DEFINIES

PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE SO PAULO PUC-SP.CURSO DE GRADUAO EM MATEMTICA BACHARELADODESENHO GEOMTRICO E GEOMETRIA DESCRITIVA DGGD PROFESSORA CRISTINAANGELO ROBERTO BONFIETI JUNIOR - MATRCULA 97003133 - BM3012 - 011 POLGONOS E FIGURAS GEOMTRICAS ESPACIAIS

I - DiedroDefiniongulo diedro ou diedro ou ngulo didrico a reunio de dois semiplanos de mesma origem, no contidos num mesmo plano.A origem comum dos semiplanos a aresta do diedro e os dois semiplanos so suas faces.Podemos estender a definio acima para termos o diedro nulo, quando suas faces so coincidentes e raso se suas faces so semiplanos opostos.CaractersticasO interior de um diedro convexo.Os pontos do interior de um diedro so pontos internos ao diedro.A reunio de um diedro com se interior um setor diedral ou diedro completo, tambm conhecido por diedro convexo.O exterior de um diedro cncavo.Os pontos do exterior de um diedro so os pontos externos ao diedro.A reunio de um diedro com seu exterior tambm conhecida por diedro cncavo.SecesSeco de um diedro a interseco do diedro com um plano secante aresta.PropriedadesDuas seces paralelas de um diedro so congruentes.As seces so dois ngulos de lados com sentidos respectivamente concordantes e, portanto, elas so congruentes.Seco Reta ou Normal a seco cujo plano perpendicular aresta do diedro.PropriedadesSeces normais de um mesmo diedro so congruentes.De fato as seces normais de um mesmo diedro so paralelas e, portanto, congruentes.NaturezaRetoUm diedro reto se, e somente se, sua seco normal forma um ngulo reto.AgudoUm diedro agudo se, e somente se, sua seco normal forma um ngulo agudo.ObtusoUm diedro obtuso se, e somente se, sua seco normal forma um ngulo obtuso.AdjacentesDois diedros so adjacentes se, e somente se, suas seces normais forem ngulos adjacentes. OpostosDois diedros so opostos pela aresta se, e somente se, as Pela Arestaseces normais forem ngulos opostos pelo vrtice.

II TriedroDefinioDadas trs semi-retas Va, Vb, Vc, de mesma origem V, no coplanares, consideremos os semi-espaos e1, e2, e3, como segue:1, com origem no plano (bc) e contendo Va;2, com origem no plano (ac) e contendo Vb;3, com origem no plano (ab) e contendo Vc.Triedro determinado por Va, Vb, Vc a interseco dos semi espaos 1, 2 e 3.Sob uma outra orientao, a figura geomtrica definida acima chamada setor triedral ou ngulo slido de trs arestas. Seguindo essa orientao, o triedro a reunio dos trs setores angulares definidos por Va, Vb e Vc.ElementosV o vrtice.Va, Vb, Vc so as arestas.

di(a), di(b), di(c) so os diedros do triedro. Cada um deles determinado por duas faces do triedro.O tringulo ABC com um nico vrtice em cada aresta uma seco do triedro.Um triedro notvel aquele cujas faces so ngulos retos e cujos diedros so diedros retos. Esse triedro chamado triedro tro-retngulo (ou triedro tri-retangular).NaturezaPolarUm triedro polar de outro se, e somente se, tem o mesmo vrtice do outro, se suas arestas so respectivamente perpendiculares aos planos das faces do outro e se formam ngulos agudos com as arestas correspondentes do outro.

III Poliedro ConvexoDefinioSuperfcie polidrica limitada convexa a reunio de um nmero finito de polgonos planos e convexos (ou regies poligonais convexas), tais que:a)dois polgonos no esto num mesmo plano;

b)cada lado de polgono no est em mais que dois polgonos;

c)havendo lados de polgonos que esto em um s polgono, eles devem formar uma nica poligonal fechada, plana ou no, chamada contorno;

d)o plano de cada polgono deixa os demais num mesmo semi-espao (condio de convexidade).

