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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC-SP
Renata Mendes Soares
Pensamento Algébrico: quais elementos são identificados por
professores de Matemática em atividades com este foco?
MESTRADO ACADÊMICO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
São Paulo 2018
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC-SP
Renata Mendes Soares
Pensamento Algébrico: quais elementos são identificados por
professores de Matemática em atividades com este foco?
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE em Educação Matemática, sob a orientação da Profa. Dra. Barbara Lutaif Bianchini.
São Paulo 2018
Banca examinadora: ______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocópias ou eletrônicos.
Assinatura:__________________________________________
Local e Data:_______________________________________
Agradeço a CAPES pela concessão da bolsa de estudos, imprescindível na
realização dessa investigação.
AGRADECIMENTOS
Gostaria de expressar minha gratidão a todas e todos que contribuíram direta
e indiretamente para a concretização desta pesquisa:
À Profa. Dra. Barbara Lutaif Bianchini por aceitar ser minha orientadora, pelo
valoroso auxílio no encaminhamento da pesquisa e pelo respeito ao meu percurso de
aprendizagem enquanto pesquisadora iniciante.
Aos professores participantes da banca examinadora, Profa. Dra. Sonia Pitta
Coelho e Prof. Dr. Eneias de Almeida Prado, pelas valiosas críticas e contribuições no
exame de qualificação.
Aos professores do PEPG em Educação Matemática pelas contribuições
dispensadas à construção de nosso caminho enquanto pesquisadores em cada
disciplina ministrada.
À assistente de coordenação do PEPG em Educação Matemática, Suzanne
Lima, sempre disposta a ajudar e apoiar os alunos do programa.
Aos colegas do GPEA e de curso, em especial aos amigos Aline, Elen, Marcos,
Alexandra, Danilo, Anísio e José Roberto pela convivência, amizade e apoio
constantes.
Aos professores participantes dessa investigação pela disponibilidade e
interesse em participar da pesquisa.
À Coordenadora Pedagógica da unidade escolar escolhida para aplicação do
instrumento de pesquisa pelo auxílio na organização de dias e horários em que
pudemos realizar as coletas de dados.
Aos meus alunos, antigos, atuais e futuros, pelo processo de reviver as delícias
e dificuldades de ser um ingressante nos estudos da Matemática.
A todos os meus amigos queridos que tornam a árdua jornada diária mais leve.
Agradecimentos especiais às amadas Bia, Debora, Elaine, Giselle, Thaísa e Raquel.
Aos meus amados avós Alzira, Otacílio (in memorian), Maria e Joaquim,
sempre cheios de atenção, de carinho e de amor.
Aos meus pais, Maria Eliza e Wilson, e meu irmão, Willian, por serem meus
amores e meu porto seguro.
Ao amado companheiro, Marcelo, pelo amor, paciência e suporte na trajetória
desta pesquisa e na vida.
Muito obrigada a todas e todos!
RESUMO
SOARES, R.M. Pensamento Algébrico: quais elementos são identificados por professores de Matemática em atividades com este foco? Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo-PUCSP, São Paulo, 2018. Nossa investigação, de caráter qualitativo, tem o objetivo de identificar quais aspectos relacionados ao desenvolvimento do pensamento algébrico são identificados por quatro professores de Matemática que atuam no segundo ciclo do Ensino Fundamental de uma escola da rede estadual de São Paulo. Para isso Blanton e Kaput; Kieran; Fiorentini Miorin e Miguel; Fiorentini, Fernandes e Cristovão; Ponte, Branco e Matos e Blanton foram tomados como referências e nortearam cada momento de nossa pesquisa: inicialmente propusemos aos participantes a resolução de três atividades que apresentam um cunho algébrico e são destinadas a sexto e sétimo anos do ensino fundamental, alguns questionamentos acerca das atividades propostas, para colher dados sobre seus saberes a respeito do Pensamento Algébrico e ensino de Álgebra; realizamos, também, uma apresentação aos participantes sobre a temática da pesquisa; por fim, foram feitas entrevistas com professores com o intuito de esclarecer pontos de suas produções escritas ou participações no momento da apresentação que demandavam maiores explicações. Após análise das produções escritas e gravações de áudio tomadas na apresentação e entrevistas, constatamos que os participantes identificam alguns elementos caracterizadores de um trabalho que priorize o desenvolvimento do pensamento algébrico que esperávamos, como equivalência de expressões numéricas e algébricas, não obrigatoriedade do uso de uma linguagem algébrica para resolução de problemas, uso de diferentes representações, compreensão da estrutura de um cálculo. No entanto, nenhum deles identificou a generalização, elemento que esperávamos que eles indicassem. Este elemento está presente em três atividades escolhidas para nosso instrumento de coleta de dados. . Palavras-chave: Pensamento Algébrico; Álgebra; Educação Algébrica; Linguagem algébrica; Generalização.
ABSTRACT
SOARES, R.M. Algebraic Thinking: which elements do Mathematic teachers identify on activities with that focus? Dissertation – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo-PUC, São Paulo, 2018. Our investigation, which has a qualitative character, has as goal to indicate which aspects related to the development of algebraic thinking are identified by four Mathematic teachers that operate on the second cycle of elementary School in a São Paulo’s public school. For that purpose, Blanton and Kaput; Kieran; Fiorentini, Miorin and Miguel; Fiorentini, Fernandes and Cristóvão; Ponte, Branco and Matos and Blanton were adopted as reference and guided each moment of our research. Initially we proposed to the participants the resolution of three activities that presented an algebraic nature and were destined to the sixth and seventh grades of elementary school, as well as some questions regarding the Algebraic thinking and Algebra teaching. We have done, also, a presentation to the participants about the research’s themes. At last, teachers were interviewed with the intent of clarifying points of their written production or participation on the moment of the presentation, which demanded further explanations. After the analysis of the written production and audio tapes, made during the presentation and interviews, we verified that the participants identified some elements characterizing a work that prioritizes the development of the algebraic thought, as we hoped. Elements such as equivalency of numeric expressions and algebraic; not obligatory use of an algebraic language to resolution of problems; use of different representations; comprehension of the structure of a calculation. However, none of them identified the generalization, element that we hoped they would indicate. This element is already present on three activities chosen as our instrument of data collection.
Key words: Algebraic Thinking; Algebra; Algebraic Education; Algebraic language; Generalization.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Componentes de construção de uma generalização ................................ 74
Figura 2: Construção de triângulo isósceles............................................................. 98
Figura 3: Situação 1 em que a propriedade da desigualdade triangular não é
satisfeita ................................................................................................... 99
Figura 4: Construção de triângulo escaleno 1 ........................................................ 100
Figura 5: Construção de triângulo escaleno 2 ........................................................ 101
Figura 6: Situação 2 em que a propriedade da desigualdade triangular não é
satisfeita ................................................................................................. 101
Figura 7: Gráfico – Participante A .......................................................................... 131
Figura 8: Protocolo do participante B para a questão 2 ......................................... 133
Figura 9: Gráfico – Participante B .......................................................................... 134
Figura 10: Tabela – Participante C .......................................................................... 135
Figura 11: Gráfico – Participante C ......................................................................... 137
Figura 12: Gráfico – Participante D ......................................................................... 139
Figura 13: Resposta 1b - Participante B .................................................................. 141
Figura 14: Protocolo da questão sobre o problema 2 – Participante D ................... 142
Figura 15: Protocolo de resolução do problema 3 – Participante A ......................... 146
Figura 16: Protocolo de resolução do problema 3 – Participante C ........................ 147
Figura 17: Protocolo de resolução do problema 3 – Participante D ........................ 149
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Pesquisas selecionadas ......................................................................... 25
Quadro 2: Aspectos relacionados ao pensamento algébrico segundo Kaput ........ 43
Quadro 3: Tipos de atividades segundo Kieran ....................................................... 49
Quadro 4: Vertentes do pensamento algébrico ....................................................... 54
Quadro 5: Aspectos do pensamento algébrico mais comuns dentre os
pesquisadores tomados como referência ............................................. 56
Quadro 6: Habilidades e expectativas para os Graus de 6 a 8, segundo o
NCTM ..................................................................................................... 63
Quadro 7: Parte 1 do instrumento de coleta de dados – Caracterização dos
professores............................................................................................. 83
Quadro 8: Parte 2 do instrumento de coleta de dados – Problema 1 ...................... 84
Quadro 9: Hipóteses de respostas .......................................................................... 86
Quadro 10: Parte 2 do instrumento de pesquisa – Problema 2 ................................. 88
Quadro 11: Parte 2 do instrumento de coleta de dados – Problema 3 ...................... 94
Quadro 12: Parte 3 do instrumento de coleta de dados – aspectos do
pensamento algébrico identificados pelos docentes ............................ 101
Quadro 13: Breve caracterização dos participantes ................................................ 112
Quadro 14: Aspectos relacionados ao pensamento algébrico elencados para
o problema 1 ........................................................................................ 127
Quadro 15: Aspectos relacionados ao pensamento algébrico elencados para
o problema 2 ........................................................................................ 144
Quadro 16: Roteiro de entrevista do professor A .................................................... 151
Quadro 17: Roteiro de entrevista do professor B .................................................... 160
Quadro 18: Roteiro de entrevista do professor C .................................................... 161
Quadro 19: Roteiro de entrevista do professor D .................................................... 162
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
ATPC - Aula de Trabalho Pedagógico Coletivo
BNCC - Base Nacional Comum Curricular
CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior
CMSP - Currículo de Matemática do Estado de São Paulo
CP1 - Caderno do Professor – Matemática: 1ª série do Ensino Médio – Volume 1 –
Nova edição: 2014-2017
CP2 - Caderno do Professor – Matemática: 1ª série do Ensino Médio – Volume 2 –
Nova edição: 2014-2017
EJA - Educação de Jovens e Adultos
GPEA - Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica
MMR - Método de Melhoria de Aprendizagem
MTCS - Modelo Teórico dos Campos Semânticos
NCTM - National Council of Teachers of Mathematics
PCN - Parâmetros Curriculares Nacionais
PNLD - Programa Nacional do Livro Didático
PUC-SP - Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
SARESP - Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo
TCLE - Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
TIC - Tecnologia da Informação e Comunicação
UNICAPITAL - Centro Universitário Capital
UNINOVE - Universidade Nove de Julho
UNIP - Universidade Paulista
USP - Universidade de São Paulo
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ........................................................................................... 11
1. ORIGEM DA INVESTIGAÇÃO .............................................................. 19
1.1. Trajetória e objetivo .................................................................. 19
1.2. Revisão bibliográfica ................................................................ 24
2. PENSAMENTO ALGÉBRICO ............................................................... 43
2.1. Características do Pensamento Algébrico ................................ 43
2.2. Uma síntese ............................................................................. 58
2.3. Um olhar sobre as orientações curriculares PCN, BNCC e
NCTM .......................................................................................60
2.3.1. Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN ................... 61
2.3.2. Conselho Nacional dos Professores de Matemática
(NCTM) ......................................................................... 64
2.3.3. Base Nacional Comum Curricular (BNCC): a respeito
do desenvolvimento do pensamento algébrico ............ 66
2.4. Uma breve comparação entre os documentos ......................... 69
2.5. Pensamento Algébrico e o trabalho do professor em sala de
aula ............................................................................................70
3. ESCOLHAS METODOLÓGICAS .......................................................... 75
3.1. Pesquisa qualitativa .................................................................. 75
3.1.1. Critérios para escolha dos participantes desta
investigação ................................................................. 77
3.1.2. Cenário do dia da aplicação do instrumento de coleta
de dados ....................................................................... 81
3.1.3. Planejamento da aplicação de nosso instrumento de
coleta de dados ............................................................ 81
3.2. Instrumentos de coleta de dados .............................................. 82
3.2.1. Parte 1: Caracterização dos participantes .................... 82
3.2.2. Parte 2: Problemas ....................................................... 85
3.2.3. Parte 3: Aspectos do pensamento algébrico
identificados pelos docentes ...................................... 102
3.3. Entrevistas com os professores .............................................. 105
4. PARTICIPANTES DA PESQUISA, DESCRIÇÃO E ANÁLISE DE
DADOS ................................................................................................ 109
4.1. Contato com os professores ................................................... 109
4.2. Os participantes ...................................................................... 110
4.3. Algumas mudanças de planos ............................................... 112
4.4. Análise da produção escrita dos professores ......................... 115
4.4.1. Análise do problema 1 ................................................ 115
4.4.2. Análise do problema 2 ................................................ 129
4.4.3. Análise do problema 3 ................................................ 145
4.5. Uma conversa sobre Pensamento Algébrico ......................... 151
4.6. Roteiros de entrevistas ........................................................... 159
4.7. Entrevistas realizadas com os participantes ........................... 163
4.8. Análise das entrevistas ........................................................... 165
4.9. Análise da produção escrita e da participação de cada professor184
CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................... 195
REFERÊNCIAS ....................................................................................... 203
ANEXOS .................................................................................................. 207
11
INTRODUÇÃO
Como integrante do Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica (GPEA), nossa
investigação está inserida na linha de pesquisa “A Matemática na Estrutura Curricular
e Formação de Professores”, e é parte do projeto de pesquisa “Álgebra na Educação
Básica”, sob a orientação da Profa. Dra. Barbara Lutaif Bianchini. O objetivo é saber
quais aspectos relacionados ao desenvolvimento do pensamento algébrico são
identificados por professores de Matemática que atuam no Ensino Fundamental 2 em
atividades que tematizam esse tipo de pensamento e que são destinadas a estudantes
de sextos e sétimos anos deste mesmo segmento de ensino.
Esta investigação é fruto de uma inquietação construída em uma carreira de
aproximadamente 10 anos como professora de Matemática no Ensino Fundamental.
Motivada inicialmente pela dificuldade apresentada pelos alunos em compreender os
assuntos estudados no início da abordagem da Álgebra no Ensino Fundamental 2.
Além disso, leituras realizadas no processo de escrita de uma monografia para o curso
de especialização em Educação Matemática, concluída na Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo (PUC-SP) em 2013, e constituída por uma experiência
profissional em uma escola da rede particular de ensino da cidade de São Paulo,
proporcionou-me uma vivência do trabalho matemático, especialmente em relação ao
desenvolvimento do trabalho algébrico no segundo ciclo do ensino fundamental.
Promover um ensino de Álgebra que vise o desenvolvimento do pensamento
algébrico pode modificar o estigma dessa área do conhecimento entre os estudantes.
Pois, conforme constatou Santos (2007), muitos alunos tem uma visão negativa do
que significa estudar Álgebra.
Kaput (2008) destaca que muitos estudantes, nos Estados Unidos, não têm uma
boa experiência no aprendizado de Álgebra, logrando ou não sucesso nesse processo.
De acordo com este pesquisador, a vivência do estudo em Álgebra não é agradável,
“chegando a ser alienante, principalmente no que se refere à manipulação de símbolos
que não têm significado e sentido para o aluno” (KAPUT, 2000, p. 2).
No Brasil o cenário é semelhante, conforme consta nos Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN) (BRASIL, 1998):
12
[...] a ênfase que os professores dão a esse ensino [de Álgebra] não garante o sucesso dos alunos, a julgar tanto pelas pesquisas em Educação Matemática como pelo desempenho dos alunos nas avaliações que têm ocorrido em muitas escolas. Nos resultados do SAEB, por exemplo, os itens referentes à Álgebra raramente atingem o índice de 40% de acerto em muitas regiões do país. (BRASIL, 1998, p.115-116)
A álgebra escolar é comumente tratada, com os alunos, como um conteúdo
predeterminado, fixo e com regras rígidas (KIERAN, 1992, p. 3). Com foco nas regras
sintáticas da linguagem algébrica, os estudantes ingressantes no estudo deste campo
precisam lidar com simbolismos e transformismos algébricos, em grande parte dos
casos sem compreensão pelo aluno.
Não devemos, evidentemente, menosprezar o uso de uma linguagem algébrica
que, por sua vez, é ferramenta fundamental ao desenvolvimento da Matemática.
Todavia, também não podemos perder de vista que ela pode se tornar
demasiadamente abstrata que, para um aluno iniciante no estudo da Álgebra escolar,
pode se configurar como um mero jogo de transformismos e como puro treino de
técnicas manipulativas sem grande sentido.
De tal modo, Kieran (2004) afirma que o ensino deve partir de situações que
levem o aluno à simbolização ao invés do que normalmente ocorre: partir do trabalho
com uma linguagem simbólica pronta.
A ênfase no domínio da linguagem algébrica em detrimento a outras
habilidades é também destacada por Fiorentini, Miorin e Miguel (1993) que, em um
estudo histórico do ensino da Álgebra, evidenciam que, mesmo sem a utilização de
uma linguagem simbólica, é possível resolver problemas de caráter algébrico como,
por exemplo, na identificação de um padrão numa sequência composta por figuras
geométricas, ou mesmo na representação de sua generalização. Ponte, Branco e
Matos (2009) afirmam que “resumir a atividade algébrica à manipulação simbólica,
equivale a reduzir a riqueza da Álgebra a apenas a uma das suas facetas” (PONTE;
BRANCO; MATOS, 2009, p. 10).
Faz-se necessário, portanto, buscar meios de tornar a Álgebra – e, de maneira
mais geral, a Matemática – acessível a todos. Kaput (1999) sugere que o ensino de
Álgebra seja iniciado bem antes ao período em que comumente se começa a
aprendizagem desse ramo da Matemática; que parta, a princípio, do conhecimento
informal dos estudantes, incentivando-os a refletir sobre o que aprendem,
relacionando os novos saberes com aqueles já constituídos; que ocorra de modo
integrado com outros assuntos, envolvendo várias formas distintas de pensamento
13
algébrico e que estimule a construção de relações, priorizando o sentido e a
compreensão. Mudanças que, segundo o pesquisador, não começam com o
surgimento de novas teorias, mas sim, com a participação dos professores dos anos
mais elementares do ensino fundamental na realização de esforços para uma
mudança curricular já existente.
Assim, a abordagem algébrica da aritmética pode ser um caminho promissor
nesse trabalho, ao propor, por exemplo, a investigação de regularidades em
sequências de múltiplos ou o tratamento de operações aritméticas como funções.
Além de Kaput (1999), outros pesquisadores como Blanton e Kaput (2005), Kieran
(2004) e Lins e Gimenez (2001) pontuam a possibilidade da utilização da aritmética
no início do processo da aprendizagem da Álgebra e, consequentemente, valorizam
a importância do início do trabalho algébrico nos anos iniciais do ensino fundamental.
Dessa maneira, com base nos autores citados, destacamos a princípio alguns
aspectos que consideramos essenciais em um trabalho que favoreça o
desenvolvimento do Pensamento Algébrico: o início do estudo de Álgebra já nos
primeiros anos de escolaridade do estudante, que parta de temas tratados nessa fase
da escolaridade, priorizando a compreensão dos estudantes e, nesse sentido, a
aritmética propicia um vasto campo de exploração no desenvolvimento do
pensamento algébrico, como abordaremos ao longo desse trabalho; que tenha o uso
da linguagem algébrica como consequência de um trabalho desenvolvido ao longo
dos anos de estudo no Ensino Fundamental e não como ponto de partida do ensino
de Álgebra, demandando, por consequência, o uso de variado de representações dos
objetos matemáticos estudados.
Nesse sentido, destacamos que é fundamental buscar a compreensão de como
o trabalho do professor deve ocorrer em sala de aula a fim de que a promoção do
desenvolvimento do Pensamento Algébrico possa ser favorecida. Blanton e Kaput
(2005) afirmam que o papel do professor das séries iniciais do ensino fundamental
mudou. Não basta a ideia de ensinar assuntos matemáticos básicos. Agora se trata
da precisão em preparar o aluno para o aprendizado de assuntos cada vez mais
complexos. Do mesmo modo, a atuação de professores especialistas em Matemática
também deve ser repensada e ter como objetivo propor situações que favoreçam que
os alunos estabeleçam relações, que debatam sobre Matemática, que proponham e
refutem conjecturas.
14
Buscar consonância com o trabalho dos professores dos segmentos de ensino
anteriores é outro aspecto importante nesse sentido. A Base Nacional Comum
Curricular (BRASIL, 2017) traz o que podemos considerar um avanço nesse sentido,
pois ao menos destaca o eixo “Álgebra” do primeiro ao nono ano do ensino
fundamental, enfatizando uma abordagem desse ramo da Matemática pelo viés do
desenvolvimento do pensamento algébrico, ressaltando ideias de regularidade, de
generalização e de equivalência.
Blanton e Kaput apontam a questão da formação e dos docentes como um
indício que pode ser um dificultador para um trabalho que favoreça o desenvolvimento
do Pensamento Algébrico por parte dos professores, mas, ao mesmo tempo,
configura-se um alerta para as Universidades no sentido da promoção de formação
inicial e continuada aos docentes. Segundo esses autores,
[...] a maioria dos professores dos anos elementares primários tem pouca experiência com os aspectos ricos e de relações do raciocínio algébrico que precisam se tornar a norma nas escolas e, em vez disso, são frequentemente produtos do tipo de instrução de matemática escolar que precisamos substituir. Assim, se quisermos construir salas de aula que promovam o raciocínio algébrico devemos fornecer as formas apropriadas de apoio profissional que afetarão as práticas educacionais e curriculares. Em parte, isso exige que entendamos o que significa para a prática de um professor sustentar uma cultura de atividade algébrica na sala de aula. (BLANTON;
KAPUT, 2005, p. 414 – tradução nossa)1
Hoyles (apud KIERAN, 2007) destaca que é o professor que planeja a
aprendizagem por meio da organização das tarefas2 e atividades, mas, também por
intermédio das interações que promovem em sala de aula. Por exemplo, ao valorizar
diferentes estratégias de resolução de um problema, procurar ouvir o estudante para
compreender seu raciocínio e dificuldades; proporcionar momentos em que os alunos
tenham seus pares como interlocutores; promover discussões coletivas sobre
estratégias de resoluções das atividades, deixando para o final os debates acerca de
resoluções com maiores indícios de generalização e/ou formalização.
Dessa maneira, cabe ressaltar o fato indicado por Blanton (2008) no qual diz
que as atividades e o currículo não são suficientes na promoção do desenvolvimento
1 However, most elementary teachers have little experience with the rich and connected aspects of algebraic reasoning that need to become the norm in schools and, instead, are often products of the type of school mathematics instruction that we need do replace. Thus, if we are to build classrooms that promote algebraic reasoning, we must provide the appropriate forms of professional support that will effect in instructional and curricular practices. In part, this requires us to understand what it means for a teacher’s practice to support a culture of algebraic activity in the classroom. 2 Utilizamos o termo “tarefa” neste trabalho no sentido proposto por Yves Chevallard na Teoria Antropológica do Didático.
15
do Pensamento Algébrico; inversamente, a expertise do professor é fundamental.
Complementando esta observação, Blanton e Kaput (2005) asseveram que os
professores devem estar atentos a situações espontâneas de desenvolvimento desse
tipo de pensamento, que são momentos ocorridos em sala de aula, não previstos em
planejamento, mas que podem proporcionar situações em que o Pensamento
Algebrico é abordado. Segundo a pesquisa realizada por estes autores, a maior parte
das situações que efetivamente ocorrem em sala de aula são espontâneas e não
planejadas.
Frente ao importante papel do professor no desenvolvimento do pensamento
algébrico, elegemos professores de Matemática que atuam no Ensino Fundamental 2
como sujeitos de nossa investigação, pois esta é a etapa da escolaridade que tomamos
como referência para escolha dos problemas que compuseram nosso instrumento de
coleta de dados. Notamos ser de suma importância buscar indícios que favoreçam a
compreensão sobre quais aspectos relacionados ao desenvolvimento do Pensamento
Algébrico professores de Matemática conseguem identificar em atividades que tenham
por objetivo a tematização desse tipo de pensamento.
Nossa investigação se compôs de três momentos. No primeiro, os professores
participantes responderam três problemas propostos que permitem o desenvolvimento
do pensamento algébrico utilizando a aritmética, relação funcional e geometria.
Responderam, também, a alguns questionamentos acerca desta temática relacionada
aos problemas que apresentamos, problemas, estes, que tratam sobre o que eles
consideram importante no ensino de Álgebra no Ensino Fundamental e a respeito de
práticas que consideram ser bem sucedidas no ensino de Álgebra em suas carreiras
como professores de Matemática. Em seguida, deu-se uma apresentação, conduzida
pela pesquisadora responsável pela aplicação do instrumento de coleta de dados,
sobre o Pensamento Algébrico, preparada com base no referencial teórico utilizado em
nossa investigação. O último momento foi composto por entrevistas com três dos
quatro participantes da pesquisa. O objetivo desta etapa era dar enfoque a elementos
de suas respostas ao instrumento de coleta de dados que precisaram de maiores
detalhes para conclusão de nossas análises.
Esta última ideia da proposta acolhida após sugestão da Banca Examinadora
em nossa qualificação. A intenção inicial era propor aos participantes um momento de
reavaliação de suas produções escritas após uma apresentação sobre Pensamento
Algébrico e leitura de um texto organizado pela investigadora responsável. Contudo,
16
por problemas que serão expostos com mais detalhes no corpo do trabalho3, precisou
de reorganização.
Esta investigação intenta, também, contribuir com subsídios que permitam
promover formações continuadas e investigações que busquem identificar os
conhecimentos docentes a respeito do desenvolvimento do pensamento algébrico.
Com isso, a pesquisa visou encontrar respostas para suas questões
norteadoras: Quais aspectos relacionados ao desenvolvimento do pensamento
algébrico são notados por professores em atividades que têm esse foco?; Os
participantes conhecem algo sobre pensamento algébrico?; Consideram que o ensino
de Álgebra pode ser iniciado antes do período dos 7°- 8º anos do ensino fundamental?
Diante desses questionamentos, muitos outros surgiram no processo,
buscando entender como professores atuantes no Ensino Fundamental 2
compreendem o ensino de Álgebra. Assim, visamos colher dados que nos auxiliassem
na compreensão acerca de quais aspectos os professores participantes destacam
como relevantes para o desenvolvimento do Pensamento Algébrico.
De tal forma, a fim de responder as questões que originam e norteiam nossa
investigação, no primeiro capítulo apresentamos aspectos relacionados à formação e
carreira docente que motivaram a pesquisadora à decisão de realizar esta pesquisa.
Desenvolvemos, também, uma revisão bibliográfica que focou em pesquisas de
mestrado e doutoramento que discorrem acerca da temática do Pensamento
Algébrico, com alunos do início do segundo ciclo do ensino fundamental 2 – além de
materiais didáticos e professores – nos últimos 10 anos.
No capítulo segundo abordamos os aportes teóricos fundamentais ao tema
proposto: Kaput (1999, 2000, 2000a, 2008); Blanton e Kaput (2005); Kieran (2004,
2007); Fiorentini Miorim e Miguel (1993); Fiorentini, Fernandes e Cristovão (2005);
Ponte, Branco, Matos (2009). Discorremos, também, sobre o que Blanton e Kaput
(2005), Blanton (2008), Blanton e Kaput (2008) consideram como práticas
indispensáveis ao professor para realizar um trabalho que favoreça o desenvolvimento
do Pensamento Algébrico. Recorremos, igualmente, a documentos curriculares para
pautar a pertinência deste tema no Ensino Fundamental. Escolhemos o NCTM (2000),
os PCN (BRASIL, 1998) e a BNCC (BRASIL, 2017; 2017a) – esta aprovada em
3 Adiante, Capítulo 4, subcapítulo 4.3, p. 109 e ss.
17
dezembro de 2017, configurando-se, a partir de então, o documento curricular
norteador da educação no Brasil.
No terceiro capítulo trouxemos os Procedimentos Metodológicos adotados na
pesquisa qualitativa de caráter diagnóstico. Apresentamos os critérios de seleção da
escola em que realizamos nossa investigação, dos professores participantes, bem
como do instrumento de coleta de dados utilizado em nossa investigação, além dos
roteiros de entrevista com cada um dos participantes.
O capítulo subsequente visa as análises dos protocolos, das participações dos
professores na apresentação sobre a temática Pensamento Algébrico. Estas foram
realizadas pela pesquisadora responsável pela aplicação do instrumento de coleta de
dados e a análise das entrevistas, que foram concretizadas em ambiente escolar em
momento posterior à resolução dos problemas e questionários por parte dos docentes
participantes.
Para que pudéssemos efetivar uma análise mais completa de cada um dos
passos tomados em nossa investigação, apresentamos inicialmente a análise da
produção escrita dos participantes; na sequência, expusemos as análises das
entrevistas realizadas; e, por fim, refletimos acerca da atuação de cada um dos
participantes de nossa investigação.
Por fim, as Considerações Finais destacam os resultados obtidos, além de
sugestões para pesquisas futuras sobre o Pensamento Algébrico envolvendo
professores de Matemática.
18
19
1. ORIGEM DA INVESTIGAÇÃO
Apresentamos, neste capítulo, os fatos, ligados ao processo formativo da
pesquisadora e, em especial, relacionados à sua trajetória profissional, que motivaram
a realização desta investigação. Reiteramos, igualmente, objetivo e questões
norteadoras da pesquisa, relatando brevemente os passos seguidos em seu percurso,
passos, estes, que serão detalhados nos capítulos seguintes.
Ademais, esta seção apresenta a revisão bibliográfica realizada a partir de
investigações nas quais o Pensamento Algébrico é o foco, especialmente as que
envolvem estudantes do início do segundo ciclo do Ensino Fundamental, professores,
análises de livros e de documentos curriculares. Essas investigações nos auxiliaram,
inclusive, a configurar e justificar a contribuição de nossa investigação à Educação
Matemática.
1.1. Trajetória e objetivo4
A motivação dessa pesquisa tem origem nas leituras realizadas no processo
de escrita de uma monografia para o curso de especialização em Educação
Matemática, que concluí na Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP),
em 2013. Na ocasião, meu objetivo era analisar, com base na teoria de Raymond
Duval, como os Registros de Representação Semiótica são utilizados e articulados na
abordagem dos assuntos tratados em capítulos atribuídos ao ensino de Álgebra em
dois livros didáticos e o Caderno de Apoio e Aprendizagem5, todos de sétimo ano do
ensino fundamental.
Identificamos em um dos livros que as representações discursivas (que
compreendem a utilização da língua na descrição, argumentação, dedução e etc.), que
empregam os registros monofuncionais (algoritmizáveis) e multifuncionais (não
algoritmizáveis) estão presentes com relação unicamente à língua natural, algébrica e
numérica. Os demais materiais analisados, especialmente o oferecido pela Secretaria
Municipal de Ensino de São Paulo, transitam melhor pelas representações discursivas
4 Nesta seção do trabalho é utilizado o pronome na primeira pessoa do singular, fazendo referência à trajetória da pesquisadora responsável pela aplicação do instrumento de coleta de dados. 5 Caderno de Apoio e Aprendizagem era o material didático oferecido pela Secretaria Municipal de Educação de São Paulo às escolas desta rede de ensino. Seu uso não era obrigatório.
20
e não discursivas (que se encarregam dos procedimentos que possibilitam a
visualização) nos dois tipos de registros (monofuncional e multifuncional) e, na não
discursiva, quanto aos registros multifuncionais.
Além disso, nas obras analisadas constatamos que a conversão em geral não
acontece nos dois sentidos, ao contrário do que sugere Raymond Duval. Ocorre
primordialmente do registro multifuncional para o registro monofuncional. A conversão
inversa a essa foi constatada em apenas um dos livros (em poucas situações) e, de
maneira um pouco mais presente, no Caderno de Apoio e Aprendizagem.
Parte das referências utilizadas em tal trabalho abordava como o ensino da
Aritmética pode auxiliar a compreensão dos temas iniciais de Álgebra no ensino
fundamental 2. Isto, para mim, era impensável até então, já que ainda tinha ideia de
um ensino de Matemática muito fragmentado que a via Aritmética apenas como área
da Matemática que lidava com números, enquanto a Álgebra partia para abstrações e
generalizações6.
Alguns anos mais tarde, uma experiência profissional em uma escola da rede
particular de ensino proporcionou-me vivenciar um trabalho no qual não só o ensino
da Aritmética, mas também o de Geometria e o de Teoria dos Números podem ganhar
foco algébrico já antes do sexto ano. Igualmente, como isso pode contribuir para
compreensão e aprendizagem da Álgebra e seus simbolismos nos anos subsequentes
do ensino fundamental.
A partir de junção entre teoria e prática surgiu o interesse em ingressar no
Mestrado e estudar um pouco mais a respeito do ensino e aprendizagem de Álgebra.
Foi quando voltei à PUC-SP com o intuito de me aprofundar, a princípio, nas diversas
concepções de Álgebra e de Educação Algébrica. Contudo, após algumas semanas
como mestranda passei a fazer leituras sobre um tema que gosto muito: a Teoria dos
Números.
Estava, assim, prestes a mudar um pouco o caminho pensado para minha
dissertação, mas não queria deixar ensino de Álgebra. Buscava, então, uma relação
entre essas duas áreas o que, para mim, na época, ainda não era tão nítido.
6 Tomamos o que Machado e Bianchini (2013) apontam, com base nos processos do Pensamento Matemático Avançado, de Tommy Dreyfus, que “a abstração é um processo construtivo de estruturas mentais a partir de propriedades e relações entre objetos matemáticos” (MACHADO;BIANCHINI, 2013, p.592). Um dos subprocessos do processo de abstrair é o de generalizar, “que permite ao sujeito tirar como consequência ou induzir do particular, identificar o que há de comum, expandir o domínio de validade” (MACHADO; BIANCHINI, 2013, p.592).
21
Ao aprofundar minhas leituras, cheguei ao tema “Pensamento Algébrico”.
Contudo, sem saber muito bem do que se tratava a princípio. Dessa maneira,
aprofundei as leituras. A primeira referência foi a de Fiorentini, Miorin e Miguel (1993).
Aos poucos fui conhecendo as demais referências utilizadas neste trabalho. Esta
temática foi a porta de entrada para a concepção que almejava: a analogia da Álgebra
com outros ramos da Matemática, especialmente em relação à Teoria dos Números,
à Aritmética, à Geometria e às Funções.
O foco de meus estudos estava mais definido a esta altura: pesquisar o
desenvolvimento do Pensamento Algébrico no período que antecede o marco
característico do ensino regular da Álgebra (final do sétimo e início do oitavo ano do
ensino fundamental), que é o início do uso da linguagem algébrica. De tal modo, o tema
dava-se compreender como o desenvolvimento do pensamento algébrico pode contribuir
para uma compreensão do que tange à simbolização e ao estudo das propriedades
aritméticas e algébricas, aspectos fundamentais na interpretação e avaliação de
resultados na resolução de problemas.
Participando no Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica (GPEA) pude
pensar nessas relações de um ponto de vista da pesquisa em Educação Matemática,
o que complementou a visão obtida anteriormente na prática docente.
Nesse sentido, pareceu-me primordial, especialmente enquanto professora,
compreender de que forma esse tipo de abordagem pode efetivamente ser viabilizada
na prática docente e se ela já ocorre. Surgiu, então, a ideia de realizar a pesquisa com
professores de Matemática.
É fundamental, na visão elaborada, que os professores de Matemática tenham
uma dimensão diferente dos problemas que o estudante tem, mais especificamente
com relação às atividades proporcionadas aos educandos, desenvolvidas com o
passar do tempo. Esta “outra dimensão” refere-se, evidentemente, a um saber
matemático mais aprofundado e saber pedagógico do conteúdo tratado e objetivo,
claramente definido para a aplicação da atividade.
Sendo assim, esta pesquisa, de caráter qualitativo, procura investigar quais
elementos caracterizadores do pensamento algébrico (percepção de padrões,
reconhecimento de generalizações, linguagem e registros de representação
utilizados, reconhecimento de equivalência entre expressões numéricas e algébricas,
dentre outros), são identificados por professores de Matemática do segundo ciclo do
ensino fundamental. Inicialmente, isto a investigação se deu via questionário
22
composto por questões e problemas. Em seguida, em participações em uma
apresentação sobre o objeto matemático desta pesquisa – o Pensamento Algébrico.
Por fim, por meio de entrevistas realizadas pela pesquisadora responsável pela
aplicação do instrumento de coleta de dados.
Com o intuito de obter as impressões mais naturais que tivessem sobre as
atividades propostas, decidimos escolher problemas que fossem de natureza
desconhecida dos professores participantes. Da mesma forma, na elaboração dos
problemas, também priorizamos que apresentassem certa variedade de
representações7 e de temáticas abordadas. Este aspecto especialmente, buscando
evidenciar que atividades relacionadas a outras áreas da Matemática podem ganhar
um caráter algébrico, ao buscar identificação de padrões e regularidade, a percepção
de relações de equivalência, de interdependência, etc.
O objetivo era, igualmente, fugir das situações de aprendizagem que Kieran
afirma serem as mais comuns nas aulas de Álgebra:
A maioria dos professores confia, por seu ensino de conteúdo algébrico, nas atividades que eles encontram nos livros didáticos (por exemplo, Arbaugh & Brown, 2004; Kieran, 1992). No entanto, a maioria dos livros didáticos oferece poucas tarefas para desenvolver o pensamento algébrico, concentrando-se como eles na manipulação. Os professores de álgebra mais engenhosos podem recorrer a revistas de pesquisa ou fontes profissionais, mas a maioria não tem o tempo necessário para pesquisar esses recursos para melhorar o pensamento algébrico de seus alunos. Muitas vezes, é nos interstícios de uma tarefa de livros didáticos e outra que os professores podem tentar unir e oferecer aos alunos algumas das ideias relacionadas ao pensamento algébrico que só foram sugeridas implicitamente pelo material do livro didático
(KIERAN, 2007, p. 4 – tradução nossa)8
Nesse contexto, os problemas propostos em nosso instrumento de coleta de
dados configuram-se em uma ampliação do que os professores compreendem como
atividades que abordam o ensino de Álgebra e que podem ser propostas a estudantes
do Ensino Fundamental.
7 Estamos de acordo com Machado e Bianchini (2013), que definem que “o processo de representar um conceito é aquele de gerar uma instancia, um espécime, um exemplo, uma imagem dele. Ocorre em registros compartilhados como da escrita, do desenho, da fala, dos gestos e outros”, de acordo com os processos do Pensamento Matemático Avançado, de Tommy Dreyfus 8 Most teachers rely, for their teaching of algebraic content, on the activities that they find in textbooks
(e.g., Arbaugh & Brown, 2004; Kieran, 1992). However, the majority of textbooks offer little in the way of tasks for developing algebraic thinking, focusing as they do on manipulation. The more resourceful of algebra teachers may turn to research journals or professional sources, but most do not have the time that is required to search out such resources to enhance the algebraic thinking of their students. Often, it is in the interstices of one textbook task and the next that teachers may attempt to knit together and offer to students some of the ideas related to algebraic thinking that have only been implicitly suggested by the textbook material.
23
Deste modo, reiterando, nossa investigação será norteada pelas seguintes
questões de pesquisa: Quais aspectos relacionados ao desenvolvimento do
pensamento algébrico são notados por professores em atividades que têm esse foco?
Os participantes conhecem algo sobre o pensamento algébrico? Consideram que o
ensino de Álgebra pode ser iniciado antes do período do 7° - 8º anos do ensino
fundamental?
Com o intuito de responder a estas questões, esta pesquisa foi composta por
três momentos. No primeiro deles, quatro professores de Matemática do ensino
fundamental de uma escola estadual solucionaram alguns problemas propostos por
nós e responderam algumas questões acerca de elementos observados nos
problemas. Além disso, responderam, sobre as atividades, acerca de suas
concepções e experiências enquanto professor(a) de matemática. Na segunda etapa
foi realizada uma apresentação aos participantes na qual foram abordadas as
caracterizações do pensamento algébrico segundo Kaput (1999, 2000, 2000a, 2008);
Blanton e Kaput (2005); Kieran (2004, 2007); Fiorentini Miorin e Miguel (1993);
Fiorentini, Fernandes e Cristovão (2005); Ponte, Branco e Matos (2009). No terceiro
momento realizamos entrevistas com os participantes, nas quais enfatizamos
aspectos de suas produções escritas ou de participações que demandavam maiores
explicações.
Os pesquisadores supracitados foram tomados como referência na seleção e
elaboração dos problemas que foram resolvidos pelos professores participantes da
pesquisa e a análise das produções dos resultados.
Procuramos, também, pautar nossa investigação em documentos oficiais,
como os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental de Matemática
(BRASIL, 1998), a BNCC (BRASIL, 2017; 2017a) e os Princípios e Normas para
Matemática Escolar9 (NCTM, 2000), no que tange ao ensino de Álgebra e ao
desenvolvimento do pensamento algébrico
Apresentamos na seção seguinte a revisão bibliográfica de pesquisas sobre
desenvolvimento do pensamento algébrico abarcando elementos relacionados ao
trabalho com alunos, aos conhecimentos de docentes sobre essa abordagem e ao
material didático (livro didático e materiais da rede estadual de ensino de São Paulo).
9 Principles and Standards for School Mathematics.
24
1.2. Revisão bibliográfica
Encontramos diversos trabalhos – dissertações e teses – para a composição
da revisão bibliográfica. As bases de nossa pesquisa foram colhidas nos portais da
CAPES e da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, além de outras
publicações acadêmicas disponíveis na internet sobre ensino de Álgebra e
desenvolvimento do pensamento algébrico.
Após a leitura de vários trabalhos a respeito da temática escolhida,
estabelecemos um critério temporal para a seleção das pesquisas que comporiam
nosso trabalho. Optamos, então, por estabelecer um período de dez anos, de 2007 a
2017, para a seleção dos trabalhos encontrados.
A partir de uma delimitação temática a respeito do desenvolvimento do
pensamento algébrico no início do segundo ciclo do ensino fundamental, buscamos
pesquisas que relacionam o desenvolvimento desse tipo de pensamento ao
conhecimento dos docentes ou acerca de formação de professores sobre o tema.
Contudo, encontramos poucos trabalhos nesse sentido. Para descobrir textos, livros e
etc. nesse viés, utilizamos como palavras-chave e termos-chave: “pensamento
algébrico”, “Pré-álgebra”, “pensamento algébrico e professores”, “ensino de Álgebra”,
“pensamento algébrico no ensino fundamental”, “linguagem algébrica”.
Decidimos, assim, ampliar nossos parâmetros. Com isso, escolhemos
investigações que tratam, também, do desenvolvimento do pensamento algébrico com
alunos, evidenciando possibilidades e dificuldades em abordagens que envolvam
atividades de cunho algébrico antes do domínio de uma linguagem algébrica. Além
desses, pesquisas que tematizam o desenvolvimento do pensamento algébrico em
livros didáticos de sexto e sétimo anos do ensino fundamental.
Tal delimitação nas buscas resultou na seleção de oito pesquisas, elaboradas
em universidade brasileiras e portuguesas. Consideramos que estes trabalhos nos
auxiliariam na demarcação de nosso objeto de estudo, contribuindo para uma visão
mais ampla do processo de desenvolvimento do pensamento algébrico na etapa
escolar considerada.
Utilizamos, além do mais, pesquisas realizadas por integrantes do GPEA, dentro
do intervalo de tempo considerado em nossa escolha, relacionadas ao desenvolvimento
do pensamento algébrico. O Quadro 1 apresenta as pesquisas selecionadas.
25
Quadro 1: Pesquisas selecionadas
Pesquisador (a) Ano Universidade Titulação Título
Santos 2007 Universidade
Federal do
Espírito Santo
Mestrado
Acadêmico
Introdução ao pensamento algébrico: Um
olhar sobre professores e livros didáticos
de Matemática
Castro 2009 PUC-SP Mestrado
Acadêmico
Aspectos do pensamento algébrico
revelados por professores-estudantes de
um curso de formação continuada em
Educação Matemática
Barbosa 2009 Universidade
Bandeirante
de São Paulo
Mestrado
Acadêmico
Multisignificados de uma equação: Uma
investigação sobre as concepções de
professores de Matemática
Fernandes 2011 Universidade
Estadual de
Campinas
Mestrado
Acadêmico
Iniciação às práticas de letramento
algébrico em aulas exploratório-
investigativas
Duarte 2011 Universidade
de Lisboa
Doutorado Tecnologia e pensamento algébrico: Um
estudo sobre o conhecimento profissional
dos professores de Matemática
Silva 2013 Universidade
Estadual de
Londrina
Mestrado
Acadêmico
Aspectos do pensamento algébrico e da
linguagem manifestados por estudantes
do sexto ano em um experimento de
ensino
Aguiar 2014 Universidade
de São Paulo
Doutorado O Percurso da Didatização do
Pensamento Algébrico no Ensino
Fundamental: uma análise a partir da
Transposição Didática e da Teoria
Antropológica do Didático
Américo 2016 PUC-SP Mestrado
Acadêmico
Estudo sobre os conhecimentos dos
professores de Matemática na construção
do processo de generalização
Silva Júnior 2016 PUC-SP Doutorado Pensamento algébrico: Indícios de um
currículo enculturador
Cruz 2016 PUC-SP Mestrado
acadêmico
Pensamento algébrico e os significados do
sinal de igualdade: O uso da oralidade e
da narrativa nas aulas de Matemática
Fonte: Dados de pesquisa
Constatamos que Silva (2013), em sua dissertação – cujo título é “Aspectos do
pensamento algébrico e da linguagem manifestados por estudantes do sexto ano em
um experimento de ensino” e com palavras-chave “Educação Matemática; Pensamento
Algébrico; Experimento de Ensino; Ensino Fundamental” –, visou identificar, analisar e
discutir aspectos do pensamento algébrico utilizados por estudantes de sexto ano do
26
ensino fundamental, analisando três episódios de ensino e registros escritos da
resolução de dois problemas. A pesquisadora encontrou alguns aspectos de
pensamento algébrico em três situações de ensino e nos registros escritos dos
estudantes, com destaques à utilização de uma linguagem sincopada para se expressar
matematicamente, à utilização de símbolos não convencionais e convencionais
relacionados a conceitos e propriedades, à compreensão dos conceitos envolvidos no
problema, à utilização da proporção direta, à resolução de equações por meio de
operações inversas, à análise e expressão de relações entre grandezas desconhecidas
sem recorrerem a valores específicos, entre outros.
Evidenciou, ainda, quais aspectos de pensamento algébrico são mobilizados
com maior e menor frequência, caracterizando três modos de pensar matemática
apresentados pelos sujeitos da pesquisa: a) um modo algébrico de pensar, quando se
identifica que o estudante utiliza aspectos de pensamento algébrico, estabelecidos
pelas evidências de que apresentou habilidades, do pensamento matemático,
consideradas necessárias para o sucesso em álgebra e ao resolver problemas que
envolvem conceitos algébricos; b) um modo de pensar limitado por crenças e rotinas,
categoria que destaca resoluções de estudantes que estão acostumados a pensar
que todo problema matemático deva ser solucionado realizando um algoritmo e
obtendo um resultado numérico como resposta; indivíduos que procuram resultados
operando da esquerda para a direita e não fazem previsões e constatações quando
trabalham com valores desconhecidos, acreditam que as respostas sejam o objetivo
principal e que não precisam ser reavaliadas e analisadas; c) um modo ingênuo de
pensar, que corresponde a um conjunto de estratégias extramatemáticas, realizadas
pelos estudantes diante de situações novas ou que envolvam conhecimentos que não
dominam.
Com relação aos resultados relacionados à primeira categoria, a pesquisadora diz
que praticamente todos os estudantes apresentaram alguma ideia algébrica das que
utilizou em sua categorização. Observou, também, que todos os alunos participantes da
pesquisa não conseguiram realizar alguma das atividades algébricas devido à maneira
como estão habituados a lidar com a Matemática na escola. Além do mais, destacou que
quase todos os estudantes apresentaram uma “ingenuidade com relação à Matemática”,
segundo ela, gerada por falta de compreensão de conceitos.
Por conseguinte, constatou que o modo algébrico de pensar mais comum entre
os estudantes do sexto ano consistia em conceber as relações entre dois conjuntos
27
de objetos variáveis. Também tendem a resolver problemas que envolvem equações
utilizando uma ideia funcional, além de terem evidenciado uma aceitação em lidar com
variáveis. Destarte, notou que cerca da metade dos participantes foram capazes de
analisar e expressar relações entre grandezas desconhecidas, isto sem a
necessidade de escolherem valores específicos. Conseguiram fazer previsões com
relação a transformações realizadas em ambos os membros de uma igualdade,
indicando processos de generalização. Consequentemente, não tiveram problemas
em se envolverem em atividades como justificações, previsões, generalizações,
analise de relações entre quantidades, observação de estruturas, resolução de
problemas.
Em relação à linguagem, identificou que parte dos participantes conseguira
manipular símbolos convencionais e não convencionais relativos a conceitos e
propriedades, revelando uma tendência ao desenvolvimento da linguagem sincopada
para se expressarem.
No que tange à segunda categoria, a pesquisadora compreendeu que o
aspecto mais comum nos estudantes refere-se a não perceberem a equação
apresentada no problema.
Outro ponto destacado por ela é que os estudantes pensam e efetuam as
operações da esquerda para a direita, tendo dificuldades em operar no sentido
inverso. Do mesmo modo, não acreditam que a partir de um resultado dado seja
possível encontrar o valor desconhecido da equação. Em alguns casos, utilizam o
valor numérico que é apresentado à direita da igualdade como se fosse o valor
desconhecido e consideram que o resultado a ser determinado deva estar sempre à
direita do sinal de igual que, aliás, foi sempre utilizado como indicador da resposta.
Além disso, pouco menos da metade dos estudantes julga que os problemas precisam
ter resultados particulares.
Com relação à terceira categoria, os resultados apontam que alguns
participantes fazem generalizações equivocadas e realizam ações não pertinentes,
dentro da Matemática, na resolução de problemas e em procedimentos
computacionais. Não conseguem discernir entre o que é pertinente fazer e o que não
é. Acrescentam informações ou fazem adaptações no problema a ser resolvido
quando se deparam com um conceito que não dominam ou com estranhamentos.
A investigadora conclui enfatizando que, apesar dos estudantes do 6º ano serem
capazes de pensar algebricamente, são influenciados por uma maneira reprodutiva de
28
estudar e fazer Matemática, sem preocupação em operar análises e justificativas.
Considera, ainda, que os aspectos de pensamento algébrico apresentados pelos alunos
consistem em um conhecimento intuitivo, pouco consolidado.
Fernandes (2011), por sua vez – em pesquisa de mestrado intitulada “Iniciação às
práticas de letramento algébrico em aulas exploratório-investigativas”, que apresenta as
palavras-chave “Educação Matemática; Matemática; Letramento; Álgebra – Estudo e
ensino” –, procurou compreender como se dá o desenvolvimento do letramento algébrico
de alunos do sétimo ano do Ensino Fundamental. Sua pesquisa se deu sobre a prática
do pesquisador, desenvolvida em um ambiente exploratório-investigativo, de natureza
qualitativa e, sobretudo, interpretativa, na qual foram aplicadas três atividades
exploratório-investigativas. Foram duas as categorias de análise utilizadas: a) a mediação
realizada pelo professor em diferentes momentos das aulas, criada a partir dos objetivos,
com especial atenção ao momento de socialização/sistematização das apresentações no
processo de letramento algébrico; e, b) a constituição de um letramento algébrico,
elaborada a partir da pesquisa de campo, tendo como foco de análise e interpretação as
crenças, valores e saberes mobilizados pelos alunos, a produção de sentidos e a
negociação de significados desenvolvida por eles durante a atividade de análise da
constituição, e o desenvolvimento do letramento matemático dos alunos. O pesquisador
relata ter percebido, após a realização da primeira atividade, a força da relação
oralidade/escrita, mostrando a facilidade dos alunos ao se expressarem oralmente.
Todavia, mostraram-se resistentes em escrever, pois tinham ainda dificuldades em
utilizar uma linguagem simbólica.
Assim, um aluno pode ser considerado algebricamente letrado, “se ele estiver
em condições de ler, descrever, analisar, compreender, representar e escrever textos
que utilizam códigos algébricos, sejam eles de natureza numérica, gráfica, retórica,
esquemática, simbólica” (FERNANDES, 2011, p. 121).
Em relação ao professor como mediador do processo de letramento algébrico, o
pesquisador constatou que a escolha da “mediação”, como sendo uma das categorias de
análise, facilitou o destaque à importância do papel do professor no desenvolvimento do
letramento algébrico. Conforme diz, podem-se introduzir gradativamente elementos da
linguagem algébrica a partir das elaborações feitas pelos alunos.
Por conseguinte, o pesquisador destaca que a produção escrita dos alunos foi
substancialmente modificada ao longo da pesquisa, evidenciando progressivo uso de
códigos matemáticos e algébricos para expressar suas significações, além de
29
evidenciar a inter-relação entre a oralidade e a escrita nas aulas de Matemática. Para
constatar essa evolução, observou que a escrita dos relatórios passou por três
diferentes fases: na fase 1, durante a realização da primeira atividade, percebeu que
os alunos tiveram dificuldade em registrar simbolicamente suas descobertas; na fase
2, no momento de socialização e sistematização, enquanto os alunos expunham suas
conclusões, diz que anotava no quadro e solicitava para que todos os alunos
copiassem no caderno, o que, segundo o pesquisador, se processou de modo aos
alunos se apropriarem e investigarem em Matemática e, além disso, de registrarem por
escrito o que descobriam em uma aula exploratório-investigativa; a fase 3, evidenciou
um grande avanço no letramento dos estudantes, fruto do cuidado anterior nas
propostas de registro das sistematização das atividades. Conforme o pesquisador, em
muitas destas escritas foram notadas características do pensamento algébrico e o uso
da linguagem retórica para explicar a generalização proposta.
Outro fato relevante destacado por Fernandes foi que, no decorrer de sua
pesquisa, os alunos tiveram contato com problemas abertos, atípicos na cultura da
Matemática escolar, exigindo leitura diferenciada das atividades propostas, escrita e
reescrita de suas produções, argumentação e justificação, coisas que, habitualmente,
não são aplicadas em aulas de matemática.
No mesmo domínio, a tese de Duarte (2011) – com o título: “Tecnologia e
pensamento algébrico: Um estudo sobre o conhecimento profissional dos professores
de Matemática”, e palavras-chave “Conhecimento profissional; pensamento algébrico;
tecnologias de informação e comunicação; práticas profissionais; colaboração” –, teve
o objetivo de compreender o conhecimento profissional necessário ao professor no
desenvolvimento curricular e em sua prática, com foco no uso da tecnologia no
desenvolvimento do pensamento algébrico em um contexto de trabalho em conjunto
entre professoras e pesquisador.
Esta pesquisa apresenta um estudo de caso com duas professoras de
Matemática que lecionam no sétimo ano e que têm diferentes experiências
profissionais. Nela, foi criado um contexto de trabalho em parceria, no qual
investigador e professoras participantes discutiram e elaboraram atividades que
proporcionavam o desenvolvimento do pensamento algébrico com utilização das TIC.
