Zadatak 2.115

U spoju (slika) je U=20 V, 1 841 jZ += ,37

2 10jeZ = , 433 jZ =

Odredite:

1) 1) I, ,1I ,2I ,3I2) 2) P=?

Rjeenje:

24125

250500211211

2111448

21118243224

4368)43)(68(

32

3223 j

jjj

jj

jjj

jjjj

ZZZZ

Z ==

+

=+

++=

+++

=+

=

37231 10682484 =+=++=+= jjjZZZ

020=U

I1 = ZU =

3737

0

21020 =

U1 =I1 + Z1 =

43,2643,6337 58542 =

U 23 =U - U1 =20- 16- j8=4-j8=43,63

54

I 2 =

43,10043,63

342

23

52

1054

ZU

==

I 3 =

3,1043,63

11,533

23

54

554

ZU

==

RIP = 211 =16 W RIP = 222 =6.4 W RIP = 233 =9.6 W

321 PPPP ++= = 32 W

Rjeio :Ante Ani-

2.116 U krugu na slici je zadano R1 = 2 , X1 = 26 , R3 = 10 , X3 = 10 i X2 = - 10 .Spoj troi P = 1.2 kW. Izra%unajte I1, I2 i I3.

Rjeenje: Mrea troi snagu P = r I12, gdje je r aktivna komponenta ulazne impedancije.

Z = Z1 +32

32

ZZZZ

+

= r + jX

Z = R1 + jX1 +( )

332

332

jXRjXjXRjX

+++ = 2 + j26 + ( )

10j1010j10j1010j

+++

Z = 2 + j26 + 10

100j100 = 2 + j26 + 10 - j10

Z = 12 + j16 = r + jX

r = 12

Sada ra%unamo struju I1 iz izraza za snagu P:

I1 = I = rP =

121200 = 10 A

Zatim odre/ujemo struje I2 i I3:

I2 =2

23

ZU

; I3 =3

23

ZU

U23 = U2 = U3

U23 = I1 Z23 = I32

32

ZZZZ

+

= 10 ( )

10j1010j10j1010j

+++ = 10 ( )10j10

U23 = 100 j100

I2 = 10j100j100

= 10 + j10

I3 = 10j10100j100

+ = -j10

Efektivne vrijednosti su:

I2 = 22 1010 + = 14.1 A I3 = 10 A

Rijeio: Saa Arbanas

2.117. Za spoj na slici zadano je U1=5V, = 105 s-1 , C1 = 10F, C2 = 5 F , R = 1 i L= 2 10-2 mH. Odredite U,I2, I3 .

C1I1 I3

U1 I2R

+U C2

L

Rjeenje:

===

=

=

9090

0

1

11

01

901

515

5

1

c

c

UI

UX

== 901 1jZ == 90

2 22 jZ

=+=63

3 521 jZ

==

+=

+++

=+

=27

32

3223 52241

42212

)21()2( jjjjjj

ZZZZZ

==+=+= 37231 53424 jjjZZZ

===

===

===

===

063

63

3

233

153

90

63

2

232

63279023123

5337901

105

510

552

510

510525

2555

ZUI

ZUI

ZIU

ZIU

Rijeio : Robert Bagari4 ,1333

==

=

221

2

1

l

c

c

2.118. Zadana je mrea kojoj je R1=5, R2=6, X2=-8, X3=10 i I3=10A. Naite: 1. I1 i I2, 2. U; 3. P.

Rjeenje:

( )( )

( ) WIUPU

VU

arctg

jjUUUjjRIU

IAI

arctg

jjjIII

arctg

jjjj

jZUI

UjjZIUjI

jjXZjjXRZ

iu

u

I

I

80004.14cos23.638.130cos38.130

38.1301001690010130

39.413010

1013010010301030526

23.6

2345.64026

435.1862

261086

13.5368

86100

8006008686

86100

100101010

1086

39.4

22

21

111

435.181

221

321

2

22

20

333

3

33

22

1

2

====

=+=+=

=

=

=+=+====

=

==+=

=

=

=+=+=

=

=

+=+

=++

==

====

=

==

=+=

Rijeio: Hrvoje Bi-ani-

U2=U3

I3

I2

I1U1

U

U

RI1

I2

I3

R

X2

X3+

332

32

3322

25555

551010

)1010()55(

Ijjj

jjII

jIjIZIZI

=

+

=

=+=

2.119. Mrei na slici je VUiXXXRRR ab 2010,5,8,10,5,2 321321 =======odredite : 1. I1, I2, I3; 2. U; 3. P;

Rjeenje: Kre#emo od %injenice da je 32 UU =

Sada postavljamo jednadbu u kojoj koristimo Uv kao kompleksni izraz napona koji mjerimo voltmetrom :

v

v

v

vRR

UjI

UIjI

UZIZI

UUU

=+

=+

=

=

)1010(

5210

3

33

2233

23

Prijelazom na maksimalne vrijednosti dobivamo :

vmm

vmm

UI

UI

=

=+

3

223

210

)1010(

Ako ovaj posljednji izraz podijelimo s 2 dolazimo do efektivne vrijednosti struje :

AI

UI

UI

ef

efef

vmm

22

2210

20210

22210

3

3

3

===

=

=

Efektivne struje se odnose ovako :

AI

IssamooznacavamoItekstuunadaljeIIjII

efefef

22

)(22

2

32

32

=

=

=

Poto su struje I2 i I3 medjusobno okomite, struja I1 iznosi :

AIII 16.310232

21 ==+=

Ukupna impedancija kruga iznosi :

0

32

321 869,361068)1010(

)55()82(

.6,2 33 == XR 321 ,, III

jZ 231 +=

jZ 212 =

jZ 623 +=

7.33

1 13+0 ;b)

Rjeenje: U skladu sa krivuljom trenutnih vrijednosti Wc nacrta se krivulja trenutnih vrijednosti napona na prikljunicama kondenzatora Uc. Zatim se nacrta krivulja struje, imaju*i na umu da stuja mree prethodin naponu za /2. Kako pri > 0 krug ima induktivni karakter, napon koji je prikljuen na mreu prethosdi struji za neki kut , kojemu se vrijednost slobodno odabire. U skladu s krivuljnom struje crta se krivulja energije magnetskog polja kojemu j evrijdnost nula kada je struja jednaka nuli i maksimalnu vrijednost kada je vrijednost struje maksimalna. Uz induktivni karakter kruga bit *e WLmax > WCmax. Dijagrami vremenske ovisnosti za veliine uc, i , u, WL i WC prikazani na sl. 3.9.a Slinim razmatranjem moemo nacrtati dijagrame vremenske ovisnosti za uc, i , u, WL i WCuz < 0 (sl. 3.9.b)

Rijeio: Hrvoje Fekete

uc, i , u, WL i WC

2 t,rad

Sl. 3.9.a

i u

WCWL

uC

uc, i , u, WL i WC

2 t,rad

Sl. 3.9.b

i u

WCWL

uC

3.10. Slika prikazuje dijagram vremenske ovisnosti struje u krugu na sl. 3.1, koja se mijenja sinusoidalno s frekvencijom . Nacrtajte (kvalitativno) u istom koordinatnom sustavu krivulje promjene priklju enog napona i ukupne snage za: a) > 0 ;

b) < 0 ; 0 je rezonantna kruna frekvencija kruga.

Rjeenje: a) Kako pri > 0 krug ima induktivni karakter, napon koji je priklju en na mreu prethodi struji za neki,

u naem slu aju, proizvoljni kut +. U skladu s krivuljom struje crta se i krivulja snage koja je pozitivna na itavom intervalu. Grafi ki to izgleda ovako:

b) Kako pri < 0 krug ima kapacitivni karakter struja mree prethodi priklju enom naponu za neki kut +. Analogno kao i pod a) crtamo krivulju snage. To grafi ki izgleda ovako:

Rijeio: Kreimir Fekete, 1272

3.11. U spoju (sl.3.11) je U = 100 V, L = 282 H i C = 0.1 F. Treba: 1. odrediti rezonantnu frekvenciju, struje u granama i ukupnu struju koju daje izvor kad je mrea u rezonanciji i za 02 ff = ; 2. nacrtati: ( )LI , ( )CI ,

( )I i ( ) .

Rjeenje: Mrea moe stupiti u strujnu (paralelnu) rezonanciju. Uvijet za strujnu rezonanciju je: { } 0Im =Y

( )

Hzf

LCf

sLCL

CBB

BBjGY

LC

LC

4

660

0

15

660

103101.0102822

12

1

1088.1101.010282

11010

=

=

=

=

====

+=

( ) AIIIIII

ALUUBI

ALUUBI

ARUI

RRLCR

CC

LL

R

20

88.1101.01088.1100

88.1102821088.1

100

250

100

2222

65

65

==+=+=

====

=

===

===

-za 02 ff = :

( ) ( ) AIIII

ACUUBI

ALUUBI

ARUI

sfHzf

LCR

CC

LL

R

47.394.077.32

77.3101.01077.3100

94.0102821077.3

100

250

1001077.321061032

2222

65

65

1544

=+=+=

====

=

===

===

====

U

I

R L C+

Sl. 3.11.

- ( )LUI L

= -za 0 LI

-za 0LI-za 0 = AIL 88.1=

- ( ) LUI C = -za 0 0CI-za CI-za 0 = AIC 88.1=

- ( )2

2

+=

LUCUII R

-za 0 I-za I-za 0 = AI 2=

- ( ) { }{ }

=

=

== C

LR

XXR

R

XXZZ

CL

CL

1arctan11arctan1

11

arctanReImarctan

-za 02

-za 2

-za 0 = 0=

Rijeio: Dubravko Fici

IL(A)

1.88

0 :0 :

IC(A)

1.88

0 :0 :

I(A)

1.88

0 :0 :

;(rad)

::00

2

2

3.12. Na spoj (sl. 3.11) prikljuen je sinusoidalni napon frekvencije . Na sl. 3.9 je dijagram promjene energije elektrinog polja. Nacrtajte (kvalitativno) u istom koordinatnom sustavu promjenu napona mree i energije magnetskog polja za :

a) >0 b) b) 0 = LC1

Iz G

cLarctg

+=

1

slijedi graf:

Rijeio : Luka Gabri0, 1254.

3.13. Na prikljunice kruga (sl. 3.11) spojen je naponski izvor promjenjive frekvencije; na sl. 3.13. prikazana je frekvencijska karakteristika ukupne struje mree: R = 200 , C = 0,1 F. Odredite: 1. induktivitet; 2. struje u granama mree kad je krug u rezonanciji.

sl. 3.11 sl. 3.13

Rjeenje:

1. Iz grafa frekvencijske karakteristike ukupne struje mree se vidi da se za odre*enu vrijednost frekvencije ovaj paralelni RLC spoj nalazi u rezonanciji. Poznavaju-i uvjet za ovu, paralelnu/strujnu rezonanciju (da je imaginarni dio admitancije jednak nuli), lako moemo izraunati induktivitet na slijede-i nain:

izrazimo admitanciju: ( )LCLC BBjGjBjBG +=+=te njen imaginarni dio izjednaimo sa nulom: 0= LC BBiz ovako dobivenog uvjeta, izrazimo induktivitet:

HLC

LL

C

LC

001,0

11

01

200

0

00

=

==

=

pri emu smo iz zadane frekvencijske karakteristike oitali vrijednost rezonantne frekvencije. (ona odgovara ekstremu zadane krivulje, a taj pak lei u toki (=10*104 1/s, I=0.1 A))

2. Da bi odredili vrijednost struja u pojedinim granama, potrebna nam je vrijednost napona. Nju cemo

odrediti iz izraza za admitanciju uzimaju-i tako*er u obzir uvjet rezonancije:

VIRIUG 20==

== , gdje smo za I uzeli struju oitanu na ordinati zadanog grafa, 0,1A)

Iz prethodnog razmatranja vidimo da je struja IR jednaka ukupnoj struji kruga. Iz uvjeta rezonancije

zakljucujemo da su, zbog jednakosti admitancija, jednake i struje IL i IC, a njihova vrijednost iznosi:

ABUBUII CCLLLC 2,0====

jer vrijedi da je UL=UC=UR=U=20 V.

