cap20 - potencial electrico

5/11/2018 cap20 - Potencial Electrico

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Imagen cbrenlda par ordenador delpotencial eleetrostatlco en el plano deun dipolo eliktrico. E l potencialdebido a cada carga es proporcionala la carga e lnversarnenteproportional a la distancia.

Capitulo 20

Potencial electrico

Al estudiar la mecanica destacabamos la gran utilidad del concepto de energiapotencial. Si levantamos un obieto de masa m a una distancia vertical ITcercade la superficie terrestre, el trabajo realizado se convierte en energia potencialmgh del sistema Tierra-masa. Si dejamos caer el objeto. la energla potencial seconvierte en energia cinetica. La fuerza electrica entre dos cargas est!! dirigidaa 1 0 largo de la linea que une las dos cargas y depende de la inversa del cuadradode su separaci6n, 1 0 mismo que la fuerza gravitatoria entre dos masas. Comola fuerza gravitatoria, la fuerza electrica es conservativa, Existe una funcianenergia potencial asociada can Ja fuerza electrica. Como verernos, la energia po-tencial asociada a una particula en un campo electrico es proporcional a la carga.La energia potencial por unidad de carga se denomina potencial eJectrico. EI po-tencial elect rico se mide en voltios y frecuentemente se Ie llama voltaje. En estecapitulo definiremos la funci6n potencial electrico Vy calcularemos el potencialde una distribuci6n especifica de carga 0 de un campo electrico determinado.Posteriormente veremos la relacion que existe entre el potencial, el campo eIec-trice E y la energia potencial electrostatics. Finalmente comprobaremos que elpotencial electrico es constante en todos los puntos lnteriores de un conductoren un campo electrostatico.


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Secci6n 20-1 Potencial electrico y diferenda de potencial 657

20-1 Potencial electrico y diferenciade potencialEn general. cuando una fuerza conservativa F actua sobre una particula que ex-perimenta un desplazamiento d e la variaci6n de la Iuncion energia potencialdU viene definida par (ecuaci6n 6-17)

dU=-FdtEI trabajo realizado par una fuerza conservativa disminuye la energia potencial(figura 20-1). La Fuerza ejercida par un campo elect rico E sobre una carga pun-tual qo es

F=qo ECuando la carga experimenta un desplazamiento d ten un campo electrico E lavariacion de energia potencial electrostatica es

20-1Si la carga se desplaza desde una posici6n inicial Q hasta otra final b, la variaci6nde energia potencial electrostatica es

20-2

La variaci6n de energia potencial es proporcional a la carga testigo qQ. La va-riacidn de energia potencial por unidad de carga se denomina diferencia de po-tencial dV:

dUdV----Edlq o 20-30. Definicion de diferenciade potencial

Para un desplazamiento finito desde el punta a al punta b, el cambio de potencial es

20-3b

Figura 20-1 (a) EI trabajo rea liz ado po r el campo gravitatorlosabre una masa disrnlnu ye la energla potencial gravltator ia.(b ) E l trabajo reaJizado por e l campo electrico sabre u .n cargapositiva + q disminuye la energia potencial electrostjtica.

I + '1qEg \ ' T i e r r ! J I I(til ,CaT&


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6SS Capitulo 20 Potencial electrico

Alto V _i!J_ + _-- __

Figura, 20-2 Lineas del campocloktrico apuntando en la directiondel. potencial decreciente. Cuandouna carga de prueba positiva qo secoloca en un campo electrice, SI'acelera en la direcclon del campo. Suenergia cinetica aurnenta, y SI.!energla potencial disminuye.

La diferencia de potencial Vb- V . es 1 '1 valor negative del trabajo porunidad de carga realizado por el campo electrico sabre una carga testigopositiva cuando esta se desplaza del punta a a l punto b.

La ecuaci6n 20-3 define la variacion de la funcion V den.ominada potencial elec-trico (0 simplemente potencial). Del mismo modo que en el caso de la energlapotencial U, s610 tiene importancia la variacion de la funci6n potencial electricoV. El valor de la funci6n potencial electrico en cualquier punto queda normal-mente determinado escogiendo arbitrariamente V de modo que sea ceroen unpunto adecuado. (Par ejemplo, en la expresi6n de la energla potencial gravitate-ria proxima a la superficie de la Tierra, mgh, podemos elegir h Igual a cera encualquier punto conveniente, tal como 1 '1 suelo 0 la parte superior de una mesa.5i 51' trata de dos masas puntuales resulta en general mas convenients tomarcomo cera la energia potencial correspondiente a una separacion infinita.)Como 1'.1potencial electrico es la energia potencial electrostatlca por unidadde carga, 1a unldad SI para 1' 1potencial y diferencia de potencial es 1' 1 julio porculombio, Hamada voltio (V):1 V=1 llC 20-4

Como la diferencia de potencial se mide en voltios, a veces se Ie llama voltaje.En una bateria de autom6vil de 12 voltios, 1'1terminal positivotlene un potencialque es 12 V superior que el del terminal negative. Si a esta bateria se conectaun circuito externo y por e l circula una carga de un culombio desde 1 '1 terminalpositive a] negative. la energia potencial de la carga disminuye en Q .0 .V= (IC)(U V ) =12 J . Esta energla aparece en forma de energia termica en 1 '1 circui to.En la ecuaci6n 20-3 se observa que las dirnensiones de potencial son rambienlas mismas que las del campoelectrico multiplicado par la distancia. As! pues,la unidad de campo electrico E, 1'.1newton par culombio, es tambien iguaJ al vol-tio por metro:

1N/C=l VIm 20-5S i situarnos una carga de prueba positiva qo en un campo e le ctrico E y la de-jamos en libertad, se acelerara en la direccion de E a 10 largo de la linea delcampo. La energia cinetica de la carga se incrementara, y suenergia potencialdisminuira. Asi, la carga se mueve hacia una regi6n de menor energia potencialdel mismomodo que un cuerpo masivo cae hacia una region de menor energiapotencial gravitatoria, Para una carga testigo puntual, una regi6n de menorenergia potencial es una regi6n de rnenor potencial. Asi, como 51 ' indica en laFigura 20-2,

Las lineas del campo electrice sefialan en la dlreccion en la que disminuyeel potencial electrico.

Ejemplo 20-1Un campo electrico apuntaen la direccion x positiva siendo su magnitudconstante de 10 N IC=10 V1m. Determinar e l po tencial en Iuncion de x, su-poniendo que v=o para x=O.

EI vector campo electrico viene dado por E=(IO N/C)i =(10 VIm)i. Paraun desplazamiento general de, 1a vartaclen de potencial viene dada par laecuaclon 20-3a:

dV=-Edt'=-(lO V/m)Hdx i+dy j+dz k)=-(10 V1m) dx


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Seccien 20-1 Potencial electri.co y diferencia de potential 659

Integrando desde 1" 1 punto Xl' al Xl' 51 " obtiene Ia diferencia de potencialV(xl)-V(XI):V(x!)- V(xj)= I : - dV= t -(10 Vim) dx

=(10 VImJ(x2-x1) = (10VImJ(x1-x2 )Como e l potencial 1" 5 cera para x=O, sera V(x1)=O en x1=0. Pa r tanto e lpotencial en x2 relative a V=O en x=O, viene dado po r

a sea,V(Xl) = -(10 Vfm)x!

En un punta general x, el potencial esV(X)=-(10 VIm)x

E I potencial es cero para x = 0 y d isrnin uye en 10 V Im en la d ir ec cio n x.

Ejemplo 20-2Un proton de rnasa 1,67 X 10 27 kg y carga 1,6 X 10 10 C se situa en uncampo electrico uniforrne E = (5,0 N/C) i = (5,0 V /rn)l y desde el repose sedeja en libertad. tQue velocidad posee despues de recorrer 4 cm1

Cuandoel proton se rnueve siguiendo la linea del campo electrico, suenergla potencial disminuye y su energia cinetica se incrementa en igualcantidad, SegUn la ecuacien 20-3, la variacion del potencial electrico paraiU= 4cm=0,04 m es

dV=-[dl=-(S.O VIm iHdx 0=-(5,0 VIm) dxllV=-(S,O V/m)(0,04 m)=-Q,ZO V

La variacicn de energia potencial del proton viene dada por el producto desu carga par el incremento de potencial (ecuacion 20-3):6U=q 6V=(1,6XI0-19 C)(-0,20 V)=-3,2XI0-IO J

De acuerdo can el principle de conservaci6n de la energla, la perdida deenergia potencial es igual a la ganancia de energia cinetica. Como el protonparte del repose. su ganancia en energia cinetica es +mv2 , siendo l! lavelocidad que posee despises de recorrer los 4 em. Tenernos, por tanto,AE


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660 Capitulo 20 Potencial electrtco

Potencial debido a unacarg~ puntaa!

Potencial debido a Unclcarga puntua! can V=Opara r= 00

unidadesentre electron-voltios y julios se obtiene expresando la carga electroni-ca en culombios:

leV=1,6X10 IQ CV=1,6XIO-19 J 20-6En el ejemplo 20-2 la variacion de energia potencial del proton despues de reco-rrer 4 em es

AU=.q AV=e (~0.20 V)=~0,20 eV

Cuestiones1. Explique eJ lector con sus propias palabras la diferencia entre potencial elec-

t rico y energia potencial electros ta tica.2. Si una carga testigo se traslada una pequefia distancia en la direccion de uncampoelectrrco, Laumenta a disminuyesu energia potencial electrostatica?LDepende la respuesta del signa de la carga? tDepende la variacion de poten-cial del. signa de 1a carga testigo?3. tEn que direcclon podrernos movernos respecto a un campo electrico demodo que el potencial electrico no varie?4. Se deja en libertad desde e! repose una carga posit iva en el interior de uncampo electrico. LSe movers hacia una region de mayor a menor potencialelectrico7

20-2 Potencial debido a un sistemade cargas puntuales

El potencial electrico debido a una carga puntual q en el origen puede calcularsea partir del campo eiectrieo,el eual viene dado porE= kq Fr

Si una carga testigo qo ala distancia r experiments un desplazarniento d(=dr r,la variaci6n de su ene rgia potencial esdU=-qo E dty el cambia de potencialelect rico esdV=-E.de=~ kq r.dr r=~ kq drr r 20-7

Integrendo seobtiene

V= + .kq +Vor

2:{}-8

en donde V o es una constante de integraci6n.Es costumbre definir el potencial cero a una distancia infinira de la carga pun-tual (es decir, para r=cc). Par tante,la constante V o es cere y el potencial auna distancia r de la carga puntuaJ es

v=_!sg_r v= o para r= 00 20-9

EI potencial es positive 0 negative segun e! signa de la carga q.


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Seccicn 20-2 Potencial debido a un sistema de cargas puntuales 661

Si una carga testigo qo se deja en libertad en un punto situado a una distan-c ia r de una carga puntual q que Sf mantiene [ija en el origen, la carga testigoes acelerada en la direccion del campo elect rico. EI trabajo realizado por el cam-po electrico cuando la carga testigo se mueve de r a co es

w = J " "7 0 E.dt=qoJ '"E, dr=qn f ' " k:; dr= kqqo_1 r " rEste trabajoes la energia potencial electrostatlca del sistema Formado par las doscargas:

U=kqq~=qo Vr

La energia potencial es, par tanto, el trabajo realizado par el campo electricocuando Jacarga testigo se desplaza de r


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662 Capitulo 20 Potencial electrlco

Ejemplo 20)(al LCual es el potencial electricoa una distancia f=0,529X10-\0 m de unproton? (Esta es l a d is ta n cl a media entre 1" 1proton y elelectrcn en 1"1atornode hidrcgeno.) (b ) [eua! es la energia potencial del electron yel proton a estaseparacion?

