posibilidad de acierto en quiniela

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONALFACULTAD REGIONAL VILLA MARÍA

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

“Análisis de repetición en números de Quiniela”

TITULARES: Ing. Colazo; Carlos. Ing. Baccifava Rubén.

ALUMNO: Novillo Brondo Johana Belén Ramella Pablo

Universidad Tecnológica Nacional. FRVMIng. Mecánica

INDICE

PÁGINAINDICE

I.- INTRODUCCIÓN.Formulación o definición del problema.

II.- OBJETIVOS

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III.- FUNDAMENTOS TEORICOS LA INVESTIGACION: La variable, media, varianza, desviación típica de una

distribución de probabilidad y normalización de una variable.

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IV.- DESARROLLO. 13

V.- CÁLCULO DE LA MEDIA () Y LA VARIANZA (Var(x)) 17 Cálculo de la media para cada situación.

Cálculo de la varianza para cada situación.

VI.- PRUEBA DE NORMALIDAD 18 Cálculo de la esperanza matemática para cada situación. Cálculo de la desviación típica para cada situación. Cálculo de la probabilidad de una variable con distribuciónnormal para cada situación.

VII.- CONCLUSIÓN 23VIII.- REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 24

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I.- Introducción:Formulación o definición del problema:

Al iniciar este proyecto, la hipótesis fue si al analizar la sucesión de números que aciertan en la quiniela, podríamos saber cuál sería el siguiente número que saldría; o por lo menos tener una idea más o menos acertada de cuáles serían los que podrían salir. La segunda hipótesis es, si un numero se repite muy seguido, ¿Volverá a salir dentro de un periodo de tiempo fijo? Si es afirmativo ¿Qué probabilidad hay que vuelva a salir?

Para realizar el ensayo hemos recolectado una base de datos de los números sorteados en la Quiniela de Córdoba,

Luego de recolectar los datos de todos los servicios procederemos a analizar la media y la varianza de los mismos. Realizaremos, luego, una prueba de normalidad e inferiremos la media y la desviación típica de la población, de donde podremos determinar la probabilidad de salida de números que elegiremos al azar.

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II.- Objetivos:Nuestro objetivo principal es plasmar los conocimientos adquiridos durante el ciclo lectivo

para poder responder los interrogantes planteados en este informe. Y más allá de la orientación de conocimientos sobre probabilidad y estadística.

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III.- Fundamentos teóricos

Tanto en la vida cotidiana como en el campo científico estamos habituados a observarfenómenos aleatorios cuyos resultados se expresan mediante números; por ejemplo el

voltajede salida en una fuente de alimentación, el numero de personas en la cola del cine, la

velocidadde conexión a la red, etc. Incluso en problemas de naturaleza puramente cualitativa es

muyfrecuente recurrir a la codificación numérica; en situaciones tales como: el diagnostico de

unpaciente “sano” o “enfermo”, preguntas del tipo ¿estudias o trabajas?, etc., las respuestasson usualmente codificadas con 0 y 1, aunque en realidad podría emplearse cualquier

parejade símbolos con igual precisión.

DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA

Una distribución de probabilidades para una variable aleatoria discreta es un listado mutuamente excluyente de todos los resultados numéricos posibles para esa variable aleatoria tal que una probabilidad específica de ocurrencia se asocia con cada resultado. El valor esperado de una variable aleatoria discreta es un promedio ponderado de todos los posibles resultados, donde las ponderaciones son las probabilidades asociadas con cada uno de los resultados.

Donde: Xi = i-ésimo resultado de X, la variable discreta de interés.P (Xi) = probabilidad de ocurrencia del i-ésimo resultado de XLa varianza de una variable aleatoria discreta (s 2) se define como el promedio ponderado

de los cuadros de las diferencias entre cada resultado posible y su media (los pesos son las probabilidades de los resultados posibles).

Donde: Xi = i-ésimo resultado de X, la variable discreta de interés.P (Xi) = probabilidad de ocurrencia del i-ésimo resultado de X

VARIABLES ALEATORIAS

Una variable aleatoria X es una función que asocia un número real a cada punto del espacio muestral.

