coodenadas polares

UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTÚNEZ DE Mayolo matemática ii

FACULTAD : ING. CIVIL

ESCUELA : ING. CIVIL

CURSO : MATEMATICA II

TEMA : COODENADAS POLARES

DOCENTE : LIC.EVER HINOSTROZA

CICLO :

ALUMNA : RAFAEL VILLANUEVA GELI

COORDENADAS POLARES

A modo de introducción, las coordenadas rectangulares son sólo una de las 3 formas de describir puntos en el plano mediante pares de números, hasta el momento conocidas. Por ejemplo, las coordenadas rectangulares x y y describen un punto p en el plano como la intersección de una recta FACULTAD DE ING. CIVIL Página 1


vertical y transformando de sistema cartesiano a polar...relacionando coordenadas tenemos...una recta horizontal. Las coordenadas polares, por su parte, describen un punto p como la intersección de un círculo y un rayo desde el centro del círculo-

Estas se definen así: se selecciona un punto en el plano y un rayo que salga desde este punto. El

punto se llama polo y el rayo, eje polar. Se miden ángulos positivos en sentido contrario al del

movimiento de las manecillas del reloj y así cada ángulo me determina un radio distinto.

1.- SISTEMA DE COORDENADAS POLARES:

En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede localizar un punto con una sola pareja de puntos (x, y) estos valores son las distancias dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes x e y respectivamente. El origen es el punto donde se interceptan los dos ejes coordenados.

POSICIÓN DE UN PUNTO EN COORDENADAS POLARES

En el sistema de coordenadas polares en un punto P el plano se representa por un par de números

(r, ), de donde r es la distancia del origen (llamado polo) al punto dado.

Y donde es el angulo de inclinacion del radio vectorOP con respecto al semieje x (positivo),

llamado el eje polar.

Aquí la medida del ángulo estará dada en radianes.

Ejemplo.

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En coordenadas polares, el punto P = (3, ) es uvicado-dibujando primero un rayo que partedel

POLO (origen).

Hacer un ángulo rad. Con el semieje x+ (EJE POLAR); luego sobre dicho rayo y desde el

origen, se mide r =3 unidades.

Este mismo punto P se pudo haber localizado utilizando las coordenadas polares (3, ) como se

muestra en la siguiente figura.

A si se tiene que las coordenadas polares (3, ).



Representa al mismo punto P

2.- RELACIÓN ENTRE COORDENADAS POLARES Y LAS COORDENADAS POLARES

Con coordenadas cartesianas señalas un punto diciendo la distancia de lado y la distancia vertical:

El sistema de coordenadas rectangulares

Coordenadas polares

Con coordenadas polares señalas un punto diciendo la distancia y el ángulo que se forma:



Convertir

Para convertir de un sistema a otro, se resuelve el triángulo:

De cartesianas a polares

Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x, y) y lo quieres en coordenadas polares (r, θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados.



Así que las fórmulas para convertir coordenadas polares (r, θ) a cartesianas (x, y) son:

x = r . cos (θ)

y = r . sin (θ)

3.- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN COORDENADAS POLARES:

La distancia entre los untos A(r1, 1) y B(r2, 2) está dada por

4.- ECUACIÓN POLAR DE UNA RECTA:



Sea una l una recta que no pasa por el origen si N ( p, ) es el par principal de coordenadas polares

del pie de las perpendiculares trazadas del polo a la recta L, la ecuación polar de la recta es:

r cos( - ) = p ……………………………………………(1)

E n la figura se observa: Si p(r , ) es un punto de la recta L m, entonces se verifica r cos( - ) =

p

Si la recta L pasa por el origen la ecuación polar es:

= , constante

Observación



a) si la recta es perpendicular al eje y polar y esta a p unidades del polo la ecuación ( ) se

transforman en:

r cos = , p ………………………….. (2)

El signo de p es positivo si la recta esta ala derecha del polo y es negativo Si esta ala izquierda.

b) si la recta es paralela al eje polar y esta a p unidades del polo, la ecuación ( ) se

transforma en:

r cos = p , p 0 …………………………………(3)

El signo p es positivo si la recta esta sobre el eje polar y es negativo si esta debajo del eje polar.

c) la ecuación polar r cos ( ) = p es equivalentes a la ecuación normal (cartesiano)

