pohon

Pohon

Bahan Kuliah IF2151

Matematika Diskrit

Rinaldi M/IF2151 Matdis

Definisi
Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit

a

b

c

d

e

f

a

b

c

d

e

f

a

b

c

d

e

f

a

b

c

d

e

f

pohonpohon bukan pohon bukan pohon

EMBED Visio.Drawing.5

a

b

c

d

e

f

a

b

c

d

e

f

a

b

c

d

e

f

a

b

c

d

e

f
_1058772578.vsd
a

b

c

d

e

f

a

b

c

d

e

f

a

b

c

d

e

f

a

b

c

d

e

f


Hutan (forest) adalah

- kumpulan pohon yang saling lepas, atau

- graf tidak terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Setiap komponen di dalam graf terhubung tersebut adalah pohon.
Hutan yang terdiri dari tiga buah pohon
_1058772703.vsd

Sifat-sifat (properti) pohon


Teorema. Misalkan G = (V, E) adalah graf tak-berarah sederhana dan jumlah simpulnya n. Maka, semua pernyataan di bawah ini adalah ekivalen:

1. G adalah pohon.

2. Setiap pasang simpul di dalam G terhubung dengan lintasan tunggal.

3. G terhubung dan memiliki m = n 1 buah sisi.

4. G tidak mengandung sirkuit dan memiliki m = n 1 buah sisi.

5. G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi pada graf akan membuat hanya satu sirkuit.

6. G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan.

Teorema di atas dapat dikatakan sebagai definisi lain dari pohon.

Pohon Merentang (spanning tree)


Pohon merentang dari graf terhubung adalah upagraf merentang yang berupa pohon.

Pohon merentang diperoleh dengan memutus sirkuit di dalam graf.

GT1 T2 T3 T4

_1058772762.vsd


Setiap graf terhubung mempunyai paling sedikit satu buah pohon merentang.

Graf tak-terhubung dengan k komponen mempunyai k buah hutan merentang yang disebut hutan merentang (spanning forest).

Aplikasi Pohon Merentang


1. Jumlah ruas jalan seminimum mungkin yang menghubungkan semua kota sehingga setiap kota tetap terhubung satu sama lain.

2. Perutean (routing) pesan pada jaringan komputer.

(a)

(b)

Router

Subnetwork

(a) Jaringan komputer, (b) Pohon merentang multicast
_1112174003.vsd
(a)

(b)

Router

Subnetwork

Pohon Merentang Minimum


Graf terhubung-berbobot mungkin mempunyai lebih dari 1 pohon merentang.

Pohon merentang yang berbobot minimum dinamakan pohon merentang minimum (minimum spanning tree).

a

b

c

d

e

f

g

h

55

5

40

25

45

30

50

20

15

35

10

a

b

c

d

e

f

g

h

5

40

25

30

20

15

10


a

b

c

d

e

f

g

h

55

5

40

25

45

30

50

20

15

35

10

a

b

c

d

e

f

g

h

5

40

25

30

20

15

10
_1058772833.vsd
a

b

c

d

e

f

g

h

55

5

40

25

45

30

50

20

15

35

10

a

b

c

d

e

f

g

h

5

40

25

30

20

15

10


Algoritma Prim

Langkah 1: ambil sisi dari graf G yang berbobot minimum, masukkan ke dalam T.

Langkah 2: pilih sisi (u, v) yang mempunyai bobot minimum dan bersisian dengan simpul di T, tetapi (u, v) tidak membentuk sirkuit di T. Masukkan (u, v) ke dalam T.

Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n 2 kali.


procedure Prim(input G : graf, output T : pohon)

{ Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubung-berbobot G.

Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan (V(= n

Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E)

}

Deklarasi

i, p, q, u, v : integer

Algoritma

Cari sisi (p,q) dari E yang berbobot terkecil

T ( {(p,q)}

for i(1 to n-2 do

Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil namun

bersisian dengan simpul di T

T ( T ( {(u,v)}

endfor


1

2

3

4

5

6

10

50

45

30

20

15

35

55

25

40
Contoh:

1

2

3

4

5

6

10

50

45

30

20

15

35

55

25

40
_1058772942.vsd
1

2

3

4

5

6

10

50

45

30

20

15

35

55

25

40


3

(3, 6)

15

1

3

6

10

15

25

4

(4, 6)

20

1

2

3

4

6

10

20

15

25

5

(3, 5)

35

1

2

3

4

5

6

10

45

20

15

35

55

25
LangkahSisi Bobot Pohon rentang
1

(1, 2)