Dado un experimento aleatorio cualquiera cuyos sucesos elementales posibles pueden identificarse fácilmente mediante un número real, se denomina Variable Aleatoria, X, al conjunto de estos números.

También se le llama variable de azar o variable estocástica, y significa cantidad que puede tomar varios valores imprevistos.

Ejemplo.- Sea el experimento aleatorio de averiguar la marca de tabaco que preferirá un individuo entre las posibles marcas: <<X>>, <<Y>>, <<Z>>.

En este caso la asociación de un número para cada suceso elemental posible del experimento no es inmediata. En consecuencia, se establece una correspondencia entre el

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conjunto de los sucesos elementales posibles y el conjunto de los números reales, del modo siguiente:

Al suceso elemental <<preferir la marca X>> se le hace corresponder el número 1; al suceso elemental <<preferir la marca Y>> se le hace corresponder el número 2; al suceso elemental <<preferir la marca Z>> se le hace corresponder el número 3.

La variable aleatoria X será: X = (1, 2,3).El número asociado a cada suceso elemental puede ser cualquiera dentro del conjunto de

los números reales, con la condición única de que a sucesos elementales distintos le correspondan números también distintos. Se comprueba fácilmente que la correspondencia así definida entre el conjunto de los posibles sucesos elementales de un experimento aleatorio y el conjunto de los números reales es una aplicación inyectiva.

CLASIFICACIÓN DE LAS VARIABLES ALEATORIAS.

a) VARIABLE ALEATORIA CONTINUA.-

Variable aleatoria continua, de recorrido infinito, donde el número al que se hace corresponder la aplicación pertenece al conjunto de los números reales R.

Si X es una Variable aleatoria continua, puede tomar cualquier valor de un intervalo continuo o dentro de un campo de variación dado. Las probabilidades de que ocurra un valor dado x están dadas por una función de densidad de probabilidad de que X quede entre a y b. El área total bajo la curva es 1.

Ejemplo.- Sea el experimento aleatorio consistente en medir la altura que es capaz de saltar cada miembro de un conjunto de personas. En este experimento, cada miembro del conjunto observado da lugar a un número, por lo que se toma como variable aleatoria el conjunto de las medidas de las alturas que son capaces de saltar las distintas personas.

En el supuesto que una persona hubiera saltado 105 cm y otra 106 cm, no existiría ninguna razón para que otra no hubiera saltado un valor intermedio cualquiera entre las dos anteriores, como 105.5 cm. Se trata de una variable aleatoria continua.

b) VARIABLE ALEATORIA DISCONTINUA O DISCRETA.

Variable aleatoria discreta, que produce como resultado un número finito de valores predeterminados, por lo que su recorrido es finito.

Se dice que una Variable aleatoria Discreta o Discontinua X, tiene un conjunto definido de valores posibles x1,x2,x3,…..xn con probabilidades respectivas p1,p2,p3,…..pn., Es decir que sólo puede tomar ciertos valores dentro de un campo de variación dado. Como X ha de tomar uno de los valores de este conjunto, entonces p1 + p2 +…+ pn=1.

En general, una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por P(X = x) se entenderá la probabilidad de que X tome el valor de x. De esta forma, al considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar una función matemática que asigne una probabilidad a cada realización x de la variable aleatoria X. Esta función recibe el nombre de función de la probabilidad.

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Ejemplo.- Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda al aire. Los sucesos elementales del experimento, <<que salga cara>>, <<que salga cruz>>, no vienen representados por los números, por lo que casa suceso elemental se le hace corresponder un número real. Así al suceso elemental <<que salga cara>> se le hace corresponder el número "1" y al suceso elemental <<que salga cruz>> se le hace corresponder el número "2".

La variable aleatoria será: X = (1,2).

Se trata de una variable aleatoria discontinua o discreta, ya que únicamente puede adoptar los valores 1 y 2.

En general, una variable aleatoria discreta se define como una aplicación f (xi) tal que:

ESPERANZA MATEMÁTICA

En un experimento aleatorio, la esperanza matemática se define como la suma del producto de cada valor de la variable aleatoria considerada por su probabilidad.

