Coordenadas Polares

Martes, 22 Febrero 2011

Matemática 2

Graficas En Coordenadas polares

Docente: Jorge Morales Sequeira

Por: Hanner Mora Hernández

El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual

cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia.

Todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r, θ) donde r es la distancia del

punto al origen y θ es el ángulo positivo en sentido anti horario medido desde el eje polar. El plano polar consiste de circunferencias concéntricas al origen y rectas concurrentes al origen con diferentes ángulos de inclinación, el eje horizontal se conoce como ‘Eje Polar’

y al vertical ‘Eje ’ y a su intersección se le llama Polo.

1. Espiral de Arquímedes

Descubierta por Arquímedes, la cual puede expresarse también como una ecuación polar

simple de la forma ó , para esta ultima ecuación ‘a’ produce un

giro en la espiral para y ‘b’ controla la distancia entre los brazos de la espiral y el cual es constante.

Así por ejemplo

a) b)

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0

10

20

4q

q

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0

10

20

30

6q

q

Coordenadas Polares

c)

Cabe destacar que los gráficos no forman la espiral

completa debido a que el límite de θ está en el rango

2. Cardiodes y Caracoles (con rizo y sin rizo)

Los caracoles tienen ecuación polar de la forma ó .

A continuación se consideran tres casos:

a). Si ó si , la grafica resultante es un Cardiode (forma de corazón). Por

ejemplo:

θ 0 π

r 0 0.267 0.585 1 2 3 3.414 3.732 4

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0

1

2

3

4

5

5 q

q

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0

1

2

3

4

2 1 cos q( )( )

q

Coordenadas Polares

Ambas graficas se autocompletan por criterios de simetría:

Una grafica es

i. Simétrica con respecto al eje polar si se obtiene una ecuación equivalente

cuando (r,θ) se sustituye por

ii. Simétrica con respecto al eje si se obtiene una ecuación equivalente cuando

se sustituye por

iii. Simétrica con respecto al polo si se obtiene una ecuación equivalente cuando

se sustituye por

Las graficas anteriores son elaboradas por los programas Mathcad 14.0 y Derive 6.0.

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0

5

10

6 6 cos q( )

q

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0

2

4

6

3 3 sin q( )

q

Coordenadas Polares

b). Si ó si es un caracol convexo (sin hendidura) o caracol sin rizo

(limacon). Por ejemplo:

θ 0 π

r 3 3.401 3.878 4.5 6 7.5 8.121 8.598 9

Esta grafica es simétrica el eje

por,

Coordenadas Polares

c). Si ó si , la grafica es un caracol con rizo o lazo. Ejemplos:

En esta grafica los ángulos de formación del riso se determinan con respecto al eje .

3. Lemniscatas

Tienen ecuación polar de la forma ó y son curvas con figura

de ocho.

θ 0 π

r 2 1.414 0 1.414i 2i 1.414i 0 1.414 2

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0

2

4

6

2 4 cos q( )

q

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0

2

4

6

8

3 6 sin q( )

q

Coordenadas Polares

4. Rosas de n-pétalos

Estas graficas tienen ecuación polar de la forma o , cuando

. A continuación se consideran dos casos:

i. Si n es par es una rosa de 2n pétalos

θ 0 π

r 0 3.464 4 3.464 0 -3.464 -4 -3.464 0

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0.5

1

1.5

2

4 cos 2q( )

q

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0

0.5

1

1.5

2

4 sin 2q( )

q

Coordenadas Polares

Concluimos que es una rosa de 4 pétalos.

ii. Si n es impar es una rosa de n pétalos

5. Rectas y Circunferencias

a. Rectas que contienen al polo

En coordenadas rectangulares, una recta que pasa por el origen es de la forma .

Sabiendo que y hacemos la sustitución.

(Sabemos que m es la pendiente de la

recta), nos queda . Ejemplo

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0

1

2

3

4

4 sin 2q( )

q

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0

1

2

3

4

4 cos 3q( )

q

Coordenadas Polares

1)

b. Rectas distantes del polo

Del triangulo rectángulo , despejando la ecuación de la región geométrica

será .

Ahora si entonces y resulta una recta vertical y paralela al eje

Despejando nuevamente tenemos que

.

Coordenadas Polares

Ahora si la ecuación resulta

c. Circunferencias con centro en el polo

En coordenadas cartesianas la ecuación de la

circunferencia es

Sustituyendo sus equivalentes polares

1)

d. Circunferencias que contienen al polo con centro

Coordenadas Polares

Aplicando ley del coseno al triangulo y despejando

Ejemplo.

1)

Concluimos el siguiente resumen de ecuaciones polares de rectas y circunferencias:

Para

i. Si , la grafica es una recta que contiene al polo y forma un ángulo de C

radianes con el eje polar.

ii. Si , es una recta paralela al eje polar; arriba del eje polar si ,

y debajo del eje polar si

iii. Si , Recta paralela al eje , a la derecha del eje si . A la

izquierda del eje si

iv. , circunferencia con centro en el polo y radio C.

v. circunferencia con radio , tangente al eje y centro en el eje

polar o en su prolongación.

vi. circunferencia con radio , tangente al eje polar y centro en el

eje o en su prolongación.

Software utilizado

1. Mathcad 14.0 y Derive 6.0 Texas Instruments

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0

1

2

3

4 cos q 60( )

q