As superfcies polidricas limitadas convexas que tm contorno so chamadas abertas. As que no tem contorno so chamadas fechadas.Uma superfcie polidrica limitada convexa aberta ou fechada no uma regio convexa.Chamamos de Poliedro Convexo o polgono plano convexo (ou regio poligonal convexa) com um nmero finito n (n 4) tal que dois polgonos no esto num mesmo plano, cada lado de polgono comum a dois e somente dois polgonos e o plano de cada polgono deixa os demais polgonos num mesmo semi-espao.Nessas condies, ficam determinados n semi-espaos, cada um dos quais tem origem no plano de um polgono e contm os restantes. A interseco desses semi-espaos o poliedro convexo.ElementosUma superfcie polidrica limitada convexa tem:FacesSo os polgonos;ArestasSo os lados dos polgonos;VrticesSo os vrtices dos polgonos;ngulosSo os ngulos dos polgonos.Um poliedro convexo tem:FacesSo os polgonos convexos;ArestasSo os lados dos polgonos;VrticesSo os vrtices dos polgonos.NaturezaPoliedro EulerianoOs poliedros para os quais vale a relao de Euler ( V A + F = 2, onde V o nmero de vrtices, A o nmero de arestas e F o nmero de faces do poliedro), so chamados poliedros eulerianos.Todo poliedro convexo euleriano, mas nem todo poliedro euleriano convexo.Poliedro de PlatoUm poliedro chamado poliedro de Plato se, e somente se, todas as suas faces tm o mesmo nmero (n) de arestas, se todos os ngulos polidricos tm o mesmo nmero (m) de arestas e se vale a relao de Euler.Existem cinco, e somente cinco, classes de poliedros de Plato. So eles: Tetraedro, Hexaedro, Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro.Para facilitar a compreenso, relaciono abaixo os valores de m, n, A, V e F dos poliedros de Plato:mnAVFNome33644Tetraedro341286Hexaedro431268Octaedro35302012Dodecaedro53301220Icosaedro

Poliedros RegularesUm poliedro regular quando suas faces so polgonos regulares e congruentes e quando seus ngulos polidricos so congruentes. Existem cinco, e apenas cinco, tipos de poliedros regulares. So eles: Tetraedro Regular, Hexaedro Regular, Octaedro Regular, Dodecaedro Regular e Icosaedro Regular.Todo poliedro regular poliedro de Plato, mas nem todo poliedro de Plato um poliedro regular.