X cos + y sen = p

d) una ecuación en coordenada polar de la recta que pasa por dos puntos

A (r1, 1) y B (r2, 2) es:

r1r sen ( )+ r2 r sen ( ) =r1r2sen ( ) …………….. (4)

5.- ECUACIÓN POLAR DE UNA CIRCUNFERENCIA:

La ecuación polar de una circunferencia con centro C ( ) y radio a a 0 es:

Cos ( ) = ………………………………. (5)

en la figura se observa que si P( r )es un punto de circunferencia, aplicando la ley de los

cosenos en el triangulo OCP se obtiene la ecuación



Cos ( ) =

OBSERVACION:a) si la circunferencia pasa por el polo y su centro en el eje polar( o su prolongación) ,la

ecuación (5) se reduce a:

r =2 cos ……………………………….……..(6)

El centro de esta de esta circunferencia es C( ) y el radio es:

b) si la circunferencia pasa por polo y su centro está en el e je ( o su prolongación) la

ecuación ( 5) se reduce a:

r = 2 sen …………………………………………….(7)

el centro de esta circunferencias C ( , ) y el radio I I

c) si el centro es el polo ( = 0), la ecuación (5) se reduce :

r a ………………………………………………..(8)

6.- DISCUSIÓN Y GRAFICA DE UNA ECUACION POLAR:



Para trazar la grafica de una ecuación en coordenadas polares E (r , ) = 0

Es conveniente realizar los siguientes pasos:

I) INTERSECCIONES.

a) con el eje polar: se hace = n , n

b) con el eje : se hacer + n , n

c) con el polo: se hace r=0

II) SIMETRIAS:

a) con respecto al eje polar.- se remplaza (r , por ((-1)nr , - +n ) ,n , si la ecuacion no

varia para ulgun valor de n , la curva presenta simetría; si la ecuación varia para todo n

la curva no es simétrica ( )

b) con respecto al eje .- se remplaza(r, ) por (-(-1)n r, ), n . Si la no varía par algún

valor de n , la curva presenta simetría; si la ecuación varia para todo n la curva no es

simétrica.

c) con respecto al polo.- se remplaza (r, ) por (-(-1)n r, ), n . si la

La ecuación no varía para algún valor de n , la curva presenta simetría ; sin la ecuación varia

para todo n , la curva no es simétrica .

III EXTENCION: se denomina la variación de n

IV TABULACION: se determina los valores los valores de r correspondientes a los valores

asignados a

V) trazado de la grafica: es un sistema de coordenadas polares ( es preferible usar la roseta polar) se localiza los puntos obteniendo y se traza la curva.

( )Si P (r , ) es cualquier punto de crva cuya ecuacion polar es E ( r , ) = 0 las coordenadas polares

de los puntos S , simétrico de P con respecto al eje polar , son ; (r , - )



Si S pertenece a la

curva ((-1)nr , - +n ) también satisface la ecuación para algún valor de n , es decir la ecuación no

varía . por otro lado , si n ((-1)nr , - +n ) no satisface la ecuación de la curva para todo n

significa que S no pertenece a la curva nones simétrica respecto al eje polar. De manera similar

se deduce las condiciones para que una sea simétrica con respecto al eje y al, polo.

7.- INTERCESIÓN DE CURVASEN COORDENADAS POLARES:

Proposición 1 si r = f ( ) es la ecuación de una de curva en coordenadas polares entonces.

(-1) nr = f ( +n ) , n …………………………………………….(9)

Es también la ecuación de dicha curva. Considerando esta proposición, para hallar la intercesión de dos curvas cuya ecuación en coordenadas polares son:

r = f ( ) y r = g ( )

Se sigue los siguientes pasos:

1.- Se obtiene todas las ecuaciones distintas de las dos curvas aplicando(9) de cada una de ellas .

r = f ( ) , r = f1 ( ) , r = f2 ( ),….

r = g ( ), r = g1 ( ) , r = g2 ( ),….



2.-se resuelven para r y para , las ecuaciones simultáneas

r = f ( ) r = f1 ( ) r = f2 ( )

r = g ( ) r = g1 ( ) r = g2 ( )

3.-se verifica si el polo es punto de intersección haciendo r = 0 en cada ecuación para determinar

si existe solución para (no necesariamente la misma)

Para tener una idea respecto a la cantidad de puntos de intersección de dos curvas, se sugiere trazar sus graficas previamente para simplificar el trabajo.

