Download - Pohon
-
Pohon
Bahan Kuliah IF2151
Matematika Diskrit
Rinaldi M/IF2151 Matdis
-
Definisi
Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuitRinaldi M/IF2151 Matdis
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
pohonpohon bukan pohon bukan pohon
EMBED Visio.Drawing.5
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
_1058772578.vsda
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
Hutan (forest) adalah
- kumpulan pohon yang saling lepas, atau
- graf tidak terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Setiap komponen di dalam graf terhubung tersebut adalah pohon.
Hutan yang terdiri dari tiga buah pohonEMBED Visio.Drawing.5
_1058772703.vsd -
Sifat-sifat (properti) pohon
Rinaldi M/IF2151 Matdis
Teorema. Misalkan G = (V, E) adalah graf tak-berarah sederhana dan jumlah simpulnya n. Maka, semua pernyataan di bawah ini adalah ekivalen:
1. G adalah pohon.
2. Setiap pasang simpul di dalam G terhubung dengan lintasan tunggal.
3. G terhubung dan memiliki m = n 1 buah sisi.
4. G tidak mengandung sirkuit dan memiliki m = n 1 buah sisi.
5. G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi pada graf akan membuat hanya satu sirkuit.
6. G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan.
Teorema di atas dapat dikatakan sebagai definisi lain dari pohon.
-
Pohon Merentang (spanning tree)
Rinaldi M/IF2151 Matdis
Pohon merentang dari graf terhubung adalah upagraf merentang yang berupa pohon.
Pohon merentang diperoleh dengan memutus sirkuit di dalam graf.
GT1 T2 T3 T4
EMBED Visio.Drawing.5
_1058772762.vsd -
Rinaldi M/IF2151 Matdis
Setiap graf terhubung mempunyai paling sedikit satu buah pohon merentang.
Graf tak-terhubung dengan k komponen mempunyai k buah hutan merentang yang disebut hutan merentang (spanning forest).
-
Aplikasi Pohon Merentang
Rinaldi M/IF2151 Matdis
1. Jumlah ruas jalan seminimum mungkin yang menghubungkan semua kota sehingga setiap kota tetap terhubung satu sama lain.
2. Perutean (routing) pesan pada jaringan komputer.
(a)
(b)
Router
Subnetwork
(a) Jaringan komputer, (b) Pohon merentang multicast
_1112174003.vsd(a)
(b)
Router
Subnetwork
-
Pohon Merentang Minimum
Rinaldi M/IF2151 Matdis
Graf terhubung-berbobot mungkin mempunyai lebih dari 1 pohon merentang.
Pohon merentang yang berbobot minimum dinamakan pohon merentang minimum (minimum spanning tree).
a
b
c
d
e
f
g
h
55
5
40
25
45
30
50
20
15
35
10
a
b
c
d
e
f
g
h
5
40
25
30
20
15
10
EMBED Visio.Drawing.5
a
b
c
d
e
f
g
h
55
5
40
25
45
30
50
20
15
35
10
a
b
c
d
e
f
g
h
5
40
25
30
20
15
10
_1058772833.vsda
b
c
d
e
f
g
h
55
5
40
25
45
30
50
20
15
35
10
a
b
c
d
e
f
g
h
5
40
25
30
20
15
10
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
Algoritma Prim
Langkah 1: ambil sisi dari graf G yang berbobot minimum, masukkan ke dalam T.
Langkah 2: pilih sisi (u, v) yang mempunyai bobot minimum dan bersisian dengan simpul di T, tetapi (u, v) tidak membentuk sirkuit di T. Masukkan (u, v) ke dalam T.
Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n 2 kali.
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
procedure Prim(input G : graf, output T : pohon)
{ Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubung-berbobot G.
Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan (V(= n
Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E)
}
Deklarasi
i, p, q, u, v : integer
Algoritma
Cari sisi (p,q) dari E yang berbobot terkecil
T ( {(p,q)}
for i(1 to n-2 do
Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil namun
bersisian dengan simpul di T
T ( T ( {(u,v)}
endfor
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
1
2
3
4
5
6
10
50
45
30
20
15
35
55
25
40
Contoh:EMBED Visio.Drawing.5
1
2
3
4
5
6
10
50
45
30
20
15
35
55
25
40
_1058772942.vsd1
2
3
4
5
6
10
50
45
30
20
15
35
55
25
40
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
3
(3, 6)
15
1
3
6
10
15
25
4
(4, 6)
20
1
2
3
4
6
10
20
15
25
5
(3, 5)
35
1
2
3
4
5
6
10
45
20
15
35
55
25
LangkahSisi Bobot Pohon rentang1
(1, 2)
10
1
2
10
2
(2, 6)
25
1
2
6
10
25
1
(1, 2)
10
1
2
10
2
(2, 6)
25
1
2
6
10
25
3
(3, 6)
15
1
3
6
10
15
25
4
(4, 6)
20
1
2
3
4
6
10
20
15
25
5
(3, 5)
35
1
2
3
4
5
6
10
45
20
15
35
55
25
EMBED Visio.Drawing.5
EMBED Visio.Drawing.5
_1058773078.vsd1
2
6
10
25
1
2
10
1
(1, 2)
10
2
(2, 6)
25
_1058773170.vsd3
(3, 6)
15
4
(4, 6)
20
5
1
3
(3, 5)
35
6
10
15
25
1
2
3
4
6
10
20
15
25
1
2
3
4
5
6
10
45
20
15
35
55
25
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
1
2
3
4
5
6
10
45
20
15
35
55
25
Pohon merentang minimum yang dihasilkan:Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105
EMBED Visio.Drawing.5
1
2
3
4
5
6
10
45
20
15
35
55
25
_1058773268.vsd1
2
3
4
5
6
10
45
20
15
35
55
25
- Pohon merentang yang dihasilkan tidak selalu unik meskipun
bobotnya tetap sama. Hal ini terjadi jika ada beberapa sisi yang
akan dipilih berbobot sama.
Rinaldi M/IF2151 Matdis
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
Contoh:
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
3
2
4
2
3
5
4
4
2
4
a
b
c
d
e
f
h
i
j
k
l
3
2
4
2
3
5
3
4
4
2
4
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
3
4
2
4
2
3
5
3
4
2
4
3
Tiga buah pohon merentang minimumnya:
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
3
5
6
5
3
5
4
4
2
4
4
4
2
6
3
2
4
Bobotnya sama yaitu = 36EMBED Visio.Drawing.5
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
3
5
6
5
3
5
4
4
2
4
4
4
2
6
3
2
4
_1112342444.vsda
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
3
3
2
4
2
3
5
4
4
2
4
a
b
c
d
e
f
h
i
j
k
l
3
2
4
2
3
5
3
4
4
2
4
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
3
4
2
4
2
3
5
3
4
2
4
_1194504758.vsda
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
3
5
6
5
3
5
4
4
2
4
4
4
2
6
3
2
4
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
Algoritma Kruskal( Langkah 0: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya dari bobot kecil ke bobot besar)
Langkah 1: T masih kosong
Langkah 2: pilih sisi (u, v) dengan bobot minimum yang tidak membentuk sirkuit di T. Tambahkan (u, v) ke dalam T.
Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n 1 kali.
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
procedure Kruskal(input G : graf, output T : pohon)
{ Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubung berbobot G.
Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan (V(= n
Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E)
}
Deklarasi
i, p, q, u, v : integer
Algoritma
( Asumsi: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik
berdasarkan bobotnya dari bobot kecil ke bobot
besar)
T ( {}
while jumlah sisi T < n-1 do
Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil
if (u,v) tidak membentuk siklus di T then
T ( T ( {(u,v)}
endif
endfor
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
1
2
3
4
5
6
10
50
45
30
20
15
35
55
25
40
Contoh:EMBED Visio.Drawing.5
1
2
3
4
5
6
10
50
45
30
20
15
35
55
25
40
_1058772942.vsd1
2
3
4
5
6
10
50
45
30
20
15
35
55
25
40
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
Sisi-sisi diurut menaik:
Sisi
(1,2)
(3,6)
(4,6)
(2,6)
(1,4)
(3,5)
(2,5)
(1,5)
(2,3)
(5,6)
Bobot
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
1
(1, 2)
10
2
(3, 6)
15
3
(4, 6)
20
0
1
2
3
4
5
6
1
2
1
2
3
6
4
5
1
2
3
6
4
5
LangkahSisi Bobot Hutan merentang4
(2, 6)
25
1
2
3
4
5
1
(1, 2)
10
2
(3, 6)
15
3
(4, 6)
20
0
1
2
3
4
5
6
1
2
1
2
3
6
4
5
1
2
3
6
4
5
4
(2, 6)
25
1
2
3
4
5
EMBED Visio.Drawing.5
EMBED Visio.Drawing.5
_1058773345.vsd3
1
(4, 6)
20
2
1
3
6
2
0
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
4
5
1
(1, 2)
10
2
(3, 6)
15
_1058773387.vsd4
(2, 6)
25
1
2
3
4
5
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
4
(2, 6)
25
1
2
3
4
5
5
(1, 4)
30
ditolak
6
(3, 5)
35
1
2
3
6
4
5
1
2
3
4
5
6
10
45
20
15
35
55
25
Pohon merentang minimum yang dihasilkan:Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105
EMBED Visio.Drawing.5
EMBED Visio.Drawing.5
EMBED Visio.Drawing.5
4
(2, 6)
25
1
2
3
4
5
5
(1, 4)
30
ditolak
6
(3, 5)
35
1
2
3
6
4
5
1
2
3
4
5
6
10
45
20
15
35
55
25
_1058773387.vsd4
(2, 6)
25
1
2
3
4
5
_1058773782.vsd5
(1, 4)
30
1
ditolak
6
(3, 5)
35
2
3
6
4
5
_1058773268.vsd1
2
3
4
5
6
10
45
20
15
35
55
25
-
Pohon berakar (rooted tree)
Rinaldi M/IF2151 Matdis
Pohon yang satu buah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan sisi-sisinya diberi arah sehingga menjadi graf berarah dinamakan pohon berakar (rooted tree).