IV PrismaDefinioConsideremos uma regio poligonal convexa plana (polgono plano convexo) A1 A2 An de n lados e uma reta r no paralela nem contida no plano da regio (polgono). Chama-se prisma ilimitado convexo ou prisma convexo indefinido reunio das retas paralelas a r que passam pelos pontos da regio poligonal dada. Se a regio poligonal (polgono) A1 A2 An for cncava, o prisma ilimitado resultar cncavo.Ao considerarmos um polgono convexo (regio poligonal convexa) ABCDMN situado num plano e um segmento de reta , cuja reta suporte intercepta o plano . Chama-se prisma (ou prisma convexo) reunio de todos os segmentos congruentes e paralelos a , com uma extremidade nos pontos do polgono e situados num mesmo semi-espao dos determinados por .A definio de prisma (prisma convexo limitado ou prisma convexo defindo ou prisma convexo) pode ser escrita como uma reunio da parte do prisma convexo ilimitado, compreendida entre os planos de duas seces paralelas e distintas, com essas seces.ElementosUm prisma ilimitado convexo possui: n arestas, n diedros e n faces (que so faixas de plano).Um prisma convexo possui:BasesDuas bases congruentes (as seces citadas acima);Faces Lateraisn faces laterais (paralelogramos);Faces( n + 2 ) faces;Arestas Lateraisn arestas laterais;Arestas3n arestas;Diedros3n diedros;Vrtices2n vrtices;Triedros2n triedros.A altura de um prisma a distncia h entre os planos das bases. interessante notar que, para o prisma, vlida a relao de Euler:SecoSeco de um prisma a interseco do prisma com um plano que intercepta todas as arestas laterais. Notemos que a seco de um prisma um polgono com vrtice em cada aresta lateral.Seco Reta ou Seco Normal a seco cujo plano perpendicular s arestas laterais.NaturezaPrisma Reto aquele cujas arestas laterais so perpendiculares oas planos das bases. Num prisma reto as faces laterais so retngulos. Prisma Oblquo aquele cujas arestas so oblquas aos planos das bases. Prisma Regular um prisma cujas bases so polgonos regulares.Um prisma ser tringulas, quadrangular, pentagonal, etc., conforma a base for um tringulo, um quadriltero, um pentgono, etc.Paraleleppedos e RomboedrosParaleleppedo um prisma cujas bases so paralelogramos. A superfcie total de um paraleleppedo a reunio de seis paralelogramos.Paraleleppedo Reto um prisma reto cujas bases so paralelogramos. A superfcie total de um paraleleppedo reto a reunio de quatro retngulos (faces laterais) com dois paralelogramos (bases).Paraleleppedo Reto-Retngulo ou Paraleleppedo Retngulo ou Ortoedro um prisma reto cujas bases so retngulos. A superfcie total de um paraleleppedo retngulo a reunio de seis retngulos.Cubo um paraleleppedo retngulo cujas arestas so congruentes.Romboedro um paraleleppedo que possui as doze arestas congruentes entre si. A superfcie total de um romboedro a reunio de seis losangos.Romboedro Reto um paraleleppedo reto que possui as doze arestas congruentes entre si. A superfcie total de um romboedro reto a reunio de quatro quadrados (faces laterais) com dois losangos (bases).Romboedro Reto-Retngulo ou Cubo um romboedro reto cujas bases so quadrados. A superfcie de um romboedro reto a reunio de seis quadrados.

