KinematikaPohyb a klid

vztažná soustava (vůči čemu) relativní pojem neexistuje těleso v absolutním klidu

Hmotný bod těleso, jehož rozměry jsou zanedbatelné ve srovnání se vzdáleností, kterou urazí.

Trajektorie hmotného bodu dráha („křivka“), po které se bod pohybuje POHYB - Přímočarý

- Křivočarý

Dráha s [s]=m délka trajektorie

Čas t [t]=s

Rychlost v [v]=km.s-1;m.s-1

1m.s-1 = 3,6 km.s-1

v= st

Průměrná rychlost (v = skalár)

v= s (celková)t (celková)

Okamžitá rychlost (vektor) – měřená je v 1 místě Δt →0(„se blíží nule“)

v= ΔsΔ t

Rovnoměrný pohyb pohyb, při kterém těleso za libovolné, ale stejné časové úseky urazí stejné dráhy v= konstanta

s=vtZrychlení a

[a]=m.s-2

změna rychlosti zrychlení se číselně rovná přírůstku rychlosti za 1 sekundu.

v0 počáteční rychlost [v0]=km.h-1; m.s-1

v konečná rychlost [v]=km.h-1; m.s-1

Δ v=v−v0a= Δv

tRovnoměrně zrychlený pohyb

a= konstanta

Okamžitá rychlost

v=v0+at

Rozjíždění z klidu rychlost je přímo úměrná času v0=0

v=atDráha rovnoměrně zrychleného pohybu

v0=0 graf: část paraboly

s=12a t2

Volný pád všechna tělesa ve vakuu padají se stejným zrychlením

Tíhové zrychlení g [g]=m.s-2

g ¿̇10m⋅ s−2 (u nás v ČR: g=9,81m.s−2, normální tíhové zrychlení: gn=9,80665m⋅ s−2)

výška (dráha) h [h]=m

Okamžitá rychlostv=¿

Dráha pádu

s=12g t 2

Doba pádu tp

[tp]=s

t p√ 2hgSkládání pohybu

Skládání rychlostí (vektorový součet)v⃗=v⃗1+ v⃗2Velikost výsledné rychlostiv=√v1+v2Princip nezávislosti pohybu:Koná-li těleso (hmotný bod) dva či více pohybů současně je jeho výsledná poloha stejná, jako kdyby konalo tyto pohyby postupně v libovolném pořadí.

Pohyb hmotného bodu po kružnici

Průvodič hmotného bodu SA spojuje hmotný bod se středem kružnice

Radián (rad) úhel, jemuž na kružnici odpovídá oblouk stejné délky, jako je

poloměr kružnice (cca 57°) jednotka obloukové míry

Znaménková dohoda pro měření úhlů proti směru hodinových ručiček +

po směru hodinových ručiček -

Úhlová dráha ϕ [ϕ ]=rad

φ= sr

Rychlost v

v=r φt

v=rω

v=2πrT

=2πrf

Úhlová rychlost ω [ω ]=rad.s-1

ω=φt

ω=2πT

ω=2πfOkamžitá rychlost

vektor okamžité rychlosti v každém bodě má směr tečny k trajektorii tzn. je kolmý na průvodič

Rovnoměrný křivočarý pohyb NEMŮŽE být nikdy KONSTANTA, jelikož 1)sice má stejnou velikost

2)ale nemá stejný směr

Perioda T

[T]=s

doba, za kterou hmotný bod opíše celou kružnici a jeho průvodič dráhu: ϕ=2π rad tj. oběžná doba

Frekvence f [f]=s-1

je dána počtem oběhů hmotného bodu po kružnici za jednotku času

f= 1T

Počet otáček n [n]=1 (nemá jednotky)

Periodické pohyby pohyby se stálou periodou a frekvencí jejich průběh se pravidelně opakuje