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
(a) Pohon berakar(b) sebagai perjanjian, tanda panah pada sisi dapat dibuang
EMBED Visio.Drawing.5
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
_1058773894.vsda
b
c
d
e
f
g
h
i
j
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
a
b
c
d
e
f
g
h
f
g
a
b
c
d
e
f
g
h
d
e
h
b
a
c
b sebagai akar e sebagai akar
Pohon dan dua buah pohon berakar yang dihasilkan dari pemilihan
dua simpul berbeda sebagai akar
EMBED Visio.Drawing.5
a
b
c
d
e
f
g
h
f
g
a
b
c
d
e
f
g
h
d
e
h
b
a
c
_1058773945.vsda
b
c
d
e
f
g
h
f
g
a
b
c
d
e
f
g
h
d
e
b
h
a
c
-
Terminologi pada Pohon Berakar
Rinaldi M/IF2151 Matdis
Anak (child atau children) dan Orangtua (parent)
b, c, dan d adalah anak-anak simpul a,
a adalah orangtua dari anak-anak itu
a
b
k
g
j
f
c
d
m
l
i
e
h
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
2. Lintasan (path)
Lintasan dari a ke j adalah a, b, e, j.
Panjang lintasan dari a ke j adalah 3.
3. Saudara kandung (sibling)
f adalah saudara kandung e, tetapi g bukan
saudara kandung e, karena orangtua mereka
berbeda.
a
b
k
g
j
f
c
d
m
l
i
e
h
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
4. Upapohon (subtree)
a
b
k
g
j
f
c
d
m
l
i
e
h
EMBED Visio.Drawing.5
a
b
k
g
j
f
c
d
m
l
i
e
h
_1058774091.vsda
b
k
g
j
f
c
d
m
l
i
e
h
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
5. Derajat (degree)
Derajat sebuah simpul adalah jumlah upapohon (atau jumlah anak) pada simpul tersebut.
Derajat a adalah 3, derajat b adalah 2,
Derajat d adalah satu dan derajat c adalah 0.
Jadi, derajat yang dimaksudkan di sini adalah derajat-keluar.
Derajat maksimum dari semua simpul merupakan derajat pohon itu sendiri. Pohon di atas berderajat 3
a
b
k
g
j
f
c
d
m
l
i
e
h
EMBED Visio.Drawing.5
a
b
k
g
j
f
c
d
m
l
i
e
h
_1058774026.vsda
b
k
g
j
f
c
d
m
l
i
e
h
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
6. Daun (leaf)
Simpul yang berderajat nol (atau tidak mempunyai anak) disebut daun. Simpul h, i, j, f, c, l, dan m adalah daun.
7. Simpul Dalam (internal nodes)Simpul yang mempunyai anak disebut simpul dalam. Simpul b, d, e, g, dan k adalah simpul dalam.
a
b
k
g
j
f
c
d
m
l
i
e
h
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
8. Aras (level) atau Tingkat
a
b
k
g
j
f
c
d
m
l
i
e
h
0
1
2
3
4
Aras
9. Tinggi (height) atau Kedalaman (depth)
Aras maksimum dari suatu pohon disebut tinggi atau kedalaman pohon tersebut. Pohon di atas mempunyai tinggi 4.
EMBED Visio.Drawing.5
a
b
k
g
j
f
c
d
m
l
i
e
h
0
1
2
3
4
Aras
_1058774188.vsda
b
k
g
j
f
c
d
m
l
i
e
h
0
1
2
3
4
Aras
-
Pohon Terurut (ordered tree)
Rinaldi M/IF2151 Matdis
Pohon berakar yang urutan anak-anaknya penting disebut pohon terurut (ordered tree).
1
2
6
8
7
3
4
9
10
5
1
2
6
8
7
3
4
9
10
5
1
2
6
8
7
3
4
9
10
5
1
2
6
8
7
3
4
9
10
5
(a)(b)
(a) dan (b) adalah dua pohon terurut yang berbeda
EMBED Visio.Drawing.5
_1058774322.vsd1
2
6
8
1
7
2
6
8
7
3
4
9
10
5
3
4
9
10
5
-
Pohon n-ary
Rinaldi M/IF2151 Matdis
Pohon berakar yang setiap simpul cabangnya mempunyai paling banyak n buah anak disebut pohon n-ary.