(.a) La carga del proton es q= 1,6 X10-10 C. Segu n la ecuaci on 20-9:v = J : . : L (8,99 X 109 N m2/(l)(1,6X 10-10 C)

r 0,S29XI0-\0 m=2.7,2 J/C=27,2 V

(b ) La carga del electron es -e= -1,6 X10-\9 C. En electr6n-voltios, laenergla potencial del electron yel proton separados una distancia de0,529 X 10-10 m esU=qV=-e(27,2 V)=-27,2 eV

En unidades 5 1 , la energia potencial 1" 5U=qV=(-1,6XI0-10 C)(27,2 VJ=-4,35XlO-\8 J

Para determinar el potencial en un punta causado par varias cargas puntua-Ies. hay que calcu lar 1"1potencial en dicho punto debido a cada una de las cargaspar separado y surnar rodos ellos, Esta es una consecuencia del principia de su-perposicion del campo electrko. S i E , es el campo electrko en un punta debidoa la carga q " el campo neto en dicho punto producido por todas las cargas es

Par tanto, segun la definicion de diferencia de potencial (ecuacicn 20-3) resultapara un desplazarniento c ieciV= -Ed(=-EId(.-E~cie- ...=dVl + c iV 1+ ....5i la distrlbuclon de carga es [inita. es decir, si no hay cargasen el infinite, pede-mas considerar quees cero el potencial en el infinite y usar la ecuaci6n 20-9 parae! potencial correspondiente a cada carga puntual. El potencial debido a un siste-ma de cargas puntuales q, sera por tanto

2010en donde la surna debe extenderse a todas las cargas y f,O es la distancia desdela carga i al punta P donde deseamos calcular el potencial.

Ejemplo 20-4Dos cargas puntuales positives e iguales de magnitud +5 ne seencuentransabre el eie x. Una esta en el origen y la otra en x=8 cm,como indica la figu-ra 20-4. Determinar el potencial (a J en 1 "1 punta PI sabre el eje x en x = 4.emy (b) en el punto p~sobre el eje yen y=6 cm.

(a ) El punta PI dista 4 cm de cada una de las cargas, 5ustituyendo en Jaecuaci6n 20-10 los valores QI=q.""5 nC y r\0=r,0=0,04 m, resulta para elpotencial en dicho punlov = E kql =~+ kqj

r,o flO f,O

=2 X (8,99 X 109 Nm~/Cl)(S X10-9

C) 2250 V0,04. m


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Seccion 20-2 Potencial debido a lin sistema de cargas puntuales 663

!!.cm Figura. 20-4 Sobre e! eje x hay dos cargas puntuales positivas(ejernplo 20-4). Se trata de determinar el potencial en 10 -puntos p] y P,.

P I+ __._..J.I_..__ ......._'---....L..---'-_ + _L- _/ 234567R9

Scm

\ ' l - 1)2 = 5 nCv.cm

ql=5nC

Observese que el campo electrico es cero en este punto a mitad de caminoentre [as cargas, pero 1"1potencial no 1 0 es. Para transportar una carga testigodesde una larga distancia hasta este punta se requiere trabajo, pues el campoelectrico 5610 es cere en la posicion final.(b ) El punto Pz dista 6 cm de una de las cargas y ]0 ern de la otra. El po-tencial en este punto es, par tanto,

V= (8,99XI09 Nm1/C1)(5XIO-9 C J0,06 m

+ (8.99 X109 Nm1ICl)(5XI0-9 C)0,10 m

=749 V+4S0 V=1200 V

Ejemplo 20-5Una carga puntual q , esta en el origen y una segunda carga puntual q 2 estasobre 1"1eje x en x=a, como indica la Figura 20-5. Determinar el potencialen cualquier punta del eje x.

Dlvidiremos eleie x en tres regiones. a la derecha de ambas cargas, es de-cir, .1 '>1.1 , entre las des cargas O


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664 Capitulo 20 Potencial electrico

:

,,-t. '1

y

-11 - -'J

Figura 20-6 Dipole electrico sobre eleic z para el eiemplo 20-6.

,1

,,""-,"- , v 2 1 1" n"",,",",","," C

Figura 20-7 Cuadrado de lado 11 parael ejernplo 20-7.

Ejemplo 206Un dipole electricoconsta de una carga positiva +01 sobreel eie ze n z==+ay una carga nega tiva -01 sobre el eje z en z= -Q(figura 20-6). Determi na rel po t encial sob re el eje z a una. gran distanci a del dipolo.

Segu Ia ecuacion 20-10, tenemosv=__!q_+ k( q ) = 2kqaz-a z+ a z~-al

Para z s- a. podernos despreciar al frente a z~ en 1"1denom inador. PartantoV- 2 kq a _ kp----~--

1;2 Z220-11

en donde p = 2 q a e s la magnitud de l momenta dipolar.

20-3 Energia potencial electrostaticsS i tenemos una carga puntual Ql' el potencial a una distancia r12 de la misma,viene dado par

El tr ab ajo n ec esa rio para rrasladar una segunda carga pu ntu a] qz desde 1"1infi-nita hasta una distancia I"n es W Z=Ql V=kQ101ZI1",Z' Para transporter una terce-ra carga, debe realizarse traba]o contra 1"1campo electrico producido par arnbas0 1 1 y ql' El trabaio necesario para transportar una tercera carga 'I. que dista rjlde ql Y r2J de'll es W J = kqJq 11r13 +k'l]q2/ [23. E l trabajo total. para reunir las trescargas es, por tanto,

W= k q , _ ' 1 2 + kqlq] + i


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Seccion 20-4 Calculo del potencial electrico en distribuciones continuas decarga 665

E I punta C dista a del punta By 2 a del punta A. EI po tenci al en C debidoa las ca rgas en A y B es

Vc=__9_+B__a noPor tantorel trabajo necesario para transportar una.tercera carga qal punta C es

W =qV =kqq +kqql ( a ...f2 aEinalmente el eraba]o necesario para lIevar la cuarta carga a 0 cuando lasotras tres cargas est ian ya en su sitio es

w =kqq +kqq + kqq4 a a -Jia

EI t rabajo total requerido para reunir lascuatro cargas en la disposici6n indi-cada es

Este rrabajo es la energia electrostastjca de la distribuci6n de carga.

20-4 Calculo del potencial electricoen distribuciones continuas de carga

Enesta seccion calcularemos V para algunas distribuciones importantes de cargacontinua. E I potencial debido a . una distribucion continua de carga puede caku-larse mediante la ecuaci6n 20-3. si se conoce el campo electrico, 0 mediante laecuaci6n 20-10 eligiendo un elemento de carga dq que puede considerarse comouna carga puntual y transformando Ia su rna en una integral:

v = f ~ o r 20-12I1ustraremos 1a aplicaci6n de 1a ecuaci6n 20-12 mediante e! calculo del potencialelectrico sabre el eje de un anillo y sobrc el eje de un disco uniformemente car-gados.

Potencial sobre el eje de un anillo cargadoConsideremos un anillo uniformemente cargado de radio a y carga Q. como indicala Iigura 20-8. Sea dq un elemento de carga del anillo. La distancia desde e ste e le -menta de carga al punto del campo P sobre el eie del anilloes r=.Jx 2+ a 2 Como esta distancia es la misma para todos los elementos de carga sobre el ani-1 1 0 . puede sacarse fuera de la integral en la ecuaci6n 20-12. EIpotencial en el pun-ta P debido al anillo es pues

v = f ~rd = f ~k~~dq-,-,x~+a220-13

Potencial debido 0 unadistribucion continuade carga

Figur.a 20-8 Gecrnetria para elca lcu lc de l po tenc ia l e lec tnco en unpunto situado en el eje de un anlllode radio a uniforrnernente cargado,


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666 Capitulo 20 Pctencialelectrtco

Ejernplo 20-8Un anillo de radio 4 em posee una carga uniforrne de 8 nC. Una pequeria par-tieula de rnasa m=6 mg=6XI0 b kg y carga '70=5 nC se situa en x=3 erny se deja en Iibe rtad ..Determ ina r la velocidad de Ia ca rga cua ndo se encuen traa gran distancia del anillo

La energia potencial de Ia carga q D en x=3 em esU=qoV=. J ;~~~

(8,99 X 109 N m2/Cl)(8 X 10-9 q(5 X 10 9 C).)(0,03 m)I+(O,04 m)l

=7,19XIO JA rnedida que la partieula se mueve alejandose delanillo y siguiendo el ejex, su energia potencial disminuye y su energia cinetica crece. Cuando la parti-cula esta muy lejos del anillo, su energia potencial es cera y su energia cineti-ca es 7,19 X 10-0 J . Su velocidad viene dada par

- tmu2=7,19XIO' J2(7,19XIO -6 J )6X10-'kg 1,55 rn/s=

EjercicioLCua! es la energia potencial de la partfculaenel ejempJo 20-8 cuando seen-cuentra a la distancia de x=9 em? (Respuesta: 3,65XlO-b J )

Potencial sobre el eje de un disco uniformemente cargadoUtillzaremos ahora la ecuacion 20-13 paracalcular el potencial sabre el eie deun disco uniforrnemente cargado .. E I disco tiene un radio Ryes portador de unacarga total Q . La densidad de carga superficial sobre el disco es. por tanto,0=Qhr R 2 . Tom aremos como eie x el eje del disco y consideraremos el discocomo una serie concenrrica de cargas anulares. La Figura 20-9 muestra uno deestes anillos de radio a y anchura da. EI area de este anilloes 2 7 r a da Y Sl.l cargaes dq = o dA = u2 11 "a da .. E I potencial en un punta P sabre el eje x debido a esteelernenro anular de carga viene dado por laecuacion 20-13:

dV k dq k2 1rua da{x1+ aZ)1flFigura 20-9 Ceornetria para el calculo de potencial electricoen un punlo ~ituado sobreel eje x de un disco de radio Runiformernente cargado, E I disco se divide en anillosconcentricos de radio II yespescr da, t ransportando cadauno 10 carga dq=".dA={Q17rR') 211"!lda .