10

1

2

10

2

(2, 6)

25

1

2

6

10

25

1

(1, 2)

10

1

2

10

2

(2, 6)

25

1

2

6

10

25

3

(3, 6)

15

1

3

6

10

15

25

4

(4, 6)

20

1

2

3

4

6

10

20

15

25

5

(3, 5)

35

1

2

3

4

5

6

10

45

20

15

35

55

25


_1058773078.vsd
1

2

6

10

25

1

2

10

1

(1, 2)

10

2

(2, 6)

25
_1058773170.vsd
3

(3, 6)

15

4

(4, 6)

20

5

1

3

(3, 5)

35

6

10

15

25

1

2

3

4

6

10

20

15

25

1

2

3

4

5

6

10

45

20

15

35

55

25


1

2

3

4

5

6

10

45

20

15

35

55

25
Pohon merentang minimum yang dihasilkan:
Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105


1

2

3

4

5

6

10

45

20

15

35

55

25
_1058773268.vsd
1

2

3

4

5

6

10

45

20

15

35

55

25

Pohon merentang yang dihasilkan tidak selalu unik meskipun bobotnya tetap sama. Hal ini terjadi jika ada beberapa sisi yang akan dipilih berbobot sama.


Contoh:

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

3

2

4

2

3

5

4

4

2

4

a

b

c

d

e

f

h

i

j

k

l

3

2

4

2

3

5

3

4

4

2

4

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

3

4

2

4

2

3

5

3

4

2

4

3

Tiga buah pohon merentang minimumnya:

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

3

5

6

5

3

5

4

4

2

4

4

4

2

6

3

2

4
Bobotnya sama yaitu = 36

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

3

5

6

5

3

5

4

4

2

4

4

4

2

6

3

2

4
_1112342444.vsd
a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

3

3

2

4

2

3

5

4

4

2

4

a

b

c

d

e

f

h

i

j

k

l

3

2

4

2

3

5

3

4

4

2

4

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

3

4

2

4

2

3

5

3

4

2

4
_1194504758.vsd
a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

3

5

6

5

3

5

4

4

2

4

4

4

2

6

3

2

4

Algoritma Kruskal
( Langkah 0: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya dari bobot kecil ke bobot besar)

Langkah 1: T masih kosong

Langkah 2: pilih sisi (u, v) dengan bobot minimum yang tidak membentuk sirkuit di T. Tambahkan (u, v) ke dalam T.

Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n 1 kali.


procedure Kruskal(input G : graf, output T : pohon)

{ Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubung berbobot G.

Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan (V(= n


}

Deklarasi

i, p, q, u, v : integer

Algoritma

( Asumsi: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik

berdasarkan bobotnya dari bobot kecil ke bobot

besar)

T ( {}

while jumlah sisi T < n-1 do

Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil

if (u,v) tidak membentuk siklus di T then

T ( T ( {(u,v)}

endif

endfor


1

2

3

4

5

6

10

50

45

30

20

15

35

55

25

40
Contoh:

1

2

3

4

5

6

10

50

45

30

20

15

35

55

25

40
_1058772942.vsd
1

2

3

4

5

6

10

50

45

30

20

15

35

55

25

40


Sisi-sisi diurut menaik:

Sisi

(1,2)

(3,6)

(4,6)

(2,6)

(1,4)

(3,5)

(2,5)

(1,5)

(2,3)

(5,6)

Bobot

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

1

(1, 2)

10

2

(3, 6)

15

3

(4, 6)

20

0

1

2

3

4

5

6

1

2

1

2

3

6

4

5

1

2

3

6

4

5
LangkahSisi Bobot Hutan merentang
4

(2, 6)

25

1

2

3

4

5

1

(1, 2)

10

2

(3, 6)

15

3

(4, 6)

20

0

1

2

3

4

5

6

1

2

1

2

3

6

4

5

1

2

3

6

4

5

4

(2, 6)

25

1

2

3

4

5


_1058773345.vsd
3

1

(4, 6)

20

2

1

3

6

2

0

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

4

5

1

(1, 2)

10

2

(3, 6)

15
_1058773387.vsd
4

(2, 6)

25

1

2

3

4

5


4

(2, 6)

25

1

2

3

4

5

5

(1, 4)

30

ditolak

6

(3, 5)

35

1

2

3

6

4

5

1

2

3

4

5

6

10

45

20

15

35

55

25
Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105




4

(2, 6)

25

1

2

3

4

5

5

(1, 4)

30

ditolak

6

(3, 5)

35

1

2

3

6

4

5

1

2

3

4

5

6

10

45

20

15

35

55

25
_1058773387.vsd
4

(2, 6)

25

1

2

3

4

5
_1058773782.vsd
5

(1, 4)

30

1

ditolak

6

(3, 5)

35

2

3

6

4

5
_1058773268.vsd
1

2

3

4

5

6

10

45

20

15

35

55

25

Pohon berakar (rooted tree)


Pohon yang satu buah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan sisi-sisinya diberi arah sehingga menjadi graf berarah dinamakan pohon berakar (rooted tree).