< sentence>
wears
A a
tall boy red hat
Gambar Pohon parsing dari kalimat A tall boy wears a red hat
Pohon n-ary dikatakan teratur atau penuh (full) jika setiap simpul cabangnya mempunyai tepat n anak.
-
Pohon Biner (binary tree)
Adalah pohon n-ary dengan n = 2.Pohon yang paling penting karena banyak aplikasinya.Setiap simpul di adlam pohon biner mempunyai paling banyak 2 buah anak.Dibedakan antara anak kiri (left child) dan anak kanan (right child)Karena ada perbedaan urutan anak, maka pohon biner adalah pohon terurut.Rinaldi M/IF2151 Matdis
-
Gambar Dua buah pohon biner yang berbeda
Rinaldi M/IF2151 Matdis
a
b
c
d
a
b
c
d
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
Gambar (a) Pohon condong-kiri, dan (b) pohon condong kanan
EMBED Visio.Drawing.5
_1059314434.vsda
b
c
d
a
b
c
d
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
Gambar Pohon biner penuh
EMBED Visio.Drawing.5
_1059314458.vsd -
Rinaldi M/IF2151 Matdis
Pohon Biner SeimbangPada beberapa aplikasi, diinginkan tinggi upapohon kiri dan tinggi upapohon kanan yang seimbang, yaitu berbeda maksimal 1.
T1T2 T3
Gambar T1 dan T2 adalah pohon seimbang, sedangkan T3 bukan pohon seimbang.
EMBED Visio.Drawing.5
_1059314492.vsd -
Terapan Pohon Biner
daun operand
simpul dalam operator
Rinaldi M/IF2151 Matdis
1. Pohon Ekspresi
*
+
/
a
b
+
d
e
c
*
+
/
a
b
+
d
e
c
Gambar Pohon ekspresi dari (a + b)*(c/(d + e))
EMBED Visio.Drawing.5
_1059314539.vsdc
*
+
/
a
b
+
d
e
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
2. Pohon Keputusan
a
:
b
a
:
c
b
:
c
b
:
c
c
>
a
>
b
a
:
c
c
>
b
>
a
a
>
b
>
c
a
>
c
>
b
b
>
a
>
c
b
>
c
>
a
a
>
b
b
>
a
a
>
c
c
>
a
b
>
c
c
>
b
b
>
c
c
>
b
a
>
c
c
>
a
Gambar Pohon keputusan untuk mengurutkan 3 buah elemen
EMBED Visio.Drawing.5
a
:
b
a
:
c
b
:
c
b
:
c
c
>
a
>
b
a
:
c
c
>
b
>
a
a
>
b
>
c
a
>
c
>
b
b
>
a
>
c
b
>
c
>
a
a
>
b
b
>
a
a
>
c
c
>
a
b
>
c
c
>
b
b
>
c
c
>
b
a
>
c
c
>
a
_1182926946.vsda : b
a : c
b : c
b : c
c > a > b
a : c
c > b > a
a > b > c
a > c > b
b > a > c
b > c > a
a > b
b > a
a >c
c > a
b > c
c > b
b > c
c > b
a >c
c > a
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
3. Kode Awalan
1
1
1
1
0
0
0
0
11
10
01
001
000
1
1
1
1
0
0
0
0
11
10
01
001
000
Gambar Pohon biner dari kode prefiks { 000, 001, 01, 10, 11}
EMBED Visio.Drawing.5
_1059315065.vsd1
1
1
1
0
0
0
0
11
10
01
001
000
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
4. Kode Huffman
Tabel Kode ASCII
SimbolKode ASCII
A01000001
B01000010
C01000011
D01000100
rangkaian bit untuk string ABACCDA:
01000001010000010010000010100000110100000110100010001000001
atau 7 ( 8 = 56 bit (7 byte).
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
Tabel Tabel kekerapan (frekuensi) dan kode Huffman
untuk string ABACCDA
Simbol
Kekerapan
Peluang
Kode Huffman
A3
3/7
0
B
1
1/7
110
C
2
2/7
10
D
1
1/7
111
Dengan kode Hufman, rangkaian bit untuk ABACCDA:
0110010101110
hanya 13 bit!