Dostředivé zrychlení a⃗d [a⃗d]=m.s-2

mění pouze směr rychlosti

ad=v2

r

ad=r ⋅ω2

APůsobiště síly

Dynamika zkoumá příčiny pohybu

Síla F⃗ velikost síly F [F]=N 1N=1kg ⋅m⋅ s−2 1N – síla kterou Země přitahuj těleso o hmotnosti 100g 1N – síla, která tělesu o hmotnosti 1kg udělí zrychlení 1m.s−2 měření síly: siloměr

ÚČINKY SÍLY:o uvedení z klidu do pohybuo uvedení z pohybu do kliduo zrychlenío zpomalenío změna směru

o deformace

Newtonovy pohybové zákony1. Newtonův pohybový zákon – Zákon setrvačnosti

Těleso setrvává v relativním klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu dokud není donuceno tento stav změnit působením jiných těles.

2. Newtonův pohybový zákon – Zákon síly Působí-li na těleso síla, těleso rovnoměrně zrychluje. Zrychlení je přímo úměrné působící síle a nepřímo úměrné hmotnosti tělesa.

a= Fm a⃗= F⃗

m

F=ma F⃗=m a⃗Impuls síly II=Ft (I⃗=F⃗ t )

Hybnost tělesa p [ p ]=kg ⋅m⋅ s−1

p=mv ( p⃗=mv⃗ )

Změna hybnosti Δ pΔ p=m⋅ Δv

Δ p⃗=F⃗ t

Δ p⃗= p⃗2+ p⃗1= p⃗2+(− p⃗1 )

|Δ p⃗|=|p⃗1|+|p⃗2|Δ p=p1+ p2

opačný vektor

Účinky pohybové (dynamické)

Účinky statické

3. Newtonův pohybový zákon – Zákon akce a reakce Působí-li jedno těleso na druhé silou, působí druhé těleso na první stejně velkou silou opačného směru. Tyto síly nazýváme akce a reakce.Síly akce a reakce působí na různá tělesa a proto se jejich účinky neruší.

Důsledek:m1v1=m2v2

Jsou-li dvě tělesa uvedena z klidu do pohybu jen silami akce a reakce, tak jsou jejich hybnosti stejně velké.

Zobecnění: Zákon zachování hybnostiCelková hybnost izolované soustavy je konstantní.

soustava před nárazem pI

soustava po nárazu pII

pI = pII

Dostředivá síla

F⃗d=ma⃗d

ad=v2

r=r ω2

Fd=mv2

r

Fd=mrω2

Tření

Třecí síla Ft

Normálová síla Fn

Součinitel smykového tření f [f] = 1

F t=f Fn

Smykové třeníTřecí síla závisí na 1) normálové síle

2) kvalitě povrchuTřecí síla v podstatě nezávisí na rychlosti a velikosti styčných ploch.

Nakloněná rovina

Pohybová složka F⃗1Normálová složka F⃗n

FG=mg

sin α=F1FG

F1=mg sinα

cos α=FnFG

Fn=mg cosα

F t=f FnF t=fmg cosα

s

Mechanická práce a výkonMechanická práce W

[W] = J (1J=1N.1m=1kg.1m.s2.m=1kg.m2.s2) silové působení přemístění

Pokud je síla kolmá ke směru přemístění práce se NEKONÁ!

W=Fs

W=Fscosα

W=Pt

1 kilowatthodina: 1kW ⋅h=1000W ⋅3600 s=3,6⋅ 106W ⋅ s=3,6MJ

Výkon P [P] = W (watt) - 1W=1J ⋅s−1 1k (kůň)=̇¿ ¿0,75 kW

P=Wt

P=Wt

= Fst

=Fv

P=Fv

Účinnost η Výkon (užitečný) P Příkon (celkový) P0

[η] = 1 P < P0 → η < 1 η - často vyjadřujeme v procentech

P < P0

h-h1

Energie „schopnost“ konat práci

1) Kinetická (pohybová) energie Ek [Ek] = J

Ek=12mv2

Ek=W=Fs=ma . 12a t 2=1

2ma2t 2=1

2m (at )2=1

2mv2

2) Potenciální tíhová energie Ep [Ep] = J závisí na volbě vztažné soustavy

Ep=mghEp=W=Fs=mgh

3) Potenciální energie pružnosti

Ep=mgh; Ek=0E=Ep+Ek=mgh

Ep=mgh1; Ek=12mv2=1

2m .2g (h−h1) ( v=√2g(h−h1) )