Ocorreram, também, observações das aulas nas quais as atividades foram
implementadas, com posterior discussão da equipe a respeito dos conhecimentos
profissionais mobilizados na prática letiva.
30
O pesquisador conclui relatando avanços nas concepções das professoras a
respeito de como se dá o desenvolvimento do pensamento algébrico e da maneira
como encaram o aprendizado de seus alunos.
No que diz respeito à evolução no conhecimento profissional das duas
professoras participantes, o pesquisador salienta que ambas inicialmente
identificavam pensamento algébrico com o cálculo algébrico e com a generalização
próxima nas regularidades. Esta concepção, diz ele, evoluiu para um pensamento
baseado em relações, possibilitando que passassem a considerar o pensamento
funcional, as representações múltiplas (incluindo representações próprias dos alunos
e representações associadas ao uso da tecnologia) e à generalização como ideias
centrais do pensamento algébrico.
O pesquisador aponta que, inicialmente, as professoras apresentavam
expectativas muito baixas em relação à produção de seus alunos em um trabalho
algébrico. Isto foi modificado substancialmente quando os alunos mostram evolução
nas explicações que promoveram.
Além disso, as professoras tiveram suas concepções modificadas inclusive no
que tange à proposta das atividades, passando de propostas mais estruturadas e
fechadas às abertas, concebendo estas últimas como oportunidade para desenvolver
a comunicação, construir e explorar relações, usar representações e algebrizar o
currículo, ou associadas a um maior grau de exigência no raciocínio, que foram
progressivamente integrando às suas práticas.
No que tange ao conhecimento do processo de condução do ensino, Duarte
pontua que cada uma delas, ao seu modo de encaminhar as propostas, foram
aprofundando as suas competências de antecipação de resoluções dos alunos.
No trabalho colaborativo em equipe, o pesquisador assinala que ambas as
professoras gostaram de trabalhar em equipe, compartilharam suas propostas,
participaram ativamente das discussões. O trabalho colaborativo na equipe permitiu-
lhes consolidar seus conhecimentos matemáticos e didáticos referentes ao
desenvolvimento do pensamento algébrico.
Em relação ao uso das TIC, as professoras fizeram uso das tecnologias com
diferentes objetivos. Foram, além do mais, evidenciando maior receptividade à esta
prática a partir das leituras realizadas e da evolução que observaram nas explicações
de seus alunos no domínio do pensamento relacional e da forma como utilizam as
representações gráficas. Do mesmo modo, destacou-se a importância dada pelas
31
docentes à participação nesse trabalho colaborativo, proporcionando reflexão sobre a
prática e, a partir do aprendizado estabelecido, propiciou aumento de confiança na
proposição de avanços e modificações em seus trabalhos.
Por conseguinte, a dissertação de Barbosa (2009) – cujo título é
“Multisignificados de uma equação: Uma investigação sobre as concepções de
professores de Matemática”, e palavras-chave são “Equação. Multisignificados de
equação. Concepção de equação de professores. Educação Algébrica” – objetivou
investigar imagens de conceito10 de professores de Matemática ao ver, interpretar e
tratar situações-problema relacionadas à equação.
Barbosa relata que os professores não tiveram dificuldades quanto à utilização
de técnicas para resolver as atividades propostas. No entanto, apresentaram
dificuldades em explicar e justificar os procedimentos utilizados, já que não
reconheciam a estrutura interna da equação como o princípio de equivalência,
focando na utilização de manipulações algébricas. Isso levou o pesquisador a concluir
que o significado processual-tecnicista, único presente na imagem de conceito dos
três professores, apresentava-se pouco estruturado.
A ideia de igualdade não parece estar presente de maneira satisfatória. Um dos
professores participantes da pesquisa usou a presença da incógnita e do sinal de igual
como elementos que justificavam a existência de uma equação. Os outros dois
professores expressaram que “o que você faz de um lado tem que fazer do outro”,
como alguém que cita mais uma “regra decorada”, sem ser capaz de explicar essa
regra. Isto indica que o princípio de equivalência não é considerado adequadamente
por nenhum dos participantes.
O pesquisador identificou que era restrita a quantidade de diferentes significados
que os professores atribuíam a uma equação, limitando-se quase que exclusivamente
às técnicas de resolução. A imagem de conceito predominante era a ideia de incógnita.
Santos (2007) em sua pesquisa de mestrado – sob o título “Introdução ao
pensamento algébrico: Um olhar sobre professores e livros didáticos de Matemática”,
e palavras-chave “Álgebra; pensamento algébrico; livro didático” –, investigou como
ocorria a introdução do pensamento algébrico nos livros didáticos de Matemática e
como sua abordagem e o discurso dos autores de livros didáticos impactam no ensino
e aprendizagem da álgebra em sala de aula. Examinou, também, a influência exercida
10 “Imagem de conceito” é a expressão utilizada por Barbosa (2009) para designar o Conceito Imagem, de autoria de Tall e Vinner (1981).
32
pelos livros didáticos na concepção que o professor tem sobre Álgebra e em suas
ações pedagógicas.
O objetivo desse acompanhamento era estabelecer diálogos com professores
e alunos sobre as dificuldades no ensino e na aprendizagem da álgebra e sobre como
os docentes compreendiam o desenvolvimento do pensamento algébrico.
Os dados foram coletados basicamente por meio de observação de aulas,
questionários e entrevistas semiestruturadas, a partir da definição do estudo piloto
com os três professores.
Quanto ao ensino da álgebra, a pesquisadora verificou que professores e alunos
seguem o livro como regra prescrita de ensino e que ainda há uma prática mecânica
relativa ao ensino e ao aprendizado de álgebra. Os professores, por sua vez,
reconheceram, ainda, que o ensino da álgebra era iniciado em equações ou expressões
algébricas e que o pensamento algébrico era tematizado a partir de tais conteúdos.
Quanto à opinião dos alunos em relação ao livro didático, a maioria acreditava
que fosse essencial ao ensino, enfatizando que facilitava, na medida em que o aluno
não precisasse copiar exercícios da lousa. Em relação à álgebra, muitos a associaram
às equações, outros à quando aparecem letras e poucos não souberam o que
responder. Sobre pensamento algébrico não houve definições.
Quanto às entrevistas com os autores dos livros didáticos selecionados, a
pesquisadora diz que isso contribuiu para melhor compreensão de seus discursos nos
livros didáticos e apresentou um comparativo do discurso do autor e o que era
apresentado em seu livro didático sobre álgebra. Igualmente, comparou a abordagem
de álgebra proposta pelo livro e o que o respectivo autor relatava nas entrevistas.
A pesquisadora concluiu que, tanto no livro didático quanto nos discursos, os
autores evidenciam suas concepções algébricas, o que influencia diretamente em
suas concepções sobre pensamento algébrico, fato que também extraiu a partir dos
discursos dos professores. Isto a levou à percepção de que o entendimento do
conceito de álgebra interfere diretamente na definição de pensamento algébrico.
Por conseguinte, argumentou que nas duas coleções analisadas foram
encontradas atividades que contribuíam para o desenvolvimento do pensamento
algébrico e que os conteúdos apresentados são retomados a cada ano com maior
grau de profundidade. Entretanto, ressaltou que identificou uma carência de propostas
de atividades com objetivo de desenvolver o pensamento algébrico no sexto ano do
ensino fundamental.
33
Asseverou, ainda, que ficou evidente na entrevista com alunos dos professores
participantes o fato de que muitos ainda interpretam o ensino de álgebra de uma
maneira negativa, e que muitos manipulam os símbolos algébricos sem entender as
propriedades operatórias e sem ter noção dos transformismos algébricos
empregados.
Por sua vez, Aguiar (2014), em sua tese – intitulada “O Percurso da Didatização
do Pensamento Algébrico no Ensino Fundamental: uma análise a partir da
Transposição Didática e da Teoria Antropológica do Didático”, e palavras-chave
“ensino de matemática, ensino de álgebra, pensamento algébrico, Transposição
Didática, Teoria Antropológica do Didático, livro didático” –, dedicou-se à análise de
livros didáticos do sexto ao nono anos do ensino fundamental. Investigou, aí, o modo
como os livros didáticos e os Cadernos do Professor e do Aluno11 permitiam a
construção do pensamento algébrico.
Uma das coleções analisadas apresentava demasiadamente técnicas e treinos
na resolução de equações, sistemas de equações, realização dos cálculos algébricos,
construção dos gráficos de funções. Nas resoluções de problemas, porém, dava-se
pouca atenção ao desenvolvimento de habilidades referentes à percepção dos
padrões e regularidades, à escrita das generalizações, à linguagem algébrica a partir
de uma linguagem retórica.
Já a outra coleção de livros didático analisada propunha que o ensino de Álgebra
fosse desenvolvido ao longo dos quatro anos do segundo ciclo do ensino fundamental,
apresentando, a cada ano, uma nova proposta de conteúdo em relação à grade de
conteúdos tradicionalmente usada pelos livros. No sexto e sétimo anos eram
tematizadas a percepção de padrões e regularidades, a descoberta das generalizações
desses padrões, o desenvolvimento da escrita algébrica, a ideia de variável, as
resoluções de equações e a resolução de problemas que apenas descreviam as
equações (linguagem retórica). Nos dois últimos anos do ensino fundamental, as
mesmas caracterizações do pensamento algébrico continuavam a ser desenvolvidas,
mas agora a preocupação se dava com a formalização dos conteúdos.
Quanto aos Cadernos elaborados pela Secretaria de Educação do Estado de
São Paulo, a pesquisadora destaca que o ensino de Álgebra percorre três caminhos:
o primeiro é sobre a percepção de padrões e regularidades e a escrita algébrica das
11 Utilizados na rede estadual de ensino de São Paulo.
34
generalizações; o segundo versa a respeito de resoluções de equações e sistemas
de equações, incentivando que os alunos busquem modos criativos de resolução; e o
terceiro vale-se da ideia de proporcionalidade como mote para introduzir o conceito
de função.
Segundo Aguiar, o desenvolvimento desses caminhos foi marcado por uma
busca de relação entre a linguagem algébrica e a língua corrente (linguagem retórica)
e a utilização da escrita algébrica para descrever relações geométricas. A
pesquisadora destaca, ainda, que, pelo Caderno do Professor, o docente é orientado
a complementar o trabalho com as técnicas relacionadas ao cálculo algébrico, como,
por exemplo, os casos de fatoração.
Aguiar conclui sua análise dos materiais selecionados argumentando que eles
traçam percursos distintos no trabalho com Álgebra e com o desenvolvimento do
pensamento algébrico, fato que, se ampliado, pode ser verificado na variedade de
livros didáticos aprovados pelo PNLD12 disponíveis atualmente no mercado.
As pesquisas, indicadas a seguir, são produções de pesquisadores do GPEA
sobre pensamento algébrico no período considerado nesta revisão bibliográfica.
Castro (2009) – em sua dissertação intitulada “Aspectos do pensamento algébrico
revelados por professores-estudantes de um curso de formação continuada em
Educação Matemática”, com palavras-chave “Pensamento Algébrico; Linguagem
Algébrica; Formação Continuada; Educação Matemática” – analisou quais aspectos do
pensamento algébrico quinze professores-estudantes, de um curso de Pós-Graduação
stricto sensu em Educação Matemática, apresentavam ao resolver cinco problemas de
cunho algébrico. A pesquisadora visou, também, quais aspectos da linguagem algébrica
são explicitados nas justificativas matemáticas das resoluções propostas pelos
professores, além de investigar se o uso da tecnologia (aplicativo utilizado no ensino de
geometria) contribuiria para a resolução de um dos problemas propostos.
Para realizar as análises, Castro tomou como base os indicadores os aspectos
caracterizadores do pensamento algébrico propostos por Fiorentini, Fernandes e
Cristovão (2005), destacando a necessidade de adaptá-los conforme o nível de ensino
a que a pesquisa é destinada. Nesse sentido, os aspectos caracterizadores do
pensamento algébrico constatados nas resoluções dos participantes foram:
“Desenvolvimento de algum tipo de processo de generalização”; “Desenvolvimento de
12 Programa Nacional do Livro Didático.
35
uma linguagem mais concisa ou sincopada ao se expressar matematicamente”;
“Percepção e expressão de regularidades ou invariâncias”; “Percepção e expressão
das estruturas de um problema”; “Transformação de uma expressão em outra mais
simples”; “Produção de mais de um modelo para um mesmo problema”;
“Estabelecimento de relações/comparações entre expressões ou padrões
geométricos”; “Interpretação de uma igualdade como equivalência entre duas
grandezas ou entre duas expressões”.
Além disso, verificou que os sujeitos de pesquisa nem sempre utilizavam a
linguagem algébrica para resolver problemas algébricos, além de atingirem diferentes
níveis de generalização para cada um dos problemas propostos.
Em relação aos aspectos da linguagem algébrica apresentados nas
justificativas, a investigadora apontou que o conhecimento dos participantes sobre as
propriedades era precário, sobressaindo o predomínio de descrição de procedimentos
e do enunciado de tópicos matemáticos sobre o conhecimento das propriedades e
regras válidas. Isto, segundo a pesquisadora, pode estar relacionado ao fato de que
na formação inicial esses professores teriam tido pouco contato com o aspecto
semântico da Álgebra.
Com respeito ao recurso tecnológico utilizado para resolução em uma das
questões, Castro concluiu que ele contribuiu positivamente no sentido da visualização
da variação das figuras e da observação dos padrões que as figuras seguiam,
proporcionando a percepção de regularidades ou invariâncias em alguns aspectos.
Contudo, prejudicou no que se refere à propagação de interpretações equivocadas do
problema e à indução da observação de certo comportamento das figuras, o que pode
ter dificultado uma resolução algébrica dos participantes que buscaram enunciar
apenas o que visualizaram.
De igual modo, os sujeitos de pesquisa de Américo (2016) também foram
professores. Em seu trabalho – intitulado “Estudo sobre os conhecimentos dos
professores de Matemática na construção do processo de generalização”, que
apresenta as palavras-chave “Educação Algébrica. Pensamento Algébrico.
Generalização de Padrões e Regularidades. Currículo Oficial de São Paulo. Formação
de Professores” –, investigou quais conhecimentos pedagógicos e sobre ensino de
matemática professores da rede pública estadual de São Paulo manifestariam ao
resolver atividades sobre padrões e regularidades. As atividades escolhidas para tanto
36
foram retiradas do Caderno do Aluno13 do oitavo ano do Ensino Fundamental da rede
pública estadual de São Paulo, por apresentar atividades com a temática requerida.
Os resultados obtidos após a análise das cinco entrevistas permitiram observar
a fragilidade do conhecimento docente presente tanto no aspecto pedagógico, sobre
a importância e possibilidades que as atividades sobre reconhecimento e
generalização de padrões poderiam oferecer na construção do conhecimento
matemático, quanto no aspecto específico do conteúdo matemático, o que dificultava
a percepção dos professores, que sentem que tal processo de construção do
conhecimento está incompleto, ou seja, estão diretamente ligadas ao alcance dos
objetivos esperados para a aprendizagem.
A pesquisadora chama a atenção, também, para a formação desses
professores, alicerçada no desenvolvimento de técnicas e procedimentos de cálculos,
não tendo destaque a compreensão e investigação.
Consequentemente, apontou o interesse apresentado pelos professores em
aproveitar o momento da entrevista para discutir sobre suas apreensões a respeito das
atividades utilizadas na pesquisa, bem como sobre o que observaram em relação à
aprendizagem de seus alunos. Isto fez evidenciar-se a percepção, por parte desses
professores, da necessidade de conhecer caminhos sugeridos para a construção de
conceitos e disposição em adquirir novos conhecimentos, revelando o desejo, por parte
dos entrevistados, em participar de formações continuadas que permitiriam a ampliação
do saber docente. Frisou, além do mais, a precisão da formação continuada como
oportunidade de entendimento do material curricular disponível para uso em sala de
aula, aproximando os referenciais teóricos da prática do professor.
Silva Júnior (2016) em sua tese – “Pensamento Algébrico: Indícios de um currículo
enculturador”, com as palavras-chave “Educação Algébrica; Pensamento Algébrico”,
“Enculturação Matemática”, “Currículo” e “Prática docente” – teve como finalidade
averiguar os indícios de um currículo enculturador, na perspectiva de Bishop (1999), que
é evidenciado, com relação desenvolvimento do pensamento algébrico, no currículo
prescrito, no currículo apresentado e no currículo moldado da rede estadual paulista de
ensino. Também pesquisou as relações e não relações entre o currículo enculturador e
o pensamento algébrico nos níveis de currículo analisados. Para isso, analisou o
13 Material pedagógico adotado na rede estadual de ensino de São Paulo que visa unificar o ensino oferecido. O conteúdo corresponde às bases estipuladas no Currículo Oficial do Estado de São Paulo.
37
Currículo de Matemática do Estado de São Paulo (CMSP), os Cadernos do professor
(CP114, CP215) e entrevistou treze professores dessa rede de ensino.
Utilizando-se de Ponte, Branco e Matos (2009), concluiu que as vertentes
representar e raciocinar estiveram presentes de maneira substancial nos três
indicadores analisados. Com relação à primeira destas vertentes, o item “ler,
compreender, escrever e operar com símbolos usando as convenções algébricas
usuais” foi predominante nos três indicadores analisados. Outro componente da
mesma vertente, descrito como “traduzir informação representada simbolicamente
para outras formas de representação (por objetos, verbal, numérica, tabelas, gráficos)
e vice-versa”, foi destacado no CMSP e nas respostas dos professores entrevistados.
O terceiro desta vertente, Evidenciar sentido de símbolo, nomeadamente
interpretando os diferentes sentidos no mesmo símbolo em diferentes contextos,
praticamente não foi explicitado nos indicadores analisados.
Em relação à vertente raciocinar, o pesquisador identificou a presença de forma
hegemônica, em todos os indicadores analisados, do item deduzir. O componente
relacionar, dessa mesma vertente, apareceu apenas no currículo apresentado. Já os
itens generalizar e agir sobre generalizações aparecem apenas no CP1 e na resposta
de um dos professores participantes.
A vertente resolver problemas surge no currículo prescrito e no currículo
apresentado, e apareceu substancialmente nas respostas dos professores
entrevistados.
Silva Junior (2016) constatou que, pela análise do currículo prescrito, do
currículo apresentado e das respostas dos professores, a ênfase no que é proposto,
no que é apresentado e no que é executado, está predominantemente relacionada a
ler, compreender e operar com símbolos, valendo-se das convenções algébricas
usuais e ao deduzir.
Considerando as atividades interculturais, o pesquisador diagnosticou que
predominaram, nos três indicadores analisados, duas delas: contar e medir. Três
delas aparecem de forma superficial: desenhar, localizar e explicar. Já a atividade
intercultural de jogar praticamente não foi representada nos indicadores observados.
14 Caderno do Professor – Matemática: 1ª série do Ensino Médio – Volume 1 – Nova edição: 2014-2017. 15 Caderno do Professor – Matemática: 1ª série do Ensino Médio – Volume 2 – Nova edição: 2014-2017.
38
Com relação aos três pares de valores, concluiu que a ideologia predominante
nos indicadores analisados é o objetismo, ideia de apresentar aplicações dos
conteúdos estudados. Já a ideologia do racionalismo – que valoriza o trabalho com as
abstrações matemáticas contribuindo para o desenvolvimento do raciocínio lógico,
seja ele dedutivo ou indutivo – foi identificado de forma equilibrada com o objetismo,
no currículo prescrito. Nos outros dois indicadores, porém, o racionalismo foi tratado
com ênfase menor.
O sentimento preponderante nos indicadores é o progresso, que está
relacionado à valorização de diferentes estratégias de resolução de problemas,
diversidade de formas de conduzir a aula e de avaliar os alunos, trazendo então um
currículo dinâmico e menos estático. Todavia, o pesquisador ressalta que nas
respostas dos professores prevaleceu o sentimento de controle, que é necessário,
mas com uma atenção especial para não conduzir a aula sempre da mesma forma,
avaliar da mesma maneira.
Com relação à sociologia, que está relacionada às relações propostas em sala
de aula, segundo o pesquisador, predomina a abertura, valorizando a promoção de
espaços para discussão das estratégias e respostas de resolução empregadas pelos
alunos.
Três princípios foram predominantemente relatados em dois indicadores: a
representatividade, também presente no CMSP, CP1, CP2 e no relato dos
professores, refere-se às interligações dos conteúdos matemáticos estudados
anteriormente e em anos posteriores; a concepção ampla e elementar, notada no
CMSP e nas entrevistas dos professores, que diz respeito à relação dos conteúdos
matemáticos com os de outras áreas; e, por último, a acessibilidade, vista pelo
pesquisador também no CMSP e no relato dos professores, evidenciando que há
preocupação para que sejam procurados caminhos para que ocorra compreensão dos
assuntos tratados, e para que o professor facilite a aproximação dos alunos para
esclarecer suas dúvidas, dar opiniões e sugestões.
Outro aspecto destacado por Silva Junior (2016) foi a ausência, nesses
indicadores, de praticamente dois princípios: o poder explicativo e o formalismo. A
pouca menção feita ao primeiro indica, segundo o pesquisador, que a maior
preocupação apresentada na proposta do CMSP, no CP1, no CP2 e nas respostas
dos professores, ainda é com o currículo dirigido ao desenvolvimento de técnicas, cujo
39
objetivo é que o aluno seja levado a fazer, resolver, aplicar fórmulas mecanicamente
e solucionar exercícios de fixação.
Em relação aos componentes ou elementos estruturadores de um currículo
enculturador, o pesquisador constatou uma forte presença do componente simbólico
nos três indicadores analisados, evidenciando uma preocupação apenas no
desenvolvimento dos conteúdos específicos de Matemática e nas formas de ensinar
tais conteúdos. Os outros dois componentes, social e cultural, foram identificados em
poucos momentos.
No que tange às concepções de Álgebra, Silva Junior (2016) aponta que um
dos professores declarou que iniciar o ensino de Álgebra no sexto ou sétimo ano do
Ensino Fundamental atrapalha a aprendizagem do aluno, visto que seria um início
precoce do estudo nessa área da Matemática. Outra concepção destacada pelo
pesquisador, que esteve presente nas respostas dos professores, é que o ensino de
Álgebra estaria baseado na manipulação de símbolos, e também como técnicas e
ferramentas para resolver um problema.
Quatro dos professores entrevistados por ela compreendiam a expressão
“Pensamento Algébrico” como sendo o pensamento utilizado para traduzir uma
situação-problema para a linguagem matemática. Outros três remetiam o
“Pensamento Algébrico” às abstrações, ressaltando que os alunos tinham muita
dificuldade com este aspecto da Matemática. Apenas um dos entrevistados relacionou
esse tipo de pensamento à ideia de generalização.
Cruz (2016), em sua dissertação – “Pensamento Algébrico e os Significados do
Sinal de Igualdade: O Uso da Oralidade e da Narrativa nas Aulas de Matemática”, cujas
palavras-chave são “Educação Algébrica”, “Comunicação na aula”, “Oralidade na aula”,
“Sinal de igualdade”, “Pensamento Algébrico” –, intentou compreender e analisar como
a comunicação na aula de matemática poderia contribuir para o desenvolvimento do
pensamento algébrico. Para isso, averiguou indícios do desenvolvimento de alguns
elementos do pensamento algébrico que poderiam ser atribuídos à compreensão do sinal
de igualdade com o sentido de equivalência. Aplicou, então, uma sequência de atividades
para alunos do sétimo ano do ensino fundamental da rede pública do Estado de São
Paulo, que seriam colocados em situação de comunicação para que pudessem agir,
formular conjecturas e validar hipóteses.
A pesquisadora constatou que os alunos participantes, após a realização da
sequência de atividades, ampliaram as características apresentadas antes da
40
realização da atividade. Um dos alunos, que compreendia o significado do sinal de
igualdade como operador, conseguiu ter um novo significado sinal de igualdade, agora
notando a equivalência entre expressões e a relação existente entre as variáveis –
alguns importantes elementos caracterizadores do pensamento algébrico. Outras
duas alunas apresentavam, desde o início, o significado de equivalência para
igualdade. Ambas evoluíram do pensamento pré-algébrico para o pensamento de
transição do aritmético para o algébrico, embora apenas uma delas tenha mostrado
um processo de generalização.
A pesquisadora relata que a interação com colegas nas atividades proporcionou
situações em que os alunos, que inicialmente apresentavam um significado operacional
para o sinal de igualdade, conseguiram mobilizar os conhecimentos necessários para
atribuir um novo sentido a ele, como equivalência. Os alunos que reconheciam esse
significado para o sinal de igualdade conseguiram resolver as atividades propostas de
modo a tornar verdadeiras as sentenças, que eram compostas por operações em lados
opostos de uma igualdade com um valor desconhecido em um dos membros ou dois
valores incógnitos, um em cada membro da igualdade.
Assim sendo, as pesquisas selecionadas nos mostram que o Pensamento
Algébrico é um importante tema a ser investigado no ensino de Álgebra. Escolhemos
investigações que tiveram como sujeitos de pesquisas alunos de sexto e sétimo anos
para observar como um trabalho direcionado para o desenvolvimento do pensamento
algébrico, mesmo que realizado num curto espaço de tempo (comparado ao tempo
de escolaridade total do estudante), surte efeitos positivos na aprendizagem dos
educandos. Elencamos pesquisas que trataram também deste tipo de pensamento
em materiais didáticos e currículo, já que estes são os materiais de trabalho mais
imediatos do professor, e é por meio deles que muitas vezes a formação continuada
acontece. Além do mais, pesquisas envolvendo professores: como compreendem o
material que utilizam, seus conhecimentos relacionados aos objetos matemáticos que
ensinam e como entendem o ensino de Álgebra.
Neste contexto, nossa investigação segue um caminho no sentido de verificar
diretamente, em problemas específicos e aplicáveis em turmas de sexto e sétimo
anos, quais elementos relacionados ao desenvolvimento do Pensamento Algébrico e,
de uma maneira mais geral, ao ensino de Álgebra, os participantes desta pesquisa
identificam.
41
No capítulo a seguir apresentamos a fundamentação teórica tomada como
base para desenvolvimento de nossa pesquisa.
42
43
2. PENSAMENTO ALGÉBRICO
Neste capítulo serão apresentados alguns aspectos referentes às contribuições
ao ensino de álgebra de Kaput (1999, 2000, 2000a, 2008), Blanton e Kaput (2005),
Blanton (2008a), Kieran (1992, 2004), Lins e Gimenez (2001), Fiorentini, Miorin e
Miguel (1993), Fiorentini, Fernandes e Cristovão (2005), Ponte, Branco e Matos
(2009). Intenciona-se, a partir destes autores, evidenciar as características do
pensamento algébrico.
2.1. Características do Pensamento Algébrico
Kaput (1999, 2000a) sugere uma rota de trabalho, em longo prazo, que envolve
generalizar e expressar esta generalização usando linguagens que vão se tornando
cada vez mais formais. Tais generalizações seriam iniciadas na aritmética, em
situações de modelagem, na geometria e em todos os conteúdos matemáticos que
são tratados na escola elementar.
Assim, o ensino de Álgebra deveria passar por mudanças que começariam
desde o início dos estudos do aluno, e, em parte, a partir de conhecimentos informais
dos estudantes. De tal modo, dever-se-ia integrar a aprendizagem da Álgebra com a
de outros assuntos (estendendo e aplicando conhecimentos matemáticos); abarcar as
várias formas de pensamento algébrico (aplicando conhecimento matemático);
acontecer com base em saberes que os estudantes já possuem, de tal maneira que
reflitam sobre o que aprendem e articular o que sabem; e, por fim, incentivar a
aprendizagem e a construção de relações que possibilitem a compreensão.
O raciocínio algébrico16, conforme a rota proposta por Kaput (1999, 2000a),
compreende uma combinação complexa de cinco formas:
16 A expressão “raciocínio algébrico” utilizada por James Kaput, é atualmente considerada como sinônimo da expressão “Pensamento Algébrico”.
44
1. (Núcleo) Álgebra como generalização e formalização17 de padrões e restrições; 2. (Núcleo) Álgebra como Manipulação Sintaticamente-Guiada de Formalismos (opacos); 3. (“ramos”) Álgebra como Estudo de Estruturas e Sistemas Extraído de Cálculos e Relações; 4. (“ramos”) Álgebra como Estudo de Funções, Relações e Variação Conjunta; 5. (Aspecto da linguagem) Álgebra como um conjunto de (a) Modelagem e (b) Fenômenos de controle de linguagens. (KAPUT, 2000b, p. 4 – tradução
nossa)18
Os marcadores indicados estão relacionados à posição das formas atribuidas
pelo autor: As duas primeiras dão suporte a todas as demais. São o núcleo, o centro
da atividade algébrica. As terceira e quarta formas são linhas de tópicos no currículo.
A última compreende a álgebra como uma rede linguagens.
De acordo com Kaput (2000a), é difícil apontar para a atividade matemática que
não envolva generalizar e formalizar de maneira central – por isso são aspectos
nucleares – priorizando a compreensão da semântica da situação.
Mas a formalização não depende de formalismos. Para o autor, ações
executadas com formalismos, geralmente não levam à generalização e à formalização
por si só, mas geralmente ocorrem como resultado direto ou indireto de uma
formalização prévia. Quando lidamos com formalismos, nossa atenção se volta sobre
símbolos e regras sintáticas em manipulações desses símbolos e não nos atentamos,
em contrapartida, ao que eles representam.
Sobre a generalização, Kaput observa o seguinte:
Generalização envolve a extensão deliberada da amplitude do raciocínio ou da comunicação, além do caso ou dos casos considerados, identificando e expondo explicitamente todos os casos comuns, ou levantar o raciocínio ou a comunicação para um nível em que os padrões e a relação dos casos ou situações se tornam o foco, e não os casos ou as situações em si. Geralmente expressos, os padrões, procedimentos, relações, estruturas, etc. podem se tornar objetos de raciocínio ou comunicação. Mas, para usar ou comunicar generalizações, é necessário que as línguas sejam expressas, o que, para uma criança pequena que ainda não possui uma linguagem formal, pode significar o uso da linguagem natural falada. Aqui, a entonação e o gesto podem ser usados para comunicar a intenção de que uma declaração sobre um caso
17 Especialmente como aritmética generalizada, como, por exemplo, a generalização de operações aritméticas e suas propriedades (por exemplo, comutatividade, relações inversas, etc.); e a realização de generalizações sobre propriedades numéricas ou relações especiais (por exemplo, a soma de dois ímpares é par; características da multiplicação e divisões por uma potência de base dez). 18 1. (Kernel) Algebra as the Generalization and Formalization of Patterns and Contraints; 2. (Kernel) Algebra as Syntactically Guided Manipulation of (Opaque) Formalisms; 3. (Topic-Strand) Algebra as the Study of Structures Abstracted From Computations and Relations; 4. (Topic-Strand) Algebra as the Study of Functions, Relations, and Joint Variation; 5. (Language aspect) Algebra as a Cluster of Modeling and Phenomena-Controlling Languages.
45
particular seja lida ou ouvida como representando uma classe geral de
declarações. (KAPUT, 2000a, p. 6 – tradução nossa)19
A terceira forma está relacionada, segundo Kaput (2000, 2000a), à Matemática
estudada nas Universidades: a “Álgebra abstrata”. Na álgebra abstrata-estrutural,
ensinada para a compreensão, as estruturas surgem da experiência matemática dos
alunos. Além do mais, tais estruturas:
[...] (a) podem ser articuladas em linguagem pré-formal e natural, (b) enriquecer a compreensão dos alunos dos sistemas dos quais são abstraídos, (c) fornecer aos alunos estruturas intrinsecamente úteis para cálculos livre de detalhes em que essas estruturas estavam ligadas, e, (d) fornecer uma base para níveis ainda maiores de abstração e formalização.
(KAPUT, 2000a, p. 14 – tradução nossa)20
A quarta forma configura-se, nos currículos de matemática, mais como
ferramenta conceitual de propósito geral do que propriamente um ramo da
matemática. Kaput (2000a) chama a atenção para o fato de que as terceira e quarta
formas de raciocínio se encontram em lados opostos, separando álgebra e análise,
ainda que ambas apareçam na álgebra escolar.
Portanto, para Kaput (2000, 2000a, 2008), o pensamento algébrico é uma
atividade exclusivamente humana que surge das generalizações estabelecidas por
meio de conjeturas e argumentos. Expressos, estes, pelo uso de linguagens cada vez
mais formais. Este processo de generalização pode acontecer tomando como base
assuntos de diversas áreas da Matemática como, por exemplo, aritmética, geometria
e em situações de modelação matemática.
Após alguns anos, Kaput (2000, 2000a) retoma os cinco aspectos destacados
relacionados ao pensamento algébrico. Reformula-os e os sintetiza em apenas 3.
Assim, passa a considerar dois aspectos centrais do raciocínio algébrico que
permeiam os três elementos destacados: o primeiro deles é a “Álgebra simbolizando
19 Generalizing involves deliberately extending the range of one's reasoning or communication beyond
the case or cases considered, explicitly identifying and exposing commonality across cases, or lifting the reasoning or communication to a level where patterns across and relation samong cases or situations become the focus, rather than the cases or situations themselves. Appropriately expressed, the patterns, procedures, relations, structures, etc., can become the objects of reasoning or communication. But in order to use or communicate generalizations, one needs languages in which to express them, which, for a young child who does not yet possess a formal language, may mean using spoken natural language. Here, intonation and gesture may be used to communicate the intention that a statement about a particular case be read or heard as representing a general class of statements. 20 (a) can be articulated in preformal, natural language, (b) enrich student’s understanding of the systems from which they are abstracted, (c) provide students intrinsically useful structures for computations freed of the particulars those structures were once tied to, and (d) provide them a base for yet higher levels of abstraction and formalization.
46
sistematicamente a generalização de regularidades e restrições”; o segundo
corresponde à “Álgebra como raciocínio orientado sintaticamente e ação sobre
generalizações expressas em sistemas de símbolos convencionais”. Estes dois
aspectos são incorporados em três ramos:
1. Álgebra como estudo das estruturas e sistemas abstraídos a partir de cálculos e relações, incluindo os que surgem na Aritmética (Álgebra como Aritmética generalizada) ou no raciocínio quantitativo. 2. Álgebra como o estudo das funções, relações e covariação. 3. Álgebra como a aplicação de um conjunto de linguagens de modelação, tanto interno quanto externo à Matemática. (KAPUT, 2008, p.11 – tradução
nossa)21
O quadro a seguir apresenta os aspectos relacionados ao pensamento
algébrico, conforme Kaput (1999, 2000a, 2008), e o comparativo entre elas.
Quadro 2: Aspectos relacionados ao pensamento algébrico segundo Kaput
Kaput (1999, 2000b) Kaput (2008) Comparativo
1. (Núcleo) Álgebra como
generalização e formalização
de padrões e restrições;
2. (Núcleo) Álgebra como
Manipulação Sintaticamente
Guiada de Formalismos
(opacos);
3. (“ramos”) Álgebra como
Estudo de Estruturas e
Sistemas Extraídos de
Cálculos e Relações;
4. (“ramos”) Álgebra como
Estudo de Funções, Relações
e Variação Conjunta;
5. (Aspecto da linguagem)
Álgebra como um conjunto de
(a) Modelagem e (b)
Fenômenos de controle de
linguagens.
1. Álgebra como estudo das
estruturas e sistemas
abstraídos a partir de cálculos
e relações, incluindo os que
surgem na Aritmética (Álgebra
como Aritmética generalizada)
ou no raciocínio quantitativo.
2. Álgebra como o estudo das
funções, relações e
covariação.
3. Álgebra como a aplicação de
um conjunto de linguagens de
modelação, tanto interno
quanto externo à Matemática.
Em Kaput (2008) destacam-se
dois aspectos centrais,
tomados com base nos dois
primeiros aspectos nucleares
de Kaput (1999, 2000a). Esses
elementos estariam presentes
nas três vertentes indicadas
em Kaput (2008). Os aspectos
são:
A. Álgebra simbolizando
sistematicamente a
generalização de regularidades
e restrições.
B. Álgebra como raciocínio
orientado sintaticamente e
ação sobre generalizações
expressas em sistemas de
símbolos convencionais.
Fonte: A pesquisadora
A primeira das vertentes do pensamento algébrico de Kaput (2008) está
relacionada ao caráter algébrico da aritmética. Como aspecto central da álgebra como
21 1. Algebra as the study of structures and systems abstracted from computations and relations, including those arising n arithmetic (algebra as generalized arithmetic) and in quantitative reasoning; 2. Algebra as the study of functions, relations, and joint variation; 3. Algebra as the application of a cluster of modeling languages both inside and outside mathematics.
47
aritmética generalizada, situa-se a generalização das operações aritméticas e de suas
propriedades e o pensamento sobre relações entre números.
Blanton e Kaput (2005) elencam outros aspectos relacionados a este:
• Explorar propriedades e relações de números inteiros: relacionado à busca pela
generalização sobre adições e multiplicações de números pares e ímpares;
generalização de propriedades como o resultado de uma subtração de um
número por ele mesmo, formalizando como “a – a = 0”; decomposição de
números inteiros em possíveis adições e exame da estrutura dessas operações;
generalização a respeito das propriedades relacionadas aos valores posicionais.
• Investigação das propriedades das operações com números inteiros: este
aspecto faz referência à busca de generalizações nas operações, como as
subtrações envolvendo números negativos, a exploração de relações entre
operações – como a comutatividade da adição e da multiplicação, ou a
propriedade distributiva da adição em relação à multiplicação.
• Exploração da igualdade como expressão de uma relação entre quantidade:
trata-se da análise do papel algébrico do sinal de “=” usando a ideia de
equivalência entre expressões numéricas, além de tratar de equações como
objetos que expressam relações entre quantidades.
• Tratar o número algebricamente: consiste em o estudante compreender o
número como número generalizado, enfatizando a estrutura e não seu valor.
• Resolver expressões numéricas com número desconhecido: refere-se à
resolução de equações polinomiais do 1º grau com uma incógnita; resolução
de equações com incógnitas repetidas; de equações no contexto da reta
numérica; resolver puzzles numéricos nos quais faltam alguns números.
O pensamento funcional se caracteriza pela generalização de padrões
numéricos para que relações funcionais sejam estabelecidas. Além disso, trata-se de
identificar relações de variações e covariações. Nesta vertente do pensamento
algébrico a generalização surge por meio da ideia de função.
Em relação ao pensamento funcional, Blanton e Kaput (2005) destacam o
seguinte:
• Simbolizar quantidades e operar com as expressões simbólicas: corresponde ao
uso de símbolos para modelar problemas ou operar com expressões simbólicas.
48
Não na resolução de equações ou na generalização das propriedades das
operações aritméticas. Antes, tal como no problema a seguir:
As mensagens secretas foram construídas através da análise de um conjunto de expressões numéricas para fazer conversões de unidade: 3 ft 5 in tornaram-se 3 (12) + 5 e 4 ft 5 in corresponde a 4 (12) +5. Então, para converter os pés em polegadas, os alunos usaram a mensagem secreta F (12) + I, onde F representava o número de pés e eu representava o número de polegadas (BLANTON; KAPUT, 2005, p. 424).
• Representar dados graficamente: refere-se à construção de gráficos, a fim de
conceber uma relação funcional e utilizá-la para analisar variações de uma
função.
• Descobrir relações funcionais: versa acerca da investigação de
correspondência entre quantidades ou relações recursivas e, também, em
desenvolver uma regra que descreva essa relação.
• Prever resultados desconhecidos usando dados conhecidos: corresponde à
formulação de conjecturas sobre comportamentos de situações a partir de
alguns elementos conhecidos.
• Identificar e descrever padrões numéricos e geométricos: refere-se à
identificação de regularidades de sequências numéricas, reconhecimento de
padrões em sequências de figuras geométricas e em sentenças numéricas.
Com relação à modelação, assunto relacionado ao terceiro ramo dos dois
aspectos centrais de Kaput (2008), existem 3 tipos: o primeiro deles envolve situações
essencialmente aritméticas, sendo a generalização representada por uma incógnita;
o segundo diz respeito às generalização e expressão de padrões e regularidade em
situações ou fenômenos com origem na Matemática, ou fora dela – neste caso a
generalização pode ser representada por uma ou mais variáveis; o último tange às
generalizações de soluções para situações de modelagem de resposta única ou de
problemas de palavras aritméticas puras que não exigiam manipulações algébricas
para serem solucionados – neste caso a introdução de variáveis expressam a
generalidade das situações na forma de parâmetros.
Em Blanton e Kaput (2005), o pensamento algébrico é um processo pelo qual
os estudantes generalizam ideias matemáticas a partir de um conjunto de casos
particulares. O foco do desenvolvimento desse processo está nos significados
resultantes do raciocínio e da compreensão individual.
49
Segundo Blanton e Kaput (2005, p. 413 – tradução nossa)22, o raciocínio
algébrico pode ter várias formas:
a) o uso da aritmética como um domínio para expressar e formalizar generalizações (aritmética generalizada); b) Generalização de padrões numéricos para descrever relações funcionais (pensamento funcional); c) A modelagem como domínio para expressar e formalizar generalizações; e d) Generalização de sistemas matemáticos abstraídos a partir de cálculos e relações.
Estes pesquisadores, em relação à forma a), compreendem o raciocínio sobre
operações e propriedades relacionadas a números. Assim: generalizar sobre a
propriedade comutativa de multiplicação ou propriedades relacionadas ao número
zero, ou conceber a igualdade como uma relação entre quantidades.
Das quatro formas de pensamento algébrico citadas, os pensamentos
aritmético e funcional generalizado são os mais comum no ensino elementar.
Blanton e Kaput (2005) indicam, ainda, categorias que não são específicas do
raciocínio algébrico que, contudo, representam formas de generalização que são
fundamentais para que o aluno raciocine algebricamente. Envolve, então, os
seguintes aspectos: uso de generalização para solucionar problemas que envolvem
conceitos algébricos, na qual o estudante usa generalizações para construir novas
generalizações; justificação, prova e teste de conjecturas, nas quais o aluno deve
debater suas conjecturas com seus pares, confirmando-as ou refutando-as;
generalização de processo matemático – quando os alunos constroem um conceito
que resulte na generalização de um processo matemático ou fórmula.
Blanton23 (2008a, p. 4) salienta duas áreas-chave do pensamento algébrico: “1.
Usar a aritmética para desenvolver e expressar generalizações (aritmética
generalizada); 2. Identificar padrões numéricos e geométricos para descrever relações
funcionais (pensamento funcional)”. De acordo com a pesquisadora, estas duas
caracterizações são foco de grande parte da pesquisa atual sobre o pensamento
algébrico infantil.
22 (a) The use of arithmetic as a domain for expressing and formalizing generalizations (generalized arithmetic); (b) generalizing numerical patterns to describe functional relationships (functional thinking); (c) modeling as a domain for expressing and formalizing generalizations; and (d) generalizing about mathematical systems abstracted from computations and relations. 23 Seu trabalho se concentra na compreensão de questões de aprendizado de professores e alunos associado ao pensamento algébrico nos anos elementares da escolarização. Suas áreas de interesse na área de Educação são: pensamento algébrico infantil; compreensão dos alunos sobre a prova no pensamento matemático avançado; perspectivas socioculturais sobre o aprendizado da matemática; progressões de aprendizagem aplicadas ao pensamento matemático.
50
A aritmética generalizada se refere, segundo a pesquisadora, à construção de
generalizações a respeito de operações e propriedades numéricas. Dessa maneira,
os alunos generalizariam importantes ideias matemáticas relacionadas à
comutatividade, analisariam as mudanças que as operações provocam nos números
e desenvolveriam uma visão da equivalência da igualdade.
Por sua vez, o pensamento funcional, segundo Blanton (2008a), exige um
conjunto de habilidades diferentes daquelas relacionadas à aritmética generalizada.
Demanda do aluno que analise mudanças e crescimento, além do exame de relações
de covariação. Conforme a pesquisadora, esse tipo de pensamento possibilita os
estudantes trabalharem com pensamento funcional; também oferece às crianças a
oportunidade de trabalhar com uma variedade de ferramentas e representações, como
gráficos, máquinas de funções, quadro de entrada/saída e etc.
Carolyn Kieran, cuja pesquisa é dedicada ao estudo do ensino e aprendizagem
de álgebra com base na Teoria Antropológica do Didático desenvolvida por Yves
Chevallard, considera que a aprendizagem da álgebra está localizada nas interfaces
sobrepostas da técnica e da teoria. Seu interesse está em enfatizar as dimensões
conceituais e técnicas da álgebra, que podem possibilitar a criação de tarefas que
permitam aos alunos perceber aspectos conceituais da álgebra enquanto se envolvem
no técnico e em investigar as maneiras pelas quais o técnico e o conceitual podem
surgir na aprendizagem de álgebra.
Assim, Kieran (1992) define duas concepções: processual e estrutural. A
primeira se refere às operações aritméticas que são feitas utilizando números para se
obter números como resposta. Por exemplo: calculando o valor gerado pela expressão
2∙f+2∙g, para o caso em que f = 4 e g = 3, ou resolver a equação 4∙s + 3 = 15, utilizando
o método de substituição de valores para a variável até que a igualdade seja satisfeita.
Já a segunda diz respeito a um conjunto de operações realizadas em expressões
algébricas como, por exemplo, ao transformarmos a expressão 3∙z + 8∙x +3∙z em
6∙z + 8∙x e, da mesma forma, ao dividir os dois termos por dois, gerando, para a
expressão, a escrita 3z+4x.
Com base em uma análise histórica da Álgebra, enquanto objeto Matemático,
ressalta que a aprendizagem da Álgebra deve favorecer o estabelecimento de
relações entre as atividades algébrica e aritmética de modo que seja trabalhada a
capacidade do educando em utilizar ambas as concepções. Possibilita, ainda, o
estudante ter a competência de identificar a necessidade de uma ou da outra no
51
cumprimento de uma dada tarefa, o que não é simples dada a diferença de conceitos
envolvida nas concepções.
Um aluno que possui um quadro de referência aritmético tem seu foco no
cálculo e não é propenso a identificar aspectos relacionais das operações. Dessa
maneira, Kieran (2004) admite que seria necessário realizar um ajuste considerável
no modo de pensar algébrico do estudante, que inclui, mas não se restringe a:
1. Uma ênfase nas relações e não apenas no cálculo de uma resposta numérica; 2. Um foco em operações, bem como seus inversos, e na ideia relacionada de fazer/desfazer; 3. Um foco em ambos representando e resolvendo um problema em vez de apenas resolvê-lo; 4. Um foco em números e letras, e não apenas em números. Isso inclui: (I) trabalhar com letras que às vezes podem ser desconhecidas, variáveis ou parâmetros; (II) aceitar expressões literais não fechadas como respostas; (III) comparando expressões de equivalência com base em propriedades em vez de avaliação numérica; 5. Uma reorientação do significado do sinal de igualdade. (KIERAN, 2004, p.
140-141 – tradução nossa)24
Kieran (apud KIERAN, 2004) propõe a categorização da atividade algébrica
escolar de acordo com as atividades a que os alunos são normalmente envolvidos.
Ao retomar essa caracterização proposta em 1996, Kieran (2004) enfatiza a
importância de atividades referentes à categoria de nível-meta global, o que não havia
pontuado em Kieran (1992). Segundo ela, essas atividades podem ser aplicadas sem
uma linguagem algébrica, o que favorece sua implementação em turmas mais
elementares do ensino básico. Além disso, são importantes para se desenvolver formas
de pensamento que são fundamentais para a aprendizagem de Álgebra. Ainda
conforme Kieran (2004), as atividades de nível-meta global, se precedentes às
atividades pertencentes às outras duas categorias, dão sentido a elas.
O quadro a seguir apresenta os tipos de atividades, assim como exemplos para
ilustrá-las.
24 1. A focus on relations and not merely on the calculation of a numerical answer; 2. A focus on
operations as well as their inverses, and on the related idea of doing / undoing; 3. A focus on both representing and solving a problem rather than on merely solving it; 4. A focus on both numbers and letters, rather than on numbers alone. This includes: (i) working with letters that may at times be unknowns, variables, or parameters; (ii) accepting unclosed literal expressions as responses; (iii) comparing expressions for equivalence based on properties rather than on numerical evaluation; 5. A refocusing of the meaning of the equal sign.
52
Quadro 3: Tipos de atividades segundo Kieran
Tipos de atividade Referem-se a: Exemplos
Atividades
geracionais
Atividades que envolvem a
formação de expressões e
equações, além de seus
objetos subjacentes.
Equações que apresentam um valor
desconhecido, representando uma
situação-problema; expressões que
representem a generalização de padrões
geométricos ou sequências numéricas;
expressões que generalizam relações
numéricas.
OBS: Os objetos subjacentes de
expressões e equações são variáveis e
incógnitas, o sinal de igualdade e a noção
de solução de equação.
Atividades
transformacionais
Atividades que dizem respeito
a atividades com foco na
manipulação simbólica. Uma
grande parte desse tipo de
atividade está preocupada
com a mudança da forma de
uma expressão ou equação
para manter a equivalência.
Coleta de termos, fatoração, substituição,
adição e multiplicação de expressões
polinomiais, exponenciação com
polinômios, resolução de equações,
simplificação de expressões, trabalho com
expressões e equações equivalentes, e
assim por diante.
Nível-meta global
Atividades que não
necessariamente estão
relacionadas a conteúdos
algébricos, mas que utilizam a
Álgebra como ferramenta.
A resolução de problemas, modelagem,
percepção de estrutura, estudo de
variações, generalização, análise das
relações, justificação, comprovação e
previsão.
Fonte: Adaptado de Kieran, 1996, apud Kieran 2004
Percebemos, então, importantes semelhanças entre as atividades de nível-
meta global propostas por Kieran (apud KIERAN, 2004) e àquelas três últimas
categorias propostas Blanton e Kaput (2005), na qual citam a utilização de atividades
matemáticas que não necessariamente são de uso exclusivo da Álgebra. Elementos
como generalização, justificativas, provas e utilização de conjecturas ganham
importante espaço no trabalho algébrico escolar.
Ao propor o modelo caracterizando as três principais atividades algébricas
escolares apresentadas no Quadro 3, Kieran (2004) sugere a seguinte definição de
pensamento algébrico nos anos iniciais:
O pensamento algébrico nos anos iniciais envolve o desenvolvimento de formas de pensar no contexto de atividades para as quais a linguagem algébrica pode ser usada como uma ferramenta, mas que não são exclusivas para álgebra e que poderiam ser engajadas sem usar qualquer linguagem algébrica, tais como analisar as relações entre as quantidades, perceber a estrutura, estudar variações, generalizar, resolver problemas, modelar,
justificar, provar e prever. (KIERAN, 2004, p. 149 – tradução nossa)25
25 Algebraic thinking in the early grades involves the development of ways of thinking within activities
for which letter-symbolic algebra can be used as a tool but which are not exclusive to algebra and which
53
Outros pesquisadores que destacam a importância da Aritmética no aprendizado
da Álgebra são Lins e Gimenez (2001), que apontam o pensamento algébrico como uma
das maneiras de produzir significado para Álgebra, já que estes pesquisadores seguem
o Modelo Teórico dos Campos Semânticos (MTCS), de Romulo Lins, que tem como
alicerces os processos de produção de conhecimento e de significado.
Conforme esse modelo, o conhecimento somente se constitui a partir de uma
crença-afirmação e sua justificação, ou seja, o indivíduo fala sobre algo, porém deve
justificar o que diz para tornar sua crença-afirmação legítima.
Quanto ao significado, o sujeito só o atribui a um objeto a partir do momento
que é capaz de falar sobre ele no interior da atividade. Conforme Lins (apud SILVA,
2003, p. 20): “o ponto central é que produzimos significados para que pertençamos a
uma prática social ou, em escala maior, a uma cultura, tanto quanto produzimos
enunciações pelo mesmo motivo”.
Os objetos, por sua vez, são constituídos, segundo o MTCS, na medida em que
há produção de significados para eles.
Segundo Silva (2003, p. 21), a construção do Modelo Teórico dos Campos
Semânticos aconteceu com base em algumas concepções que são imprescindíveis
para a compreensão deste modelo:
i) O interesse em olhar para processos, em oposição a olhar para estados ou produtos; ii) O interesse por uma leitura positiva do processo de produção de significados para a matemática, isto é, o interesse em entender o que as pessoas dizem e por que dizem, em oposição a olhá-las pelo erro, pela falta; iii) A busca de uma explicação plausível para o processo de produção de significados para a matemática.
Nesse sentido, Lins e Gimenez (2001), no uso do MTCS, enfatizam, tal como
Kieran (apud KIERAN, 2004) e Blanton e Kaput (2005), que não basta que o aluno
domine as técnicas operatórias, eles precisam falar sobre objetos de estudo em
discussão e justificar suas escolhas e conclusões.
Lins e Gimenez (2001, p. 151) destacam, ainda, três características
fundamentais para o pensamento algébrico:
could be engaged in without using any letter-symbolic algebra at all, such as, analyzing relationships between quantities, noticing structure, studying change, generalizing, problem solving, modeling, justifying, proving, and predicting.
54
1) produzir significados apenas em relação a números e operações aritméticas (chamamos a isso aritmeticismo); 2) considerar números e operações apenas segundo suas propriedades, e não “modelando” números em outros objetos, por exemplo, objetos “físicos” ou geométricos (chamamos a isso de internalismo); e, 3) operar sobre números não conhecidos como se fossem conhecidos (chamamos a isso analiticidade).
De tal modo, pensar algebricamente é “produzir significado para as situações
em termos de números e operações aritméticas (e igualdade ou desigualdades), e
como base nisso transformar as expressões obtidas operando sempre de acordo com
(1), (2) e (3)” (Idem, p.151).
Além disso, a ideia de que a Aritmética deve preceder à Álgebra na escola é
infundada (Idem, p. 159). Ao contrário disso, a abordagem deve favorecer a relação
entre estas duas importantes áreas da Matemática, de tal forma que uma implique no
desenvolvimento da outra.
Pontuam, ainda, que o projeto de educação algébrica, defendido por eles, deve
compreender dois objetivos centrais: “Permitir que os alunos sejam capazes de
produzir significados (em nosso sentido) para álgebra; e. 2) permitir que os alunos
desenvolvam a capacidade de pensar algebricamente” (Idem, p. 152).
Para que esses objetivos sejam alcançados, consideram que as atividades
propostas apresentem uma estrutura típica: “i) dada uma situação, produzir
afirmações tidas como corretas, junto com justificações, para sua enunciação; ii) com
base nas expressões produzidas em (i), trabalhar também com transformações diretas
dessas expressões” (Idem, p. 152).
Lins e Gimenez asseveram, também, que, para que o desenvolvimento do
pensamento algébrico ocorra, são necessárias aplicações de atividades relacionadas
à investigação de regularidades, à sistematização de propriedades observadas, à
resolução e discussão de problemas algébricos, à modelagem de situações e
estabelecimento de padrões.
