplo4.1:LospuntosA,B,C yD sonlosvrticesdeuncuadradodeladoa,comoindicalafigura4.1.Cuatrocargaspuntualesdevalorq seencuentraninicialmenteenreposo yseparadasunadistanciainfinita. (a)Calculareltrabajonecesarioparasituarcadaunadelascargaspuntualesenelvrticedelcuadrado,determinandoporseparadoeltrabajocorrespondientealtransportedecadacargaasuposicinfinal.(b) D t l i i d l t i t i(b)Demostrarquelaprimeraecuacindeltransparenciaanteriorexpresacorrectamenteeltrabajototal.

Figura 4.1

4.2 Capacidad 4.2 Capacidad Elpotencialdeunnicoconductoraislado,quecontieneunacargaQ,esproporcional

aestacargaydependedeltamaoyformadelconductor.Engeneral,cuantomayoreslasuperficiedelconductor,mayoreslacantidaddecargaquepuedealmacenarparaund d ldeterminadopotencial.

ElcocienteentrelacargaQ yelpotencialVd d t i l d id d

QC =deunconductoraisladoessucapacidad:

Estamagnitudmidelacapacidaddealmacenarcargaparaunadeterminadadiferencia de potencial Como el potencial es siempre proporcional a la carga la

V

diferenciadepotencial.Comoelpotencialessiempreproporcionalalacarga,lacapacidadnodependedeQo V,sinoslodeltamaoyformadelconductor.Lacapacidaddeunconductoresfricoes:

RQQ

La unidad del SI de capacidades el faradio (F): 1 F = 1 C/V

RkR

RkQQ

VQC 04/

====LaunidaddelSIdecapacidadeselfaradio (F):1F 1C/V

Comoelfaradioesunaunidadrelativamentegrande,seutilizanfrecuentementesubmltiploscomoelmicrofaradio(1F =106 F)elpicofaradio(1pF =1012 F).p ( ) p ( p )

0 =8.85x1012 F/m=8.85pF/m

4.2 Capacidad 4.2 Capacidad Condensadores:Condensadores:Unsistemadedosconductoresportadoresdecargasigualesy

opuestasconstituyeuncondensador.

d d d l l ld d d l l lQddEdV Condensadordeplacasparalelas:Condensadordeplacasparalelas:A

QdEdV00 ===

(d=distanciaentreplacas;A=readelasplacas)

dA

VQC 0==

(b)Figura 4.2: (a) Las lneas de campo entre las placas de un condensador plano estn igualmente espaciadas, lo que indica

Figura 4.3: Cuando los conductores de un condensador se conectan a los terminales de una batera, sta transfiere carga de un

d l h l dif i dque el campo es uniforme en esa regin. (b) Lneas de campo en un condensador de placas paralelas visualizadas con porciones de hilo suspendidas en aceite.

conductor al otro hasta que la diferencia de potencial entre los conductores es igual a la que existe entre los bornes de la batera.

4.2 Capacidad 4.2 Capacidad Ejemplo4.2:Uncondensadorplacasplanoparalelasestformadopordosconductorescuadradosdelado10cmseparadospor1mmdedistancia.(a)Calcularsu capacidad. (b) Si este condensador est cargado con 12 V, cunta carga sesucapacidad.(b)Siestecondensadorestcargadocon12V,cuntacargasetransfieredeunaplacaalaotra?

Solucin:(a)88.5pF;(b)1.06nC.( ) p ; ( )

Ejemplo4.3:DeterminarlaexpresindelacapacidaddeunconductorcilndricoformadopordosconductoresdelongitudL.UncilindrotieneunradioR1 yelotroesunacortezacilndricacoaxialderadiointernoR2,siendoR1

4.2 Capacidad 4.2 Capacidad Condensador variable con espaciado de aire espaciado de aire. Las placas semicirculares giran entre las

Corte transversal de un condensador de 200 F

giran entre las placas fijas cambiando la capacidad.

utilizado en una lmpara de descarga electrnica.capacidad.