8I.- DERIVADAS RECTAS TANGENTES EN COORDENADAS POLARES:

Sabemos que podemos representar funciones también en coordenadas polares. Así como lo hicimos en rectangulares y en para métricas en polares podemos encontrar las derivadas de las funciones para encontrar las pendientes a las rectas tangentes. En coordenadas polares las tangentes que trabajamos son rectas horizontales o verticales. Para facilitar el cálculo de las tangentes en polares utilizaremos la conversión de polares a para métricas:

Sea r = f ( ) la ecuacion de una curva .por las formulas x =r cos , y r sen , se obtiene.

x =f ( ) cos

y = f ( ) sen

Que son las ecuaciones para métricas con parámetro , donde

= , esto es:



…………………. (10)

Como sabemos; esta derivada es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (x, y):

= tag ……………. (15)

Siendo el ángulo de inclinación de la recta tangente a la curva.

Si P (r, ) es el punto de tangencia y es el angulo que forma el radio vector op y la recta

tangente se examina los siguientes casos:

E n el caso (a):

En el caso (b): ; de donde

Tg = tg =tg (



lo que significa en ambas situaciones:

Tg = tg ( , es decir

Tg = …………………….(11)

Considerando (10) y (11); se tiene:

Tg =

Simplificando se obtiene: tg = , esto es:

Tg = o´ =r ctg …………………………………. (12)

La derivada del radio vector (r) respecto al ángulo polar es igual al producto de la longitud del

primero por la cotangente del ángulo formado por el radio vector y tangente a la curva en el punto dado.

9.- ANGULO ENTRE DOS CURVAS EN COORDENADAS POLARES:

Si el punto p es la intercesión entre dos curvas L y L´ y, S y S´ son respectivamente, las tangentes a las curvas en el punto P, el ángulo entre dos curvas en el punto P, es el ángulo formado por las

tangentes T y T´. S i las ecuaciones de estas curvas están dadas en coordenadas polares y, y

´son respectivamente, los ángulos que forman el eje polar y las tangentes T y T´. Entonces:

TPT´ = OPT´- OPT; es decir = ´ de donde



Tg = …………………………………….. (13)

Tg ´ y tg se calculan aplicando (14) en punto de intersección de las curvas

10.- ÁREA EN COORDENADAS POLARES:

Intuitivamente, la formula que no permite hallar de una región limitada por una curva en coordenadas polares, se deduce a partir de la formula que corresponde al área de un sector circular.

Veamos:



A) por regla de tres simple tenemos: si al arco 2

coresponde al area r2 entonces el arco ¿qué

área corresponderá?

2 r2.

A

a =

A = r2

Área del sector circular de arco radio r.

B) el área que corresponde al sector de arco es:

dA = r2.d , r = f ( ) por lo tanto , el area quev corresponde ala REGION limitada por

r = f( ) y los rayos y sera:

A =



Donde la función f: es contonua en y r

C) sea la región r =

Donde la función:

f: y g:

Son continuas en:

Entonces el área de la región R, es:

A (R) =

Observación: la formula definida en b) se puede hallar aplicando suma de Rieman

Teorema: sea la región R= donde

La función f: es continua en el intervalo , A (R) =

11.- LONGITUD DE ARCO EN COORDENADAS POLARES:



Definición: sea r una función de derivada continua y r = f ( ), .

La ecuación de una curva en coordenadas polares. Al pasar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas se obtiene:

X =f ( Y = f( ,

Que pueda ser considerada como las ecuaciones para métricas de la curva con parámetro como:

= f´ ( y = f´ ( ,

Entonces : ( =

Luego, aplicando la formula de longitud de arco de una curva dada en ecuaciones parametricas, se

tiene que, la longitud de arco de r =f ( ) desde hasta , esta dada por:

L = d



12.- VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN EN COORDENADAS POLARES:

Para obtener el valor de volúmenes de rotación en coordenadas polares, utilizamos lo que llamaremos ''Conos de Helados''.

Tomemos un sector esférico de radio R y formamos un ángulo de medida a

Trazando una perpendicular, formamos un triángulo rectángulo, que por trigonometría el cateto opuesto a a será R sin a y el cateto adyacente R cos a

Como vemos si hacemos girar el radio de la circunferencia, nos genera un cono, pero si observamos hay una parte de la circunferencia que queda fuera, esta es lo que llamaremos helado. FACULTAD DE ING. CIVIL Página 19


Entonces tenemos que la fórmula para hallar volúmenes de rotación en coordenadas polares es:

Veamos ahora como podemos llegar a esta fórmula:

Si nos damos cuenta necesitamos saber en realidad, el volumen de un ''Cono con Helados''

Buscaremos primero el volumen del cono que generamos al rotar el radio, luego el helado y finalmente la suma de ambos nos dará el volumen total del cono con helados que buscamos.