Nesse ponto percebemos semelhanças entre as ideias, relacionadas ao
reconhecimento de regularidades, percepção de padrões, destaque às propriedades
e ao uso de modelagem, de Lins e Gimenez e aquelas de Blanton e Kaput (2005)
Já Fiorentini, Miorin e Miguel (1993) propõem, em seu trabalho, uma correlação
entre concepções de Álgebra, implícitas em algumas leituras históricas, e três
concepções de Educação Algébrica, as quais reduzem o pensamento algébrico à
55
linguagem algébrica. Concentram, então, esforços apenas no transformismo
algébrico, já que partem de uma Álgebra simbólica já constituída.
A primeira dessas leituras, chamada de linguístico-pragmática, que foi
predominante durante o século XIX até meados do século XX, entendia que o ensino
da álgebra deveria fornecer um instrumental teórico superior à aritmética na resolução
de equações e de problemas equacionáveis. A segunda concepção foi a
fundamentalista-estrutural, preponderante nas décadas de 1970 e 1980.
Compreendia que o uso de propriedades estruturais das operações possibilitava
justificar logicamente cada etapa tomada no transformismo algébrico por meio da
introdução dos campos numéricos, da Teoria dos Conjuntos, das estruturas e das
propriedades, relações e funções. A terceira foi a fundamentalista-analógica, que
buscava uma síntese das duas concepções anteriores, já que procurava recuperar o
valor instrumental da álgebra e preservava a preocupação fundamentalista. Todavia,
com base no uso de modelos analógicos geométricos (blocos de madeira ou mesmo
figuras geométricas) ou físicos (como a balança), que visualizam ou justificam as
passagens das manipulações algébricas.
Contudo, é fundamental pensarmos em um ensino de Álgebra que relacione a
linguagem ao pensamento algébrico. Segundo Fiorentini, Miorin e Miguel (1993, p. 85):
Essa relação de subordinação do pensamento algébrico à linguagem desconsidera o fato de que, tanto no plano histórico quanto no pedagógico, a linguagem é, pelo menos a princípio, a expressão de um pensamento. Acreditamos subsistir entre pensamento e linguagem não uma relação de subordinação, mas uma relação de natureza dialética, o que nos obriga, para melhor entendê-la, colocar a questão de quais seriam os elementos caracterizadores de um tipo de pensamento que poderia ser qualificado como algébrico.
Almejando uma educação algébrica que relacione linguagem e pensamento
algébrico, estes pesquisadores propuseram uma quarta concepção de Educação
Algébrica, que admite uma abordagem que pode proporcionar o desenvolvimento do
pensamento algébrico pela exploração de situações-problema relativamente abertas
(exploratório-investigativas), destacando três importantes etapas que não são
necessariamente subsequentes: (a) na primeira etapa problematizam-se situações
normalmente consideradas como aritméticas ou geométricas que demandam a
construção de generalizações, representação de número generalizado ou de
grandezas incógnitas e variáveis; (b) a segunda inclui o caminho inverso, ou seja, a
partir de uma expressão algébrica simbólica, o aluno buscaria atribuir uma variedade
56
de sentidos ou significações a ela; e, (c) a terceira etapa tem como objetivo a produção
de expressões algébricas equivalentes e, além de abranger os procedimentos que
dão validade a essas transformações, é a única fase que enfatiza a linguagem
algébrica.
Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005, p. 5), com base em Fiorentini, Miorin
e Miguel (1993), destacam, ainda, alguns elementos que seriam caracterizadores de
um trabalho que busque desenvolver o pensamento algébrico:
- Estabelece relações/comparações entre expressões numéricas ou padrões geométricos; - Percebe e tenta expressar as estruturas aritméticas de uma situação-problema; - Produz mais de um modelo aritmético para uma mesma situação-problema; - Produz vários significados para uma mesma expressão numérica; - Interpreta uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou entre duas expressões numéricas; - Transforma uma expressão aritmética em outra mais simples; - Desenvolve algum tipo de processo de generalização; - Percebe e tenta expressar regularidades ou invariâncias; - Desenvolve/cria uma linguagem mais concisa ou sincopada ao expressar-se matematicamente.
Com base nestes aspectos, estes mesmos pesquisadores classificaram as
resoluções e produções de alunos em fases para identificar a evolução do
pensamento algébrico. Tais fases vão da pré-algébrica, período em que o estudante
usa algum elemento considerado algébrico, todavia não o compreender como número
generalizado qualquer ou como variável, passando, então, para a fase de transição,
do aritmético para o algébrico, momento no qual o aluno compreende a existência de
um número qualquer, estabelece alguns processos de generalização, mas não
necessariamente utiliza a linguagem simbólica; e atinge, por fim, um pensamento
algébrico mais desenvolvido, quando o estudante é capaz de pensar e se expressar
genericamente, sobretudo quando compreende a existência de grandezas numéricas
abertas ou variáveis dentro de um intervalo numérico, sabendo expressá-las por
escrito e, além do mais, sendo capaz de operá-las.
De acordo com Fiorentini, Miorin e Miguel (1993), a linguagem simbólica
abstrata, caso utilizada precocemente, pode se configurar como obstáculo à
aprendizagem e ao desenvolvimento do pensamento simbólico e, caso seja
menosprezada, dificultaria o desenvolvimento da capacidade do aluno de pensar
algebricamente. Não obstante isso, Fiorentini, Fernandes e Cristóvão admitem que,
57
para eles, o estudante pode atingir a terceira fase do pensamento algébrico sem
necessariamente utilizar uma linguagem estritamente algébrico-simbólica.
Outros pesquisadores reforçam a ideia de que o ensino de Álgebra não deve
ser pautado apenas no trabalho com transformismos algébricos. Além de Kaput (1999,
2000, 2000a, 2008), Blanton e Kaput (2005), Kieran (2004), Lins e Gimenez (2001) e
Fiorentini, Miorin e Miguel (1993), Ponte, Branco e Matos (2009) dizem que é
necessário favorecer o desenvolvimento nos estudantes da capacidade de manipular
elementos simbólicos, até porque esta é uma parte importante do pensamento
algébrico. Entretanto, o objetivo do ensino de Álgebra não deve ficar restrito a isso.
Ponte, Branco e Matos estabelecem que o pensamento algébrico inclui três
vertentes: 1. representar, que está ligada à capacidade do aluno de utilizar diferentes
sistemas de representação; 2. raciocinar, que se refere ao uso dos raciocínios
dedutivo e indutivo, com especial destaque às relações e generalizações; e,
finalmente, 3. refere-se à resolução de problemas que inclui modelagem de situações.
O quadro a seguir apresenta a síntese das vertentes consideradas por esses
pesquisadores:
Quadro 4: Vertentes do pensamento algébrico
Representar
• Ler, compreender, escrever e operar com
símbolos usando as convenções algébricas usuais;
• Traduzir informação representada
simbolicamente para outras formas de
representação (por objetos, verbal, numérica,
tabelas, gráficos) e vice-versa;
• Evidenciar sentido de símbolo,
nomeadamente interpretando os diferentes sentidos
no mesmo símbolo em diferentes contextos.
Raciocinar
• Relacionar (em particular, analisar
propriedades);
• Generalizar e agir sobre essas
generalizações revelando compreensão das regras;
• Deduzir.
Resolver problemas e modelar situações
• Usar expressões algébricas, equações,
inequações, sistemas (de equações e de
inequações), funções e gráficos na interpretação e
resolução de problemas matemáticos e de outros
domínios (modelação).
Fonte: Ponte, Branco e Matos (2009, p.11).
De tal maneira, ao aprender Álgebra o estudante deve ser capaz de pensar
algebricamente em situações que abranjam relações, regularidades, variação e
58
modelagem, além de conseguir interpretar e utilizar os símbolos matemáticos com
criatividade ao descrever uma situação e na resolução de problemas.
Ponte, Branco e Matos (2009) enfatizam, também, que o pensamento algébrico
engloba as competências de lidar com expressões algébricas, equações, inequações,
sistemas de equações e funções. Inclui, igualmente, a capacidade de trabalhar com
relações e estruturas matemáticas, usando-as na interpretação e resolução de
problemas intra e extramatemáticos.
Por conseguinte, destacam a generalização como um dos aspectos centrais do
pensamento algébrico na medida em que estudante identifica e comprova
propriedades de toda uma classe de objetos.
Ademais, estes pesquisadores dizem que no pensamento algébrico está em jogo
muito mais que o estudo dos objetos isoladamente. Nesta abordagem, a conexão entre
esses objetos ganha especial destaque, favorecendo que o estudante raciocine sobre
tal relação e a represente, tanto quanto possível, de maneira geral e abstrata.
Ponte, Matos e Branco (2009) afirmam, além do mais, que o ensino de Álgebra
mudou através dos tempos e elencam três correntes que ilustram essas mudanças. A
primeira corresponde à visão letrista, de Romulo Lins e Joaquin Giménez. A segunda
à concepção estruturalista relativa ao movimento da Matemática moderna. A última
dizendo respeito ao desenvolvimento do Pensamento Algébrico. Nesta terceira
corrente, segundo os autores,
[...] situações extramatemáticas têm um papel importante como ponto de partida para a construção de modelos e exploração de relações. Mais do que simples ilustração ou aplicação, é nelas que os alunos encontram os elementos com os quais constroem representações e modelos para descrever fenômenos e situações, que estão na base de novos conceitos e relações matemáticas. Esta corrente favorece uma iniciação ao pensamento algébrico desde os primeiros anos de escolaridade, através do estudo de sequências e regularidades (envolvendo objetos diversos), padrões geométricos, e relações numéricas associadas a importantes propriedades dos números (PONTE; MATOS; BRANCO, 2009, p. 15).
2.2. Uma síntese
Apesar das diferentes linhas epistemológicas adotadas pelos pesquisadores
tomados como referência para esta investigação, de maneira geral, alguns aspectos
ganham destaque em todos os pesquisadores citados nesse capítulo, visto que, ao
caracterizarem o pensamento algébrico, não apresentam uma definição, mas indicam
59
elementos característicos deste tipo de pensamento. O quadro a seguir apresenta os
elementos mais comuns nas pesquisas de cada investigador.
Quadro 5: Aspectos comuns do pensamento algébrico dos pesquisadores tomados como referência
Aspectos Pesquisadores
Linguagem (uso gradual
da linguagem algébrica)
Kaput (1999, 2000, 2000a), Blanton e Kaput (2005), Fiorentini, Miorin
e Miguel (1993), Kieran (1992, 2004)
Igualdade como
equivalência
Blanton e Kaput (2005), Kaput (2008a), Kieran (2004), Fiorentini,
Miorin e Miguel (1993)
Uso de diferentes
representações
Blanton e Kaput (2005), Blanton (2008a), Fiorentini, Miorin e Miguel
(1993), Ponte, Branco e Matos (2009)
Uso de contextos
aritméticos
Kaput (1999, 2000a, 2008), Kieran (1992, 2004), Blanton e Kaput
(2005), Blanton (2008a), Fiorentini, Miorin e Miguel (1993) e Lins e
Gimenez (2001)
Uso de relações
funcionais
Kaput (1999, 2000a), Blanton e Kaput (2005), Blanton (2008), Kieran
(2004), Fiorentini, Miorin, Miguel (1993), Ponte, Branco e Matos (2009)
Uso de contextos da
geometria
Kaput, (1999, 2000a); Blanton e Kaput (2005); Fiorentini, Miorin e
Miguel (1993)
Uso de modelagem Kaput (1999, 2000b, 2008), Blanton e Kaput (2005), Lins e Gimenez
(2001), Kieran (2004), Ponte, Branco e Matos (2009)
Uso de contextos de
diversas áreas intra e
extramatemáticos
Ponte, Branco e Matos (2009)
Investigação de
regularidades e
reconhecimento de
padrões
Kaput (1999, 2000a, 2008), Blanton e Kaput (2005), Blanton (2008a)
Kieran (2004), Lins e Gimenez (2001), Ponte, Branco e Matos (2009)
Generalização Kaput (1999, 2000a, 2008), Blanton e Kaput (2005), Blanton (2008,
2008a), Lins e Gimenez (2001), KIERAN (2004), Ponte, Branco e
Matos (2009)
Uso de diversas
representações
Kaput (1999, 2000a), Blanton e Kaput (2005), Fiorentini, Miorin e
Miguel (1993), Kieran (2008a), Kieran (2004), Ponte, Branco e Matos
(2009)
Uso de conjecturas,
justificativas, deduções,
provas
Lins e Gimenez (2001), Blanton e Kaput (2005) e Kieran (2004),
Blanton (2008), Ponte, Branco e Matos (2009)
Fonte: A pesquisadora
60
Com base no referencial teórico adotado para esta pesquisa, propomos nossa
caracterização de Pensamento Algébrico: Pensar algebricamente vai muito além de
manipulações de expressões, resolução de equações e solucionar sistemas de
equações. Envolve, também, as capacidades de estabelecer relações e
generalizações, interpretar e justificar conjecturas na resolução de problemas.
Relações essas que partem de contextos aritméticos, de relações funcionais, de
geometria, etc. –, englobando a investigação de regularidades, a identificação de
padrões, o estabelecimento de equivalências, análise de relações de covariação, uso
e compreensão de propriedades aritméticas.
Com base nisso, o ideal no processo de desenvolvimento do pensamento
algébrico é que, a partir destas relações estipuladas, os alunos sejam estimulados a
propor conjecturas, corretas ou não, mas que devem ser justificadas e/ou provadas, e
generalizar seus resultados.
De tal modo, na medida em que se apropria da linguagem matemática, o
indivíduo representa suas descobertas utilizando diversas representações e/ou
linguagens cada vez mais formais e específicas do fazer matemático.
A seção a seguir apresenta o que dizem importantes documentos oficiais a
respeito do pensamento algébrico. Fazemos aí, também, uma breve comparação
entre os três documentos consultados: PNC, BNCC e NCTM.
2.3. Um olhar sobre as orientações curriculares PCN, BNCC e NCTM
Nesta seção apresentamos o que documentos curriculares brasileiros:
Parâmetros Curriculares Nacional (PCN) e a Base Nacional Comum Curricular
(BNCC). Além destes, o documento norte americano: Conselho Nacional dos
Professores de Matemática26 (NTCM). Tais fazem considerações a respeito do
desenvolvimento do pensamento algébrico no ensino fundamental.
Estes documentos nos auxiliarão, em nosso instrumento de pesquisa, a indicar
a pertinência dos problemas propostos aos professores, bem como ampararão nossas
análises dos dados obtidos na pesquisa de campo. Ao final desta seção realizaremos
um breve comparativo entre os três documentos.
26 National Council of Teachers of Mathematics.
61
2.3.1. Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), documento que referenciava a
educação brasileira até 2017, não apresenta um programa para o desenvolvimento
do pensamento algébrico desde os anos iniciais de escolaridade. Apenas há a
afirmação de que:
Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver alguns aspectos da álgebra, é especialmente nas séries finais do ensino fundamental que as atividades algébricas serão ampliadas. Pela exploração de situações-problema, o aluno reconhecerá diferentes funções da álgebra (generalizar padrões aritméticos, estabelecer relação entre duas grandezas, modelizar, resolver problemas aritmeticamente difíceis), representará problemas por meio de equações e inequações (diferenciando parâmetros, variáveis, incógnitas, tomando contato com fórmulas), compreenderá a “sintaxe” (regras para a resolução) de uma equação (BRASIL, 1998, p. 50-51).
A versão dos Parâmetros (BRASIL, 1997, p. 39) destinada aos anos iniciais do
Ensino Fundamental traz a mesma afirmação em um parágrafo muito semelhante ao
exibido acima:
Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver uma pré-álgebra, é especialmente nas séries finais do ensino fundamental que os trabalhos algébricos serão ampliados; trabalhando com situações-problema, o aluno reconhecerá diferentes funções da álgebra (como modelizar, resolver problemas aritmeticamente insolúveis, demonstrar), representando problemas por meio de equações (identificando parâmetros, variáveis e relações e tomando contato com fórmulas, equações, variáveis e incógnitas) e conhecendo a “sintaxe” (regras para resolução) de uma equação.
De tal maneira, há o reconhecimento da possibilidade de um trabalho algébrico
que pode ser desenvolvido já nos primeiros anos de escolaridade da criança. Contudo,
não faz referência sobre como isso pode acontecer ou de pesquisas relacionadas ao
tema.
Por conseguinte, é indicado nos PCN de que:
Esse encaminhamento dado à álgebra, a partir da generalização de padrões, bem como o estudo da variação de grandezas possibilita a exploração da noção de função nos terceiros e quarto ciclos [atualmente de 6º ao 9º ano do Ensino Fundamental]. Entretanto, a abordagem formal desse conceito deverá ser objeto de estudo do ensino médio. (BRASIL, 1998, p. 50-51).
No documento brasileiro é considerado que, nos dois primeiros anos do
segundo ciclo do ensino fundamental, os alunos devem ser levados a:
62
- Reconhecer que representações algébricas permitem expressar generalizações sobre propriedades das operações aritméticas, traduzir situações-problema e favorecer as possíveis soluções; - Traduzir informações contidas em tabelas e gráficos em linguagem algébrica e vice-versa, generalizando regularidades e identificar os significados das letras; - Utilizar os conhecimentos sobre as operações numéricas e suas propriedades para construir estratégias de cálculo algébrico. (BRASIL, 1998, p. 64).
São apontadas questões importantes no documento que podem favorecer o
desenvolvimento do pensamento algébrico no Ensino Fundamental 2. Faz isto quando
destaca o caráter generalizador e facilitador de comunicação da linguagem algébrica,
o uso de diversas representações e transição entre elas, a valorização das
propriedades aritméticas, que já garantem uma generalização de condições de cálculo
no processo de construção de conhecimento a respeito do cálculo algébrico.
Segundo esses Parâmetros, a exploração da relação funcional pela via de
padrões e sequências numéricas é fundamental. Isso possibilitaria a realização de
generalizações, que podem auxiliar na compreensão da natureza das expressões
algébricas e promover contato do estudante com as primeiras noções de álgebra.
Outro aspecto relevante destacado pelos PCN (BRASIL, 1998) é o que diz que
não é desejável que no terceiro ciclo seja desenvolvido um trabalho aprofundado das
operações com expressões algébricas e equações, justamente pela complexidade do
tratamento e procedimento algébricos. É, então, considerado suficiente que os alunos
compreendam o significado de variável e reconheçam a tradução de uma relação de
variação entre duas grandezas na expressão algébrica; que na resolução de
situações-problema se deparem com equações e, dessa maneira, percebam a letra
como incógnita.
Os conceitos e procedimentos referentes ao ensino de álgebra no terceiro ciclo
correspondem a:
- Utilização de representações algébricas para expressar generalizações sobre propriedades das operações aritméticas e regularidades observadas em algumas sequências numéricas. - Compreensão da noção de variável pela interdependência da variação de grandezas. - Construção de procedimentos para calcular o valor numérico de expressões algébricas simples. (BRASIL, 1998, p. 72)
Além disso, é previsto no documento que o aluno promova argumentações,
buscando sempre justificar suas escolhas para que, no quarto ciclo, possa reconhecer
a importância das demonstrações matemáticas e compreender provas de alguns
teoremas.
63
Já para o quarto ciclo, é sugerido no documento que o desenvolvimento do
pensamento algébrico ocorra por meio de atividades em que o aluno possa:
- Produzir e interpretar diferentes escritas algébricas, expressões, igualdades e desigualdades, identificando as equações, inequações e sistemas; - Resolver situações-problema por meio de equações e inequações do primeiro grau, compreendendo os procedimentos envolvidos; - Observar regularidades e estabelecer leis matemáticas que expressem a relação de dependência entre variáveis (BRASIL, 1998, p. 81).
Segundo o PCN (BRASIL, 1998), o trabalho algébrico neste ciclo deve ter por
base a “pré-álgebra” desenvolvida no terceiro ciclo. Nesse sentido, é importante que
os estudantes continuem trabalhando com problemas nesta etapa da escolarização,
além de o documento destacar que a promoção de situações-problema diversificadas
pode favorecer que o aluno reconheça “diferentes funções de Álgebra, como resolver
problemas difíceis do ponto de vista aritmético, ao modelizar, generalizar e demonstrar
propriedades e fórmulas, estabelecer relações entre grandezas” (BRASIL, 1998, p.
84).
Além do mais, é apontado que é fundamental que o aluno compreenda
[...] conceitos como o de variável e de função; a representação de fenômenos na forma algébrica e na forma gráfica; a formulação e a resolução de problemas por meio de equações (ao identificar parâmetros, incógnitas, variáveis) e o conhecimento da sintaxe (regras para resolução) de uma equação (BRASIL, 1998, p.84).
Neste âmbito, o que é previsto no documento para o ensino de Álgebra no
quarto ciclo parece estar relacionado muito mais ao que comumente é associado ao
ensino de Álgebra: maior ênfase na linguagem algébrica, seus usos e manipulações
de elementos para registro de expressões, resolução de equações, inequações e
sistemas lineares.
Os conceitos e procedimentos referentes ao ensino de Álgebra no quarto ciclo
correspondem a:
64
- Tradução de situações-problema por equações ou inequações do primeiro grau, utilizando as propriedades da igualdade ou desigualdade, na construção de procedimentos para resolvê-las, discutindo o significado das raízes encontradas em confronto com a situação proposta; - Resolução de situações-problema por meio de um sistema de equações do primeiro grau, construindo diferentes procedimentos para resolvê-lo, inclusive o da representação das equações no plano cartesiano, discutindo o significado das raízes encontradas em confronto com a situação proposta; - Construção de procedimentos para calcular o valor numérico e efetuar operações com expressões algébricas, utilizando as propriedades conhecidas; - Obtenção de expressões equivalentes a uma expressão algébrica por meio de fatorações e simplificações; - Resolução de situações-problema que podem ser resolvidas por uma equação do segundo grau cujas raízes sejam obtidas pela fatoração, discutindo o significado dessas raízes em confronto com a situação proposta (BRASIL, 1998, p. 87-88).
São destacados, ainda, nos Parâmetros Curriculares Nacionais que o trabalho
algébrico também se faz presente em atividades relacionadas a outras áreas da
Matemática, como a geometria, ao propor, por exemplo, generalizações para o cálculo
dos números de diagonais de um polígono; propor expressões que representem a
relação entre grandezas, e calcular medidas da tendência central de uma pesquisa.
Do mesmo modo, contextos que envolvam relações de proporcionalidade podem,
segundo os PCN (BRASIL, 1998), configurar situações potentes para que o aluno
possa analisar a relação de interdependência entre grandezas diretamente
proporcionais, inversamente proporcionais ou não-proporcionais (função afim ou
quadrática), usar linguagem algébrica e representação gráfica para expressar a
variação entre grandezas.
2.3.2. Conselho Nacional dos Professores de Matemática (NCTM)
O Conselho Nacional dos Professores de Matemática (NCTM), instituição dos
Estados Unidos, é referência no que tange às tendências curriculares internacionais.
No documento Princípios e Normas para Matemática Escolar27, de 2000, a Álgebra é
apresentada como um ramo cujos métodos e ideias dão suporte ao trabalho
matemático em diferentes áreas do conhecimento.
Nele, pontua-se que a competência algébrica é importante para a vida adulta
tanto nos estudos quanto no trabalho, enfatizando que todo estudante deveria
aprender Álgebra. Corroborando com as ideias dos pesquisadores destacados nessa
27 Principles and Standards for School Mathematics.
65
investigação, o documento prevê o oferecimento do ensino de Álgebra desde os anos
iniciais da escolarização.
O NCTM apresenta expectativas a serem alcançadas na Álgebra da educação
infantil ao 12º ano28, sempre a partir de quatro grandes habilidades definidas para
todos os segmentos da escolaridade. São elas:
• Compreender padrões, relações e funções; • Representar e analisar situações e estruturas matemáticas usando símbolos algébricos; • Usar modelos matemáticos para representar e compreender relações quantitativas; • Analisar a variação em diversos contextos. (NCTM, 2000, p. 37 – tradução
nossa)29
Para os graus de 6 ao 8, que corresponderia aos três primeiros anos do
segundo ciclo do ensino fundamental brasileiro, as expectativas de aprendizagem são
apresentadas no quadro a seguir:
Quadro 6: Habilidades e expectativas para os Graus de 6 a 8, segundo o NCTM
Compreender padrões, relações e funções
• Representar, analisar e generalizar a variedade de padrões com tabelas, gráficos, palavras
e, quando possível, regras simbólicas;
• Relatar e comparar diferentes formas de representação para uma relação;
• Identificar funções como linear ou não linear e contrastar suas propriedades a partir de
tabelas, gráficos ou equações.
Representar e analisar situações e estruturas matemáticas usando símbolos
algébricos
• Desenvolver um conceito inicial de compreensão dos diferentes usos das variáveis
• Explorar relações entre expressões simbólicas e gráfico de linhas, prestando especial
atenção ao significado da interceptação e inclinação;
• Usar a álgebra simbólica para representar situações e resolver problemas, especialmente
aqueles que envolvem relações lineares;
• Reconhecer e gerar formas equivalentes para expressão algébrica simples e resolver
equações lineares.
Usar modelos matemáticos para representar e compreender relações quantitativas
• Modelar e resolver problemas contextualizados usando várias representações, como
gráficos, tabelas e equações.
Analisar a variação em diversos contextos
• Usar gráficos para analisar a natureza das mudanças nas quantidades em representações
lineares.
Fonte: Adaptado de NCTM, 2000, p. 222.
28 Correspondente ao 3º ano no Ensino Médio brasileiro. 29 Understand patterns, relations, and functions; represent and analyze mathematical situations and structures using algebraic symbols; use mathematical models to represent and understand quantitative relationships; analyze change in various contexts.
66
O documento destaca, especialmente, o uso de variadas formas de representação
– uso de tabela, gráficos, palavras em língua materna e linguagem algébrica. Além disso,
há a valorização da análise de variações em relações funcionais, na representação
algébrica e gráfica, diferenciando relações lineares de não lineares. O NCTM enfatiza,
também, o uso de modelagem matemática.
2.3.3. Base Nacional Comum Curricular (BNCC): a respeito do
desenvolvimento do pensamento algébrico
A Base Nacional Comum Curricular visa definir aprendizagens essenciais que
os alunos devem desenvolver ao longo do ensino fundamental e que precisam ser
consideradas na elaboração de currículos dos Ensinos Infantil e Fundamental.
Este documento esteve em discussão desde 2015. Nesse período foram
publicadas três versões do documento: a primeira passou por consulta pública, o que
deu origem a uma segunda versão, que foi posta em debate em seminários estaduais;
a terceira versão foi publicada em abril de 2017, que, revisada pelo Conselho Nacional
de Educação, foi aprovada em dezembro do mesmo ano em sua versão final,
passando a ser o documento norteador da educação brasileira.
A possibilidade iminente de sua aprovação e, consequentemente, de sua
implementação, foi o motivo pelo qual decidimos consultá-la a fim de analisarmos para
qual caminho este documento orienta o trabalho algébrico no Ensino Fundamental.
O primeiro fator a ser considerado é que a unidade temática “Álgebra” tem
destaque em todos os anos do Ensino Fundamental, o que, de certo modo, representa
um avanço na Educação Algébrica em relação ao que é previsto por documentos
curriculares nacionais, pois destaca esta preocupação em todo o segmento de ensino.
Todavia, é necessário se atentar à maneira como essa discussão foi proposta.
Conforme o documento, a unidade temática Álgebra tem o objetivo de
desenvolver o pensamento algébrico que “é essencial para utilizar modelos
matemáticos na compreensão, representação e análise de relações quantitativas de
grandezas e, também, de situações e estruturas matemáticas, fazendo uso de letras
e outros símbolos” (BRASIL, 2017, p. 226). Para isso, a BNCC destaca que sejam
propostas atividades em que os alunos:
67
Identifiquem regularidades e padrões de sequências numéricas e não numéricas, estabeleçam leis matemáticas que expressem a relação de interdependência entre grandezas em diferentes contextos, bem como criar, interpretar e transitar entre as diversas representações gráficas e simbólicas, para resolver problemas por meio de equações e inequações, com compreensão dos procedimentos utilizados. (BRASIL, 2017a, p. 268)
Como ideias fundamentais relacionadas à Álgebra, o documento evidencia
equivalência, variação, interdependência e proporcionalidade. Além disso, afirma que
a unidade temática relacionada a essa área da Matemática deve “enfatizar o
desenvolvimento de uma linguagem, o estabelecimento de generalizações, a análise
da interdependência de grandezas e a resolução de problemas por meio de equações
ou inequações” (BRASIL, 2017, p. 226).
Observando as habilidades previstas para o Ensino Fundamental 1 e para o
sexto ano do Ensino Fundamental 2 na Unidade temática “Álgebra”, proposta pela
BNCC, nota-se alguns aspectos importantes referentes ao desenvolvimento do
pensamento algébrico: o reconhecimento e a generalização de padrões numéricos; o
uso da linguagem algébrica, que nessa fase da escolaridade não deve ser o foco do
trabalho em Álgebra; o sinal da igualdade como equivalência entre expressões
numéricas e não somente como um sinal que sempre precede um resultado numérico
final.
Outro aspecto importante ao desenvolvimento do pensamento algébrico é a
relação da Álgebra com assuntos de diversas áreas da Matemática. A BNCC (BRASIL,
2017a, p. 268) considera uma possível ligação entre as unidades temáticas “Álgebra”
e “Números”, afirmando que
A relação dessa unidade temática [Álgebra] com a de Números é bastante evidente no trabalho com sequências (recursivas e repetitivas), seja na ação de completar uma sequência com elementos ausentes, seja na construção de sequências segundo uma determinada regra de formação.
Isto se faz como uma conexão módica frente às possibilidades de integração
que estas duas áreas temáticas podem propiciar para uma oferta efetiva de
possibilidades de situações potencializadoras de um trabalho com foco no
desenvolvimento do pensamento algébrico. Citando alguns exemplos, destacamos o
estudo dos processos de cálculos (algoritmos, cálculo mental e etc.) e generalizações,
enfatizando a importância das propriedades das operações nestes processos; a
análise das operações, que pode ganhar um sentido funcional ao estabelecermos
relações de proporcionalidade direta e inversa com termos de uma multiplicação ou
68
de uma divisão; e, a exploração das regularidades do sistema de numeração decimal,
que podem ser base para justificativas de resoluções ou para generalizações de
critérios de divisibilidade.
Já a partir do 7º ano, o foco do ensino de Álgebra passa a ser a linguagem
algébrica na representação de generalizações, relações entre grandezas proporcionais
e resoluções de equações polinomiais de 1º grau. Nesse sentido, a BNCC (BRASIL,
2017a) parece não promover a construção gradual da compreensão do sentido da letra
e do simbolismo algébrico como um todo, pois é tão somente no sétimo ano que
referências à linguagem algébrica são feitas pela primeira vez.
A partir deste ano as habilidades referem-se à elaboração e resoluções de
problemas que envolvem equações polinomiais de 1º e 2º graus; sistemas de
equações polinomiais do 1º grau e a associação destes casos e de equações lineares
ao plano cartesiano; representação de relações de grandezas direta e inversamente
proporcionais ou não proporcionais; relação funcional, entre outras.
O documento relaciona, ainda, o desenvolvimento do pensamento
computacional à aprendizagem da Álgebra, no sentido de que os estudantes
precisariam transitar entre diversas representações de uma dada situação (linguagem
materna, algoritmo, gráfico e etc.). Neste contexto, segundo a BNCC (BRASIL, 2017),
os algoritmos e seus fluxogramas podem ser objetos de estudos na Matemática. De
acordo com a Base,
A linguagem algorítmica tem pontos em comum com a linguagem algébrica, sobretudo em relação ao conceito de variável. Outra habilidade relativa à álgebra que mantém estreita relação com o pensamento computacional é a identificação de padrões para se estabelecer generalizações, propriedades e algoritmos (BRASIL, 2017a, p. 269).
Na BNCC (BRASIL, 2017), terceira versão do documento, não há nenhuma
habilidade explicitada que faça referência direta ao pensamento computacional em
nenhum ano do Ensino Fundamental. Já a versão final, a BNCC (BRASIL, 2017a),
apresenta alguns objetivos de aprendizagem e habilidades relacionadas a este tipo
de pensamento pelo uso de fluxogramas como forma de representação de algoritmos
referentes à construções geométricas, relações estatísticas e algébricas.
69
2.4. Uma breve comparação entre os documentos
O primeiro ponto a ser comparado é aquele no qual os documentos
compreendem que o ensino de Álgebra deve ser iniciado. Enquanto os PCN (BRASIL,
1998) apontam a possibilidade do ensino de Álgebra ser iniciado antes do período
habitualmente sabido em que isso ocorre (7° ano) – porém não explicitando como isso
pode acontecer e se deve mesmo acontecer –, o BNCC (BRASIL, 2017a) coloca como
“imprescindível” que esse trabalho seja desenvolvido já nos anos iniciais do Ensino
Fundamental. Conforme seu texto introdutório à parte de Matemática, o objetivo, em
destaque, é o desenvolvimento do pensamento algébrico.
O documento americano, por sua vez, prevê o desenvolvimento desse tipo de
pensamento desde o que no sistema educacional brasileiro corresponde à Educação
Infantil, sempre apresentando as mesmas expectativas de aprendizagem em todas as
etapas do ensino, com diferentes habilidades previstas, sendo estas gradualmente
propostas ao longo de toda a escolaridade.
A comparação entre os documentos brasileiros nos permite perceber que
ambos valorizam a exploração de situações em que grandezas guardam relações
proporcionais ou não proporcionais e relações funcionais que podem advir desses
contextos e da descoberta de padrões em sequências numéricas. Da mesma forma
apontam o uso de diversas representações como gráfico, tabela, linguagem algébrica
e registro numérico, sendo o primeiro proposto pelos dois documentos especialmente
no segundo ciclo do Ensino Fundamental.
O documento norte americano evidencia, igualmente, o uso de diversas
representações. Todavia, aponta o uso da representação gráfica a partir da etapa da
escolaridade nomeada como “Grau 3-5”, que correspondente à fase do 3º ao 5º ano
do Ensino Fundamental brasileiro.
Assim como os documentos curriculares brasileiros, o NCTM também destaca
exploração de padrões e representação de generalizações utilizando linguagem
algébrica, compreensão e diferentes usos das variáveis e exploração de funções
lineares e não lineares.
No que tange à relação da Álgebra com outras áreas da Matemática no
desenvolvimento do pensamento algébrico, o PCN é, dentre os três documentos
considerados nesta pesquisa, o que propõe maior número de possibilidades quando
permite sobressair a relação da álgebra com conceitos aritméticos, geométricos,
70
estatísticos e de relações funcionais. Estas últimas são destacadas também pelos dois
outros documentos curriculares considerados neste trabalho, apesar de cada um
deles apontarem mais nitidamente apenas uma área em que a interligação com a
Álgebra é lembrada: A BNCC aponta diretamente apenas a associação com a área
temática “Números”, no que diz respeito à exploração de padrões e registro de
generalizações em sequências numéricas. Ainda assim, pontua, também, a
exploração de relações entre grandezas; já o NTCM faz uma relação com a
Geometria, na parte do documento que trata desta área.
De tal modo, a seção seguinte trará alguns elementos relacionados ao trabalho
do professor em sala de aula que autores como Blanton e Kaput (2005) e Blanton
(2008) apontam como marcantes no desenvolvimento do pensamento algébrico dos
estudantes.
2.5. Pensamento Algébrico e o trabalho do professor em sala de aula
Ao considerarmos a importância do desenvolvimento do pensamento algébrico
pautada nas investigações dos pesquisadores citados nesta pesquisa, e no que
trazem documentos educacionais norteadores, faz-se necessário pensar como tudo
isso pode ser desenvolvido pelo professor em sala de aula.
Smith (apud KIERAN, 2007) diz que o uso de atividades que propiciem a
participação dos alunos em discussões em sala de aula, que favoreçam que os
estudantes coloquem em prática o raciocínio matemático e a elaboração de conjecturas,
por si só não promove espontaneamente o desenvolvimento do pensamento algébrico.
O professor é peça fundamental desse processo. É o docente que deve buscar formas
que possibilitem o desenvolvimento de ferramentas para este tipo de pensamento. Em
primeiro lugar, pela exploração dos temas tratados. Em seguida, pela utilização de
vários tipos de representação dos objetos matemáticos, procurando promover o uso
consciente de representações que favoreçam as generalizações. Em terceiro, no apoio
aos alunos para que identifiquem relações matemáticas implícitas à situação em estudo.
Por fim, ensinar a lidar com processos importantes para a Matemática como registrar,
recolher, representar, organizar dados.
Blanton (2008) afirma, sobre o mesmo assunto, que situações de exploração
de conjecturas, construção de argumentação que comprovem ou refutem as
conjecturas elaboradas, além do tratamento das generalizações estabelecidas,
71
devem ser prática recorrente nas aulas de matemática e não somente em formato de
atividades ocasionais.
Além disso, Hoyles (apud KIERAN, 2004) assevera mais um aspecto crucial do
papel do professor, para além da escolha de tarefas: o professor também organiza a
aprendizagem por meio das interações que promove em sala de aula.
Dessa maneira, é fundamental que o professor valorize o estabelecimento de
um ambiente de trabalho em que os estudantes se identifiquem como parte integrante
de um grupo de estudos focado na construção de conhecimento matemático, no qual
toda discussão seja fundamentada por discursos argumentativos (BLANTON; KAPUT,
2008; KIERAN, 2007). É preciso, também, que se promovam situações nas quais os
estudantes trabalhem de maneira autônoma e confrontem suas produções com as
dos colegas, construindo coletivamente o conhecimento matemático. Nesse sentido,
é imprescindível que o professor ofereça uma posição de destaque à produção dos
alunos como ponto de partida para as discussões (BLANTON; KAPUT, 2008),
utilizando as diferenças de raciocínios surgidas no grupo como favorecedoras de
aprendizagens. Entretanto, carece-se, além disso, para o sucesso dessa prática, que
o docente se atente à seleção das apresentações das produções dos alunos no
sentido de deixar para o final das discussões aquelas descobertas que guardam uma
estratégia mais elaborada ou uma generalização mais formalizada.
Blanton e Kaput (2005) destacam algumas técnicas de práticas docentes que
auxiliam o desenvolvimento de habilidades de raciocínio algébrico dos alunos.
Segundo eles, tais técnicas são parte do perfil de professores qualificados no
desenvolvimento do raciocínio algébrico: conversar para engajar os estudantes em
alguma forma de generalização ou formalização; apresentação em espiral de temas
algébricos durante períodos significativos de tempo – isto pode ser resultado de
planejamento ou de desenvolvimento do conhecimento matemático do professor,
consistindo em revisitar conteúdos de tempos em tempos, aprofundando-os e
tornando-os mais convincentes, construindo aos poucos a complexidade da atividade
algébrica em sala; integração de processos algébricos múltiplos e independentemente
válidos – isto representa a capacidade do professor em modificar um processo
visando outro, numa mesma situação de aprendizagem, alterando a complexidade da
questão original; e, engenharia de atividade, que significa a capacidade do professor
em adaptar ou desenvolver atividades para incluir o desenvolvimento do pensamento
algébrico.
72
Blanton pontua, além do mais, quatro importantes objetivos para auxiliar os
alunos a pensar algebricamente:
Represente: Fornecer múltiplas maneiras para que as crianças representem sistematicamente a situação algébrica. Pergunta: Faça perguntas que incentivem as crianças a pensar algebricamente. Ouça: Ouça e construa a partir do pensamento das crianças. Generalize: Ajude as crianças a desenvolver e justificar suas próprias
generalizações. (BLANTON, 2008, p. 94 – tradução nossa)30
Sobre o primeiro objetivo, a pesquisadora diz que é importante ensinar as crianças
a serem organizadas e a sistematizar a representação de seu raciocínio. Afirma também
que as manipulações apresentadas pelos professores sejam adequadas à compreensão
dos alunos, que os estudantes tomem contato, explorem e utilizem diversos tipos de
representação atentando às características de cada uma delas e como elas se conectam.
Diz, por conseguinte, que os educandos sejam incentivados a explicar suas estratégias
e registros e que sejam auxiliados no estabelecimento de relação entre diferentes tipos
de representações. Por fim, a autora sugere que, quando possível, seja permitido às
crianças representar fisicamente.
Quanto ao segundo objetivo, Blanton (2008) lembra que uma das maneiras
mais importantes de estimular o desenvolvimento do pensamento algébrico dos
alunos se dá fazendo perguntas aos estudantes. No entanto, não é toda pergunta que
provoca mudanças no pensamento das crianças. Segundo ela, boas perguntas –
como: “Será sempre assim?” ou “E se pensarmos de outra maneira?” – oferecem a
oportunidade aos alunos organizarem seu pensamento e construir ideias matemáticas
(BLANTON, 2008, p. 103). Questionar o aluno sobre algo que demande fatos
numéricos ou simples práticas de cálculo podem não ser tão estimulantes, ao contrário
de uma pergunta que exija a elaboração de uma explicação, de uma análise, uma
argumentação.
Com relação ao terceiro objetivo, “ouvir é tão importante quanto questionar”
(BLANTON, 2008, p. 103), já que isso possibilita ao professor compreender o
raciocínio do aluno e garante o envolvimento do estudante na discussão.
Blanton (2008, p. 105) afirma, com relação ao quarto objetivo, que o propósito
central do pensamento algébrico é fazer com que os alunos pensem, descrevam e
30 Represent: Provide multiple ways for children to systematically represent algebraic situation; Question: Ask questions that encourage children to think algebraically; Listen: Listen to and build on children's thinking; Generalize: Help children develop and justify their own generalizations.
73
justifiquem os aspectos gerais acerca de algumas situações matemáticas. Portanto, é
imprescindível que os estudantes desenvolvam generalizações.
Neste contexto, a autora apresenta cinco componentes caracterizadores de um
processo de generalização:
1. Crianças recebem uma situação matemática para explorar – trabalhando
individualmente ou em grupo, atividades que propiciem explorações ajudam os
estudantes a organizar o pensamento e decidir qual a melhor maneira de representar
seu raciocínio;
2. Desenvolvem uma conjectura, ou uma afirmação matemática que pode ser
verdadeira ou falsa – para conjecturar, os alunos precisam organizar seu pensamento,
a fim de focar em uma relação geral, exigindo especial atenção às várias partes das
informações e como elas estão relacionadas. Precisam ser levados a identificar a
conjectura como uma atividade matemática fundamental;
3. Testam a conjectura para verificar se é verdadeira ou falsa – nesta etapa é
importante destacar a imprescindibilidade da construção de argumentos para
conjeturas verdadeiras (para todos os casos ou para um domínio específico) e o
tratamento dado às falsas. A autora indica a importância de os alunos terem contato
com conjecturas falsas e com o conceito de contraexemplo. Enfatiza, também, a
necessidade de promover situações de aprendizagem que possam favorecer o
avanço do aluno de argumentos empíricos para mais abstratos;
4. Se a conjectura não é verdadeira, os alunos podem revisá-la e testarem a
nova conjectura;
5. Se a conjectura for confirmada como verdadeira após serem coletadas
evidências suficientes, ela se torna uma generalização – aqui o foco é na
generalização criada e na forma como ela será exposta (uso de símbolos, letras,
palavras e etc.). Segundo a pesquisadora, é fundamental que o estudante
compreenda a generalização como uma importante atividade matemática. Isto é, o
cerne do pensamento algébrico.
Tal processo pode ser representado pela Figura 1:
74
Figura 1: Componentes de construção de uma generalização
Fonte: Blanton, 2008, p. 106.
Dada a importância de propor situações que envolvam o desenvolvimento do
pensamento algébrico, consideramos que os elementos elencados por Blanton e
Kaput (2005, 2008), Kieran (2007) e Blanton (2008) valorizam o trabalho do professor
em sala de aula. Percebemos que não é uma trabalho fácil e, por isso, deve ser
valorizada enquanto elemento central de um trabalho que envolva esse tipo de
pensamento. Isto tudo ao ressaltar a importância do planejamento de ações,
intervenções, antecipações de estratégias e erros, escolha de agrupamentos e
promova, assim, um trabalho matemático em sala de aula.
No capítulo a seguir apresentamos os procedimentos metodológicos que
adotamos em nossa investigação, tal como o instrumento de coleta de dados que
utilizamos, as análises prévias das atividades, os questionamentos propostos e os
roteiros das entrevistas.
75
3. ESCOLHAS METODOLÓGICAS
Neste capítulo apresentamos a metodologia utilizada em nossa pesquisa, e
também a descrição das escolhas e procedimentos adotados na aplicação do
instrumento. Em seguida, expomos as seções que compõem nosso instrumento de
coleta de dados e a análise prévia de cada uma delas.
3.1. Pesquisa qualitativa
Para buscar respostas às nossas questões – “Quais aspectos relacionados ao
desenvolvimento do pensamento algébrico são notados por professores em atividades
que têm esse foco? Os participantes conhecem algo sobre o pensamento algébrico?
Consideram que o ensino de Álgebra pode ser iniciado antes do período do 7°- 8º ano
do ensino fundamental?” – a presente pesquisa possui cunho de investigação
qualitativa, conforme o que dizem Bogdan e Biklen (1991), e tem caráter diagnóstico.
Pretendemos averiguar, dessa maneira, os aspectos que são relacionados ao
desenvolvimento do pensamento algébrico e como são percebidos por professores de
Matemática do Ensino Fundamental. Segundo os autores citados, esta metodologia
de pesquisa apresenta cinco características.
A primeira delas é que “Na investigação qualitativa, a fonte direta é o ambiente
natural, constituindo o investigador o instrumento principal” (BOGDAN; BIKLEN,1991,
p. 47). Destacam a importância da pesquisa qualitativa no que diz respeito aos
fenômenos, em todas suas complexidades, em contexto natural, possibilitando que os
dados colhidos sejam complementados com aspectos observados apenas in loco. Isto
pode permitir ao pesquisador uma melhor compreensão das ações dos sujeitos, algo
que gravações em áudio, registros escritos, ou qualquer outra forma de coleta de
dados não permite.
De tal modo, a pesquisa aqui realizada coletou dados em ambiente escolar, no
horário de trabalho dos professores.
Participar de algumas horas nesse convívio escolar conferiu mais sentido às
respostas dadas por professores a alguns dos questionamentos que propusemos. Por
exemplo, no fato de considerarem fundamental a aplicação de problemas
matemáticos que apresentam contextos vinculados ao cotidiano do aluno, pudemos
perceber que esta é uma visão compartilhada também pela equipe gestora da escola.
76
Não obstante, só nos foi possível perceber tal relação, por conta da participação em
uma reunião com professores, coordenação e assistente de direção escolar – isto no
segundo dia de aplicação do instrumento de coleta de dados. Com duração de cerca
de uma hora e trinta minutos, tal reunião teve como foco a apresentação do MMR31
(Método de Melhoria de Resultado) do corpo docente da escola. Também versou
acerca de informações sobre a prioridade das ações nas escolas estaduais da região,
que se dá visando a melhoria dos índices referentes à aprendizagem de Matemática.
Outro ponto importante para Bogdan e Biklen (1991, p. 48), no que tange à
descrição de uma pesquisa qualitativa, é que “A investigação qualitativa é descritiva”.
Segundo eles, as palavras são fundamentais no registro dos dados e na comunicação
das análises. Esse tipo de investigação demanda do pesquisador uma apresentação
narrativa minuciosa de todo o processo de pesquisa, utilizando fragmentos de respostas,
transcrição de áudios, fotografias, notas de campo, vídeos, documentos e etc. Isto a fim
de exemplificar e subsidiar as considerações feitas, evitando que detalhes importantes
não sejam descartados. Assim sendo, “a abordagem da investigação qualitativa exige
que o mundo seja examinado com a ideia de que nada é trivial, que tudo tem potencial
para constituir uma pista que nos permita estabelecer uma compreensão mais
esclarecedora do nosso objeto de estudo.” (Idem, p. 49).
A investigação presente segue esses preceitos. Buscamos descrever, neste
trabalho, todos os momentos que envolveram a aplicação do instrumento de pesquisa,
desde sua organização à sua aplicação.
Além do mais, os autores apontam, também, que “Os investigadores qualitativos
interessam-se mais pelo processo do que simplesmente pelos resultados ou produtos”
(Idem, p. 49). Nesse sentido, acreditamos que nossa proposta de averiguação, além de
colher dados por meio do instrumento proposto, tem o objetivo de ampliar a experiência
que os participantes têm em termos de tipos de situações que podem propor em sala
de aula e que, além do mais, percebam, nas situações propostas a possibilidade de um
trabalho algébrico com estudantes de sexto e sétimo anos que priorize o
desenvolvimento do pensamento algébrico. Por conseguinte, pretendemos instaurar o
interesse de saber mais sobre a possibilidade (e necessidade) de iniciar o ensino de
31 Ação do governo estadual que será aplicada em todas as diretorias de ensino da capital paulista que tem o objetivo de melhorar os resultados das escolas estaduais em índices utilizados para definir qualidade do ensino nesta rede pública.
77
Álgebra antes do que normalmente é feito, caso não tenham conhecimento a respeito
do que se trata o pensamento algébrico.
Bogdan e Biklen (1991, p. 50) destacam, também, que “Os investigadores
qualitativos tendem a analisar os dados de forma indutiva”; ou seja, consideram que
as análises dos dados se dão na medida em que o pesquisador consegue agrupar as
informações colhidas para, enfim, realizar as análises. Assim, determinaremos
categorias, que serão apresentadas mais adiante, que guiarão nossas análises dos
dados de pesquisa.
A quinta característica defendida por estes autores é que “O significado é
importância vital na abordagem qualitativa” (Idem, p. 50). Com isso, os pesquisadores
estariam interessados no modo como as pessoas dão sentido às vidas. Em nosso
caso, estamos preocupados em colher indícios de como os professores participantes
de nossa investigação concebem o ensino de Álgebra e, também, se conhecem e
relacionam o desenvolvimento do pensamento algébrico nesse processo. Cabe
ressaltar, mais uma vez, que nosso objetivo é investigar quais elementos relacionados
ao desenvolvimento do pensamento algébrico são destacados pelos participantes em
problemas destinados a alunos do início do segundo ciclo do Ensino Fundamental (6º
e 7º anos).
Apesar de termos alguns questionamentos já pré-programados, tivemos, como
objetivo principal, o intuito de compreender o que os professores pensam, e o que
vivenciaram enquanto alunos e, mais tarde, enquanto docentes, com relação a como
percebem o ensino de álgebra no Ensino Fundamental 2. A perspectiva pessoal de
cada sujeito participante em nosso contexto de pesquisa é essencial para que haja
contrapontos e concordâncias no decorrer de todos os momentos de nossa
investigação. Dessa maneira, cada etapa de coleta de dados, e todos os elementos
que os participantes propuseram, propiciou-nos apontamentos muito significativos
para análise dos dados.
3.1.1. Critérios para escolha dos participantes desta investigação
O critério de seleção de sujeitos foi o seguinte: professores de Matemática que
atuassem no Ensino Fundamental 2 de uma escola pública estadual de São Paulo;
disponibilidade, destes, para participar dos encontros em horários de Aula de Trabalho
78
Pedagógico Coletivo (ATPC)32. Optamos por não considerar escolas da rede municipal
da cidade de São Paulo nesta busca pelo motivo de que, em geral, estas possuem um
número reduzido de turmas em comparação às escolas estaduais e,
consequentemente, têm um número menor de professores de Matemática.
Por conseguinte, nosso objeto era escolher uma única escola,
preferencialmente na qual trabalhassem em torno de seis professores de Matemática,
já que planejávamos propor a aplicação da parte do instrumento de coleta de dados,
correspondente aos problemas, em duplas. Este número de docentes em uma única
escola evitaria a necessidade de deslocamentos entre unidades escolares. Isto
poderia ocasionar redução do número de participantes e, igualmente, do tempo dos
encontros previstos em cada etapa.
Não é muito simples encontrar uma escola em que trabalhem tantos
profissionais dessa área, visto que a um único professor podem ser atribuídas até seis
turmas no Ensino Fundamental. Isso foi uma dificuldade, que se deve ressaltar, para
a escolha da escola em que faríamos nossa investigação. Por isso optamos em
procurar escolas com maior número de turmas, o que nos fez chegar, após diversas
tentativas, à unidade escolar no extremo norte da cidade de São Paulo, na qual
aplicamos nosso instrumento de coleta de dados.
A escola, estadual como almejávamos, funciona em três períodos. No matutino
são 28 turmas do Ensino Médio. À tarde são 12 turmas do Ensino Fundamental 2 e
19 do Ensino Fundamental 1. No período noturno são 34 turmas de Ensino Médio nas
modalidades regular e EJA (Educação de Jovens e Adultos).
Nosso primeiro contato com a escola em que realizaríamos a pesquisa de
campo foi por telefone. Na primeira conversa com a Coordenadora Pedagógica do
Ensino Fundamental 2 não demos grandes detalhes da pesquisa. Foi realizada uma
breve apresentação da pesquisadora, da orientadora e da Universidade. Relatamos
nosso interesse em realizar a pesquisa naquela unidade de ensino com professores
de Matemática e o tema da investigação. Soubemos que eram 8 os professores de
Matemática atuantes no Ensino Fundamental 2. Assim, não teríamos problemas em
32 Componente da jornada de trabalho dos professores da rede estadual de ensino de São Paulo.
Compreende um momento de trabalho coletivo de formação realizado na Unidade Escolar, salvo momentos de excepcionalidade que podem ser cumpridos individualmente na escola, mas sempre com caráter formativo para os docentes. Cada ATPC tem 50 minutos de duração, tempo correspondente a uma aula.
79
aplicar a investigação nesta escola, visto que até havia mais profissionais do que
intentávamos de início.
Na primeira visita à escola explicamos à coordenadora pedagógica o objetivo da
pesquisa, como ela ocorreria na escola, quanto tempo prevíamos para tal e quais
professores seriam envolvidos. Na ocasião foram expostas, à coordenadora, a carta de
apresentação da pesquisadora, assinada pela Orientadora da pesquisa, o documento
de Autorização para a realização da pesquisa na escola, que foi assinado prontamente
pela Coordenadora Pedagógica da escola e que seria apresentado ao Comitê de Ética
da PUC-SP, e o Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (TCLE), que seria
entregue a cada um dos professores participantes.
Contudo, por conta de os docentes de Matemática se distribuírem entre
Fundamental e Médio, nos períodos vespertino e noturno, contaríamos – já que
intentávamos apenas o período da tarde – com a presença de apenas 4 professores
para a realização de nossa coleta de dados. Isto nos levou a modificar razoavelmente
os termos de aplicação: optamos por coletas individuais. Ainda assim, tais professores
estariam em horário de trabalho e, segundo a Coordenadora, participariam de nossa
pesquisa por este motivo. Então, a participação, ainda que ocorresse, não seria
espontânea, ao menos neste momento.