Seccin transversal de un condensador de lmina enrollada.

Condensadores cermicos con aplicaciones en los circuitos electrnicos.

4.3 Almacenamiento de energa elctrica 4.3 Almacenamiento de energa elctrica Laenergaelectrostticaalmacenadaenuncondensadorsecalculadelsiguientemodo(verfigura4.5):

dqCqVdqdU ==

Figura 4.5: Cuando una pequea cantidad de carga dq se mueve desde un conductor negativo hacia uno positivo su energa potencial se

=== Q CQdqCqdUU 02

21

incrementa en dU = V dq, donde V es la diferencia de potencial entre los conductores.2

2

21

21

21 CVQVCQU ===

Ejemplo4.4:Procesodecargadeuncondensadordeplacasplanoparalelasconunabatera.Uncondensadordeplacasplanoparalelasycuadradas,delado14cmyseparadas2mm, seconectaaunabateraysecargaa12V.(a)Culeslacargadelcondensador?(b)Cuntaenergasealmacenaoriginalmenteenelcondensador?(c)Sedesconectaentonceslabateradelcondensadorylaseparacindelasplacasseincrementaen3.5mm.Encuntoseincrementalaenergaalmodificarlaseparacindelasplacas?

Solucin:(a)1.04nC;(b)6.24nJ;4.68nJ.

4.3 Almacenamiento de energa elctrica 4.3 Almacenamiento de energa elctrica Enelprocesodecargadeuncondensadorsecreauncampoelctricoentrelasplacas.

Eltrabajonecesarioparacargarelcondensadorpuedeconsiderarsecomoelrequeridopara crear el campo elctrico. Es decir, la energa almacenada en el condensador resideparacrearelcampoelctrico.Esdecir,laenergaalmacenadaenelcondensadorresideenelcampoelctricoyporellosellamaenergadelcampoelectrosttico.

Consideremosuncondensadordeplacasparalelas:p p

)(21)(

21

21 2

0202 AdEEd

dACVU =

==

Laenergaporunidaddevolumen(densidaddeenerga)vienedadapor:

21energa 202

1volumenenerga Eue ==

Ejemplo4.5:Demostrarlavalidezdelaexpresinanteriorparaladensidaddeenergadelcampoelectrosttico en el caso de un conductor esfricoelectrostticoenelcasodeunconductoresfricoconcargaQ(verfigura4.6). Figura 4.6

4.4 Asociacin de condensadores 4.4 Asociacin de condensadores Asociacindecondensadoresenparalelo:Asociacindecondensadoresenparalelo: Cuandodoscondensadoresseconectan

comoenlafigura4.7,detalmodoquelasplacassuperioreseinferioresdelosdoscondensadores estn unidas por un alambre conductor y, por tanto, existe una mismacondensadoresestnunidasporunalambreconductory,portanto,existeunamismadiferenciadepotencialentresusplacas,sedicenqueestnconectadosenparalelo.

VCQVCQ 2211 y == VCQVCQ 2211 y VCCVCVCQQQTotal )( 212121 +=+=+=

21 CCQC Total +== 21 CCVCeq +

Figura 4.7: Dos condensadores en paralelo. Las placas superiores estn conectadas entre s y se encuentran, por lo tanto, al mismo potencial Va; las placas i f i i l d inferiores estn igualmente conectadas entre s y, por lo tanto, tiene un potencial comn Vb.

4.4 Asociacin de condensadores 4.4 Asociacin de condensadores Asociacindecondensadoresenserie:Asociacindecondensadoresenserie:Enlafigura4.8serepresentalaconexinde

doscondensadoresdetalformaqueladiferenciadepotencialatravsdeambosesigual a la suma de las diferencias de potencial a travs de cada uno de ellos. Estaigualalasumadelasdiferenciasdepotencialatravsdecadaunodeellos.Estaformadeconexinsedenominaenserie.