E I potencial sobre el eie del disco se calcula integrando desde a = O hastaa = R :

V=I: k2 1ro a da(.l-Z+ a1.)I ' :


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Seccion 20-4 Calculo del potencial electrico en disrribuciones continuas de carga 667

Esta integral es de la fonna [u" du con u=..tl+a2 y n=-~. L a integraci6n nos da

20-14

Potencial en las pr oxirnidades de un plano infinitode carga: Continuldad de VSi R se hace rnuy grande, nuestro disco se aproxirna a un plano infinite. CuandoR se han! infinito, la funcion potencial (ecuacion 20-14) se hace infinita. La ecua-cion 20-12 no puede aplicarse a las distribuciones de carga que se extienden hastael infinite, como son las lineas 0 los planes de carga infinitos, ya que el potencialno puede elegrrse igual a cera en 1"1infinite. Para estes casas, deterrnlnarnos enprimer lugar e! campo electrico E (par integracicn directa 0 mediante la ley deGauss) y luego calcularnos el potencial a partir de su definicion, segun la ecua-cion 20-3. Si se trata de un plano infinito de carga de densidad (1situaclo en e!plano yz, e! campo eJectri.co para vaJores positives de x viene dado par

E=_(1_i2e o

EI potencial se calcula a partir de su definicion (ecuacion 20-3). Si 1"1potencialen e l plano y. z donde x=o es Vo, 1"1potencial en cualquier valor a rbitrarlo po si-tivo de xes f ' . f ' (J'.. (J' f ' , (1(xj- Vo= - Edt= - _- -!dx !=- -- dx= - -- xo 0 2Eo 2Eo 0 2oa sea,

V(x)=Vo - _(1_x2 oPara valores positives de x, el potencial tiene su valor maximo Vaen x=O ydisminuye linealmente can la distancia desde 1"1plano. Como e1 potencial notiende a un valor limite cuando r tiende a infinito, no podernos elegirel potencialcera para. x= Q;I. Sin embargo, si podemos escoger V de modo que sea cera en.1;=0a en cualquier otro punta. Para Xo 20-1Sa

E=- _o_iz-,Repitiendo 1"1alculo para 1"1potencial, usando estaecuaci6n para el campo elec-trico, results

v (x)= Vo,+-(1-x2~Como .r es negative en esta ecuaci6n, el potencial tiene su valor maximo Va enx=O, y de nuevo decrece linealmente con la distancia desde 1"1plano. La Figura20-10 muestra un grafico de Ven funci6n de x. Observese queesta Fundan escontinua en x=O, incluso aunque 1"1campo elect rico E, sea alli discontinue. Enel capitulo 19, vimos que 1"1campo electrico es discontinuo en 1"1valor "hoenun punta donde exista una densidad superficial de carga (1. La funci6n potencial,par otra parte, es continua en. todos los puntos del espaclo. En efecto, considere-mos dos pu,ntos proximos Xl y Xz. Si Vl es el potencial en XI y Vz 1"1potencialen x!. la diferencia de potencial puede escribirse en la forma

X


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Figura 20-11 Una carga puntual en elorigen y 1.Inplano infinite de cargaen x=-II, correspondierue a. lejemplc 20-9_

Ejernplo 20-9Un plane infinito de densidad de carga a es paralelo al plano yz en .x=-ay una carga puntual q estaen 1 " 1 origen, como indica la Figura 20-n. Determi-nar el potencial en un punta P situado a la distancia r de la carga puntua!.para x> -11 (es decir. a la derecha del plano de carga},

,~-t

IT -t~.j'

_ _ , . .t.t

.t .t .j'. . . -r-t' .t -I'-I' -r p-t . . . . /-t-r . . . .. . . . . . . . q r

:E! potencial Vplano a una distancia x' del plano infinito, debido a la cargasabre el plano, viene dado por la ecuacion 20-15a,en donde x se reernplazapar x';

Vpl,n,,=A- -Zax'fa

siendo x' = x +a y A una constante que depende de la eleccion del po tencia Icera. Como no podemos elegir el potencial cero a r= 0:>, utilizaremos la ecua-cion 20-8 para expresar 1"1.potencial debido a la carga puntual en el origen.v = kq +8q r

en donde 8 es una constante que depende de laeleccion del potencial cera.E l potencial debido a ambos, 1"1plano infinito de carga y la carga puntu al, es

=~ - __! !__ x' +C 20-16I' 2fo

en don de hernos comb inado las constantes.A +B = C. Elegimos el potenci alnulo en el punto en el cual el ejex carta al plano infinite de carga. Las coorde-nadas de este punta son x=-a, y=O, z==O . En este punto x'=O y r=u.La ecuacion 20-16 nos da

V=+~+C=Oa,_ kq.a


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Seccion 20-4 Calculo del potencial elect rico en distribuciones continuas decarga 669

que deterrnina la constante C. En cualquier punto general, 1"1potencial vienedado porV= kq _ .ss : _ _!!__x'= kq _ .s s: _ _!!__ {x+al

r a 21"0 r a 2e oEn coordenadas rectan gulares r=Xl +yZ + z Z ) 1 ' Z y V viene dado por

Potencial en el interior y enel exteriorde una. corteza esferica de cargaAcontinuaclon detarminaremos el potencial debido a una corteza esferica de ra-dio R y carga Q distribuida uniformemente en su superficie. Estamos interesadosen h allar 1"1potencial en todos los puntas en 1" 1interior y en el exterior de Ia corte-za. Puesto que esta distribuci6n de carga es deextensi6n fini ta, podria mos caleu-lar 1 " 1 potencial per integraci6n directa de 1 2 1 . ecuaci6n 20-12, peroesra integrad6ne s c omp le j a, Como e l campo electrico para esta distribuci6n de carga se obtienefacilmente mediante 1 2 1 ley de Gauss, es meier utilizar la ecuaci6n 20-3 y obtener1" 1potencial a partir del campo electrico conocido . ~Fuera de I a corteza, 1 " 1 campo electrico es radial yes 1 " 1 m i s m o que S I toda lacargaestuviera en e! origen:

E I cambia de potencial correspondtente a un desplazamiento dll=dr r fuera dela corteza es, por tanto,dV=-E.dlo;- k_Qi-dr r=- kQ drr ,~

Esta es la rnisma ecuaci6n 20-7 para una carga puntual en 1"1origen. Integrandos e c obtienekQV=-- +Vor

en donde Vaes el potencial para r= co, Eligiendo el potencial nulo para r= coresulta

V= kQ r>RrDentro de la corteza esferica, el campo electrico es cero. La variacicn de poten-cial en cualquier desplazamiento dentro de la corteza es, par tanto, cere. As!pues, el potencial sera constante en todos los punt os dentro de la corteza, Cuan-do r se aproxima a R desde el exterior de 1 2 1 corteza, el potencial se aproxirnaa kQ I R , Por tanto, 1 " 1 valor constante de V en el interior debe ser kQIR paraque V varie de modo continuo, Asi,

J Q_ rsRV= RkQ rte Rr

, EIdkulo del campo elecrrico E para una cortez a esfericQ unilormemenle ca rgada por integraciondirecra de la ley de Coulomb es todavia mas difidl que la lntegraclcn para determlnar V. pues Ves un escalar, mientras que Ee s un vector, El c alculo directo de E t1 S sernejante al calculc del campogravilatorio debido a una cortezaesferica (seccion 10-71,

Potencial debido a unacorteza esjerica


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670 Capitulo 20 Potencial el.ktrico

Figura 2012 Potencial electrico de una correza esfericauniformemenle cargada de radio Ren funci6n de I ';] distanti;]1 a! centro de Ia corteza. Denrro de ella el potencial tienevalor consrante kQI R. Fuera de la corteza el potencia I es elmismo que el originado por una carga puntual en el centro del a { 's F e- !7 .I .

v

, f . / . r

R

Esta funci6n potencial viene representada en la figura 20~12.Un error frecuente es pensar que el potencial' debe ser cera en el interior deuna corteza esferica porque eJcampo electrico es cero. Realmente, eJcampo elec-trice nulo irnplica simplemente que el potencial no varia. Consideremos una cor-teza eslerica con un pequefio orificio, de modo que podemos mover una cargatestigo dentro y Iuera de la corteza. Si desplazarnos la carga testigo desde unadistancia infinita hasta la corteza, el trabaio por unidad de carga que debemosrealizar es kQIR. Dentro de la corteza no hay campoelectrtco y par 1 0 tantono es necesario realizar ningun trabajo para mover la carga de prueba en el inte-rior de lacorteza, La cantidad total de trabajo por carga que se necesita parallevar Ia carga de prueba desde e! infinito hasta cuaJquier punto en el interiorde la corteza coincide con el trabajo necesario para llevarla hasta la corteza deradio R, que es kQIR. Por consiguiente, el potencial es kQIR en todos los pun-tas del interior de la corteza.EjercicioLeUa] es el potencial de una corteza eslerica de radio 10 cm que posee unaca rga de 6 p..C7 (Respuesta 5,39X105 V=539 kV)

Potencial proximo a una carga lineal infinitaCalcularemos ahora el potencial debido a unacarga lineal uniforrne infinita. Su-pongamos que la earga por unidad de longirud sea > . . Puesto queesta distribu-cion de carga se extlende hasta el infinito no podemos utilizar la ecuaci6n 20-12para hallar el potencial. En el capitulo 19, vimos que el campo electrico produci-do par una carga llneal infinita apunta en direcci6n que Ie aleja de la linea (si> . es positivo) y viene expresado par E,=2k>'lr. La ecuacion 20-3 nos da para lavariaci6n del potencial

2k>'dV=-Edt=- dr=- ~~~dr, rIntegrando resulta

20-]8Para una carga lineal posiriva las lineas del campo electrico se alejan de la lineayel potencial disminuye al aumentar la distancia a la linea de carga. Para valoresgrandes de r e! potencial disminuye sin limite ..Por tanto no puede tornarseel po-tencial como cere para r= 00. (No puede escogerse el valor cera para r= 0, puescuando I' sea proxim a a cera, In I" t iende a - 00 ). En su Iugar, se el ige como po-tencial' cero el correspondiente a cierta distancia r= a. Sustituyendo r=a en laecuacion 20-18 y haciendo V =0 se obtiene

V=0=Vo-2k>' In ao sea,

V~=2k> ' In Q

. . .


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Seccicn 205 Campo eleerrico y potencial 671

POf ta nto , la ecu acci6 n 20~18 se convie rte enV=2k}" I n a-2k>.. I n I'

es deci r ,

,II1 V=-2k>.. In/a 20-19Cuest ioness. En eJ calcu lo de V para un anillo de ca rga L tiene importancia e l que la ca rga

Q este d isrribu ida unifo rmemente a 1 0 la rgo de l an illo? L Serian dife rentesV 0 E, si no fuese asi?6. S i e l po tencia l e lec trico es conslante a traves de una de te rm inada r~ gi6 n de lespacio, Lqu e puede deci rse acerca de l cam po elect rico en la m isma7

20-5 Campo electrico y potencialL as lineas de l campo e lec trico se fia lan en la direcc i6 n de l po tencia l decreciente.S i e J p o te n ci a I es conocido , puede u ti I izarse pa fa ca leu 1a r e l ca m po el ecer ico.Considerernos un pequefio desplazamiento deen un campo electricc arbitrarioE. L a varlacion de po tencia l es

dV=-Edf=-Ec d J 20-20ell donde E e e s e l componente de E para le lo a l d esp la za rn ie nto . D iv id ie nd o pord , resul ta

Ee=- dVd ,Si 1"1desplazarniento de es pe rpendicu la r a l campo e lec trico , e l po tencia l no

varia . L a variac i6 n mas grande de V se produ ce cuando el desplazamiento diesparalelo a arvtiparalelo a E . Un vecto r q ue senala en la direcc i6 n de la maximavariac icn de u na funci6 n escalar y cuyo m6 du lo es igual a la de rivada de la fun-cion can respecto a la d istancia en dich a direcc i6 n, se denomina gradiente de laIuncio n. E l c am po elec trico E es opu esto al gradiente del po tencia l V . L as !ineasd e c am po senalan en Ia direcc i6 n de maxim a disminucion de la fu nc i6 n poren-cial, E n no ta ci6 n v ecto ria l, el grad iente de V se escribe V V . Asi ,

2021

E=- VV 2022L a F ig ur a 20-13 rnuestra la s lineas de l cam po electrico debidas a una ca rga

puntual q situada en 1"1o rigen. 5 1 desp lazamos una ca rga de prueba pe rpendicu -la rm ente a estas lineas. no se rea llza traba jo y el po tencia l no varia . U na superficieso bre la cu al 1 '1po te ncia l e le ctrico e sco nsta nte se de no mina su pe rfic ie eq uip oten -c ia l, Pa ra e l p oten cia l V=.kqlr producido po r una ca rga puntua len e l o rigen,la s su pe rfic ie s eq u i po tcncia II'S so n su perfic ies esfe ricas de fin idas po r r = cons-tante. Mas ade lante en este capitu lo ve remos qu e la supe rfic ie de cu alqu ie rcondu cto r en equ llib rto elec tr osta tico es una superfic ie equ ipo tencial. L as lineasdel cam po e lec trico son siem pre pe rpendicu la res a una superfic ie equ ipo tencia l.L as llneas de campo e lec trico co rrespondien tes a una ca rga puntu alen e l o rigenson lineas rad ia les y las supe rfic ies equ ipo tenciales son esle ras, U n desplazam ien-to pa ra le lo a un campo elec trlco rad ia l se escribe en la f o rma d'e=drr y laecuac i 6n 2020 se convie rte en

dV=-Ede=-[dl' r = -E, drdVE=-~, dr 2023

Potencial debido a una cargalineal con V=O para r=a

Figura 2013 Lineas de fueza ysuperficies equiporenciales de unacarga punrual Ij. Las Iineas de Iuerzason radiates y las superficiesequlpotencia les son esFericas. Laslineas de Iuerza son en todos lospuntos perpendiculares a lassuperficies equipotenciales.