Rijeila: Nataa Nikoli-, 1253.

~

I

+U CLR

16*10412 840

0,2

0,4

0,6

, 1/s

I, A

RI1

C

L

sl. 1.

3.14. Paralelni spoj u mrei ( sl.1. ) je u rezonanciji pri frekvenciji s1105 40 = uz FC 4.0= i AI 21 = .

Izra!unajte napon napajanja mree i napon na radnom otporniku.

Rjeenje:

Pri ovakvom spoju javlja se paralelna ili strujna frekvencija. To zna!i da pri daljnjem ra!unanju trebamo dobiti struje LI tj 1I i CI koje trebaju biti istog iznosa ali suprotnog predznaka. To nam odmah govori da (emo imati dvije komponente struje !iji (e vektorski zbroj davati ukupnu struju grane tj struju RI . Ako te dvije struje imaju isti iznos a suprotni smjer odmah zaklju!ujemo da je ukupna struja 0 i da tom granom gdje je radni otpornik ne te!e nikakva struja pa stoga nema ni napona. No recimo da neznamo te nekakve detalje pa idemo dobiti korak po korak matemati!kim ra!unom. Dakle prvo kre(emo od formule za napon iz ohmovog zakona:

RIU R = gdje je I struja na radnom otporniku. Dalje gledamo rezonantnu frekvenciju iz koje budemo izra!unali induktivitet zavojnice:

Sve traene vrijednosti imamo zadane pa uvrtavanjem dobivamo da je HL 3101 = .

Ohmov zakon modificiran za granu gdje je induktivitet L glasi ovako:

LL xIU = 1 gdje je LfxL = 2 i iznosi =50Lx .

Iz toga slijedi da je VU L 100= a poto je kondenzator paralelno spojem s zavojnicom zna!i da je i VUC 100= .To isto smo mogli dobiti da smo izra!unali induktivni otpor i ponovili isti ra!un kao i za LU .

Dakle napon mree iznosi VU 100= jer je CR UUU == .Crtaju(i fazorski dijagram dobivamo ovakvu sliku:

Pri tome znamo da struja na induktivitetu kasni za naponom a na kapacitetu prethodi naponu. Poto su obje struje jednake po iznosu, njihov vektorski zbroj daje 0 to nam zapravo predstavlja ukupnu struju RI .

Iz toga slijedi da je napon na radnom otporniku: VRRIU RR 00 ===

Zadatak rijeio: Gebert Andrija.

CL

CL =

= 2

00

11

U

IC

IL

3.15 Zadana je mrea s u = 10 sin 105t, R = 10 , L = 0,4 mH i C1 = 0,1 F. Mrea je u rezonanciji. Odredite:

1. C2;2. I1, I2 i I;3. snagu koju uzima mrea.

Rjeenje: 1. Uvjet za rezonanciju paralelnog kruga jest:

Vodljivost lijeve grane je:

Vodljivost desne grane je:

Ukupna vodljivost je:

( ) ( )

( ) .

1

22221222

212222121

+

++

+=

+++

=+++

=+=

LRLCCj

LRRY

CCjLRLjRCCj

LjRYYY

Dakle, uvjet za rezonanciju paralelnog kruga +e biti ispunjen ako je:

i iz tog izraza dobivamo:

2. Struje u granama bit +e:

3. Radna snaga koju uzima mrea jednaka je snazi na otporniku R:

Rijeio: Damir Hamidovi+, ID 26.

C1

I2I

I1

L

RC2

+U

[ ] 0=YIm

LjRY

+=

11

( )212 CCjY +=

( ) 22221 LRLCC

+

=+

.135,012222 FCLRLC

=

+=

( )

.041,0

166,0

172,0

222

212

2221

ALR

RUGUI

ACCUI

ALR

UI

=+

==

=+=

=+

=

.3,021 WRIP ==

3.16. Mrea (sl. 3.16.) je u rezonanciji; mAIs

VU 225,1105,30 3 === i mAI 3751 = . Naite kapacitet

kondenzatora.

Rjeenje:

Rijeio: Igor Hegedi; ID: 27

( )

( )

FX

C

CZX

ZZZZ

Z

ZZZZZZZZZZZ

ZZZZZZZZZ

Z

II

IUZ

IUZ

C

C

R

21

1

100

0

13.53375225

cos

cos

80

3.133225.030

2

1

12

112

1212

212121

21

1

1

1

13.53

11

0

=

=

==

=

=

=

=+

=++

=

=

=

=

==

===

3.17. Na spoj sl. 3.17. prikljuen je sinusoidalni napon frekvencije . Sl. 3.17a. sadri dijagram energije magnetskog polja. Nacrtajte (kvalitativno) dijagram prikljuenog napona i energije elektrinog polja kruga za: a) > 0 i b) < 0.

W

0 2 tsl.3.17a.

Rjeenje: a) Uc, U, i, WL, Wc

WLWc

iUc

U

0 2

b) Uc, U, i ,WL, Wc

Wc

WL

iUc

U

0 2

Rijeio : Krunoslav Jaro

3.18 Za krug sa slike je L=0.01mH i C=0.001F. Treba:

1. odrediti rezonantnu frekvenciju; 2. nacrtati I1=F1(), I2=F2(),I=F().

Uzmite da vrijednost priklju(enog napona iznosi 1V.

LI1

II2

C

Rjeenje: L=0.01mH C=0.001F

-pri rezonantnoj frekvenciji 0 0e struje I1 i I2 imati jednake amplitude ali 0e biti fazno pomaknute za 180, pa 0e ukupna struja biti I biti nula.

I1

U

I2

-strujna(paralelna) rezonancija

1. )(,1

00 CL XXCL ==

17

63020 10

10001.01001.0

111

=

=== sLCLC

2. )(11 FI = I1

1

1 === LU

LU

XUI

L

(hiperbola) I1=F1()

)(22 FI = I2

UC

C

UXUI

C

===12

(pravac) I1=F1()

)(FI = I

21 III += == 1000 LX L I=F()== 100LC XX (za rezonantnu frekvenciju) 0.01A

AXUI

Lm 01.0100

1=== 0=107s-1

Rijeio: Mihael Jugovi0

3.19. Na spoj prikljuen je napon konstantne amplitude i frekvencije, pri tome je: 1.C=konst., L se mijenja od 0 do ;

2. L=konst., C se mijenja od do 0.Za svaki sluaj nacrtajte (kvalitativno) dijagrame efektivnih vrijednosti struja u granama i ukupne struje mree, zavisno od L i C.

Rijeenje: 1. C=konst., L se mijenja od 0 do

2. L=konst., C se mijenja od do 0

Rijeio: Mario Juki.

IL

L

IC

IL IC

L

C

I

I1

I2

IC

IL

L

IC

IL

3.20. Na spoj (sl. 3.20.) prikljuen je napon efektivne vrijednosti VU 100= , == 5,15 LXR i=10CX .

Naite: 1. 0R uz koji e krug biti u rezonanciji; 2. struju u rezonanciji.

Sl. 3.20. Rjeenje:

1.) 0R moemo dobiti iz uvjeta { } 0Im =Z :

( )

+

++

+

=++

+

=

=+++

=+++

=+++

=++=

220

20

220

20

220

00

0

0

0

0 11111

C

CL

C

CL

C

CC

LC

CL

C

LC

L

XRXR

XjRXRXR

jXRXR

jXRXR

jXRjXRXRjXR

jXR

jXRjBG

jXRY

Z

{ } 0Im =Z

0220

20 =+

C

CL XR

XRX

=

+=

+=

=+

=+

=+

=+

102

0202

10042020

010020

5:/05001005

0

0

2

0

020

020

220

20

20

220

R

R

RRRR

XXXRXRXRXXXR

LCCL

CLCL

2.)

AI

RXR

XRU

XRXRXR

XRXR

UZUI

C

C

C

CL

C

C

5

20100

1510101010

100

0

22

2

220

20

220

20

2

220

20

0

=

=+

+

=

++

=

+

+

+

+

==

Rijeio: Danijel Juri

3.21. Spoj na slici je u rezonanciji. Uz frekvenciju =0 Zu1(0)=5 , a pri rezonantnoj frekvenciji Zu1(0)=2.5 odredite R, XL i XC.

L

+

u ~C R

Rjeenje:

CX

LX

C

L

1

=

=

=5)(1 oZuZa frekvenciju =0 zavojnica se ponaa kao kratki spoj a kondenzator kao beskona+no veliki otpor , pa iz toga slijedi da otpor R iznosi tako-er R=5.Pri rezonantnoj frekvenciji Zu1(0)=2.5 dobivamo:

C

CLu jXR

RjXjXZ

+=)( 01

kad racionaliziramo razlomak sa C

C

jXRjXR

dobivamo:

=

==+

=

+=

5.2

.5.250

1252525525

2

2

L

L

C

CL

X

X

XRXR

X

Rijeio: Marko Jurkovi2

==

=

+=

+=

=+

+

+=

+

+=

525

5.625.2

5.25.625

5.25.2

5.2

)()(

)(

2

2

22

222

22

2

22

2

22

2

01

22

22

01

C

C

C

CC

CC

C

C

C

C

C

CLu

C

CCLu

XX

X

XX

XRRX

XRRX

XRRX

XRXRXjZ

XRRXjXRjXZ

3.22 Spoj (slika 3.22) je u rezonanciji ; pri tome je Z( 0 )=0.8 , a R= 4 . Odredite XL i XC .

C

U

R L

Slika 3.22

Zadatak &emo izra'unati uz pomo& formule za impedanciju. I da ne duljim prelazim na ra'un ;

L

LC jXR

jXRjXZ+

+= racionaliziranjem nazivnika dobijemo ;

L

LC jXR

jXRjXZ+

+=L

L

jXRjXR

+

+

+

=

+

+= C

L

L

L

L

L

LC XXR

XRjXRXR

XRXjRjXZ 22

2

22

2

22

2

Impedancija je jednaka realnom djelu ove jednadbe ;

( ) +

= 22

2

0L

L

XRXRZ 2

2

164

8.0L

L

XX+

=

( ) 22 4168.0 LL XX =+22.38.12 LX=

== 242 LL XX

XL moe biti samo pozitivan pa stoga nisam pisao negativnu vrijednost.

Zatim dolazimo do drugog dijela zadatka, imaginarni dio izjedna'avamo sa nulom ;

CL

L XXRXR

=+

22

2

CX=+

416216

= 6.1CX

Zadatak nije bio pretjerano teak , jer prakti'ki zadane vrijednosti sam samo trebao uvrstiti u formulu koja povezuje te relacije!

Zadatak rijeio Vedran Juro

3.23 U spoju (sl.3.23) je U=50V,R=25 ,L`=2mH,L=0.4mH i C=1 H.Treba : 1.izra#unati rezonantne frekvencije; 2. odrediti struje u granama i ukupnu struju za svaku rezonantnu frekvenciju; 3. pokazati (u op-em obliku )da su maksimalne vrijednosti energija magnetskog i elektri#nog polja me.usobno jednake za svaku rezonantnu frekvenciju .

RJEENJE :

Mreea -e imati dvije rezonantne frekvencije .Prva -e biti ,10*51 141== s

LC kada je

paralelni spoj LC u rezonanciji.Drugu -emo odrediti iz uvjeta Im [ ] .0=ukZ Ukupna impedancija bit -e .

+=

++=XcXXcXXjR

XcXjjXcjXjXRZ

L

LL

L

LL

//

)()(

Sada izjedna-imo imaginarni dio s nulom i izraz napiemo preko .