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
5. Pohon Pencarian Biner
R
T
1
T
2
Kunci(
T
1) < Kunci(
R
)
Kunci(
T
2) > Kunci(
R
)
EMBED Visio.Drawing.5
R
T
1
T
2
Kunci(
T
1) < Kunci(
R
)
Kunci(
T
2) > Kunci(
R
)
_1059315286.vsdR
T1
T2
Kunci(T1) < Kunci(R)
Kunci(T2) > Kunci(R)
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
Data: 50, 32, 18, 40, 60, 52, 5, 25, 70
50
32
40
18
50
52
70
5
25
EMBED Visio.Drawing.5
50
32
40
18
50
52
70
5
25
_1059315322.vsd50
32
40
18
50
52
70
5
25
-
Penelusuran (traversal) Pohon Biner
Rinaldi M/IF2151 Matdis
1. Preorder : R, T1, T2
- kunjungi R
- kunjungi T1 secara preorder
- kunjungi T2 secara preorder
2. Inorder : T1 , R, T2
- kunjungi T1 secara inorder
- kunjungi R
- kunjungi T2 secara inorder
3. Postorder : T1, T2 , R
- kunjungi T1 secara postorder
- kunjungi T2 secara postorder
- kunjungi R
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
R
T
1
T
2
Langkah 1: kunjungi R
Langkah 2: kunjungi
T
1
secara
preorder
Langkah 3: kunjungi
T
2
secara
preorder
R
T
1
T
2
Langkah 2: kunjungi R
Langkah 1: kunjungi
T
1
secara
inorder
Langkah 3: kunjungi
T
2
secara
inorder
R
T
1
T
2
Langkah 3: kunjungi R
Langkah 1: kunjungi
T
1
secara
postorder
Langkah 2: kunjungi
T
2
secara
postorder
(a) preorder(b) inorder
R
T
1
T
2
Langkah 3: kunjungi R
Langkah 1: kunjungi
T
1
secara
postorder
Langkah 2: kunjungi
T
2
secara
postorder
(c) postorder
EMBED Visio.Drawing.5
EMBED Visio.Drawing.5
EMBED Visio.Drawing.5
R
T
1
T
2
Langkah 1: kunjungi R
Langkah 2: kunjungi
T
1
secara
preorder
Langkah 3: kunjungi
T
2
secara
preorder
R
T
1
T
2
Langkah 2: kunjungi R
Langkah 1: kunjungi
T
1
secara
inorder
Langkah 3: kunjungi
T
2
secara
inorder
_1059315916.vsdR
T1
T2
Langkah 1: kunjungi R
Langkah 2: kunjungi T1secara preorder
Langkah 3: kunjungi T2secara preorder
_1059316007.vsdR
T1
T2
Langkah 2: kunjungi R
Langkah 1: kunjungi T1secara inorder
Langkah 3: kunjungi T2secara inorder
_1059315637.vsdR
T1
T2
Langkah 3: kunjungi R
Langkah 1: kunjungi T1secara postorder
Langkah 2: kunjungi T2secara postorder
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
preorder : * + a / b c - d * e f (prefix)
inorder : a + b / c * d - e * f(infix)
postorder : a b c / + d e f * - *(postfix)
*
+
-
a
/
d
*
b
c
e
f
EMBED Visio.Drawing.5
PAGE
1
*
+
-
a
/
d
*
b
c
e
f
_1059316111.vsd*
+
-
a
/
d
*
b
c
e
f
-
Soal latihan
Diketahui 8 buah koin uang logam. Satu dari delapan koin itu ternyata palsu. Koin yang palsu mungkin lebih ringan atau lebih berat daripada koin yang asli. Misalkan tersedia sebuah timbangan neraca yang sangat teliti. Buatlah pohon keputusan untuk mencari uang palsu dengan cara menimbang paling banyak hanya 3 kali saja.
Rinaldi M/IF2151 Matdis
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
2. Tentukan hasil kunjungan preorder, inorder, dan postorder pada pohon 4-ary berikut ini:
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
_1182927456.vsda
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
-
Gunakan pohon berakar untuk menggambarkan semua kemungkinan hasil dari pertandingan tenis antara dua orang pemain, Anton dan Budi, yang dalam hal ini pemenangnya adalah pemain yang pertama memenangkan dua set berturut-turut atau pemain yang pertama memenangkan total tiga set.
Rinaldi M/IF2151 Matdis
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
4. Tentukan dan gambarkan pohon merentang minimum dari graf di bawah ini (tahapan pembentukannya tidak perlu ditulis).
a
b
c
d
e
f
g
h
i
5
4
2
3
5
6
3
7
1
6
8
3
4
4
4
2
_1182928306.vsda
b
c
d
e
f
g
h
i
5
4
2
3
5
6
3
7
1
6
8
3
4
4
4
2
-
Rinaldi M/IF2151 Matdis
6. Diberikan masukan berupa rangkaian karakter dengan urutan sebagai berikut:
P, T, B, F, H, K, N, S, A, U, M, I, D, C, W, O
(a) Gambarkan pohon pencarian (search tree) yang terbentuk.