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672 Capitulo 20 Potencial elecrricc

Para cualquier distribuci6n de carga esfericamente simetrica, el potencial. varia5610 con r, yel carnpoelectrico esta relaclonado con el potencial par la expresion

E . . - I"'rv- dV A- . . . . . . . . , _ v - - --rd rPara ur i campo alec t rrco uniforme en. la direcci6n x, por ejemplo, como elproducido par una carga plana infinita en el plano yz, la s line as del campoelectrlco son paralelas a 1 3 direcci6n x y las superficies equipotenciales son

planes paralelos al plano yz . . Entonces, la f un cio n potencial V puede dependers610 de x. EI vector desplazarnlento que es oaralelo a este campo viene c1ado parr.l.f.=dx i 20-25

En estc case. la ecuaci6n 20-21 es. dVE =----., dx

y el campoelectrico esE=- dV idx 20-26

En general, la fund6n potencial puede depender de x, y, z , Los componentesrectangulares del campo elecertco estan relacionados con las derivadas parcialesdel potencial respecto a .r, y 0 z, mientras las otras variables se mantienenconstantes. Par ejernplo, el componente x del campo eli-drico viene dado por

a vE=--, a x 20-27aDe igual modo, los componentes y. z del campo electrico estan relacionados conel potencial par

B VE=--." Byy a vE=--. 8z 20-27bAsi, pues, la ecuacion 20-22 en coordenadas rectangulares es

E=- v : V = - ( 8Vi+ 8Vj+ a v k)a x 8y 8z 20-28Eiernplo 20-10

Determinar el campo electrico para la funci6n potencial eiectrico V(x) dadapor V"r=100 V-(25 V/m)x.Esta funci6n potencial depende s610 de x . El campo electrico resultaaplicando la ecuaci6n 20-26:

E=- dV= +(25 V/m) jdxEste campo electrico es uniforme y tiene la direccion x . Observese que laconstante 100 V en laexpresi6n de V(x) no tiene efecto alguno sobre el campoelectrico. El campo electrico no depende de la elecci6n del cera para lafund6n potencial.


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Seccicn 205 Campo eh\ctrico y potencial 673

Ejercicio(a ) tEn que punto es V=O en el ejernplo 20107 (b)Escribir la Fundan poten-cial correspondiente al mismo campo electrico con V=O en x=o. [Respues-tas: (a ) .\:=4 rn, (b l V=-(25 V/m)x)]

Ejemplo 2011Determinar elcampo elecrricocorrespondiente a la distribution de carga deldipolo del ejernplo 206.

En este ejemplo virnos que e1 potencial sobre el eie z a una gran distanciadel dipole era.. kpV=- Zl

en donde p=2qa es la magnitud del. momento dipolar. EI campo e lecrrtco enun punta del eje z viene dado por

dVE=--kdzkp 2kp=-(-2-k=-kZ3 Z3

que coincide can el obtenido directarnente a partir de ia ley de Coulomb(ecuacion 1810)..

Eiernplo 2012Utilizar las funciones potenciales obtenidas en la secci6n anterior para el po-tencial sobre e l eje de u n a nillo y un disco uniformernente cargados, a fin dedeterminar el campo eleclrico sobre el eje de estas distribuciones de carga ..El potencial sabre el eje de un anillo uniformemente cargado, de carga to -tal Q, viene mediclo par Ja ecuaei6n 2013,

v kQEI campoelectrico es, par tanto

E =- dV i= _( __ 1 . .- ) .kQ(X~+ a2)- .1 2(2.\:)idx 2kQx

(x 2 +a"p!Este valor es el rnisrno que el de la eeuaci6n 1912 que encontramos directa-mente de la le y de Coulomb.

E ! potencial sobre el eje de un disco uniforrnernente cargado viene dadopor la ecuaci6n 2014:

De nuevo el campoelectrlco se determina a partir del gradiente de esta expre-si6n:

E=-~=27rkcr(l- : / + R l ) iEste resultado coincide con la ecuaci6n 1913 que obtuvimos por calculo di-recto de la ley de Coulomb.


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674 Capitulo 20 Potencial electrlco

20-6 Superficies equipotenciales. distribuci6nde carga y ruptura dielectricaYa vimos que no existe campo electrico dentro de un conductor en equilibria es-tatico. Par tanto, no se aplica fuerza alguna sabre una. carga testigo nl Sf verificaningun trabajo cuando esta carga se mueve en el interior de un conductor. El po-tencial electrico es el mismo en todo el conductor, es decir, el volurnen ocupadopor el conductor es un volume.n equipotencial. Una superficie sabre la cual el po-tencial es constante. constituye una superficle equipotencial. La superficle de unconductor es una superficie equipotencial. Si una carga testigo experimenta undesp!azamiento dt'para!eloa una superficie equipotencial, dV=-Edl=O, demodo que las lineas del campo elect rico son perpendiculares a la superficie equi-potencial. Las Figuras 20-14 y 20-15 muestran superficies equipotenciales pr6xi-masa un conductor esferico y a un conductor no esferico. Observese que las Ji -neas de campo son perpendiculares en todos los puntas a estas superficies. Si nosdesplazarnos una corta distancia d! a 10 largo de la linea del campo, desde unasuperficie equipotencia.l a otra. el potencial se modifica en dV=Edt'=-E dt;Si Ees grande, las superficies equipotenciales con una dilerencia de potencial fijaentre ellas, estan mas apretadas que cuando E es pequeno ..

v =cons: ante

V=CQnS lan l~

Figura 20-14 Superficies equipotenciales y llneas del campoelectrico exteriores a un conductor esferico un'forrnernentecargado. Las superficies equ ipctenciales son eslericas. Lasllneas de luerza son radlales y perpendlculares a lassuperficies equ ipotenci ales.

Figura 2015 Superficies equlpotenciales y lineas del campoelectrico exteriores 11 un conductor no esferico, Las lineas delcampo electrico son siempre perpsndiculares a las superficieseq uipotenciales.

Ejemplo 20-13Un conductor eshhico hueco descargado posee un radio interne a y un radioexterno b. En el cen tro de .1 a. cav idad esferica existe una carga puntual + q.Determinar el potencial V(r) en cualquier punta, suponiendo que v= o parar= oo .

Como se dlscutio en el capitulo 19, las lineas del campo electrico proce-dentes de [a carga puntual, terminan sobre Ia superficie interne de [a cortezaen r=a, en donde existe una carga inducida -q, uruformemente distribuidasabre la. superficie interna. Como la corteza conductora esta descargada,existira una carga positiva + q distribuida uniformemente sobre la superficieexterior en r= b. Tenemos, par tanto, tres cargas, una carga puntual q en elorigen, una capa esferica de carga total -qy radio Q, y una segunda capaesferica de carga total +q y radio h. Exteriormente ala esfera, el campo elec-


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5ecci6n 20-6 Superficies equipotenciales, distrtbucien de carge y ruptura dlelectrica 675

trice es 1 " 1 misrno q LIe5 1 1 0 1 corteza no est uviera y v iene dado par E , = kq 1/1..El potencial electrico fuera de la corteza esV=.l!L r>br

Como 1 " 1 potencial e l e c t r i c o debe ser continuo en t o d a s partes, 1 " 1 .potencialen r = b es V = kq lb ..Este es e l valor del po tend al en todos los pun tos interi o-res al material conductor, ya que este tiene un volurnen equipotendal. Partanto,V= kq

bDentro de la cavidad, 1" 1campo electrico es de nuevo Er=kqlr2. Par consi-guien te . 1"[ potencial para r < a es

en donde Vo es una constante. Esta constante no esta determinada por lacondicion V=Q para 1'=00, ya que rna puede ser infinite dentro de la cavi-dad. En su lugar, deterrninaremos la constants V o sabiendo que V debe sercontinuo en. r=Q. Como V=kqlb en todos los puntas interiores al conduc-tor, tendra este mismo valor para r=a. Asi, en r=a tenernos

10 cual sigrufica quev =.l!L _ kqc b a

Dentro de la cavidad, el potencial viene dado porV= kq i.s s : _ .E Lr b a

La fjgura 20-16 rnuestra un grafico de V en funci6n de r ,r ;a

v

kq/T ,

Figura 20-16 Representacion grafica del potencial electrico Vpara una carga puntual en el centro de un conductor esfericoy huecc, sin carga (ejemplo 20-13), en Funcion de la distanciar desde elcentro de Ia cavidad. Dentro de! materialconductor. deride II .:;;r .:;; b, el potencial tiene el valorconstante ka! b. Fuera de lacorteza, el potenciales el m lsrnoque ccrresponderiaa una carga puntual,

r'/I If,, II II II III~ & ~ + :


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676 Capitulo 20 Potencialelectrico

En general. dos conductores que estan separados en elespacio no esraran alm.ismo potencial. La diferencia de potencial en tre los cond ucrores depende de suslormas geometrlcas, de su separacion y de la car-ga neta situada sobre cada con-ductor. Cuando se ponen en contacto dos conductores, la carga situada en eliasse distribuye por 5 1 misma. de modo que en equilibrio electrostatico el campoelectrico es cere en eJ interior de ambos conductores. En estecaso los dos con-ducrores en contacto pueden considerarse como un solo conductor. En elequili-brio ambos conductores tienen el mismo potencial La translerencla de carga des-de un conductor a orro se denomina dlstribucion 0 reparto de carga.Consideremos un conductor esferico de radio R que posee una carga +Q.Las lineas de uerzaen el exterior del conductor sefialan radialmente hacia fueray el potencial del conducto r respecto al infin i to es kQ /R. Si le acercarnos un se-gundo conductor tdentico pew no cargado, el potencial y las lineas de campovaria ran. Los electrones negatives situados sabre el conductor no cargado seranatraidos par la carga positiva Q, dejando que Ia parte mas proxima del conduc-tor no cargado tenga una carga negativa y la mas alejada una carga positive (fi-gura 20-17). Esta separaci6n de cargas en el conductor neutro influira en la distri-buci6n de carga uniforme original que existia en el conductor cargado. Aunqueel calculo derallado de la distribucion de cargas y de potenciales es muy cornpli-cado. en este caso podemos ver que parte de las lineas de campo que salen delconductor positive terrninaran en la carga negativa situada en la parte mas pro-xima del conductor neutro y que un nurnero igual de lineas saldran per Ia partemas alejada de dicho conductor. Como el potencial disrninuye cuando nos rno-vernos a 10 largo de una linea de campo, el conductor cargado positivamenre tie-ne un potencial mas alto que el conductor neutro.