01

/ =

CL

CL

L

Iz toga izrazimo . 14/

/

10*48,5 =+= sCLLLL

Uz frekvenciju 1 otpor paralelnog kruga je beskona#an pa je prema tome ukupna struja jednaka nuli .Budu-i da je tada napon na paralelnom spoju jednak naponu izvora bit -e

AXU

XcUIIc

LL 5.220

50=====

Pri frekvenciji 2 mrea je u naponskoj rezonanciji i zato je I= ARU 2= a napon na svitku L /

jednak je naponu na paralelnom dijelu mree LC ;dakle je

U VLIULCL 2.21910*2*10*48.5*234/

2/ ==== tada je I A

LULC

L 102

==

pa se dobiva Ic=U ACLC 1210*10*48.5*2.21964

2 ==

Maksimalni iznos energija elektri#nog i magnetskog polja odre.uje se pomo-u izraza Wcmax=CU 2 i W maxL

2LI= .Tako -e kod zbog(1 I=0 i U )ULC = biti

Wcmax=CUC

ICLC1

222 1

= no budu-i da je LC

=1

2

1

i Ic=I L dobivamo da je

Wcmax=W LMAX .

Za frekvenciju 2 izlazi da je Wcmax=CU LC2

W .22

2

2

2/2

2

2/

/

LUL

LUL LCLLMAX

+=

Kako je U LCL U=/ bit -e W

+=+=

LLU

LU

LU

LCLCLC

LMAX2

2/2

22

22

2

/2

2

2 11

Isto tako je ,//

22

CLLLL +

= prema tome je

W .max)()(

2/

/

//

/2 WcCU

LLLCLL

LLLCLLU LCLCLMAX ==

+

++

=

ZADATAK RIJEIO :SLAVEN KALUFER 2.GOD.ETF-OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 2

,22/ LLMAX LIILW +=

3.24Krug je u rezonanciji,Ic=7A i I=3,6A.Odredite IL.

Rjeenje:

-fazorski dijagram:

RC

L

I

Ic

LI

LU U=I

RU

CI

CU

LI

-objasnjenje fazorskog dijagrama:

-napon U i struja I u fazi(nastupa rezonancija) -Ic predhodi U za 90,a zbog otpora u grani Ic se nalazi izme-u 0 i 90 -IL kasni za U za 90 -Uc kasni za 90 za Ic -UR u fazi sa Ic

-iz fazorskog dijagrama vidimo:

U=Uc + UR

U=UL

IC=IL + I

IL2=IC2-I2

IL= 2 27 3.6

IL=6A

Komentar:

-u ovom zadatku je dobro prvo nacrtati fazorski dijagram iz kojega se moze is0itati daljnji postupak koji vodi rjeenju zadatka -vidimo da u krugu moe nastupiti samo paralelna(strujna) rezonancija

Rijeio:Robert Kanjka

3.26. Spoj na slici je u rezonanciji i uzima snagu WP 80= . Ako je AI 41 = i AI 52 = , odredite R, XLi XC.

I1 I2

I3+ R

U XC

XL

Rjeenje:

I1 I2

I3 I3R

+U C I1 U = UC

L I2 UL

UR

Napon izvora ujedno je i napon na kondenzatoru, struja prethodi za 90, zbrojimo I3 i I1 te dobijemo struju kroz RC granu. Struja I2 u fazi je sa naponom na radnom troilu u toj grani, dok napon na induktivitetu prethodi za 90. Geometrijskim zbrojem napona UR i UL dobijemo ukupni napon. Ukupnu struju dobivamo kao zbroj kapacitivne struje i struje kroz granu sa radnim otporom i induktivitetom. Struju I2crtamo pod odre,enim kutom jer se u toj grani nalaze dva elementa. C XC I3 ( < 0)

Ako struja raste, spoj postaje kapacitivnog karaktera C XC I3 ( > 0) Ako struja pada, spoj postaje induktivnog karaktera. Promjenom kondenzatora mijenjamo ukupnu struju, struja troila se ne mijenja, tako kompenziramo snagu. Strujna rezonancija Im {Y}= 0

+

++

=

+

+= 2222 )()(1

LRLCj

LRR

LjRLjR

LjRCj

PR1

CX1

LPX1

20

20

0 )( LRLC

+=

Ovaj izraz nam govori da su prva i druga grana u rezonanciji

2

2

2

2

2

2

0 111

LCLR

LCLR

LCL

RCL

==

=

2

00 1

=

LR

Izraz u zagradi moemo napisati kao dobrotu kruga pomnoenu sa rezonantnom frekvencijom.

0201 = Q

LR

RUL

U

IIQ

R

L

0 ===

LCLPCPLPCP

jQjQPXUj

XUj

RUU

Xj

Xj

RYUIUS +=+=

+===

2222** 111

za bilo koji spoj: = iPP

= CiLi QQQ

Rijeio: Zvonimir Kasalo, 1216

3.27 Spoj je u rezonanciji pri Hz 105 3=f i snaga mu je P = 100 W. Struje iznose I1 = 3A, I2 = 2 A i I = 7,24 A. Ako je R1 = R3 odredite C i L.

Rijeenje:

F68,1442

1

22,0

A8.153

53sinsin

V4,0

85.2

A84,4strujom ukupnom safaziusuIiIstruje

A4,232sincos

H219,02

9,6

V81,13

1cos

21

2

3

3

3R

12

2

321

==

==

==

=

===

==

==

=

=

==

==

===

==

==

C

C

CC

C

RRC

R

R

L

L

fXC

IUX

III

RIUUUUIUR

III

II

fXL

IUX

UUUUIPU

IUP

Rijeio: Jovan Klaji/

R

C

LU

I I2 I3

R

I1

Zadatak 3.39. U spoju prema slici je U=50 V, f=150 Hz, R1=8 i R2=5 , XL=6 . Ako je krug u rezonanciji, odredite vrijednost kapaciteta C.

Rjeenje: Rezonantna frkvencija ,e biti ako je Im{Y}=0, a iz uvjeta BC=BL, tj.

221

222 L

L

C

C

XRX

XRX

+=

+se izra3una XC.

( ) ( )

1280100

12360010000100

01501006

062563664

1

0

0

0

2,1

2

2

222

221

222

221

221

222

=

=

=+

=+

==

=+

=++

=+

+

C

CC

CCC

LC

CLLLCC

CLLC

L

L

C

C

X

XX

XXX

LXC

X

XXRXXXRX

XRXXRX

XRX

XRX

R2I1

C

R1

LU

I2

I

FC

CC

FC

CC

f

XX CC

15,663

195,150716,1)2

7,70

105,14137115 )1

47,9422

6,115

2

1

21

=

==

=

==

==

==

Rijeio: Ivan Lokmi,, 1157, ID: 50

3.29. Zadan je spoj prema sl. 3.29. Treba odrediti: 1. rezonantnu frekvenciju uz zadane elemente R1, R2, L i C; 2. ako su zadani R1, R2, i C induktivitet L uz koji #e krug biti u rezonanciji.

-Rjeenje: 1.)Rezonantnu frekvenciju odredit #emo iz uvjeta Im[Y

]=0

Ulazna vodljivost bit #e:

+

+

+

+

++

=

=+

++

=+=

221

222

222

222

1

1

21

21 111

L

L

C

C

CL XRX

XRXj

XRR

XRR

CjRLjR

YYY

&&&

Ako imaginarni dio ulazne vodljivosti izjedna1imo s nulom, iz dobivenog izraza izra1unavamo da je:

CLR

CLR

LC

=

22

21

01

Odavde moemo zaklju1iti da #e rezonantna frekvencija postojati kada je broj ispod korijena pozitivan, a to vrijedi u ovim slu1ajevima (jer je frekvencija pozitivan realni broj):

a) CLR >21 i C

LR >22 ;

b) CLR

2. Rijeimo li izraz:

221

222 L

L

C

C

XRX

XRX

+=

+po L,

dobivamo da je:

[ ]2214222 421

CXRZZCL += , gdje je;

22

22 CXRZ += .

O1ito je da #e uz: a) 221

42 4 CXRZ > postojati dvije vrijednosti induktiviteta L kod kojih postoji rezonantna

frekvencija;

b) 2242 4 CL XRZ = biti samo jedna vrijednost, i to 222

1CZL = ;

c) 224 4 CLC XRZ < ne postoji vrijednost L uz koju bi krug mogao biti u rezonanciji. Na sli1an na1in mogli bismo dobiti (uz ostale zadane vrijednosti) C, R1 i R2 pri kojima je spoj

u rezonanciji.

Rijeio: Marko Kneevi#

3.30 Zadan je spoj (sl. 3.16), kojemu je )3010sin(25 4 += ti , =1R i =1LX . Spoj je u rezonanciji. Odredite: 1. C ; 2. izraze za trenutne vrijednosti struja 21,ii i napona u ; 3. snagu koju troi mrea.

Rjeenje : 1. Pri rezonanciji je [ ] ,0Im =Y

pa je ,01Im1

=

++

CjLjR

odnosno ,05,00 =C

te je FC

505,0

0

== .

2. Pri rezonanciji je GY = , pa je napon na paralelnom spoju jednak :

=== 3030

2105,0

25 jjmm e

eYIU ,

a struje su tada :

.25

,10120

22

3011

==

==j

mm

jmm

eYUI

eYUI

Trenutne vrijednosti +e biti :

).120sin(25

),15sin(10),30sin(210

2

1

=

=+=

ti

titu

3. { } { } WeeIUP jj 50510ReRe 3030 === , ili .501

21 WRIP ==

Rijeio : Danko Ko/i, 1154

Sl. 3.16.

C

I2

L

R

I1I

+

U

3.31 Spoj (sl. 3.31) kojemu je )45t310sin(2224u = , R1= R2= 2 i XC=2 je u rezonanciji. Odredite: 1. L ; 2. izraz za trenutnu vrijednost i, i1, i2 ; 3. snagu koju uzima mrea.

Rjeenje:

)45t310sin(2224u =R1= R2= 2 XC=2 +0=2 103

{ }

)45-t310(2sin 24iA45406

4524

ukZ

UI

0602041RRLCZukZ

04RLCZj04j02

2222LXXc

2Xc22Rj2R

2Xc22R

RLCY

1RLCZ

mH 2LH31023102

4L0+

LXLL0+LX

4LX0LX

1

4

10

LX

1

2222

2

0LX

12Xc

22

R

Xc

LX

12Xc

22R

Xcj

2Xc2

2R

2R

2Xc2

2R

jXc2

R

LX

1j

jXc2

R

jXc2

R

jXc2

R

1

LjX

1

jXc2

R

1

LjX

1RLCY

0RLCYIm

4524U

=

=

==

=

+

=+=

=+=+

+=

++

+==

=

=

===

===+

=+

+

++

=+

++=

+

+

+=

=

+=

=

=

Sl. 3.31

W96PW96424cosIUP

A)135t310sin(2242iA454

904

4516

LX

RLCU2I

A3102sin81iA0

2

8

4522

4516

RCZ

RLCU1I

45

22RCZ22822222Xc2RRCZ

V45160245445241RI-UR1UURLCU

====

=

=

==

=

=

==

===+=+=

=

===

Rijeio: Mirko Khler

3.32 Zadan je spoj (sl. 3.32). Poznati su Ro, R, C i fre3kvencija prikljuenog napona. Na!ite XL uz koji $e krug biti u rezonanciji. Izraunajte pri kojem odnosu R i XC u promatranom krugu ne moe nastati rezonancija Promjenom XL.