E=Ep+Ek=mgh1+mgh−mgh1=mgh

Ep=0; Ek=12mvd

2=12m2gh=mgh ( vd=√2gh )

E=Ep+Ek=mgh

Př: Matematické kyvadlo

α=60 °l=46cm=0,46mm=50 g

v=?m ⋅s−1

cos α=dl

v=√2g ( l−l cosα )

v=√2⋅10 ⋅(0,46−0,46 ⋅0,5)m ⋅s−1

v=2,1m⋅ s−1

d= lcos αh1=l−d

mg h1=12mv2

gh1=12v2

2g h1=v2

v=√2gh1v=√2g ( l−d )

V tíhovém poli nezávisí práce při zvedání tělesa na tvaru trajektorie, ale pouze na svislé odlehlosti počátečního a koncového místa

r

Gravitační poleNewtonův gravitační zákon

Gravitační síla Fg

Fg∼m1m2; Fg∼1r 2

Gravitační konstanta κ

[κ ]=N m2kg−2

κ=6,67 ⋅10−11N m2 kg−2

Fg=κm1m2r2

Hmotnost Země: M Z=6⋅1024 kgHmotnost Slunce: M S=2⋅1030kg

Gravitační zrychlení na povrchu Země

Gravitační zrychlení ag [ag ]=m⋅s−2

Fg=κmM Z

RZ2

Fg=mag

mag=κmM Z

RZ2

ag=κM Z

RZ2

Tíhová síla F⃗GGravitační síla F⃗gSíla setrvačná odstředivá F⃗ s

H

Pohyb těles v homogenním tíhovém poliVolný pád

v=¿

s=12g t 2

vd=√2gh

Složené pohyby – vrhy

1. Vrh svislý vzhůruPočáteční rychlost v0

Okamžitá výška h

h=v0 t−12g t 2

Okamžitá rychlost v

v=v0−¿

Doba výstupu T(v0−¿=0)

T=v0g

Maximální výška výstupu H

H=v0T−12gT 2=v0

v0g

−12g( v0g )= v0

2

g−12v02

g=v02

g−v02

2g=v02

2g

H=v02

2g

Rychlost dopadu vd

vd=√2gh=√2g v022g=v0vd=v0

d x

y

H

2. Vrh vodorovný Pohyb složený z vodorovného, rovnoměrného, přímočarého pohybu a volného pádu

x=v0t

y=H−12g t 2

y= g2v0

2 x2+H

Trajektorie: část paraboly

Doba vrhu TPodm: y=0

0=H−12gT2 ;0=2H−gT 2 ;gT 2=2H ;T 2=2H

g

T=√ 2HgDálka vrhu dPodm: t=T

d=v0T

d=v0√ 2HgRychlost dopadu vd

vd=√v02+2gH

3. Vrh šikmý vzhůruv y=v0 sinα

vx=v0cos α

x=v0 t cosα

y=v0 t sin α−¿ 12g t 2 ¿

Elevační úhel α

Doba výstupu T '

T '=v yg

=v0 sin αg

Doba vrhu T=2T '