V PirmideDefinioConsideremos uma regio poligonal plano-convexa (polgono plano-convexo) A1 A2 An de n ladose um ponto V fora de seu plano. Chama-se pirmide convexa indefinida (ou ngulo polidrico ou ngulo slido) reunio das semi-retas de origem em V e que passam pelos pontos da regio poligonal (polgono) dada. Se a regio poligonal (polgono) A1 A2 An for cncava, a pirmide ilimitada resulta cncava.Consideremos um polgono convexo (regio poligonal convexa) ABCMN situado num plano e um ponto V fora de . Chama-se pirmide (ou pirmide convexa) reunio dos segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos do polgono.V o vrtice e o polgono ABCMN, a base da pirmide.Podemos, tambm, definir pirmide como segue: Pirmide Convexa Limitada ou Pirmide Convexa a parte da pirmide ilimitada que contm o vrtice quando se divide essa pirmide pelo plano de uma seco, reunida com essa seco.ElementosUma pirmide ilimitada convexa possui:Arestasn arestasDiedrosn diedrosFacesn faces (so os ngulos ou setores angulares planos).Uma pirmide convexa possui:BasesUma base (a seco acima citada)Faces Lateraisn faces laterais (Tringulos)Faces(n + 1) facesArestas Lateraisn arestas lateraisArestas2n arestasDiedros2n diedrosVrtices(n + 1) vrticesngulos Polidricos(n + 1) ngulos polidricosTriedrosn triedrosA altura de uma pirmide a distncia h entre o vrtice e o plano da base.Para uma pirmide, a relao de Euler tambm vlida.Seces uma regio poligonal plana (polgono plano) com um s vrtice em cada aresta.NaturezaPirmide regular uma pirmide cuja base um polgono regular e a projeo ortogonal do vrtice sobre o plano da base o centro da base. Numa pirmide regular, as arestas laterais so congruentes e as faces laterais so tringulos issceles congruentes. Chama-se aptema de uma pirmide regular altura (relativa ao lado da base) de uma face lateral. Tetraedro uma pirmide triangular. Tetraedro regular um tetraedro que tem as seis arestas congruentes entre si.Uma pirmide ser triangular, quadrangular, pentagonal, etc., conforme a base for um tringulo, um quadriltero, um pentgono, etc.VI CilindroDefinioSuperfcies regradas desenvolvveis cilndricas so superfcies geradas por uma reta g (geratriz) que se mantm paralela a uma reta dada r (direo) e percorre os pontos de uma linha dada d (diretriz). So superfcies regradas por serem geradas por retas e desenvolvidas por poderem ser aplicadas, estendidas ou desenvolvidas num plano (planificadas) sem dobras ou rupturas. Superfcie cilndrica de rotao ou revoluo uma superfcie gerada pela rotao (ou revoluo) de uma reta g (geratriz) em torno de uma reta e (eixo), fixa, sendo a reta g paralela e distinta da reta e. Considera-se que cada ponto da geratriz descreve uma circunferncia com centro no eixo e cujo plano perpendicular ao eixo. A superfcie cilndrica de revoluo de eixo e, geratriz g e raio r o lugar geomtrico dos pontos que esto a uma distncia dada (r) de uma reta dada (e). Chamamos de cilindro circular ilimitado ou cilindro circular indefinido reunio das retas paralelas a s e que passam pelos pontos do crculo.Consideremos um crculo (regio circular) de centro O e raio r, situado num plano , e um segmento de reta PQ, no nulo, no paralelo e no contido em . Chama-se Cilindro circular ou cilindro reunio dos segmentos congruentes e paralelos a PQ, com uma extremidade nos pontos do crculo e situados num mesmo semi-espao dos determinados por . Tambm podemos definir cilindro como a reunio da parte do cilindro circular ilimitado, compreendida entre os planos de duas seces circulares paralelas e distintas em relao a essas seces..ElementosUm cilindro possui:BasesDuas bases em forma de crculos, congruentes e situados em planos paralelos (as seces citadas acima)GeratrizesSo os segmentos com uma extremidade em um ponto da circunferncia de centro O e raio r e a outra no ponto correspondente da circunferncia de centro O e raio r.Raiosr o raio da baseSuperfciesSuperfcie lateral a reunio das geratrizes. A rea dessa superfcie chamada rea lateral e indicada por Al. Superfcie Total a reunio da superfcie lateral com os crculos das bases. A rea dessa superfcie a rea total e indicada por At.NaturezaSe as geratrizes so oblquas aos planos das bases, temos o cilindro circular oblquo. Se so perpendiculares aos planos das bases, temos o cilindro circular reto. O cilindro circular reto tambm chamado de cilindro de revoluo, pois gerado pela rotao de um retngulo em torno de um eixo que contm seus lados. O cilindro equiltero um cilindro cuja seco meridiana um quadrado, onde g = h = 2r.Seco meridiana a interseco do cilindro com um plano que contm a reta OO determinada pelos centros das bases. A seco meridiana de um cilindro oblquo um paralelogramo e a de um cilindro reto um retngulo.VII ConeDefinioSuperfcies regradas desenvolvveis cnicas so superfcies geradas por uma reta g (geratriz), passando por um ponto dado V (vrtice) e que percorre os pontos de uma linha dada d (diretriz), com V fora de d. Superfcie cnica de rotao ou revoluo uma superfcie gerada pela rotao (ou revoluo) de uma reta g (geratriz) em torno de uma reta e (eixo), fixa, sendo a reta g oblqua ao eixo e. O vrtice (V) a interseco das retas g e e. Consideremos um crculo (regio circular) de centro O e raio r e um ponto V fora de seu plano. Chama-se cone circular ilimitado ou cone circular indefinido reunio das semi-retas de origem em V e que passam pelos pontos do crculo.Agora, consideremos um crculo (regio circular) de centro O e raio r situado num plano e um ponto V fora de . Chama-se cone circular ou cone reunio dos segmentos de reta com uma extremidade em V e outra nos pontos do crculo. A definio de cone tambm pode ser expressa como uma parte do cone ilimitado que contm o vrtice quando se divide este cone pelo plano de uma seco circular, reunida com esta seco.ElementosO cone possui:BasesUma base crculo de centro O e raio r ou a seco citada acimaGeratrizesSo os segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos da circunferncia baseVrticesO ponto V citado acimaRaior o raio da baseAlturaDistncia entre o vrtice e o plano da baseEixo a reta determinada pelo vrtice e pelo contro da baseAptema a geratriz de um cone circular retoSuperfciesSuperfcie lateral a reunio das geratrizes. A rea dessa superfcie chamada rea lateral e indicada por Al. Superfcie total a reunio da superfcie lateral com o crculo da base. A rea total dessa superfcie chamada rea total e indicada por At.NaturezaA natureza dos cones definida pela posio da reta VO em relao ao plano da base. Se esta reta oblqua ao plano da base, temos um cone circular oblquo. Se a reta VO perpendicular ao plano da base, temos o cone circular reto. Este cone tambm chamado de cone de revoluo, pois gerado pela rotao de um tringulo retngulo em torno de um eixo que contm um de seus catetos. Cone equiltero um cone cuja seco meridiana um tringulo equiltero .A Seco meridiana de um cone a interseco do cone com um plano que contm a reta VO. A Seco meridiana de um cone de revoluo um tringulo issceles.