Rjeenje: Ukupna impedancija je: 21 ZZZ += gdje je: CO1 jXRZ +=

+

=+=L

C

L2 RjXRjX

jX1

R1

Z1

22L

2L

2L

L

L

L

L2 RX

RjXRXRjXRjX

RjXRjXZ

+

=

+

=

Iz ovog slijedi da je ukupna impedancija:

+

++

=+

+

+= 22L

2L

C22L

2L

O22L

2L

22L

2L

CO RXRXXj

RXRXR

RXRjX

RXRXjXRZ

Rezonantnu frekvenciju dobit $emo iz uvjeta Im[Z]=0

=+

0RX

RXX 22L

2L

C += 22

L

2L

C RXRXX ( ) 2LC22L RXXRX =+

Dobije se kvadratna jednadba po XL:

0XRXRXX C2

L22

LC =+2

2C

4

C

2

C

22C

42

L R4XR

2XR

2XR4XRR

X =

=

Iz uvjeta da podkorjena veliina mora biti ve$a ili jednaka nuli dobit $emo uvjete kada krug ne moe u rezonanciju promjenom XL:

222C

4

R:0R4XR

014XR 2

2C

2

012X

R12X

R

CC

+

Iz ove jednadbe slijede 2 uvjeta: 1) 2)

01X2R01

X2R

CC

+ 012X

R012X

R

CC

+

CC 2XR2XR CC 2XR2XR

-2XC 0 2XC

Krug ne moe u rezonanciju promjenom XL kada CC XX 2,2R Rijeio: Tomislav Mati$

3.33. Poznati su R, L i C spoja sa slike. Odredite rezonantne frekvencije.

Kako imamo vie elemenata u mrei i mjeoviti spoj, u ovoj shemi dolazi i do paralelne i do serijske rezonancije.Pri !istom 0 imamo strujnu rezonanciju, a pri frekvencijama 01 62.0 = i

02 62.1 = dolazi do naponske rezonancije.

Paralelna rezonancija U grani sa reaktancijama LX i CX dolazi do paralelne rezonancije, ponitavaju se struje kroz reaktivne komponente (strujna rezonancija).

====

===

=+=

=

=

2020

1

0

0

22

22

11

22

22

22

CjI

L

IUUU

UUU

III

II

II

CL

CL

LCR

CL

CL

CL

Kako imamo rezonanciju, proizlazi da su komponente sa induktivnom i kapacitivnom strujom jednake. Iz njih moemo prona+i fazore struja LI i , odnosno CI :

frekvencija pri kojoj dolazi do paralelne rezonancije

22

0

20

20

1

1

2

CL

ILjC

jI Lc

=

=

=

2CI

2LI

22 CLUUU ==

0

0

2

0

2

0

90

90

0

=

=

=

I

II

II

L

C

U

R 1C

2C

1LI 2LI

1L

2L

=

=

=

2222

2222

22

1

11

11

LC

j

LC

jCLLjZ

Dobrota kruga Q pri paralelnoj rezonanciji definirana je kao omjer reaktivne struje pri rezonanciji u odnosu na ukupnu struju, odnosno vrijedi:

, a priguenje kao recipro!na vrijednost dobrote je: Q

d 1=

Serijska rezonancija

ra!unamo ukupnu impendanciju

=

=2

0

2

222

22

11

LjCLLjZ

220

1CL

=

Kada gornji izraz podijelimo sa prvim !lanom nazivnika, dobijemo omjer frekvencije i rezonantne frekvencije. 2lan u nazivniku moemo zamijeniti sa novom oznakom a

LajLjZ

=

=2

0

22

10 0

Novi izraz za impedanciju za frekvenciju ve+u od rezonantne. 2lan bC predstavlja novi kapacitet koji je umnoak normalnog kapaciteta i izraza sa frekvencijama u zagradi.

00

00

II

II

Q CL ==

22

2

2

22

22

2 11

1

CL

CL

j

CjLj

CjLj

Z

=

=

a) 0 < b)

U oba slu!aja RUI =

003

002

0

21

21

62.162.0

1

=

=

=

==

==

LC

LLLCCC

Frekvencije pri kojima dolazi do naponske rezonancije.

Rijeio: Kreo Kova!evi+

( )aLLC +=

1102

1

( )bCCL +=

1103

1

RR 1C1C

bC

1CU

bCU

1LU

I

PUU =

PUU =

1CU

1LU

bLU

pI

1L

aL

1L

3.33 Poznati su R, L i C spoja sa slike 3.33. Odredite rezonantne frekvencije.

R C

+ CU L

L

Slika 3.33 Rjeenje:

Strujna rezonancija:LC1

01 =

Naponska rezonancija:

)(

)(

CL

CLLC

LCL

Lc

XXjXXjXjXR

jXjXjXjXjXjXRz

++=

+

+=

cL

cLLC xx

xxxxz

++=0)Im(

01

1

00

00 =

CL

CL

CL

CL

CL =

2

00

1

CL

CL =

00

1

CL

CLC

=

0

20 1

CCLLC 0

20 1 =

0101

0

2

01

0 =

001

0 >=x

012 =xx

251

251

251

2411

1

1

2,1

+=

+

=

=

+=

x

x

x

101

102

62,0

62,1

=

=

Rjeenje: Mario Kordi,, 1252 ID:43

LCLCLC = /0102

0

3.34. U spoju na slici je 1 2LR R RC

= = = . Pokaite da je spoj u rezonanciji neovisno o frekvenciji.

Rjeenje: U ovoj mrei mogu!a je jedino serijska (naponska) rezonancija. Uvjet za serijsku rezonanciju je:

{ }Im 0Z =Ukupna impedancija mree:

1 1 1 1 11 1 1 1

CL

L C L C

L C

jRXjRXZ

Y G jB G jB R jX R jXR jX R jX

= = + = = + + ++ +

Da bi dobili imaginarni dio tog kompleksnog broja moramo racionalizirati nazivnike: 2 22 2

2 2 2 2

2 22 2

2 2 2 2 2 2 2 2

C C C CL L L L

L L C C L C

C CL L

L C L C

jRX R jX jR X RXjRX R jX jR X RXR jX R jX R jX R jX R X R X

RX R XRX R Xj ZR X R X R X R X

+ + = =

+ + + +

+ =

+ + + +

Odavde jasno vidimo koji je imaginarni dio impedancije:

{ }22

2 2 2 2ImCL

L C

R XR XZR X R X

= + +

Vidimo da !e ta mrea uvijek biti u rezonanciji jedino ako je ispunjen uvijet: 22

2 2 2 2CL

L C

R XR XR X R X

=+ +

Da bi provjerili je li ova tvrdnja istinita uvrstimo izraze za R, XC i XL i izra.unamo svaku stranu jednadbe zasebno:

2

2

2 2 2 2 22 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

1

1

1 1 1

L

L

C

C

L LLR X LC CLR X L L C LCLC C

LLR X LC C C

LR X LC LCC C C

= = =+ + ++

= = =+ + ++

Vidimo da su ta dva izraza jednaka. Iz toga slijedi da je { }Im 0Z = za bilo koju vrijednost frekvencije, jer je o.igledno da !e se dva izraza pokratiti u svakom slu.aju.

Rijeio: Robert Kova.evi!

3.35. Krug sadri u serijskom spoju svitak i kondenzator promjenjivog kapaciteta. Induktivitet svitka je HL 25= . Kapacitet se moe mijenjati od Cmin = 25 nF do Cmax = 160 nF. Radni otpor kruga je neovisan o

frekvenciji i iznosi = 6,1R . Odredite granice mijenjanja rezonantne frekvencije kruga, dobrotu i priguenje kruga pri grani(nim frekvencijama.

Rjeenje: R L C

UR UL UC

I E

U serijskom RLC spoju moe nastupiti samo serijska ili naponska rezonancija.

( )[ ]CL XXjRIZIE +==

Da bi dolo do rezonancije, mora biti ispunjen uvjet za rezonanciju, a to je

{ } 0Im =Z tj. 0= CL XX CL XX = CL

=

1CL

=1

Uvrtavanjem gore zadanih parametara dobivamo:

1

96max

01 500000101601025

11

=

=

= sCL

1

96min

02 126491110251025

11

=

=

= sCL

Rezonantne frekvencije iznose:

Hzf 795772

5000002

0101 =

=

=

Hzf 2013162

12649112

0202 =

=

=

Da bi izra(unali dobrotu, moramo izra(unati valni otpor koji iznosi:

CL

=

U izraz za valni otpor unosimo zadane vrijednosti i dobivamo:

==

==

5.1225.156101601025

9

6

max1 C

L

~

==

==

62.31100010251025

9

6

min2 C

L

Dobrota je jednaka R

Q =

Uvrtavanjem zadanih vrijednosti dobivamo slijede4e dobrote:

8125.76.15.121

1 === RQ

7625.196.162.3121

2 === RQ

Priguenje je jednako: Q

d 1= , pa uvrtavanjem zadanih parametara dobivamo priguenja:

128.08125.711

11 ===Qd

0506.07625.1911

22 ===Qd

Rijeio: Ivan Krznari4

3.36. Krug, iz zadatka 3.35 koji glasi: U serijskom spoju svitak i kondenzator promjenljivog kapaciteta. Induktivitet svitka L= 25 F, kapacitet kondenzatora moe se mijenjati od Cmin = nF do Cmax = nF. Radni otpor kruga je neovisan o frekvenciji i iznosi R= 1.6 '.. napaja se iz ivora sinusoidalnog napona promjenjive frekvencije. Napon izvora je U= 60 mV. Treba izra$unati napon svitka kod rezonancije pri %10= 1.58 ( 107 1/ s i %20= 4 ( 107 1/ s. RJEENJE:

LU CU R L C

IU

BEZ RADNOG OTPORA SA RADNIM OTPOROM

- zadano: C = 25 F Cmin= 0.025 nF Cmax= 0.16 nF R = 1.6 radni otpor U = 60 mV %10 = 1.58 ( 10 7 1/ s %20 = 4 ( 10 7 1/ s

UL 1 = ?UL 1 = ?

- kreAemo od iznosa za rezonantnu frekvenciju iz koje Aemo izra$unati vrijednost kapaciteta kondenzatora pri zadanim frekvencijama %10 i %20 .

- izraz za rezonantnu vrijednost glasi:

LC1

0 =

- ako u tu formulu uvrstimo zadanu frekvenciju %10 i induktivitet L, dobijemo:

1

101LC

=

- iz toga slijedi da je

10

11

=LC

- kvadriramo lijevu i desnu stranu

210

11

=LC

- iz $ega slijedi izraz

( ) 6242101 10251058.111

==

LC

- uvrtavanjem zadanih vrijednosti dobijemo kapacitet koji iznosi: 101 106.1

=C- taj isti slu$aj ponovimo i za drugu rezonantnu frekvenciju %20

( )11

2

627220

2

220

20

20

105.21025104

11

1

1

1

=

==

=

=

=

C

LC

LC

LC

LC

- u shemi spoja odredimo fazore U i I i piemo jednadbu drugi Kirchoffovog zakona cL UUU =- ako fazore izrazimo preko impedancije

CC

LL

jXIUjXIU

=

=

- potom sve uvrstimo u jednadbu CL jXIjxIU =- sreEivanjem i uvrtavanjem radnog otpora, dobiva se: ( )[ ]CL XXjRIU +=- u tom izrazu R predstavlja radni otpor, a LX i CX , kako se kae u zadatku, mora biti u rezonanciji ,

to zna$i da Ae se LX i CX ponititi , a to moemo dokazati : LX L =- uvrstimo li zadane vrijednosti dobivamo:

=

==

395

102511058.1

1

1

6710

L

L

X

Fs

LX

- ako ponovimo i za drugu frekvenciju %20 -

CX

X

Fs

LX

C

L

L

1

1000

10251104

2

2

6720

=

=

==

- uvrstimo li zadane vrijednosti dobivamo:

=

==

395

106.111058.1

11

1

1107110

C

C

X

Fs

CX

- ako ponovimo i za drugu frekvenciju %20

=

==

1000

105.21104

11

1

2114220

C

C

X

Fs

CX

- usporeEujuAi rezultate, zaklju$ujemo da su u rezonanciji to i dokazuje

==

==

1000

395

22

11

CL

CL

XXXX

- uvrstimo li dobivene vrijednosti za %10 u jednadbu vidimo da se LX i CX krate

( )[ ]( )[ ]