21 y Q QVV ==

22

11 yC C

+=+=+= 21 11QQQVVVTotal 212121 CCQ

CCTotal

111 +21 CCCeq

+=

Figura 4.8: Dos condensadores en serie. La carga total de las placas interconectadas de los dos condensadores es cero. La diferencia de potencial entre la primera placa del primero y la ltima del segundo es la suma de las diferencias de potencial entre las placas de cada uno de los condensadores.

4.4 Asociacin de condensadores 4.4 Asociacin de condensadores Ejemplo4.6:Considereelcircuitodelafigura4.9.Inicialmenteelinterruptorestabiertoyloscondensadores descargados Se cierra el interruptor ycondensadoresdescargados.Secierraelinterruptoryloscondensadoressecargan.Cuandoloscondensadoresquedancompletamentecargados,abrimos el circuito y el voltaje en circuito abiertoabrimoselcircuitoyelvoltajeencircuitoabiertoquedarestablecido.(a)Culeselpotencialdecadaconductor?(b)Culeslacargadecadaunadelasplacas de los condensadores? (c) Cul es la carga

Figura 4.9placasdeloscondensadores?(c)Culeslacargatotalquepasaatravsdelabatera?

Ejemplo4.7:Considereelcircuitodelafigura4.10.j p gInicialmenteelinterruptorestabiertoyloscondensadoresdescargados.Secierraelinterruptoryloscondensadoressecargan.Cuandoloscondensadoresquedancompletamentecargados,abrimoselcircuitoyelvoltajeencircuitoabiertoquedarestablecido.(a)Culeselpotencialdecadaconductor?(b)Culeslacargadecadaunadelasplacasdeloscondensadores?(c)Culeslacargatotalquepasaatravsdelabatera?

Figura 4.10

4.5 Dielctricos4.5 DielctricosUnmaterialnoconductorcomo,porejemplo,elvidrio,elpapelolamadera,se

denominadielctrico.MichaelFaraday descubriquecuandoelespacioentrelosdosconductores de un condensador se ve ocupado por un dielctrico, la capacidad aumentaconductoresdeuncondensadorseveocupadoporundielctrico,lacapacidadaumentaenunfactor queescaractersticodeundielctrico.Larazndeesteincrementoesqueelcampoelctricoentrelasplacassedebilitaporcausadeldielctrico.

SielcampoelctricooriginalentrelasplacasdeuncondensadorsindielctricoesE0,elcampoenelinteriordeldielctricointroducidoentrelasplacases

E

donde eslaconstantedielctrica.Enuncondensadordeplacasparalelasseparadas

0EE =

porunadistanciad,ladiferenciadepotencialV entrelasplacases

000 CCQQCVdEEdV ======

Lacapacidaddeuncondensadordeplacasparalelasllenodeundielctrico()es:

00VV

odielctric del adpermitivid la es donde 00 === dA

dAC

4.5 Dielctricos4.5 DielctricosEjemplo4.8:Uncondensadorplanotieneplacascuadradasdelado10cmyseparacind =4mm.Unbloquededielctricodeconstante =2tienedimensiones10cmx10cmx4mm.(a)Culeslacapacidadsindielctrico?(b)Culeslacapacidadsielbloquededielctricollenaelespacioentrelasplacas?(c)Culeslacapacidadsiunbloquedielctricodedimensiones10cmx10cmx3mmseinsertaenelcondensadorcuyasplacasestnseparadas4mm?

Energaalmacenadaenpresenciadeundielctrico:Energaalmacenadaenpresenciadeundielctrico:

)(1)(11 222 AdEEdACVU

La energa por unidad de volumen es

)(21)(

21

21 222 AdEEd

dACVU =

==

Laenergaporunidaddevolumenes

20

2 11 EEu ==Figura 4.11

022EEue

4.5 Dielctricos4.5 Dielctricos

Ejemplo4.9:Doscondensadoresdeplacasplanoparalelas,cadaunoconunacapacidadC1 =C2 =2F,estnconectadosenparaleloatravsdeunabaterade12V.Determinar(a) lacargadecadacondensadory(b) laenergatotalalmacenadaenloscondensadores.