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

(a) Pohon berakar(b) sebagai perjanjian, tanda panah pada sisi dapat dibuang


a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j
_1058773894.vsd
a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j


a

b

c

d

e

f

g

h

f

g

a

b

c

d

e

f

g

h

d

e

h

b

a

c

b sebagai akar e sebagai akar

Pohon dan dua buah pohon berakar yang dihasilkan dari pemilihan

dua simpul berbeda sebagai akar


a

b

c

d

e

f

g

h

f

g

a

b

c

d

e

f

g

h

d

e

h

b

a

c
_1058773945.vsd
a

b

c

d

e

f

g

h

f

g

a

b

c

d

e

f

g

h

d

e

b

h

a

c

Terminologi pada Pohon Berakar


Anak (child atau children) dan Orangtua (parent)

b, c, dan d adalah anak-anak simpul a,

a adalah orangtua dari anak-anak itu

a

b

k

g

j

f

c

d

m

l

i

e

h


2. Lintasan (path)

Lintasan dari a ke j adalah a, b, e, j.

Panjang lintasan dari a ke j adalah 3.

3. Saudara kandung (sibling)

f adalah saudara kandung e, tetapi g bukan

saudara kandung e, karena orangtua mereka

berbeda.

a

b

k

g

j

f

c

d

m

l

i

e

h


4. Upapohon (subtree)

a

b

k

g

j

f

c

d

m

l

i

e

h


a

b

k

g

j

f

c

d

m

l

i

e

h
_1058774091.vsd
a

b

k

g

j

f

c

d

m

l

i

e

h


5. Derajat (degree)

Derajat sebuah simpul adalah jumlah upapohon (atau jumlah anak) pada simpul tersebut.

Derajat a adalah 3, derajat b adalah 2,

Derajat d adalah satu dan derajat c adalah 0.

Jadi, derajat yang dimaksudkan di sini adalah derajat-keluar.

Derajat maksimum dari semua simpul merupakan derajat pohon itu sendiri. Pohon di atas berderajat 3

a

b

k

g

j

f

c

d

m

l

i

e

h


a

b

k

g

j

f

c

d

m

l

i

e

h
_1058774026.vsd
a

b

k

g

j

f

c

d

m

l

i

e

h


6. Daun (leaf)

Simpul yang berderajat nol (atau tidak mempunyai anak) disebut daun. Simpul h, i, j, f, c, l, dan m adalah daun.
7. Simpul Dalam (internal nodes)
Simpul yang mempunyai anak disebut simpul dalam. Simpul b, d, e, g, dan k adalah simpul dalam.

a

b

k

g

j

f

c

d

m

l

i

e

h


8. Aras (level) atau Tingkat

a

b

k

g

j

f

c

d

m

l

i

e

h

0

1

2

3

4

Aras

9. Tinggi (height) atau Kedalaman (depth)

Aras maksimum dari suatu pohon disebut tinggi atau kedalaman pohon tersebut. Pohon di atas mempunyai tinggi 4.


a

b

k

g

j

f

c

d

m

l

i

e

h

0

1

2

3

4

Aras
_1058774188.vsd
a

b

k

g

j

f

c

d

m

l

i

e

h

0

1

2

3

4

Aras

Pohon Terurut (ordered tree)


Pohon berakar yang urutan anak-anaknya penting disebut pohon terurut (ordered tree).

1

2

6

8

7

3

4

9

10

5

1

2

6

8

7

3

4

9

10

5

1

2

6

8

7

3

4

9

10

5

1

2

6

8

7

3

4

9

10

5

(a)(b)

(a) dan (b) adalah dua pohon terurut yang berbeda

_1058774322.vsd
1

2

6

8

1

7

2

6

8

7

3

4

9

10

5

3

4

9

10

5

Pohon n-ary


Pohon berakar yang setiap simpul cabangnya mempunyai paling banyak n buah anak disebut pohon n-ary.