Inicialmente prevíamos a aplicação do instrumento em três momentos, cada
um com duração de duas horas, tempo destinado à aula de trabalho pedagógico
coletivo (ATPC). Todavia, informaram-nos, durante aquela primeira conversa, que
esta organização não seria possível, devido à proximidade do encerramento do
segundo bimestre e demanda de correções de trabalhos e avalições, organização de
notas, conselhos de classe e à chegada das férias escolares. A coordenadora
permitiu, então, que utilizássemos o período de um dia completo de aula na última
semana de trabalho dos professores, isto é, semana precedente às férias, quando
todos estariam em reuniões de encerramento e replanejamento. Teríamos, então,
neste caso, um período de 5 horas para aplicação de nosso instrumento.
Apesar dessa mudança dos planos, mantivemos a organização pensada
inicialmente: na primeira fase da pesquisa os participantes responderiam por escrito
e individualmente a alguns questionamentos a respeito de sua formação, carreira
docente e seus conhecimentos prévios sobre pensamento algébrico. Em seguida,
solucionariam, também por escrito em folhas impressas, três problemas propostos no
80
instrumento de coleta de dados e, igualmente, destacariam aspectos, em cada um
deles, que consideravam relevante à aprendizagem de álgebra.
Cada uma das partes que compõem nosso instrumento seria entregue aos
participantes separadamente. As seguintes seriam entregues somente quando
concluída as resoluções da etapa anterior. Para conclusão dessa fase prevíamos,
inicialmente, que precisariam de cerca de duas horas e trinta minutos.
A segunda etapa, com previsão de cerca de uma hora de duração, teve como
condutora a pesquisadora responsável pela aplicação do instrumento de coleta de
dados na escola. Além disso, teve como objetivo a apresentação e discussão de
elementos característicos do desenvolvimento do pensamento algébrico baseados
nas contribuições de Kaput (1999, 2000, 2000a, 2008), Blanton e Kaput (2005), Kieran
(1992, 2004), Lins e Gimenez (2001), Fiorentini, Miorin e Miguel (1993), Fiorentini,
Fernandes e Cristovão (2005), Ponte, Branco e Matos (2009), enfatizando a
abordagem no início do segundo ciclo do Ensino Fundamental 2, ainda que
explicitando que este é um trabalho que pode ser realizado desde o início da
escolarização do estudante. Para este momento foi preparada uma apresentação de
slides com tópicos selecionados, baseados nas caracterizações sobre Pensamento
Algébrico propostos pelos pesquisadores supracitados e, também, alguns exemplos
de temas e conteúdos em que a temática desse tipo de pensamento pode ser inserida.
Na terceira, e última, etapa prevista, cada participante retomaria suas
resoluções e análises feitas no primeiro momento da coleta de dados e, a partir da
discussão realizada na segunda fase da coleta, deveriam rever seus registros nos
mesmos protocolos utilizados, corrigindo-os ou completando-os, conforme suas
próprias concepções. Assim, com canetas de cor diferente, marcariam as novidades
mencionadas. Tudo isso seria seguido de entrevista com cada um dos participantes a
fim de questioná-los sobre aspectos de seus relatos que precisariam de maior
explicação.
Conforme explicaremos e justificaremos mais adiante, apenas a entrevista foi
realizada para conclusão da coleta de dados.
Cabe destacar que não era esperado que o professor participante da pesquisa
tivesse conhecimentos prévios sobre pensamento algébrico. Por isso a aplicação da
coleta de dados, que originalmente seria composta apenas pela primeira etapa,
ganhou as demais fases.
81
3.1.2. Cenário do dia da aplicação do instrumento de coleta de dados
Chegado o momento de aplicação do instrumento de coleta de dados, a
pesquisadora responsável foi recepcionada pela Coordenadora Pedagógica que,
muito solícita, emprestou o computador da escola para projeção (pois o computador
da pesquisadora não tinha uma entrada de cabos compatível com os equipamentos
da escola), e informou que o encontro se daria na sala de vídeo, pois é a única sala
da escola com projetor já instalado.
A sala utilizada é muito espaçosa e tem diversas mesas e cadeiras escolares,
(exatamente do mesmo tipo das carteiras de sala de aula) e estava bastante
desorganizada. Ao entrarmos, a Coordenadora Pedagógica auxiliou na conexão dos
cabos do computador e do projetor e deixou livre para que a sala fosse organizada
conforme fosse mais propício para o momento de trabalho com os professores. A
organização escolhida para as quatro carteiras que utilizaríamos foi em semicírculo, por
conta da apresentação dos slides que aconteceria logo depois que os professores
concluíssem o preenchimento do instrumento de coleta de dados da pesquisa.
3.1.3. Planejamento da aplicação de nosso instrumento de coleta de dados
Planejamos que a aplicação de nosso instrumento de coleta de dados fosse
individual e que fosse realizada ao mesmo tempo para todos os participantes, estando
todos no mesmo ambiente. Os professores, cada um ao seu tempo, responderiam ao
questionário inicial, a cada um dos três problemas e aos questionamentos posteriores
a cada um dos problemas. Cada uma destas partes seria entregue ao participante à
medida que fossem concluindo suas resoluções das partes anteriores.
Todo o instrumento que seria entregue aos participantes foi impresso
antecipadamente. Seria solicitado aos professores que respondessem utilizando
caneta esferográfica, com exceção de um dos problemas que solicitava uma
construção geométrica e demandava uso de compasso.
Todo o material utilizado foi oferecido pela pesquisadora responsável pela
aplicação do instrumento na unidade escolar.
82
3.2. Instrumentos de coleta de dados
Duas das três partes que compunham nosso instrumento de pesquisa eram
questionários abertos, questões discursivas. O objetivo era propor questionamentos
que não direcionassem as respostas dos participantes para o que, por ventura,
poderiam pensar que gostaríamos que respondessem, mas que fossem sinceros em
seus relatos. A seguir fazemos uma breve apresentação de nosso instrumento, que
serão mais detalhadamente apresentados adiante:
– Parte 1: caracterização dos participantes, para o qual prevíamos que seriam
utilizados até trinta minutos;
– Parte 2: três problemas matemáticos e questionamentos sobre eles.
Planejávamos que fossem utilizados cerca de quarenta minutos para o primeiro, trinta
para o segundo e mais trinta minutos para o terceiro. Cada um deles tem o propósito
de tematizar o desenvolvimento do pensamento algébrico utilizando diferentes áreas
da Matemática: o primeiro pela Aritmética, o segundo utilizando relação funcional e o
terceiro, Geometria;
– Parte 3: questionamentos finais, que versam sobre impressões gerais dos
professores sobre os problemas apresentados e relação entre eles, além de buscar
colher elementos da prática dos professores. Para conclusão dessa etapa prevíamos
que seriam necessários mais 50 minutos (30 para atividade e questões acerca ela e
mais 20 para outros questionamentos finais).
Cabe destacar que todas as questões apresentadas aos participantes, tanto
dos questionários quanto dos problemas, tinham espaço para respostas logo abaixo
de seus enunciados. Exibiremos no corpo de texto deste trabalho apenas as questões
respondidas pelos participantes. Versões dos instrumentos originais estarão anexas,
ao final.
3.2.1. Parte 1: Caracterização dos participantes
No Quadro 7 apresentamos apenas as questões que compuseram a primeira
parte do nosso instrumento de coleta de dados.
83
Quadro 7: Parte 1 do instrumento de coleta de dados - Caracterização dos professores
Nome:___________________________________________ Idade: ____ anos
− Tempo de magistério: ______ anos
− Situação Funcional - categoria: ( ) efetivo ( ) contratado
− Formação acadêmica: titulação/instituição de ensino na qual estudou:
− Formação complementar (se houver) – instituição de ensino na qual estudou:
− Leciona ou já lecionou outra(s) disciplina(s)? ( ) Sim ( ) Não. Em caso afirmativo, escreva
qual disciplina, o ano e o segmento de ensino.
− Há quanto tempo leciona na escola em que atua hoje em dia?
− Há quanto tempo leciona no Ensino Fundamental 2?
− Já lecionou em quais anos do Ensino Fundamental 2? Quanto tempo lecionou em cada um
deles?
− Comente um pouco sobre o porquê de ter escolhido a carreira docente e faça um breve
relato sobre sua carreira profissional.
− Por que escolheu lecionar Matemática?
− O que você considera importante no ensino de Álgebra (aspectos matemáticos e
didáticos)?
− Você considera que o ensino de Álgebra pode ser iniciado antes do 8º ano? De que
maneira? Comente um pouco sobre sua opinião.
− O que você entende por “Pensamento Algébrico”? Escreva um pouco sobre o que sabe sobre isso e de que maneira pode, ou não, contribuir para o aprendizado dos alunos em Álgebra.
Fonte: A pesquisadora
Esperávamos que os participantes demorassem cerca de 30 minutos para
responder a todas as perguntas do questionário a fim que, logo na sequência,
iniciassem as resoluções dos problemas.
As questões escolhidas para compor a primeira das partes de nosso
instrumento de coleta de dados tiveram como objetivo caracterizar os participantes,
coletando nome, idade, formação acadêmica, tempo na carreira docente, tempo de
atuação no Ensino Fundamental 2. Além disso, propusemos questionamentos
também com objetivo de colher dados a respeito da percepção dos professores em
relação ao ensino de Álgebra e sobre o pensamento algébrico.
Com a pergunta “Já lecionou em quais anos do Ensino Fundamental 2? Quanto
tempo lecionou em cada um deles?”, procuramos ter elementos para analisar se os
professores tinham diferentes visões quanto ao desenvolvimento do Pensamento
Algébrico e ao ensino de Álgebra dependendo do tempo que têm de experiência em
cada ano que compõe esse segmento de ensino. Assim, intentávamos saber, por
exemplo, se os professores com maior tempo de atuação no sexto e sétimo anos
reconheceriam mais elementos caracterizadores do pensamento algébrico nos
84
problemas propostos do que os professores que trabalham há mais tempo com o nono
ano.
Na questão “Comente um pouco sobre o porquê de ter escolhido a carreira
docente e faça um breve relato sobre sua carreira profissional”, buscamos colher
informações que tangem à trajetória profissional deles, visando, por exemplo,
identificar se trabalham em outra rede de ensino (pública ou privada), se têm dupla
(ou tripla) jornada, se já atuaram (ou atuam) em outra atividade na área educacional
(gestão escolar, produção de material didático) e etc.
Com o questionamento “Por que escolheu lecionar Matemática?”, visamos
encontrar indícios sobre as experiências dos participantes, enquanto estudantes de
escola básica, no estudo dessa disciplina. Além disso, queríamos colher informações
sobre o que motivou os participantes em suas escolhas profissionais, isto é, relativas
à docência.
Procuramos colher informações de como os participantes compreendem o ensino
de Álgebra no Ensino Fundamental 2 e seus conhecimentos prévios sobre o objeto
Matemático que norteia nossa investigação, o Pensamento Algébrico. Com o
questionamento “O que você considera importante no ensino de Álgebra (aspectos
matemáticos e didáticos)?”, propomo-nos descobrir se os professores participantes
reconheciam apenas técnica na resolução de equações, de sistemas de equações e
realização dos transformismos algébricos como pontos-chave do ensino de Álgebra. Ou
então se, além disso, tinham capacidade de perceber regularidades e padrões e escrita
de generalizações como aspectos intrínsecos à Álgebra. Ou ainda se mencionavam a
possibilidade de abordar o ensino de Álgebra sem a necessidade de uma linguagem
algébrica já definida, a possibilidade de utilizar diversas representações matemáticas nas
atividades propostas, especialmente a representação gráfica.
Com a questão “Você considera que o ensino de Álgebra pode ser iniciado
antes do final do 8º ano? De que maneira? Comente um pouco sobre sua opinião”,
pretendemos constatar se os participantes veriam a possibilidade de se iniciar o
ensino de álgebra em momentos anteriores ao que comumente ocorre (ao final do 7º
ano, início do 8º ano do segundo ciclo do Ensino Fundamental), ou se diriam que o
ensino de Álgebra só poderia ocorrer com a introdução de uma linguagem algébrica.
Ao questionarmos “O que você entende por ‘Pensamento Algébrico?’ Escreva um
pouco sobre o que sabe sobre isso e de que maneira pode, ou não, contribuir para o
aprendizado dos alunos em Álgebra”, quisemos constatar diretamente se os professores
85
participantes tinham conhecimento ou não sobre o tema. Ainda, queríamos investigar,
pois, visávamos corroborar – ou, caso contrário, pensar outros caminhos – um dos
resultados de pesquisa de Silva (2007), que constatou que os professores reconhecem
que o ensino da álgebra é iniciado em equações ou expressões algébricas e que o
pensamento algébrico é tematizado a partir de tais conteúdos.
3.2.2. Parte 2: Problemas
Problema 1:
Escolhemos três problemas para compor essa seção de nosso instrumento. O
primeiro deles é de Fuji (apud KIERAN, 2007), Stephens (apud KIERAN, 2007) e Fuji
e Stephens (apud KIERAN, 2007). Visa abordar o pensamento algébrico por meio de
expressões numéricas generalizáveis, possibilitando o uso da aritmética como
potencializadora de um trabalho de cunho algébrico, conforme sugerem Lins e
Gimenez (2001), Kaput (1999, 2000a), Blanton e Kaput (2005), Kieran (2004),
Fiorentini, Miorin e Miguel (1993).
Utilizamos em nossa coleta de dados as duas etapas propostas por Fuji (apud
KIERAN, 2007). Na primeira delas (questões 1 a 3), o “Método de Peter”, foi
apresentada inicialmente aos alunos do 3º ano (8 e 9 anos de idade) por meio de
entrevista. Já sua continuidade (questões 4 a 13) é de Stephens (apud KIERAN, 2007)
e Fuji e Stephens (apud KIERAN, 2007) e foi aplicada a turmas de 6º ao 9º ano no
Japão e na Austrália. Para esta etapa, o mesmo método problematiza outras
questões, como a generalização na representação das operações realizadas,
envolvimento de números de grandeza maiores (casa das centenas) e números
racionais positivos. O problema estimula o pensamento sobre expressões
equivalentes e generalização dos padrões encontrados nestas expressões. O Quadro
8, a seguir, mostra o problema 1.
86
Quadro 8: Parte 2 do instrumento de coleta de dados – Problema 1
Peter e seu método de subtrair
1. Peter está subtraindo 5 de alguns números. Peter diz que estes são muito fáceis de fazer. Você
concorda?
37 - 5 = 32 59 - 5 = 54 86 - 5 = 81
Mas Peter diz que alguns outros não são tão fáceis, como:
32 – 5 53 – 5 84-5
Peter diz: "Eu faço isso adicionando primeiro 5 e depois subtraindo 10, como 32 - 5 = 32 + 5 - 10.
“Trabalhar desta maneira é mais fácil”. O Método de Peter dá a resposta certa.
2. Vejamos as outras duas operações (53-5 e 84-5). Você pode usar o Método em cada uma delas?
Reescreva cada pergunta, primeiro usando o Método de Peter e, em seguida, confira a resposta.
3. Peter diz que seu método também funciona para subtrair 7 e 8 e 9. Você pode mostrar como o
Método de Peter funciona para estas três perguntas? Reescreva cada pergunta primeiro usando
o Método de Peter e, em seguida, responda.
a) 83 – 7 b) 123 – 8 c) 235 – 9
Você pode explicar como esse método sempre funciona?
4. Susan disse: "Em vez de escrever 32 - 5, 32 - 6, 32 - 7, 32 - 8 e assim por diante, decidi escrever
o símbolo ▼ para representar os números 5, 6, 7, 8, e assim por diante. Então, eu escrevi 32 - ▼
para representar todos estes" (leia como: "32 menos algum número").
Susan diz: "Então, em vez de 32 - ▼ ("32 menos algum número"), Peter diz: 32 + - 10" (Lido
como: "32 mais algum outro número menos 10").
Susan então diz: "Como Peter encontra o valor do segundo número ? O que esses dois números
somam? O que você pode dizer sobre ▼ + =?"
5. Poderia ▼ ("o primeiro número") representar uma fração como 7½ ou um número decimal como
5,2?
6. Podemos ver como o Método de Peter poderia ser usado para subtrair números como 95, 96 e
97? Suponha que Peter tivesse 251 - 95, o que você acha que ele poderia fazer para tornar mais
fácil?
7. O que ele faria se tivesse 251 – 96,5?
8. O que você acha que ele faria se ele tivesse 251 - 93?
9. Lembre o que Susan fez antes. Agora, em vez de escrever frases como 251 - 95, 251 - 96, 251
- 97, 251 - 98, Susan usa novamente o símbolo ▼ para representar todos esses. O que você
acha que ela iria escrever?
10. Susan então reescreve esta nova frase 251 - ▼ para mostrar como Peter subtraiu números como
95, 96, 97, 98 e assim por diante. Ela usa um segundo símbolo para escrever 251 + .......
Você pode completar esta frase?
11. Como é o valor do número relacionado ao valor do número ▼?
12. O que esses dois números somam? O que você pode dizer sobre ▼ + =?
Você poderia usar esse raciocínio para mostrar como Peter resolveria 251 - 83?
Fonte: Kieran, 2007, p. 8-10.
Decidimos manter as três primeiras questões por apresentarem um dos métodos
que deveriam ser analisados pelos professores participantes da coleta de dados.
87
Na primeira questão esperávamos que identificassem a equivalência existente
entre o algoritmo convencional da subtração e o “método de Peter”. Previmos,
também, a possibilidade de que os professores citarem o fato que a ordem das
operações realizadas por Peter poderia ser invertida de acordo com a propriedade
comutativa da adição, ou seja, ele poderia subtrair 10 (adicionar o oposto de 10) e
depois adicionar 5 que o resultado seria o mesmo.
A segunda questão visou colocar em prática o método de Peter e a necessidade
de se habituar à dinâmica. A etapa de constatar se o resultado encontrado era o
correto, no caso dos professores, esperávamos que fosse realizada mentalmente.
Não presumimos que os professores teriam dificuldades em trabalhar com o método
apresentado pela personagem do problema e em obter 48 para a operação 53-5 e 79
para a subtração entre 84 e 5.
Já a terceira questão buscou a generalização do método apresentado para
outros casos e provocaria à percepção do padrão a ser seguido na realização do
método apresentado. Ao propor inicialmente subtrações de cinco unidades, o
participante poderia ser levado ao entendimento e justificativa de que ao adicionar 5
e subtrair 10 o resultado se manteria o mesmo de subtrair 5, pois, ao subtrairmos um
valor e adicionarmos o que corresponde à metade desse valor retirado, equivaleria à
retirada de metade do número subtraído. Pode-se comprovar isto utilizando a
propriedade distributiva da multiplicação com relação à subtração:
x - y = x + y – 2∙y = x + y∙(1 - 2) = x + y∙(-1) = x – y; x, y Є ℝ
Esta é uma estratégia que gera resultados corretos. No entanto, deve ser
descartada no decorrer desta atividade pela praticidade de cálculo proposta pelo método.
Para a resolução da questão 3 deve-se acrescentar um certo valor que,
adicionado ao subtraendo da operação original, resulte no número retirado no método
de Peter (esperávamos que, assim como Peter, os participantes utilizassem o 10). No
caso da subtração por 5, consideramos que a interpretação apresentada
anteriormente poderia ocorrer, pois o 5 é o número que adicionado a ele mesmo
(subtraendo da operação inicial) resulta em 10 (parcela acrescentada) e justamente
por isso pode ser interpretado como a metade de 10.
Como justificativa tínhamos a expectativa de que os professores utilizassem
expressões algébricas para ter certeza da validade do método (hipótese 1). Caso
registrassem suas respostas tentando pensar como um aluno elaboraria uma
88
justificativa, poderíamos supor que métodos aritméticos que envolvam a
decomposição da dezena subtraída como a adição entre o subtraendo da operação
inicial e o valor que falta para que este completasse a dezena (hipótese 2), ou que
relatassem que subtrair 3 é o mesmo que adicionar 7 e subtrair 10, pois 10 – 7 = 3 e
subtrair 8 resultaria o mesmo valor que acrescentar 2 e subtrair 10, pois 8 = 10 – 2.
Outra resposta esperada (hipótese 3) remetia ao algoritmo convencional da
subtração e a maneira popularmente conhecida como “emprestar”33: ao
representarmos a dezena em termos de unidades e que, adicionada ao algarismo da
unidade do minuendo, resultaria em 13. Este valor subtraído de 10 e acrescido de 3
resultaria em 6, algarismo adicionado às 7 dezenas do número.
A linguagem simbólica é muito propícia para explicar tais hipóteses. Os
registros simbólicos de algumas das hipóteses para resposta da questão 3 estão
apresentadas no Quadro 9:
Quadro 9: Hipóteses de respostas
Hipóteses de respostas dadas pelos participantes Propriedades que justificam as
hipóteses
Hipótese 1:
Considerando x, a e b ∈ ℕ.
83 – x = 83 + a – 10
-x = a - 10
a + x = 10 a = 10 - x
De maneira geral,
83 – x = 83 + a – b
a - b = - x
a + x = b a = b - x
Equivalência entre expressões
algébricas.
Hipótese 2:
83 – 7 = 83 + 3 - 10 = 83 + 3 - 3 – 7 = 83 - 7
Subtrair dez de 83 + 3 equivale a subtrair 3 e, em
seguida, subtrair 7.
- Decomposições numéricas;
- Propriedade associativa da adição.
Hipótese 3:
83 – 7 = 70 + 13 + 3 - 10 = 70 + 3 + 10 + 3 – 10 =
= 70 + 3 + 3 + 10 – 10 = 70 + 6 = 76
- Decomposições numéricas;
- Propriedade comutativa da adição;
- Propriedade associativa da adição.
Fonte: A pesquisadora
A quarta questão direciona o estudante a uma generalização da representação
da operação usando os símbolos ▼ e para indicar os valores que podem ser
33 Termo matematicamente incorreto, mas citado no texto prevendo que seria utilizado pelos professores. Consideramos, inclusive, que sua utilização no processo de aprendizagem pode prejudicar a compreensão do processo envolvido na execução do algoritmo convencional da subtração, baseado nas propriedades do sistema de numeração decimal.
89
alterados nas operações propostas. Além disso, demanda o reconhecimento e uso de
um padrão na sequência de operações realizadas, além da relação entre o número
adicionado por Peter o valor subtraído na operação original.
Presumimos que os professores participantes de nossa pesquisa pudessem
chegar à conclusão de que o número desconhecido é o valor que, acrescido ao
valor de ▼, resulte em 10, concluindo que estes dois valores desconhecidos
adicionados devem totalizar uma dezena. Ou que comentassem que a adição dos dois
primeiros termos da expressão de Peter é um número 10 unidades maiores que o
resultado da operação a ser efetuada. Nossa expectativa era a de que recorressem
aos casos numéricos registrados nas questões anteriores ou até mesmo que
elaborassem uma explicação simbólica semelhante àquela registrada na hipótese 1
de resposta, apresentada no Quadro 9.
A quinta questão tinha como objetivo verificar se o que foi concluído até então,
sobre o método de subtração, valeria para outro conjunto numérico. Propunha, então,
dois casos envolvendo os números racionais. Com auxílio de exemplos numéricos,
esperávamos que os professores pensassem nas duas situações e chegassem à
conclusão de que o número desconhecido ▼ poderia ser um número racional e que o
padrão se manteria.
Nessa parte do instrumento, os professores poderiam se questionar se o
“método de Peter” funcionava para os casos em que a subtração resultasse em um
número racional não positivo. Acreditávamos que isso pudesse acontecer nesse ponto
do problema, pois até aqui o conjunto numérico utilizado foi apenas o dos números
naturais. A partir do momento em que os números racionais não positivos
aparecessem nas análises, imaginávamos que isso provocaria os participantes a
pensar neste novo caso.
Porém, ao analisar essa nova situação, prevíamos que os professores
percebessem que o padrão se manteria, mas que dessa maneira a riqueza da
praticidade gerada pelo método se perderia para, digamos, subtrações não imediatas,
já que o aluno se depararia com uma subtração mais complexa que a original.
Da questão 6 em diante a ordem de grandeza do minuendo utilizado passa a
ser na ordem das centenas e do subtraendo na ordem das dezenas (número natural
ou racional na forma decimal). O objetivo era identificar se a relação entre os números
desconhecidos e ▼ e a dezena se sustentaria ao utilizar a centena como referência.
Acreditávamos que os professores não teriam dificuldade em transpor à essa
90
situação, que chegassem à resolução 251 + 5 – 100 e que, a cada passo,
identificassem o método de Peter como uma potente estratégia de cálculo mental.
A questão 7 retoma a análise feita na questão 5, que envolve o caso do
subtraendo ser um número racional e, juntamente com a questão 8, formavam
oportunidades de se apropriar do método utilizando agora a centena como referência
para se pensar no valor que Peter adicionaria ao 251. Nossas hipóteses supunham
que os participantes, mais uma vez, não encontrariam dificuldades na obtenção das
expressões numéricas 251 + 3,5 – 100 para a questão 7 e 251 + 7 – 100 para a
questão 8.
A questão 9 envolve apenas a representação do subtraendo que, pelo seu
caráter variável, deve ser indicado pelo símbolo ▼, solicitando que o participante
registre as subtrações no formato 251 - ▼.
Na questão 10, o participante precisava registrar suas descobertas a respeito
do padrão utilizado por Peter em sua resolução. Para isso carecia anotar como esta
personagem do problema proporia sua resolução para operações 251 – 95, 251 – 93,
251 – 98 e etc., e retomar a função do símbolo no “método de Peter”. Nesta questão
supusemos que os professores registrariam a continuidade da expressão solicitada
como 251 + - 100. De uma maneira mais geral, os professores poderiam ainda
indicar 251 + - (▼+ ).
Nas duas perguntas seguintes foi solicitada uma análise da relação entre os
números representados por e ▼. Assim como na questão 4, o participante deveria
registrar suas descobertas dessa relação e ao valor da soma gerada por esses
números desconhecidos. As respostas esperadas poderiam ser que o é o quanto
faltava para o ▼ completar 100, ou que era o resultado da subtração de 100 por ▼.
Esperávamos que os participantes identificassem que esses valores desconhecidos
adicionados deveriam resultar em 100, sem maiores dificuldades.
A questão 13 tematiza o uso do método para subtraendos menores que 90,
como uma maneira de indicar uma possível generalização para outros casos que não
para os subtraendos pouco menores que 100. Os participantes precisavam anotar os
passos dos cálculos: 251 - 83 = 251 + 17 – 100 = 268 – 100 = 168.
Este problema apresenta uma situação aritmética, mas com uma abordagem
que prioriza o estabelecimento de um padrão das operações a serem realizadas,
seguido do estabelecimento de uma generalização dessas situações. Esperávamos
que os professores reconhecessem tal padrão e generalizassem suas descobertas. O
91
desafio maior, nesse caso, seria identificar esses fatores como elementos chave do
pensamento algébrico, que os professores precisariam indicar na terceira parte de
nosso instrumento de pesquisa.
Problema 2:
O segundo problema foi elaborado pela pesquisadora, baseando-se em
Brizuela e Martinez (2012). Estas autoras destacam que, nas aulas em que
desenvolviam o projeto Pré-álgebra34, buscavam ressaltar o caráter algébrico da
aritmética, tratar as operações aritméticas como funções e introduzir símbolos e
representações algébricas (sobretudo o uso de letras, o uso de tabelas de funções e
o uso do gráfico de coordenadas cartesianas).
Este problema toma essa acepção na medida em que envolve aspectos
fundamentais ao desenvolvimento algébrico relacionados ao uso de diversos tipos de
representação nas atividades propostas.
Ponte, Branco e Matos (2009), em duas das três vertentes do pensamento
algébrico que propõem, evidenciam, naquela que envolve representação, que o aluno
deve transitar entre representações (por objetos, verbal, numérica, tabelas, gráficos)
e, na vertente da resolução de problemas e modelagem, realçam o uso de expressões
algébricas, equações, inequações, sistemas lineares (de equações e de inequações),
funções e gráficos na interpretação e resolução de problemas matemáticos e de
outros domínios (modelação).
O NCTM (2000) enfatiza o uso de diversos tipos de representação dos objetos
matemáticos no desenvolvimento das quatro habilidades que propõe, que envolvem a
compreensão de padrões, de relações, de variações e de funções, além daquela que
abrange mais diretamente representações utilizando linguagem algébrica.
Blanton e Kaput (2005) dizem, ainda, das formas que o raciocínio algébrico
pode tomar, considerando a generalização de padrões para a descrição de relações
funcionais, além da modelagem como forma de expressão e formalização de
generalizações. Sobre as relações funcionais destacam algumas categorias:
simbolizar quantidades e operar sobre expressões simbólicas; representar dados
graficamente; encontrar relações funcionais por meio da correspondência entre
quantidades ou de relações recursivas; conjecturar sobre situações desconhecidas a
34 Early Algebra.
92
partir de dados conhecidos; identificar e descrever padrões numéricos e geométricos.
O Quadro 10 apresenta as questões do problema 2.
Quadro 10: Parte 2 do instrumento de pesquisa – Problema 2
Bárbara e as opções de rentabilidade de sua mesada.
1. Bárbara tem certa quantidade de dinheiro. Sua avó lhe oferece duas opções. A primeira: duplicar
seu dinheiro. A segunda: quadruplicar seu dinheiro e, em seguida, tirar 12 reais. Qual é a melhor
opção para Bárbara? Existe alguma opção que é sempre melhor?
Quantia que Bárbara possui
(R$)
Valores gerados pela 1ª opção
dada pela avó
Valores gerados pela 2ª
opção dada pela avó
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
10,00
N
a) Se você sabe qual valor que Bárbara tem, o que você precisa fazer para descobrir quais os
valores gerados pelas opções dadas pela avó da garota? Qual é a mais vantajosa para Bárbara?
b) As duas opções podem coincidir? Justifique.
93
Quadro 10: Parte 2 do instrumento de pesquisa – Problema 2 (continuação)
2. Responda as questões a seguir:
a. Faça os gráficos que representem os valores das duas opções dadas pela avó de Bárbara.
b. Destaque com a cor vermelha a parte do gráfico que mostra quando a primeira opção é a mais
vantajosa para Bárbara.
c. Quais valores Bárbara precisa ter para que a primeira opção seja a mais vantajosa para ela?
d. Destaque com a cor azul a parte do gráfico que mostra que a segunda opção dada pala avó de
Bárbara é a mais vantajosa.
e. Quais valores Bárbara precisa ter para que a segunda opção seja a mais vantajosa para ela?
f. Indique no gráfico a parte que mostra quando as duas opções dadas pela avó de Bárbara se igualam.
Fonte: A pesquisadora
94
A primeira questão objetivava que os professores anotassem na tabela vários
valores para cada uma das duas situações impostas no enunciado, de acordo com os
procedimentos e operações indicados em cada uma das situações.
Neste domínio, Brizuela e Martinez (2012) dizem que na aplicação de uma
atividade que envolvia a análise de duas relações funcionais a alunos de 12 anos,
problema semelhante ao que utilizamos em nosso instrumento de coleta de dados, foi
oferecida aos participantes uma tabela com duas colunas. Nesta, deveriam registrar
suas descobertas sobre quantidades de dinheiro de duas personagens, mas sem
valores especificados nas linhas, e explicitando valores definidos a serem tomados
como base nos cálculos. Obtiveram, assim, uma diversidade de maneiras de registros
que envolviam, entre outros casos, a expressão de uma só quantidade usando ou não
letra, registro de várias quantidades específicas usando ou não letras, uso apenas de
letras, alunos que se concentraram em expressar apenas a quantidade total das
situações ou apenas a quantidade do valor variável.
Apresentamos a tabela da primeira questão do problema 2 para anotação dos
professores, a fim de evitar que utilizassem a linguagem algébrica como primeira
tentativa de resolução e que trabalhassem com uma forma de registro que pudesse
favorecer uma análise do comportamento das funções representadas pelas condições
impostas pela avó de Bárbara. Na última linha especificamos o valor “N”, indicando
um valor genérico para a quantidade de dinheiro da personagem, o qual determina
uma regra geral que pode descrever cada uma das condições.
O uso de tabela pode ser um facilitador para o aluno na observação de
regularidades provocadas pelas duas condições. Esperava-se que os professores
indicassem isso ao responderem a terceira parte do instrumento de coleta de dados.
Eles poderiam, inclusive, relatar algumas delas: por exemplo, enquanto na primeira
opção se apresenta uma relação diretamente proporcional em que a quantia em
dinheiro ofertada pela avó é sempre o dobro da quantia em dinheiro que Bárbara tem,
na segunda esse aumento não é proporcional.
As perguntas seguintes pediam que o participante anotasse, em linguagem
natural, os passos para realização do cálculo da quantia gerada pelas duas opções
dadas pela avó de Bárbara. Em seguida, questionamos se uma das opções seria mais
vantajosa. Neste ponto desejava-se que os professores participantes dissessem que
dependeria da quantidade de dinheiro que a personagem possui, não existindo uma
opção que se apresente sempre como a mais lucrativa. Além disso, perguntamos se
95
para algum caso as duas opções seriam equivalentes. Acreditávamos que os
participantes não teriam dificuldades para destacar que para o valor R$ 6,00 as
quantidades geradas pelas duas opções se igualam.
Isto pode ser muito facilmente obtido por meio de manipulação simbólica.
Esperávamos que os professores concluíssem por esse caminho.
Na sequência da atividade, o professor deveria representar, no plano
cartesiano, as duas relações funcionais sugeridas pelas alternativas oferecidas pela
avó de Bárbara. Esperava-se que os participantes reconhecessem os valores por
pontos no plano, que poderiam (ou não) ser os mesmos indicados na tabela que fazia
parte da primeira questão, e que destacassem seus alinhamentos. Consideramos a
possibilidade de alguns professores representarem os gráficos de maneira contínua,
o que estaria incorreto, já que, neste caso, o domínio das funções não é o conjunto
dos números reais, pois representa a quantia em dinheiro que a personagem do
problema possui, não sendo possível utilizarmos valores irracionais e, nesse caso,
quantidades indicadas por números inteiros negativos, por exemplo.
No item seguinte foi solicitado para que representassem o gráfico referente às
duas possibilidades oferecidas pela avó da personagem. Esperava-se que os
participantes se atentassem à representação gráfica da primeira opção tendo seu
menor valor representado na origem do plano cartesiano e, para a representação da
segunda opção, o gráfico apresentasse o menor valor que a personagem pudesse ter
em (3, 0) e que os dois gráficos traçados se interceptassem no ponto de coordenadas
(6, 12).
Presumíamos, também, que os participantes pontuassem que os pontos da
abscissa indicam a quantidade em dinheiro de Bárbara e que o valor da ordenada
assinale os valores gerados pelas alternativas dadas pela avó da personagem.
As questões seguintes requisitavam leitura e análise das representações
gráficas das funções envolvidas no problema ao indicar no gráfico os valores em que
a primeira opção fosse a mais vantajosa e, em seguida, indicasse numericamente tais
valores. Na sequência, realizasse o mesmo tipo de análise para o caso da segunda
opção. Esperávamos que os participantes estabelecessem relação do que
observaram ao completar a tabela neste outro tipo de representação, como, por
exemplo, indicar que um aluno que organize vários dados em uma tabela pode traçar
uma análise semelhante a que pode ser realizada com auxílio da representação
gráfica, identificando o fato de que diferenças entre as quantidades diminuem à
96
medida que a quantidade de dinheiro que a personagem possui se aproxima de
R$6,00, anula-se caso ela tem esta quantia e volta a crescer à medida que aumenta
sua quantidade em dinheiro.
Esperávamos, também, que a aplicabilidade de um problema desse tipo para
alunos de sexto ano fosse questionada pelos participantes pelo fato de que os
estudantes possivelmente não compreenderiam tal forma de representação. Brizuela
e Martinez (2012) nos mostram o contrário disso ao relatarem trabalhos realizados,
neste mesmo sentido, com alunos de 4º e 5º anos. Já nos PCN (Brasil, 1998), o uso
desse tipo de representação já é destacado apenas no primeiro ciclo do ensino
fundamental 2.
Problema 3:
O terceiro problema, igualmente elaborado pela pesquisadora, teve como
objetivo evidenciar o desenvolvimento do pensamento algébrico utilizando a
geometria. Baseado em Kaput (1999, 2000a), é possível propor situações deste
campo da Matemática em que a generalização seja o foco do trabalho.
Além deste autor, Blanton e Kaput (2005) e Fiorentini, Miorin e Miguel (1993)
sugerem que o trabalho com o pensamento algébrico deve ser desenvolvido, do
mesmo modo, em contextos geométricos. O Quadro 11 contém o problema 3.
Quadro 11: Parte 2 do instrumento de coleta de dados – Problema 3
Construa uma circunferência de centro em O, com 4 cm de raio. Em seguida, construa uma
circunferência com centro P e raio de 2 cm, que intercepte a circunferência de centro em O.
Nomeie A como um dos pontos de intersecção entre essas duas circunferências. Em seguida,
trace o triângulo OPA.
É possível que o triângulo OPA seja isósceles? Em que condições? É possível que o triângulo
OPA seja escaleno? Em que condições? É possível que o triângulo OPA seja equilátero?
Explique em cada caso como deve ser a distância entre os centros das circunferências.
Fonte: A pesquisadora
Não encontramos em nenhum dos trabalhos pesquisados em nosso
levantamento bibliográfico exemplos de problemas geométricos que envolvessem
processos de generalização, que não aqueles relacionados ao reconhecimento de
padrões em sequências de figuras geométricas. Por tal fato elegemos este terceiro
problema como um exemplo de que esse tipo de abordagem é possível em tarefas
que envolvam construções geométricas.
Essa atividade foi elaborada pela pesquisadora a partir de sua experiência
como professora de Matemática em turmas de sexto ano, com o intuito de
97
complementar parte de uma sequência didática que aborda construções de triângulos,
abordando condições e possibilidades de construção de triângulos equiláteros,
isósceles e escalenos.
Ainda assim, cabe ressaltar, enfatizamos que a generalização não é um
processo exclusivo da Álgebra. O problema, tal como foi proposto, inclui um tipo de
generalização característico de uma atividade de geometria.
Deixamos neste trabalho uma sugestão de alteração da proposta de
investigação do problema 3, na qual as medidas de raio das circunferências de centro
O e P possam ser indicadas por letras para favorecer o estudo das situações de modo
ainda mais generalizado, propondo uma análise do padrão para obtenção de cada
tipo de triângulo considerado, sem especificar, inclusive, se as medidas de raios das
circunferências adotadas têm ou não a mesma medida.
Mas, evidentemente, essa proposta torna a atividade mais complexa e fugiria
do nosso objetivo de usar em nossa investigação apenas problemas que poderiam
ser aplicados para turmas de sexto e sétimo anos do Ensino Fundamental 2.
Ao propor uma situação como àquela apresentada no Problema 3 tínhamos,
também, como objetivo a abordagem de construções geométricas em situações que
que demandasse a percepção de que a mudança na posição das circunferências
traçadas proporcionaria mudanças a serem consideradas nas análises propostas pelo
enunciado. Supusemos, então, que esse tipo de problematização de uma construção
de triângulos não fosse comum aos participantes.
Os professores não deveriam apenas indicar uma construção que seguisse o
que era solicitado no enunciado do problema. Segundo Itzcovich (2005), em uma
proposta desse tipo os alunos têm a experiência da construção, do reconhecimento
da unicidade ou não da construção, e de serem postos frente a uma situação em que
é preciso oferecer uma produção argumentativa.
Ao integrar construções geométricas e Álgebra, conforme Itzcovich (2005), por
meio de certas expressões algébricas, identificam relações que são colocadas em jogo,
e se poderá dar conta das possibilidades (ou não) de construção. A Álgebra aparece,
então, como um instrumento que modela a atividade geométrica e não a “perde de
vista”.
Na resolução da atividade 3 poderia acontecer de os participantes terem
dúvidas em relação ao posicionamento do ponto P, já que não está muito claro no
enunciado. Contudo, a aparente falta de clareza é o ponto chave para a investigação
98
proposta. É justamente a “falta” desse dado que imaginávamos que proporcionaria a
chance de se testar diversas possibilidades de posicionamento para o ponto P, desde
que respeitassem a condição de que as circunferências intersectassem em dois
pontos, para que a propriedade da desigualdade triangular fosse satisfeita, sendo
possível, assim, a obtenção do terceiro vértice do triângulo.
Como possíveis resoluções apresentadas pelos professores participantes,
considerávamos, em nossa análise a priori, que tomassem o ponto P como um dos
pontos da circunferência de centro O, como indica a Figura 2. Neste caso não
presumíamos que os professores teriam dificuldade em classificar o triângulo formado
como isósceles e que registrem que os segmentos AO e OP, raios da circunferência
de centro O, fossem os dois lados de mesma medida (4 cm) do triângulo OPA, já que
o segmento PA, o terceiro lado do triângulo em questão, tem 2 centímetros e é raio
da circunferência de centro em P.
Figura 2: Construção de triângulo isósceles
Fonte: A pesquisadora
Esperávamos, também, que percebessem que esta era a única possibilidade de
construção desse tipo de triângulo, já que para ser isósceles os 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ e 𝑃𝐴̅̅ ̅̅ 35 devem ser
raios de uma mesma circunferência. Isso só acontece caso o centro de uma
circunferência seja ponto da outra. Como o raio da circunferência de centro P tem
35 Utilizamos neste trabalho a notação 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ , por exemplo, para nos referirmos ao segmento de reta de origem no ponto O e extremidade no ponto A. Indicamos a medida do segmento de reta por meio da notação OA.
99
metade da medida do raio da outra circunferência, se tomássemos O como ponto da
circunferência centro P, não seria possível formar triângulo, já que, neste caso, a
propriedade da desigualdade triangular não é satisfeita. Esta situação está retratada na
Figura 3.
Figura 3: Situação 1 em que a propriedade da desigualdade triangular não é satisfeita
Fonte: A pesquisadora
Como possibilidades de formação de triângulo escaleno, prevíamos que
provavelmente os professores posicionassem o ponto P de tal forma que a medida do
segmento OP fosse menor que a do segmento AO, como ilustra a Figura 4. Neste
caso o triângulo seria escaleno, já que o segmento OA mede 4 cm, o segmento PA
mede 2 cm e o segmento OP poderia ter medida maior 2 cm e menor que 4 cm.
Acreditávamos que os professores realizassem a análise das possibilidades de
comprimento do segmento OP para que o triângulo formado fosse escaleno.
100
Figura 4: Construção de triângulo escaleno 1
Fonte: A pesquisadora
De forma semelhante, considerávamos a possibilidade de que utilizassem
casos em que o segmento OP tivesse medida maior que 4 cm, como o caso
apresentado na Figura 5. Ambicionávamos que, desta maneira, os professores
fizessem análise das condições deste cenário, indicando as possíveis medidas para
o segmento determinado pelos centros das circunferências e que chegassem à
conclusão de que precisaria ser menor que 6 cm. Caso contrário, o triângulo não
poderia ser formado, como é apontado na Figura 6, pois a condição imposta pela
propriedade da desigualdade triangular não seria satisfeita.
101
Figura 5: Construção de triângulo escaleno 2
Fonte: A pesquisadora
Figura 6: Situação 2 em que a propriedade da desigualdade triangular não é satisfeita
Fonte: A pesquisadora
Como respostas finais, aguardávamos que percebessem não ser possível
formar triângulo equilátero neste caso. Só é possível construir um triângulo isósceles,
102
caso P pertença à circunferência de centro O, ou seja, quando o segmento OP tem 4
cm de comprimento, assim como o segmento PA, podendo indicar como OP = 4 cm.
Esperávamos que os professores concluíssem que, para formar triângulo escaleno, o
segmento OP precisava ter medida maior que 2 cm e menor que 4 cm ou que fosse
maior que 4 cm e menor que 6 cm, podendo indicar 2 cm < OP < 4 cm ou
4 cm < OP < 6 cm. Desse modo, proporiam uma generalização para os casos possíveis
de construção de triângulos segundo as condições impostas pelo problema.
Era possível que os professores destacassem a alteração das medidas dos
ângulos internos do triângulo formado para cada caso admissível de construção,
indicando que para o triângulo ser formado na geometria euclidiana, o valor da soma
das medidas de seus ângulos internos precisa ser sempre igual a 180°.
Para a escolha dos problemas que compõem nosso instrumento de pesquisa,
tomamos como base o que Lins e Gimenez (2001), Blanton e Kaput (2005) e Kieran
(2004) consideram como elementos do trabalho matemático, não apenas algébrico,
mas aqueles que auxiliam na compreensão dos objetos algébricos. São eles a
possibilidade de construir generalizações, necessidade de justificação, oportunidade
de conjecturar e testar hipóteses.
Blanton (2008) nos auxiliou corroborando o fato de que oportunidades para
explorar conjecturas, construir argumentação que certifiquem ou não as conjecturas
elaboradas e o tratamento das generalizações estabelecidas, deve ser uma prática
recorrente nas aulas de Matemática.
3.2.3. Parte 3: Aspectos do pensamento algébrico identificados pelos docentes
Nesta parte de nosso instrumento de coleta de dados pretendemos reconhecer
quais aspectos do pensamento algébrico e de possíveis ações docentes os
professores participantes do estudo identificariam na resolução dos problemas
propostos. O Quadro 12 apresenta as perguntas feitas aos participantes.
103
Quadro 12: Parte 3 do instrumento de coleta de dados - aspectos do pensamento algébrico
identificados pelos docentes
− Você já resolveu problemas desse tipo? Já propôs para suas turmas? Em caso afirmativo, relate
um pouco como foi o desenvolvimento da atividade e desenvolvimento dos alunos.
− Ao responder esses problemas que são destinados a alunos de sexto e sétimo anos do Ensino
Fundamental, que aspectos relacionados ao ensino de Matemática lhe chamam a atenção?
Comente um pouco.
− Dos aspectos relacionados ao ensino de Matemática que você destacou na questão anterior,
você considera que eles possam contribuir com o aprendizado do aluno em Álgebra,
especialmente? Comente um pouco sobre sua opinião.
− Em síntese, após resolver os três problemas, você identifica alguns aspetos comuns entre eles?
Comente um pouco a respeito de suas observações.
− Ao propor problemas como os que foram apresentados neste instrumento em sala de aula, que
ações poderiam ser planejadas para a atuação do(a) professor(a) e dos alunos?
− Descreva alguma atividade relacionada ao ensino de Álgebra que você desenvolveu com suas
turmas que você avalia como bem sucedida. Relate um pouco como foi.
Fonte: A pesquisadora
As três primeiras questões foram feitas ao final de cada um dos três problemas.
O objetivo era que o professor as respondesse a partir das atividades realizadas. As
três últimas foram feitas apenas no bloco do terceiro problema e intentou saber se o
professor relacionaria o que percebeu de semelhante entre as três atividades, se
precisaria levar em consideração em seu planejamento ao propor problemas como os
apresentados no instrumento e, por fim, que relatasse uma ação, que julgasse ser
bem sucedida, que tivesse proposto às suas turmas relacionada ao ensino de Álgebra.
Iniciamos propondo as questões: “Você já resolveu problemas desse tipo? Já
propôs para suas turmas? Em caso afirmativo, relate um pouco como foi o
desenvolvimento da atividade e desenvolvimento dos alunos”. Com elas, procuramos
investigar se os tipos de problemas propostos já são comuns aos professores, se já
resolveram ou propuseram em suas aulas algo semelhante ou se se trata de uma
novidade para eles. Com a pergunta “Ao responder esses problemas que são
destinados a alunos de sexto e sétimo anos do Ensino Fundamental, que aspectos
relacionados ao ensino de Matemática lhe chamam a atenção? Comente um pouco”,
esperávamos que os docentes listassem elementos que consideram diferenciados
daqueles presentes em problemas normalmente encontrados em livros didáticos para
sexto e sétimo anos do Ensino Fundamental, como o uso da representação gráfica,
uma abordagem diferente a um assunto aritmético, a generalização envolvida nos
problemas e etc.
104
Nas questões “Dos aspectos relacionados ao ensino de Matemática que você
destacou na questão anterior, você considera que eles possam contribuir com o
aprendizado do aluno em Álgebra, especialmente? Comente um pouco sobre sua
opinião”, aguardávamos que os professores que não percebessem as situações
apresentadas como oportunas para se iniciar um trabalho algébrico, indicassem a
ausência da linguagem algébrica ou justamente de sua necessidade com um quesito
que inviabilizaria o uso dos problemas para o ensino de Álgebra. Para aqueles com
opinião contrária, acreditávamos que reconhecessem a generalização como um
aspecto central dos problemas propostos, além do pensamento relacional36 envolvido
no segundo problema.
Ao questionarmos “Em síntese, após resolver os três problemas, você identifica
alguns aspectos comuns entre eles? Comente um pouco a respeito de suas
observações”, procurávamos saber o que os professores perceberiam de elementos
comuns entre os problemas propostos em nosso instrumento de coleta de dados.
Esperávamos que apontassem o reconhecimento de padrões, a generalização dos
resultados, a solicitação de justificativas das respostas. Os docentes poderiam indicar,
também, o fato dos problemas envolverem vários tipos de representação (gráfico,
tabela, registro numérico, registro simbólico, linguagem natural).
Na pergunta “Ao propor problemas como os que foram apresentados neste
instrumento de coleta de dados em sala de aula, que ações poderiam ser planejada
para a atuação do(a) professor(a) e dos alunos?”, buscávamos constatar o que
poderiam elencar como possíveis ações docentes ao propor problemas desse tipo.
Isto porque o professor tem papel fundamental no encaminhamento das situações de
aprendizagem em sala de aula. Fazer boas escolhas nas seleções das tarefas é um
passo, mas não é tudo.
Queríamos investigar, do mesmo modo, se os professores apontariam a
disposição da turma em grupos para solucionar atividades, como as que
apresentamos em nosso instrumento, como uma boa opção de encaminhamento para
as aulas em que são abordados esses problemas. Também se consideram ouvir as
36 Na perspectiva de Molina (2006), “O pensamento relacional é a atividade intelectual(interna) que consiste em examinar objetos ou situações matemáticas, os considerando como totalidades, detectar de maneira espontânea ou buscar relações entre eles, e utilizar estas relações com uma intencionalidade, ou seja, alcançar um objetivo.”
105
estratégias dos alunos um ponto importante da ação docente, se o favorecimento de
trocas entre os alunos seria citado pelos professores e etc.
A última questão “Descreva alguma atividade relacionada ao ensino de Álgebra
que você desenvolveu com suas turmas que você avalia como bem sucedida. Relate
um pouco como foi”, tinha como objetivo identificar o que os professores consideram
como uma situação de ensino bem sucedida e, consequentemente, ter indícios de
como tratam a Álgebra em sala de aula.
Tínhamos clareza de que os professores, no que diz respeito a essas questões
no momento previsto para resolução do instrumento, não teriam tempo hábil para o
preparo de uma aula na qual utilizariam as situações propostas, o que impossibilitaria
uma análise extremamente profunda das oportunidades pedagógicas que elas
poderiam oportunizar. Apenas esperávamos que listassem alguns aspectos,
possivelmente já utilizados por eles em seus momentos de planejamento e de atuação
em sala de aula.
Por fim, trazíamos esperança que o instrumento de pesquisa, aqui detalhado,
nos possibilitasse reconhecer, entre as demais coisas, aspectos relacionados aos
conhecimentos dos professores. Aspectos, estes, provenientes da formação escolar,
de cursos de formação, da formação profissional, de suas experiências docentes e,
talvez, saberes oriundos dos livros didáticos, que, por ventura, pudessem ser
pontuados pelos participantes se ocorressem comparações dos problemas
apresentados no instrumento de coleta de dados com aqueles encontrados em
materiais didáticos da Secretaria Estadual de Educação de São Paulo ou em livros
didáticos de Matemática. Segundo resultados de pesquisa de Santos (2007) e Aguiar
(2014), algumas coleções apresentam problemas com foco no desenvolvimento do
pensamento algébrico. Assim, esperávamos que os professores pudessem citar
exemplos de atividades que conhecessem e/ou já aplicaram.
3.3. Entrevistas com os professores
Esta etapa corresponde ao momento em que os professores revisariam suas
respostas aos questionamentos de nosso instrumento de coleta de dados, baseado
na apresentação feita aos professores e no texto que foi enviado no início do mês de
setembro de 2017 à Coordenadora Pedagógica, que ficara de entregá-lo aos docentes
106
participantes. Em seguida, seriam entrevistados pela mesma pesquisadora, agora
com base nas respostas iniciais que deram ao instrumento.
Teríamos, então, cerca de 50 minutos para conversar com cada participante
individualmente. Cabe evidenciar que estes encontros aconteceram em ambiente
escolar em dias de aplicação do SARESP37 e em dias de reposição de aulas aos
sábados (atividades diversificadas). Em ambas as situações os professores
cumpririam seus horários na escola, mas não teriam aulas com os alunos.
Não foi muito fácil conseguir agendar esses dias para conclusão da aplicação
do instrumento de coleta de dados. Somente foi possível depois de várias tentativas
de contato com a escola via e-mail e telefonemas, até que conseguimos estas datas
por respostas dadas pela Coordenadora Pedagógica do Ensino Fundamental 2,
contato via aplicativo de mensagens instantâneas.
O tipo de entrevista escolhido para este momento foi estruturada, ou seja, as
perguntas foram previamente elaboradas e organizadas com base em pontos dos
relatos feitos pelos participantes que demandavam maiores explicações. De tal modo,
as perguntas foram as mesmas para todos os participantes. Nosso tempo de
entrevista era, também, bastante reduzido. Nesse sentido, este tipo de entrevista
estruturada favoreceria a agilidade do processo. As perguntas foram lidas aos
participantes e suas respostas foram gravadas em áudio a fim de serem
posteriormente transcritas.
Propusemos três questões para todos os participantes: “Que aspectos você
considera importante para o ensino de Álgebra?”, “Você já tinha ouvido falar em
Pensamento Algébrico antes de nossos encontros em junho desse ano?” e “Caso
você propusesse problemas como os que foram apresentados no instrumento, como
organizaria sua aula? Como seria sua atuação nessa aula?”
A primeira delas foi feita visando colher mais informações a respeito do que os
participantes pensam sobre o ensino de Álgebra. A seguinte intentava identificar, com
mais clareza, se já tinham algum conhecimento sobre Pensamento Algébrico antes
dos nossos momentos de aplicação do instrumento de coleta de dados em junho de
2017. A terceira questão tinha por objetivo compreender quais elementos da prática
37 SARESP – Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo: Avaliação aplicada pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo com a finalidade de produzir um diagnóstico da situação da escolaridade básica paulista.