=+=

+=

6.13953956.1

11

IUjIU

XXjRIU CL

- odatle slijedi da je:

=6.1UI

- poto je mVUUU 6000 === , iz toga slijedi da je struja II =

mAI

VUI

5.376.11060

6.1

3

=

=

=

- tada napon na L za frekvenciju %10 iznosi

VU

AXIU

L

LL

81.14

395105.37

1

1

3

=

==

- ako sve ovo ponovimo i za frekvenciju %20 dobijemo:

mAI

VUI

IU

5.376.11060

6.1

6.13

=

=

=

=

- tada napon na L pri frekvenciji %20 iznosi

VU

AXIU

L

LL

5.37

1000105.37

2

2

3

=

==

RIJEIO: KukiAMarko

ID 48 zadaa br.3 Zadatak 3.37. Svitak i kondenzator spojeni su serijski. Na itav krug prikljuen je napon od 120 V. Napon kondenzatora iznosi 160 V. Kolik je napon svitka ako je poznato da je krug u naponskoj rezonanciji? Gubici energije u kondenzatoru prema gubicima energije u svitku su zanemarivo maleni. Rijeenje:

Slika zadatka

zadano: U=120 o VUC=160 V Traimo ULZ=j(XL-XC)Crtamo vektorski dijagram:

:

== 13.53UUarctg C

U=UL+UC120=UL+j160

20040000

160120 22

==

+=

L

L

U

U

UL=200 V Rijeio:

Daniel Kuric ID 48

3.38. Krug sastavljen prema slici je u rezonanciji. Krugu je prpojen napon U=120V, a napon kondenzatora je VUC 160= . Odredite napon svitka. Gubici energije u kondenzatoru i svitku mogu se zanemariti. Paralelni spoj R i LX zamjenite serijskim.

RJEENJE:

Prvo crtamo I (ona je zajedni,ka pri serijskoj rezonanciji). Napon CU kasni za njom 90/.

'LU prethodi za 90/ i istog

je iznosa (suprotnog smjera u odnosu na CU ). Napon izvora je zbog rezonancije u fazi sa strujom i sav je na

otporu R'. Zbroj napona 'RU i'LU daje napon paralelnog

spoja L i R , koji je ujedno i napon na svitku LU :

jUUUU RLLR 160120'' +=+==

VUL 20040000256001440016012022 ==+=+=

RJEIO: Danijel Kurtovi9

C

R

L

R'

L'

C

120V

120V

CU

'LU

RL UU =

IRR UU =

'

Zadatak 3.39. U spoju prema slici je U=50 V, f=150 Hz, R1=8 i R2=5 , XL=6 . Ako je krug u rezonanciji, odredite vrijednost kapaciteta C.

Rjeenje: Rezonantna frkvencija ,e biti ako je Im{Y}=0, a iz uvjeta BC=BL, tj.

221

222 L

L

C

C

XRX

XRX

+=

+se izra3una XC.

( ) ( )

1280100

12360010000100

01501006

062563664

1

0

0

0

2,1

2

2

222

221

222

221

221

222

=

=

=+

=+

==

=+

=++

=+

+

C

CC

CCC

LC

CLLLCC

CLLC

L

L

C

C

X

XX

XXX

LXC

X

XXRXXXRX

XRXXRX

XRX

XRX

R2I1

C

R1

LU

I2

I

FC

CC

FC

CC

f

XX CC

15,663

195,150716,1)2

7,70

105,14137115 )1

47,9422

6,115

2

1

21

=

==

=

==

==

==

Rijeio: Ivan Lokmi,, 1157, ID: 50

3.40 Radni otpor, svitak i kondenzator spojeni su serijski i prikljueni na generator izmjeninog napona konstantne amplitude, a promjenjive frekvencije. Napon kondenzatora dosegne maksimum pri 1=576 s-1, asvitka pri 2 =625 s-1 .Odredite induktivitet svitka i kapacitet kondenzatora ako je radni otpor R=32 '.

Zapisujemo UL i UC kao funkcije od (U, R, L i C su konstantni):

U I Z= ,2 1( )

UIR L

C

=

+ pa vrijedi:

2 1( )L

U LUR L

C

=

+ 2 1( )C

UUC R L

C

=

+

UL ima maksimum kad je 0LdUd

= ,a UC kad je 0CdUd

= pa ih deriviviramo po , izjednaimo sa 0 i

dobijemo:

0LdUd

= 2

32 2 2 22

1 1( ) ( )0

1 1( ( ) ) ( )

LU L L LUC C

R L R LC C

+ + =

+ +

0CdUd

= 2

32 2 2 2 22

1 1( )( )0

1 1( ( ) ) ( )

U L L UC C

C R L C R LC C

+ =

+ +

Podijelimo obadvije jednadbe sa U i dobijemo:

R XL XC

U

232 2 2 22

1 1( ) ( )0

1 1( ( ) ) ( )

L L L LC C

R L R LC C

+ + =

+ + (1)

2

32 2 2 2 22

1 1( )( ) 1 01 1( ( ) ) ( )

L LC C

C R L C R LC C

+ =

+ + (2)

U (2) uvrstimo 1=576 s-1 i R=32 ' ,a u (1) 2 =625 s-1 i R=32 ' i dobivamo sustav od dvije jednadbe sa dvije nepoznanice. Iz sustava dobivamo sljede5a rjeenja:

6

2 2 0.13468721

7 20.62 10240000 2

L H

C F

= =

= =

Rijeio: Milan Milievi5 (ID 0)

3.41. Izraunajte rezonantnu frekvenciju kruga sastavljena prema slici 3.41 ako je L = 20mH, C = 0.4 "F iR = 500 &.

Rijeenje:

==

=

5004.

20

2RFoC

mHL

1822

2

2

0

222

022

222

022

0

22022

022

20

0

22

220

220

2

0

22

22

00

222

22

222

22

222

22

222

22

1

222

22

22

12

2

2

21

2

21

1000010*441

1

1

/)1(*

*)1(

)1(

*1**

0*

0)Im(

)*

(*

)(**

)(*

)(*

==

=

=

=+

=+

=+

+=

==+

=

++

++=

+

+++=

++

++=

=

++=

sCR

LCR

LCRCR

LCRCR

LCRC

CRL

cCR

CRL

CR

RCL

XRRX

XXRRX

X

ZXRRXXj

XRXRR

XRXRjXR

jXRjXRjXR

jXRjXR

jXR

jXRjXRjXRZ

C

CL

C

CL

C

CL

C

C

C

CCL

C

C

C

CL

C

CL

Rijeio: Igor Marinac, 1231

3.42. Zadana je rezonantna frekvencija serijskog RLC-kruga 10*4 60 =f Hz, i dobrota kruga Q=80.Odredite irinu i

grani(ne frekvencije pojasa proputanja te napon kondenzatora pri rezonantnoj frekvenciji ako je na krug priklju(en

napon U = 6 V.

Rjeenje:

=0f 4*10 6 Hz Q = 80 U = 6 V ________________ f = ? U C =? ?, 21 =ff

Serijski RLC spoj prikazan je slikom 1.Kod ovog spoja moe do4i do

naponske (serijske ) rezonancije.U rezonanciji su struja i napon u fazi.

Kad u ovom krugu nastupi rezonancija, impedancija je jednaka RZ o = .Tada krugom te(e struja MAXI .Pri bilo kojoj drugoj nerezonantnoj frekvenciji,

impedancija je jednaka 22 )1(C

LRZ

+= .Vidi se da je impedancija

manja pri rezonantnoj frekvenciji.

Sl.1.

Slijedi:

______________________

rjeenja) 4imajednadba( abikvadratn1)(

f)2(1)()*

(

**

*

)1((*) 1)1(*1

:/)1(

)2

(*2**

220

0

20

0

20

0

02

2

222

00

=

==

===

==

=

===

Qff

ff

RL

RL

RIXI

UU

Q

LCCL

R

RRC

L

IIZZZIZI

L

R

L

MAXEFMAX

Izraz za dobrotu kruga Q izlu(ujemo iz jednadbe (*) te dobijamo uvjet za grani(ne frekvencije.

1f i 2f su grani(ne frekvencije(dobijaju se rjeavanjem bikvadratne jednadbe, uzimamo u obzir samo 2 pozitivna rjeenja), f je irina pojasa, a

CU je napon na kondenzatoru.

Vrijedi i:

f=Qf

ff 012 =2

021 * fff =

2

2

01

02

fff

fff

=

+=

Rezonantna frekvencija je geometrijska sredina grani(nih frekvencija.

Rijeio:Kristian Marinkovi4

VUUQUkHzffff

MHzfQQf

f

MHzfQQf

f

CC 480*50

025.4)141(2

975.3)141(2

12

220

2

120

1

====

=++=

=+=

ZADATAK 3.43 Serijski krug je u rezonanciji. Otpor kondenzatora je XC = 100 , a dobrota svitka Q = 200. Trai se napon kondenzatora ako je krugu pripojen napon U = 1,2 V. Koliko pokazuje voltmetar s &istim radnim otporom RV = 2000 ako se njime mjeri napon kondenzatora?

R

V

C L

UCo = Q * U = 200 * 1.2 = 240 V Im { Z } = 0 Z = j XL + ( R (-j XC )) / ( R j XC ) XL = 100

Z = 5

I = U / Z = 1.2 / 5 = 0.24 A UV = I * XC = 0.24 * 100 = 24 V

Rjeio : Ivan Masla;

3.44. Serijski RLC-krug prikljuen je na izvor sinusoidalnog napona promjenjive frekvencije, a konstantne ampiltude. Vrijednosti elemenata RLC, napona i frekvencije zadane su u tablici 3.44. Odredite: 1. za sluaj a) funkcije I(f) za zadne vrijednosti otpornika R; 2. za sluaj b) funkcije I(f) i *(f).

Tablica 3.44. R, LmH CF UV Promjena frekvencije

3,6 a) 6 5 12,5 36 0 1000 Hz

9b) 5 0,5 0,15 38 0 40000 Hz

Rjeenje: Imamo serijski RLC-spoj:

Izraz za struju kao funkciju ovisnu o frekvenciji dobijamo iz omjera efektivne vrijednosti napona izvora i modula impedancije gdje je impedancija isto ovisna o frekvenciji:

)()(

fZUfI =

Izraz za impedanciju je: )( CL XXjRZ +=

A njen modul je: 22 )( CL XXRZ +=

Modul impedancije u ovisnosti o frekvenciji f je:

22 )2

12()(fC

fLRfZ

+=

Izraz za struju u ovisnosti o frekvenciji ima slijede;i oblik:

22 )2

12()(

fCfLR

UfI

+

=

Kako imamo isti RLC-krug, moe nastupiti samo naponska rezonancija, a rezonantna frekvencija ima slijede;ioblik:

CL =

10

odnosno 2

00 =f

Vrijednost impedancije pri rezonantnoj frekvenciji je: RZffZ === 00 )(A vrijednost struje pri rezonantnoj frekvenciji je:

RU

ZUffII ====

000 )(

1.zadatak:

Hzf

s

6372

104.0

104.0105.12105

1

4

0

14630

=

=

=

=

R = 3.6 :

26

26

32

)10013.0031.0(96.12

36)(

)105.122

11052(6.3

36)(

)(

ff

fI

ff

fZUfI

+

=

+

==

ARUI 10

6.336

0 ===

0

2

4

6

8

10

12

0 500 1000 1500

f/Hz

I(f)/A

R = 6 :

26

26

32

)10013.0031.0(36

36)(

)105.122

11052(6

36)(

)(

ff

fI

ff

fZUfI

+

=

+

==

ARUI 6

636

0 ===

0

1

2

3

4

5

6

7

0 500 1000 1500

f/Hz

I(f)/A

R = 9 :

26

26

32

)10013.0031.0(81

36)(

)105.122

11052(9

36)(

)(

ff

fI

ff

fZUfI

+

=

+

==

ARUI 4

936

0 ===

00,51

1,52

2,53

3,54

4,5

0 500 1000 1500

f/Hz

I(f)/A

2. zadatak:

Hzf

s

18302

1015.1

1015.11015.0105.0

1

4

0

14630

=

=

=

=

26

26

32

)10061.1003.0(25

38)(

)1015.02

1105.02(5

38)(

)(

ff

fI

ff

fZUfI

+

=

+

==

ARUI 6.7

538

0 ===

01

2

3

4

5

6

7

8

0 10000 20000 30000 40000 50000

f/Hz

I(f)/A

fRCLCfarctg

RfC

fLarctg

RXXarctgf CL

2142

12)(

22 =

=

=

Imamo isti serijski spoj RLC i u rezonanciji, tj. pri rezonantnoj frekvenciji imamo da je 0= CL XX

0502

12)( 0

0

00 ==

== arctgR

CfLf

arctgf

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 10000 20000 30000 40000 50000f/hz

/rad

Uradila: Sivija Novakovi;

3.46 (r) Na sl. 3.46. nacrtane su amplitudno-frekvencijske karakteristike dvaju serijskih krugova. Karakteristike su zadane za napon napajanja U = 12 V. Odredite parametre krugova.