< sentence>

wears

A a

tall boy red hat

Gambar Pohon parsing dari kalimat A tall boy wears a red hat

Pohon n-ary dikatakan teratur atau penuh (full) jika setiap simpul cabangnya mempunyai tepat n anak.

Pohon Biner (binary tree)
Adalah pohon n-ary dengan n = 2.Pohon yang paling penting karena banyak aplikasinya.Setiap simpul di adlam pohon biner mempunyai paling banyak 2 buah anak.Dibedakan antara anak kiri (left child) dan anak kanan (right child)Karena ada perbedaan urutan anak, maka pohon biner adalah pohon terurut.

Gambar Dua buah pohon biner yang berbeda


a

b

c

d

a

b

c

d


a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

Gambar (a) Pohon condong-kiri, dan (b) pohon condong kanan

_1059314434.vsd
a

b

c

d

a

b

c

d


Gambar Pohon biner penuh

_1059314458.vsd

Pohon Biner Seimbang
Pada beberapa aplikasi, diinginkan tinggi upapohon kiri dan tinggi upapohon kanan yang seimbang, yaitu berbeda maksimal 1.

T1T2 T3

Gambar T1 dan T2 adalah pohon seimbang, sedangkan T3 bukan pohon seimbang.

_1059314492.vsd

Terapan Pohon Biner

daun operand

simpul dalam operator


1. Pohon Ekspresi

*

+

/

a

b

+

d

e

c

*

+

/

a

b

+

d

e

c

Gambar Pohon ekspresi dari (a + b)*(c/(d + e))

_1059314539.vsd
c

*

+

/

a

b

+

d

e


2. Pohon Keputusan

a

:

b

a

:

c

b

:

c

b

:

c

c

>

a

>

b

a

:

c

c

>

b

>

a

a

>

b

>

c

a

>

c

>

b

b

>

a

>

c

b

>

c

>

a

a

>

b

b

>

a

a

>

c

c

>

a

b

>

c

c

>

b

b

>

c

c

>

b

a

>

c

c

>

a

Gambar Pohon keputusan untuk mengurutkan 3 buah elemen


a

:

b

a

:

c

b

:

c

b

:

c

c

>

a

>

b

a

:

c

c

>

b

>

a

a

>

b

>

c

a

>

c

>

b

b

>

a

>

c

b

>

c

>

a

a

>

b

b

>

a

a

>

c

c

>

a

b

>

c

c

>

b

b

>

c

c

>

b

a

>

c

c

>

a
_1182926946.vsd
a : b

a : c

b : c

b : c

c > a > b

a : c

c > b > a

a > b > c

a > c > b

b > a > c

b > c > a

a > b

b > a

a >c

c > a

b > c

c > b

b > c

c > b

a >c

c > a


3. Kode Awalan

1

1

1

1

0

0

0

0

11

10

01

001

000

1

1

1

1

0

0

0

0

11

10

01

001

000

Gambar Pohon biner dari kode prefiks { 000, 001, 01, 10, 11}

_1059315065.vsd
1

1

1

1

0

0

0

0

11

10

01

001

000


4. Kode Huffman

Tabel Kode ASCII

SimbolKode ASCII

A01000001

B01000010

C01000011

D01000100

rangkaian bit untuk string ABACCDA:

01000001010000010010000010100000110100000110100010001000001

atau 7 ( 8 = 56 bit (7 byte).


Tabel Tabel kekerapan (frekuensi) dan kode Huffman

untuk string ABACCDA

Simbol

Kekerapan

Peluang

Kode Huffman
A
3

3/7

0

B

1

1/7

110

C

2

2/7

10

D

1

1/7

111

Dengan kode Hufman, rangkaian bit untuk ABACCDA:

0110010101110

hanya 13 bit!


5. Pohon Pencarian Biner

R

T

1

T

2

Kunci(

T

1) < Kunci(

R

)

Kunci(

T

2) > Kunci(

R

)


R

T

1

T

2

Kunci(

T

1) < Kunci(

R

)

Kunci(

T

2) > Kunci(

R

)
_1059315286.vsd
R

T1

T2

Kunci(T1) < Kunci(R)

Kunci(T2) > Kunci(R)