T=2v0sin αg

Maximální výška H zapisujeme :(sin α)2=sin2α

H=v y2

2g=¿¿¿

H=v02

2gsin2α

Dálka vrhu d d je maximální když2d=90 ° → d=45 °

d=v xT=v0cos α2v0cos αg

=v02

g2sin α cos α=

v02

gsin 2α

d=v02

gsin 2α

SFd

RZ

Pohyby v   centrálním gravitačním poli Centrální gravitační pole

Má střed, do něhož se sbíhají vektory gravitačních sil

Newtonův gravitační zákonGravitační síla Fg

Fg=κm1m2r2

Fg=magκ=6,67 .10−11N .m2 . kg−2

Poloměr Země RZ (RZ ¿̇6378000m)

Hmotnost Země M Z (M Z ¿̇6.1024kg)

Gravitační zrychlení ag

ag=κM Z

RZ2

Ve výšce h: ag=κM Z

(RZ+h )2

Kruhová rychlost vk Nad povrchem Země

Dostředivá síla Fd

Fd=mvk2

RZ

Fg=κmM Z

RZ2

Fd=Fg

vk=√κ M Z

RZ Kruhová rychlost těsně nad povrchem Země: vk ¿̇7,9km .s

−1

Ve výšce h: vk=√κ M Z

RZ+h Kruhová rychlost ve výšce 300 km nad povrchem Země: vk ¿̇7,8km . s

−1

První kosmická rychlost

Parabolická rychlost vp (vp=v k .√2¿̇11,2km . s−1) Druhá kosmická rychlost

Elipsa Množina všech bodů v rovině, které mají stálý součet vzdáleností od dvou daných navzájem různých bodů (tzv. ohnisek) Hlavní poloosa a (a=|SY|)

|XF|+|XG|=ko nst .=|YZ|=2a

DRZ hr

Keplerovy zákony

1. Keplerův zákon Planety se pohybují po elipsách málo odlišných od

kružnic, v jejichž společném ohnisku je Slunce

2. Keplerův zákon Obsahy ploch opsaných průvodičem planety za

jednotku času jsou konstantní. Důsledek: Pohyb planety kolem Slunce je

nerovnoměrný (rychlost není konstantní) → v perihéliu se pohybuje rychleji než v aféliu

3. Keplerův zákon Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet se rovná poměru třetích mocnin jejich hlavních poloos

T12

T22=a13

a23

Stacionární družice Družice, která pořád zůstává nad jedním místem na Zemi (tzn.

její oběžná doba = otočka Země) Musí být umístěna nad rovníkem

T=24h=86 400 sκ=6,67. 10−11N .m2 . kg−2

M Z ¿̇6.1024kg

RZ ¿̇6378000mh=?m

h=3√T 2κ M Z

4 π2−RZ

h=3√ 86 4002.6,67.10−11 .6.1024

4 π 2−6378000m

h=35900 km

vk=√κ M Z

RZ+hr=RZ+h

vk=√κ M Z

r

T= svk

= 2πr

√κ M Z

r

T √κ M Z

r=2πr

T 2κM Z

r=4 π2r2

T 2κ M Z=4 π2r3

r3=T 2κ M Z

4 π2

r=3√T 2κ M Z

4π 2

+ A+ o d

Mechanika tuhého tělesaTuhé těleso

Těleso, které se působením sil nedeformuje

Pohyb Posuvný

Všechny přímky spojené s tělesem jsou rovnoběžné s jejich původní polohou Otáčivý

Všechny body tělesa kromě středu se pohybují po soustředných kružnicích

Účinek síly na tuhé těleso se nezmění, posuneme-li její působiště do libovolného bodu její vektorové přímky.

Rameno síly d [d ]=m

Moment síly vzhledem k ose otáčení M [M ]=N .m(newtonmetr)

M=Fd Znaménková dohoda: proti směru hodinových ručiček +

po směru hodinových ručiček -

Momentová věta: Otáčivý účinek sil působících na tuhé těleso otáčivé kolem pevné osy se ruší,

jestliže součet (algebraický = včetně znaménka) momentů těchto sil se rovná nule.