Figura 20-17 Lineas de campo electnco ccrrespondientes a unconductor esfericocargado cerca de un conductor esfhico sinca r ga. Algunas de Ias lineas de [uerza que salen del conductorcargado terrninan sabre la carga negatlva inducida en elconductor neutro. Como estas lineas estan dirigldas desde lasregiones de mayor a rnenor potencial, el conductor neutrodebe poseer un porencia I inferior que el conductor ca rgado.

ConductorcargadoConductor

neutro

5i ponemos en contacto los dos conductores, la carga positiva fluira haciael conductor neutro hasta que ambos conductores esten al mismo potencial.(Realmente, los electrones negatives Huyen desde el conductor neutro hacia elconductor positivo. Es algo mas conveniente pensar que esto es un fluja de cargaposit iva en sent ida coni fa rlo.) Par slme tda, puesto que los conducto res sonidenticos, 5e reparriran en partes iguales la carga original Si los conductores seseparan a continuaci6n, cada uno de elias se llevara una carga 1 Q y ambos es-taran al mismo potencial. Coulomb utiliz6 este metoda de distribuci6n de la car-ga para obtener diversas cargas que tuvieran relaciones conocidas can una cargaoriginal. en su experimento para la determinacion de la ley sabre la Iuerza ejerci-da por dos pequeiias cargas (puntuales).En la Figura 20-18 tenemos un pequeno conductor que posee una carga positi-va q situado en el interior de una cavidad de otro segundo conductor mas gran-de. En el equilibrjo, el carnpoelectrico es cero en 1"1nterior del material conduc-tor de ambos conductores. Las Iineas de fuerza que salen de Ia carga positiva qdeben term inar en 1 0 1 . superficie intern a del cond uctor grande ..Esto debera ocu rr irsin que importe que rarga esta situada en la superficie exterior de dicho conduc-

Figura 20-18 Conductor pequeno queposee una carga positiva en dinterior de un conductor mas grande.


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Seccion 20"6 Superf icies equipotenciales, distr ibucion de carga y ruptura dielectrica 677

tor, Independientemente de la carga situada en el conductor mayor, el conductorpequefio en 1a cavidad esta a un potencial mas alto debido a que las lineas de[uerza van desde este conductor hasta el conductor mayor. Si a continuacion seconectan los conductores, por ejemplo con un alambreconductor fino, toda lacarga situada originalmente en el conductor mas pequefio fluira hacia el otro ma-yor. Cuando se rornpa la conexi6n, no habra ninguna carga en el conductor pe-queno situado en elinterior de [a cavidad y tarnpoco existiran lineas de campoen ningun punto dentro de la superficie exterior del conductor grande, La cargapositive transferida desde el conductor menoral mayor resldecornpletarnente enla superficle exterior de este, S i ponemos mas carga positive sobre el conductorrnenor' en la cavidad y de nuevo conectamos los conducrores con un alambrefino, transierirernos de nuevo toda la carga al conductor exterior. Este procedi-miento puede repetirse indefinida men te. Se util iza este rnetodo para produci rgrandes pot encia les en el genera dor de Van de Graaff. en el cum se !levacargah ac ia la su pe rf icie interior de un conductor eslerico muy grande mediante unacinta transportadora continua (Figura 20-19). Para llevar la cargaa la esfera exte-rior debe realizarse trabajo mediante un motor que transporta la cinta. Cuantomayor sea la carga neta situada en el conductor exterior rna yor sera su potencial,

++

~. J .( / 1 ) (b)

Figura 20-19 (a) Diagrama esquernatico de un generador deVan de Graaff. La carga escapa por 135 pun ta s de unconductor amado cerca del londe del.aparatc yes capiadapo r )3 cinta . En 10 '1pa.rte superior la ca rg a a bandana 10 '1clnta ypasa a otro peine melii lico conecrado a un gra n conductoresferico. (b ) La rnuchacha ha side cargada a un potencial muyelevadc por ccntacto con un generador de demostracicn Vande Craaf], mientras esta de pie sobre un bloque aislanre. Suc ab ello a dq uie re 1 01c arg a su fic ie nte para que se repel aelectrostaticarnente. Debe tenerse cuidado para acumular lacarga gradualmente y evitar una descarga raplda. que serladolorosa. (c ) Estos grandes generadores de Van de Graaff enel rnuseo de ciencias de Boston producen deSCa'1:"5espectaculares sabre la [aula de alarnbre conecrada a tierradonde Sf: e ncu entra e l o pe ra do r,

( c )EI maximo potencial obtenible mediante este procedimientcesta lirnitados610 per el heche de que las rnoleculas de aire se ionizan en el interior de camposelectricos muy altos y entonces el aire se hace conductor, Este Ienomeno. conoci-do como ruptura del dielectri.co, se produce en el aire cuandola intensidad delcampo electrico es del orden de Em. . " " 3 X 1 00 V1m =3 MV /rn. La intensidad delcampo electrico para e1cual se producela ruptura del dielectrico en un materialse denomina resistencia dielectrica de dicho material. Para el aire vale aproxima-darnente 3 MV /rn, La descarga a traves del aire resu Itan~e de la rup! ur a die!ectri-ca se denomina descarga en arco. Las descargas electricas que se experimentan


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678 Capitulo 20 Potencial electrlcc

(n)(11) Arbol elect rico producido poruna descarga en arco en una pin.. deplastlcc. EI piast ico se ca rgamediante un hill de electrones quepenetra unos 0,5 em. AI desconectar1'1haz, 51' da un pequefio golpe conun punz6n de metal. Los electronessa l en proyectados subi tarnente yolrecen un dlagrarna como este en 1'1plasrico. (hi Un arbol semejanteproducido par un rel~mpagoen el airs.

( 1 1 )

al tocar el porno metalico de una puerta despues de andar sabre una alfombraen tiempo seco es un ejemplo Familiar de descarga en area. (Esto ocurre preferen-rernente en tiempo seco, porque el aire humedo conduce parte de la carga adqui-rida al andar sabre la alfombra y no se acumula carga suficienre para alcanzarun potencial elevado.) El rayo es otro eiemplo de desearga en arco.

Eiernplo 2014Un conductor esferico tiene un radio de 2 rn , (a ) LCUa] es la carga maximaque puede situarse sabre la esfera sin que se produzca la ruptura dielectrica?(b ) ,Cual es 1'1 potencial maximo de la eslera?

(a) El campo electrico justa fuera del conductor que posee una carga SU~perficial a es

E=_G_~o

Igualando esta expresiori con el campo electrico maximo en el aire, se obtienepara a m . ..

E =3X10 N/C=~.Jx -- foLa carga maxima sabre la esfera es, par tanto,

Q= 4 7 T " R1G",.,=41rR;!(foEm ... )=47T"(2 m)2(8,85X10 I~ C/Nm2)(.JX10 N/C)=13JXIO J C

(b ) El potencial maxima de la esfera portadora de esta carga esv =kQ = (8,99X10a N'm2/C2)(1,J3X10-3 C)m." R 2.m=5,98XIOb V


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5ec~.i6n 20-6 Superficies equipotenciales, distr.ibuci6n de ca.rga y rupeura dieMctrica 679

Cuando se coloca una carga sobre un conductor de forma no esferica, comola indicada en la Figura 20-20b, el conductor sera una superficie equipotencialpero la densidad de carga y el campo electrico iusto en 1"1exterior del conductor,variara de un punta a otro .. Cerca de uri punta en donde el radio de curvaturesea pequefio (A en la figural la densidad de carga yel campo elecrrico seran gran-des, mientras que proximo a un punto en donde 1"1adio de curvatura sea grande(8 en la figural la densidad de carga y 1"1campo electrico seran pequefios. Cuali-tativamente puede comprenderse considerando que los extremes del conductorson esferas de radios diferentes. Si Ilamamos C T a.la densidad decarga superficial,1"1potencial' de una esfera de radio r es .

_ kq _ lqV-- ---._. -_-r 41Tfo rComo el area de una esfera es 4 1 T r 2 , la carga sobre la misma estara relacionadacan la densidad de carga par

20-29

q=41T r oSustituyendo esta expresi6n de q en Ja ecuaci6n 20-29, tenemos

V=_l_ 4 1 1 " r o =~4 1 1 " " 0 r fo

y, por tanto,0= fQV

r 20-30Como ambas esleras se encuentran al mismo potencial, aquella de menor ra-dio tendra una mayor densidad de carga superficial. Y como 1"1campo electricoen Ia superficie de un conductor es proporcional a la densidad de carga superfi-cial C T , 1"1campo sera maximo en los puntos dondeel radio de curvatura del COIl-ductor es minima.

B

(h )

(II)

Enel caso de un conductor de forma arbitraria. el potencial parael cual seproduce la ruptura del dielectrico depende del radio mas pequefio de curvaturade una partecualquiera del conductor. Si el conductor tiene puntas de radio decurvatura muy pequerio, 1 3 ruptura del dielectrico se producira can potencialesrelativamente bajos. En 1"1generador de Van de Craaff, la carga se transfiere ala cinta de transports pOI conductores de bordes afilados pr6.ximosa! fonda dela cinta y se extrae mediante conductores de iguales caracteristicas situadosenla parte alta de la rnisrna (figura 20-19). Los pararrayos situados en 1 0 alto deun gran edificio extraen la carga de tina nube proxima antes de queel potencialde la nube alcance un valor muy grande.