Data: 50, 32, 18, 40, 60, 52, 5, 25, 70

50

32

40

18

50

52

70

5

25


50

32

40

18

50

52

70

5

25
_1059315322.vsd
50

32

40

18

50

52

70

5

25

Penelusuran (traversal) Pohon Biner


1. Preorder : R, T1, T2

- kunjungi R

- kunjungi T1 secara preorder

- kunjungi T2 secara preorder

2. Inorder : T1 , R, T2

- kunjungi T1 secara inorder

- kunjungi R

- kunjungi T2 secara inorder

3. Postorder : T1, T2 , R

- kunjungi T1 secara postorder

- kunjungi T2 secara postorder

- kunjungi R


R

T

1

T

2

Langkah 1: kunjungi R

Langkah 2: kunjungi

T

1

secara

preorder

Langkah 3: kunjungi

T

2

secara

preorder

R

T

1

T

2


Langkah 1: kunjungi

T

1

secara

inorder

Langkah 3: kunjungi

T

2

secara

inorder

R

T

1

T

2


Langkah 1: kunjungi

T

1

secara

postorder

Langkah 2: kunjungi

T

2

secara

postorder

(a) preorder(b) inorder

R

T

1

T

2


Langkah 1: kunjungi

T

1

secara

postorder

Langkah 2: kunjungi

T

2

secara

postorder

(c) postorder




R

T

1

T

2


Langkah 2: kunjungi

T

1

secara

preorder

Langkah 3: kunjungi

T

2

secara

preorder

R

T

1

T

2


Langkah 1: kunjungi

T

1

secara

inorder

Langkah 3: kunjungi

T

2

secara

inorder
_1059315916.vsd
R

T1

T2


Langkah 2: kunjungi T1secara preorder

Langkah 3: kunjungi T2secara preorder
_1059316007.vsd
R

T1

T2


Langkah 1: kunjungi T1secara inorder

Langkah 3: kunjungi T2secara inorder
_1059315637.vsd
R

T1

T2


Langkah 1: kunjungi T1secara postorder

Langkah 2: kunjungi T2secara postorder


preorder : * + a / b c - d * e f (prefix)

inorder : a + b / c * d - e * f(infix)

postorder : a b c / + d e f * - *(postfix)

*

+

-

a

/

d

*

b

c

e

f


PAGE

1

*

+

-

a

/

d

*

b

c

e

f
_1059316111.vsd
*

+

-

a

/

d

*

b

c

e

f

Soal latihan

Diketahui 8 buah koin uang logam. Satu dari delapan koin itu ternyata palsu. Koin yang palsu mungkin lebih ringan atau lebih berat daripada koin yang asli. Misalkan tersedia sebuah timbangan neraca yang sangat teliti. Buatlah pohon keputusan untuk mencari uang palsu dengan cara menimbang paling banyak hanya 3 kali saja.



2. Tentukan hasil kunjungan preorder, inorder, dan postorder pada pohon 4-ary berikut ini:

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

o

p

q
_1182927456.vsd
a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

o

p

q

Gunakan pohon berakar untuk menggambarkan semua kemungkinan hasil dari pertandingan tenis antara dua orang pemain, Anton dan Budi, yang dalam hal ini pemenangnya adalah pemain yang pertama memenangkan dua set berturut-turut atau pemain yang pertama memenangkan total tiga set.



4. Tentukan dan gambarkan pohon merentang minimum dari graf di bawah ini (tahapan pembentukannya tidak perlu ditulis).

a

b

c

d

e

f

g

h

i

5

4

2

3

5

6

3

7

1

6

8

3

4

4

4

2
_1182928306.vsd
a

b

c

d

e

f

g

h

i

5

4

2

3

5

6

3

7

1

6

8

3

4

4

4

2


6. Diberikan masukan berupa rangkaian karakter dengan urutan sebagai berikut:

P, T, B, F, H, K, N, S, A, U, M, I, D, C, W, O

(a) Gambarkan pohon pencarian (search tree) yang terbentuk.

(b) Tentukan hasil penelusuran preorder, inorder, dan postorder, dari pohon jawaban (a) di atas.

Pohon berakar yang setiap simpul cabangnya mempunyai

paling banyak

n

buah anak disebut

pohon

n

-

ary

.

<

sentence>

wears

A

a

tall

boy

red

hat

Gambar

Pohon parsing dari kalimat

A tall boy wears a red hat

Pohon

n

-

ary

dikatakan

teratur

atau

penuh

(

full

) jik

a setiap

simpul cabangnya mempunyai tepat

n

anak.

pohon

pohon

bukan pohon

bukan pohon

a

b

c

d

e

f

a

b

c

d

e

f

a

b

c

d

e

f

a

b

c

d

e

f

Graf terhubung

-

berbobot mungkin mempunyai lebih dari 1

pohon merentang.