(b) Tentukan hasil penelusuran preorder, inorder, dan postorder, dari pohon jawaban (a) di atas.
Pohon berakar yang setiap simpul cabangnya mempunyai
paling banyak
n
buah anak disebut
pohon
n
-
ary
.
<
sentence>
wears
A
a
tall
boy
red
hat
Gambar
Pohon parsing dari kalimat
A tall boy wears a red hat
Pohon
n
-
ary
dikatakan
teratur
atau
penuh
(
full
) jik
a setiap
simpul cabangnya mempunyai tepat
n
anak.
pohon
pohon
bukan pohon
bukan pohon
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
Graf terhubung
-
berbobot mungkin mempunyai lebih dari 1
pohon merentang.
Pohon merentang yang berbobot minimum
dinamakan
p
ohon
mere
ntang minimum
(
minimum spanning tree
).
a
b
c
d
e
f
g
h
55
5
40
25
45
30
50
20
15
35
10
a
b
c
d
e
f
g
h
5
40
25
30
20
15
10
Hutan
(
forest
) adalah
-
kumpulan pohon yang saling lepas, atau
-
graf tidak terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Setiap
komponen di dalam graf terhubung tersebut adalah pohon
.
Hutan yang terdiri dari tiga buah pohon
Contoh:
1
2
3
4
5
6
10
50
45
30
20
15
35
55
25
40
Teorema.
Misalkan
G
= (
V
,
E
) adalah graf tak
-
berarah
sederhana dan jumlah simpulnya
n
. Maka, semua pernyataan
di bawah ini adalah ekivalen:
1.
G
adalah pohon.
2.
Setiap pasang simpul di dalam
G
terhubung dengan
lintasan tunggal.
3.
G
terhubung dan memiliki
m = n
1 buah sisi.
4.
G
tidak mengandung sirkuit dan memiliki
m = n
1 buah
sisi.
5.
G
tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi
pada graf akan membuat hanya satu sirkuit.
6.
G
terhubung dan semua sisinya adalah jembatan.
Teorema di atas dapat dikatakan sebag
ai definisi lain dari
pohon.
Pohon merentang dari graf terhubung adalah upagraf
merentang yang berupa pohon.
Pohon merentang diperoleh dengan memutus sirkuit di
dalam graf.
G
T
1
T
2
T
3
T
4
Setiap graf terhubung mempunyai paling sedikit satu buah
pohon merentang.
Graf tak
-
terhubung dengan
k
komponen mempunyai
k
buah
hutan merentang yang disebut hutan merentang (
spanning
forest
).
1.
Jumlah ruas jalan seminimum mungkin yang
menghubungkan semua kota sehingga setiap kota tetap
terhubung satu sama lain.
2.
Perutean (
routing
) pesan pada jaringan komputer.
(a)
(b)
Router
Subnetwork
(a) Jaringan komputer, (b) Pohon merentang
multicast
Pohon merentang minimum yang dihasilkan:
Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105
1
2
3
4
5
6
10
45
20
15
35
55
25
Algoritma Prim
Langkah 1: ambil sisi dari graf
G
yang berbobot minimum,
masukkan ke dalam
T
.
Langkah 2: pilih sisi (
u
,
v
) yang mempunyai bobot minimum dan
bersisian dengan simpul di
T
, tetapi (
u
,
v
) tidak
membentuk sirkuit di
T
. Masukkan (
u
,
v
) ke dala
m
T
.
Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak
n
2 kali.
procedure
Prim(
input
G : graf,
output
T : pohon)
{ Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubung
-
berbobot G.
Masukan: graf
-
berbobot terhubung G = (V, E), dengan
V
= n
Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E)
}
Deklarasi
i, p, q, u, v :
i
nteger
Algoritma
Cari sisi (p,q) dari E yang berbobot terkecil
T
{(p,q)}
for
i
1
to
n
-
2
do
Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil namun
bersisian dengan simpul di T
T
T
{(u,v)}
endfor
Contoh:
Tiga buah pohon merentang minimumnya:
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
3
2
4
2
3
5
4
4
2
4
a
b
c
d
e
f
h
i
j
k
l
3
2
4
2
3
5
3
4
4
2
4
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
3
4
2
4
2
3
5
3
4
2
4
3
Bobotnya sama yaitu = 36
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
3
5
6
5
3
5
4
4
2
4
4
4
2
6
3
2
4
Contoh:
1
2
3
4
5
6
10
50
45
30
20
15
35
55
25
40
Langkah
Sisi
Bobot
Pohon rentang
1
(1, 2)
10
1
2
10
2
(2, 6)
25
1
2
6
10
25
3
(3, 6)
15
1
3
6
10
15
25
4
(4, 6)
20
1
2
3
4
6
10
20
15
25
5
(3, 5)
35
1
2
3
4
5
6
10
45
20
15
35
55
25
b
sebagai akar
e
sebagai akar
Pohon dan dua buah pohon berakar yang dihasilkan dari pemilihan
dua simpul berbeda sebagai akar
a
b
c
d
e
f
g
h
f
g
a
b
c
d
e
f
g
h
d
e
h
b
a
c
Algoritma Kruskal
( Langkah 0: sisi
-
sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan
bobotnya
dari bobot kecil ke bobot besar)
Langkah 1:
T
masih kosong
Langkah 2: pilih sisi (
u
,
v
) dengan bobot minimum yang tidak
membentuk sirkuit di
T
. Tambahkan (
u
,
v
) ke dalam
T
.
Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak
n
1 kali.
procedure
Kruskal(
input
G : graf,
output
T : pohon)
{ Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubung
berbobot G.
Masukan: graf
-
berbobot terhubung G = (V, E), dengan
V
= n
Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E)
}
Deklarasi
i, p, q, u, v
:
integer
Algoritma
( Asumsi: sisi
-
sisi dari graf sudah diurut menaik
berdasarkan bobotnya
dari bobot kecil ke bobot
besar)
T
{}
while
jumlah sisi T < n
-
1
do
Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil
if
(u,v) tidak mem
bentuk siklus di T
then
T
T
{(u,v)}
endif
endfor
4. Upapohon (
subtree
)
a
b
k
g
j
f
c
d
m
l
i
e
h
Anak (
child
atau
children
) dan Orangtua (
parent
)
b
,
c
, dan
d
adalah anak
-
anak simpul
a
,
a
adalah orangtua dari anak
-
anak itu
Sisi
-
sisi diurut menaik:
Sisi
(1,2)
(3,6)
(4,6)
(2,6)
(1,4)
(3,5)
(2,5)
(1,5)
(2,3)
(5,6)
Bobot
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
Langkah
Sisi
Bobot
Hutan merentang
1
(1, 2)
10
2
(3, 6)
15
3
(4, 6)
20
0
1
2
3
4
5
6
1
2
1
2
3
6
4
5
1
2
3
6
4
5
4
(2, 6)
25
1
2
3
4
5
a
b
k
g
j
f
c
d
m
l
i
e
h
Pohon merentang minimum yang dihasilkan:
Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105
4
(2, 6)
25
1
2
3
4
5
5
(1, 4)
30
ditolak
6
(3, 5)
35
1
2
3
6
4
5
1
2
3
4
5
6
10
45
20
15
35
55
25
4.
Tentukan dan gambarkan pohon merentang minimum dari graf di bawah
ini (tahapan pembentukannya tidak perlu ditulis).
a
b
c
d
e
f
g
h
i
5
4
2
3
5
6
3
7
1
6
8
3
4
4
4
2
Pohon yang satu buah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan
sisi
-
sisinya diberi arah sehingga menjadi graf berarah
dinamakan
pohon berakar
(
rooted tree
).
(a) Pohon berakar
(b) sebagai perjanjian, tanda panah pada sisi dapat
dibuang
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
2. Lintasan (
path
)
Lintasan dari
a
ke
j
adalah
a
,
b
,
e
,
j
.
Panjang lintasan dari
a
ke
j
adalah 3.
3. Saudara kandung (
sibling
)
f
adalah saudara kandung
e
, tetapi
g
bukan
saudara kandung
e
, karena orangtua mereka
berbeda.
a
b
k
g
j
f
c
d
m
l
i
e
h
Pohon Biner Seimbang
Pada beberapa aplikasi, diinginkan tinggi upapohon kiri dan tinggi
upapohon kanan yang seimbang, yaitu berbeda maksimal 1.
T
1
T
2
T
3
Gambar
T
1
dan
T
2
adalah pohon seimbang, sedangkan
T
3
bukan pohon
seimbang.
5. Derajat (
degree
)
Derajat
sebuah simpul adalah jumlah upapohon (atau jumlah
anak) pada simpul tersebut.
Derajat
a
adalah 3, derajat
b
adalah 2,
Derajat
d
adalah satu dan derajat
c
adalah 0.
Jadi, derajat yang dimaksudkan di sini adalah derajat
-
keluar.
Derajat maksimum dari semua simpul merupakan derajat pohon itu
sendiri. Pohon di atas berderajat 3
a
b
k
g
j
f
c
d
m
l
i
e
h
6. Daun (
leaf
)
Simpul yang berderajat nol (atau tidak mempunyai anak) disebut
daun
. Simpul
h
,
i
,
j
,
f
,
c
,
l
, dan
m
adalah daun.
7. Simpul Dalam (
internal nodes
)
Simpul yang mempunyai anak disebut
simpul dalam
. Simpul
b
,
d
,
e
,
g
, dan
k
adalah simpul dalam
.