I,A

8

7

65

43

2

1

0,96 0,98 1,0 1,02 1,04 f,MHz

Sl. 3.46.

Razmotrimo najprije krug s rezonantnom strujom I0 = 8 A. Ako podijelimo tu struju sa 2 ,dobit 3emo struje na granicama pojasa proputanja.

.66,52

8 AI gran ==

Dalje odre6ujemo pojas proputanja kruga, tj. Pojas frekvencija, izme6u vrijednosti struja Igr. Iz sl 3.46. Izlazi da je 8f = 0,025 9 106 Hz, a budu3i da je f0 = 106 Hz, bit 3e

.400 =

=ff

Q

Zatim se dobiva

;600

====CLQ

IURQZc

iz poznatog Zc i f0 izra

13.47 Na krug (sl. 3.47) prikljuen je napon od 120V. Trae se struje u granama i ukupna struja pri otvorenom i zatvorenom prekidau. Zadano je R1 = R2 = XL = XC = 25).

Rjeenje: Pri otvorenom prekidau bit e I=0, IL=IC=4.8A Pri zatvorenom prekidau je I=IL=IC=2.4A Postupak rjeenja:

U=120V R1 = R2 = XL = XC = 25&

Slika 3.47.

1 Otvorena sklopka:

CL

CL

CCLL

CL

CL

IIII

XIXIUUUU

===

==+

2525

0

a) AIIIII CCCL 0==+=VRIU R 025011 ===

AI

AXUI

AXUI

UUU

CK

CC

LL

CL

8.4

8.425

120

8.425

120

=

===

===

==

CI je negativna zato sto je suprotnog smjera od LICKI korigirana struja grane kondenzatora bez obzira na smjer

22 Zatvorena sklopka:

( )

&2511

0

====

=

=+=

RGY

Z

GYBB

BBjGY

LC

LC

AZUI

ZRZ

UK

UK

4.250

120&5025251

===

=+=+=

AXU

I

AXU

I

ARU

I

VUUUVRIU

CC

LL

R

4.22560

4.22560

4.22560

606012060254.2

2

2

2

22

12

11

===

===

===

======

AIII Cl 4.2===

Rijeio: Marko Pavi/

3.48. Krug je prema sl.3.48. u strujnoj rezonanciji. Ampermetar A1 pokazuje struju I1=6 A, a ampermetar ukupnu struju I3=3.6 A. Odredite pokazivanje ampermetra A2.

Rjeenje: I1=6 A I3=3.6 A I2=?

Fazorski dijagram u op'enitom slu(aju za ovu shemu je:

Kako pored induktiviteta imamo neki otpor, struja ne'e kasniti za naponom za 2

, nego 'e kasniti za neki kut *

koji je ve'i od 0 a manji od 2

, dok uz kapacitet nemamo nikakvog dodatnog otpora, te 'e stoga struja prethoditi

naponu za 2

.

Za strujnu rezonanciju ukupna struja I, tj. struja I3 mora biti u fazi sa naponom U, tj Uab.

Fazorski dijagram u tom slu(aju izgleda ovako:

Iz tog fazorskog dijagrama moemo vrlo lako prona'i traenu struju I2.

I2=I1-I3 ili 23

21

22 III =

odnosno:

23

212 III =

AI 8.404.236.36 222 ===

Rijeio: DOMAGOJ PAVLOVI9

3.49. Izraunajte induktivitet svitka L2 ako u krugu strujna rezonancija nastupi pri =2000s-1. Parametri kruga su R=20#, L1=20mH i C=6.25F. Aktivni otpor svitka moe se zanemariti.

Rjeenje:

( )

( )

( )( )( )

{ }

mHX

LLX

X

XXR

XX

XXR

XX

XR

XXX

XXXR

XY

XXXR

Xj

XRRY

XXj

XR

jXRjXXjXX

jXXjXRjXR

jXRY

jXXjXRZZY

CX

LX

jXXZ

jXRZ

LL

L

L

LCL

L

LCL

L

L

CL

CLL

L

CLL

L

L

CLL

L

CL

CL

CLL

L

L

CLLCLRL

C

L

CLCL

LRL

15

30

1

01Im

1

111

1111

801

40

2

2

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

21

1

21

1

1

21

1

2

2

21

1

1

2121

1

22

11

22

22

22

22

22

2222

22

1

===

=

+=

+=

+=

=

++

=

+

+

+=

+

=

+

+=

+

+=+=

==

==

=

+=

Rijeila: Vesna Petrovi2

C

R

L2

L1

3.50 Naite pokazivanje ampermetra u krugu prema slici pri rezonantnoj frekvenciji.Na krug je prikljuen napon U=240 V,uz L=40mH I C=1F.Gubici energije u svitku,kondenzatoru I otporu ampermetra zanemarivo su maleni.Otpori R1 I R2 nisu zadani.

Ukupnu admitanciju trazimo ovako

Au

1R 2R

CL+

=

=+=

CL

CL

LCLC XX

XXj

XXjBBjY 11)(01

0)Im( =Y

,110CLC

LXXXX

CL

CL

===

HzCL

fufrekvencijrezonantnudobijamotogaizte 7962

1=

=

:

0,..

.

,2002,2002

1:101

,796,240

21

21

6

dijagramazbog

IIIteIIkonacniciuaIIIjestozbogtjampermetrastrujunautjecunezadaninisupostoRiR

irezonancijusujer

ivrijednostsuisteLfXCf

X

XiXizracunatmoemoFCrakondenzatokapacitetHzfufrekvencijrezonantnuVUnaponzadaneimamoPoto

RRCLCL

LC

CL

====+=

===

=

=

==

Dijagram:

Student:Damir Pfaf Maticni broj:1239

CI

LIU

....2.1200240

.....

ampermetarpokazujestrujutuAAXU

XUII

UUUajednakeonesujerIiliIstrujuizracunatmozemoTe

LCCL

LCLC

=====

==

3.51. Krug je u rezonanciji. Dobrota svitka pri rezonantnoj frekvenciji bila je Q=4. Nakon postizanja rezonancije frekvenciju dva puta pove amo. Kako treba izmijeniti kapacitet kondenzatora da bi krug pri pove anoj frekvenciji ponovo bio u rezonanciji?

Rjeenje:

{ }

2

2

2

2

2

2

2

222

22

22

22

2222

22

2121

1

01Im

1

111111

164

1

111

1

CLCRL

CLCRL

L

RCL

CLLR

XXXR

XRX

X

XXRXY

XXRXj

XRRY

jXXR

jXRjXjXR

jXRjXR

jXjXR

jBZ

Y

jXRZRLC

RCL

RQ

LCL

L

L

C

CL

L

CL

L

L

CL

L

CL

L

LCLC

RL

LRL

=

=

=

=+

=+

+=

=++

=

+

++

+=

++

=+

+

=++

=+=

+=

==

==

R

LC

12

11

22

11

22

2

12

2

1

2

2

1

21

2

22

21

21

22

22

1212

22

11

262.0

6116

163434

34

44

4

2

2222

CC

CC

RLRL

LCCRL

LC

RCL

CL

RCLR

CL

CRCL

CRCL

LCRCL

LCRCL

ffff

=

=

=

=

=

=

=

=

===

=

Rijeio: Damir Plic

3.52 Za krug sl. 3.29 zadano je R1=2.94 , LX =11.7 i cX =12.5. Izracunajte kolika mora biti vrijednost otpornika R2 da bi spoj bio u rezonanciji.

Rjeenje: R1=2.94

lX =11.7

cX =12.5

( )

1250,:

05.1208.05.12

5.1208.05.12

08.05.12

5.12

053.1457.11

5.125.12

07.1194.2

7.115.12

5.12

0

0)Im(

11

2

22

222

222

222

22222

221

222

221

222

222

222

1

122

2

222

1

1

21

erJosipPortnRijeio

RRR

R

R

R

XRX

XRX

Y

XRX

XRX

jXR

RXR

RXRjXR

XRjXR

jXcRjXRY

l

l

c

c

c

l

c

c

clc

c

l

l

l

=

+=

+=

=+

=+

=+

+

=+

+

=

=

+

+

++

++

=+

++

+

=

+

+=

3.53. Pokaite da u krugu prema slici 3.53. rezonantna frekvencija ne ovisi o poloaju preklopke.

Slika 13. Rjeenje : Kao to se vidi na shemi spoja, razlikujemo dvije grane, induktivnu i kapacitivnu. Broj svitaka u induktivnoj grani ozna$it %emo s x, a u kapacitivnoj s y. Ulaznu vodljivost tada moemo pisati kao :

1 11Y j x L j y L

j C

= + +

Uvijet rezonantne frekvencije je ( ) 0mI Y = . Kada vrijedi taj uvijet, onda moemo pisati :

00

0

1 11x L y LC

=

0

0

1 (1 )1

C y L Cx L y L C

202

0

= /

00

1 y L C Cx L

20 =

0 0 0

0

1 /y C Cx L x

=

1 /y C C xx x L

2200

+ =

1y C C xL

2 20 0 + = 0

1( )y x L C

=+

Ovako izraena rezonantna frekvencija 0 pokazuje da ne ovisi o poloaju preklopke, jer je suma broja svitaka u induktivnoj grani, x i u kapacitivnoj, y konstantna.

Uvijet rezonantne frekvencije je : 1 y LC

>

.

Rjeio : Ivan Pozderovi%

~

3

1

2

L

L

L

C

3.54. U krugu prema sl.3.54. odredite rezonantnu frekvenciju te impedanciju spoja, ukupnu struju i snagu pri rezonantnoj frekvenciji za oba poloaja prekidaa. Zadano je L=1mH, R1=R2=20, U=4000V i C1=C2=0.2F.

Rijeenje:

Radi lakeg raunanja ovog zadatka prvo ,emo nacrtati fazorski dijagram, koji za ovu shemu nije ba jednostavan. Prvo crtamo napon U,a potom struju I1 koja prethodi za naponom za neki kut 0. Napon na otporniku je u fazi sa strujom I1. Zatim crtamo struju I2 koja kasni za naponom isto za kut 0 i napon na drugom otporniku je u fazi sa strujom I2. Napon na zavojnici je puno ve,i od napona na kondenzatoru i on kasni u odnosu na struju za 90,dok napon na kondenzatoru prethodi struji za 90 i dobijemo razliku ta dva napona.

Budu,i da u spoju imamo sklopku moramo posebno raunati za poloaj 1 i posebno za poloaj 2.