Figura 20-20 ((I) Lineas de campoelectrico ccrca de un conductor no~sferico y una lamina cuyas cargasson iguales y opuestas. Las llneas seindican mediante trocitos de hilosuspendidos en aceite Et campoelectric\") 1"5 mas intense cerca de lospunros de menor radio de curvaturecomo los extremes de la lamina y laparte lzqulerda pu ntiaguda delconductor. (b) Conductor noesferko. Una carga si tuada sobre esteconductor producira un campoelectrico mas intense ceres del punto A,deride 1'1 radio de curvature espequefio, que cerca del punto R demayor radio de curvature,


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Cuesti6n7. Cuando una persona, despues de andar sabre una alfombra un dia seco, clala mana a otra persona, puede saltar una chispa de unos 2 mm. Estimar ladiferencia de potencial que existe entre las clos personas antes de saltar la chispa,

Resumen1. La diferencia de potencial V/,- V" se define como el trabajo par unidad decarga, camhiando de signo. que realiza el carnpoelectrico cuando una cargatestigo se desplaza del punta a al punta b:

En un desplazamtento infinitesimal, esta expresi6n toma la formadV=-Edl

Como 5610 importan las diferencias de potenclalelectrico. puede elegirse elpotencial nuloen cualquier punto conveniente. EI potencial en un punta esla energia potencial de una carga dividlda par dicha carga:uV=-q o

La unidad SI del potencial y de la diferencia de potencial es el voltio (V):1 V=l JlC

En funci6n de esta unidad, la unidad del campo electrico es tarnbien:1N/C=l Vim

2 .. Una unidad conveniente de energia en Iislca at6mica y nuclear es el electronvoltio (eV) 0 energia potencial de una particula de carga e en un punta dondeel potenciales 1voltio. EI electron voltio esta relacionado con el julio por1 eV=1,6XI0-1o J

3. EI potencial elecerico a una distancia r de una carga puntual q en el origenviene dado parv=Jg__+vor

en donde Voes el potencial a una distancia infinita de Ia carga. Si se elige elpotencial igual a cera en el infinite. el potencial debido a la carga puntual esV=Jg__r

En un sistema de cargas puntuales, el potencial viene dado porV= L : kq ,

r, o


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Resumen 681

en donde el sumatorio se exriende a todas las cargas y r, o es la disrancia dela carga i.11punta P , donde se de-sea calcular el potencial.4, La energia potencial electrostarica de un sistema de cargas puntuaies es el tra-baja necesario para transportar las cargas desde una posicion finita a sus po-

siciones finales, .5. El potencial correspondiente a una distribuci6n continua de carga se obeieneextendiendo 11 integral a toda la distr ibucicn:

V= J k : qEsta expresion puede utilizarse 5610 5 i 1.1distribuci6n de carga esta contenidaen un volumen fin ito, de modo que el potencial puede considerarse nulo enel infinito.

6 , EJcampo eJectrico sefialaen la direcci6n de 18 maxima disrninucion del poten-cial. EI cornponente de E en 1.1direcci6n de un desplazamientod esta rela-cionado can el potencial pordVEe=---d e

Un vector que sefiala en 1.1direcci6n de 1.1maxima variaci6n de una fund6nescalar y cuya magnitud es igual a 1.1derivada de dicha funci6n respecto ala distancia en fa dirsccion lndicada se llama gradiente de la Iuncion. El cam-po electrico E es el gradiente negative del potencial V. Con notacion vecto-rial, el gradiente de V se escribeVV, As!E=-VV

En toda distribuci6n de carga esfericamente sirnetrlca, el potencial s610 variacon r y el campo electr1coflsta relacionado can el potencial porE=- VV=- dV rdr .

En coordenadas rectangulares, el campo el.ectrico esta relacionado con el po-tencial par

7. En un conductor de forma arbitraria, 1.1densidad de earga superficial (J es ma-xima en los puneos donde el radio de curvatura es minimo ,8. La cantidad de carga que puede depositarse sobre un conductor viene lirnita-da par el heche de que las molecules de aire se ionizan en campos electricosmuy intensos y el aire se hace conductor=-Fenomeno Ilarnado rupture dielee-trica, que tiene lugar en el aire para intensidades del campo electrico de

E r n b " " 3 X 10" V1m=3 MV I m, La intensidad del campo elecrrico para lacual tiene lugar la ruptura dtelecrrica en un material. se denomina resistenciadielectrica de esre material. La descarga resulrante a traves del aire conductorse llama descarga en area.


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682 Capitulo 20 Potencial eiectTko

Electrostatica y xerograHaR i ch ar d Z all enVirginia Polytechnic Institute and State University

Existen muchas aplicaciones importantes y tecnol6gica-mente provechosas qUE' pueden incluirseen un estudioacerca de l empleo de los fen6menoselectrostaticos. Porejemplo, un sistema paraeliminar la poluci6n del aire,de gran interes, es el precipitador electrostatico, quedesde afios atras hace habitables los terrenos pr6ximosa las .fabricas de cementa y a las industrias donde seprocesan rninerales: este dispositive parece ser capaz deextraer mas del 99 por ciento de cenizas y polvos de losgases procedentes de las salidas de las chimeneas de lascentrales termicas en las que se quema carbon. La ideabasica de esra tecnica antipoluci6n de gran eficacia seindica en la figura 1. La pared exterior de un t ub 0meta-lico vertical esta conectada a tierra, mientras que unconductor en forma de alarnbre situado en el centro deltubo se mantiene a una tensi6n negativa muy grande.Con esta geornetria concentrica se establece un campoelecrrico no uniforme, cuyas lineas de fuerza estan diri-gidas radialmente hacia el interior. es decir. hacia e!

Richard Zallen realize susesrudlosen MadisonH.s., en Brooklyn,Rensselaer (B.S.) y enHarvard (Ph.D.l. Esrniembro de la AmericanPhysical Society desde1976. Antes de asociarseal Virginia Tech en 1983tTabaj6 durante 17 anos

enlos laboratories deinvestigaci6n Xerox enRochester, Nueva York,donde logicamente see s p ec i a li z ,6 e nElectrostarica yXerografia. Esti l casadoy riene dos hiios,

Durante su profesi6ncomo fisico, 10'1Profe sorZallen ha realizadoestudios experimentalessobre interaccton de la luzcon solidos, tales comosemiconductores, cristalesmoleculares y solidosamorfos. Masrecienternente hatrabajado en sistemas 501-gel y semiconductoresbornbardeados con jones.E! profesor Zallen esprobablernente masconocido per su libro ThePilysics of AmorphousSolids, Wi ley, NewYork, 1983.

( )Gas limpiD____:_ de sali daI ..

._ :. : ' 1.. .. : : . J

Gas contaminad..ode entrada ____:.. .. - . .

Electrodede descarga

". -.-1. ~Figura 1 Dlagrama esquernatico del empleo de una. descargaen corona en u.n precipitador electrostatico.

electrode de alambre negative, Cerca del alambre delcampo, adquiere unos valores enormes, suficientemen-te grandes para producir una ruptura electrica del airey la rnezcla suave normal de rnoleculas gaseosas neu-tras es sustituida por un torbellino de electrones Iibrese iones positives. Los electrones procedentes deestadescarga en corona son expulsados hacia fuera por elcampo electrico. La mayoria deellos se unen rapida-mente a las molecules de oxigeno produciendo ionesOl" negatives que tambien se yen acelerados haciafuera. Cuando esta corriente de iones pasa cerca del gasde salida caliente procedente de la chimenea que subepar el conducto, las pequefias particulas que transportadicho gas resulran cargadas al capturer los iones y seven empujadas por el campo hacia la pared exterior. Silas partkulas nocivas son s6lidas, se provoca periods-camente una vibraci6n del conducto para que caigan enuna tolva, pero si son liquidas, el residue simplementedesciende por la pared yse recoge en la parte inferior.Ademas de 1 0 1 precipitaci6n electrostatica, existenorros ejemplos tecnicos de utilizaci6n de las propleda-des electrostaricasentre los que se pueden incluir el re-cubrimiento electrostarico con pinturas de spray" y laseparaci6n electrostatica de mezclas granulares utiliza-da para la separacion de - particulas minerales, de los


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E Jectro sta tica y xe r0gra Ha 683

En las estruturas grises semeientes a caias. al pie de laschimeneas, se alojan precipitadores electrostaticos.

granos de trigo de DtTOS productos que 10 acornpafiane incluso los excrernentos de roedores del arroz .. Sinembargo, la aplicaci6n que constituye el objetivo prin-cipal de este ensayo es [a xerograHa, quees el sistemamas ampliarnente utilizado de reproducci6n electrosta-tica 0 elecrrofotografla. Esteempleo de la electrostaticaes muy conocido debido a l gran numero de personasq ue tie ne n ocasi6n de u tiliza r m aq uina s de reproduci rdocumentos en oficinas, bibliotecas y colegios y tarn-bien proporciona un empleo claro de un dispositiveq u e u tiliz a una secuencia de distineos fen6menos elec-trostaticos.El proceso xerografico fue inventado en 1937 porChester Carlson. EI termino xerografia, Iiteralmenteescritura en seco , fue realmente adoptado un pocodespues para resaltar la diferencia respecto a los proce-50S quimicos humedos. El concepto innovador de Carl-son no encontr6 una aceptaei6.n inlcial y 5610 se obruvouna realizacion practice de su idea despues de que unapequef ia compafiia arriesgase su futuro en sus intensosesluerzos para desarrollar el proceso.En la Hgura 2 se ilustran euatro de las etapas princi-pales que intervienen en la xerografia. Con objeto dedar una mayor clarldad a1 proceso, se ha simplificadohabiendose suprimido diversos detalles. El proceso de

obtencion de imagenes electrostaricas tiene lugar sobreuna lamina delgada de un material fotoconductor queesta apoyado sabre un soporte rnetalico conectado atierra . Un fotoconcluctores un solido que es buena is-lante en la oscuridad pero que resultacapaz de condu-cir la corrtente eJectricacuando se expone a 1 3 luz. Enla oscuridad, se deposita una carga electrosratica uni-forme sobre la superf ic ie del fotoconductor. Esta etapade carga (Figura 2a) se real iza mediante una descargaposltiva en corona que rodea un alambre fino manteni-do a unos +5000 V aproxirnadamente. Esta corona(una version en miniatura pero de signa opuesto a lacorona del precipitador de gran intensidad de la Figura1) se hace pasar sobre la superficie Iotoconductora, es-parciendoiones positlvos sobre ella y cargandola a unpotencial de +1000 V. Puesto que la carga es libre para

+Conductor de corona+ -++++

Carga electrostatica

FotomnductorSustratometa!ic!!I

(11)~ Luz procedenre de I~ .imagf'n

Carga librefOlogenerada

(b )_/"I Part lculas de toner0- .J/I- -H ~ + l

(c )

Figura 2 Etapas e l ' l el proceso l


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tJuir dentro del soporte de metal conectado amasa, sedesarrolla una carga igual y opuesta inducida en la in-terfase metal- fotoconductor. En la oscuridad el foto-conductor no contiene ninguna carga m6vil y la grandiferencia de potencial persiste a traves de esta capa dedielectrico, que s610 tiene 0,005 em de espesor.