107
docente seriam levantadas pelos participantes e se em algum momento eles
comentariam a respeito da atuação dos alunos.
Não nos atemos aos erros conceituais e equívocos de cálculos cometidos pelos
professores para não provocar constrangimentos. Nosso intuito não era fazer a
correção das resoluções; antes, compreender melhor como os participantes pensam
o ensino e aprendizagem de Álgebra.
Elaboramos, dessa forma, um roteiro de entrevista para cada participante,
contendo algumas perguntas comuns a todos juntas a questionamentos direcionados
ao que desejávamos colher de informação de cada um deles, tomando como base as
produções escritas e participações dos docentes em cada um dos dois primeiros
momentos em que ocorreu nossa coleta de dados.
No capítulo a seguir apresentaremos um breve perfil dos participantes de nossa
investigação, assim como as descrições e análise dos dados obtidos pela produção
escrita dos participantes, pela apresentação realizada sobre pensamento algébrico e
por meio das entrevistas.
108
109
4. PARTICIPANTES DA PESQUISA, DESCRIÇÃO E ANÁLISE DE DADOS
Neste capítulo apresentamos a caracterização dos quatro professores
participantes de nossa investigação. Também as descrições e análises dos dados
obtidos pelo instrumento de coleta de dados pelas três partes que o compuseram,
além de detalhes observados e registrados no momento em que os professores o
respondiam. Além do mais, destacamos nessa seção o encaminhamento dado pela
pesquisadora responsável pela aplicação do instrumento de pesquisa na
apresentação sobre o Pensamento Algébrico, bem como os pontos relevantes da
participação dos professores. Por fim, os roteiros e análises das entrevistas
realizadas.
As análises têm como base as caracterizações do pensamento algébrico
segundo Kaput (1999, 2000, 2000a, 2008); Blanton e Kaput (2005); Kieran (2004,
2007); Fiorentini Miorin e Miguel (1993); Fiorentini, Fernandes e Cristovão (2005);
Ponte, Branco, Matos (2009).
4.1. Contato com os professores
Inicialmente, foi feito, aos professores, um agradecimento pela participação na
pesquisa. Em seguida, realizou-se apresentação da pesquisadora enquanto
mestranda da PUC-SP e, igualmente, de sua trajetória docente. Os professores
também se apresentaram à pesquisadora.
Na sequência foram explicitados o objetivo da pesquisadora na promoção
daquele encontro e as etapas previstas para a o dia de aplicação do instrumento de
coleta de dados. Após isto, fez-se um questionamento aos participantes se aceitariam
de fato participar de nossa investigação. Todos aceitaram e assinaram o TCLE38.
A Coordenadora Pedagógica não revelou detalhes de sua conversa anterior com
os docentes. Como aquela era a última semana de trabalho em que os alunos teriam aula
– tendo, por isso, um número reduzido de estudantes presentes na escola –, ela fez
algumas trocas de horário de trabalho com os professores. Um dos participantes, por
exemplo, não trabalharia no primeiro dia em que aplicamos o instrumento de coleta de
dados, mas foi à escola exclusivamente para participar desse momento.
38 Termo de Consentimento Livre e Esclarecido.
110
Antes do início de aplicação do instrumento de coleta de dados, conversamos
um pouco a respeito da jornada de cada um deles, das séries que lecionavam, sobre
o tempo que trabalhavam na escola, a proximidade das férias e, com ela, o merecido
descanso. O objetivo era os conhecer um pouco, deixá-los mais à vontade naquele
momento e minimizar a ansiedade da pesquisadora.
Ao início da aplicação se solicitou que respondessem aos problemas e
questões individualmente. Mesmo assim, ocorreram algumas conversas,
especialmente sobre o primeiro problema entre os dois professores mais experientes.
Surgiram algumas dúvidas relacionadas aos procedimentos de resolução (métodos
de cálculos utilizados) e à utilização dos símbolos indicados nos enunciados no
decorrer da resolução das propostas dos instrumentos, que foram sanadas pela
pesquisadora.
Além desses questionamentos, cabe destacar a resistência, por parte dos
professores – com exceção de um deles – em compreender e aplicar os
encaminhamentos propostos pela atividade. Esse fato é relatado com maiores
detalhes ao longo de nossas análises.
4.2. Os participantes
Os questionamentos realizados na primeira parte de nosso instrumento de
coleta de dados tiveram como objetivo colher informações a respeito de formação,
tempo de docência, experiência profissional e escolha da profissão. Aproveitamos
para extrair algumas informações acerca de como cada participante compreendia o
ensino de Álgebra e se sabiam algo sobre pensamento algébrico.
Os participantes de nossa investigação foram 3 homens e uma mulher, que
serão indicados pelas letras A, B, C e D, não na ordem de apresentação dos gêneros
dos professores, feitas anteriormente. Para preservar ainda mais a identidade da
única professora participante desta pesquisa optamos, neste trabalho, a referirmo-nos
às contribuições e observações a respeito de sua participação utilizando, também, o
gênero masculino.
O professor A tem 54 anos de idade e é professor há 14 anos. É bacharel em
Estatística pelo Centro Universitário Capital (UNICAPITAL), licenciado em Matemática
pela Universidade Nove de Julho (UNINOVE) e pedagogo. Durante toda a sua carreira
lecionou no Ensino Fundamental 2, sempre do sexto ao nono ano. É professor efetivo
111
da rede estadual de ensino, atuando na escola há 9 anos e professor de Matemática da
rede municipal de outra cidade da grande São Paulo. Ao ser questionado sobre sua
escolha profissional, o professor descreveu que foi para poder ajudar a mudar o
próximo. Sobre sua escolha pela docência em Matemática, relatou que sempre teve
identificação e muita facilidade com esta disciplina.
O professor B tem 49 anos de idade, é efetivo na rede estadual e é professor há
18 anos. Trabalha na escola há 10 anos. Licenciado em Matemática pelas Faculdades
Tereza Martin, tem especialização em gestão de currículo pela USP. Atua no Ensino
Fundamental 2 desde o início de sua carreira, tendo lecionado apenas durante um ano
no sexto ano, e em torno de quatro anos nos outros anos deste ciclo. Além disso, já
lecionou Física nos primeiro e segundo anos do Ensino Médio. Relatou, além do mais,
que escolheu a carreira docente enquanto cursava uma formação na área de tecnologia
e escolheu a Matemática após superar dificuldades com esta disciplina na formação de
grupos de estudo com colegas de turma.
O professor C tem 33 anos de idade, não é efetivo da rede estadual. Licenciado
em Matemática pela Universidade Nove de Julho (UNINOVE), atua como docente há
5 anos. Destes, 4 anos são no Ensino Fundamental 2. Está nesta escola há apenas 3
meses. Disse que escolheu a profissão “por acaso”. Mesmo assim, segundo ele, a
cada ano gosta um pouco mais de lecionar. Acrescentou que acha muito importante
a troca de conhecimento. O professor disse que a Matemática é uma “matéria
sensacional” e que “está na vida de todos”, por isso a escolheu.
O professor D tem 35 anos de idade e está na carreira docente há 5 anos. Iniciou
sua vida acadêmica no curso de Administração de Empresas pela Universidade
Paulista (UNIP), mas não concluiu a formação por não se identificar com o curso.
Formou-se, então, em Pedagogia e Licenciatura em Matemática pela Universidade
Nove de Julho (UNINOVE). Atualmente é professor efetivo da rede estadual e trabalha
na escola há apenas 1 ano. Como geralmente ocorre com professores em início de
carreira do magistério na educação básica pública por conta da baixa pontuação na
escala de atribuição de turmas, relatou ter passado por pelo menos três unidades
escolares da rede estadual até começar a lecionar na atual escola. Disse, inclusive, que
uma de suas experiências, em seu primeiro ano de carreira, foi no sistema penitenciário,
nos Ensinos Fundamental 2 e Médio na Educação de Jovens e Adultos (EJA). Em 2015
começou a trabalhar, também, na rede particular de ensino, com atuação no Ensino
Médio, segmento no qual tem mais experiência, segundo seu relato. Atua no Ensino
112
Fundamental 2 desde o início de sua carreira, tendo lecionado nos sexto, sétimo e nono
anos deste ciclo. Ainda revelou que escolheu a carreira docente porque sempre gostou
de “passar conhecimento”, segundo suas próprias palavras, fato notado desde os
tempos de estudante no Ensino Médio. Escolheu lecionar matemática por ser a
disciplina pela qual mais se identificou na escola e que, segundo disse, “geraria
empregabilidade mais rápido”.
No Quadro 13 organizamos os dados dos participantes: idade, tempo de
carreira docente e tempo de atuação no Ensino Fundamental 2.
Quadro 13: Breve caracterização dos participantes
Participante Idade
(anos)
Tempo de atuação
no magistério
(anos)
Tempo de atuação no
Ensino Fundamental 2
(anos)
A 54 14 14
B 49 18 18
C 33 5 4
D 35 5 5
Fonte: Dados de pesquisa
4.3. Algumas mudanças de planos
Como mencionado, nossos planos tiveram de ser alterados em decorrência da
proximidade das férias escolares. Na conversa com a coordenadora da escola, na
última semana do mês de maio de 2017, nossa proposta inicial de ter três encontros
com os professores no horário de ATPC ficaria inviável por conta das atividades de
finalização de bimestre e de encerramento do semestre.
A coordenadora propôs gentilmente que realizássemos todas as etapas de
nossa coleta de dados em um único dia na última semana do mês de junho, tomando
todo o período de aula (cerca de 5 horas) – última semana de trabalho dos
professores, período no qual ela poderia reorganizar os horários dos professores para
que pudessem participar de nossa pesquisa. Assim o fizemos.
Mantivemos todas as etapas programadas conforme planejado. No entanto,
não esperávamos alguns problemas que surgiram no dia da aplicação do instrumento.
Tivemos alguns percalços para o encontro com professores, o que provocou um
retardo para o início dos trabalhos com os participantes, decorrentes de problemas
113
com parte do instrumento de pesquisa, que precisaram ser reimpressos, e um
pequeno atraso de professores. Aliado a isso, e mais incisivamente, não
imaginávamos que os professores demorassem tanto tempo para resolução dos
problemas. Tudo isso acarretou em severas mudanças no andamento e finalização
de nossa coleta de dados.
Evidentemente esperávamos certa dificuldade na resolução das questões,
partindo do pressuposto que os três problemas propostos pudessem configurar tipos
de atividades não habituais para os professores. Mesmo assim, o tempo que levaram
na resolução dos problemas foi muito além do esperado.
Seria necessário, então, mais um dia para aplicar o instrumento. A
Coordenadora Pedagógica, mais uma vez muito solícita e gentil, concedeu-nos outro
dia (o seguinte) para a conclusão de nossos trabalhos. Essa proposta de continuidade
ocuparia parte do período da jornada de trabalho dos professores participantes, já que
estava prevista uma reunião entre corpo docente, direção e coordenação dos ciclos 1
e 2 do Ensino Fundamental, a fim de debater os encaminhamentos do MMR (Método
de Melhoria de Resultado), ação do governo estadual que será aplicada em todas as
diretorias de ensino da capital paulista visando a melhoraria dos resultados das
escolas estaduais em índices utilizados para definir qualidade do ensino nesta rede
pública.
Como cada participante preencheu o instrumento de coleta de dados no seu
tempo, ao encerrarmos nosso primeiro dia de aplicação, que teve duração total de cerca
de três horas e meia, apenas o participante C havia terminado de responder o
instrumento completo. Os professores D e A estavam em momentos diferentes do
terceiro problema: o primeiro estava concluindo as últimas questões, o outro começaria
a responder o instrumento. O professor B precisava concluir o primeiro problema.
O encerramento dos trabalhos no primeiro dia aconteceu com confirmação da
Coordenadora de que seria possível termos outro momento para continuidade da
resolução do nosso instrumento e demais momentos previstos para conclusão de sua
aplicação.
No dia seguinte teríamos aproximadamente o mesmo tempo do primeiro dia
para encerrar nossas atividades. Cerca de duas horas, das três horas e meia que
dispúnhamos, foram destinadas para que os professores concluíssem as respostas
do instrumento de coleta de dados. Nesse tempo apenas um professor terminou as
resoluções. Tínhamos, então, dois instrumentos completamente preenchidos
114
(participantes C e D), um pela metade (participante B) e outro com o terceiro problema
incompleto (participante A).
Faltava, então, uma hora e meia para acabar nosso tempo do segundo dia de
aplicação e dois professores não haviam concluído a resolução dos instrumentos.
Estávamos frente a um dilema, diante de uma difícil decisão que mudaria os rumos de
nossa pesquisa: oferecer o tempo restante para que os dois professores concluíssem
as resoluções e não realizar a segunda e terceira etapas (apresentação sobre
Pensamento Algébrico e reavaliação das produções) ou encerrar o momento de
resolução, fazer a apresentação e tentar aplicar o momento de revisão das produções.
A primeira opção acarretaria a necessidade de um terceiro momento para
concluir nosso planejamento, o que aconteceria apenas no mês de agosto. Ao decidir
por esta, concluiríamos nosso trabalho cerca de um mês depois e correríamos sérios
riscos de que os professores perdessem o feeling do momento das resoluções das
atividades, o que poderia prejudicar a realização dos segundo e terceiro momentos
da pesquisa. Os professores poderiam não conectar as atividades propostas com a
apresentação sobre pensamento algébrico, que seria fundamental que
estabelecessem relações entre fatos percebidos e aportes teóricos apresentados.
Consequentemente, poderiam ter prejudicado o terceiro momento, no qual deveriam
reavaliar suas produções, agora à luz dos pressupostos teóricos discutidos em relação
à Álgebra e ao Pensamento Algébrico.
A segunda opção de escolha, por sua vez, visava concluir as etapas, apesar
de dois dos professores não terem terminado o instrumento. Entretanto, neste caso,
esses participantes tomariam como base as produções realizadas até onde
conseguiram realizar.
Dois fatores foram preponderantes na escolha pela segunda opção. O primeiro
é que a pesquisadora responsável pela aplicação avaliou naquele momento que esta
seria a escolha em que se acarretariam menos perdas em comparação ao que era
esperado inicialmente na pesquisa, apesar de ter consciência de que não teria tempo
suficiente para realizar a terceira etapa. O outro foi o fato de que o participante C, que
não trabalharia nos dois dias em que a pesquisa seria desenvolvida, decidiu gentilmente
participar dos dois momentos, deixando claro que estava na escola naqueles momentos
para participar da oficina que estávamos propondo.
Assim, foi realizada a apresentação prevista sobre pensamento algébrico.
Todavia, apesar da aposta na segunda opção, não conseguimos realizar o terceiro
115
momento com os participantes. Isso nos obrigou a repensar como poderíamos
concluir nossa pesquisa e tal decisão ficou para o segundo semestre de 2017 quando,
após o exame de qualificação, unimos o que havíamos previsto para conclusão de
nossa investigação e sugestões da banca.
Optamos por encaminhar aos participantes um texto organizado a partir da
síntese do capítulo “Referencial teórico” desta dissertação, que apresentava os pontos
abordados na apresentação sobre pensamento algébrico propostas aos participantes.
A partir disso, marcaríamos os encontros com os professores em seus momentos de
aulas vagas e ATPC. Porém, esse encaminhamento não foi possível, já que o texto
não foi repassado aos participantes pela Coordenação Pedagógica da escola, mesmo
tendo sido encaminhado há cerca de dois meses antes de nosso retorno à Unidade
Escolar. Durante esse período foram realizadas conversas com a Coordenadora nas
quais foi exposta a necessidade de que os professores recebessem o texto e o
lessem. Mesmo afirmando que seria impresso e entregue a eles, isso não aconteceu.
4.4. Análise da produção escrita dos professores
Expomos nesta seção a análise das respostas escritas dadas pelos participantes
aos problemas e questionamentos apresentados em nosso instrumento de coleta de
dados. As categorias de análise abarcam as resoluções dos problemas, erros e respostas
dadas aos questionamentos propostos sobre cada um dos problemas.
4.4.1. Análise do problema 1
A análise do primeiro problema foi feita com base em quatro categorias,
elaboradas por nós, das quais a quarta tem cinco subdivisões:
1. O participante já resolveu ou propôs problema desse tipo para suas turmas?;
2. Dificuldades apresentadas pelos professores ao resolverem os problemas (falta
de compreensão da proposta, erros conceituais, erros de cálculos e etc.);
3. Compreensão da função dos símbolos ▼ e na expressão e da relação entre
eles;
4. Quais aspectos relacionados ao desenvolvimento do pensamento algébrico o
participante reconhece:
4.1 Variabilidade de estratégias;
116
4.2 Compreensão da estrutura do cálculo;
4.3 Linguagem;
4.4 Equivalência entre expressões numéricas e simbólicas;
4.5 A relação funcional entre ▼ e .
5. Dificuldades dos alunos.
As análises que correspondem à primeira, quarta e quinta categorias, foram
organizadas a partir das respostas dos professores aos questionamentos que
propusemos ao final do problema 1. Já o estudo das segunda e terceira categorias foi
feito a partir das resoluções do problema 1 propostas pelos professores.
Vale destacar que o problema 1 foi apresentado no Quadro 8 e os
questionamentos sobre a qual nos referimos são os 6 primeiros dos que são expostos
no Quadro 12.
1. O participante já resolveu ou propôs problema desse tipo para suas turmas?
Com relação à nossa primeira categoria de análise, problemas como o primeiro
que propusemos em nosso instrumento configurou-se uma novidade para
praticamente todos os professores participantes de nossa pesquisa. O professor C,
quando respondeu à pergunta “Você já resolveu problemas desse tipo? Já propôs
para suas turmas? Em caso afirmativo, relate um pouco como foi o desenvolvimento
da atividade e desenvolvimento dos alunos”, disse: “Sim, eu procuro trabalhar
questões de raciocínio lógico, para estimular o raciocínio dos alunos. Os resultados
são muito positivos, pois prendem a atenção dos mesmos.” Contudo, não explicou,
detalhadamente, as atividades que propôs. Um dos questionamentos feitos a este
participante na entrevista foi no sentido de solicitar maiores explicações sobre tais
atividades. Assim, o professor relatou que estas atividades são desafios, problemas
que envolvem algum contexto apresentado por uma história.
2. Dificuldades apresentadas pelos professores ao resolverem os problemas
(falta de compreensão da proposta, erros conceituais, erros de cálculos e etc.).
Em relação a esta categoria de análise, percebemos que foi o problema que mais
gerou dificuldades aos participantes, pois a maioria dos professores participantes não
117
compreendeu a estratégia utilizada por Peter em seu método de subtrair. Apenas o
professor B a compreendeu depois de um bom tempo de tentativas.
Todos utilizaram a estratégia de que subtrair certo número de um valor equivale
sempre a adicionar esse número subtraído na conta original e subtrair o dobro dele.
Ou seja, pensaram que a subtração de 10, nos casos iniciais, era que 10 é o dobro de
5. Mantendo o mesmo raciocínio, no item a) subtrairia 14, que é o dobro de 7, no item
b) subtrairia 16, dobro de 8 e no caso c) subtrairia 18, que é o dobro de 9.
Esperávamos que esta estratégia fosse utilizada, pois a variável didática utilizada
nos primeiros casos, de subtrair o 5 e adicionar o 10, poderia proporcionar este tipo de
raciocínio. Neste caso, todos os professores utilizaram esta estratégia e, apesar de
responderem individualmente o instrumento, conversaram a respeito do problema em
alguns momentos, o que foi bom no sentido de ter ocorrido uma troca de ideias, mas que
pode ter sido prejudicial no sentido que não surgirem outras estratégias iniciais.
No decorrer da atividade, quando os números utilizados como subtraendos
passaram a ser números racionais positivos nas formas fracionária e decimal,
números naturais de ordem de grandeza das dezenas e centenas, as operações que
realizaram eram muito mais complexas do que o problema propunha – isto é, caso
tivessem compreendido a estratégia utilizada.
A seguir destacaremos apenas o que apontou cada participante.
Participante A:
Com relação à pergunta 4, o participante A respondeu:
“Variável dependente e independente. Quando altera um valor,
automaticamente altera o outro valor. Triângulo mais quadrado resulta zero.”
O professor identificou que a diferença tem uma relação funcional entre ▼ e .
Sendo o primeiro a variável independente e o segundo a variável dependente de que
o professor se referiu. Ao dizer que “Triângulo mais quadrado resulta zero”, o professor
assumiu que os valores tomados por esses dois símbolos devem ser opostos, por isso
a adição entre eles resultaria em zero. Provavelmente pensou, ao chegar à essa
conclusão, que ▼ = - 2∙ . Na verdade o oposto de ▼ seria equivalente a - 2∙ .
Logo, sua conclusão, segundo a estratégia utilizada, não seria válida, pois:
32 - ▼ = 32 + - 2∙
Nesse caso, temos que -▼ = - 2∙ , ou seja, -▼ = - , então ▼ = .
Portanto + ▼ = + = 2∙ .
118
Concluímos, então, que a resposta do professor estaria correta, segundo sua
leitura do Método de Peter, caso considerasse que os símbolos ▼ e têm o mesmo
valor e que a adição entre estes dois valores resultasse no dobro de cada um deles.
Nesse caso, mesmo o enunciado apresentado e utilizando a consigna a
subtração do número 10 na expressão 32 + - 10, o professor insistiu em sua
estratégia, afirmando que se o 10 fosse mantido o cálculo não poderia ser efetuado,
já que o valor a ser subtraído deveria ser o dobro do valor assumido pelo . Mesmo
a pesquisadora indicando que o 10 deveria ser utilizado, o professor mostrou-se
irredutível em sua conclusão.
Isso contrastou com seus comentários no início da realização dessa atividade,
quando mostrou ter achado o problema interessante, especialmente pelo fato de que
os alunos utilizam sempre o método convencional para subtrair, não buscando formas
alternativas mais práticas de realizar uma subtração.
Para a questão 6, que amplia o método para a subtração da centena, a resposta
do professor foi “Trocar o método para o tradicional”. Isso porque a estratégia adotada
pelo participante A não tornaria a operação “mais fácil”, como pede o enunciado.
Para a sétima pergunta sua resposta foi: “Aumentaria 0,5 passando 251,5
depois subtrair 0,5 no resto”. Percebemos que, nesse caso, logo após abordar a falta
de praticidade do método que utilizou, o participante propôs outro, diferente dos dois
apresentados no problema, que é válido, mas que fugira ainda mais do objetivo da
atividade.
Para a questão 8 a resposta foi: “Somaria 93 e depois subtrairia o dobro de 93”.
Neste caso o professor insistiu na estratégia que pensou inicialmente, mesmo
reconhecendo que neste caso o método tradicional seria mais prático.
Na pergunta 11, assim como exposto na análise da resposta deste participante
à questão 4, respondeu “Oposto”, indicando os valores de e ▼ deveriam ser
opostos. Da mesma maneira repetiu a resposta “Zero” para a questão 12. Conclusões
que, como justificado anteriormente, estão incorretas, já que os valores de ▼ e são
equivalentes.
Participante C:
Na quarta questão o participante não fez análise sobre o que correspondia cada
termo, tampouco a adição ▼+ , e sequer cogitou a possibilidade ou não do uso da
subtração do número 10, como os demais participantes fizeram.
119
Na questão seguinte não compreendeu o objetivo de verificar se o Método de
Peter também poderia ser aplicado para cálculos que envolviam números racionais
positivos nas formas decimal e fracionária. Sua resposta foi: “O valor do 1º número é
5. Talvez por aproximação o símbolo pode ser substituído por 5,2”.
O termo “talvez” não se refere à possibilidade do número ▼ não poder ser
substituído por um número racional, mas sim à de cálculo mental que o indivíduo pudesse
empregar ao resolver essa operação. Ao se referir que o primeiro número é 5, o
participante o utilizaria como referencial na realização desse cálculo mental e, por
aproximação, chegaria ao resultado segundo sua leitura da estratégia que Peter utilizou.
Na sequência da atividade o professor C continuou utilizando sua estratégia,
mesmo indicando na questão 6 que, para subtrações em que o subtraendo seja 95,
96 e 97, “A forma mais fácil seria subtrair diretamente 251 por 95”. Escreveu, ainda,
que “ representa números de 2 algarismos”, apontado a falta de praticidade do
método para casos desse tipo.
Na questão 8 o professor respondeu “x + x1 – 2∙(x1)”, para o caso em que foi
pedido que as operações fossem representadas como Susan as faria, utilizando o
símbolo ▼ para indicar os subtraendos em subtrações com minuendo 251. Esperava-
se que o professor indicasse apenas 251 - ▼.
Em sua resposta o participante levou em consideração a linguagem algébrica
utilizada comumente na qual x seria o primeiro termo da expressão de Peter, ou o
minuendo da operação proposta por Susan, e x1 o valor de . Considerou da maneira
como compreendeu o Método do Peter e não como Susan representaria as operações
solicitadas.
Em nossas análises prévias esperávamos que os participantes utilizassem
linguagem algébrica para estabelecer as relações entre os termos utilizados por
Susan e Peter, mas não na representação dos métodos, já que para esses casos
solicitou-se que fossem utilizados os símbolos e ▼.
Na questão 11, em que se solicitou para que se explicasse a relação existente
entre os números e ▼, o participante escreveu: “O valor do refere-se aos números
de 2 algarismos e o valor atribuído a ▼ refere-se aos números de 1 algarismo”.
O participante, com tal resposta, mostrou não ter percebido como a atividade
evoluiu no decorrer das questões e que o símbolo ▼ foi usado inicialmente para
representar números naturais formados por um algarismo, e que depois representou
números racionais e números naturais compostos por dois algarismos. Na estratégia que
120
utilizou em toda a atividade, o também representou todos esses tipos de número.
Demonstrou, igualmente, que não analisou os termos utilizados em cada etapa da
atividade, ou seja, o participante não compreendeu a estrutura do método de realizar
cálculos proposto pela atividade, importante item característico de atividades que
envolvem o pensamento algébrico em problemas que tematizam processos aritméticos.
Numa possível generalização, que não foi realizada, perceberia que esse
método também poderia ser utilizado em subtração de 1000, por exemplo, quando ▼
poderia ser composto por três algarismos.
Na questão 12, sobre a adição entre e ▼, o professor escreveu: “Um número
qualquer mais o seu dobro”. Além disso, isto indica que o participante mostrou mais
uma vez não ter compreendido o uso dos símbolos. Não realizou as análise e relação
entre os termos em cada situação apresentada pelo problema. Conseguiu apenas
aplicar a estratégia que reconheceu como sendo a utilizada por Peter. Ainda assim,
temos dúvidas que a tenha compreendido de fato.
Participante D:
Este professor utilizou a mesma estratégia que os demais. No entanto, buscou
explicar porque adicionar um número ao dobro de seu oposto equivaleria a adicionar
o oposto desse número, apesar da dificuldade em tornar clara sua intenção em
esclarecer essa equivalência, não apenas com base nos resultados, mas nas etapas
sugeridas pelo método de Peter em comparação ao de Susan.
Na quarta questão o professor concluiu que “Os valores ▼ e são iguais. Então
a soma “▼ + =” ao dobro dos valores ▼ e . Porém, como sabemos pela lógica
anterior, o valor do tem que ser a metade de 10. Ex.: 32 + - 10”.
Assim como verificamos na análise da resposta do participante A, o participante
D concluiu corretamente, segundo a estratégia utilizada por ele, que ▼ e têm o
mesmo valor e que, portanto, a operação ▼ + resulta no dobro de cada um dos
valores.
Entretanto, na continuidade da resposta, ao afirmar que deve ser a metade de
10, o professor não analisou corretamente a relação entre ▼, e o número 10 e que o
valor de varia sem alterar a subtração do 10, dependendo unicamente do valor de ▼.
Considerou este um caso específico e que o número subtraído também poderia ser
modificado nesses casos iniciais. Insistiu em sua estratégia para o Método de Peter de
que o número adicionado na expressão seria metade do número subtraído.
121
O participante utilizou a mesma estratégia em todas as questões posteriores
(6, 7, 8, 10 e 13).
3. Compreensão da função dos símbolos ▼ e na expressão e da relação
entre eles
O único participante que compreendeu o papel dos símbolos ▼ e foi o B.
Porém, antes, tomou estratégia inicial semelhante aos demais: acrescentar o valor
correspondente ao subtraendo da operação inicial e subtrair o seu dobro. Suas
primeiras respostas foram muito semelhantes ao que o participante A propôs como
resolução. Apesar de seu raciocínio inicial ser coerente e resultar em um valor correto,
não se conformava com a falta de praticidade de sua estratégia em detrimento ao que
era proposto pelo Método de Peter e por isso resolveu este problema duas vezes,
uma com a estratégia que pensou inicialmente e outra, depois de pensar melhor e
mudar de opinião.
O início da dúvida de que sua estratégia seria a melhor se deu na questão 4,
momento em que o professor deveria usar 10 na subtração indicada na expressão, mas
estava relutante para isso. Cogitou a possibilidade de essa expressão como uma
equação, já que sabia o resultado de 32 – 6 é 26. Pensou em igualar a expressão
32 - + 10 a 26 e calcular o valor de . Verificando essa ideia, a pesquisadora indicou
que realizasse tal ação e verificasse o que aconteceria, mas o professor mostrou-se
relutante para fazê-la também. Com alguma insistência pensou em alguns casos, que
foram insuficientes para a compreensão total do problema. Seguiu, então, sua
resolução conforme pensava naquele momento. Mesmo assim, não desistiu de tentar
compreender a função da dezena naquela expressão.
Seguiu, por isso, utilizando sua estratégia inicial até a questão 6, quando
destacou a falta de praticidade da estratégia utilizada em detrimento ao algoritmo
convencional da subtração em sua primeira resolução. Sua resposta foi: “Não, nesse
caso ele teria que fazer mais contas para chegar ao resultado.”
Na primeira resposta dada pelo participante à questão 7, abriu mão da
estratégia utilizada até então e propôs outra, evidenciando que de fato o método
utilizado até aí não era nada prático e por isso poderia ser abandonado. Isso foi
corroborado pelo fato de que em sua primeira resolução, a partir dessa questão, o
professor não utilizou mais a estratégia adotada inicialmente, ao contrário do
122
participante A que nesta questão utilizou outra maneira de resolução, mas retomou a
estratégia inicial em outras questões posteriores. Sua primeira resposta foi: “Ele
poderia resolver 251 – 96 e do resultado subtrair 0,5”.
A partir da questão 8 o participante deu indícios de ter compreendido a proposta
do Método de Peter e reavaliou toda a sua produção a partir da nova estratégia. Foi,
então, o participante que mais demorou a concluir esta atividade, finalizando-a apenas
no início do segundo dia de aplicação do instrumento, mas compreendeu o cerne da
proposta trazida pelo problema.
4. Quais aspectos relacionados ao desenvolvimento do pensamento algébrico
o participante reconhece
Esperávamos colher informações sobre esta categoria nas duas últimas
questões propostas ao final do primeiro problema: “Ao responder esses problemas que
são destinados a alunos de sexto e sétimo anos do Ensino Fundamental, que aspectos
relacionados ao ensino de Matemática lhe chamam a atenção? Comente um pouco”, e
“Dos aspectos relacionados ao ensino de Matemática que você destacou na questão
anterior, você considera que eles possam contribuir com o aprendizado do aluno em
Álgebra, especialmente? Comente um pouco sobre sua opinião”.
Percebemos que cada participante destacou um fato importante sobre o
desenvolvimento do Pensamento Algébrico, como apresentamos a seguir em nossas
análises. Mesmo assim, nenhum deles apontou a generalização proposta pelo
problema, indicando que o Método de Peter poderia ser utilizado quando o subtraendo
fosse um número natural ou número racional positivo. Sequer destacaram o fato de o
problema propor se o método era válido para cada um destes tipos de números.
Também não apontaram a possibilidade utilização do método quando o subtraendo
for 1000, 10.000 ou maior que isso.
Destacamos, então, os seguintes aspectos apontados pelos professores:
relação funcional entre os símbolos e variabilidade de estratégias de resolução
(professor A, em ambos), linguagem (professor B), compreensão da estrutura do
cálculo (professores D e B), equivalência entre expressões numéricas (professor D).
123
4.1. Variabilidade de estratégias
Esse aspecto foi elencado apenas pelo participante A. Como resposta à
primeira das perguntas que propusemos na parte do instrumento imediatamente após
a resolução do problema, indicado acima, o participante escreveu: “A criatividade, pois
cada aluno pode resolver o mesmo problema usando diferentes métodos de acordo
com seu entendimento ou que seja mais fácil para eles.” Completando a resposta
dada à questão, o professor, na terceira pergunta, disse: “Eu deixo meus alunos bem
à vontade na questão de resolução de problemas. Ensino vários métodos e deixo-os
usarem os que eles mais sintam à vontade.”
O que este participante disse é muito importante para o desenvolvimento do
pensamento algébrico dos alunos. Deixar que o aluno elabore suas estratégias é
primordial para a resolução e o problema tenha sentido para o aluno, seja em trabalho
em grupo ou individual. Contudo, somente isso não é suficiente.
Segundo Blanton e Kaput (2008) é muito importante que os estudantes
trabalhem de forma autônoma, mas que também confrontem suas produções com as
dos colegas, construindo coletivamente o conhecimento matemático. Portanto, não
basta que o professor incentive novas produções e estratégias sem que favoreça a
existência de momentos de discussão entre os alunos a fim de que eles próprios
testem, confirmem, refutem, revisem e generalizem suas produções. Neste mesmo
sentido, Smith (apud KIERAN, 2007) afirma que o professor é peça fundamental no
processo de desenvolvimento do pensamento algébrico do aluno e em sua
aprendizagem como um todo.
Os PCN (BRASIL, 1998) igualmente apontam como objetivos do estudo de
Matemática para o Ensino Fundamental que o aluno aprenda a validar estratégias
desenvolvendo formas de raciocínio e processos, que aprenda a comunicar-se
matematicamente, ou seja, que apresente oralmente suas conjecturas e conclusões
com base em argumentos matemáticos, que interaja de maneira cooperativa com
seus colegas, trabalhando de maneira coletiva na resolução das atividades,
identificando consensos e desacordos, sempre respeitando a opinião dos pares.
124
4.2. Compreensão da estrutura do cálculo
O participante B foi o único que indicou, para o primeiro problema de nosso
instrumento de coleta de dados, uma resposta na qual se destaca a compreensão da
estrutura do cálculo proposto por Peter. Como resposta à segunda das três questões
propostas sobre o problema, o participante B respondeu que: “Gostei muito da
praticidade da resolução dos problemas que possibilita ao aluno ver de outra maneira
a solução do que lhe é proposto e a sair da memorização mecânica para realizar os
cálculos.”
“Sair da memorização mecânica” envolve a compreensão da estrutura da
proposta de cálculo oferecida pelo problema. Segundo Blanton e Kaput (2005), a
aritmética pode ser um importante caminho para expressar e formalizar
generalizações como uma das formas tomadas pelo raciocínio algébrico,
possibilitando que os alunos tratem os números de maneira algébrica, isto é,
preocupando-se com a compreensão da estrutura e não com o cálculo de um número
específico.
O professor D também apontou aspectos relacionados ao entendimento dos
processos dos cálculos propostos, escrevendo como resposta à terceira pergunta
referente ao problema: “Que ao realizar a lógica matemática da Susan e do Peter,
ambos os resultados darão o mesmo, porém devemos nos atentar à lógica e as
peculiaridades de cada um.”
“Atentar à lógica e às peculiaridades” que cada método envolve, assim como
destacou o participante B, pode ser caracterizado como compreender o
“funcionamento” de cada um deles, entender a sua estrutura.
4.3. Linguagem
O participante B também reconheceu elementos ligados à uso da linguagem
simbólica. Escreveu como resposta à terceira questão:
Sim, pois o aluno resolve equações sem a formalidade de apresentar as variáveis através das letras para substituir os valores desconhecidos e os jogos de mudança de membros e isolar variáveis e inversão de sinais de operação. É mais descontraído e leva o aluno a desenvolver um raciocínio mais lógico na resolução dos algoritmos.
125
De certa maneira, este participante corroborou o fato que Barbosa (2009)
identificou em sua pesquisa, de que é restrita a quantidade de diferentes significados
que os professores atribuem a uma equação, reduzidas quase que exclusivamente às
técnicas de resolução. Este fato fica notório quando o participante se referiu aos “jogos
de mudança de membros e isolar variáveis e inversão de sinais de operação”.
Porém, em sua resposta, este participante assinalou alguns elementos
importantes relacionados ao pensamento algébrico, especialmente relacionados à
não obrigatoriedade do uso da linguagem algébrica nas resoluções sem perda do
sentido algébrico na proposta do problema, apesar dele propor resoluções utilizando
linguagem simbólica.
Em relação a isso, alguns pesquisadores corroboram esse fato. Conforme
Fiorentini, Miorin e Miguel (1993) identificam em um estudo histórico, é possível resolver
problemas de caráter algébrico mesmo sem a utilização de uma linguagem algébrica e
que é fundamental pensarmos em um ensino de Álgebra que relacione a linguagem ao
pensamento algébrico. Kieran (2004), por sua vez, em sua definição de pensamento
algébrico nos anos iniciais, tematiza a questão do uso da linguagem algébrica:
O pensamento algébrico nos anos iniciais envolve o desenvolvimento de formas de pensar no contexto de atividades para as quais a linguagem algébrica pode ser usada como uma ferramenta, mas que não são exclusivas para a Álgebra e que poderiam ser engajadas sem usar qualquer linguagem algébrica, tais como analisar as relações entre as quantidades, perceber a estrutura, estudar variações, generalizar, resolver problemas, modelar, justificar, provar e prever. (KIERAN, 2004, p. 149 – tradução nossa)39
Destaca, ainda, que a aplicação de atividades referentes à categoria de nível-
meta global, como ela classifica, podem ser aplicadas sem uma linguagem algébrica,
o que favorece sua implementação em turmas mais elementares do ensino básico e
que são importantes para se desenvolver formas de pensamento que são
fundamentais para o sucesso em Álgebra.
Ponte, Branco e Matos (2009, p. 10) também apontam o uso da linguagem
algébrica ao afirmarem que “resumir a atividade algébrica à manipulação simbólica,
equivale a reduzir a riqueza da Álgebra a apenas a uma das suas facetas”.
39 Algebraic thinking in the early grades involves the development of ways of thinking within activities for which letter-symbolic algebra can be used as a tool but which are not exclusive to algebra and which could be engaged in without using any letter-symbolic algebra at all, such as, analyzing relationships between quantities, noticing structure, studying change, generalizing, problem solving, modeling, justifying, proving, and predicting.
126
A BNCC (BRASIL, 2017a) indica, igualmente, que a linguagem algébrica deve
ser desenvolvida ao longo do Ensino Fundamental e que atividades relacionadas ao
ensino de Álgebra podem ser propostas sem o uso obrigatório dessa linguagem.
A percepção do professor em relação ao uso da linguagem algébrica é
extremamente pertinente, mas também é curioso como ela está relacionada
unicamente à resolução de equações. Isso era algo que prevíamos em nossas
análises. No entanto, nas respostas do participante B pareceu ficar clara a relação
entre início de um trabalho algébrico ao cálculo de equações.
4.4. Equivalência entre expressões numéricas
O participante D ressaltou alguns elementos na segunda questão proposta:
“Primeiramente a resolução da subtração direta por um valor qualquer (Susan).
Ex.: 32 – 5 = 27 pode ser feito e realizado somando por um valor (5), que dará o mesmo
resultado. 32 + 5 – 10 (Peter). OBS: 5-10 = -5, que será o valor que subtraindo
32 – 5 = 27.”
Neste caso o participante relacionou fatos dos métodos utilizados pelas
personagens do problema, salientando que são duas maneiras distintas de resolver
uma operação, mas que gerariam o mesmo resultado.
Para Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005), com base em Fiorentini, Miguel
e Miorin (1993), um dos elementos caracterizadores de um trabalho que procure
desenvolver o pensamento algébrico seria “Interpretar uma igualdade como
equivalência entre duas grandezas ou entre duas expressões numéricas”.
No mesmo sentido Kieran (2004) assevera alguns aspectos importantes a
serem considerados para que o aluno possa ser levado a um quadro de referência
algébrico com relação à equivalência que seria “Uma ênfase nas relações e não
apenas no cálculo de uma resposta numérica” e “comparar expressões de
equivalência com base em propriedades em vez de avaliação numérica”.
No que diz respeito aos documentos curriculares, a BNCC (BRASIL, 2017a)
ressalta a equivalência como uma das ideias fundamentais relacionadas ao ensino da
Álgebra, bem como a diferenciação do sentido da igualdade e equivalência, indicadas
pelo mesmo símbolo.
Com base neste último aspecto, indicamos que o participante B evidenciou que
os dois métodos, de Peter e Susan, produzem o mesmo resultado. Contudo, em sua
127
resolução da atividade 1 procurou identificar essa equivalência com base em seus
resultados numéricos e também nas operações envolvidas.
4.5. A relação funcional entre ▼ e
O participante A foi o único que mencionou, em suas respostas, a relação
funcional entre os termos. Porém, identificou que ▼ + = 0, ou seja, teriam valores
opostos, o que seria incorreto.
Todavia, os participantes B e D também chegaram a relações nas quais
descreveram a relação funcional entre ▼ e . O participante B, como exposto no
critério de análise anterior, compreendeu a relação entre esses termos. O participante
C sugeriu que ▼ e teriam os mesmos valores. Portanto, neste caso, ▼ + geraria
como resposta o dobro do valor de um deles.
O quadro a seguir apresenta os aspectos relacionados ao desenvolvimento do
pensamento algébrico que cada professor indicou em suas respostas com relação ao
primeiro problema.
Quadro 14: Aspectos relacionados ao pensamento algébrico elencados para o problema 1
Professor Aspectos indicados Aspectos apenas utilizados, mas
não indicados
A - A relação funcional entre ▼ e .
- Variabilidade de estratégias
- Equivalência entre expressões
numéricas
B - Linguagem
- Compreensão da estrutura do cálculo
- A relação funcional entre ▼ e .
-- Equivalência entre expressões
numéricas
C
- Equivalência entre expressões
numéricas
D
- Equivalência entre expressões
numéricas
- Compreensão da estrutura do cálculo
- A relação funcional entre ▼ e .
-- Equivalência entre expressões
numéricas
Fonte: Dados de pesquisa
128
5. Dificuldades dos alunos
O participante C destacou, como aspecto relacionado que lhe chamou a
atenção no problema: “O problema real que encontramos em sala de aula, é a
dificuldade de subtrair. Se apresentamos este método podemos ter uma interação
melhor dos alunos.”
Acreditamos que esta dificuldade a que o participante se referiu é à utilização
do algoritmo convencional da subtração, provavelmente aplicado pelos alunos sem
sua real compreensão. O método proposto pela atividade nada mais é que uma
potente estratégia de cálculo mental que, posta no papel, favorece análises sobre sua
estrutura e a comparação e a relação com o método tradicional permite analisar a
equivalência entre eles.
Quanto à terceira questão, o participante respondeu: “Completamente, eles
perderiam o medo e passariam a efetuar os cálculos sem obstáculos, sem erros e
seriam muito confiantes em matemática”.
Entendemos que o termo “obstáculos”, utilizado pelo professor, tenha sido
empregado no sentido de indicar dificuldades de aprendizagem, e não como propõe
Guy Brousseau, segundo Almouloud (2010), ao destacar obstáculos epistemológicos,
didáticos, psicológicos e ontogênicos40.
A resposta dada pelo participante indica uma visão de que o erro desestimula
o aprendizado do aluno em Matemática, desconsiderando-o como parte do processo
de construção do conhecimento matemático. Além disso, leva-nos à dualidade certo-
errado, que gera a dicotomia sucesso-insucesso na aprendizagem em Matemática,
além de uma duplicidade extrema de relações geradas por essa perspectiva, como
bem evidenciam Clareto e Silva (2016, p. 932):
40 Obstáculos epistemológicos: são aqueles que tiveram um papel importante no desenvolvimento histórico dos conhecimentos e têm sua rejeição integrada explicitamente no saber ensinado/aprendido. Os obstáculos de origem epistemológica são inerentes ao saber e podem ser identificados nas dificuldades que os matemáticos encontraram, na história, para a compreensão e utilização desses conceitos. Obstáculos didáticos: são aqueles que parecem depender apenas de uma escolha ou de um projeto do sistema educativo Brousseau (apud ALMOULOUD, 2010). Obstáculos psicológicos: aparecem quando a aprendizagem contradiz as representações profundas do sujeito, ou quando induz uma desestabilização inaceitável. Obstáculos ontogênicos: aparecem pelas limitações (neurofisiológicas entre outras) do sujeito em certo momento de seu desenvolvimento. (ALMOULOUD, 2007, p. 139-145).
129
O erro, no mais das vezes nos processos educativos, é tratado por meio de medidas moralizantes relativas ao certo ou errado: dois caminhos, duas proposições. O acerto, aquilo que é capaz de apaziguar e constituir homogeneizações, é tratado com deferência, incentivado e demarcado como objetivo maior do processo de ensino da escola: o acerto significa que houve aprendizagem... Já o erro, ele se refere a uma falsa representação, um negativo do pensamento.
4.4.2. Análise do problema 2
Apresentamos nesta seção as análises das respostas dadas pelos
participantes ao problema 2 de nosso instrumento de pesquisa. Nossa análise foi feita
com base nas seguintes categorias:
1. Se o participante já resolveu ou propôs problema desse tipo para suas turmas
(6°, 7° ou demais anos);
2. Dificuldades apresentadas pelos professores ao resolverem os problemas (falta
de compreensão da proposta, erros conceituais, erros de cálculos e etc.);
3. Uso de contexto do cotidiano do aluno;
4. Uso de linguagem algébrica para encontrar a equivalência entre as relações
funcionais;
5. Quais aspectos relacionados ao desenvolvimento do pensamento algébrico o
participante reconhece:
5.1. Linguagem;
5.2. Equivalência entre expressões numéricas;
5.3. Registros utilizados (tabela, gráfico, linguagem natural).
As análises que correspondem à primeira, terceira e quinta categorias foram
organizadas a partir das respostas dos professores aos questionamentos que
propusemos ao final do problema 2. Já a análise daquelas referentes às segunda e
quarta categorias, organizamos com base nas resoluções do problema proposto pelos
professores.
Vale destacar que o problema 2 foi apresentado no Quadro 10 e os
questionamentos sobre a qual nos referimos são os 6 primeiros dos que são expostos
no Quadro 12.
130
1. Se o participante já resolveu ou propôs problema desse tipo para suas turmas
(6°, 7° ou demais anos)
No que diz respeito à primeira categoria de análise, constatamos que apenas
os professores A e D já aplicaram, para suas turmas, problemas semelhantes ao
segundo de nosso instrumento de pesquisa. O primeiro professor para turmas do 8º
ano do Ensino Fundamental e o segundo para alunos do Ensino Médio.
O professor C que, segundo seu relato, nunca aplicou problemas desse tipo
escreveu: “Questões deste tipo eu ainda não aplique, mas vou rever meus conceitos,
pois esta questão os faz terem boa análise crítica do problema proposto.”
Esse ponto de vista contrasta com o que esperávamos como resposta a este
questionamento, que era o de indagar se este tipo de problema poderia ser aplicado
com turmas de 6º e 7º anos.
Porém, no momento da apresentação sobre o Pensamento Algébrico, feita pela
pesquisadora, os professores A e C relacionaram este tipo de problema a outros que
estão presentes no Caderno do Aluno do 8º ano – material didático fornecido pela
Secretaria da Educação de Estado de São Paulo que os alunos utilizam em sala de
aula. Portanto, podemos considerar que o número de participantes que conhecem
problemas como o problema 2 é maior.
2. Dificuldades apresentadas pelos professores ao resolverem os problemas
(falta de compreensão da proposta, erros conceituais, erros de cálculos e etc.)
De acordo com nossa primeira categoria de análise, o equívoco mais comum
na resolução do problema 2 se deu na construção dos gráficos referentes às
condições dadas pela avó de Bárbara. Todos os participantes localizaram os pontos
apresentados na tabela no plano cartesiano e traçaram duas linhas contínuas. Dessa
maneira, o professor admite que o domínio da função é o conjunto dos números reais
positivos o que, nesse contexto, não é verdade, já que estamos tratando de um
contexto monetário.
Nenhum dos professores considerou, nas representações gráficas que
propuseram, valores entre zero e um real para a quantia em dinheiro que a
personagem poderia ter. Cogitamos que isso se deva ao fato de que não foi
apresentado, na tabela da primeira questão, nenhum valor menor que R$1,00.
131
Todavia, compreenderíamos esse fato para a representação da segunda opção, já
que geraria valores negativos, o que pode não se aplicar ao problema. Mesmo assim
poderia ser considerado na primeira opção.
Participante A:
O professor preencheu corretamente com os valores gerados pelas primeira e
segunda opções dadas pela avó de Bárbara, referentes à primeira questão, e
respondeu corretamente à primeira parte do problema 2.
O gráfico construído pelo professor em resposta ao item a) da questão 2 se
apresenta na Figura 7:
Figura 7: Gráfico – Participante A
Fonte: Dados de pesquisa
132
O participante fez uma estimativa, ao traçar este gráfico, de como seria sua
continuidade para valores de abscissa igual e maior que 10, não utilizando, portanto,
todos os pontos encontrados para abscissas menores que este valor para determinar
a “inclinação” do gráfico referente a cor azul.
Da mesma forma indicou o ponto em que as opções dadas pela avó de Bárbara
se igualavam, R$ 6,00 (resposta ao item f)). Contudo, não se atentou ao fato deste
ponto ter que pertencer aos dois gráficos e ser a intersecção entre eles. Na construção
feita pelo professor, o ponto citado não segue estas características.
Inicialmente o professor indicou o ponto de coordenadas (6, 10) como o ponto
em que as opções se igualam. No entanto, percebeu o erro circulando o ponto,
corrigindo o erro indicado por “ñ”.
Para o item c) do segundo problema, indicou como resposta “1,00, 2,00, 3,00,
4,00, 5,00”, unicamente valores inteiros, desconsiderando quantidades entre esses
valores, entre 0 e R$1,00 e entre R$5,00 e R$6,00. A resposta dada pelo professor
englobou os valores menores que R$6,00 indicados na tabela, ou seja, o professor
provavelmente se preocupou, apenas, em indicá-los. Esperávamos que os
participantes escrevessem uma resposta que levasse em consideração todos os
valores possíveis entre zero e R$6,00.
Igualmente, no item e) indicou que a segunda opção seria mais vantajosa para
Bárbara para valores maiores ou iguais a “7,00, 8,00, 9,00, ...”. Neste caso o
professor novamente desconsiderou valores compostos por parte inteira e centavos
de real. Da mesma forma como apontado no parágrafo anterior, esperávamos que o
participante indicasse o intervalo que compreende a situação do problema.
Participante B:
No problema 1 o professor indicou corretamente os cálculos e descobriu os
valores corretos para quase todas as quantias em dinheiro de Bárbara, quantias,
estas, representadas na tabela, com exceção para o caso do valor gerado para a
segunda opção, caso Bárbara tenha R$10,00. Nesta ocorrência o professor apontou
corretamente a operação, como mostra a Figura 8. Isto contribuiu para o erro
apresentado no item a) deste problema. Escreveu, como esperávamos, 2N e 4N-12 –
as expressões para valores genérico N Reais.
133
Figura 8: Protocolo do participante B para a questão 2
Fonte: Dados de pesquisa
No item a) deste problema o participante não escreveu em linguagem natural
os passos propostos pelas operações envolvidas em cada situação. Respondeu de
maneira simbólica: “1ª = 2N, 2ª = 4N-12, somente a partir de N=11 a 2ª opção é mais
vantajosa para Bárbara”. Ao deixar de indicar o valor gerado pela segunda opção
quando Bárbara tem R$10,00, o professor deixou de verificar que para N=10 a
segunda opção já gera um valor bem maior que o da primeira, o que poderia levar o
participante a uma análise mais criteriosa a respeito do valor que determina a partir
de qual quantia em dinheiro a segunda opção se torna mais vantajosa.
No que tange à questão 2, o gráfico construído pelo participante B em resposta
ao item a), é apresentado na Figura 9:
134
Figura 9: Gráfico – Participante B
Fonte: Dados de pesquisa
No item c) da questão 2 o professor B respondeu da mesma maneira que o
participante A, citando que a primeira opção é mais vantajosa para a personagem do
problema caso ela possua valores iguais a “1, 2, 3, 4 e 5”. Da mesma maneira que o
participante A, escrevendo dessa maneira este desconsiderou valores menores que
R$ 6,00 que contivessem partes não inteiras de real.
Já no item d) o participante mostrou, na representação do plano, o intervalo de
pontos em que a segunda opção é menos vantajosa e não o contrário, como pede o
enunciado. Neste caso o participante não deve ter se atentado ao enunciado que não
pedia apenas a representação gráfica da segunda situação, mas sim sua representação
no intervalo em que se apresenta mais vantajosa que a primeira opção. Por outro lado, a
representação gráfica proposta pelo docente deve ter sido determinada pelos pontos
indicados na tabela, que apresenta apenas o ponto 10 como valor maior que 6 e, com
abscissa 10, a representação gráfica de (N, 4N-12) seria (10, 28), ponto que não seria
135
possível representar no plano cartesiano apresentado na ficha. Este participante, assim
como o professor A, não utilizou a inclinação da reta referente à representação da
segunda opção para apresentar valores maiores que (6, 12).
Confirmando sua resposta dada no item a) da primeira questão, ao responder
este tópico, o participante escreveu que a quantia que Bárbara precisaria ter para a
segunda opção ser mais lucrativa seriam valores “A partir de 11,00 reais”.
Como usou valores inteiros para preencher a tabela da primeira questão, o
professor pode ter se confundido e acreditado que só usaria estes tipos de valores de
real. Aliado a isso, não compreendeu o questionamento que solicitava a análise com
base nos valores que a personagem Barbara possuía e não com relação aos valores
gerados pelas opções dadas pela avó. Portanto, R$ 11,00 seria o maior valor inteiro
gerado que a torna mais vantajosa e as quantias geradas pelas duas condições se
igualam quando fornecem R$12,00 à menina.
Participante C:
No segundo problema o participante C completou a tabela da seguinte maneira:
Figura 10: Tabela – Participante C
Fonte: Dados de pesquisa
Na última linha da tabela notamos que o professor utilizou x em vez de N, como
é sugerido na primeira coluna. Talvez isso indique uma prática de uso mais comum
dessa letra para indicar variáveis e incógnitas.
Em relação à primeira questão deste problema disse: “Tem que primeiramente
efetuar as multiplicações para visualizar melhor os resultados”. Esta parte da primeira
resposta do professor indica um fato importante a respeito do uso de tabela na
resolução do problema. Este tipo de registro pode ser utilizado, de acordo com o
NCTM (2000), para favorecer a análise e generalização de variedade de padrões,
136
além de possibilitar a identificação de relações funcionais entre os dados das
situações apresentadas.