Pohon merentang yang berbobot minimum

dinamakan

p

ohon

mere

ntang minimum

(

minimum spanning tree

).

a

b

c

d

e

f

g

h

55

5

40

25

45

30

50

20

15

35

10

a

b

c

d

e

f

g

h

5

40

25

30

20

15

10

Hutan

(

forest

) adalah

-

kumpulan pohon yang saling lepas, atau

-

graf tidak terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Setiap

komponen di dalam graf terhubung tersebut adalah pohon

.

Hutan yang terdiri dari tiga buah pohon

Contoh:

1

2

3

4

5

6

10

50

45

30

20

15

35

55

25

40

Teorema.

Misalkan

G

= (

V

,

E

) adalah graf tak

-

berarah

sederhana dan jumlah simpulnya

n

. Maka, semua pernyataan

di bawah ini adalah ekivalen:

1.

G

adalah pohon.

2.

Setiap pasang simpul di dalam

G

terhubung dengan

lintasan tunggal.

3.

G

terhubung dan memiliki

m = n

1 buah sisi.

4.

G

tidak mengandung sirkuit dan memiliki

m = n

1 buah

sisi.

5.

G

tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi

pada graf akan membuat hanya satu sirkuit.

6.

G

terhubung dan semua sisinya adalah jembatan.

Teorema di atas dapat dikatakan sebag

ai definisi lain dari

pohon.

Pohon merentang dari graf terhubung adalah upagraf

merentang yang berupa pohon.

Pohon merentang diperoleh dengan memutus sirkuit di

dalam graf.

G

T

1

T

2

T

3

T

4

Setiap graf terhubung mempunyai paling sedikit satu buah

pohon merentang.

Graf tak

-

terhubung dengan

k

komponen mempunyai

k

buah

hutan merentang yang disebut hutan merentang (

spanning

forest

).

1.

Jumlah ruas jalan seminimum mungkin yang

menghubungkan semua kota sehingga setiap kota tetap

terhubung satu sama lain.

2.

Perutean (

routing

) pesan pada jaringan komputer.

(a)

(b)

Router

Subnetwork

(a) Jaringan komputer, (b) Pohon merentang

multicast


Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105

1

2

3

4

5

6

10

45

20

15

35

55

25

Algoritma Prim

Langkah 1: ambil sisi dari graf

G

yang berbobot minimum,

masukkan ke dalam

T

.

Langkah 2: pilih sisi (

u

,

v

) yang mempunyai bobot minimum dan

bersisian dengan simpul di

T

, tetapi (

u

,

v

) tidak

membentuk sirkuit di

T

. Masukkan (

u

,

v

) ke dala

m

T

.

Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak

n

2 kali.

procedure

Prim(

input

G : graf,

output

T : pohon)

{ Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubung

-

berbobot G.

Masukan: graf

-

berbobot terhubung G = (V, E), dengan

V

= n


}

Deklarasi

i, p, q, u, v :

i

nteger

Algoritma

Cari sisi (p,q) dari E yang berbobot terkecil

T

{(p,q)}

for

i

1

to

n

-

2

do

Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil namun

bersisian dengan simpul di T

T

T

{(u,v)}

endfor

Contoh:

Tiga buah pohon merentang minimumnya:

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

3

2

4

2

3

5

4

4

2

4

a

b

c

d

e

f

h

i

j

k

l

3

2

4

2

3

5

3

4

4

2

4

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

3

4

2

4

2

3

5

3

4

2

4

3

Bobotnya sama yaitu = 36

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

3

5

6

5

3

5

4

4

2

4

4

4

2

6

3

2

4

Contoh:

1

2

3

4

5

6

10

50

45

30

20

15

35

55

25

40

Langkah

Sisi

Bobot

Pohon rentang

1

(1, 2)

10

1

2

10

2

(2, 6)

25

1

2

6

10

25

3

(3, 6)

15

1

3

6

10

15

25

4

(4, 6)

20

1

2

3

4

6

10

20

15

25

5

(3, 5)

35

1

2

3

4

5

6

10

45

20

15

35

55

25

b

sebagai akar

e

sebagai akar

Pohon dan dua buah pohon berakar yang dihasilkan dari pemilihan

dua simpul berbeda sebagai akar

a

b

c

d

e

f

g

h

f

g

a

b

c

d

e

f

g

h

d

e

h

b

a

c

Algoritma Kruskal

( Langkah 0: sisi

-

sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan

bobotnya

dari bobot kecil ke bobot besar)

Langkah 1:

T

masih kosong

Langkah 2: pilih sisi (

u

,

v

) dengan bobot minimum yang tidak

membentuk sirkuit di

T

. Tambahkan (

u

,

v

) ke dalam

T

.

Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak

n

1 kali.

procedure

Kruskal(

input

G : graf,

output

T : pohon)

{ Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubung

berbobot G.

Masukan: graf

-

berbobot terhubung G = (V, E), dengan

V

= n


}

Deklarasi

i, p, q, u, v

:

integer

Algoritma

( Asumsi: sisi

-

sisi dari graf sudah diurut menaik

berdasarkan bobotnya

dari bobot kecil ke bobot

besar)

T

{}

while

jumlah sisi T < n

-

1

do

Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil

if

(u,v) tidak mem

bentuk siklus di T

then

T

T

{(u,v)}

endif

endfor

4. Upapohon (

subtree

)

a

b

k

g

j

f

c

d

m

l

i

e

h

Anak (

child

atau

children

) dan Orangtua (

parent

)

b

,

c

, dan

d

adalah anak

-

anak simpul

a

,

a

adalah orangtua dari anak

-

anak itu

Sisi

-

sisi diurut menaik:

Sisi

(1,2)

(3,6)

(4,6)

(2,6)

(1,4)

(3,5)

(2,5)

(1,5)

(2,3)

(5,6)

Bobot

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

Langkah

Sisi

Bobot

Hutan merentang

1

(1, 2)

10

2

(3, 6)

15

3

(4, 6)

20

0

1

2

3

4

5

6

1

2

1

2

3

6

4

5

1

2

3

6

4

5

4

(2, 6)

25

1

2

3

4

5

a

b

k

g

j

f

c

d

m

l

i

e

h


Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105

4

(2, 6)

25

1

2

3

4

5

5

(1, 4)

30

ditolak

6

(3, 5)

35

1

2

3

6

4

5

1

2

3

4

5

6

10

45

20

15

35

55

25

4.

Tentukan dan gambarkan pohon merentang minimum dari graf di bawah

ini (tahapan pembentukannya tidak perlu ditulis).

a

b

c

d

e

f

g

h

i

5

4

2

3

5

6

3

7

1

6

8

3

4

4

4

2

Pohon yang satu buah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan

sisi

-

sisinya diberi arah sehingga menjadi graf berarah

dinamakan

pohon berakar

(

rooted tree

).

(a) Pohon berakar

(b) sebagai perjanjian, tanda panah pada sisi dapat

dibuang

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

2. Lintasan (

path

)

Lintasan dari

a

ke

j

adalah

a

,

b

,

e

,

j

.

Panjang lintasan dari

a

ke

j

adalah 3.

3. Saudara kandung (

sibling

)

f

adalah saudara kandung

e

, tetapi

g

bukan

saudara kandung

e

, karena orangtua mereka

berbeda.

a

b

k

g

j

f

c

d

m

l

i

e

h

Pohon Biner Seimbang

Pada beberapa aplikasi, diinginkan tinggi upapohon kiri dan tinggi

upapohon kanan yang seimbang, yaitu berbeda maksimal 1.

T

1

T

2

T

3

Gambar

T

1

dan

T

2

adalah pohon seimbang, sedangkan

T

3

bukan pohon

seimbang.

5. Derajat (

degree

)

Derajat

sebuah simpul adalah jumlah upapohon (atau jumlah

anak) pada simpul tersebut.

Derajat

a

adalah 3, derajat

b

adalah 2,

Derajat

d

adalah satu dan derajat

c

adalah 0.

Jadi, derajat yang dimaksudkan di sini adalah derajat

-

keluar.

Derajat maksimum dari semua simpul merupakan derajat pohon itu

sendiri. Pohon di atas berderajat 3

a

b

k

g

j

f

c

d

m

l

i

e

h

6. Daun (

leaf

)

Simpul yang berderajat nol (atau tidak mempunyai anak) disebut

daun

. Simpul

h

,

i

,

j

,

f

,

c

,

l

, dan

m

adalah daun.

7. Simpul Dalam (

internal nodes

)

Simpul yang mempunyai anak disebut

simpul dalam

. Simpul

b

,

d

,

e

,

g

, dan

k

adalah simpul dalam

.