Solucin:(a) Q1 =13.7C yQ2 =34.3C;(b)165J.Ejemplo4.10:Determinar(a)lacargaencadacondensadory(b) laenergatotalalmacenadaenloscondensadoresdelejemplo4.9,sieldielctricoseinsertaenunodeloscondensadoresmientraslabateraesttodavaconectada.

Solucin:(a) U1 =144J yU2 =360J;(b)504J.

4.6 Estructura molecular de un dielctrico4.6 Estructura molecular de un dielctricoUndielctricodebilitaelcampoelctricoentrelasplacasdeuncondensadorporquesusmolculasproducenuncampoelctricoadicionaldesentido

Elcentrodelacarganegativacoincideconelcentrodelacargapositiva

opuestoaldelcampoexternoproducidoporlasplacas.Estecamposedebealosmomentosdipolareselctricosdelasmolculasdeldielctrico.

Figura 4 12: Diagramas esquemticos Figura 4.12: Diagramas esquemticos de las distribuciones de carga de un tomo o molcula no polar. (a) En ausencia de campo elctrico externo, el p x ,centro de la carga positiva coincide con el centro de la carga negativa.(b) En presencia de un campo elctrico externo, p plos centros de la carga positiva y negativa se desplazan produciendo un momento dipolar inducido en la Figura 4.13: (a) Dipolos elctricos pertenecientes aun dielctrico direccin del campo externo.polar orientados al azar en ausencia de un campo externo. (b) En

presencia de un campo externo los dipolos se alinean paralelamente al campo de modo parcial.

4.6 Estructura molecular de un dielctrico4.6 Estructura molecular de un dielctricoElefectonetodelapolarizacindeundielctricoenuncondensadoreslacreacindeunacargasuperficialsobrelascaras del dielctrico prximas a las placas (ver figura 4 14)carasdeldielctricoprximasalasplacas(verfigura4.14).Estacargasuperficial,ligadaaldielctrico,sedenominacargaligadaporquenopuededesplazarsecomolacargalibre que existe en las placas del condensadorlibrequeexisteenlasplacasdelcondensador.

Figura 4.14: Cuando se sita un dielctrico entre las placas de un condensador, el campo elctrico polariza sus molculas. El resultado es una carga ligada a la superficie del dielctrico que produce su propio campo, el cual se opone al campo externo.Figura 4.15: Campo elctrico entre las placas de un condensador g p p

(a) sin dielctrico y (b) con un dielctrico. La carga superficial en el dielctrico debilita el campo elctrico entre las placas.

4.6 Estructura molecular de un dielctrico4.6 Estructura molecular de un dielctricoEjemplo4.11:Untomodehidrgenoestformadoporunncleodeunprotndecarga+e,yunelectrndecargae.La distribucin de carga del tomo tiene simetra esfrica deLadistribucindecargadeltomotienesimetraesfrica,demodoqueeltomoesnopolar.Consideremosunmodeloenelcualeltomodehidrgenoconsisteenunacargapuntualpositiva +e situada en el centro de una nube esfrica cargadapositiva+e situadaenelcentrodeunanubeesfricacargadauniformementederadioRycargatotale.Demostrarquecuandoeltomocomoestesesitaenuncampoelctricoexterno uniforme E el momento dipolar inducido es Fi 4 16externouniformeE,elmomentodipolarinducidoesproporcionalaE,esdecir,p=E,donde seconoceconelnombredepolarizabilidad.

Figura 4.16

Ejemplo4.12:Demostrarqueladensidaddecargaligadabdelassuperficiesdeundielctricoestrelacionadaconlaconstantedielctrica yladensidaddecargalibref dely g fsiguientemodo:

fb

= 11 Figura 4.17

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