A continuacion Ia placa fotoconouctora se exponea la luz en torma de una imagen reflejada en el docu-rnento que ha de copiarse. La que ocurre a continua-ci6n se indica en la Figura 2b. Donde la luz incide sobreel fotoconductor, son absorbldos cuantos lurninosos(fotones) y se crean parejas de cargas rnoviles. Cadapareja Iotogenerada se cornpone de una carga negativa(un e!ectr6n) y una carga positiva (un hueco, es decir,un electron perdido). La fotogeneracicn de esta cargalibre depende no solo del fotoconductor utilizado, sino dela longitud de onda e intensidad de la luz incidente y ade-mas del campo elect r ico presente. Este campo de granvalor (1000 VIO,OOS cm=2XIOs V/cm=2Xl07 VIm)ayuda a separar las parejas mutuamente atractivaseiectron-hueco, de modo que quedan en libertad paramoverse par separado. Los electrones se mueven en-tonces bajo la influencia del campo hacia la superficie.en donde neutralizan a las cargas positivas, rnien+rasque los huecos se mueven hacia la interfase Fotocon-ductor-sustrato y neutralizan alli las cargas negativas,En los puntos donde una luz intense incide sobre el fo-toconductor, la fase 0etapa de carga queda total menteeliminada: en donde incide lULdebil, la carga se VI" par-cialmente reducida; en donde no incide ninguna luz.perrnanece la carga electrostatica original sobre la su-perficie, La tarea crltica de convertir una imagen 6pticaen una imagen electrostarica, que ahara queda registra-da sobre la lamina, se ha completado. Esta imagen la-tente 51 " compone de una distribuci6n de potencial elec-trosraticc, que replica 1"1esquema de luz y oscuridaddel documento original.Para desarrollar la imagen electrostarica. 51 " ponen encon taco can !a lamina unas partfcuJas pigmentadas fi-nas con carga negativa. Estas particulas de toner sonatraidas bacia las regiones superficiales con carga posi-tiva, como se VI" en la Figura 2c, y entonces aparece unaimagen visible. EI toner se transfiere a continuaci6n (Fi-gura 2d ) a una hoja de papel que ha side cargada posit i-vamente con objeto de que pueda atraerlas, Un brevecalentarniento del papel funde el toner y 10 pega produ-ciendo una fotocopia permanente Usapara su utilizaci6n.Finalmente. para preparar la lamina fotoconducto-fa en el caso de una repetici6n del proceso, cualquier

Partlculas de toner. atraldas electrostaticamente por unaparticula portadora mayor.

particula de toner que permanece en Ia superficie selimpia rnecanicarnente y se borra 1a imagen electrosta-tica residual, es decir, se descarga inundandola de luz.El fotoconductor esta ahora listo para un nuevo ciclo,partiendo de la etapa de la carga. En las fotocopiadorasde alta velocidad la capa fotoconductora recuente-mente tiene la forma de un tambor 0dnta de movi-miento continuo alrededor de cuyo peri metro estan si-tuados ciertos dispositivos para realizar las diversasfunciones de la figura 2. La veloddad de 1a tecnoiogiade impresi6n xerografica es, actualmente, del orden dealgunas capias por segundo.

Para una informacion adicional sobre los procesos electrostaticosen xerografia. consultar a J . H. Dessauer y H. E. Clark (editores)Xerography and Related Processes, Focal Press., New York. 1965;R. M. Schaffert, Electropi1olograpllY, rev. ed. Focal Press. N.Y.,1913. Tambien se analizan otras modernas aplicaciones de Ia elec-trostatica en el articulo de A. D. Moore, Seie"titi.: America".marla 1912.


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Sugerencias bibliograficasMoore, A.D., Electrostatics, 5cientiik A 7 11 erican, rnarzo1972, pag. 46.Ste Ill"l/wio describe algunos uses modernos de la 1' / " , c/ r051'11"tim. im:/uyendo la precipit acion de residrl {")s indr.


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686 Capitulo 20 Potencial e1ectric;o

51 " mueve desde la placa negativa hasra la positiva7 ,Cual essu anergia cinetica cuando llega ala. placa positiva]5. Un campo electrico viene dado por E=a.:r i, expresandoseE en newtons por culombio, x en metros y siendo a una cons-tante positiva. (al ,Cuales son las unidades SI de a ? (b )LCuil.nto trabajo se realize par este campo sabre una. cargapuntual pcsiriva q. cuando se rnueve la carga desde 1" 1 ori-gen hasta un punta cualquiera x7 (c) Hallar la funci6n poten-cial V(x), tal que V=O en x=O.ZO-2 Potencial debido a un sistema de carga.s puntuales6. Cuatro c a r g a s puntuales de 2 JL C 5 1 " e n c u e n t r a n s i t u a d a s e n1.05 vertices de un cuadrado de 4 m de lade. Calcular el poten-cial en 1 " 1 centro del cuadrado (tomando como potencial ceroeJcorrespondiente al infinito) si (a ) todas las cargas 50n posi-tivas, (b ) tres de las cargas son positivas y [a otra negativa,(c) des son positivas y las otras des negativas.7. Tres cargas puntuales estan en el eje x. q, en 1 " 1 origen, q,en x=3 my q, en x =6 m, Calcular eJ potencial en eJ puntax=O. y=3 m si (a ) q,=q,=q,=2 !LC, (b) q,=q,=2 ", C yq,=-2 p.C (c) q,=q,=2 JLC y q,=-2 ",c.S , los punros A, B y C e.slan en [as vertices de un trianguloequilatero de 3 m de lado. Cargas iguales positivas de 2 JL Cestan en A y 8. (ell LCua:! es 1" 1 potencial del punta Cl (h)LCuanto trabajo 5 1" necesita para llevar una carga positiva de5 pC desde el infinito hasta el pun to C si se mantienen fiiaslas otras cargas. (c ) Responder a las partes (a ) y (b ) S 1 la cargasituada en B se sustituye par una carga de -2",C.9 . Una esfera de radio 60 em tiene su centro en 1" 1 origen. A1 0 largo del ecuador de esta esfera se situan cargas iguales deJpC a intervalos de 60. (a ) LCual es el potencial electr ico ene l origen? (b ) LCuaJ es 1 " 1potencialelectrico en su polo norte]20-3 Energla potencialelectrostatica10. Una carga positiva de valor 2 I-'C estaen 1" 1 origen. (a )LCu;\les 1 "1 potencial elktrico Ven un punta a 4 m del origenrespecto al valor v=o en el infinite. (b ) LCuanto traba]odebe ser realizado por un agente exterior para llevar la cargade J JL C desdee! infinito hasta r = 4 m adrnitiendo que se man-tiene fijaen el origen la c arga de 2 p;CI (c) LCuanto trabajodebera ser realizado par un agente exterior para Ilevar la car -ga de 2/lC desde el infinite hasta 1"1origen si lacarga de 3 I4C5 1 " c c lo ca primeramente en r=4 m y luego se mantiene fija711. Determiner la energia potencial electrostatica para la dis-tribucion de carga descrita en (a) problema 6a, (b) problemalib, (c) problema 6c con cargas iguales en los vertices opues-tos y (d) problemaoc con targas distintas en vertices opuestos.12. Calcular la energla potencial e[ectrostatica para cada unade las dislribuciones de carga del problema 7.13 . Tres cargas puntuales, q " q, Y qJ est;\n en 105 veri ices deun triangulo equ.ilatero de lade 2,5 m .. Oetenninar la energ'iapotencial electrostatica de esta distribuci6n de carga si (a )q,=q,=q,=4.2 JLc . (b) '1,=%=4,2 JL C y '1,=-4,2 " , c . (c)q, =q,=-4,2 JL C Y q, 0 +4,2 JLC.20-4 Likulo de.! potencial electrico en distribuci.onescontinu;)s d~ cargaH. (Il) Dibujar V(x)en fund6n de x para 1 '1anilJo uniForme-mente cargado en 1 " 1 plano yz dado en la ecua.ci6n 20-13. (b )LEn que puntoes maximo Vex)? (c) [CUanto vale E, en estepun to?

15. Una carga de q =+10 ' C esta distribuida uniforme-mente sabre una corteza esferica de 12 em de radio. (a) [Cua!1 " " 5 1 " 1 v a l o r del campo eJectrico j u s t o en e l exterior de la corte-za Y justa en 1" 1 interior de la rnisma? (b) LCuil.les el valor delpotencial e le ctric o [u sto en 1'1exter ior y justa en 1" 1interior del a e o r t e z a ? (c) LCuai e s 1 " .1 potencial elect rico en el centro dela c or te za ? [CuM es 1 '1 campo elect rico en clicho punta;16. Un disco de radio 6.25 em posee una densidad decargasuperficial uniforrne a=7,5 nC/m'. Deterrninar el potencialsobre 1"1eje del disco a una. distancia (a ) 0,5 ern, (bl 3,0 emy (c) 6.25 ern del disco.17. Una carga lineal infinita de densidad lineal. A= 1.5 I4C/mse encuentra sabre 1 " 1 eje z. Determiner 1 " 1 potencial a distan-cias de (a ) 2,.0 m, (.b) 4,0 tn y (c) 12 m de la linea, suponiendoque V=O a 2,5 rn.20-5 Campo eledrico y potencial18. Dos cargas positivas + '1 estan en 1 ' 1e j e y en y= +a yy=-a. (a)Hallsrel potencia I.V para todos los puntos si rua-dos en 1 " 1 eie x. (b ) Utillzar el resultado de la parte (,a) paradet.erminar el campo electrico en cualquier punto del eje x.19. Una carga puntual q=3,00 pC se encuentra en 1" 1 origen.(a ) Dererrninar 1" 1 potencial V sobreel eje x en x=J,OO m yen.x=3,01 rn. (b ) LCrece 0 decrece 1 " 1 potencial cuando x e r e -ce? Calcular -A VIA;r, slendo .0.V la variaci6n de potencialdesde x=3,00 m a x=3.01 m y Ax=O,Ol m. (c) Determinarel campo eliktricoe.n x=3,OO m y comparar su valor con elde -.0. V IAx ha Iladoen la parte (b). (d) Detenni nar el poten-cial (can tres cifras significa t ivas) en el punlo x =3,00 m,y =0,01 m y cornparar el resultado can 1' 1 potencial sobre elieje x en x=3,OO m. D iscu tir 1 ".1significado deeste resultado.20. Una carga de +3,00 pC esta en el origen y otra de-3,00 "C esta en el eje x en x=6,00 m. (a) Hallar el potencialen.eJejex en 1 " 1punta x=3,00 m. (b) H al l a r 1 " 1campo eliktricoen 1" 1 eje x en x=3,00 m. (el Hallar el potencial en 1" 1 eie .renx=3,01 m y calcular -lI,V IAx, siendo 6 VIa variacion de po-tencia] desde r=3,00 m hasta x=3,01 my Ll;c=O,Ol m , Com-pararel resultado can la respuesta de la parte (b) .21. En la expresi6n slguiente, Vesta en voltios y x en metros.Hallar E, cuando (a) V(x)=2000+3000.r; (.b) V(x)=4000+3000x; (c) V(.r)=2000-3000x: y (d) V(x) = -2000, indepen-diente de I,22. EI potencial electrico en una cierta region del espacio vie-ne dado por V(x) = C, + C,x2, estando V en voltios, x en me-tros y sie.ndo C, y C. constantes positivas. Hallar 1' 1 campoelectrico E en esta regi6n. LEn que direeci6n esta El23. Una hoja infinita de carga Hene una densidad superficialde J,5 JLC/m' de carga. LA que distanci.a estan entre S l losplanas equipolencial.es cuya diferencia de potencial es 100 V124. Una carga puntual q = -~ X 1 0 - ' C esta en 1 " . 1 origen.Considerando que el po tencial es cero pa.ra r=