Cuando la variable aleatoria X es discreta, el valor de la esperanza matemática asociada viene dado por:

Si se trata de una variable aleatoria continua, el número de valores de la variable es infinito, por lo que el sumatorio se convierte en una integral.

Siendo f (x) la función de densidad de la variable aleatoria continua.En estadística la esperanza matemática (también llamada esperanza, valor esperado,

media poblacional o media) de una variable aleatoria X, es el número que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.

Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser "esperado" en el sentido más general de la palabra - el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible.

Por ejemplo, el valor esperado cuando tiramos un dado equilibrado de 6 caras es 3,5. Podemos hacer el cálculo

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y cabe destacar que 3,5 no es un valor posible al rodar el dado. En este caso, en el que todos los sucesos son de igual probabilidad, la esperanza es igual a la media aritmética.

Definición.-Para una variable aleatoria discreta con valores posibles y sus probabilidades representadas por la función de probabilidad p (xi) la esperanza se

calcula como:

Para una variable aleatoria continua la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y la función de densidad

La definición general de esperanza se basa, como toda la teoría de la probabilidad, en el marco de la teoría de la medida y se define como la siguiente integral:

La esperanza también se suele simbolizar con

Las esperanzas para se llaman momentos de orden

Más importantes son los momentos centrados

Propiedades La esperanza es un operador lineal, ya que:

Combinando estas propiedades, podemos ver que –

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DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA

Cuando se analiza un experimento aleatorio, se descubren factores de comportamiento de la probabilidad que siguen modelos propios y distintivos. Por ello, es frecuente asociar a estos experimentos una «función de probabilidad», que puede adoptar diversas formas y regirse por principios diferentes y cuyo estudio arroja luz sobre la naturaleza y las características del fenómeno físico o social ligado al experimento.

Función de distribución.-La distribución Normal suele conocerse como la "campana de gauss".En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable

aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los eventos rango de valores de la variable aleatoria.

Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números reales, la distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

Dada una variable aleatoria X, se llama función de distribución a aquella que proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual que xi. Es decir:

Si se conoce la función de distribución F (x) de una variable aleatoria X, ya sea ésta discreta o continua, siempre se cumple que la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores en el intervalo (a, b] es:

1) VARIANZA.-

Es la media de las diferencias con la media elevadas al cuadrado.La esperanza media constituye un valor de tendencia central, una media del valor de la

variable estadística. Para saber si los valores de una variable estadística siguen una distribución centrada o dispersa, es preciso completar el valor de la esperanza media con el de la varianza.

En variables aleatorias discretas, la varianza se define como:

En las variables aleatorias continuas, existe un número infinito de valores, por lo que el sumatorio de la fórmula anterior se convierte en integral:

Siendo f (x) la función de densidad de la variable aleatoria continua.Ejemplo.-Tú y tus amigos habéis medido las alturas de vuestros perros (en milímetros): Las alturas

(de los hombros) son: 600mm, 470mm, 170mm, 430mm y 300mm.Calcula la media, la varianza y la desviación estándar.Respuesta:

así que la altura media es 394 mm.Ahora calculamos la diferencia de cada altura con la media:

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Para calcular la varianza, toma cada diferencia, elévala al cuadrado, y haz la media:

Así que la varianza es 21,704.Y la desviación estándar es la raíz de la varianza, así que:Desviación estándar: s = v21,704 = 147y lo bueno de la desviación estándar es que es útil: ahora veremos qué alturas están a

distancia menos de la desviación estándar (147mm) de la media:Los Rottweilers son perros grandes. Y los Dachsunds son un poco menudos.

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

La desviación estándar (s) mide cuánto se separan los datos.La raíz cuadrada de la varianza recibe el nombre de desviación típica:

Función de probabilidad discretaDenotaremos como

a la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta a la aplicación que

a cada valor de de la variable le hace corresponder la probabilidad de que la variable tome dicho valor:

Por definición, deducimos que si son los valores que puede tomar la variable entonces:

ya que esta suma es, en realidad, la probabilidad del suceso seguro.EjemploEn el experimento de lanzar tres monedas al aire, la aplicación que asigna a cada

resultado el número de cruces obtenidas es una variable aleatoria. En este caso:

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NORMALIZACION

Podemos normalizar la variable analizada por medio de la siguiente fórmula:

Z=x−μ xσ x

=x−E (x )√Var ( x )

Para ello es necesario obtener primero el valor de la esperanza matemática y de la desviación típica.

PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE CON DISTRIBUCION NORMAL

La función de densidad para la distribución normal está dada por:

f x( )1

2 e

x 2

2 2

Donde es la media y es la desviación típica. La función de distribución correspondiente está dada por:

Si Z es la variable normalizada correspondiente a X:

Entonces la media o valor esperado de Z () es igual a cero y la varianza () es igual a 1, resultado:

Este resultado se conoce como la función o la distribución de densidad normal tipificada. F (z)=P (Z ≤ z)Al valor de z de la variable tipificada se llama el valor tipificado.La distribución normal se representa por una curva suave y simétrica en forma de

campana. La representación gráfica de la función de densidad se conoce como curva normal

tipificada:

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Para cada situación calculamos la probabilidad de que X sea igual a la temperatura:

Z=x−μ xσ x

=x−E (x )√Var ( x )

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IV.- Desarrollo.

A continuación analizaremos los datos recogidos elaboramos gráficas de repetición de los números correspondientes a los sorteos realizados en 2 meses; de esta manera podemos sacar algunas conclusiones y hacer inferencia sobre cual número puede llegar.

El primer gráfico corresponde a los últimos 2 dígitos, luego los últimos 3 dígitos y por último el gráfico correspondiente a las cabezas, utilizando solo 2 cifras, de cada sorteo.

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1 13 25 37 49 61 73 85 97 1091211331451571691811932052172292412530

1

2

3

4

5

6

7

8

Series1

2542662782903023143263383503623743863984104224344464584704824945060

1

2

3

4

5

6

Series1

5105225345465585705825946066186306426546666786907027147267387507620

1

2

3

4

5

6

7

Series1

15


7667777887998108218328438548658768878989099209319429539649759869970

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Series1

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 1010

1

2

3

4

5

6

Series1

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V.- Cálculo de la media () y la varianza (var(x))

Ahora bien para realizar un estudio estadístico necesitamos los valores de la media y la varianza, o más bien de la desviación típica.

Considerando la cantidad de datos obtenidos utilizamos directamente el programa Microsoft Excel para calcular dichos valores

Correspondiente a cuatro cifras:Media Desviación5488 2597

Correspondientes a tres cifras:

Correspondiente a dos cifras:

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Media Desviación503 290

Media Desviación49 29


VI.- Prueba de normalidad

Cálculo de la probabilidad de una variable con distribución normal estándar para numero.

Numero: 59

Numero: 13

Numero 22

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x=58μ=49σ=29x2=60

Z1=58−4929

=0 .3103

Z2=60−4929

=0 .3793

P (58<x<60 )=0.6480−0 .6217=0 .016=1.6%

x=12μ=49σ=29x2=14

Z1=12−4929

=−1.2758

Z2=14−4929

=−1 .2068

P (12< x<14 )=(1−0 .8980 )−(1−0 .8849 )=0 .013=1 .3%

x=21μ=49σ=29x2=23

Z1=21−4929

=−0 .9655

Z2=23−4929

=−0 .8965

P (21<x<23 )=(1−0 .8315)−(1−0 .8106 )=0 .0209=2%


Numero 99

Numero 76

19

x=98μ=49σ=29x2=100

Z1=98−4929

=1 .6896

Z2=100−4929

=1 .7586

P (98<x<100 )=(0 .9599)−(0 .9535)=0 .006=0 .6%

x=75μ=49σ=29x2=77

Z1=75−4929

=0 .9865

Z2=77−4929

=0 .9695

P (75<x<77 )=(0 .8365)−(0 .8315)=0.005=0 .5%


Numero 459

Numero 934

Numero 216

20

x=458μ=503σ=290x2=460

Z1=458−503290

=−0 .1551

Z2=460−503290

=−0 .1482

P (458<x<460 )=(1−0 .5596)−(1−0.5557 )=0 .003=0.3%

x=933μ=503σ=290x2=935

Z1=933−503290

=1.4827

Z2=935−503290

=1.4896

P (933<x<935 )=(0 .9306 )−(0.9319 )=0 .001=0 .1%

x=215μ=503σ=290x2=216

Z1=215−503290

=−1.0137

Z2=217−503290

=−1.0068

P (215<x<217 )=(1−0.8438 )−(1−0 .8413 )=0.002=0.2%


Numero 128

Numero 718

Para el caso de los números de 4 cifras, utilizamos Microsoft Excel por lo complicado de los cálculos.