1I

1RU

1CU

U 22 CL UU

2I

2RU

2CU

U

1R 2R

1C

2C

2L

1

2

Poloaj 1:

Kako u poloaju 1 imamo serijski spojena dva kondenzatora moramo izraunati ukupni kapacitet ta dva kondenzatora:

FCCCCC 1.0101.0 6

21

21 ==+

=

Sad moemo lake raunati rezonatnu frekvenciju:

Reaktancije iznose

==

==

100110022

CX

LX

C

L

U

1R 2R

1C

2C

2L

1

15

630110

102.010111

=

=== s

LCLC

LC

CL

CL

XX CL

1

1

111

11

201 =

=

=

=

=+

=

=+

=+

+=

+++

=

=+++

=

+++

=

++

==

2604010000400

2)(2)(

)(2

))((

))((

111

1

222

122

21

21

122

221

RXXR

XXjRRXRXjXXR

XXjRXXjRXjRXR

jXRjXRjXRjXR

jXRjXRjXRjXR

jXRjXR

RZ

CL

CL

LCCL

CL

CLLC

CL

LC

LC

CL

LC

AZUI 4.15

2604000

===

kWWUIP 6.61616004.154000 ====

Poloaj 2:

Ovdje imamo dvije rezonancije, serijsku i paralelnu. Serijska rezonancije je u grani 2.

U

1R 2R

1C

2C

2L

2

13

632222

`02 107.70102.010

111

=

=== sCLCL

22

202

222

22

22

11

1

CL

CLC

L

XX CL

=

=

=

=

Paralelnu rezonantnu frekvenciju raunamo tako da uzmemo sve elemente koje imamo u te dvije grane. Budu,ida u svakoj grani teku dvije struje moemo re,i da je I1=I2,a za svaku od navedenih struja moemo napisati da je

221

1

1CXR

UI+

= , a struja ( )2222

2CL XXR

UI+

=.

Izjednaavanjem tih dviju struja dobivamo

( )

( )( )

( )

( )

1502

2

2

2

2

222

22

222

221

2

222

221

21

10

2

2

02

012

02

2

11

''

2

121

21

21

21

=

=

=

=

=

=

+=

=

+=

+

+=

+

=

s

CL

CL

CLL

CLL

XXX

XXXXX

XXX

XXRXR

XXR

U

XR

U

II

CLL

CCLLC

CLC

CLC

CLC

Kako su nam vrijednosti ona dva kondenzatora i dva otpornika iste onda smo radi lakeg raunanja napisali da nam je C1=C2=C odnosno da nam je XC1=XC2=XC, a vrijednost otpora R1=R2=R.

== 501

11 C

XC

== 501

22 C

XC == 1002LX L

=

==+++++

++++=

=++++

+++++

=

=

+

++=

+++

=

=+++

=

+++

=

++

=

5.721600

116000250000500000100000100000200000400001000002500001600

5000001000002000004000010000020000040000400008000016000

22222

)(4222222

)2(2)2(2

)2(2)2(2

))((

))()(()(

1

)(11

1

32222

22

222222223

2222

jjjj

jjjjj

XjXjXRXRXXRXXRjXRXXXR

XjXXjXXRXRXXjRRXXRXXRjXRjXRjRXXjRXXjR

XXjRXXXjRXjRXjRXR

XXjRXXXjRXjRXjRXR

jXRjXjXRjXjXRjXR

XXjRjXRjXRXXjR

XXjRjXR

Z

CCLCCCLCCL

CL

CLCLCLLLCCLCCL

CL

CL

CL

CCLCCL

CL

CCLCCL

CCL

CLC

CLC

CCL

CLC

AZUI 2.55

5.724000

===

kWWUIP 8.2202208002.554000 ====

Rijeio:Danijel Raki,

3. 55. Na slici 3. 55. Ri= 40k je unutranji otpor generatora. Napon generatora je sinusoidalan i iznosi Um=6kV. Parametri kruga su: C=1000nF i L=40H. Aktivni otpor svitka je R=1.Odredite pojas proputanja, snagu utroenu u krugu pri rezonantnoj frekvenciji i grani.nim frekvencijama pojasa proputanja.

RJEENJE:Zadano:Ri= 40k= 40103Um= 6kV=6103VC= 1000nF=100010-9FL= 40H=4010-6HR= 167=?, P=?, Pgr=?

Ovo je paralelna (strujna) rezonancija.

{ }

1

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Im 0

1ab

UK

Y

YR j L

Y j L

R j L R j L R LY j L j L j CR L R L R L R L R L

=

=+

=

= + = + = + + + + + +

- kod paralelne rezonancije vrijedi:

( )

2 2 2

2 2 2

2 2 22 2 2

2 2 2

2 2 2 2

22

2

2

0 2

0

:

:

LCR L

LCR LLC R L

R LCR C L LL C L CR L C

L CRL CL CRL C

=+

=+

= ++

+ =

=

=

=

- time dobivamo krunu frekvenciju kod paralelne rezonancije, uvrtavamo zadane vrijednosti:

( )6 6

120 2 126 6

5 10

40 10 10 1 39 0,024 10 243750001600 1040 10 10

156124,95 1,561 10 s

= = = =

= =

- faktor dobrote kod paralelne rezonancije:

0

cIQI

=

- struja I0 u rezonanciji je minimalna i iznosi: 0I G U=

- vodljivost G predstavlja realni dio spoja, a iznosi:

2 2 2RG

R L=

+

( )

( ) ( )

( )

2 2 20 00 0

2 2 20

2 25 6 2 5 6

1 10 12

1,561 10 10 1 1,561 10 40 10

11,561 10 1 2, 4367 10 1600 10 0,1561(1 38,9872)

0,1561 39,9872 6,242

C R LU C CQ RU G RR L

Q

Q

Q

+ = = =

+

+ =

= + = +

= =

- sada moemo izra.unati grani.ne frekvencije:

01

4 11

4 12 1

2,5 10

2,5 10

Qs

s

= = = =

grani.ne frekvencije

- pojas proputanja dobivamo iz tih grani.nih frekvencija:

1 2 2 = =

- iz toga slijedi:

1 2

4 1

2 2

5 10 s

= =

= - pojas proputanja

SNAGA KOD REZONANTE FREKVENCIJE: P=U

3.56 Paralelni rezonantni krug sadri u jednoj grani R i L, a u drugoj C. Kolike bi morale biti te veliine da bi

rezonantna frekvencija kruga bila Hzf 61040 = , otpor kruga pri rezonantnoj frekvenciji =1250000R

i pojas proputanja kruga Hzf 16000= ?

Koliki (e biti ukupan otpor kruga pri frekvenciji Hzf 6101,4 = ?

Rjeenje:

==

===

==

==

===

===

20

610200

1

0

1

1210800

002,00

250012

/23,2513274126104020

RCL

R

HLL

FCC

GQ

QQ

ff

srf

=++

+=

++

= 126301

1)(

CLjR

CLjR

ZZZZZCL

CL

; gdje je kruna frekvencija s f = 4.1 * 106 Hz.

Rijeio: Zvjezdan Mari(

3.57. Odredite rezonantnu frekvenciju u krugu gdje je L=0.01 H, FC 25.01 = i FC 2.02 = . Radni otpor treba zanemariti.

Prilikom rjeavanja ovako zadane sheme, trebamo imati na umu da se pojavljuje paralelna ili strujna rezonancija i serijska ili naponska rezonancija zadanog strujnog kruga.

Da bi mogli rijeiti zadatak potrebno je znati u kakvom su odnosu struje i naponi, to (emo saznati iz faznog dijagrama. Prilikom crtanja moramo imati na umu da su napon priklju)enog izvora i napon UC1 u fazi, struja I2 prethodi napon U za 900 , a I1 kasni u odnosu na napon U za 900.

Za izra)unavanje paralelne rezonancije moramo uzeti u obzir sve elemente strujnog kruga.

Moemo re(i da je 21 II = a kako znamo da je 2

1)( CL XX

UI

= , a struja 2

2CXUI =

uvrtavanjem u izraz 21 II = dobivamo:

LCC

CLC

CLC

CCL

CCL

XXX

XXX

XXX

XXX

XU

XX

U

=+

=

=

=

=

1

1

21

2

221

2

21

2

2

2

2

2

)(

)(

1)(

1

)(

L1C

2C

LU 1CU

2CU

I 1I

2I

2I

1I

U

2CU

Budu(i da je op(enito C

XC 1

= i LX L = , uvrtavanjem u gornji izraz dobivamo sljede(e

LCCCC

LCC

LCC

LCC

2

21

21

2

12

12

12

11

111

11

=+

=+

=

+

=+

Uvrtavanjem zadanih vrijednosti dobivamo:

14

82

226

2266

66

2

21

21

103

109

10109

10102.01025.0102.01025.0

=

=

=

=

+

=+

s

LCCCC

Dakle, moemo re(i da (e strujna rezonancija zadanog strujnog kruga nastupiti pri 14103 = s .

Jo nam preostaje da izra)unamo serijsku ili naponsku rezonanciju. Moemo re(i da je CL XX = .

Kako znamo da je LX L = , CXC

1= te uvrtavanjem u izraz CL XX = slijedi

1

12

1

11

1

LC

LC

CL

XX CL

=

=

=

=

Uvrtavanjem poznatih vrijednosti dobivamo naponsku rezonanciju

14

4

62

1

102

25.010

1025.010

1

1

=

=

=

=

s

LC

Dakle, moemo re(i da (e naponska rezonancija zadanog strujnog kruga nastupiti pri 14102 = s .

Rijeio: Danijel Samardi(

3.59 Pri 1 = 600 s-1 i 2 = 800s

-1 krug na sl. 3.59. je u naponskoj rezonanciji. Odredite frekvenciju strujne rezonancije ako je C1=C2 .

Rjeenje: Piemo uvjet za naponsku rezonanciju : Im(Z)=0 .Dakle imaginarni dio od impedancije mora biti jednak nuli ,stoga piemo jednadbu za impedanciju:

)())((

)())((

)()(

)()()(

2211

2211

2211

2211

2211

2211

2211

2211

21

21

cLcL

cLcL

cLcL

cLcL

cLcL

cLcL

cLcL

cLcL

XXXXXXXXjZ

XXXXXXXXj

XXXXjXXXXj

XXXXjXXjXXj

ZZZZZ

+

=

+

=++

+

=+

=

Iz uvjeta Im(Z)=0 piemo 0))((0)())((

22112211

2211 ==+

cLcLcLcL

cLcL XXXXXXXXXXXX

01)(

01

011110

22112

21214

22

212

121214

21

1221

21

21212121

=++

=+

=+

=+

CLCLCCLL

CLCLCCLL

LC

LCCC

LL

XXXXXXXX LccLccLL

Rjeavanjem jednadbe 0etvrtog stupnja dobivamo za rjeenja 11

21

1CL

= i22

22

1CL

= to 1e nam biti

potrebno za daljnje rjeavanje zadatka.