8. Aras (

level

) atau Tingkat

9. Tinggi (

height

) atau Kedalaman (

depth

)

Aras maksimum dari suatu pohon disebut

tinggi

atau

kedalaman

pohon tersebut. Pohon di atas mempunyai tinggi 4.

a

b

k

g

j

f

c

d

m

l

i

e

h

0

1

2

3

4

Aras

5. Pohon Pencarian Biner

R

T

1

T

2

Kunci(

T

1) < Kunci(

R

)

Kunci(

T

2) > Kunci(

R

)

Pohon berakar yang urutan anak

-

anaknya penting disebut

pohon

terurut

(

ordered tree

).

(a)

(b)

(a) dan (b) adalah dua pohon terurut yang berbeda

1

2

6

8

7

3

4

9

10

5

1

2

6

8

7

3

4

9

10

5

a

b

c

d

a

b

c

d

preorder

: * +

a

/

b c

-

d

*

e f

(

prefix

)

inorder

:

a

+

b

/

c

*

d

-

e

*

f

(

infix

)

postorder

:

a b c

/ +

d e f

*

-

*

(

postfix

)

*

+

-

a

/

d

*

b

c

e

f

Gambar

(a) Pohon condong

-

kiri, dan (b) pohon condong kanan

a

b

c

d

a

b

c

d

2. Pohon Keputusan

Gambar

Pohon keputusan untuk mengurutkan 3 buah elemen

a

:

b

a

:

c

b

:

c

b

:

c

c

>

a

>

b

a

:

c

c

>

b

>

a

a

>

b

>

c

a

>

c

>

b

b

>

a

>

c

b

>

c

>

a

a

>

b

b

>

a

a

>

c

c

>

a

b

>

c

c

>

b

b

>

c

c

>

b

a

>

c

c

>

a

Gambar

Pohon biner penuh

1. Pohon Ekspresi

Gambar

Pohon ekspresi dari (

a

+

b

)*(

c

/(

d

+

e

))

*

+

/

a

b

+

d

e

c

Data:

50, 32, 18, 40, 60, 52, 5, 25, 70

50

32

40

18

50

52

70

5

25

3. Kode Awalan

Gambar

Pohon biner dari kode prefiks { 000, 001, 01, 10, 11}

1

1

1

1

0

0

0

0

11

10

01

001

000

4. Kode Huffman

Tabel

Kode ASCII

Simbol

Kode ASCII

A

01000001

B

01000010

C

01000011

D

01000100

rangkaian bit untuk string

ABACCDA

:

01000001010000010010000010100000110100000110100010001000001

atau 7

8 = 56 bit (7

byte

).

1.

Preorder

:

R

,

T

1

,

T

2

-

kunjungi

R

-

kunjungi

T

1

secara

preorder

-

kunjungi

T

2

secara

preorder

2.

Inorder

:

T

1

,

R

,

T

2

-

kunjungi

T

1

secara

inorder

-

kunjungi

R

-

kunjungi

T

2

secara

inorder

3.

Postorder

:

T

1

,

T

2

,

R

-

ku

njungi

T

1

secara

postorder

-

kunjungi

T

2

secara

postorder

-

kunjungi

R

Tabel

Tabel kekerapan (frekuensi) dan kode Huffman

untuk

string

ABACCDA

Simbol

Kekerapan

Peluang

Kode Huffman

A

3

3/7

0

B

1

1/7

110

C

2

2/7

10

D

1

1/7

111

Dengan kode Hufman, r

angkaian bit untuk

ABACCDA

:

0110010101110

hanya 13 bit!

2

.

Tentukan hasil kunjungan

preorder

,

inorder

, dan

postorder

pada pohon 4

-

ary

berikut ini:

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

n

o

p

q

(a)

preorder

(b)

inorder

(c)

postorder

R

T

1

T

2


Langkah 1: kunjungi

T

1

secara

postorder

Langkah 2: kunjungi

T

2

secara

postorder

R

T

1

T

2


Langkah 2: kunjungi

T

1

secara

preorder

Langkah 3: kunjungi

T

2

secara

preorder

R

T

1

T

2


Langkah 1: kunjungi

T

1

secara

inorder

Langkah 3: kunjungi

T

2

secara

inorder

6. Diberikan masukan berupa rangkaian karakter dengan urutan

sebagai berikut:

P

,

T

,

B

,

F

,

H

,

K

,

N

,

S

,

A

,

U

,

M

,

I

,

D

,

C

,

W

,

O

(a)

Gambarkan pohon pencarian (

search tree

) yang terbentuk.

(b)

Tentukan hasil penelusuran

preorder

,

inorder

, dan

postorder

,

dari pohon

jawaban (a) di atas.

pohon

Documents