„suma“ Σ

∑i=1

n

M i=0

F⃗=F⃗1+ F⃗2a) F=F1+F2b) F=|F1−F2|c) Různoběžné

Speciální příklad: F⃗1⊥ F⃗2F=√F12+F22

∑i=1

7

M i=M 1+M 2+M 3+M 4+M5+M 6+M 7

Cykloida

o

o

oor rd

Skládání sil v různých bodech tělesaA. Různoběžné síly B. Rovnoběžné síly

F1d1=F2d2F1F2

=d2d1

F=F1+F2Tip:

1) Sílu (F1) přenesu

2) Sílu (F2) otočím a přenesu

Rozklad síly (na složky)Pohybová složka F⃗1 Normálová složka F⃗nTíhová síla FG

F⃗1=FG . sinα

F⃗n=FG .cos α

Dvojice sil Účinek dvojice sil nelze nahradit jedinou silou.

Rameno dvojice sil d

M=M 1+M 2=Fr+F' r=Fd

M=Fd

r

r

Těžiště tělesa Působiště tíhové síly. Hledání:

o U geometricky pravidelných těles – v geometrickém středuo U nepravidelných těles – experimentálně nebo dvojím zavěšením

Existují i tělesa, které mají těžiště mimo látku tělesa (např. prstýnek).Rovnovážná poloha tělesa

Těleso je v rovnovážné poloze, jestliže výsledná síla působící na těleso i výsledný moment sil je nulový.a) Stálá (stabilní)

b) Vratká (labilní)

c) Volná (indiferentní)

Rotace tuhého tělesa

Ek 1=12m1 v1

2

Ek 1=12m1 r1

2ω2

Ek 2=12m2 r2

2ω2

∑i=1

10

r=r1+r2+r3+r 4+r5+r6+r7+r8+r9+r10

Celková energie rotace buřtu

Ek=∑iEki

Ek=∑i

12mir i2ω2

Ek=12∑i

mir i2ω2

Moment setrvačnosti tělesa J

J=∑imir i

2

Ek=12Jω2

Hmotný bod (kulička)

J=mr2

Deska (válec)

J=12mr2

hS

Mechanické vlastnosti kapalin a plynůVlastnosti kapalin a plynů

Společné:o Částicová struktura (částice, mezi kterými jsou prostory).o Mezi částicemi působí molekulové síly.

a) U kapalin SILNĚJŠÍ.b) U plynů SLABŠÍ, plyny si předávají energii při srážkách.

o Jsou tekuté → kapaliny a plyny dohromady nazýváme TEKUTINY Rozdílné:

o Stlačitelnosta) Kapaliny jsou NESTLAČITELNÉ.b) Plyny jsou STLAČITELNÉ.

Pascalův zákon Tlak vyvolaný vnější silou působící na povrch kapaliny je všude v kapalině stejný. Využití: hydraulická zařízení

Tlak p[ p ]=1Pa (¿1N ⋅m−2)

p= FS

p1=F1S1

p2=F2S2

p1=p2 → F1S1

=F2S2

F2=F1S2S1

S2>S1⇒F2>F1Hydrostatický tlak

Hydrostatický tlak ph Tlak vyvolaný vlastní tíhou kapaliny.

ph=hρg

F=mg , m=Vρ

F=ShρgHydrostatický paradox Spojené nádoby

Vztlaková sílaArchimédův zákon

Na těleso ponořené do kapaliny působí vztlaková síla. Její velikost je rovna V ⋅ ρk ⋅g Vztlaková síla nezávisí na hloubce ponoru

Vztlaková síla F vzObjem ponořené části tělesa VHustota kapaliny ρk

F vz=V ρk g

Kartezián

Plování tělesPrůměrná hustota tělesa ρt

Hustota teplé vody < hustota studené vody.

1. ρt< ρk⇒ těleso plove2. ρt=ρk⇒ těleso se vznáší3. ρt ¿ ρ k⇒ těleso se potopí

FG=V ρt g

F⃗a