Poto nas zanima strujna rezonancija piemo uvjet Im(Y)=0.Dakle imaginarni dio admitancije mora biti jednak nuli. Zbog tog uvjeta piemo jednadbu za admitanciju:

2211

11

cLcL jXjXjXjXY

+

= nakon racionalizacije dobivamo

2211

11

cLcL XXj

XXjY

= )11(

2211 cLcL XXXXjY

=

Iz uvjeta Im(Y)=0 011

2211=

cLcL XXXX

2211 )( cLcL XXXX =

2121 LLcc XXXX +=+

1L

2L

1C

2C

59.3.Sl

)(11 2121

LLCC

+=+

)( 21212

12 LLCCCC +=+

)( 2121212

LLCCCC+

+= Ako sada uzmemo u obzir uvjet C1=C2=C dobivamo

CLCL 212 2

+=

Sada se vratimo na jednadbe 11

21

1CL

= i22

22

1CL

= iz kojih dobivamo da je 21

111

=CL i

22

221

=CL

Nakon uvrtavanja L1C1 i L2C2 u jednadbu CLCL 212 2

+= dobivamo

460800112

22

21

=+

=

18225.678 = s

Poto je f 2= Hzf 1082

==

Rijeio: Andrej Slivka Broj indeksa:1183

3.60. Trai se rezonantna frekvencija kruga na slici 3.60.

Sl.3.60. Analogno tome mogu se nacrtati reaktancije (impedantna i kapacitivna ) tj. :

Da bi smo lake mogli vidjeti me$usobne odnose u strujnom krugu (tj. gdje je paralelni , a gdje serijski spoj elemenata) zavojnice u spoju zvijezda transformiraju se u spoj trokuta. Pri pretvaranju zvijezda spoja u trokut spoj mora vrijediti za impedancije: Z=3ZY (tj. impedancija u spoju trokuta je triput ve*a od impedancije u spoju zvijezda).Odatle proizlazi da za induktivnu reaktanciju vrijedi : XL=3XLY. Pa zbog toga moemo nacrtati :

C

L LL C

CX

LXLX CX

1 2

3

LX

CXCX

LX3 LX3

1

2

3LX3

Iz zadnje slike se vidi da je donja zavojnica(prikazana kao induktivna reaktancija) spojena paralelno sa ostatkom strujnog kruga , pa je o1ito da cijeli strujni krug moe do*i samo u paralelnu(strujnu) rezonanciju.Impedancija izme$u to1aka 1 i 2 (Z12 ) iznosi :

CL

CL

CL

CL

CL

CL

CL

CL

XXXX

jXXjXXj

XXjXX

XXjjXXj

Z

=

=

=33

)3()3(

)3(3

)3(3

12

Impedancija izme$u to1aka 2 i 3 (Z23) sastoji se od elemenata koji su istovjetni elementima izme$u to1aka 1 i 2 , a tako$er su spojeni paralelno, pa mora vrijediti : Z12=Z23 .Impedancija izme$u to1aka 1 i 3 u prvoj grani iznosi :

CL

CL

XXXX

jZZZ

=+=36

2312123 , a u drugoj iznosi :

LXjZ 313 = .Odatle se moe izra1unati ukupna impedancija Zuk :

=

=

=+

=

+

=)

3)3(36

(

318

)336

(

318

336

336 22

13123

13123

CL

CLLCL

CL

CL

LCL

CL

CL

CL

LCL

CL

LCL

CL

uk

XXXXXXXj

XXXX

XXXXXj

XXXX

XjXXXXj

XjXXXXj

ZZZZ

Z

=

=

=

+

=)33()33(

)33(6

333

36

3)32(3

318 2

LC

LC

LC

CL

CL

LC

CL

CL

CL

CLCL

CL

CL

uk XXjXXj

XXjXX

XXXXj

XXXX

XXXXXXj

XXXX

Z

jXXXX

XXXXj

ZLC

CL

LC

CLuk

=

=2

336

.

Sada ra1unamo ukupnu admitanciju Yuk :

CL

CL

CL

LC

CL

CL

CL

LC

LC

CLukuk XX

XXj

XXXX

jjXXjXX

jXXXX

jXXXXZ

Y

=

=

=

==222

222

11

Da bi strujni krug bio u rezonanciji mora vrijediti jednakost :

02

=

CL

CL

XXXX

, a njenim daljnjim razvojem dobije se :

012

1

00

00

=

CL

CL

,nazivnik o1ito nije nula , a brojnik mora biti nula da bi jednakost vrijedila pa je :

LCL 0

00 /

1

=

/120 LC =

Rezonantna kutna brzina 0 iznosi : LC =

10

Poto je 00 2 f= ,slijedi da :

2:/12 0 LCf

=

Rezonantna frekvencija f0 iznosi : LC

f

=2

10 .

3.61. (r) Krug prema slici prikljuen je na izvor sinusoidalnog napona R=10, uz L=0,01H, C=0,0004F i U=120V.

RI

CL~+

IL IC

U

Treba: 1. odrediti frekvenciju pri kojoj nastaje strujna rezonancija; 2. za razne vrijednosti frekvencije u podruju od 0 do 2 f0 izraunati vrijednosti napona, struja, faznog

kuta izme*u napona i ukupne struje, te na osnovi dobivenih vrijednosti nacrtati krivulje I() i (); 3. nacrtati vektorske dijagrame za ff0;4. ustanoviti prema kojim vrijednostima tee vrijednosti struje i kuta ako frekvencija raste prema

beskonanome.

Rjeenje:

1. Rezonancija nastaje pri krunij frekvenciji 1

0 5001 == sLC

,

to znai da 0emo izraunavanje obavljati u podruju od 0 do 1000s-1.Slobodno odabiremo frekvencije u razmacima od 125s-1.

2. Na svakoj odabranoj frekvenciji izraunavamo najprije XL i XC, a zatim

CL

CL

XXXX

X &&&&

+= i 22 XRZ += . Zatim odre*ujemo ukupnu struju

ZUI = i padove napona

XIULC = , odnosno RIUR = . Iz poznatog napona LCU odre*uju se struje L

LCL XU

I = i

C

LCC X

UI = . Fazni kut izme*u struje i napona dobivamo kao

RXarctg= . Rezultati prorauna

sre*eni su u tablici:

,1/s

XL,

XC,

X,

Z,

IA

UL,V

IL,A

IC,A

UR,V

tg

0 0 0 10 12 0 12 0 120 0 0 125 1,25 20 1,335 10,1 11,9 15,9 12,7 0,8 119 0,133 730250 2,5 10 3,33 10,5 11,4 38 15,2 3,8 114 0,333 1830375 3,75 6,66 8,56 13,15 9,1 78 20,8 11,7 91 0,856 4030500 5 5 0 120 24 24 0 90625 6,25 4 11,1 14,9 8 89,3 14,3 22,3 80,5 -1,11 -48750 7,5 3,34 6 11,65 10,3 61,8 8,2 18,5 103 -0,6 -31875 8,75 2,80 4,25 10,9 11 46,7 5,35 16,35 110 -0,425 -23

1000 10 2,5 3,33 10,5 11,4 38 3,8 15,2 114 -0,333 -1830 0 0 10 12 0 0 12 120 0 0

3. Iz podataka u tablici mogu se lako nacrtati krivulja I() i (), kako ti prikazuje slika b):

4. Vektorski dijagrami prikazani su na slikama c), d) i e):

Rijeio: Kreimir Sobol

Zadatak 4.2Transformator bez jezgre ima dva jednaka namota : R1=R2=R i X1=X2=X (sl.4.2). U praznom

hodu mjerni instrumenti su pokazali da je: U1 = 100V , I10 = 4 A , P10 = 80W, U20 = 80V. Trai se : 1. R,X i XM; 2.k; 3. pokazivanje mjernih instrumenata kada se sklopka zatvori ( kratki

spoj ) uz napon U1 = 100V.

MP I1 I2

X1 X2

OR1 R2 U1

U1 O

Rjeenje: Transformator bez jezgre ima dva jednaka namota : R1=R2=R i X1=X2=X. Upraznom hodu

instrumenti su pokazali : U1 = 100V , I10 = 4 A , P10 = 80W, U20 = 80V. Odredite R, X, XM, k te pokazivanje instrumenata

kad se sklopka zatvori (kratki spoj ) uz napon UK=100V.

P I1 M I2

. .X1 X2

U1 O

R1 R2 U2 OU1

PH(prazni hod) Pokus u praznom hodu radimo tako da spojimo voltmetar u seriju koji predstavlja beskona4an

otpor.

W

~

A

V

A

~

W A

V

A

V

I10 XM I20=0

. .X1 X2

U1

R1 R2

Struja ulazi u mjesto ozna4eno to4kicom i uzrokuje pad napona na X1 , a on uzrokuje pad napona na X2. Pad napona na R2 je nula jer drugom petljom ne te4e struja

12

1022

2012

1010 RIRIRIP =+=

===== 55 2210

101 RRI

PR 2010 UXI M =

prvi Kirchhoffov zakon za prvu petlju

111 Rx UUU +=

( ) VRIUU x 982

1102101 ==

kod transformatora je jako izraena induktivna komponenta

== 5.2410

11 IUX x

== 2010

20

IU

X M 816.021

==XX

Xk M koeficijent me;uvodi4ke indukcije

21XXkX M =k predstavlja koeficijent me;uvodi4ke indukcije odnosno pokazuje koliko magnetskog toka

jednog svitka prolazi odnosno obuhva

Kratki spoj napravimo tako da zatvorimo sklopku.Ukrugu smo imali jo i voltmetar koji se ovim postupkom kratko spojio, a ampermetar ima zanemarivo mali otpor pa zapravo i on predstavlja kratki spoj.

( ) MKKK jXIjXRIU += 21111 drugi kirchhofov zakon za prvu petlju ( ) MKK jXIjXRI += 12220 drugi kirchhofov zakon za drugu petlju

( ) KK IjjI 21 205.245100 +=( ) KK IjjI 12 205.2450 +=

ako dobijemo kut za struju koji je ve

4.3 U krugu ( )3.4.sl uz VU 101 = i VU 62 = mjerni instrumenti pokazuju da je ,21 AI =,121 WP = 02 =I i .02 =P

Odredite: 1. XR, i MX ; 2. fazni pomak napona 1U i 2U ; 3.pokazivanje mjernih instrumenata nakon zamjene priklju"nica jednog od svitaka uz. VU 101 =

* ** 1I 2I *

MX

+ X X

U2 U1 R R

Sl.4.3

~

1W 1A

~

2A 2W

Rjeenje:

1. Budu,i da je 02 =I ,proces u lijevoj petlji moemo razmatrati neovisno o desnoj petlji. Zato je

== 51

1

IUZ , == 32

1

11 I

PR , == 422 RZX , .31

2 ==IUX M

2. Da bismo odredili kut faznog pomaka napona,moramo prije,i njihove kompleksne izraze. Ako je ,101 =U tada je

6.12.111 jjXRUI =+

=&

& i '503612 6

& j

M eIjXU == uz .02 =I

Prema tome 2U& prethodi naponu 1U& za '5036

.

3.Nakon zamjene priklju"nica svici ,e biti vezani nesuglasno.Jednadbe drugoga Kirchhoffova zakona ,e

za nesuglasno vezane svitke biti

1211 UIjXIZ m &&&& = , 2221 UIZIjX M &&&& =+ , gdje je .jXRZ +=&

Ako rijeimo sustav uz 101 =U& i'5036

2 6

& jeU = , dobit ,e se struje

61.031.2221

2121 jXZZ

UjXUZIM

M =+

+= &&

&&&& , AI 39.21 = ,

21.048.2221

1212 jXZZ

UjXUZIM

M +=+

+= &&

&&&& , AI 49.22 =

i snage

[ ] WIUP 2.23Re 111 == && , [ ] .6.12Re 222 WIUP == &&

Rijeio: Saa Stankovi, ID 75

4.4. Na sl. 4.4. nacrtana je shema transformatora bez jezgre s 021 ==RR , === 421 XXX i= 8,3MX .

Treba : 1. nai 221 ,, UII i 2P kao funkcije od R i nacrtati funkcije ( )RfI 11 = i ( )RfI 22 = ; 2. nacrtati vanjsku karakteristiku transformatora ( )232 IfU = i krivulju ( )242 IfP = .

Sl. 4.4.

Rjeenje:

Na po&etku piemo jednadbe drugog Kirchhoffovog zakona za primarni i sekundarni strujni krug za shemu na slici 4.4.: 1.)

MjXIjXIU = 211 MjX

jXIUI += 112

( )

MjXjXRII += 21

Iz prve jednadbe izlu&imo struju 2I i uvrstimo u drugu jednadbu:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )( ) ( )

)(

;

;0

0

0

0

221

221

22

1

1

122

1

22

11

2

11