Número 2337: P(2337)=7,35807E-05=0.0073% Número 5712: P(5712)= 0,00015305=0.015% Número 7422: P(7422)= 0,00011642=0.011% Número 1145: P(1145)= 3,79452E-05=0.0037% Número 9036: P(9036)= 6,04139E-05=0.006%

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x=127μ=503σ=290x2=129

Z1=127−503290

=−1.2965

Z2=129−503290

=−1.2896

P (127<x<129 )=(1−0 .9015 )−(1−0 .9032 )=0 .0017=0 .1%

x=717μ=503σ=290x2=719

Z1=717−503290

=0 .7379

Z2=719−503290

=0.7448

P (717<x<719 )=(0 .7673 )−(0 .7704 )=0.003=0 .3%


De acuerdo al grafico de los números salidos en las cabezas de cada sorteo sabemos que, en 2 cifras, los mas repetidos son:

00 07 12 37

Nuestra hipótesis es que podrían volver a salir en cabeza en una semana, entonces con los datos de la semana transcurrida comprobamos nuestra hipótesis, la cual da errónea, en una semana no sale ningún número de los que ya han salido repetidas veces. Por último, intentamos con los números que no han salido este último mes y comprobamos la misma hipótesis para los siguientes números:

8 29 32 35 40 44 52 57 62 68 80 94 98 100

Comprobando vemos que el único número que sale en la semana de los que no han salido en el último mes es el 35, lo que no nos asegura la hipótesis pero tampoco nos refuta la misma.

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VII.- Conclusión

Llegamos a la conclusión de que nos es casi imposible predecir el número exacto con una precisión de 4 cifras, pero de una manera reiterativa podríamos llegar a acertar de lleno a un numero de 2 cifras pero no de manera exacta con lo cual podemos decir que realmente son números sorteados al azar; con una periodicidad de una semana encontramos que 1 de 14 números se repite por lo que podemos considerarlo mera casualidad.

Por otro lado mediante los cálculos probabilísticos vemos que las posibilidades de aciertos de 4 cifras son muy pequeñas del orden de las milésimas; en 3 cifras las probabilidades siguen siendo pequeñas del orden de las décimas y en 2 cifras las probabilidades son mucho más altas como máximo del 2%; lo que nos refuerza la idea que el sorteo es realmente al azar.

Concluimos que es casi imposible saber de antemano el número que va a salir en cualquier de los órdenes de cifras; esto no refleja el caso en el que los datos recopilados sean mayores, pero basándonos en la teoría arrojarían los mismos resultados.

Todas las situaciones analizadas cumplen con el comportamiento de una Curva Normal

Tipificada (o Campana de Gauss), ademas todos los valores medidos encajan dentro de la curva, tal y como lo refiere la desigualdad de Chevyshef, dentro del valor de (μ +2·σ ).

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VIII.- Referencias bibliográficas.

http://www.monografias.com http://www.ucasal.net http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad http://www.accuweather.com/es/ar/villa-maria/3164/daily-weather-forecast/3164 http://infoclima.com/pronosticos/argentina/cordoba/?l=155&p=10 http://www.a24.com/clima.html http://tn.com.ar/clima/villa-de-maria http://www.prefecturanaval.gov.ar/web/es/html/dico_pronostico_tiempo.php http://espanol.weather.com/weather/10day-Villa-Maria-ARCA5903 http://nuestroclima.com/pronosticos/argentina/cordoba/?l=155 http://www.smn.gov.ar/?mod=pronografico&id=2&var=cordoba&imagen=ZN http://servicios.lanacion.com.ar/informacion-general/pronostico/ciudad/

cboCiudades=ARCA0231 http://www.lmcordoba.com.ar/clima.php

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posibilidad de acierto en quiniela

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