Já ao indicar qual seria a melhor opção para Bárbara, o participante escreveu
que “A melhor opção seria quadruplicar 10 reais e subtrair 12, gerando maior saldo
positivo em 28 reais”. Neste caso o professor se deteve a um único caso específico
da segunda opção apresentado na tabela. Não compreendeu que nos referíamos a
qual das duas situações seria mais vantajosa para a personagem.
Na pergunta seguinte, ainda na primeira questão, que questiona se as duas
opções podem coincidir, o participante C respondeu que “Sim, quando o saldo positivo
fica em 4 e 6 reais”. Nesta ocorrência percebemos que a análise do participante se
restringiu aos dados registrados na tabela. Ao indicar os valores R$ 4,00 e R$ 6,00,
percebemos que estes são os únicos valores que aparecem como resposta na
segunda e terceira colunas (R$ 6,00 foi obtido por um cálculo equivocado na terceira
coluna, 5ª linha da tabela).
Entendemos, também, que o participante não compreendeu que, ao indicar um
valor em que as duas opções são equivalentes, deveria apontar uma única quantia
que, imposta às leis das duas opções, resultem, ambas, em um mesmo valor. O
professor indicou duas quantias geradas por quantidades diferentes que Bárbara
poderia ter.
Outro indício que sua análise se restringiu aos dados da tabela é que, mesmo
tendo a compreensão errônea do objetivo da questão, caso realizasse uma análise
mais ampla, poderia citar outros resultados como exemplos.
Com relação à representação gráfica realizada na questão 2, apresentada na
figura a seguir, temos:
137
Figura 11: Gráfico – Participante C
Fonte: Dados de pesquisa
Aqui, indicou corretamente todos os pontos da representação gráfica da
primeira situação dada pela avó de Bárbara, apesar de não indicar outros não
apresentados na tabela. Porém, ao localizar os pontos obtidos para a segunda opção
dada pela avó da menina na tabela da primeira questão, o professor não obteve muito
sucesso. Seu erro no cálculo do valor que Bárbara ganharia da avó na segunda opção,
caso tivesse R$ 5,00, comprometeu completamente sua construção representativa
desta situação. Este fato mudou o coeficiente angular da reta e, consequentemente,
impossibilitou que o traçado feito pelo participante englobasse todos os pontos que
destacou, além de gerar um ponto de intersecção com a outra reta diferente do que
era esperado.
138
O professor não se deu conta desses problemas. Não indicou nenhuma correção
ou comentou a respeito de eventuais dúvidas acerca dos erros na construção.
Seguindo as respostas dos itens da questão 2 desta atividade, o participante
fez o gráfico referente à primeira situação inteiro na cor azul, assim como representou
o gráfico correspondente à segunda opção inteiro na cor vermelha, o que inviabilizou
as respostas aos itens b) e d). Indicou, nas duas retas, os pontos de ambas as retas
de abscissa 10 para apontar, conforme afirmou no item c), que para valores “Acima
de 10 reais” a primeira opção se tornaria a mais vantajosa para a personagem. Essa
resposta ocorreu, provavelmente, divido aos dados organizados na tabela, na qual,
pelos cálculos realizados, o professor percebeu apenas que quando Bárbara tem
R$10,00 ou mais a segunda opção se apresentaria mais lucrativa que a primeira. O
professor indicou, ainda, em cada gráfico, o ponto que teria abscissa 10.
Já como resposta ao item e), escreveu que “Ela [Bárbara] terá que ter acima
de 5 reais” para que a segunda opção seja a mais lucrativa para a menina.
Provavelmente esta resposta foi dada devido à representação gráfica feita pelo
participante, na qual quando a abscissa é 5, ambas as funções têm ordenada 6.
No item f) o professor C indicou que as duas opções dadas pela avó de Bárbara
se igualariam para “Investimentos entre 7 e 8 reais”. Conclusão, esta, diferente do
item c) da questão 1, que deveria ter a mesma resposta, mas segundo uma análise
com base na tabela preenchida.
Neste episódio percebemos algumas questões referentes à resposta do
participante: a primeira delas é que o professor reconheceu a intersecção entre as
retas como a resposta a este item; a outra é que, apesar disso, indicou sua conclusão
com um intervalo não levando em consideração que as duas retas se intersectam em
um único ponto.
Temos que as respostas dadas pelo participante aos itens e) e f) se
contradizem. Segundo sua resolução, para valores acima de R$ 5,00 ocorreriam fatos
excludentes e o professor não identificou o problema: as opções poderiam ser
equivalentes, a primeira poderia ser melhor, a segunda poderia ser mais vantajosa.
Pelas respostas dadas aos itens c) e e) percebemos que o professor não fez
uma leitura criteriosa do gráfico. Não conseguiu perceber os intervalos de valores em
que uma ou outra situação se apresentasse com maior valor na comparação entre os
gráficos das funções que representariam as situações propostas pela avó de Bárbara.
O professor pareceu, também, não ter relacionado sua resolução da primeira questão
139
com a da segunda, indicando respostas diferentes para questionamentos
semelhantes em ambos os casos.
Participante D
Este participante preencheu corretamente as respostas à primeira questão. A
representação gráfica que sugeriu para a 2 é apresentada na Figura 12.
Figura 12: Gráfico – Participante D
Fonte: Dados de pesquisa
Aqui se indicou corretamente, no gráfico, o intervalo de valores em que a
primeira opção é mais vantajosa (item b)), a opção em que a segunda é mais
vantajosa (item d)) e o ponto em que ambas as situações se apresentam equivalentes
(item f)).
140
Para a questão c) o professor apontou os valores que Bárbara precisaria ter para
que a primeira opção fosse mais lucrativa. Para ele, seriam “Valores menores que
R$6,00”, e complementou sua resposta com o intervalo “]-∞, 6[“. Desta maneira excluiu
corretamente o valor igual a R$ 6,00 já que é neste ponto que as duas condições se
igualam, mas ao indicar -∞ como limitante inferior de seu intervalo, o professor assumiu
que as funções teriam, também, como pontos pertencentes aos seus respectivos
domínios, valores menores que 1, que não foram representados nos gráficos
construídos. No ítem d) escreveu que a segunda opção é mais lucrativa para “Valores
maiores que R$ 6,00”. Utilizou, ainda, o intervalo ]6,+∞[ . Isto indica, assim, que qualquer
número maior que seis pode ser usado para representar a quantidade em dinheiro que
Bárbara possui, inclusive números irracionais, por exemplo.
Como resposta ao item e) repetiu a resposta dada no item d) e no item f). Além
de indicar corretamente o ponto de intersecção no gráfico, disse que as duas opções
se igualam “Quando R$ 6,00 para o x R$ 12,00 para o y. Par ordenado (6,00, 12,00)”.
Neste caso o participante se preocupou em indicar o par ordenado correspondente ao
ponto de intersecção entre as duas representações gráficas das situações sugeridas
pela avó de Bárbara.
3. Uso de contexto do cotidiano do aluno
Praticamente todos os participantes salientaram em suas respostas às segunda
ou terceira questões, realizadas na parte subsequente ao problema 2, a importância
das situações propostas serem ligadas a situações cotidianas.
Esta resposta, juntamente com a da questão anterior dada pelo participante,
remetem ao que Lins e Gimenez (2001) admitem como possibilidades de relações
para os significados matemáticos dentro e fora da escola. Para estes pesquisadores,
as educações aritmética e algébrica devem ser abordadas de tal maneira que haja
preocupação em mostrar que os significados matemáticos podem auxiliar a organizar
atividades que poderiam se organizadas sem os significados matemáticos. Talvez
essa percepção de relacionar o ensino de Álgebra e cotidiano, a que o professor A se
referiu, possa não ser tão nítida assim para os alunos.
Em contrapartida, podemos considerar que os apontamentos feitos pelos
participantes podem ser corroborados pelo que o NCTM (2000) indica como uma
expectativa de aprendizagem, que são as modelagem e resolução de problemas
141
contextualizados usando várias representações, referente à habilidade “Usar modelos
matemáticos para representar e compreender relações qualitativas”. Ponte, Branco e
Matos (2009) também recomendam o uso de situações extramatemáticas como um
importante início para a construção de modelos e exploração de relações.
No que diz respeito às respostas dadas pelos participantes, como resolução da
segunda questão, o participante A escreveu que “Quando os alunos conseguem
perceber que os exercícios estão relacionando com a prática, preço e consumo é um
bom exemplo”. Sobre a terceira questão, o professor respondeu que “Sim, os alunos
percebem que Álgebra facilita muito para resolução dos problemas e sem ela seria
mais difícil a resolução de diversas situações”.
O participante D destacou que “Primeiramente a noção prática (uso do
cotidiano) e resolver o cálculo e interpretação do gráfico, a partir de uma situação-
problema”. O professor ressaltou como primeiro aspecto o uso de contexto “prático”
Já o participante C disse, como resposta à terceira questão: “Sim, o aluno tem
que desenvolver a crítica e a análise das questões propostas. Esta questão pode estar
relacionada ao seu dia a dia”.
4. Uso de linguagem algébrica para encontrar a equivalência entre as
expressões
O professor B, ao responder o item b) da primeira questão, disse corretamente
que para valor igual a R$6,00 ambas as opções coincidem. Sua justificativa foi dada
por meio da manipulação algébrica da equivalência entre as duas expressões, como
mostra a Figura 13.
Figura 13: Resposta 1b - Participante B
Fonte: Dados de pesquisa
Ele foi o único dos participantes que utilizou linguagem algébrica na resolução
da atividade. O professor D também empregou este tipo de linguagem para comprovar
a equivalência, mas isso aconteceu somente na terceira das perguntas propostas ao
142
final da atividade 2 e não na resolução da atividade. Na ocasião, o professor realizou
os cálculos apresentados na Figura 14.
Figura 14: Protocolo da questão sobre o problema 2 – Participante D
Fonte: Dados de pesquisa
5. Quais aspectos relacionados ao desenvolvimento do pensamento algébrico
o participante reconhece:
5.1. Equivalência entre expressões
De acordo com a Figura 14, apresentada anteriormente, o participante D
destacou, como resposta à terceira pergunta, um ponto importante de discussão do
problema, que é a relação de equivalência entre as situações. No entanto, escolheu,
naquele momento, representá-la algebricamente (Figura 14), fato que não ocorreu em
sua resolução da atividade. Não sabemos até que ponto a pergunta direcionou sua
maneira de responder: ao usar o termo “Álgebra”, o professor propôs uma resolução
algébrica do problema. Ainda, complementou sua resposta:
Para destacar também as operações básicas como multiplicação e subtração. Destaque ao realizar um cálculo onde envolva multiplicação e subtração, devemos multiplicar os valores e depois subtrairmos. Outra coisa também é que no primeiro caso, o resultado sempre será o dobro da quantia inicial que a Bárbara possui e no segundo caso ocorre um crescimento de 4 unidades para o exemplo dado. Ex: 4∙1 - 12 = - 8; 4∙2 - 12 = - 4; etc. (Relato do professor D).
O professor ressaltou, ainda, a hierarquia das operações (multiplicação e
subtração), fato que relacionou exclusivamente ao cálculo dos valores, além de
143
algumas regularidades que apontamos em nossas análises prévias do problema e que
acreditamos serem notadas especialmente devido ao uso do registro em tabela.
5.2. Equivalência entre as expressões numéricas
Os participantes A, B e D chegaram ao valor correspondente à equivalência às
duas expressões correspondentes às condições oferecidas pela avó de Bárbara.
Ainda assim, o participante B afirmou que a segunda opção só seria mais vantajosa
para a garota a partir de R$ 11,00 e não a partir de R$ 6,00.
5.3. Registros utilizados (tabela, gráfico, linguagem natural)
O participante C evidenciou o uso da tabela na segunda questão proposta na
parte do instrumento subsequente à resolução do problema. Destacou a “Estruturação
do cálculo na tabela e a análise situacional do problema” como aspectos ligados ao
ensino de Álgebra.
Com base em uma das falas que o professor fez no momento da apresentação
sobre Pensamento Algébrico, o uso da tabela para ele foi um facilitador na
compreensão do problema. Já a “análise situacional” pareceu fazer referência às
observações realizadas quanto às vantagens de uma ou outra opção (ou ainda de
nenhuma delas) dada pela avó de Bárbara.
O que ressaltou é corroborado pelo NTCM, quando esta instituição caracteriza
a representação, a análise e a generalização de variedade de padrões com tabelas,
gráficos, palavras ou regras simbólicas como uma expectativa referente ao ensino de
Álgebra.
O participante B escreveu, como resposta à segunda pergunta, que:
É possível trabalhar a interpretação dos dados de uma tabela num gráfico no plano cartesiano, como os dados se comportam graficamente, os pontos de coincidência, vantagens e desvantagens das opções propostas no problema. (Relato do professor B).
Mencionou aspectos que esperávamos ser evidenciados pelos professores,
como o uso de tabelas e gráficos para representar as situações propostas, além da
análise dos dados proporcionada pela segunda forma de representação e que o
NCTM (2000) aponta como uma expectativa para a habilidade “Representar e analisar
144
situações e estruturas matemáticas usando símbolos algébricos”, que é a de “Explorar
relações entre expressões simbólicas e gráfico de linhas, prestando especial atenção
ao significado da interceptação e inclinação”.
Complementou sua observação na questão seguinte:
Sim. É uma forma de dar sentido aos valores encontrados nos cálculos da situação problema proposta, na interpretação dos dados obtidos, com os algoritmos, como eles se comportam nas suas formas de representação, no caso tabelas e gráficos. (Relato do professor B).
O professor pareceu reconhecer que as representações utilizadas (tabela e
gráfico) favorecem a compreensão das situações apresentadas no problema. Os
“algoritmos” a que o professor se refere são as expressões solucionadas para
obtenção dos valores em cada caso.
O participante D também deixou claro o uso da representação gráfica em sua
resposta à segunda pergunta ao evidenciar a interpretação do gráfico a partir de uma
situação-problema com um dos aspectos relacionados ao ensino de Álgebra que
chamou sua atenção no problema.
Cabe destacar que todos os documentos curriculares evidenciados neste
trabalho valorizam o uso de diversas representações, como gráfico, tabela, linguagem
algébrica e registro numérico.
O quadro a seguir apresenta os aspectos relacionados ao desenvolvimento do
pensamento algébrico que cada professor indicou em suas respostas com relação ao
segundo problema.
Quadro 15: Aspectos relacionados ao pensamento algébrico elencados para o problema 2
Professor Aspectos indicados Aspectos apenas utilizados
A ---- -Equivalência entre expressões
numéricas
B - Registros utilizados -tabela e gráfico
-Uso de linguagem algébrica para
encontrar a equivalência entre as
expressões (equivalência entre
expressões algébricas)
C - Registros utilizados – tabela
D
- Registros utilizados – gráfico
- Equivalência entre expressões
numéricas
- Equivalência entre expressões
algébricas
Fonte: Dados de pesquisa
145
4.4.3. Análise do problema 3
Nesta seção expomos as análises do terceiro problema respondido pelos
participantes, segundo as seguintes categorias de análise:
1. Se o participante já resolveu ou propôs problema desse tipo para suas turmas
(6°, 7° ou demais anos);
2. Dificuldades apresentadas pelos professores ao resolverem os problemas (falta
de compreensão da proposta, erros conceituais, erros de cálculos e etc.);
3. Propôs mais de uma construção de triângulo;
4. Reconhece que é possível construir triângulos escalenos e isósceles, mas que
não é possível a construção de triângulo equilátero para as medidas escolhidas;
5. Reconhece a generalização para as construções dos diversos casos;
6. Aponta que a propriedade da desigualdade triangular deve ser satisfeita.
Os dados referentes às primeira e terceira categorias foram colhidos a partir
das respostas dos participantes às três questões propostas sobre o problema 3, ao
final da atividade. As análises das demais categorias foram feitas conforme às
resoluções do problema pelos participantes.
O problema 3 – constante no Quadro 11; os questionamentos sobre aos quais
nos referimos são os 6 primeiros dos que constam no Quadro 12 – demandou muitas
intervenções da pesquisadora no que diz respeito às dificuldades de resolução de
alguns participantes. Foi necessário, inclusive, retomar, para um deles, a maneira de
se fazer construção de triângulos utilizando régua e compasso.
O participante B não resolveu o problema por conta do término do tempo
disponível para o encontro, tampouco respondeu as questões sobre esta atividade.
1. Se o participante já resolveu ou propôs problema desse tipo para suas turmas
(6°, 7° ou demais anos)
Os participantes A, C e D disseram nunca terem proposto questões deste tipo
para seus alunos, tampouco ter resolvido algum problema como este antes.
146
2. Dificuldades apresentadas pelos professores ao resolverem os problemas
(falta de compreensão da proposta, erros conceituais, erros de cálculos e etc.)
Participante A:
Não respondeu a nenhum dos questionamentos do enunciado do problema.
Apenas fez algumas construções, apresentadas na Figura 15:
Figura 15: Protocolo de resolução do problema 3 – Participante A
Fonte: Dados de pesquisa
Em todas as construções que fazia, o professor considerava o posicionamento
do ponto P de tal forma que OP > 4 cm, ou seja, considerava sempre o ponto P
formando, em relação ao ponto O, uma distância sempre maior que o raio da
147
circunferência de centro em O. Assim, construía um triângulo escaleno. A construção
feita na circunferência mais acima, na Figura 15, em que o segmento OP tem medida
menor que 4 cm, foi proposta pela pesquisadora a fim de que o professor pensasse
em outras localizações possíveis para o ponto P. Da mesma maneira indicamos a
possibilidade do ponto P pertencer à circunferência de centro em A, gerando, de tal
modo, o triângulo isósceles, que foi prontamente observado pelo professor, apesar de
não ter registrado.
Por sua vez, o participante C teve certa dificuldade na construção dos triângulos
utilizando régua e compasso. Registrou apenas uma construção, apresentada na
Figura 16.
Figura 16: Protocolo de resolução do problema 3 – Participante C
Fonte: Dados de pesquisa
3. Propôs mais de uma construção de triângulo
Os participantes A e D propuseram mais de uma construção de triângulos. O
primeiro deles fez apenas triângulos escalenos e teve apoio da pesquisadora para
pensar a produção de um triângulo isósceles. Já o participante D construiu, sem
auxílio, um de cada tipo.
148
4. Reconhece que é possível construir triângulos escalenos e isósceles, mas
que não é possível a construção de triângulo equilátero para as medidas escolhidas
Apenas o professor D chegou à conclusão de que não era possível a
construção de triângulo equilátero para este caso, sendo admissíveis apenas
triângulos isósceles e escalenos.
5. Reconhece a generalização para as construções dos diversos casos
Os professores A e C não registraram suas conclusões, o que pode indicar que
não generalizaram as possibilidades de construção dos triângulos isósceles ou
escalenos, segundo a proposta do problema. Este indício é maior em relação ao
professor C, já que realizou apenas a construção de um triângulo, sem anotar ou
comentar nenhum tipo de análise. Igualmente não havia, para as segunda e terceira
questões de ambos, indícios de que a generalização ocorreu.
O professor A, por exemplo, indicou, como aspecto relacionado ao ensino de
Matemática, “A construção geométrica do triângulo, usando duas circunferências”. Na
questão seguinte, na qual deveria identificar dos elementos destacados quais se
relacionam ao ensino de Álgebra, disse: “As propriedades da circunferência e as dos
triângulos”.
Uma das vertentes do pensamento algébrico proposta por Ponte, Branco e
Matos (2009, p. 11), diz respeito à análise de propriedades dos objetos matemáticos
estudados. Lins e Gimenez (1997) apontam que atividades relacionadas à
sistematização de propriedades observadas também contribuem para o
desenvolvimento do pensamento algébrico.
O professor C, por sua vez, como resposta à segunda questão sobre o
problema, afirmou: “Diversas: geometria, figuras geométricas, estudo dos triângulos.
Aspectos de coordenação motora também”. Não destacou, contudo, características
do problema, apenas conteúdos, tematizados na questão, relacionados à Geometria.
Dos “aspectos de coordenação motora” ligados especificamente à Matemática, pode-
se destacar a destreza no manuseio de instrumentos geométricos (no caso, compasso
e régua) ao realizar construções geométricas.
Quanto ao elencado na questão anterior e se podem ser relacionados ao ensino
de Álgebra, o professor disse que “Sim, pode-se elaborar uma questão no qual se
149
envolva a imagem e cálculos para análise e resolução de problemas”. Isto é um indício
de que o participante possa ter a ideia de ensino de Álgebra mais uma vez relacionada
à proposta de cálculos e não à abordagem de habilidades necessárias para a
aprendizagem de Álgebra, especificamente.
O fato dos professores A e C não terem registrado suas conclusões e não terem
pensado em uma generalização para os casos de construção, pode ter dificultado a
percepção que tiveram quanto aos elementos que gostaríamos que os professores se
atentassem, especialmente aqueles relacionados à generalização dos casos de
construção.
O participante D, por outro lado, reconheceu a variedade de possibilidade de
construções diferentes e foi o único que respondeu a alguns dos questionamentos
feitos no enunciado do problema, como mostra a Figura 17:
Figura 17: Protocolo de resolução do problema 3 – Participante D
Fonte: Dados de pesquisa
150
O professor disse que não é possível construir triângulos equiláteros, visto que
as circunferências construídas têm raios de medidas diferentes.
Na generalização dos casos, nos quais são possíveis construir um triângulo
escaleno (caso 1 na representação do professor), afirmou que P deve ser “externo à
circunferência de centro em O”. Não deixou claro se o termo “externo” se refere ao P
“não pertencer” à circunferência de centro em O, podendo 𝑂𝑃 ter medida menor que
4 cm, ou se fez referência a comprimentos desse segmento unicamente maiores que
o raio de 4 cm. Como representou apenas um caso da segunda destas possibilidades,
é mais provável que não tenha pensado na possibilidade de o ponto P ser posicionado
de uma forma na qual a medida de 𝑂𝑃 seja menor que 4 cm.
No segundo caso, observou corretamente que o triângulo obtido é isósceles
quando o ponto P, centro da circunferência de centro 2 cm, pertence à circunferência
de centro em O.
No que tange aos aspectos referentes ao ensino de Matemática, diz o seguinte:
“Que quando fazemos circunferências de raios diferentes onde um dos pontos é
externo a outra circunferência, o triângulo formado será escaleno (caso1). E se o
centro da circunferência estiver sobre outra circunferência de raio diferente o triângulo
formado será isósceles (caso 2).”
Além do mais, destacou a variedade de possibilidades para a construção de
triângulos escalenos e a unicidade de construção de triângulo isósceles. Só não se
atentou à segunda parte desta resposta que implica em: se o centro O pertencer à
circunferência de centro em P, o triângulo não pode ser formado. Portanto, neste caso
não basta que o centro de uma circunferência pertença à outra, mas que o centro P
pertença à circunferência de centro O.
6. Aponta que a propriedade da desigualdade triangular deve ser satisfeita
Apenas o professor D se atentou à observação de que a propriedade da
desigualdade triangular precisar ser respeitada para garantir a existência dos
triângulos. Em sua resposta à terceira questão, escreveu:
151
Sim. No aspecto em que a soma dos 2 lados menores do triângulo será maior que o maior lado. Caso 1: 4+2>5 Caso 2: 4+2>4 Outro aspecto importante é relacionar a confecção das circunferências com as medidas de raios diferentes. (Relato do professor D).
Apesar de perceber a variedade de possibilidades de construção de triângulos
escalenos, o professor não representou esta generalização e notou apenas uma
possibilidade em sua resposta (4+2>5). Da mesma forma, não analisou os limites do
comprimento do lado 𝑂𝑃 que possibilitasse essa construção.
4.5. Uma conversa sobre Pensamento Algébrico
Pelo pouco tempo que dispúnhamos para explorar o tema, ao propor um trabalho
que evidenciasse o desenvolvimento deste tipo de pensamento, destacamos alguns
pontos importantes acerca de definição de Pensamento Algébrico, alguns exemplos e
características, além de alguns aspectos relacionados à prática docente. Tomamos
como base para o encaminhamento da conversa com os professores as contribuições,
sobre Pensamento Algébrico, de Kaput (1999, 2000, 2000a, 2008); Blanton e Kaput
(2005); Kieran (2004, 2007); Fiorentini Miorin e Miguel (1993); Fiorentini, Fernandes e
Cristovão (2005); Ponte, Branco e Matos (2009).
Iniciamos a apresentação com algumas definições e explicações sobre
pensamento algébrico propostas por Kaput (2008), Blanton (2008) e Kieran (2004).
Ainda mais, a ideia destes autores que diz que este tipo de pensamento deve ser
desenvolvido desde o início da escolaridade da criança, tal como sugere a nova Base
Nacional Comum Curricular (BRASIL, 2017a). Percebemos que os professores
participantes não têm conhecimento do conteúdo da BNCC, também não estão
informados dos processos até sua eventual aprovação.
Nesse ínterim, discorremos acerca de como, conforme Kaput (1999), o ensino de
Álgebra que deve ser iniciado pelo conhecimento informal dos estudantes e das
capacidades linguísticas e cognitivas que possuem, e também a necessidade de haver
integração da Álgebra com outros assuntos, priorizando o sentido e a compreensão.
No que diz respeito a este ponto, procuramos organizar todo o instrumento e a
conversa com os docentes abordando a diversidade de temas matemáticos na qual a
temática do desenvolvimento do pensamento algébrico pudesse ser inserida. Além do
instrumento que haviam respondido, com três problemas relacionados às diferentes
152
áreas do conhecimento matemático (aritmética, relação funcional e geometria), também
conversamos a respeito de alguns outros exemplos relacionados à Teoria dos
Números, como exploração de regularidades em sequência de múltiplos e em critérios
de divisibilidade, números pares e ímpares, entre outros.
Para tanto, destacamos em nossa apresentação as duas formas mais comuns
de pensamento algébrico no ensino elementar, seguindo de perto Blanton e Kaput
(2005): o pensamento aritmético e o pensamento funcional generalizado, além de
suas características e de outros exemplos.
Sobre a primeira forma, o participante A compartilhou uma experiência com
turmas do sexto sobre o estudo dos números primos. Comentou que quando se quer
“provar” que um número é primo, então é preciso realizar tentativas de divisões
sucessivas desse número por fatores primos. Além disso, falou sobre a prática na qual
os alunos passam a verificar se um número é primo realizando divisões por 2
(assinalou que é um passo desnecessário se o número analisado for ímpar), 3, 5 e
etc., até chegar a uma conclusão. Segundo o professor, em um determinado momento
da atividade os alunos se dão conta que podem propor outras divisões e verificar de
uma maneira mais prática se um número é ou não primo. Assim concluiu:
Primeiro você deixa ele “sofrer” com aquele negócio [divisões sucessivas]... então faz por 2, por 3, por 5, por 7... vai chegar uma hora em que ele mesmo vai se dar conta: “Opa! Não preciso fazer tudo isso.” Por que mais ou menos ele sabe... ele vai olhar aquele... tipo... um cálculo mental... ele já vai saber esse número aqui, se eu dividir por esse vou chegar mais rápido no que eu quero saber, entendeu? E ele vai se dando conta por si só. Então a gente ensina. A gente ensina para ele como ele provar... só que você começa pelo 2... tem hora que o aluno está lá com o papel cheio de conta “Professor, (inaudível)... esse número aqui eu provei que ele é primo, mas não tem um jeito mais fácil?”... “Mas você entendeu qual é a mecânica de resolução?” Depois se der uma coisa muito fácil, também, ele não vai criar aquela curiosidade. Então você vai ensinar o começo e ele, por si só, vai chegar num jeito mais fácil dele trabalhar aquilo tudo, entendeu? Até aí, como você está colocando, é uma coisa que ele vai adquirir sozinho, se você começar a ensinar para ele só os passos. Um aluno num tempo maior, outro aluno num tempo menor, mas eles conseguem chegar no momento em que você der as ferramentas e fala as palavras corretas para ele... ele consegue chegar na resolução desse problema. (Fragmento do relato do professor A).
Esta colocação do professor, além de estar relacionada a um dos exemplos
comentados, veio no sentido de ilustrar um caso no qual, em sua visão, a situação de
ensino tem sentido ao aluno que propõem uma nova forma de resolução à proposta
inicial dada por ele.
Quando se referiu a “palavras corretas”, o professor remeteu ao uso do
vocabulário matemático utilizado pelo professor e pelo aluno. Em discussão realizada
153
no início da tarde com toda a equipe da escola, a não familiaridade do aluno com o
vocabulário matemático foi um dos pontos que os professores de Matemática
levantaram como dificultador do trabalho com o sexto ano. Segundo eles, os alunos
chegam ao Ensino Fundamental 2 sem uso adequado das terminologias matemáticas
esperadas para um estudante desse nível de ensino, o que configura um problema a
mais para aprendizagem do educando.
Apesar de o professor permitir, em suas aulas, momentos de liberdade e
exploração para que os alunos solucionem os problemas matemáticos, deixou claro que
é necessário “dar as ferramentas”, ou seja, é a ideia de que o professor ainda “ensina”
um caminho a ser trilhado. As primeiras descobertas não parecem partir do aluno.
Por conseguinte, o professor A novamente citou exemplo de atividade sobre
números primos:
Hoje eu dei um exercício para eles... p e q... eu não vou lembrar o enunciado... só que caía nessa questão... tinha lá as respostas... e deu 43. A subtração...diferença entre esses dois números... depois, então, a soma desses dois números. Então chega numa questão... vc tem um número ímpar e um número par para dar um certo número. Se você colocar impar e ímpar, o que vai dar? Se você colocar par e par, o que vai dar? Se você colocar um ímpar e um par, o que vai dar? Então você os deixa trabalharem isso... Eles vão...“Ah! É isso mesmo!”... “Então agora vocês resolvem o problema!”. Isso aí eu dei para sexto ano hoje... que eu falei p e q, mas tratando de números primos... E deixei eles quebrarem a cabeça. E aí eles chegaram. Para chegar nessas respostas aqui... essas respostas só têm números ímpares, como você faz para chegar nesses números? Quanto deve ser esses números, sendo que a subtração entre p e q dava 41, então a soma desses dois números tem que dar quanto? Ele dava o número... era 43 - 2 = 41... e a soma? A soma era 43. E eles chegaram sozinhos, eu só expliquei a teoria para eles e eles chegaram sozinhos... quer dizer, não todos os alunos, mas boa parte conseguiu enxergar isso. Daí eu propus outro exercício que eles conseguiram ver que dois números impares resulta um par, dois pares vai dar par, agora um ímpar e um par dá ímpar. Eles conseguiram enxergar essa propriedade. (Fragmento do relato do professor A).
A fala do professor estava relacionada à conversa, na qual abordamos a
importância de propor situações nas quais os alunos, para o desenvolvimento do
pensamento algébrico, pudessem elaborar justificativas para suas resoluções. Nosso
comentário sobre a fala do professor foi no sentido de questionar o aluno sobre o
porquê de dois números ímpares adicionados resultam em um número par, ou quando
se adiciona um número par a outro, ímpar, resulta em um número ímpar, deixando-
os, assim, responder ao seu modo.
Em relação ao uso da linguagem algébrica, o participante A comentou sua
experiência em uma aula, no oitavo ano, sobre produtos notáveis e que costuma
154
utilizar as regularidades do Triângulo de Pascal. Também falou sobre um tema
comum, para ele, no segundo ano do Ensino Médio, onde relaciona os produtos
notáveis aos Coeficientes Binomiais e o Binômio de Newton. Além disso, falou que
em algumas situações aborda temas considerados de anos mais avançados em
turmas mais elementares, adequando seu objetivo ao tratamento dado à temática: “Eu
ensino o que aguçar curiosidade do aluno, porque eles têm potencial de avançar
quando você mostra de outra forma para eles. Porque os produtos notáveis são
chatinhos de você explicar. Quando você apresenta o Triângulo de Pascal para eles,
eles entendem mais rápido.” (Fragmento do relato do professor A).
Na mesma ocasião, o professor D lembrou, então, da abordagem geométrica
dos produtos notáveis, relacionando medida dos lados e área de quadrados e
retângulos. Este caso exemplifica a concepção de educação algébrica que Lins e
Gimenez (2001) classificam como “letrista facilitadora” que, segundo os autores,
embora pareçam “amenizar a tragédia que tem sido o ensino-aprendizagem nas
escolas, especialmente por substituir a prática ‘letrista’41 tradicional por algo mais
agradável” (LINS e GIMENEZ, 2001, p. 107), não garantem que a passagem da
compreensão do aluno “concreto” para o “formal” seja efetivada.
Ainda sobre linguagem algébrica, o professor A comentou, acerca da percepção
das regularidades do triângulo de Pascal, o propõe tal forma para suas turmas de oitavo
ano: “Porque ele [o aluno] não trabalha com a letra em si, com as variáveis. Ele vai
trabalhar só com numeral, que é o que ele gosta. Ele vai ver aquela regularidade e
depois você pode até jogar as letras lá, mas ele não vai nem ligar muito para as letras,
ele vai pensar no numeral em si”. (Fragmento do relato do professor A).
Neste caso, o participante evidenciou que os alunos percebem a regularidade
numérica e se sentem mais à vontade em trabalhar na percepção de padrões
numéricos por “gostar” mais dos números. Na realidade, esse aluno de oitavo ano não
percebe a característica facilitadora da linguagem algébrica na representação de
padrões observados.
Ainda assim, o professor D explicou:
41 Concepção de educação algébrica proposta por Lins e Gimenez (2001), que prioriza o cálculo com letras, na qual a prática de utilizar a “sequência” – técnica (algoritmo)/prática (exercícios) – prevalece.
155
Geralmente, eu sempre brinco com eles com a questão assim... em vez de ser x com x, pensa num x... Burger [cheeseburguer]. É um cheeseburger mais outro cheeseburger... dá quanto... dá 2.... então, 2x! Então eles ficam associando com coisas reais, aí ficam mais fácil a assimilação. Porque... ah! x+x não tem sentido... daí falei mas pensa que o x é uma coisa que você gosta... cheeseburguer... um cheeseburger mais outro cheeseburger dá quanto? 2! Daí eles começaram... Ah! Então tá! Então 3 menos 1 cheeseburger então é como se tivesse três e eu como um de você: 2! E aí fica criando aquelas conexões que às vezes fazem sentido para eles do que só o x por x mesmo. (Fragmento do relato do professor D).
Isto remete à concepção de educação algébrica facilitadora, como consta em
Lins e Gimenez (2001). A ideia de relacionar o conceito tratado a situações ditas
“concretas”, remediando uma falta de compreensão e sentido das letras e gerando a
impressão de entendimento por parte dos alunos, na verdade pode prejudicar a
compreensão do assunto tratado.
O sentido que o aluno atribui à letra é determinante para seu uso. Ao ter que
recorrer a artifícios como esse, o professor está mais preocupado que o aluno opere
com os símbolos literais. Contudo, pode não estar atento à sua compreensão; aliás,
pode comprometê-la.
Booth (1995) aponta algumas dificuldades relacionadas à linguagem que a
Álgebra impõe aos estudantes. Por exemplo, utilizar a letra inicial do que se quer
representar na expressão como substituta de uma incógnita (ou variável) pode gerar
uma dificuldade de compreensão do que, por exemplo, 2x significa. Utilizando a fala
do professor, 2x (dois cheeseburgers) poderia ser compreendido como dois
cheeseburgers ou duas vezes o número de cheeseburgers.
Nestes exemplos citados, o professor pareceu se referir mais à primeira forma
de compreensão da frase 2x. Cada cheeseburgers, que seria a variável na frase do
participante, indicaria apenas um elemento e não ofereceria o sentido das diversas
possibilidades de valor que poderia ter uma variável em uma expressão algébrica.
Outro exemplo destacado pelo participante A foi o cálculo da potência, sobre o
qual, segundo os docentes, é muito comum os alunos confundirem o papel de cada
termo da potência, multiplicando a base pelo expoente. Diz, com isso, o professor A:
Mas quando você está trabalhando com potência, você não introduziu a Álgebra ainda e eles fazem confusão... ele pensa que a base multiplica pelo expoente e não quantas vezes a base vai se repetir, multiplicando por si só... por ela mesma. Então você não colocou nenhuma Álgebra...você vai colocar álgebra quando você fala da função exponencial. Aí você vai entrar com a Álgebra, mas enquanto você está falando só potência... você está falando da aritmética. (Fragmento do relato do professor A).
156
Todos os docentes concordaram com o relato do professor sobre a dificuldade
dos alunos com o cálculo da potenciação. O participante B emendou dizendo que
recorria à organização visual de seus registros, utilizando cores diferentes para indicar
base, expoente e o papel de cada termo no cálculo da potência.
A fala do participante diferencia a potenciação enquanto operação aritmética, e,
por isso, não estando relacionada à Álgebra, só sendo relacionada a esta última em
caso de outra temática, que é a função exponencial – conteúdo de Ensino Médio.
Este caso ilustra a mudança de olhar para conteúdos ditos aritméticos e que
numa perspectiva algébrica precisariam de outro foco de abordagem. O cálculo de
potência como a multiplicação sucessiva com o número de fatores iguais que o
expoente indica é uma prática aritmética, mas um novo foco de abordagem deste
mesmo assunto ao propormos, por exemplo, uma análise de regularidades no cálculo
de potências pode transformá-la em uma atividade algébrica. Por exemplo: analisar
quais unidades possíveis pode ter uma potência de base com unidade 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 ou 9 ou verificar quais unidades possíveis pode ter um quadrado perfeito cuja
base tem como unidade cada um dos dez algarismos utilizando tal informação para
estimar o cálculo de raízes quadradas.
Por conseguinte, o professor A discorreu sobre a abordagem funcional:
Você dá a tabela para eles... falando em função... você dá a tabela para ele e fala “esse aqui vai estar nesse eixo e esse vai estar nesse outro eixo”. E aí você manda ele fazer as intersecções possíveis, depois você apresenta a parte da Álgebra. Só a tabela em si e mandar ele unir os pontos onde estão as interseções... seriam os pares ordenados.... E quer saber o que dá... dali você vai falar para ele assim “Isso aqui é o quê? Por que deu uma reta? Qual a característica disso?” Aí você apresentar a função... equação, enfim. Você vai apresentar para ele nesse momento, mas deixa ele achar os pontos. Será que tem a ver isso aqui? Dali ele vai formar a função... dá para fazer assim também. (Fragmento do relato do professor A).
O professor descreveu alguns passos para a aplicação de uma atividade que
envolvia a construção da representação gráfica de um problema. Todavia, apesar de
não evidenciar cuidado com o domínio da função, que pode impedi-lo de
simplesmente “ligar os pontos”, sugeriu uma discussão sobre o tipo de gráfico obtido
quando questionou “Por que deu uma reta? Qual a característica disso?” Segundo o
NCTM (2000), esta é uma questão que o professor poderia explorar com os alunos.
Estes deveriam ser questionados sobre o padrão na localização desses pontos e se
eles podem ser ligados, já que, com números dados em uma tabela, a quantidade de
pontos é pequena.
157
A “parte da Álgebra”, a qual o professor se referiu, provavelmente é a
representação algébrica de uma função. O participante parece não relacionar ao
ensino de Álgebra a representação gráfica ou tabular de uma função, apenas sua
forma algébrica de representação.
Nesse ponto da apresentação os participantes estabeleceram relações com os
problemas resolvidos por eles em nosso instrumento com problemas do Caderno do
Aluno (material da Secretaria Estadual da Educação de São Paulo que os professores
utilizam em suas aulas). O professor A comentou de um problema em que os alunos
precisariam estabelecer a escrita algébrica da relação entre a bandeirada, um valor
fixo cobrado por um taxista, e a quilometragem percorrida por ele. Relacionou-o,
também, com o segundo problema do nosso instrumento, no qual o aluno deveria
chegar a uma expressão algébrica que descrevesse as duas opções de rentabilidade
do dinheiro de Bárbara. Sobre isso o participante C afirmou:
Acho que foi no ano retrasado... Os livros do oitavo e nono ano tinham muitos exercícios assim... de lei de formação. Contava toda uma história... aluno tinha que desenvolver a fórmula. Nesse ainda tem a tabela e ficou um pouquinho mais fácil de visualizar, no outro não. Exemplo: tem uma máquina que recebe números, qualquer número que ela recebe, ela multiplica por 3, subtrai 4... aí ela fala “Qual o resultado se caísse o número 5 nessa máquina? Resultado do 7?”, mas primeiro ele tem que raciocinar. (Fragmento do relato do professor C).
O participante destacou um tipo de problema bastante comum no início da
abordagem das relações funcionais no Ensino Fundamental 2 que é o da “Fábrica de
números”. Aí, o qual o aluno precisa seguir os passos dados pela máquina ou, em
outras abordagens, deve descobri-los e escrever a expressão algébrica que os
traduzem. Importante ressaltar que o participante advertiu que este é um tipo de
problema muito comum no material de estudo do oitavo e do nono ano. Disse,
também, que a presença da tabela facilitou a visualização dos dados no problema do
nosso instrumento, coisa que não acontece nos problemas apresentados no Caderno
do Aluno.
Não há dúvidas que o material utilizado pelo aluno pode apresentar esse tipo
de registro. Entretanto, esse tipo de organização deve ser do aluno que, por sua vez,
precisa ser estimulado pelo professor para o uso desse instrumento. A tabela foi
apresentada em nosso instrumento justamente para que o professor participante
desta pesquisa percebesse seu caráter facilitador e reconhecesse que ela pode
auxiliar o aluno na percepção de regularidades e até mesmo da relação funcional.
158
Mais uma vez, tratando da linguagem algébrica, questionamos se problemas
do tipo da Fábrica de Números, citado pelos participantes, podem ser trabalhados com
alunos. Os comentários foram os seguintes:
Participante C: Se a gente explicar bem, quando for incógnita coloca o x, e brincar um pouco. Não só o x, mas colocar a letra do nome deles, por exemplo... isso vai funcionar bastante... Participante D: Não... eu acho que nem assim... eles vão tipo... lógica, né? Lógica matemática: Coloco o 2, aparece o 6... coloco o 3... ai eles vão associando uma coisa e outra... “Então tá! Aumentou tantos números”. Acho que eles conseguem sim! Participante A: Sem mostrar a Álgebra. (Fragmento dos relatos dos participantes A, C e D).
A “lógica matemática”, a qual o professor D aludiu no exemplo citado, é a
relação proporcional na qual a variável dependente é o triplo do que corresponde a
variável independente, ou seja, uma relação funcional. Percebemos que os
participantes C e A ligaram a resolução desse tipo de problema à linguagem algébrica
e, de certa forma, condicionando o problema a ela.
Na sequência da conversa evidenciamos alguns aspectos fundamentais no
desenvolvimento do pensamento algébrico: uso de generalização para solucionar
problemas de cunho algébrico e construção de novas generalizações de processos
ou em fórmulas; elaboração de justificativas, provas e conjecturas, individualmente ou
em debate com seus pares; a importância das atividades estarem relacionadas à
percepção de uma estrutura, ao estudo de variações, à análise das relações; o uso
gradual da linguagem simbólica, que deve ser percebida pelo aluno como um
facilitador em comunicações Matemáticas.
Encerramos a nossa conversa destacando ações que o professor poderia ter
ao propor um trabalho que busque desenvolver o pensamento algébrico, tomando
como referências o que sugerem Kieran (2007), Blanton (2008) e Blanton e Kaput
(2008), como ouvir o aluno para descobrir suas dúvidas, dificuldades e descobertas;
fazer boas intervenções e boas perguntas aos estudantes; propor a exploração dos
temas tratados em espiral, ampliando a discussão a cada ano; ter cuidado na
elaboração das atividades (engenharia de atividade42); fazer uso de vários tipos de
representação dos objetos matemáticos que favoreçam a generalização; apoiar os
alunos para que se engajem no trabalho matemático a fim de identificar estruturas
42 Expressão utilizada por Blanton e Kaput (2008) para fazer referência ao processo de elaboração da atividade.
159
Matemáticas implícitas à situação em estudo; propiciar que o aluno lide com
processos fundamentais para a Matemática como registrar, recolher, representar,
organizar dados; propor discussões fundamentadas por discursos argumentativos;
proporcionar autonomia de trabalho ao aluno; confronto e comunicação de ideias.
Ao final da conversa, os professores falaram sobre a falta de interesse por parte
significativa dos alunos nas aulas como um dificultador na realização de um trabalho
desse tipo, além da falta de participação dos pais na vida escolar do aluno.
4.6. Roteiros de entrevistas
Como dito anteriormente, organizamos roteiros de entrevistas diferentes
(apresentados nos Quadros 16, 17, 18 e 19) para cada um dos quatro docentes
participantes de nossa investigação. Os roteiros foram feitos com base em suas
produções escritas e participação na apresentação sobre Pensamento Algébrico
realizadas pela pesquisadora.
Quadro 16: Roteiro de entrevista do professor A
1. Que aspectos você considera importante para o ensino de Álgebra?
2. Você já tinha ouvido falar em Pensamento Algébrico antes de nossos encontros em Junho
desse ano?
3. Você relata em uma de suas respostas que acredita que a Álgebra não é compreendida pelos
alunos por que não dominam a aritmética. Em outro momento você escreve que acredita que
a Álgebra deveria ser ensinada junto com a aritmética. Comente um pouco como seria essa
relação entre Aritmética e Álgebra.
4. Em uma das questões referentes ao problema 3, você coloca que propriedades das
circunferências e de triângulos podem auxiliar no aprendizado da Álgebra? De que maneira
isso pode acontecer?
5. Caso você propusesse problemas como os que foram apresentados no instrumento, como
você organizaria sua aula? Como seria sua atuação nessa aula?
Fonte: A pesquisadora
Em duas de suas respostas ao questionário da primeira parte de nosso
instrumento de coleta de dados, o participante A pontuou relação entre Aritmética e
Álgebra, tanto para o ensino de Álgebra, quanto para a origem das dificuldades de
160
aprendizagens dos alunos em assuntos algébricos. As questões 3 e 4 vieram no
sentido de solicitar esclarecimentos sobre a opinião do professor.
Quadro 17: Roteiro de entrevista do professor B
1. Que aspectos você considera importante para o ensino de Álgebra?
2. Você já tinha ouvido falar em Pensamento Algébrico antes de nossos encontros em junho
desse ano?
3. Em uma de suas respostas, escreveu que a Álgebra pode ser iniciada antes do 8°ano com a
resolução de equações no 7°ano. Na resolução do problema 1 apresentado, você aponta que
uma série de tratamentos algébricos podem ser feitos sem a formalidade de apresentar
variáveis por meio de letras. Isso de alguma forma pode ser um caminho para iniciar o ensino
de Álgebra mais cedo? É possível começar a ensinar Álgebra sem o uso da linguagem
algébrica?
4. Que turmas do ensino fundamental 2 você leciona esse ano? Você reconhece no material que
você utiliza em sala de aula alguma atividade relacionada à álgebra que não necessite de
linguagem algébrica para ser solucionada? Cite um exemplo.
5. Caso você propusesse problemas como os que foram apresentados no instrumento, como
você organizaria sua aula? Como seria sua atuação nessa aula?
Fonte: A pesquisadora
O professor B asseverou que o ensino de Álgebra é iniciado com resolução de
equações do 1º grau no sétimo ano e é demarcado com a presença da linguagem
algébrica. Em um dos questionamentos feitos no primeiro problema, disse que a
resolução do problema é possível sem o formalismo que essa linguagem exige. De tal
maneira, nossa intenção, ao propor o questionamento 3, foi colher mais dados sobre a
impressão que tivemos acerca de suas respostas no que tange à valorização
demasiada da linguagem algébrica na resolução de atividades de cunho algébrico.
A quarta pergunta proposta a este professor teve a intenção de saber se ele
identificava nas atividades que propõe às suas turmas ou no material utilizado, que é
organizado e distribuído pela Secretaria Estadual da Educação de São Paulo,
situações de aprendizagem de caráter algébrico que não necessariamente requerem
linguagem algébrica para serem resolvidos. Esperávamos reforçar ou refutar a
resposta dada na questão anterior, dependendo dos conteúdos e tarefas que fossem
levantadas pelo professor.
161
Quadro 18: Roteiro de entrevista do professor C
1. Que aspectos você considera importante para o ensino de Álgebra?
2. Você já tinha ouvido falar em Pensamento Algébrico antes de nossos encontros em junho
desse ano?
3. Você disse que já propôs atividades como a Atividade 1. Conte um pouco como foi essa
atividade.
4. Você considerou em uma das respostas escritas e no momento de apresentação sobre o
pensamento algébrico, realizada em junho, a tabela como um facilitador na compreensão do
problema 2. Como você acha que ela ajudaria o aluno a compreender o problema? Você
acredita que o uso dessa representação por parte do professor pode estimular o aluno a utilizá-
lo ou isso deve ficar a critério do aluno? Tem alguma outra representação nesta atividade, ou
em outra deste instrumento, que você considera que facilita também a compreensão do aluno
do assunto discutido pelo problema?
5. Caso você propusesse problemas como os que foram apresentados no instrumento, como
você organizaria sua aula? Como seria sua atuação nessa aula?
Fonte: A pesquisadora
Já o participante C foi o que menos deu indícios de identificar elementos
referentes ao desenvolvimento do Pensamento Algébrico. Em seu relato, questões
que propunham problemas com contextos cotidianos, direcionadas aos alunos,
ficaram muito explícitas. Igualmente, aquelas que intentavam desenvolver o raciocínio
lógico. Questões que, entre outras coisas, constituem jargões da Educação
Matemática. O terceiro questionamento foi proposto a fim de compreender melhor
como seria a atividade proposta pelo professor, já que em sua resposta afirmou ter
aplicado, às suas turmas, problemas como o problema 1 de nosso instrumento de
coleta de dados.
A pergunta 4 teve como objetivo obter maiores explicações sobre como o uso
de tabela pode facilitar a compreensão do aluno em problemas como o segundo de
nosso instrumento de pesquisa, já que isso foi destacado por ele tanto na
apresentação sobre Pensamento Algébrico quanto em uma de suas respostas
escritas. Aliado a isso, quisemos saber deste participante se identificava tal
representação como algo a ser estimulado pelo professor. Também almejávamos
saber se conhecia e/ou percebia outros tipos de representação que, igualmente,
poderiam potencializar as análise e compreensão da situação proposta no problema.
162
Quadro 19: Roteiro de entrevista do professor D
1. Que aspectos você considera importante para o ensino de Álgebra?
2. Você já tinha ouvido falar em Pensamento Algébrico antes de nossos encontros em junho desse
ano?
3. Você escreve que considera que o ensino de Álgebra deve ser inserido antes do 7º ano e
aprofundado nesta e nos anos subsequentes. Como isso aconteceria?
4. Você comentou no momento da apresentação e conversa sobre pensamento algébrico que foi
feita no segundo dia de aplicação do instrumento, que costuma brincar utilizando a palavra
“cheeseburguer”, que seria, no seu ponto de vista, um facilitador nas operações com termos
semelhantes em uma expressão algébrica. Pensando na letra como indicador de uma
generalização ou de uma quantidade desconhecida, você acha que o aluno consegue identificar
a diferença de coisas do tipo “2 cheeseburguers” ou “2 vezes o número de “cheeseburguers”?
Em outras palavras, você considera que o aluno apreende o sentido da letra na expressão
algébrica dessa maneira?
5. Caso você propusesse problemas como os que foram apresentados no instrumento, como você
organizaria sua aula? Como seria sua atuação nessa aula?
Fonte: A pesquisadora
O terceiro questionamento, proposto ao participante D, objetivou melhor
explicação, por parte dele, sobre se o ensino de Álgebra poderia acontecer antes do
sétimo ano – visto que havia afirmado isso, mesmo sem ter dado indícios de como
ocorreria.
A quarta pergunta questionou o participante sobre o uso da palavra
cheeseburger como substituta da letra na resolução de expressões ou equações. O
participante sugeriu que o aluno deveria considerar – e substituir – a letra como algo
que conhecesse – daí o exemplo do cheeseburger para facilitar a manipulação de
termos semelhantes na resolução de equações.
Este questionamento é baseado em Booth (1995), que debate sobre o papel das
letras na álgebra, também acerca da noção de variável e de qual forma estas ideias
contribuiriam para dificultar a aprendizagem dos alunos em álgebra. A pesquisadora
salienta que não se deve utilizar sempre a letra inicial do que queremos representar
como indicador da variável. Antes, que se escolham letras aleatórias até que os
estudantes se familiarizem com a função da letra nas expressões algébricas. Isto serve,
por exemplo, para evitar casos como: tomando b como o número de bananas, 2b seriam
duas bananas ou duas vezes o número de bananas? Trocamos, aqui, a letra b pela
163
palavra Cheeseburguer proposta pelo professor e queremos saber até que ponto ele
mesmo diferencia ambas as condições questionadas.
4.7. Entrevistas realizadas com os participantes
Após conversas via aplicativo de mensagens instantâneas, foi possível marcar
com a coordenação da escola um dia para realizarmos as entrevistas com os
professores participantes. O dia agendado foi 8 de novembro de 2017, primeiro dia de
aplicação do SARESP – que dura dois dias.
Chegando à escola, a Coordenadora Pedagógica nos recepcionou e informou
que os professores já estavam à nossa espera na sala dos professores. Entretanto,
apenas dois dos quatro participantes estavam na unidade escolar naquele momento,
por conta dos horários diversos que os professores têm na distribuição de suas
jornadas de trabalho ao longo da tarde e, em alguns casos, à noite.
Como era um dia de aplicação do SARESP, os professores não estariam em
sala de aula, fato possibilitador das entrevistas. Ao entrarmos na sala dos professores,
conversamos com os participantes presentes. Foi explicado a eles o motivo de nossa
presença na unidade escolar e que a entrevista a ser realizada seria importante para
o encerramento da pesquisa. Os dois participantes aceitaram prontamente iniciar a
conversa naquele momento. Assim, decidimos realizá-la com um professor por vez
em outra sala, já que na sala dos professores havia muitas pessoas, o que poderia
comprometer a qualidade da gravação e até mesmo deixar os participantes
intimidados ao darem suas respostas aos nossos questionamentos. Este motivo
também foi determinante para a não realização da entrevista com ambos os
professores juntos.
Conversamos inicialmente com o professor D. Em seguida, convidamos o
participante C à sala de vídeo, na qual realizávamos as entrevistas. Esta sala estava
vazia e aberta naquele momento, além de ser a próxima à sala dos professores,
motivos pelos quais foi escolhida.
Ambas as entrevistas tiveram duração de aproximadamente 30 minutos e foram
gravadas em áudio com consentimento prévio dos participantes. Prevíamos, a
princípio, uma entrevista completamente estruturada. Contudo, realizamos alguns
questionamentos adicionais conforme respostas dadas pelos participantes.