8. Aras (
level
) atau Tingkat
9. Tinggi (
height
) atau Kedalaman (
depth
)
Aras maksimum dari suatu pohon disebut
tinggi
atau
kedalaman
pohon tersebut. Pohon di atas mempunyai tinggi 4.
a
b
k
g
j
f
c
d
m
l
i
e
h
0
1
2
3
4
Aras
5. Pohon Pencarian Biner
R
T
1
T
2
Kunci(
T
1) < Kunci(
R
)
Kunci(
T
2) > Kunci(
R
)
Pohon berakar yang urutan anak
-
anaknya penting disebut
pohon
terurut
(
ordered tree
).
(a)
(b)
(a) dan (b) adalah dua pohon terurut yang berbeda
1
2
6
8
7
3
4
9
10
5
1
2
6
8
7
3
4
9
10
5
a
b
c
d
a
b
c
d
preorder
: * +
a
/
b c
-
d
*
e f
(
prefix
)
inorder
:
a
+
b
/
c
*
d
-
e
*
f
(
infix
)
postorder
:
a b c
/ +
d e f
*
-
*
(
postfix
)
*
+
-
a
/
d
*
b
c
e
f
Gambar
(a) Pohon condong
-
kiri, dan (b) pohon condong kanan
a
b
c
d
a
b
c
d
2. Pohon Keputusan
Gambar
Pohon keputusan untuk mengurutkan 3 buah elemen
a
:
b
a
:
c
b
:
c
b
:
c
c
>
a
>
b
a
:
c
c
>
b
>
a
a
>
b
>
c
a
>
c
>
b
b
>
a
>
c
b
>
c
>
a
a
>
b
b
>
a
a
>
c
c
>
a
b
>
c
c
>
b
b
>
c
c
>
b
a
>
c
c
>
a
Gambar
Pohon biner penuh
1. Pohon Ekspresi
Gambar
Pohon ekspresi dari (
a
+
b
)*(
c
/(
d
+
e
))
*
+
/
a
b
+
d
e
c
Data:
50, 32, 18, 40, 60, 52, 5, 25, 70
50
32
40
18
50
52
70
5
25
3. Kode Awalan
Gambar
Pohon biner dari kode prefiks { 000, 001, 01, 10, 11}
1
1
1
1
0
0
0
0
11
10
01
001
000
4. Kode Huffman
Tabel
Kode ASCII
Simbol
Kode ASCII
A
01000001
B
01000010
C
01000011
D
01000100
rangkaian bit untuk string
ABACCDA
:
01000001010000010010000010100000110100000110100010001000001
atau 7
8 = 56 bit (7
byte
).
1.
Preorder
:
R
,
T
1
,
T
2
-
kunjungi
R
-
kunjungi
T
1
secara
preorder
-
kunjungi
T
2
secara
preorder
2.
Inorder
:
T
1
,
R
,
T
2
-
kunjungi
T
1
secara
inorder
-
kunjungi
R
-
kunjungi
T
2
secara
inorder
3.
Postorder
:
T
1
,
T
2
,
R
-
ku
njungi
T
1
secara
postorder
-
kunjungi
T
2
secara
postorder
-
kunjungi
R
Tabel
Tabel kekerapan (frekuensi) dan kode Huffman
untuk
string
ABACCDA
Simbol
Kekerapan
Peluang
Kode Huffman
A
3
3/7
0
B
1
1/7
110
C
2
2/7
10
D
1
1/7
111
Dengan kode Hufman, r
angkaian bit untuk
ABACCDA
:
0110010101110
hanya 13 bit!
2
.
Tentukan hasil kunjungan
preorder
,
inorder
, dan
postorder
pada pohon 4
-
ary
berikut ini:
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
(a)
preorder
(b)
inorder
(c)
postorder
R
T
1
T
2
Langkah 3: kunjungi R
Langkah 1: kunjungi
T
1
secara
postorder
Langkah 2: kunjungi
T
2
secara
postorder
R
T
1
T
2
Langkah 1: kunjungi R
Langkah 2: kunjungi
T
1
secara
preorder
Langkah 3: kunjungi
T
2
secara
preorder
R
T
1
T
2
Langkah 2: kunjungi R
Langkah 1: kunjungi
T
1
secara
inorder
Langkah 3: kunjungi
T
2
secara
inorder
6. Diberikan masukan berupa rangkaian karakter dengan urutan
sebagai berikut:
P
,
T
,
B
,
F
,
H
,
K
,
N
,
S
,
A
,
U
,
M
,
I
,
D
,
C
,
W
,
O
(a)
Gambarkan pohon pencarian (
search tree
) yang terbentuk.
(b)
Tentukan hasil penelusuran
preorder
,
inorder
, dan
postorder
,
dari pohon
jawaban (a) di atas.