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26. Dibujar 1(15 lineas de campo elect rico y la s superficiesequipotenciales en punios proxirnos y aleiados del conduc to rindicado en Iii Figura 20-20b suponiendo que ~I, conductortransportecie ri a ca rga Q.27. Deterrninar Iii densidad de carga super+icial maxim a (/"" .q u e puede existir sobre un conductor ante s de que ocurra larupture dielect r ica de l a i r e.28. Si una esfera conductora ha de carga rse ha sla un polcn-cial de 10 000 V, LCUa ] es el radio mas peq uefio posible de lae sle ra , ta l q ue el ca m p o e lec tr ico no exceda la resistcnc ia di e -h ktrica de l aire]Nivel l!29. Suponer que un gene rado r de V an de C raa lltlcne una di-fe renda de po tenc ia l de 1.25 MV entre la cinra y la esleraex-terior y qu e la carga se surninistra a una velocidad de20 0 "C s, LQue potencia minima se necesita para accionar larinta rnovil]30 . Una esle ra uniro rmem ente ca rgada tiene un potencial de450Y en su supe rf ic ie . A lina distanc ia radial de 20 COl de e stasupe rh c ie . e l po tenc ial e s 15 0 V . L Cual e s ('I radio de la esfera)f cual es la c a rg a deesta?3]. Se disponen cuatro rargas en los ve rtice s de un cuadra-do centrado en el o rigen com o 5 1 . ' indica . a cnntinuaciun: qen (-a+.a); 2') en (a. {II; ~3q en (II, -a); y oq en (-n. ~Hl.C alcu la r ( al elcarnpo e lec tr ico en c l o rigen y (I.] ~ I po tenc ia le n e l o rig en . (c) S e situ a una qu inta ca rga + '1 en e l c rigcn ySf libcra desde el reposo , C alcu la r su velocidad cuando 51" en-cuentre a una gran distancia de l n r igen ,32. Des cargas posi I i v as +q esian so b re el eje .r en x=+ IfY X=-II. (a ) Determiner 10 '1potenc ial V(. l) en luncion de. lpa ra lo s puntos de l eje .\. (6 I Dibu [ar V( .r I en luncio n de .r,(r ] 1 .Cu~1 es el significado de l m inimo que apa rece en dich acurva?33. Un campo e lec trice viene dado po r E,=.0 .i' kN J C.Determinar la dilerencia de potencial entre 1(1&puntos de l ejexenx= l m y_ l= 2 m .34. Consideremos des l aminas paralelas infinitas de carga,una en 1 " 1 plano y: y la otra a una distancia .r=a. (I:ll H a l l a re l po t enc i a l en mdos lo s puntas del e spac io , can V= 0 en r = asi la s lam inas llevan una densidad de carga po sit iva igua l + o .( / 7 ) H acer 10 rm srno sl las densidades de carga so n igualcs yopuesla s, siendo la lam ina del plano !I: Iii q ue tie ne 1 . 1 1 densi-d ad p os ili va .35. En un acele rado r de V an de C raatt. se .libo .> ran 105 prolo-n l'S d esd e e l re po ~o a un poterH: ial dl ' 5 MV )'


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6B 8 Capitulo 20 Potencial elect-icc

Comproba r las re spuesta s de (a) y (b) e n el o rige n y en x= < : X lpara ver 5 i se o btie ne n lo s re su lta do s esperados.II7. Una cargaq estll en .l= y otra ca rga -JI] est ,) en x =1 rn. ta) Deterrninar VCd pa ra un punta cualquiera de l eje .r.(I,l Deterrninar los puntas sobreel e je .\ en los cuales e l p ote n-cial es nulo. tel LCu a l es el campo electrico en estes puntas?(d) Dibujar V{x) e n fu nc i6 n de x ,4B . Una barra de Iongitud L posee una carga Q distribuidaunilo rrnem ente a 1 0 largo de su longitud, L a ba rra yace a II 'largo de l e je x co n su centro en el origen, (a) LCuid es e l po-t enc ial electrico en funcion de la posicion a 10 la rgo de l e je .rpar a .r> Lt27 (b) Dernostrar que pa ra .r ~ L!2e l resultado sereduce a l deb ido a una ca rga puntu al Q .49. Una carga de 2 n C e sl, ) u nifo rm eme nte distribulda alre-dedor de un anillo de ra dio 10 em que tiene su centro en e lo rigen y suejea 10 la rgo del eje .l.Una ca rga puntual deI nC e sta lo ca Iiz ad a en .\ =S O c m. De te rrn ina r 1 '1traba ]o nece-sa rio para desplazar 1< '1a rga puntu a l a l o rigen en iu lio s y ene lec tro n vall ios,50. Un anillo cargado uniforrnernente can una carga to ta l de100 lie y un rad io de 0.1 m ya ce en e J plano yz co n su centroen (.'1origen, Una regia de metro iiene una ca rga puntu al de1.0 /lC en el ext r ema rnarcado co n el 0 y una carga puntualde 20 /lC en 1 "1e xtr em e m arc ado co n 10 0 cm . l,Q ue t rabaioh ay que realizer para transportar la regla de metra desde unadlstancia m uy gra nde hasta una po sicion a 10 la rgo de l eje .lco n el ext r ema marcado ca n 0 en .\=0.2 myel otro extremeen .l=1,2 m7S1. Cuarro cargas iguales Q se encuentran en lo s ve rtices deun cuadrado de lado L . L as cargas se de jan en libertad de unaen una siguiendo el sentido de las agujas del relo] alrededorde l cuadrado. Se deja qu e cada carga alcance su velocidad F i-nil I a una gran distancia de l cuadrado ante s de liberar la 5 i-gu iente ca rga , L Cual e s la ene rgia c ine ticaF ina I de ( < 1 ) 1 1 1 pri-rne ra ca rga Iiber ada. (b ) la segu nda , (c) la te rce ra y (d)lacuarta]52. Dos esferas metalicas identicas si n carga se conectan me-diante u ri a lam bre . com o indica la figu ra 20-2111. Dos eslerassemeiantes co n cargas iguales, pero opuestas, S~ situan en la sposiciones indicadas en la H gu ra 20 -21b . (ti) D ibuja r la s line asde campo e lk tr ico entre la s esferas I y 3 y entre la s esleras2 y 4 . (b) LQ ue podemos decir de lo s potenciales V , V,. Vy V, de la s esleras? (cl Si las esferas 3 y 4 estan conectadasPOf un alambre, demosrrar que la carga fina l. sab re (ada unade elias seria cera .

F ig ura 2 0-2 1 t 3 +l]Problema 52. [[:2 :2 4 -0(ai tI'l

53. T res grandes placas conduc to ra s pa ra lc la s entre si tienenconec tadas la ca ra exte r io r po r medio de un alambre. L a p.la -ca dpl m edia esta a islada y po sce una densidad de ca r)\a 11sab re la superfic ip supe rio r y 11 , s ob re l a s u p e rf ic ie in fe ri Clr .

sicndo 0,+0,=2 IIC 'm'. Esta placa dista I mm de 10 ;1plac asupe rio r y 3 mm de la placa d el fo nd a. Dererminar 0, Y 0"5 4 . De rno stra r qu e cuando R es much o rneno r qu e x, el po -te nc ia l so b re e l eje de un disco de ca rga se aproxi rna a kQ Ix.e n do ride Q=IJ1,R' es 1 0 0 1 carga to ta l sob re 1 '1 disco . Indica-cion. Escribir (.1..!+R)'-=X (I +I? Ir) y utilizar 1 0 0 1 expresionde l binornio,5$. Un anillo cargado uniformernente. de ra dio a y carga Q.se encu entra sab re e l p lano yz co n $U e je a 10 la rgo de l eje x.Una ca rga pu ntua IQ ' se si tu .a sobre el eje x en .x =rl" ( e I ) De-terrninar el potencia l en cu a lqu ie r punta de l e je x deb ido a lacarga total Q+Q' . (hI Determiner 1" 1 c ampo electrico paracu a lq u ie r pun [0 so bre 1 '1 e je x.Nivel III56. Un potencial viene dado por

V(x.y.z) kQ,,(.l-a)'+ ,1I'+~'

(11) Determ ina r lo s cornponentes E , . E " E de l ca mpo electri-co po r de rivac i6 n de esta func ion po tencia l. (b) iQ ue sim pledistribucion de carga puede ser responsable de este potencial?57. El potenc ial electrico en una region de l espacio vienedado po r

V=(2 V/mlt'+O Vim') , 1 / : "Dete rm in ar el cam po e lec tr lco en 1" 1pun to x = 2 m . . \1 = 1 m ,z==Zrn,58. Una ca rga pu ntu al . 1 , esta en el o r igen y una segundaca rga pu n lua I q" esta sobre el eje x en x=1. como en clejemplo 20-5. (a ) Calcular el cam po elecrrico en cualquierpunta del e je . a partir de ia func i6 n potencia l dada en dich oe jernplo . fb ) D ete rm lna r e l po tencia l en un punto cua lqu ie rad el e ll' y. (e) U tiliza .r e l re su lta do de (b) para ca lcu lar e l co rn-pcnente y de l campoelectrico sobre e! eje i/. Cornparar 1 " 1 re-sullado asi obtenido co n 1" 1que r e su lt a d ir ec ta rn e nt e de la le yd e C ou lo mb .59. Considerernos una bo la de densidad vclumica de cargaunifo rrne de radio R y ca rga to ta l Q. (E st!' es un mode le deun pro t 6 n .) E I cen t ro de la bola esta en e l o rigen . U t i liz a r e lcomponente radia l de l campo electrico E" dcducido median-te la ley de Gauss pa ra ca lcu la r e l po tenc ia l Veri supcniendoque v=o para r= 00 en (ell cu alqu ie r punta exte r io r a la ca r-ga o ,.~R y en (b ) cu a lqu ier punta in te r io r a la ca rga. r :sR .(R ecu e rdese qu e V debe ser una r uncion cant in ua en r =R . I(c) LCuM esel po tenc ia l en el origen l (d) Dibujar V en funcicnde I".60. En el modele de Boh r de l a lam o de hidrogerio elelcctron51' rnueve en una 6 rbita c ircu la r de radio J' al r ededor d < ' 1 pro-t 6n . (II) Hallar L lna expresi6 n de la e ne rgi.a cinetica del C 'lec -tron en tunc i6 n de I' h ac iendo que la fu erza qu e iJc tL la sobred elec tr6 n (dada po r la . ley de Cou lomb) sea igu a l a 1//(/. ~ien-do 11 la ace le rac i6 n centrfpeta . Dem ostra r qu e a una distanc iacu alqu ic ra r 1< 1energi~ c inetica es la m itad de l va lo r de 10;1e ne rg ia p ote nc ia l. (b ) Caku la r ; 11Ii ' U . Y Ia cne rgia to ta lE =.~ Uli"+ U ene J ec tr6 n vu ltio s pa ra 1 '=0 . $29 X ]O J. m .ra di~ ' d e 1 . 1 1 l'J rb ita . d el. e le ctr 6n cn e l h id ro ge nl', L < I encrgia lE Ique d~be sum inistra rse al a lamo de h idr6 geno para l!xtracr l 1e lec tron se llam a energIa de ionilac i6 n.61. ( < 1 ) En e l casa del di.po ln de l ejemplo 20-6 demnstra r qu erd po tenc ia l en un punta fu e ra del c je a una distanc ia grande


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r desde el origen (Figura 2,0-22) viene dado aproxi rnadamen tepar2kqa cos 0 kp cos 0 kin.V ,~ r r'

lndicacion, Demostrar que I"+'-r _'''' dr-/r, en dondeAr=r+-r_""2a cos O. (h) Determinar los componentes .r,IJ . z del campo electri.cQ en un punto fuera del eje.

+n

Figura 2022 Problema 61

!I

-" -. -qr62. Consideremos dos cortezas metalicas esfericas y concen-tricas de radios a yh siendo b >a . La cortezaexterror posee

Problemas 689

una carga Q, perc la corteza interior esta conectada a tierra.Esto significa que la ccrteza interior posee un potencial cerey que las lineas de campo electrko abandonan lacorteza exte-rior y se dirigen al infinite. perc otras se dirigen desde la cor-teza externa a la interna. Determinar la cargaen la corteza in-terna.63. Tres cortezas conductoras esfericas y ccncentricas po-seen radios 11 , bye, siendo a

cap20 - potencial electrico

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