164
Em ambos os casos, os participantes relataram que não receberam o texto
enviado à Coordenação Pedagógica para que lhes fosse entregues. Isto impossibilitou
a concretização da etapa na qual os participantes realizariam a análise de suas
produções escritas baseada na leitura do texto – tal como havíamos planejado.
Por conta disso, questionaram-se ambos sobre se estariam presentes no
sábado seguinte àquela quarta-feira, dia de reposição de aulas. Caso estivessem, a
pesquisadora responsável pela aplicação do instrumento de pesquisa entregaria aos
professores um texto impresso para que, no sábado, fosse feita a etapa prevista para
revisão da produção inicial dos participantes à luz do referencial teórico apresentado
no texto. No entanto, disseram que não reporiam aula naquele dia.
Decidiu-se, então, não realizar esta etapa faltante, já que, pelo calendário
escolar, um novo encontro seria inviável. Assim, deu-se início às entrevistas.
Foram entregues, aos participantes, todas as partes do instrumento de coleta
de dados que haviam respondido nos dois momentos anteriores de coletas de dados:
caracterização, problemas e questões sobre os problemas respondidos. Deu-se um
tempo para que relessem suas respostas e relembrassem dos problemas
apresentados em nosso instrumento. As entrevistas foram iniciadas após a
rememoração deles.
Ambos pareceram muito à vontade durante a conversa. De nosso lado, tivemos
cuidado para que isso ocorresse, conversando inicialmente sobre outros assuntos
relacionados à escola e ao momento em que escola estava inserida como, por
exemplo, o SARESP e o processo de reorganização de turmas que a escola passaria.
Um projeto previa a divisão da unidade escolar em duas partes: uma seria composta
apenas pelos Ensinos Fundamental 1 e 2, enquanto a outra seria formada pelo Ensino
Médio e EJA.
Voltaríamos à Unidade Escolar no sábado, dia 11, dia de reposição de aulas,
para entrevistar os professores A e B. Na manhã de sábado recebemos a confirmação
da coordenação da escola de que o professor B estaria na Unidade para participar da
reposição, informação que até sexta-feira era incerta para a direção escolar. Ao revés,
fomos avisados de que o professor A entrara em licença prêmio e só retornaria às
atividades docentes no ano seguinte, o que impediu nosso contato com ele naquele
momento.
165
Chegando à escola no sábado, fomos recepcionados mais uma vez pela
Coordenadora Pedagógica, que nos informou que o professor estava em aula e que
conversaria conosco ao término da aula.
Neste dia, além da reposição de aulas, ocorria também, na escola, o programa
“Escola da Família” – projeto do governo estadual de São Paulo que estimula as
unidades públicas de ensino a abrirem, aos finais de semana, seus espaços para a
comunidade, visando o lazer, a cultura e a experiência de convívio.
Após alguma espera o professor B nos recepcionou em uma sala de aula. Muito
solícito, prontificou-se imediatamente a ser entrevistado por nós. Nossa conversa teve
duração total de, aproximadamente, 50 minutos. Todo o encaminhamento tomado na
entrevista dos professores C e D foi seguido igualmente neste caso: entrega dos
protocolos para leitura, consentimento do entrevistado e etc. Este professor, assim
como os demais, não recebeu da coordenação o texto que enviamos.
Tentamos entrar em contato com o professor A por e-mail, mas não obtivemos
resposta. Por isso ele não é citado nas análises das entrevistas apresentadas na
seção seguintes deste trabalho.
4.8. Análise das entrevistas
Como já mencionado, nosso objetivo com as entrevistas foi obter elementos
para análise da produção escrita dos participantes. Assim, em relação direta a isto,
apresentamos a seguir a análise das entrevistas de cada um dos participantes.
Tomamos, como ponto de partida, aqueles aspectos que consideramos careciam de
mais elementos para análise.
As entrevistas estão apresentadas nesta seção na ordem em que foram
realizadas. Para identificação da pesquisadora nas transcrições utilizamos a letra “E”.
Para indicar a fala dos professores letra “P” seguida da letra correspondente à
identificação que utilizamos para cada um. Assim, por exemplo, “PB” refere-se à fala
do Professor B.
Professor D
O que mais nos chamou a atenção neste professor foi em relação ao uso de
palavras relacionadas a objetos ou a coisas que os alunos gostam, e que, segundo
ele, ao propor a interpretação da variável em uma expressão numérica, facilitaria as
166
operações com termos semelhantes. O exemplo de uma possível substituição, dado
pelo professor no momento da apresentação sobre Pensamento Algébrico, deu-se
com a troca da letra em uma expressão pelo objeto “cheeseburger”. Com base nisso,
o terceiro questionamento foi central nessa entrevista, já que as demais perguntas
foram feitas para todos os participantes.
Para o primeiro questionamento o professor respondeu:
E: Que aspectos você considera importante para o ensino de Álgebra? PD: Associação com medidas, quantidade, proporcionalidade... é bem infinito o conceito de álgebra assim... então ele pode se relacionar...Eu acredito que quando ela se relaciona a algo do cotidiano do aluno fica muito mais prazeroso do que aquela coisa maçante em sala de aula. Mas eu acredito que para o aluno ter uma base mais sólida, essa parte conceitual é muito... é muito importante. Depois que ele tem um entendimento mais geral aí sim você pode aprofundar um pouco mais para que ele possa associar o que ele está aprendendo com a realidade.
O professor considerou, inicialmente, a importância de tematizar o ensino da
Álgebra por uma abordagem utilitária, pela qual o aluno fosse inserido no estudo desta
área do conhecimento por meio de contextos cotidianos. Ainda, destacou ser necessário
que, em algum momento posterior, a formalização de conceitos fosse realizada. De certa
maneira, o que o professor apontou não diverge do que propôs Brousseau (2010) ao
destacar que o aluno precisa descontextualizar o novo saber para que possa perceber
que o saber produzido pode ser aplicado em outras situações.
À segunda pergunta o professor disse:
E: Você já tinha ouvido falar em pensamento algébrico antes dos nossos encontros em junho? PD: Na Universidade que eu estudei, a gente fez um trabalho sobre Modelagem Matemática. O professor dava um certo problema lá e a gente tinha que adaptar esse problema a uma coisa do cotidiano do aluno. Por exemplo: Função. A gente aprende muito “f(x) é igual...” aí tem o “coeficiente angular” mais o “coeficiente linear”... então a gente usava essa teoria e colocava na prática. Então a gente poderia usar o taxímetro, com a velocidade, etc... que tem um preço fixo, depois com a distância aumentada, aumenta o valor. Então a gente pode associar um pouco da coisa teórica, né, com a coisa prática. Então, nesse aspecto eu tinha visto sim.
Aproveitando a fala do professor sobre uma situação que envolve relações
funcionais – na qual destacou a presença de elementos que ganham, em uma função,
mais destaque na abordagem de tal temática no nono ano e, especialmente, no ensino
médio –, propusemos a questão seguinte a fim de identificar se o docente considera
possível aplicar um problema que envolve relação funcional para turmas de sexto ou
sétimo anos. Tomou-se como base um exemplo dado por ele sobre um taxista que
167
cobra uma taxa fixa para iniciar uma corrida e um valor que se altera dependente da
quilometragem percorrida.
E: E aí esse tipo de problema também, falando em função, pensando mais no ensino médio... aí tem o coeficiente angular, coeficiente linear, f(x) e tudo mais... mas se a gente pegar um problema desse tipo e adaptar para um sétimo ano, sexto ano, você acha que seria possível trabalhar? PD: Sim! E: Mesmo sem a linguagem [algébrica]... mesmo sem usar o “x”... usar a letra? PD: Sim... sim! E: Pelo menos inicialmente... PD: Sim, os alunos vão entender que havendo algum valor fixo... que é a taxa... esqueci o nome dela. Sei lá... o taxímetro lá tem um valor fixo, né, e que quanto maior a distância associar ao valor cobrado em metros ou quilômetros... acho que eles entendem sim. Talvez eles não tenham assim... essa profundidade, mas eles vão entender o cálculo em si.
Kaput (1999, 2000a, 2008), Blanton e Kaput (2005), Lins e Gimenez (2001),
Ponte, Branco e Matos (2009) e Kieran (2004) destacam a Modelagem Matemática
como um dos aspectos fundamentais para o desenvolvimento do pensamento
algébrico. No mesmo sentido, o NCTM (2000) indica “Modelar e resolver problemas
contextualizados usando várias representações, como gráficos, tabelas e equações”
como uma das expectativas de aprendizagem para o período correspondente dos
sexto ao oitavo anos de Ensino Fundamental brasileiro. De tal modo, percebemos que
estas falas do professor, até esse momento da entrevista, encontram suporte nas
ideias de pesquisadores e em documentos oficiais utilizados em nossa investigação.
Prosseguindo à entrevista, chegamos à nossa questão principal:
E: Você comentou no momento da apresentação e conversa sobre pensamento algébrico que foi feita no segundo dia de aplicação do instrumento, que costuma brincar utilizando a palavra “cheeseburguer”, que seria, no seu ponto de vista, um facilitador nas operações com termos semelhantes em uma expressão algébrica. Pensando na letra como indicador de uma generalização ou de uma quantidade desconhecida, você acha que o aluno consegue identificar a diferença de coisas do tipo “2 cheeseburguers” ou “2 vezes o número de cheeseburguers? Em outras palavras, você considera que o aluno apreende o sentido da letra na expressão algébrica dessa maneira?
Como a pergunta era extensa e o professor não a compreendeu, insistimos:
168
E: Entendeu a pergunta que eu fiz? Se ele fala 2 cheeseburguers ou 2 vezes o número de cheeseburguers... vc acha que ele compreende? Estou pensando num aluno de sexto, sétimo ano. Comecinho de oitavo ano... você acha que ele consegue diferenciar essas duas “coisinhas”... que é uma diferença sutil, né? Você acha que ele consegue? PD: ... olha... E: Você já tinha pensado sobre isso? PD: Nunca! Nunca tinha pensado. Duas vezes... dois cheeseburguer... ou seja... a quantidade de cheeseburgers, duas vezes o número de cheeseburgers... nunca tinha pensado sobre isso. Mas qual a diferença?
Neste momento percebemos a real dúvida do professor: não diferenciar ambas
as situações apresentadas pela entrevistadora, ou seja, mostra confusão com relação
ao uso da variável. Procuramos, então, explicar a diferença das duas condições que
apresentamos:
E: Duas vezes o número de cheeseburguer... então se o número de cheeseburguer for 7, ou se for 14, ou se for 21, enfim, essa quantidade vai sendo variada conforme esse valor do cheeseburguer. PD: Do preço... E: Pensando no preço... PD: A quantidade. E: Na quantidade ou no valor... E: Se eu falo em 2 cheeseburguers... PD: É que eu não falei isso... acho que quem falou foi o outro professor... E: Foi você mesmo... eu gravei o áudio, mas calma... isso não é... tipo... “cobrando”! Na verdade é para colocar isso para pensar mesmo... porque é uma coisa que eu nunca tinha pensado até ler sobre. Sabe aquela coisa de usar letra... por exemplo... vou fazer uma expressão aqui... base e altura... PD: Ah! Entendi! Associar o objeto a uma letra... E: Porque não necessariamente o aluno vai pegar aquilo... a princípio... e perceber que aquela letra pode ter vários valores. Então ele pode somar 2 cheesergurguers tendo 2 cheesburguers... o problema não é o “cheesburguers”,... é que imagem ele tem desse negócio. Falando da distância “d”... será que ele entende que esse “d”, esse “cheeseburguer”, que ele pode ter vários valores... e que não necessariamente ele é “2d” [“2 dês”]... entende o que eu quero dizer? PD: Entendi! Se ele pode associar a esse “d” a qualquer outra coisa... eu posso indicar que pode ser uma distância, posso indicar que é uma quantidade de pessoas...
Aqui, nossa preocupação se deu em não indicar o questionamento como uma
“cobrança” de algo certo no ensino de Matemática e uma punição pelo docente não saber
do que estávamos falando. De fato, teve por objetivo ser indicador de um importante
aspecto que deveria ser pontuado para direcionamento do olhar do docente.
Esse questionamento teve como base Booth (1995): quando aponta que o uso
da primeira letra de objetos para identificá-los em uma expressão pode levar o aluno
ao erro de não identificar a diferença entre as expressões “2 cheesburguers” e “2
vezes o número de cheesburguers”, representadas pelo 2c. De igual modo, Booth fala
169
da importância do uso do sinal operatório no início da abordagem utilizando letras para
minimizar confusões desse tipo.
Dando continuidade à entrevista, o professor afirmou compreender a diferença
entre as duas situações apresentadas. Ainda assim, resolvemos explorar um pouco
mais a discussão:
E: Por exemplo: 2 celulares [mostro celulares na mesa]... 2C... Esse C representa 2 celulares ou 2 vezes o número de celulares? Então se a gente tem um número de celular igual a 3, a gente tem 2 vezes 3, seis. Se a gente tem um número de celular 10: duas vezes 10, vinte. E não 2 [mostro os dois celulares novamente], entende? PD: Sim! Entendi... entendi. Olha só... eu acredito o seguinte, que se eu propuser em alguma atividade diferenciando esse entendimento e eu colocar lá na lousa evidenciando essa diferença, eles conseguem captar sim, mas eu tenho que deixar claro “gente, isto aqui significa isto... e não isso aí!”. Tem que dar uma certa explanada antes para eles compreenderem o problema... acho que eles conseguem sim. Aquela letra ela pode se referir... por exemplo... o d pode se referir a 2 celulares, ou posso dizer que o d se refere a 1 celular, mas eu tenho que deixar isso claro. E: Que essa quantidade pode variar e, variando essa quantidade, aquele total varia, né? PD: Isso mesmo!
Nesta fala o professor evidenciou a necessidade de diferenciar, para os
estudantes, as duas condições discutidas. Esperamos, inclusive, que, com o tempo,
ele elabore melhor tal distinção.
Em seguida questionamos:
E: Caso você propusesse problemas como os que foram apresentados no instrumento, como você organizaria sua aula? Como seria sua atuação nessa aula? O que você acha que seria importante você prever ali... enquanto... você professor e... enquanto... alunos? O que você prevê para o seu papel ali na sala de aula e para o papel dos alunos? O que você acha que seria importante? PD: Não entendi direito... o que eu prepararia de aula? E: É... você vai propor esses problemas na sala de aula, como você organizaria? O que você acha que seria importante você organizar na sua aula com relação a você... à sua postura em aula, e a dos alunos? PD: Mas isso é minha didática na sala ou os materiais que poderia utilizar? E: Qualquer coisa! O que você quiser!
Com isto a entrevistadora quis que o professor relatasse diferentes elementos
que consideraria importante para uma aula na qual se utilizariam os problemas
apresentados em nosso instrumento de coleta de dados.
PD: Se eu fosse explicar álgebra para os alunos, primeiro, eu deveria fazer com que ele compreendesse um pouco a soma... porque é muito mais fácil... quando eu falo 1+1 o aluno compreender, 2, e, através disso eu começar a indicar x + x, 2x, mas muitas vezes eles não entendem que x + x + x... exemplo, que seria 3x, ai eu indicar uma relação... gente, x significa celular, por exemplo. Então seria um celular... o x é um celular... mais outro x... Acho
170
que assim ficaria muito mais fácil a compreensão. Por que o x em si, para muitos alunos, pode ser algo muito... E: É difícil compreender o papel desse x... dessa letra... PD: É muito vago para eles... então eles não vão ter muita noção... então assim, num primeiro instante eu teria que indicar para eles essa compreensão. E depois que eles entendessem essa compreensão, aí sim eu poderia fazer alguns problemas relacionados ao que tem aqui, para que eles pudessem pensar um pouco mais e associar as coisas... aos problemas e tudo mais. Porque se você der esse problema direto, sem uma prévia noção do básico, acho que eles teriam muita dificuldade.
A partir disso ficou mais claro porque considera importante o uso de contextos
cotidianos no início do trabalho algébrico. Está considerando apenas o que a letra
representa no contexto e não seu papel na situação apresentada ao aluno – se
indicador de generalização, incógnita, parâmetro, variável. Também não pareceu
indicar, nos exemplos dados de operações, que o “x” poderia assumir diferentes
valores possíveis. Disse apenas que, por exemplo, x+x+x=3x e não que seria o triplo
do x, ou seja, o triplo do valor inicial. Pareceu considerar que cada x fosse apenas
uma unidade de um dado elemento, impressão corroborada com o complemento da
primeira fala: “Então seria um celular... o x é um celular... mais outro x...”.
Isso enfatiza nossa impressão de que o professor precisa elaborar melhor as
conclusões que obteve na discussão proposta pela pergunta anterior de nossa
entrevista, questionamento central de nossa conversa.
A pergunta a seguir surgiu da impressão que a fala do participante nos deixou.
Segundo ele, a falta de domínio do aluno referente às manipulações algébricas é um
dificultador no que tange à resolução dos problemas apresentados em nosso
instrumento.
E: Posso só te fazer uma pergunta? Só olhando a sua resolução aqui... você em nenhum momento usou letra... você acha que eles não conseguiriam fazer esse problema, por exemplo [indico o problema 2]? PD: Ah sim! Aqui sim.
Queríamos deixar evidente ao participante que estávamos nos referindo à
aplicação dos três problemas que propusemos em nosso instrumento, fato que
pareceu não ter ficado claro para ele. Porém, acreditamos que a resposta dada,
mesmo considerando que não configurava uma resposta plenamente adequada ao
nosso questionamento, foi muito importante para compreender um pouco de como o
professor entende o ensino de Álgebra.
171
E: Porque minha pergunta é especifica com relação a esses problemas. Então, por exemplo, você chega num sexto ano... sexto e sétimo. Teoricamente eles ainda não dominam a linguagem algébrica e tal... daí você vai propor um problema desse que ele pode ser resolvido sem a linguagem algébrica... mas aí, pensando nesse sexto ano, nesse sétimo... o que você organizaria de aula, como você organizaria esses alunos, o que você acha que seria importante, o que você acha que potencializaria essa... PD: Acho que essa associação à prática, como foi feito aqui nessa atividade, fica muito mais fácil a compreensão do que algo abstrato. Apesar de que eu acho, às vezes, quando você explica algo mais simples, é mais fácil eles entenderem a lógica, e aí com o passar do exercício, você ir colocando mais dificuldade para eles poderem se “autotestarem”... melhorar cada vez mais... aprender cada vez mais. Nesse caso aqui, eu quando fiz, eu não usei o x, porque para mim estava muito óbvio que se eu colocasse valores numéricos, iria ficar muito mais fácil até a sua compreensão em relação ao tema. Eu acho também que eles poderiam fazer a mesma coisa só que no final quando eu fiz com valores numéricos, aí eu indiquei aqui que esse valor de “n” poderia ser o valor que está pedindo. E aqui também vice-versa. 4n menos o valor fixo aqui que foi dado... como aquela coisa lá do carro que eu falei... Acho que se você der algo mais simples e no passar dos próprios exemplos, complicando um pouquinho mais, estimulado pouquinho mais... fica muito mais fácil... agora, acho que você colocar de primeira vista isso, pode ter algum aluno que desenvolva e outros falam assim “olha, não sei fazer”. Se você colocar exemplo mais simples e fala “gente, agora tenta fazer isso”... acho que até com a questão de já ter visto algum exemplo parecido fica muito mais fácil a compreensão deles.
Consideramos que o professor abordou, neste caso, um importante ponto
relacionado ao desenvolvimento do pensamento algébrico. Que um mesmo tipo de
atividade seja proporcionada em diferentes momentos da escolaridade do sujeito, de
tal maneira que elementos mais elaborados sobre o assunto sejam considerados a
cada etapa e que a formalização ganhe destaque maior em cada momento.
Professor C
Cabe destacar que o professor C é o único professor que já trabalhou em outra
área, atuando em boa parte de sua carreira profissional no setor administrativo. Decidiu
optar pela carreira docente há apenas 5 anos e, como ele mesmo aponta, sua escolha
pela nova profissão se deu “por acaso”.
A entrevista com o professor C foi feita logo após o término da entrevista com
o professor D. Nela, o que mais nos chamou a atenção, com relação ao que associou
ao desenvolvimento do pensamento algébrico, foi o uso da tabela no problema 2. No
momento da apresentação sobre o pensamento algébrico, realizada no segundo dia
de coleta de dados, este professor associou o problema citado a outro, que aplica,
mas que não é apresentado com uma tabela e, segundo ele, o uso desse tipo de
registro contribui para a compreensão do problema pelo aluno.
172
Iniciamos a entrevista pela segunda pergunta, conforme solicitado pelo
entrevistado:
E: Você já tinha ouvido falar em Pensamento Algébrico antes de nossos encontros em Junho desse ano? PC: Na verdade o conceito de pensamento algébrico enfatizou depois daquela nossa reunião mesmo. Agora a faculdade ela não a ensina a introdução do pensamento algébrico, pelo menos o período que eu estudei, a formação de professor faltou um pouco desse tema… a introdução do pensamento algébrico no dia-a-dia, mas de acordo com a vivência dentro e fora da escola, o professor sabe o que é necessário. Eu acredito que eu já usava o pensamento algébrico, mas eu chamo de raciocínio lógico, que são situações que eu trago um pouquinho para dentro do dia-a-dia do aluno, mas por conta de eu ver a necessidade disso.
Com esta resposta o participante mostrou já ter conhecimento sobre
pensamento algébrico, mas que não foi adquirido em sua formação inicial.
Este foi o único dos três participantes que indicou, em nosso questionário
posterior ao problema 1, que já havia aplicado problemas semelhantes a este e o
relacionado ao desenvolvimento do raciocínio lógico. Decidimos, então, questionar
como era essa atividade que o professor relacionava ao problema 1. O próprio
professor introduziu a temática de nossa segunda pergunta em sua última frase:
E: Então você associa o raciocínio lógico ao pensamento algébrico… PC: Sim… são questões diferenciadas, que envolvem alguns conceitos matemáticos entendeu? E: Isso que eu ia perguntar para você... Porque você fala exatamente nessa atividade 1... e eu pergunto se você já propôs coisas do tipo... do tipo desse problema e você disse que sim e, enfim, relaciona isso com o raciocínio lógico... aí é minha pergunta é: Você disse que já propôs atividades como a atividade 1. Como seria uma atividade desse tipo? PC: Desafios, entendeu? Você pode contar uma estória e pedir para que os alunos estruturem aquela estória. Você pode contar uma história e dentro daquela história você pode pedir uma tabela, onde vem a soma, a subtração, porcentagem e outras informações. Porque às vezes o aluno tem aquela visão exata do conceito matemático, mas todos eles têm uma capacidade de raciocínio. Se você contar uma história, se você trabalhar de uma forma diferente, ele acaba atingindo resultado sim.
O professor relacionou atividades que propõe às suas turmas ao problema 1
de nosso instrumento por conter uma história e por conta de, no decorrer de sua
apresentação, serem solicitadas algumas análises de elementos matemáticos. Não
deu, no entanto, nenhum exemplo, também não tinha em mão nenhum material que
pudesse recorrer para auxiliar a memória. Mesmo assim, percebeu-se que tal relação
se referia mais à forma do que ao conteúdo, à proposta do problema.
Sentimos, não obstante, que faltaram alguns questionamentos a este docente:
Você considera que alguma atividade que propõe não favorece o desenvolvimento do
173
raciocínio lógico? Ou ainda: Existe algum raciocínio que não é lógico (considerando
indivíduos sem comprometimentos cognitivos)?
Concordamos com Machado (2001) quando afirma que todas as áreas do
conhecimento propiciam o desenvolvimento do raciocínio lógico, bem como o ar que
respiramos ou o alimento que ingerimos. O autor diz, ainda, que
Historicamente, em todas as épocas muitos filósofos contribuíram para corroborar a legitimidade de tal associação [matemática e desenvolvimento do pensamento lógico]. Ao pensarem o mundo, erigiram sistemas filosóficos em que os papéis desempenhados pela Matemática ou pela Lógica são absolutamente fundamentais. Platão, Aristóteles, Descartes, Leibniz, Kant são apenas alguns exemplos. Assim, se por um lado, no nível do senso comum, pensar e filosofar sempre se situaram semanticamente em zonas próximas, por outro lado a natural e frequente aproximação entre Matemática e Filosofia completa uma ponta que favorece a associação de significados entre o pensamento lato sensu43 e o pensamento matemático. Em consequência, contribui para a aceitação natural do fato de que o estudo da Matemática desenvolve a capacidade de pensar. (MACHADO, 2001, p. 75).
A entrevista, quarta questão de nosso roteiro, deu-se como se segue:
E: A minha próxima pergunta também é uma pergunta muito específica aí é sobre aquele problema 2: Você considerou em uma das respostas escritas e no momento de apresentação sobre o pensamento algébrico, realizada em junho, a tabela como um facilitador na compreensão do problema 2. Como você acha que ela ajudaria o aluno a compreender o problema? PC: Esse exercício aqui da tabela ele é quantitativo... ele envolve também análises você vai pedir uma interpretação de qual o melhor investimento. A partir do momento que você fez essa tabela, você já conduziu raciocínio do aluno. Se você desse uma questão dessa, talvez sem a tabela, eles não conseguiriam... eles teriam muita dificuldade de enxergar na resposta, mas a tabela já dá uma visão mais clara de qual seria o melhor investimento e ajuda também na tomada de decisão do aluno.
Como já exposto na análise dos problemas, a escolha do uso da tabela intentou
fazer com que os participantes indicassem o uso da representação como um elemento
que favoreceria a compreensão dos estudantes. O professor C foi o único que
destacou isto.
Decidimos, também, apresentar alguns valores específicos para serem
considerados na análise. De certa maneira, quando apresentamos tabela e alguns
valores, acabamos direcionamento o encaminhamento da resolução do aluno. Por conta
disso, aproveitamos para destacar para o professor que isto é uma escolha do docente.
Apresentar o problema com ou sem a tabela ou tabela com ou sem valores pré-
determinados fica ao critério do docente e de seu objetivo com a atividade. Tal
43 Significa “em sentido amplo”, ou seja, expressão utilizada para se indicar que determinada interpretação deve ser compreendida de maneira abrangente.
174
direcionamento pode, então, ser necessário dependendo da finalidade do professor ao
determinar as variáveis didáticas do problema. Ao relatar que problemas desse tipo foram
aplicados pela entrevistadora com e sem o uso da tabela, o professor questiona:
PC: Como você já aplicou de todas as formas, você acha que com essa montagem da tabela a condução do raciocínio não fica melhor? Eles atingiram o resultado sem a tabela? E: Atingem... atingem sem a tabela também. Mas com a tabela a riqueza da discussão é muito maior, por que ele consegue enxergar muito mais coisas... é bem interessante.
O porquê desse questionamento do professor ficou claro na sequência:
E: Você acredita que o uso dessa representação por parte do professor pode estimular o aluno a utilizá-lo ou isso deve ficar a critério do aluno? PC: Pode ajudar... acho que pode ajudar... é assim quando nós pedimos para o aluno fazer tabela, quando nós trocamos uma tabela, eu acredito que... não é que eu acredito, é por experiência mesmo... você já está ensinando a pensar, a começar, a se estruturar, a organizar o pensamento. Tanto é que eu tenho duas atividades de raciocínio lógico, que são, por exemplo, “A Lógica de Einstein”. Um já vem com a tabela e outro é só o problema... ele vai ter que pensar e estruturar a melhor forma de resolução é a tabela. Eu vejo que eles não conseguem fazer por conta de não ter essa visão de resolver algum problema por tabela... de estruturar por tabela. E: E você já tentou aplicar esse problema com a tabela? PC: No final eu sempre faço uma tabela com as oito posições, com a linha das cores, da marca... E: Mas você já tentou assim, por exemplo, “esse ano vou aplicar e vou pôr a tabela” só para ver o que acontece... você já pensou nisso? PC: Mas é... por isso que eu faço o trabalho com os dois. Um com a tabela, mostrando a necessidade de organizar o raciocínio e o outro sem a tabela...
Isto demonstra que o professor já pensou a respeito do uso da tabela em
problemas, não do tipo como aquele que apresentamos em nosso instrumento de coleta
de dados. Em outros casos, consegue perceber que é um elemento que pode auxiliar o
aluno na organização das ideias para resolução de um problema. Assim, complementa
dizendo que: “PC: Como o conceito da lógica é a mesma, então um eu trabalho sempre
com a tabela, porque o resultado é sempre o mesmo e o outro sempre com a tabela. Daí
nos ajuda a medir um pouco a importância de usar a tabela.”
Consideramos muito importante o uso da tabela como forma de organização
dos dados e da estratégia do aluno para solucionar problemas. Contudo, quando nos
referimos à situações que tematizam o desenvolvimento do pensamento algébrico, a
função desta representação vai além disso. Ela pode ser utilizada para favorecer a
percepção de padrões e construção de generalizações, como sugerem os PCN
(BRASIL, 1998) e o NCTM (2000). Este documento cita a possibilidade de
175
identificação de relações funcionais entre duas grandezas, cujos dados sejam
expressos em tabelas.
Nesse âmbito, como complemento final à terceira questão, perguntamos:
E: Tem alguma outra representação nesta atividade, ou em outra deste instrumento, que você considera que facilita também a compreensão do aluno do assunto discutido pelo problema? PC: Eu pensaria nas questões, na análise, numa tabela, um gráfico, talvez um gráfico de barras, de pizza... agora de imediato não consigo outro segmento para completar a interpretação dessa tabela, não.
Esperávamos que o professor indicasse ao menos a presença da
representação gráfica como outro facilitador da compreensão do aluno na situação
apresentada pelo problema 2. Com essa resposta evidenciou não ter compreendido
nosso questionamento.
Continuando a entrevista, realizamos a quinta pergunta de nosso roteiro, quarta
que o professor respondeu:
E: Caso você propusesse problemas como os que foram apresentados no instrumento, como você organizaria sua aula? Como seria sua atuação nessa aula? PC: Faria essa seleção mesmo, do jeito que está aqui. Usaria folhas coloridas, porque isso também prende bastante atenção e o interesse deles em fazer. E não faria grupos, mas eu faria duplas, para que eles discutissem, um ajudasse o outro no cálculo, entendeu? Faria como se fosse um trabalhinho mesmo, daria nota...
O professor foi o único a destacar a possibilidade de aplicação dessas
atividades em duplas. Tal escolha se daria para que os alunos pudessem se auxiliar
no processo de resolução dos problemas. Por outro lado, apontou dois aspectos que
não esperávamos: uso de folhas coloridas e a nota.
E: A nota por quê? Por que seria importante? PC: Porque uma questão dessa eu já avaliaria o meu aluno. Eu acho que aqui tem informações suficientes que eu poderia avaliar. Não diria que eu reprovaria, nem que seria uma nota... assim... crucial do bimestre, mas daria, sim, uma nota. Eles também, acredito que iriam gostar de ser avaliados.
Em relação ao primeiro ponto, ponderamos ser crucial a avaliação do professor
referente à atividade proposta, mas que ela possa ser feita de outra maneira, que não
mediante apenas a um conceito. Ouvir o aluno, suas estratégias e dúvidas, como
sugere Blanton (2008), para propor intervenções que potencializem o engajamento
dos estudantes nas atividades que envolvem generalização e formalização, como
apontam Blanton e Kaput (2005), ou até mesmo a análise da produção escrita dos
alunos para uma discussão posterior em sala de aula, pode proporcionar ricas
176
situações de avaliação docente da atividade. Basta determinar o caráter dessa
avaliação: se para mensurar o fazer/não fazer na atividade ou para auxiliar o professor
a ditar o ritmo do encaminhamento do trabalho.
Acreditamos, portanto, que, nas situações geradas pela promoção de
atividades como a que apresentamos em nosso instrumento de coleta de dados, a
avaliação mais pertinente a ser feita é qualitativa e não quantitativa.
No que diz respeito ao segundo aspecto, o professor complementou:
PC: Uma estratégia, também, Renata... Não sei se os outros professores usam, não sei se você também concorda, porque você é professora também, mas na matemática na lógica o uso de folhas coloridas é uma coisa impressionante. Numa das aulas de revisão, eu dei aqueles exercícios básicos: soma, subtração com dois, três números, divisão, números com vírgula... bem a base mesmo. E o resultado de quando eu apliquei na folha de sulfite branca, na folha de sulfite colorida e aquelas normais do caderno. A folha colorida estimula o interesse, a atenção de todos... não todos, mas de 90% dos alunos, inclusive aqueles que são mais desinteressados, tem maior dificuldade. Mesmo errado, eles tentam fazer... você vê aquelas coisas absurdas, mas você vê que teve o empenho do aluno. Descobri isso nos meus primeiros anos porque a dificuldade deles e a minha também era enorme, porque eu vim do ramo administrativo para a sala de aula, mas eu tinha muito problema com isso. Agora não é mais um problema. Essa estratégia me ajudava muito e ajudava os alunos... eles realmente faziam, eles realmente aprendiam.
Talvez este estímulo se dê pela percepção do aluno do zelo do professor ao
preparar, organizar e propor a atividade. O melhor aprendizado, pontuado pelo
docente, provavelmente seja fruto mais do engajamento dos estudantes na atividade
proposta do que pelo simples fato do uso de folhas coloridas.
Por fim, fizemos nosso último questionamento (que seria, como
supramencionado, a primeira de nosso roteiro):
E: Que aspectos você considera importante para o ensino de Álgebra? PC: Observa a sala que você tem e escolha a melhor forma de trabalhar com ela. Entender o contexto, como eles estão funcionando. Tenta de uma forma... não deu, você muda, adequa. Tem sala que eles são mais dinâmicos, eles cobram exercícios, eles cobram atividades. Você sabe que você pode puxar e eles vão. Agora tem sala que é copista. Tem sala que eles adoram livro para copiar, entendeu?
O professor não destacou nada voltado especificamente ao ensino de Álgebra.
Optou, ao invés disso, por dar uma resposta genérica ao que considera importante ser
levando em conta ao propor qualquer tipo de atividade para uma turma.
177
Professor B
Para este professor, além das três questões que fizemos a todos os
participantes entrevistados, propusemos mais duas, voltadas à questão do uso da
linguagem algébrica e do início de um trabalho algébrico. Ele nos pareceu relacionar
o início do ensino de álgebra às equações mais que os demais professores quando,
por exemplo, disse que o ensino de Álgebra poderia ser iniciado antes do oitavo ano
com as equações de 1º grau. Imaginamos que, por isso, ao falar de linguagem
algébrica, tal fato surgiria em algum momento em sua fala.
E: Que aspectos você considera importante para o ensino de Álgebra? PB: Parta da contextualização. Trazer aquela questão da vivência do aluno no dia-a-dia, no cotidiano, acho que fica mais tranquilo para você trabalhar Álgebra com eles. Também pode ser que ofereça algumas atividades que envolvam lógica. Também o raciocínio para que eles não fiquem só presos e possam desenvolver um lado mais abstrato também.
Mais uma vez o professor afirmou ser necessário o uso de contextos práticos
para introdução ao ensino de Álgebra:
PB: A proposta do Material que o Estado tem com situações do cotidiano para que eles possam contextualizar e a partir disso construir. Ter essa percepção do que é Álgebra e como trabalhar. Por que se você trabalhar apenas colocando lá para que ele resolva, acho que fica assim muito complicado, né?
Neste ponto de sua fala tivemos um indício mais claro daquilo ao que o
professor se referia. É provável que quando disse “se você trabalhar apenas
colocando lá para que ele resolva” estivesse fazendo referência, assim como o
professor D, à manipulação de simbolismos algébricos.
PB: Eu estava agora com um aluno do ensino médio… Até falei para ele: A Matemática é seu ferramenteiro, a gente trabalha com ferramentas para aplicarmos em outros componentes curriculares. Até falei assim: que legal, em química vocês estão estudando equação [polinomial] de primeiro grau. quando cheguei lá que troquei apenas uma variável :”Ah não!”... aí falei: “Tá vendo, só porque mudei uma letra, já fica difícil, vocês estão usando Álgebra sem ter ideia, né? E se fosse na Física essa letra poderia ser outra… poderia ser o s, o v, aceleração, pode ser qualquer um”... eles pararam e ficaram assim… É que na realidade eles acabam não conseguindo associar. Quando você sai de uma matéria para outra, eles esquecem… agora mudou letra, mudou nome. Aqui você poderia calcular o número de átomos, poderia ser aqui uma variação de espaço, velocidade, tempo. Então, assim, eu acho que mesmo você contextualizando, partindo de uma situação cotidiana deles, você percebe um pouco da forma de você montar a lógica, por assim dizer. Acho que tem que partir por aí… não seria outro caminho…
Segundo seu relato, os alunos têm dificuldade em usar seus conhecimentos
algébricos em outras áreas do conhecimento, como a Física e Química. O
178
desenvolvimento do pensamento algébrico tem como objetivo, também, proporcionar a
não ocorrência dessa dificuldade, pois, assim como o NCTM (2000) afirma, a Álgebra é
um ramo cujos métodos e ideias dão suporte ao trabalho matemático em diferentes áreas
do conhecimento. O trabalho matemático precisa, então, acontecer no sentido de
extinguir essas barreiras disciplinares, frutos provavelmente de um ensino segmentado.
E: Você já tinha ouvido falar em Pensamento Algébrico antes de nossos encontros em junho desse ano? PB: Para falar a verdade, depois daquele… eu me recordo de alguns encontros que eu fui, mas era coisa… algo de orientação técnica, ou até mesmo de divulgação por editoras, que iriam apresentar material. Nós tínhamos, mas era coisa muito rápida. Mas eu já tinha… depois eu comecei a ouvir… [inaudível] fui buscando... você vai retomando… eu já vi, inclusive eu lembro estava na PUC uma vez fazendo curso de férias e nós tínhamos umas coisas assim. Eu me recordo de uma das oficinas de ter feito algo assim.
A partir de seu relato, podemos inferir que a temática do Pensamento Algébrico
não configurou uma novidade. Já havia tido contado, ao longo de sua carreira, com
essa discussão em momentos de formação e divulgações de editoras.
Na sequência questionamos em quais turmas o professor lecionara em 2017 e,
também, perguntamos acerca de assuntos relacionados ao uso da linguagem
algébrica no início do trabalho algébrico em sala de aula.
E: Que turmas do ensino fundamental 2 você leciona esse ano? PB: 2ª série do Médio e 7º do fundamental. E: Você reconhece no material que você utiliza em sala de aula alguma atividade relacionada à álgebra que não necessite de linguagem algébrica para ser solucionada? PB: Para falar a verdade, eu até trabalho com eles que não precisam… eu estou trabalhando com os alunos a parte de proporcionalidade com eles, né? E quando você introduz, você praticamente não trabalha com as variáveis para saber o que você está procurando ali. Você começa a trabalhar mais com as operações mesmo. Com a parte de entender a lógica, o que está... sem colocar uma letra. De vez em quando eu coloco para eles… vocês procuram isso… agora vou tirar e vocês vão resolver sem as letras… essa parte eu acho que dá para trabalhar assim que não tem essa necessidade, tanto que nós estávamos fazendo com o método duplex44, que nós passamos… depois falei agora nós vamos aplicar isso aí com a matemática, fazer o cálculo, né? Por que vocês não vão precisar usar letras, então quando você tem três valores e você precisa de um outro aqui, você tem uma variável, né? De vez em quando eu coloco uma letra.
A fala do professor corrobora o que Aguiar (2014) relata em sua pesquisa. Os
Cadernos elaborados pela Secretaria de Educação do Estado de São Paulo buscam
44 Explicado adiante na entrevista.
179
uma relação entre a linguagem algébrica com a língua corrente (linguagem retórica).
O professor, por sua vez, relatou seguir a mesma orientação do material.
A pesquisadora destacou, ainda, que este material apresenta três caminhos
condutores do ensino de Álgebra dentre os quais, um deles, é o uso da ideia de
proporcionalidade como mote para introduzir o conceito de função. Esta abordagem da
proporcionalidade é enfatizada, também, pelos documentos curriculares brasileiros
destacados nessa pesquisa: PCN (BRASIL, 1998) e BNCC (BRASIL, 2017a).
PB: Até as equações... até com o ensino médio eu retomei as questões de se trabalhar porque vai para o outro lado e o sinal no outro membro fica menos ou fica mais … você brinca com as palavras “você vai tirar daqui, depois você vai ter que tirar de lá também para compensar essa equivalência. Aí eu falo assim “depois que vocês aprendem isso daqui, nós vamos usar alguns “atalhos”. E aí subtende-se que você já tenha se apropriado disso, quando não, eu vou formalizar os caminhos: esse caminho fica mais longo, mas quando se apropria, o atalho fica uma coisa mais enxuta… ali… a resolução toda.
O professor enfatizou, neste ponto, que utilizava a ideia de equação como uma
equivalência e, como tal, retomava a resolução pelas operações realizadas nos dois
membros da igualdade e que a frase “passa para o outro lado e inverte o sinal” não
existe, mas seria apenas uma abreviação de todo um processo de resolução.
O tratamento da equação como uma equivalência não se resume às
manipulações algébricas. Kieran (2004) afirma sua importância quando enfatiza que
devem ser proporcionadas situações em que sejam feitas comparações entre
expressões de equivalência com base em propriedades ao invés de avaliação
numérica. Fiorentini, Fernandes e Cristovão (2005) destacam ser importante a
interpretação de uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou entre duas
expressões numéricas. Em relação aos documentos curriculares, o BNCC (BRASIL,
2017a), aponta a equivalência como uma das ideias fundamentais relacionadas à
Álgebra, o NCTM (2000) garante, como expectativa para o período do 6º ao 8º ano do
ensino fundamental brasileiro, reconhecer e gerar formas equivalente para expressões
algébricas simples. Cruz (2016), por sua vez, diz, em sua investigação, uma abordagem
que trata a igualdade como equivalência. Apresenta, além disso, avanços nessa
concepção já para alunos mais novos (7º ano).
PB: Por que a dificuldade que eles têm mesmo é quando ele veem a letra no meio do caminho. Sistema linear, mesmo... equações lineares... quando passa uma equação. Eu até achei que fosse mais simples, mas quando eu começo a falar para um “olha, um mais o outro tem que dar esse... perceberam que tem uma infinidade de possibilidades, né?” Só que quando
180
você coloca um valor e a partir daquele, você me dizer o outro... até fala assim... “Ó, professor, isso aqui vai dar 5!”... um mais 5 dá seis, então beleza! Nós vamos mostrar através da nossa equação como você chegou ao 5... você formalizar, né? Aí entra naquela questão... você subtrai um daqui, tem que subtrair um de lá... ai é onde eles começam a sentir a dificuldade. É a mesma coisa se você trabalhar números negativos. Nós trabalhamos com números naturais, positivos. Quando você sentir a necessidade de fracionar (inaudível), aí você começa registrar isso, vem as dificuldades... “o que vou fazer agora?”.. tanto é que você acaba somando tudo e esquece de subtrair... ou subtrai, mas esquece que existe um sinal que você considere dos valores, né? Então assim é uma dificuldade que eles veem no caminho. Quando você consegue tirar a coisa vai fluindo, mas nem sempre você vai conseguir tirar... você vai ter que deixar
O professor assevera serem importantes obstáculos epistemológicos do ensino
de Matemática. Pontos do currículo nos quais o professor precisa ter consciência e
que provocam rupturas em conteúdos provavelmente já estabilizados, mas que
desestabilizam os saberes dos estudantes: “PB: E eu vejo hoje no ensino médio, e
até falei com a professora, a atividade que eu fiz com o ensino fundamental, eles
conseguiram ter um resultado melhor que os do ensino médio.”
O participante B compartilha conosco esta triste constatação. Aplicou a mesma
atividade em suas turmas de sétimo ano do Ensino Fundamental e segundo ano do
Ensino Médio. Percebeu, contudo, melhor resultado obtido por seus alunos do Ensino
Fundamental. Por conta disso, está fazendo retomadas dos conteúdos e aproveitando as
aulas de reposição aos sábados para propor revisões aos alunos do Ensino Médio.
Na continuação da entrevista fizemos a seguinte pergunta:
E: Em uma de suas respostas, escreveu que a Álgebra pode ser iniciada antes do 8° ano com a resolução de equações no 7°ano. Na resolução do problema 1 apresentado, você aponta que uma série de tratamentos algébricos podem ser feitos sem a formalidade de apresentar variáveis por meio de letras. Isso de alguma forma pode ser um caminho para iniciar o ensino de Álgebra mais cedo? É possível começar a ensinar Álgebra sem o uso da linguagem algébrica? PB: Você pode introduzir de uma forma mais leve, vamos falar assim. Por que querendo ou não ela já faz parte. Até agora se voê chegar numa criança de sexto ano, você vai falar... colocar letra, ele não tem essa percepção, mas se você brincar do “desconhecido” para eles, do advinha, você sempre tem uma incógnita ali, daí você mudar aquele símbolo, que ele pode ter várias formas... dá para você já começar a ensinar...a introduzir. Tanto é no sétimo ano, que eu estou trabalhando com essas equações, nós já começamos a trabalhar de forma mais leve. De vez em quando eu mostro para eles... ai depois eu mudo “façam isso daqui assim”, “nossa, que legal”... “´é a mesma coisa!” Então dá para fazer, dá porque eles são curiosos nessa parte. Fui ensinar proporcionalidade e entrei numa questão da Física... eu até “viajei” um pouco, né, achando que eles estavam tendo aula de Física em Ciências [...] calma... calma... só daqui dois anos, então quando vocês chegarem lá... E: Dá para a gente pegar os contextos... PB: Então, quando eu comecei... não vou ficar aqui no básico... então a gente vai levando o que significa velocidade, tempo, espaço, através de uma placa na rodovia, o que significa, vão ler diferente agora o que significa...
181
Então dá para você fazer mesmo isso. Então, como eu falei, o material que veio para o fundamental, é gostoso de se trabalhar. É claro que precisa de umas deficiências, precisa ser ajustado em algumas coisas, mas ele começa a introduzir de uma forma mais... não pesada... essa parte.
O professor B foi o único dos participantes a relatar já ter lecionado outra
disciplina no ensino básico – no caso, Física para o Ensino Médio. Isto possivelmente
facilitava-lhe a utilização de contextos desta área do conhecimento nas aulas de
Matemática.
E: Caso você propusesse problemas como os que foram apresentados no instrumento, como você organizaria sua aula? Como seria sua atuação nessa aula? PB: Quando eu estava com esse material, seria até legal... eu saí até pensando, forma de você levar o material, uma proposta de se trabalhar... acho que até “prenderia” um pouquinho mais os alunos. Acho que a ideia é você levar isso daqui, como eu falei, você partindo de um contexto, no qual aqui estão inseridos, e a partir disso você começar a propor essa forma de raciocínio, de lógica em cima de um problema que foi colocado para eles, como usei aquele caso do duplex. Eles gostaram... no começo tiveram uma dificuldade... “como que seria isso daqui?” Porque no começo você prepara de um jeito... E: Como é essa questão [do “duplex”]? PB: Aí você começa com uma palavra, você tem que construir uma outra, só que você só pode trocar uma letra por vez... então nós pegamos lá do “ouro” e chegamos no “lixo”, saímos da “lua” e chegamos no “mar”... então eram 5 passagens até chegar lá. Então eles no começo ficaram... alguns começaram a achar legal, depois ficaram um pouco, assim, perdidos, porque eles queriam de certa forma, acharam que existia uma “verdade” ali, uma forma de engessar para chegar lá e eu deixei um pouco e depois falei assim “gente, não existe isso daqui”... aí fui e fiz uma sequência com eles, pegando fragmentos da sala. Depois apaguei e fiz uma outra, aí peguei e juntei o que tínhamos feito e fiz uma outra em cima delas e perguntei “Vocês perceberam aqui que não existe uma única forma de chegar ao que está sendo proposto? Você tem várias possibilidades!”
O professor pareceu indicar que procurava proporcionar aos seus alunos
discussões sobre diferentes maneiras de resolução dos problemas e valorização das
estratégias próprias:
PB: Quando eu levei depois para eles esse mesmo processo, como no caso, para você trabalhar com a proporcionalidade, para eles entenderem... tanto que a proposta para o aluno identificar o que era uma grandeza inversamente ou diretamente proporcional, estava antes... eu fiz o contrário: eu quero que vocês façam primeiro a resolução, a análise e, em cima disso, começar a fazer a interpretação do que são essas grandezas e quem se relaciona com quem para poder responder isso. [...] Eles começaram a fazer essa identificação. Agora vamos fazer o que vocês entendem como grandezas inversamente e diretamente proporcionais e quem é quem aí... “Ah! Essa é diretamente proporcional”... então por que é diretamente proporcional? Aí eles vão ter que me dizer, porque não basta falar. Vamos checar aqueles dois caminhos... validar a sua resposta e a dele também, né?
182
Ele compartilhou, então, uma situação de aprendizagem em que fez a
institucionalização sobre grandezas inversa e diretamente proporcionais, depois que
os alunos exploraram situações e perceberam diferenças entre ambas as relações
proporcionais.
PB: Talvez eu fizesse dessa parte... claro eu teria que pegar aqui o exercício, estudar mais um pouco, porque às vezes você tem uma ideia, mas quando chega na hora “Opa, acho que o que eu pensei não foi legal, tenho que repensar”... muitas vezes você até aplicar numa sala aquela proposta, mas aí você “Puxa, não ficou legal... não deu certo”, e aí quando chega na outra, vou tomar um caminho diferente, aí você vê que dá certo”. [...] Você tem pegar ali, sentir mesmo, conhecer quem é a turma... as turmas que eu tenho, como eu posso fazer, porque eu sempre fiz as minhas aulas assim... eu ia caminhar, ficava duas horas no parque caminhando e ali ficava buscando ideia, depois que eu chegava, registrava “É assim que vai sair!” [...] Então eu sempre repenso, posso levar uma proposta e de repente olhar “Falhou! Não deu certo isso aqui”... Eu seguiria essa linha, né? Colocar de uma forma mais leve, porque o aluno tem que se sentir à vontade, por se ele chegar... ele se engessou ali, no início ele ficar parado, daí pronto! Aí você não tem condições de seguir com ele.
Destacou importantes aspectos: necessidade de o professor dominar a
atividade que propõe e as potencialidades didáticas que pode oferecer. Além disso,
conhecer bem as características das turmas em que irá aplicá-la, a fim de pensar em
estratégias que favoreçam o bom desenvolvimento da atividade. Por conta disso, o
professor avaliou que deveria pensar mais a respeito dos problemas para criar
estratégias para aplicação dos mesmos.
Como salientamos anteriormente, ao propormos essa questão esperávamos que
os professores elencassem alguns aspectos que considerariam importantes serem
destacados. Contudo, não esperávamos análises criteriosas ou planos de aula
complexos, justamente porque acreditávamos que as atividades escolhidas teriam, por
um lado, um caráter desconhecido dos docentes e, por outro, por conta do pouco tempo
de contado com as atividades. Nesse âmbito, o professor complementou:
PB: Uma vez... em 2010, eu estava com uma oitava série de manhã, no começo do ano e você começa a revisar, aí coloquei uma situação com inequação.... o pessoal torceu o nariz, mas eu falei assim “vocês sabem fazer” e propus uma situação para eles, só que cada um vai resolver do jeito que entender. Eles foram para a lousa para cada um colocar a resolução que fez, depois fui mostrar que todos estavam iguais. Uns fizeram de uma forma mais formal, usando o x, quem não queria usar o x, usou a letra que que quisesse e quem não quis usar a letra, fez tudo sem usar as letras para fazer.... falando assim. Aí fui mostrar que todos eles sabiam fazer e depois onde não tinha letra eu fui acrescentando aí eles perceberam que estava igualzinho... e aqueles que tinha [letra] eu fui tirando... veja só “como vocês não sabem fazer?” A questão é vocês saírem do “gesso” ... só isso.
183
E: ... e não achar que só tem um jeito... acho que isso é muito cultural na Matemática.... de ter uma forma e aquela é a forma de se resolver as coisas. Ainda é muito forte isso, infelizmente. PB: Tem coisas que eu falo para eles... vocês não vão conseguir fazer sem uma formalização... facilita. Você pode fazer muita coisa sem essa formalização, outras você vai conseguir fazer, só que vai demorar muito mais tempo. Agora quando você também se apropria desse pensamento algébrico, ele consegue formalizar, você vai ter uma facilidade maior para resolver problemas mais complexos... sistema linear, por exemplo. Quando você conhece as possibilidades de caminho para chegar a uma solução pedida, você já tem uma grande vantagem, só que para você chegar lá, você precisa de um tempo maior para trabalhar com eles, ter essa percepção, desde conhecer uma equação linear, saber quem são aqueles valores, as suas incógnitas, até você chegar numa equação maior. Aí depois que você ensinou isso daqui, você tem as possibilidades de caminhos para chegar à solução pedida para isso daqui, e é claro que você tem que deixar aberto, cada um vai fazer da forma que sentir mais a vontade. Se você conseguir fazer por outro método que eu ainda não consegui enxergar, beleza... depois você até me explica também que eu vou querer saber.
A formalização a que o professor se referiu parece estar relacionada ao uso da
linguagem algébrica, especialmente quando destacou a facilidade que o uso de uma
“formalização”, segundo suas palavras, para a resolução de problemas mais
complexos.
A formalização propriamente dita vai para além disso. Ela acontece utilizando
ou não linguagem algébrica. Para Kaput (1999, 2000a), o raciocínio algébrico seria
uma combinação de cinco formas de raciocínio inter-relacionadas, dentre as quais
destaca a Álgebra como generalização e formalização de padrões e restrições.
Blanton e Kaput (2005) também destacam a formalização como o foco do trabalho
algébrico ao proporem, por exemplo, formalização de generalizações a partir da
aritmética ou até mesmo da modelagem. Quanto à generalização, Kaput (1999,
2000a) ressalta, ainda, o trabalho em longo prazo, que envolve generalização e sua
expressão usando linguagens que vão se tornando cada vez mais formais. Blanton e
Kaput (2005) indicam que o uso de generalização para solucionar problemas de cunho
algébrico é um dos elementos fundamentais para que o aluno raciocine
algebricamente. Além do mais, Kaput (2008) considera dois aspectos centrais do
raciocínio algébrico. O primeiro deles é a generalização e a sua expressão gradual
em sistemas de símbolos convencionais. O seguindo corresponde ao raciocínio e à
ação sintaticamente orientados sobre as generalizações expressas em sistemas de
símbolos organizados. Kieran (2004) afirma que o pensamento algébrico admite
formas de pensar que não são exclusivas da Álgebra, como o ato de generalizar.