A). VOLUMEN DEL CONO

Sabemos que el volumen de un cono cualquiera es: ( 1/3 ) * Base * AlturaAhora reemplazamos con nuestros datos:

Si observamos, la base de un cono es una circunferencia, que en nuestro caso tiene radio R sin a (Recordemos que este cono está formado por el triangulo rectángulo anterior, donde el cateto opuesto a a forma el radio de la circunferencia de la base del cono y el cateto adyacente es la altura del cono),

entonces debemos reemplazar en

Nos queda:

Recuerda que esto es sólo la base del cono, ahora sacaremos el volumen total:

Volumen cono



B). Formula de Volumenes de Revolución en Coordenadas Polares.

Primero debemos cambiar nuestros datos a coordenadas polares, entonces:

y

Por lo tanto, nuestro intervalo será

Ahora utilizaremos el teorema del valor medio.

, donde c, es un elemento cualquier del intervalo, en nuestro caso

lo denotaremos

Entonces como nuestra función es cos a, tenemos:

Multiplicamos por -1

Ahora reemplazamos en



Entonces el volumen de nuestro cono de helados en coordenadas polares es:

Ejercicios resueltos:

1.-Calcular el área de la región limitada por las curvas r =2a cos y

r = a (1+cos )

Solución:

Resolver el sistema.

2a cos = a (1+cos )

2cos =1+ cos

Cos = 1 =2k

Hay simetría con respecto al eje polar.



Porque el circulo esta contenido dentro de la cardioide , el área es la diferencia de los aéreas limitadas por las dos curvas.

A =2

= =

2.-Encuentre el área de intersección de los cardiodes r1 = 2+2sen y

r2 = 2+2cos

Solución:

Hallando la intersección:

2+2sen = 2+2cos

Sen = cos tg = 1



= arctg (1) = 45º =

Calculo de área de la intersección de las cardioides:

A = 2 pero (r2)= (2+2cos )2 =4+8cos

=

=

=

A = -1

3.- Halle el área interior a r = 4sen y exterior a



r= sen

Solución:

Hallando la intersección

r = 4sen = sen

4sen - sen = 0

sen (4sen2 ) = 0

= 0,

Lo que es el área de la región achurada, además se que los dos hojas son simétricas luego = (área

de la hoja) -(área de la circunferencia)

=

A =

A =

A =

A =

A =



A =

A=

A=

A = .

4.-Dada c1: r = a cos , c2 = encontrar el área interior de c1 y exterior de c2.

Solución:

Hallando la intersección:

a cos =

cos =



Entonces el área es:

A =

A =

A =

A =

A(R) =



5.-Hallar la longitud de arco de la curva r = , a .

Solución:

La curva es simétrica respecto al eje

Como:

Luego:



Ejercicios propuestos:

1.- Hallar la ecuación de la parábola con focos en el polo y directriz perpendicular al eje polar en el

punto (-3 ,0) Rta. r =

2.- Hallar longitud de los lados y el área del triangulo de vértice (2, /8); (4, 3 /8) y (-1 ,7 /8)

Rta. 2 ; ; ; -4)

3.-Hallar el área limitada por la curva x4+ y4= x2+y2 Rta.

4.-Encontrar el área de la región acotado por la grafica de la ecuación dada, lazo interior de r

=1+2cos



Rta.

5.- Hallar el área de la figura acotada por la línea

Rta.

6.- Hallar de figura comprendida entre la parte externa e interna de la línea

r = asen3 Rta a2 .

7.-El arco de la espiral logarítmica r = a .m que se encuetra dentro del circulo r = a

Rta. a

8.-Determine el área de la intersección de las regiones limitadas por las curvas

r = 3 y r =3+3cos Rta. 9 -18

9.-Calcular la longitud de arco de la curva (en coordenadas polares) y bosquejar el grafico de la

curva = desde r = 1 hasta r =3 Rta.

10.-Calcular la longitud de arco que se indica ;

Rta.


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