VIII EsferaDefinioConsideremos o ponto O e um segmento de medida r. Chama-se esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espao, tais que a distncia seja menor ou igual a r.Esfera tambm o slido de revoluo gerado pela rotao de um semicrculo em torno de um eixo que contm o dimetro.ElementosPlos relativos a uma seco da esfera so as extremidades do dimetro perpendicular ao plano desta seco.Considerando a superfcie de uma esfera de eixo e, temos:PlosSo as interseces da superfcie com o eixoEquador a seco (circunferncia) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfcieParalelo uma seco (circunferncia) perpendicular ao eixo. paralela ao equadorMeridiano uma seco (circunferncia) cujo plano passa pelo eixoDistncia Polar a distncia de um ponto qualquer de um paralelo ao ploFuso Esfrico a interseco da superfcie de uma esfera com um diedro (ou setor diedral) cuja aresta contm um dimetro dessa superfcie esfricaCunha Esfrica a interseco de uma esfera com um diedro (ou setor diedral) cuja aresta contm o dimetro da esfera.NaturezaPor natureza, a esfera sempre ser um slido de revoluo gerado pela rotao de um semicrculo em torno de um eixo que contm o dimetro, como j foi dito anteriormente.SecoToda seco plana de uma esfera um crculo. Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como seco um crculo mximo da esfera. Sendo r o raio da esfera, d a distncia do plano secante ao centro e s o raio da seco, temos a relao: . Rearranjando esta equao, fcil chegar na bem conhecida , que o famoso e muito utilizado Teorema de Pitgoras, aplicado no tringulo retngulo OMA, onde O o centro da esfera, M a projeo perpendicular do centro O no plano secante e A o ponto de interseco do plano com a superfcie da esfera.SuperfcieChama-se de superfcie de uma esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espao, tais que a distncia OP seja igual a r.A superfcie de uma esfera tambm a superfcie de revoluo gerada pela rotao de uma semicircunferncia com extremidades no eixo.

Texto gentilmente cedido por ngelo Roberto Bonfieti Jnior (bonfietti@sti.com.br)

www.sti.com.br