Fiorentini, Miorin e Miguel (1993) destacam três importantes etapas para uma
abordagem que pode proporcionar o desenvolvimento do pensamento algébrico,
184
segundo a quarta concepção de Educação Algébrica que propõem. Destas três
etapas, duas fazem referência à generalização: na primeira etapa problematizam-se
situações normalmente consideradas como aritméticas ou geométricas que
demandam a construção de generalizações, a representação de número generalizado
ou de grandezas incógnitas e variáveis; a seguinte se refere ao uso dos raciocínios
dedutivo e indutivo, com especial destaque às relações e generalizações. Ponte,
Branco e Matos (2009) também ressaltam a generalização como um dos aspectos
centrais do pensamento algébrico, compondo a segunda das três vertentes que
propõem para o desenvolvimento do pensamento algébrico.
4.9. Análise da produção escrita e da participação de cada professor
Nesta seção faremos análise sobre a participação de cada um dos professores
durante todo o percurso de aplicação de nosso instrumento de pesquisa. Tomamos
como base para nossas análises, aspectos relacionados à participação oral dos
professores, tanto as relativas ao momento no qual ocorreu a apresentação sobre
pensamento algébrico quanto nas entrevistas.
Consideramos, também, as respostas dos participantes aos questionamentos
propostos na primeira parte de nosso instrumento, apresentados nos Quadros 7 e 12.
Tivemos o intuito de captar elementos que contribuíssem com nossa análise acerca de
como os professores entendem o ensino de álgebra e o que eles sabem sobre
pensamento algébrico e de relações que estabeleceram entre os três problemas
presentes em nosso instrumento de coleta de dados. Elas são amplas justamente para
não direcionar e condicionar as respostas dos professores para elementos
determinados ou para aqueles que esperávamos que fossem citados. Gostaríamos que
os participantes estivessem, igualmente, livres para responder o que de fato seus
pensamentos remetessem ao refletir sobre o ensino de álgebra e, da mesma forma, ao
questionarmos o que compreendiam sobre o Pensamento Algébrico. Esperávamos
sinceridade por parte dos professores, que deixassem claro se conheciam ou não.
Ao contrário do que Silva Júnior (2016) constatou em sua pesquisa, que o
ensino de álgebra seria um início precoce do estudo nessa área da Matemática para
os professores participantes de sua investigação, nenhum dos participantes de nossa
pesquisa declarou que tal ensino, nos sexto ou sétimo anos do Ensino Fundamental,
atrapalharia a aprendizagem do aluno.
185
Os professores B, C e D, segundo o que pudemos observar a partir da análise
dos protocolos e durante as entrevistas, já tinham conhecimentos sobre o que
significava o Pensamento Algébrico antes da realização de nossa investigação. Tanto
por suas formações iniciais quanto por meio de formações continuadas, já haviam
tomado contato com o tema.
Porém consideramos que os indícios destacados pelos participantes são
insuficientes para considerar que de fato sabem o que é Pensamento Algébrico, pelo
número restrito de aspectos que destacaram nas atividades que propusemos em
nosso instrumento de coleta de dados e pela valorização demasiada do uso da
linguagem algébrica, observada, em especial, nos momentos da apresentação sobre
Pensamento Algébrico e entrevistas.
Apenas um dos professores participantes na pesquisa de Silva Júnior
relacionou o Pensamento Algébrico à ideia de generalização, aspecto central no
desenvolvimento do pensamento algébrico segundo Kaput (2008), Blanton (2008) e
Ponte, Branco, Matos (2009). Em nosso caso, nenhum dos professores participantes
destacou a generalização como um elemento presente nos problemas apresentados
ou em situações que costumam tematizar em sala de aula.
Mais uma vez enfatizando o que Silva Junior (2016) identificou em sua
pesquisa, a ideologia predominante nos indicadores analisados é o objetismo: ideia
de apresentar aplicações dos conteúdos estudados. Este discurso prevaleceu não
apenas dentre os participantes de nossa investigação, mas, igualmente, nas
concepções da coordenação e da direção da escola. Tal percepção foi enfatizada na
reunião da qual participamos no segundo dia de aplicação da pesquisa, na qual os
professores deveriam pensar em ações visando a melhoria do ensino, com foco
especial no ensino de Matemática. Os momentos previstos pela aplicação de nosso
instrumento de pesquisa e apresentação sobre pensamento algébrico entrará,
segundo a coordenadora da escola, como uma das ações realizadas neste sentido.
Estas ações farão parte do MMR (Método de Melhoria de Resultado).
Assim como Américo (2016) ressalta, os participantes de nossa investigação
também se mostraram bastante interessados em ter mais momentos como os que
tiveram nos primeiros dias de aplicação de nosso instrumento de coleta de dados.
Períodos nos quais os professores de Matemática da escola se reúnam para tratar de
assuntos referentes à Matemática e seu ensino e aprendizagem. Sentem falta de
186
oportunidades deste tipo, já que as suas respectivas jornadas de trabalho não
permitem, muitas vezes, que se reúnam sequer em ATPC.
Participante A
Este professor foi, do grupo, o que mais ativamente participou. Compartilhou
conosco muitos casos sobre sua prática. Porém, avisou no início do nosso primeiro
encontro: “Não gosto de escrever”. E de fato deu as respostas mais objetivas do grupo,
o que impossibilitou, em alguns momentos, compreender as relações que estabeleceu.
Comentou, diversas vezes, que favorecia que o aluno utilizasse estratégias
próprias, que deixava os alunos livres para explorarem as atividades que
proporcionava. Isto corrobora com os resultados da pesquisa de Silva Junior (2016),
ao apontar que a valorização de estratégias diferentes é muito presente nos relatos
dos professores participantes de sua investigação.
Por outro lado, o professor A mostrou-se relutante em abrir mão de sua
estratégia, no primeiro problema, ao considerar que a obrigatoriedade de subtrair a
dezena na questão 4 (Quadro 8) induzia a uma resolução equivocada da questão.
Talvez por falta de conhecimento no tipo de problema apresentado, acreditou
que a proposta do problema estava errada e que sua estratégia estava correta,
seguindo com ela até o final da primeira atividade. Mesmo reconhecendo sua falta de
praticidade em determinado momento, não se mostrou aberto para tentar
compreender qual a proposta do método apresentado no problema – em momento
algum de sua resolução.
Em relação às questões destinadas a coletar dados – acerca de como os
participantes compreendiam o ensino de Álgebra e o que sabiam sobre Pensamento
Algébrico –, que foram propostas na primeira parte do nosso instrumento de pesquisa,
o participante A respondeu o seguinte: “A álgebra é importante e não compreendida
pelos alunos, pois não dominam a aritmética”. Sem maiores detalhes explicitados pelo
participante, compreendemos que o mesmo pôde se referir ao ensino de aritmética
como anterior e base para o ensino de Álgebra, contradizendo o que Lins e Gimenez
(2001) dizem a respeito, isto é, que o ensino dessas duas importantes áreas da
Matemática deve caminhar lado a lado.
O participante A destacou que Álgebra deve ser ensinada “junto com a
aritmética”, não explicando como essa relação poderia ocorrer. Este seria nosso foco
na entrevista com este participante, caso tivesse acontecido.
187
Do mesmo modo, não registrou o que, para ele, seria Pensamento Algébrico.
Acreditamos que isso tenha ocorrido porque provavelmente o participante não se
deteve a responder à questão por falta de conhecimento sobre o tema, querendo
iniciar rapidamente a resoluções dos problemas propostos em nosso instrumento de
coleta de dados.
Participante B
Este foi o participante mais experiente do grupo, com 18 anos de carreira e o
único que já lecionou outra disciplina, no caso, Física. Foi, também, o que mais
demorou em responder os problemas e questões que propusemos, especialmente o
problema 1 e, por conta disso e do nosso pouco tempo disponível, não conseguiu
responder todo o instrumento de pesquisa, resolvendo apenas os problemas 1 e 2.
Mesmo assim, foi o único que compreendeu de fato a proposta de cálculo da
personagem do problema 1. Isto possibilitou que suas respostas fossem as mais
pertinentes às perguntas realizadas sobre este problema.
No que tange aos questionamentos da primeira parte de nosso instrumento, na
primeira questão “O que você considera importante no ensino de Álgebra (aspectos
matemáticos e didáticos)?”, o participante B disse que “A álgebra tem grande
importância no ensino da Matemática por facilitar o cálculo...”. No entanto, não
evidenciou a validade de sua assertiva. Ainda assim, podemos conjecturar: referia-se,
talvez, aos transformismos algébricos.
Ainda em relação a essa pergunta, o professor disse que “[a Álgebra] está
presente no cotidiano e a partir dela podemos iniciar a problematização para a sua
compreensão”.
Ao questionarmos: “Você considera que o ensino de Álgebra pode ser iniciado
antes do 8º ano? De que maneira? Comente um pouco sobre sua opinião”, respondeu
de maneira direta algo semelhante ao que esperávamos no sentido de destacar que o
ensino de álgebra ocorreria com a introdução da linguagem algébrica. Escreveu, então:
“Sim, no sétimo ano pode ser iniciado com as equações de 1º grau”.
Para a questão “O que você entende por “Pensamento Algébrico”? Escreva um
pouco sobre o que sabe sobre isso e de que maneira pode, ou não, contribuir para o
aprendizado dos alunos em Álgebra”, respondeu o seguinte: “Quando temos situações
que envolvem valores desconhecidos a álgebra nos ajuda e muito, pois quando
resolvemos a situação proposta de forma ‘genérica’ sem valores absolutos e, essa,
188
resolução nos permite aplicá-la em futuras necessidades semelhantes também nos
permite organizar o nosso pensamento em relação aos cálculos que procuramos”.
Nesta resposta está implícita a ideia de equação quando o professor diz
“situações que envolvem valores desconhecidos”. Afirmou, ainda, na questão anterior,
que o ensino de Álgebra pode ser iniciado antes do 8º ano a partir do estudo de
equações do primeiro grau. Percebemos de maneira muito presente nas respostas
dele a ideia da Álgebra relacionada à linguagem algébrica, referindo-se especialmente
às equações.
Silva (2007) constatou que os professores reconhecem que o ensino da álgebra
é iniciado em equações ou expressões algébricas e que o pensamento algébrico é
tematizado a partir desses conteúdos. Esta assertiva é corroborada pela resposta dada
pelo professor B. E percebemos este fato nas respostas do participante B. Silva Junior
(2016) verificou que uma concepção de Álgebra muito presente nas respostas dos
professores é que o ensino de Álgebra está baseado na manipulação de símbolos, e
também como técnicas e ferramentas para resolver um problema.
Talvez, por essa ligação da Álgebra com linguagem algébrica ser tão presente
em suas respostas, foi o único participante a destacar que o problema 1 foi possível
de ser solucionado, destacando uma série de manipulações que foram feitas no
decorrer da atividade sem a formalidade que a linguagem algébrica exige.
Porém, em nossa entrevista, ressaltou que, para ele, a linguagem algébrica não
seria essencial no início de um trabalho algébrico e que costumava tematizar isso com
seus alunos, evidenciando a equivalência entre resoluções que usam esse tipo de
linguagem e aquelas que não a utilizam. Considera que a formalização é essencial
como facilitador de cálculo e resolução de situações mais complexas, mas que ela faz
parte de um processo anterior de desenvolvimento do pensamento algébrico.
Participante C
Este é o menos experiente dos participantes. Tem o mesmo tempo de carreira
docente que o professor D (5 anos), mas ainda não é professor efetivo da rede
estadual de Ensino e disse não ter experiências em outras redes de ensino, sejam
públicas ou privadas, diferentemente de seu colega. Acredita que “foi o acaso” que o
fez optar pelo magistério, uma vez que sua formação inicial é na área de
Administração de Empresas, tendo atuado nesta área antes de tornar-se professor.
Mesmo assim, disse gostar mais de sua profissão a cada dia,
189
Falou, também, que considera muito importante a “troca de conhecimento”, o
que pode sugerir que não tem a visão do professor como único detentor de um saber
a ser apresentado.
Talvez por conta da pouca experiência na docência, suas respostas escritas
aos nossos questionamentos foram mais evasivas. Não analisou de fato o que foi
solicitado e suas respostas muitas vezes não correspondiam adequadamente ao que
era questionado, não estabelecendo uma reflexão das relações que estabelecia ao
elaborar suas respostas. Da mesma maneira, foi o participante que mais apresentou
dificuldades na resolução das atividades.
Por outro lado, mostrou muito interesse em participar da pesquisa. Os dois dias
de aplicação do instrumento de coleta de dados não faziam parte dos dias de sua
jornada de trabalho. Ainda assim, foi à escola exclusivamente para participar de nossos
encontros. Também proporcionou alguns momentos de análise de sua prática ao
responder as questões que propusemos, ao admitir que nunca havia proposto
problemas do tipo do problema 2 de nosso instrumento de pesquisa aos seus alunos.
No que diz respeito aos questionamentos que foram feitos na primeira parte de
nosso instrumento de pesquisa, sobre como os participantes compreendem o ensino
de Álgebra e o que sabem sobre Pensamento Algébrico, disse considerar importante
para o ensino de Álgebra “O raciocínio e a visão espacial”, não dando maiores
detalhes sobre sua resposta.
Ao responder ao questionamento “Você considera que o ensino de Álgebra
pode ser iniciado antes do 8º ano? De que maneira? Comente um pouco sobre sua
opinião”, escreveu: “Acredito que sim, pois os alunos são inteligentes e capazes de
aprender qualquer coisa, desde que devidamente ensinado”.
Em relação ao questionamento: “O que você entende por Pensamento
Algébrico? Escreva um pouco sobre o que sabe sobre isso e de que maneira pode,
ou não, contribuir para o aprendizado dos alunos em Álgebra”, o respondeu que “A
melhor forma de ensinar são utilizando situações do dia-a-dia, para que o aluno se
adapte e crie sua forma de desenvolvimento de cálculo”.
Como podemos observar, o participante não respondeu ao nosso
questionamento original, atendo-se apenas ao que acredita ser a melhor maneira para
que o ensino de Álgebra ocorra. Apesar de se referir apenas às formas de calcular, o
que pode sugerir uma concepção de Álgebra relacionada aos cálculos e manipulação
dos simbolismos algébricos somente para este fim, destacou, também, um importante
190
aspecto relacionado ao pensamento algébrico e ao ensino de Matemática em geral,
que é o de variedade de estratégias.
Ademais, foi o que mais ressaltou a necessidade do uso de contextos do dia-
a-dia nos problemas propostos para os alunos. Um jargão da Educação Matemática,
aliado a outro, também presente nos relatos desse professor: desenvolver o
“raciocínio lógico”.
Não somos contrários ao uso de contextos cotidianos nos problemas
matemáticos, mas acreditamos que eles são insuficientes para que o aluno aprenda
Matemática de fato. Estamos de acordo com Brousseau (2010) quando afirma que o
aluno, com a ajuda de seu professor, deve redespersonalizar e redecontextualizar o
conhecimento produzido por ele, para que consiga notar que produziu algum
conhecimento cultural reutilizável.
O “raciocínio lógico” foi o elemento que o participante destacou como aspecto
comum entre os três problemas que apresentamos em nosso instrumento de coleta
de dados, isto em um dos questionamentos presentes na parte final de nosso
instrumento: “Raciocínio lógico: pois teria que analisar o texto, analisar a situação,
desvendar a lógica da fórmula no 1º problema. No 2º problema foi necessária a
aplicação da fórmula para análise.”
“Desvendar a lógica da fórmula” pode dizer respeito à compreensão do
processo de cálculo proposto, ou seja, compreender a estrutura dos procedimentos
propostos pelo problema 1.
No que tange àquilo que professor poderia prever em seu planejamento, a fim
de propor atividades como a que apresentamos em nosso instrumento, disse que
poderia ser pensada na “Estruturação da sala de aula os alunos poderiam fazer este
trabalho em duplas com a ajuda do professor”. Destacou isto também na entrevista
quando complementou, enfatizando, que atribuiria nota à produção dos alunos,
indicando que uma avaliação do professor deveria necessariamente ocorrer mediante
a atribuição de conceito, o que discordamos para este caso.
A questão da avaliação é crucial para que o professor saiba como intervir nas
discussões. Realizar boas perguntas, ouvir os alunos, a fim de compreender como
estão pensando é, segundo Blanton (2008), fundamental no papel do professor para
o desenvolvimento do pensamento algébrico. A sugestão do professor em aplicar as
atividades em duplas possibilitaria ao aluno ter um interlocutor que não o professor. O
que pode favorecer a troca de saberes e, conforme Blanton (2008), propicia a
191
oportunidade dos alunos elaborarem, testarem e revisarem conjecturas próprias,
possibilitando que generalizem resultados. Isto se o professor permitir abertura para
a discussão e não apenas para resolução das atividades.
Como uma atividade relacionada ao ensino de Álgebra que desenvolve, o
professor discorreu sobre uma proposta de um jogo de trilha: “Criar um jogo de
tabuleiro, onde o aluno vai ter que ir calculando a questão de álgebra, na medida em
que ele vai acertando, vai avançando as casinhas e até atingir a vitória.”
Este foi o único professor que destacou o uso da tabela como facilitador, para
o aluno, da compreensão do problema 2. Contudo, durante a entrevista ficou claro que
o professor se referia apenas à organização dos dados, não à percepção de
regularidades, à tradução entre representações diferentes (algébrica, tabular, gráfica
e etc.) ou da relação funcional como esperávamos e como destacam o NCTM (2000),
o PCN (BRASIL, 1998) e, também, Ponte, Branco e Matos (2009).
Participante D
Este professor foi o que mostrou maior facilidade em relação à resolução dos
problemas propostos. Relacionou o segundo problema à Modelagem Matemática e,
no terceiro, foi o que mais se aproximou da compreensão da variabilidade de casos
possíveis de construção de triângulos e da generalização. Apontou, como elementos
que contribuem ao desenvolvimento do pensamento algébrico, tanto a equivalência
entre as maneiras de subtrair que as personagens do problema 1 apresentaram,
quanto as regularidades observadas na tabela do problema 2 e o uso do gráfico. Além
do mais, nas respostas que demandavam análise das situações, estabelecendo
relações entre os problemas propostos e o ensino de Álgebra ou até mesmo a relação
entre os problemas, indicou muito mais elementos objetivos ligados a conteúdos
Matemáticos do que propriamente uma análise. O melhor exemplo para ilustrar este
fato é a sua resposta à questão na terceira parte do instrumento, na qual se
questionava o participante se havia estabelecido uma relação entre os três problemas
propostos. Elencou apenas assuntos matemáticos para compor sua resposta.
Assumiu a representação gráfica, presente no problema 2 e a circunferência do
problema 3 (necessária para construções de triângulos), para assinalar a Geometria
Analítica como “responsável pelo estabelecimento das relações entre álgebra e a
geometria” e indicar que a circunferência poderia ser representada no plano
cartesiano “através das relações dos eixos das coordenadas e utilizando a equação
192
reduzida da circunferência”. O que pensou foi mais complexo do que esperávamos
como resposta. Mesmo assim, como ressalva, pareceu sugerir que as comparações
se localizavam apenas no campo matemático.
A circunferência é uma figura plana que pode ser representado no plano cartesiano utilizando os estudos relacionados à Geometria Analítica responsável pelo estabelecimento das relações entre a Álgebra e a geometria. Podemos criar a circunferência através das relações dos eixos das coordenadas e utilizando a equação reduzida da circunferência.
(x - a)² + (y - b)² = R² Onde o centro da circunferência é representado pelo par ordenado C (a,b). (Relato do professor D).
No que diz respeito aos nossos questionamentos sobre ensino de Álgebra e
Pensamento Algébrico, relativos à primeira parte de nosso instrumento, à questão “O
que você considera importante no ensino de Álgebra?” o professor respondeu que
“associação com o uso do dia a dia (prática), cotidiano e real. Considero de suma
importância para o entendimento matemático, o aluno absorver inicialmente este
ensino. A Álgebra proporciona a base de tudo aquilo que o aluno aprenderá no decorrer
do ensino fundamental e médio, por isso este ensino deve ser bem absorvido pelo
aluno.” Isto indica que é razoavelmente comum os professores de matemática citarem
contextos “reais” como importantes ao ensino de Álgebra. Além do mais, disse ser o
aprendizado da Álgebra condicionante de outros aprendizados no decorrer da
escolaridade. Isto remete ao que enfatiza os PCN (BRASIL, 1998) e a BNCC (BRASIL,
2017a), já que traça relação entre Álgebra e outras áreas da Matemática.
Sobre a pergunta “O que você entende por “Pensamento Algébrico”? Escreva
um pouco sobre o que sabe sobre isso e de que maneira pode, ou não, contribuir para
o aprendizado dos alunos em Álgebra”, disse que “este ensino deve ser inserido antes
e aprofundado no decorrer dos outros anos (7º, 8º, 9º, etc.)”. Em nossa entrevista
enfatizou esta ideia, que de fato está muito relacionada ao desenvolvimento do
pensamento algébrico. Concordou, por exemplo, que um problema que aborda uma
relação funcional entre duas variáveis pode ser tematizado em anos mais elementares
do ensino fundamental. Destacou, todavia, que com o passar dos anos esse enfoque
precisaria ganhar mais elementos matemáticos, como a linguagem e outras
representações.
No que tange ao questionamento “O que você entende por Pensamento
Algébrico? Escreva um pouco sobre o que sabe sobre isso e de que maneira pode,
ou não, contribuir para o aprendizado dos alunos em Álgebra”, respondeu o seguinte:
193
“Acredito que como o próprio nome já diz, ‘pensamento algébrico’ significa interpretar,
raciocinar, buscar formas e maneiras de estabelecer o que se deseja calcular ou
fazer.” Pareceu, então, estar preocupado em encontrar elementos que definissem o
termo ou mesmo compreender o significado pensamento algébrico.
Em relação ao que considera importante para a atuação do professor ao propor
problemas como aquele que utilizamos no instrumento, enfatizou que “Primeiramente
o aluno e o professor devem estar em sintonia com o conteúdo. Os alunos devem
saber previamente os conteúdos para que assimilação dos 3 problemas sejam mais
fáceis de se interconectar. O professor deve estar seguro quanto ao conteúdo para
que ele possa explicar e conectar cada problema.”
A afirmação “alunos devem saber previamente os conteúdos”, indica a
necessidade que há, por parte dele, em deixar claro para os alunos aspectos que
poderiam descobrir nas resoluções ou, de outro modo e complementarmente,
questionamentos que poderiam surgir a partir das atividades que propõe. Ou seja,
primeiro o professor prepara o aluno para a atividade e, depois, a aplica. Não obstante,
não a utiliza como um instrumento para que o próprio aluno possa perceber que aquilo
sabe pode ser insuficiente para a resolução de uma atividade ou que pode aprender
outras estratégias pela proposta aplicada pelo professor.
Um exemplo é o caso, que surgiu em nossa entrevista, questionando, de modo
semelhante ao proposto no instrumento de coleta de dados, sobre o que o participante
considerava ser importante. O participante respondeu que, em sua opinião, deveria
deixar claro alguns elementos referentes a cálculos algébricos envolvendo termos
semelhantes, ao proposto por nós, sem que isso necessariamente pudesse aflorar de
uma discussão inicial do ensino de Álgebra.
Quanto à necessidade do professor saber o conteúdo que leciona, estamos de
acordo com o que o professor disse, assim como é indispensável que o docente tenha
claro seus objetivos em relação às atividades que propõe, sendo igualmente
importante que sejam compartilhados com os estudantes.
Ao solicitarmos que relatasse uma atividade que consideraria bem sucedida no
ensino de álgebra, afirmou o seguinte: “Bem, geralmente eu utilizo o conteúdo
oferecido pela escola (livro e apostilas). Então, são passadas expressões, equações,
sistemas, cálculos de problemas e etc.” Atem-se à utilização e às propostas oferecidas
pelo material didático utilizado na escola. Isto corrobora com o que Santos (2007), no
194
que diz respeito ao fato dos professores empregarem livros didáticos como regra
prescrita de ensino, constatou em sua investigação.
Não sabemos qual o livro didático adotado pela escola. Contudo, de acordo
com Santos (2007) e Aguiar (2014), existem coleções de livros que tratam a Álgebra
de maneira mais ampla, que não apenas se preocupam com formalismos e
transformismos algébricos, tal como o material didático oferecido pela Secretaria
Estadual da Educação de São Paulo.
Porém, como evidenciamos no capítulo II deste trabalho, não basta propor
atividades que favoreçam o desenvolvimento do pensamento algébrico. O papel do
professor é primordial nesse processo.
Outro fato a ser destacado, referente à participação deste docente em nossa
pesquisa, é o tratamento que sugere às variáveis no cálculo algébrico com termos
semelhantes. Preocupa-se somente com regras operatórias, dando a impressão que,
muitas vezes, as assemelha a operações com números inteiros, parecendo sempre
relacionar a letra a uma unidade do que ela representaria e não à representação de
uma quantidade que pode variar.
Exemplo que corrobora isso pode ser extraído da relação que faz entre
conhecimento empírico e imediato do aluno – aquilo que já conhece e está acostumado
de alguma forma – e a letra incógnita. Na apresentação sobre Pensamento Algébrico
afirmou, como supramencionado, que costuma indicar para os alunos que troquem a
letra na expressão por algo de conhecimento prévio: cheesesburguer: 1
“cheeseburguer” + 1 cheesesburguer = 2 cheesesburgers. Da mesma forma, incorreu
no mesmo argumento, equivocado, quando afirmou, em nosso último questionamento
na entrevista, que seria necessário deixar, de início, algumas coisas básicas, relativas
ao ensino de Álgebra, mais claras aos alunos, como a adição de termos semelhantes
em que x + x + x é igual a “três x”, relacionando cada x a apenas um celular. A não
diferenciação entre “três x” e “três vezes o valor de x” e entre “2 cheeseburguers” e “2
vezes o número de cheesesburguers”, segundo Booth (1995), pode comprometer a
compreensão da noção de variável por parte do aluno. Todavia, como se constatou, tal
diferenciação não é evidente nem para o docente, que afirmou na entrevista nunca ter
pensado sobre ela.
195
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nossa investigação objetivou identificar quais elementos relacionados ao
desenvolvimento do pensamento algébrico são reconhecidos por professores em
atividades que com tal foco e que foram destinadas a alunos de sexto e sétimo anos
do Ensino Fundamental.
Tratar do desenvolvimento do pensamento algébrico é ter um novo olhar para o
ensino de Álgebra. É considerar que aprender álgebra vai muito além de manipular
termos algébricos em expressões e equações. Significa, igualmente, considerar que a
Álgebra permeia diferentes ramos da Matemática, o que pode favorecer a construção
de relações e favorecer a compreensão dos objetos matemáticos estudados.
A fim de buscar respostas para os questionamentos norteadores de nossa
investigação – “Quais aspectos relacionados ao desenvolvimento do pensamento
algébrico são notados por professores em atividades que têm esse foco? Os
participantes conhecem algo sobre o pensamento algébrico? Consideram que o ensino
de Álgebra pode ser iniciado antes do período do 7°-8º ano do ensino fundamental?” –,
elaboramos um instrumento de coleta de dados composto por três problemas e algumas
questões destinadas a colher informações sobre aspectos das atividades que foram
aplicadas aos participantes, alguns elementos sobre como compreendem o ensino de
Álgebra ligado ao desenvolvimento do pensamento algébrico.
Neste âmbito, foi feita, ainda, uma apresentação sobre Pensamento Algébrico
com base no referencial teórico utilizado na investigação, expondo aos participantes
algumas características preponderantes na seleção das atividades e, mais adiante,
nas análises. Esta apresentação também se configurou como um momento de coleta
de dados na medida em que a participação dos professores foi livre.
Para finalizar a coleta de dados realizamos entrevistas com três dos quatro
professores participantes, já que o professor A estava em licença prêmio no período
que retornamos à escola e ficaria nesta condição até o final do ano. Priorizamos,
nestes momentos, tematizar aspectos da produção escrita – não considerando erros
de resolução para não haver constrangimentos – e de suas participações no momento
da apresentação que demandavam maiores explicações e detalhamentos. Nesse
sentido, preparamos cinco perguntas para cada um dos participantes. Três comuns a
todos os professores e duas correspondiam exclusivamente à participação de cada
um em nossa investigação.
196
Não foi possível perceber uma relação entre o tempo em que os professores
lecionam em sexto e sétimo anos e a quantidade de aspectos relacionados ao
desenvolvimento do Pensamento Algébrico identificados. Gostaríamos de identificar
se professores que atuam nestes dois anos do Ensino Fundamental há mais tempo
identificariam mais elementos relacionados a este tipo de pensamento, mas essa
análise não foi possível, primeiro, por todos os docentes relatarem atuar em todo o
ensino fundamental durante todo o tempo de carreira e, segundo, pelo número
reduzido de participantes em nossa investigação.
Em nossa pesquisa, é importante relembrar, tivemos a participação de quatro
docentes. Dois deles bastante experientes e dois que podemos considerar em início
de carreira, com apenas 5 anos de docência cada um. Nossa primeira hipótese era
que a maioria dos professores participantes não tivessem conhecimentos acerca do
Pensamento Algébrico, mas, a princípio, nos surpreendemos quanto a isso. Os
professores B, C e D já tinham, segundo seus relatos, conhecimentos acerca desse
tipo de pensamento: O professor B em formações continuadas e apresentações de
livros por editoras, o professor D em sua graduação ao realizar trabalhos que
envolviam conceito de Modelagem Matemática, e o professor C, em menor grau,
afirmou que nossos encontros serviram para reforçar esse conceito, já que não
estudou nada sobre o tema em sua graduação. Apenas quanto ao professor A, por
não ter respondido o questionamento sobre esse aspecto em seu protocolo, não
pudemos identificar que conhecimento possuía a respeito do Pensamento Algébrico.
Porém consideramos que a participação dos professores, apesar de relatarem
que já tiveram contato com a temática do Pensamento Algébrico em algum momento
de sua formação ou de sua carreira docente, não nos permite concluir que de fato
sabem o que é Pensamento Algébrico, apesar de indicarem, em cada problema,
alguns aspectos relacionados à essa temática.
Essa percepção se deve ao número restrito de aspectos relacionados ao
Pensamento Algébrico que destacaram nas atividades propostas no instrumento de
coleta de dados, pela valorização demasiada do uso da linguagem algébrica,
identificada nos três momentos de nossa investigação: instrumento de coleta de dados
(professor B), apresentação sobre Pensamento Algébrico (professor C, em maior
ênfase) e entrevistas (professor D, especialmente).
Esperávamos que os professores indicassem mais elementos característicos
de uma abordagem que favorecesse o desenvolvimento do Pensamento Algébrico
197
nos problemas, especialmente relacionados à linguagem (diversas representações) e
à generalização. A expectativa para a identificação desta última foi minimizada ao
realizarmos a revisão bibliográfica e verificarmos que Américo (2016) e Silva Júnior
(2016) constataram dificuldades de docentes em identificarem generalizações em
atividades matemáticas que visam o desenvolvimento do Pensamento Algébrico.
Apesar de ainda considerarem, em geral, a questão da linguagem algébrica
importante para demarcação do ensino de Álgebra, todos os participantes concordam
que o trabalho algébrico pode ser iniciado antes do período correspondente ao final do
sétimo ano e início do oitavo ano do Ensino Fundamental.
Em relação ao primeiro problema, cuja proposta foi novidade para todos os
participantes – mesmo ao participante C que afirmou utilizar problemas daquele tipo em
suas aulas; no entanto, durante a entrevista percebemos que sua proposta era outra.
Vale destacar que o professor A foi o único que relacionou, em suas respostas
escritas, o ensino da aritmética ao da Álgebra. Além disso, reconheceu a relação
funcional proposta pelo primeiro problema e a variabilidade de estratégias para sua
resolução. A relação aritmética-álgebra era o grande tema a ser explorado na
entrevista com ele. Porém, não foi possível realizá-la.
Já o participante B foi o único que compreendeu a proposta do Método
apresentado pelo problema e reconheceu a relação entre os termos ▼ e , indicou
compreensão da estrutura do cálculo proposto pela atividade e destacou o fato de não
utilizar uma linguagem algébrica para solucionar o problema, que, segundo o
participante, demanda uma série de manipulações sem o uso de letras.
Ainda com relação a este problema, o participante D compreendeu a estrutura
do cálculo e da equivalência entre as expressões numéricas. O professor C, por sua
vez, não destacou nenhum elemento característico do pensamento algébrico em suas
respostas.
O segundo problema era, de alguma forma, mais conhecido pelos participantes.
Dois deles (A e D) relataram, em suas produções escritas, já terem proposto
problemas semelhantes ao nosso segundo aos seus alunos de oitavo anos do ensino
fundamental e médio. Sobre a apresentação do Pensamento Algébrico, o professor C
admitiu também conhecer o problema, visto que o Caderno do Aluno, material
produzido e disponibilizado pela Secretaria Estadual de Educação de São Paulo,
apresenta atividades semelhantes a esta.
198
Apenas os professores A, B e D chegaram ao valor em que as situações
propostas pela avó da personagem são equivalentes. Somente o professor B chegou
a esse fato utilizando linguagem algébrica e equivalência entre as expressões
algébricas. Já o participante D indicou a equivalência entre expressões algébricas
como aspecto relacionado ao ensino de Álgebra.
Sobre as representações utilizadas no problema, o professor C se atentou ao
uso da tabela. Contudo, na entrevista evidenciou que é apenas em relação à
organização dos dados, e não salientou nenhuma observação de regularidade ou da
relação funcional. O participante B destacou, além da tabela, o uso da representação
gráfica e sua exploração na compreensão da situação apresentada ao aluno. O
participante C também elencou este tipo de representação. O professor A, por sua
vez, não demonstrou nenhum elemento característico do pensamento algébrico em
suas respostas.
No que diz respeito à terceira atividade, desconhecida de todos os participantes
e que demandou mais intervenção da pesquisadora, apenas o professor D chegou
próximo à generalização das situações em que os triângulos poderiam ser
construídos. Além do mais, não registrou sua conclusão de maneira correta. Ainda,
não viu, nesse exercício, relação com o ensino de Álgebra.
A partir das resoluções dos problemas e questionamentos, pelos participantes,
percebemos os pontos que poderíamos destacar nas entrevistas com cada um dos
participantes, além de colher mais detalhes sobre as experiências de cada um deles
com a temática do Pensamento Algébrico. Com o participante A abordaríamos a
questão da relação entre Aritmética e Álgebra, destacada por ele. Com o B, enfocamos
na relação do início do trabalho algébrico e o uso da linguagem algébrica no ensino
fundamental, já que o participante deu indícios de relacionar o início do estudo de
Álgebra à resoluções de equações. Com o participante C, que destacou menos
aspectos relacionados ao Pensamento Algébrico nas atividades, fizemos sobressair o
uso de representações variadas, já que em uma das questões destacou o uso da tabela
como um facilitador da compreensão do problema por parte do aluno. Por fim, com o D,
o destaque escolhido se deu relacionado à ideia de variável e seu uso na manipulação
algébrica, especialmente em relação às operações com termos semelhantes, já que
relatou que costuma “brincar” em sala dizendo aos alunos com dificuldades em realizar
operações com termos algébricos, que “troquem” as letras por objetos conhecidos.
199
Segundo ele, isto facilita a compreensão do aluno – para tanto, citou um exemplo da
“mudança” da letra pela palavra cheeseburguer.
Na realização das entrevistas pudemos constatar acerca do que pensava cada
professor. O professor B, que parecia em sua produção escrita valorizar
demasiadamente a linguagem algébrica e as equações como marco do início do
trabalho algébrico, contou que valorizava as resoluções próprias dos alunos com e sem
uso de letras para demonstrar equivalências de resoluções nesses dois casos. Ainda
assim, deixou clara a importância da formalização no registro de seus alunos. O
professor C foi o que indicou menos elementos característicos do desenvolvimento do
pensamento algébrico e também foi o que pareceu saber menos a esse respeito. O
participante D, professor que teve menos dificuldades na resolução das atividades,
indicou alguns aspectos esperados em todos os problemas propostos. Mesmo assim,
mostrou dificuldade em compreender a diferença entre a operação de termos
semelhantes em uma expressão, não reconhecendo a diferença entre operar com
variáveis como se tivessem já valores específicos (representando unidades, no caso
dos exemplos propostos pelo docente) e a possibilidade de considerar a variabilidade
dos valores para as letras nesse cálculo.
Nenhum dos professores identificou a generalização em nenhum dos três
problemas propostos. Tampouco conseguiram estabelecer uma relação entre os
problemas que transcendesse os conteúdos matemáticos.
De tal modo, encontramos várias dificuldades no trajeto de nossa investigação.
Inicialmente foi difícil localizar uma escola que comportasse um número expressivo
de professores. Por conseguinte, ao chegarmos na unidade escolar, por conta da
diversidade de horários e variadas jornadas de trabalho, pudemos contar com a
participação de apenas quatro professores de Matemática que atuavam no Ensino
Fundamental 2.
Outra questão relevante foi a mudança de nossos planos de aplicação do
instrumento de três dias, em horários de reunião, para apenas um dia no final do
semestre, período em que os professores encerram um longo prazo de trabalho e
correções e talvez já não tivessem concentração tão duradoura para atividades de
longo prazo, tal como se tornaram os nossos encontros.
Consequentemente, não contávamos com a dificuldade dos docentes em
resolver os problemas propostos. Esperávamos certa dificuldade nas resoluções, em
especial nos primeiro e terceiro problemas, mas nada que comprometesse a aplicação
200
do instrumento de coleta de dados. Os docentes demoraram um tempo muito além do
previsto para solucionar as atividades e questões. Além disso, houve muitos erros nas
resoluções apresentadas. Erros conceituais, em especial.
A questão da falta de tempo foi minimizada pela disposição da Coordenadora em
ceder mais um dia para conclusão de nossa coleta de dados, o que ainda não foi
suficiente.
Outra dificuldade encontrada está relacionada ao agendamento de dias para
realizar as entrevistas, a fim de encerrar nosso processo de coleta dos dados. Não havia
horário disponível para os professores conversar com a pesquisadora, nem de ATPC,
tampouco entre as aulas. Esses encontros aconteceram, depois de muita insistência
nas conversas com a Coordenação Pedagógica da escola, em dias de aplicação do
SARESP e reposição de aulas em um sábado, ambos os dias já em novembro de 2017.
Além disso, o fato dos professores não terem recebido o texto encaminhado
por e-mail à coordenadora, acompanhado de aviso enviado por aplicativo de
mensagem instantânea, aliado à dificuldade de marcarmos os encontros, impediu a
finalização da coleta de dados como havíamos planejado, que se dava em propor um
momento no qual os participantes analisariam novamente suas produções escritas
para fazer comparações com o que haviam respondido anteriormente.
Cabe ressaltar, também, reconsiderações a respeito de alguns aspectos.
Inicialmente, o instrumento poderia ser reduzido. Desse modo, talvez, os participantes
poderiam tê-lo preenchido de maneira mais completa e satisfatória, o que acarretaria
em utilizar apenas uma das partes propostas pelos autores do problema 1 ou a
redução do número de problemas utilizados. A dificuldade em responder as questões,
aliada à extensão do instrumento, aparentemente acarretou em alguns momentos nos
quais os participantes não o respondiam com afinco e dedicação que esperávamos.
Assim sendo, apesar de todos os percalços, acreditamos que esta pesquisa
possa contribuir com a Educação Matemática no que tange à formação de professores
no ensino de Álgebra, e especialmente em relação à temática do desenvolvimento do
Pensamento Algébrico. Esperamos, igualmente, que possamos contribuir com
elementos que auxiliem na compreensão do que o professor já sabe e, em especial,
o que ainda não consegue identificar como relevante no desenvolvimento desse tipo
de pensamento.
Como sugestões para futuras pesquisas poderiam ser modificados os sujeitos
da investigação por professores que ensinam Matemática no Ensino Fundamental I e
201
averiguar quais elementos de atividades relacionadas ao ensino de Álgebra
conseguem identificar. Outra sugestão seria que os professores identificassem, nos
materiais com os quais trabalham, atividades relacionadas ao desenvolvimento do
pensamento algébrico. Outro viés de pesquisa seria acompanhar professores de
Matemática (ou professores que ensinam Matemática) em um período de formação
continuada na preparação e aplicação de atividades que tivessem como foco o
desenvolvimento do pensamento algébrico.
202
203
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207
ANEXOS
ANEXO A: INSTRUMENTO DEFINITIVO – QUESTIONÁRIO
Nome:___________________________________________ Idade: ____ anos
Questionário
Tempo de magistério: ______ anos
Situação Funcional - categoria: ( ) efetivo ( ) contratado
Formação acadêmica: titulação/instituição de ensino na qual estudou:
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Formação complementar (se houver) – instituição de ensino na qual estudou:
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
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Leciona ou já lecionou outra(s) disciplina(s)? ( )Sim ( ) Não. Em caso afirmativo,
escreva qual disciplina, o ano e o segmento de
ensino.____________________________________________________________
Há quanto tempo leciona na escola em que atua hoje em dia?____________
Há quanto tempo leciona no ensino fundamental 2?_____________________
Já lecionou em quais anos do ensino fundamental 2? Quanto tempo lecionou em cada
um deles?
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208
Comente um pouco sobre o porquê de ter escolhido a carreira docente e faça um
breve relato sobre sua carreira profissional.
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Por que escolheu lecionar Matemática?
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209
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O que você considera importante no ensino de Álgebra (aspectos matemáticos e
didáticos)?
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210
Você considera que o ensino de Álgebra pode ser iniciado antes do 8ºano? De que
maneira? Comente um pouco sobre sua opinião.
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O que você entende por “Pensamento Algébrico”? Escreva um pouco sobre o que sabe
sobre isso e de que maneira pode, ou não, contribuir para o aprendizado dos alunos em
Álgebra.
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212
ANEXO B: INSTRUMENTO DEFINITIVO – PROBLEMA 1
Nome:___________________________________________ Idade: ____ anos
Agora responda os problemas e as perguntas a seguir:
Problema 1: Peter e seu método de subtrair
Peter está subtraindo 5 de alguns números. Peter diz que estes são muito fáceis de
fazer. Você concorda?
37 - 5 = 32 59 - 5 = 54 86 - 5 = 81
Mas Peter diz que alguns outros não são tão fáceis, como:
32 – 5 53 – 5 84-5
Peter diz: "Eu faço isso adicionando primeiro 5 e depois subtraindo 10, como 32- 5
= 32 + 5 - 10. “Trabalhar desta maneira é mais fácil”. O Método de Peter dá a resposta
certa?
___________________________________________________________________
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Vejamos as outras duas operações (53-5 e 84-5). Você pode usar o Método em cada
uma delas? Reescreva cada pergunta, primeiro usando o Método de Peter e, em
seguida, confira a resposta.
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___________________________________________________________________
Peter diz que seu método também funciona para subtrair 7 e 8 e 9. Você pode mostrar
como o Método de Peter funciona para estas três perguntas:
Reescreva cada pergunta primeiro usando o Método de Peter e, em seguida,
responda.
a) 83 – 7 b)123 – 8 c) 235 - 9.
Você pode explicar como esse método sempre funciona?
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Susan disse assim:
213
"Em vez de escrever 32 - 5, 32 - 6, 32 - 7, 32 - 8 e assim por diante, decidi escrever o
símbolo ▼ para representar os números 5, 6, 7, 8 e assim por diante. Então, eu escrevi
32 - ▼ para representar todos estes" (leia como:" 32 menos algum número").
Susan diz: "Então, em vez de 32 - ▼ (" 32 menos algum número "), Peter diz
32 + - 10" (Lido como: "32 mais algum outro número menos 10").
Susan então diz: "Como Peter encontra o valor do segundo número ? O que esses
dois números somam? O que você pode dizer sobre ▼ + =? "
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Poderia ▼ (" o primeiro número ") representar uma fração como 7½ ou um número
decimal como 5,2?
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Podemos ver como o Método de Peter poderia ser usado para subtrair números como
95, 96 e 97? Suponha que Peter tivesse 251 - 95, o que você acha que ele poderia
fazer para tornar mais fácil?
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___________________________________________________________________
O que ele faria se tivesse 251 – 96,5?
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O que você acha que ele faria se ele tivesse 251 - 93?
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Lembre o que Susan fez antes. Agora, em vez de escrever frases como
251 - 95, 251 - 96, 251 - 97, 251 - 98, Susan usa novamente o símbolo ▼ para
representar todos esses. O que você acha que ela iria escrever?
___________________________________________________________________
214
Susan então reescreve esta nova frase 251 - ▼ para mostrar como Peter subtraiu
números como 95, 96, 97, 98 e assim por diante.
Ele usa um segundo símbolo para escrever 251 + ....... Você pode completar esta
frase?
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___________________________________________________________________
Como é o valor do número relacionado ao valor do número ▼?
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___________________________________________________________________
O que esses dois números somam? O que você pode dizer sobre ▼ + =?
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___________________________________________________________
Você poderia usar esse raciocínio para mostrar como Peter resolveria 251 - 83?
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215
ANEXO C – INSTRUMENTOS DEFINITIVO – QUESTÕES A RESPEITO DO
PROBLEMA 1
Você já resolveu problemas desse tipo? Já propôs para suas turmas? Em caso
afirmativo, relate um pouco como foi o desenvolvimento da atividade e
desenvolvimento dos alunos.
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Ao responder esses problemas que são destinados à alunos de sexto e sétimo anos
do ensino fundamental, que aspectos relacionados ao ensino de Matemática lhe
chamam a atenção? Comente um pouco.
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Dos aspectos relacionados ao ensino de Matemática que você destacou na questão
anterior, você considera que eles possam contribuir com o aprendizado do aluno em
Álgebra, especialmente? Comente um pouco sobre sua opinião.
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ANEXO D: INSTRUMENTO DEFINITIVO – PROBLEMA 2
Nome:___________________________________________ Idade: ____ anos
Problema 2: Bárbara e as opções de rentabilidade de sua mesada. Bárbara tem certa quantidade de dinheiro. Sua avó lhe oferece duas opções. A primeira: duplicar seu dinheiro. A segunda: quadruplicar seu dinheiro e, em seguida, tirar 12 reais. Qual é a melhor opção para Bárbara? Existe alguma opção que é sempre melhor?
Quantia que Bárbara
possui (R$)
Valores gerados pela 1ª
opção dada pela avó
Valores gerados pela
2ª opção dada pela avó
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
10,00
N
Se você sabe qual valor que Bárbara tem, o que você precisa fazer para descobrir
quais os valores gerados pelas opções dadas pela avó da garota? Qual é a mais
vantajosa para Bárbara?
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As duas opções podem coincidir? Justifique.
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2. Responda as questões a seguir:
218
a. Faça os gráficos que representem os valores das duas opções dadas pela avó de Bárbara. b. Destaque com a cor vermelha a parte do gráfico que mostra quando a primeira
opção é a mais vantajosa para Bárbara.
c. Quais valores Bárbara precisa ter para que a primeira opção seja a mais vantajosa
para ela?
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d. Destaque com a cor azul a parte do gráfico que mostra que a segunda opção dada
pala avó de Bárbara é a mais vantajosa. Marina tem mais dinheiro que José.
219
e. Quais valores Bárbara precisa ter para que a segunda opção seja a mais vantajosa
para ela?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
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f. Indique no gráfico a parte que mostra quando as duas opções dadas pela avó de Bárbara se igualam.
220
ANEXO E – INSTRUMENTO DEFINITIVO – QUESTÕES A RESPEITO DO
PROBLEMA 2
Você já resolveu problemas desse tipo? Já propôs para suas turmas? Em caso
afirmativo, diga em qual ano de ensino fundamental II ela foi aplicada e relate um
pouco como foi o desenvolvimento da atividade e desenvolvimento dos alunos.
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Ao responder esse problema que é destinados a alunos de sexto e sétimo anos do
ensino fundamental, que aspectos relacionados ao ensino de Matemática lhe chamam
a atenção? Comente um pouco.
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Dos aspectos relacionados ao ensino de Matemática que você destacou na questão
anterior, você considera que eles podem contribuir com o aprendizado do aluno em
Álgebra, especialmente? Comente um pouco sobre sua opinião.
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ANEXO F: INSTRUMENTO DEFINITIVO – PROBLEMA 3
Nome:___________________________________________ Idade: ____ anos
Problema 3: Construção de triângulos Construa uma circunferência de centro em O, com 4 cm de raio. Em seguida, construa
uma circunferência com centro P e raio de 2 cm, que intercepte a circunferência de
centro em O. Nomeie A como um dos pontos de intersecção entre essas duas
circunferências. Em seguida, trace o triângulo OPA. É possível que o triângulo OPA
seja isósceles? Em que condições? É possível que o triângulo OPA seja escaleno?
Em que condições? É possível que o triângulo OPA seja equilátero?
223
ANEXO G – INSTRUMENTO DEFINITIVO – QUESTÕES A RESPEITO DO PROBLEMA 3 Questões a respeito do problema 3:
Você já resolveu problemas desse tipo? Já propôs para suas turmas? Em caso
afirmativo, diga em qual ano de ensino fundamental II ela foi aplicada e relate um
pouco como foi o desenvolvimento da atividade e desenvolvimento dos alunos.
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Ao responder esse problema que é destinados a alunos de sexto e sétimo anos do
ensino fundamental, que aspectos relacionados ao ensino de Matemática lhe chamam
a atenção? Comente um pouco.
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Dos aspectos relacionados ao ensino de Matemática que você destacou na questão
anterior, você considera que eles podem contribuir com o aprendizado do aluno em
Álgebra, especialmente? Comente um pouco sobre sua opinião.
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Em síntese, após resolver os três problemas, você identifica alguns aspectos comuns
entre eles? Comente um pouco a respeito de suas observações.
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Ao propor problemas como os que foram apresentados neste instrumento em sala de
aula, que ações poderiam ser planejadas para a atuação do(a) professor(a) e dos
alunos?
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Descreva alguma atividade relacionada ao ensino de Álgebra que você desenvolveu
com suas turmas que você avalia como bem sucedida. Relate um pouco como foi.
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228
ANEXO H – TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Convidamos o(a) Sr.(a) a participar da pesquisa “Pensamento Algébrico: o que dizem os
professores antes e depois de uma formação continuada”, que está sendo desenvolvida por Renata
Mendes Soares, RG 30.287.675-3, CPF 214.545.108-03, sob a orientação da Profa. Dra. Barbara Lutaif
Bianchini.
O objetivo do estudo é verificar quais elementos caracterizadores do pensamento algébrico são
identificados por professores de Matemática que atuam no Ensino Fundamental II em problemas de
cunho algébrico destinados a alunos desse segmento de ensino. A finalidade deste trabalho é contribuir
para uma melhor compreensão dos saberes dos professores de Matemática a respeito do
desenvolvimento do pensamento algébrico e de como essa temática tem sido inserida nas aulas de
Matemática dos anos iniciais do segundo ciclo do ensino fundamental.
Solicitamos a sua colaboração para responder os instrumentos de coleta de dados e participar do
minicurso, atividades que serão realizadas em um dia, em um momento com cinco horas de duração,
como também pedimos sua autorização para apresentar os resultados deste estudo em eventos da área
de educação e publicar em revista científica nacional e/ou internacional. Por ocasião da publicação dos
resultados, seu nome será mantido em sigilo absoluto.
Informamos que para essa pesquisa tanto os instrumentos de coleta de dados quanto o contato
interpessoal oferecem riscos mínimos aos participantes. Esclarecemos que sua participação no estudo é
voluntária e, portanto, o(a) senhor(a) não é obrigado(a) a fornecer as informações e/ou colaborar com
as atividades solicitadas pela pesquisadora. Caso decida não participar do estudo, ou resolver a qualquer
momento desistir do mesmo, não sofrerá nenhum dano, nem haverá modificação na assistência que vem
recebendo na Instituição (se for o caso). As pesquisadoras estarão a sua disposição para qualquer
esclarecimento que considere necessário em qualquer etapa da pesquisa.
Renata Mendes Soares - Pesquisadora responsável
Declaro que fui informado(a) a respeito dos objetivos e da relevância do estudo
proposto, de que minha participação é voluntária e que, a qualquer momento, tenho o direito de
obter outros esclarecimentos sobre a pesquisa e de retirar-me da mesma, sem qualquer
penalidade ou prejuízo. Estou ciente, inclusive, dos procedimentos e riscos decorrentes deste
estudo. Declaro o meu consentimento em participar da pesquisa, como também concordo que
os dados obtidos na investigação sejam utilizados para fins científicos (divulgação em eventos
e publicações), mantendo minha identidade em sigilo absoluto.
Nome do Participante da Pesquisa: ______________________________________________________
Assinatura do Participante da Pesquisa:_________________________________________________
RG:____________________________CPF:____________________________
Declaro que expliquei ao Participante da Pesquisa os procedimentos a serem realizados
neste estudo, seus eventuais riscos/desconfortos, possibilidade de retirar-se da pesquisa sem
qualquer penalidade ou prejuízo, assim como esclareci as dúvidas apresentadas.
São Paulo, _____ de _________________ de ________.
____________________________________________ Renata Mendes Soares - Pesquisadora
229
Caso necessite de maiores informações sobre o presente estudo, entre em contato com
a pesquisadora no telefone (11) 97031-8268 ou com o Comitê de Ética da Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo – Sede Monte Alegre, localizado na Rua Ministro de
Godói, 969 – Perdizes – São Paulo – Cep: 05015-001.
Desde já agradecemos a colaboração.
230
ANEXO I – SOLICITAÇÃO DE AUTORIZAÇÃO PARA PESQUISA NA UNIDADE
ESCOLAR
Ao Comitê de Ética em Pesquisa da PUC/SP - CEP-PUC/SP A/c. Prof. Dr. Edgard de Assis Carvalho Coordenador do CEP-PUC/SP
Autorização para realização de pesquisa
Eu,___________________________________________________________,
diretor/coordenador/reitor/responsável da __________________________________
venho por meio desta informar a V. Sa. que autorizo a pesquisadora Renata Mendes
Soares, aluna do curso de Mestrado Acadêmico em Educação Matemática do
Programa de Estudos Pós-Graduados da Pontifícia Universidade Católica de São
Paulo a realizar/desenvolver a pesquisa intitulada “Pensamento Algébrico: o que
dizem os professores antes e depois de uma formação continuada”, sob orientação
do Profa. Dra. Barbara Lutaif Bianchini.
Declaro conhecer e cumprir as Resoluções Éticas Brasileiras, em especial a
Resolução CNS 466/12. Esta instituição está ciente de suas corresponsabilidades
como instituição coparticipante do presente projeto de pesquisa, e de seu
compromisso no resguardo da segurança e bem-estar dos sujeitos de pesquisa nela
recrutados, dispondo de infraestrutura necessária para a garantia de tal segurança e
bem-estar.
__________________________________________
Assinatura e carimbo
231
ANEXO J – SLIDES UTILIZADOS NA APRESENTAÇÃO SOBRE PENSAMENTO ALGÉBRICO
232
233