poglavlje-2-savijanje-deformacije

7. SAVIJANJE ŠTAPOVA - DEFORMACIJE 1

7.1.6. Deformacije grede kod opterećenja na savijanje a) Diferencijalna jednadžba elastične linije Pri deformiranju štapa opterećenog na savijanje u ravnini Oxz, uzdužna os postaje zakrivljena i naziva se elastična linija (ili progibna linija). Pomaci točaka na osi štapa u smjeru osi x i y, tj. pomaci u i v zanemarivo su mali u odnosu na pomake w (progibi grede) u smjeru osi z. Pri analizi progiba rabi se desni koordinatni sustav, tj. pozitivni smisao kuta definiran je po pravilu desnog vijka → pozitivan smjer kuta α suprotan je od gibanja kazaljke na satu.

B

F1

Al

x

x c

Elastična linija w = w(x)

z

FBFA

F2

α w(x)hq

w

O

y

α

)(xww = - progib grede, jednadžba elastične linije grede,

)(xαα = - kut nagiba tangente na elastičnu liniju grede.

Definicije predznaka za progib w, kut nagiba α i zakrivljenost κ :

My +dαw

O ρ

ds

z

xMy > 0

01>==

sddα

ρκ

w

O

z

x

ds−dαMy < 0

Myρ

01<==

sddα

ρκ

Moment savijanja My > 0 izaziva pozitivnu zakrivljenost, tj. κ > 0, odnosno negativni moment savijanja My < 0 izaziva negativnu zakrivljenost, tj. κ < 0.

Iz Matematike → zakrivljenost krivulje w = w(x) definirana je izrazom:

2/32

2

2

dd1

dd

1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

±==

xw

xw

κρ

Za male progibe i kutove nagiba vrijedi: sx dd ≈ , te slijede jednakosti:

− α dwdx

xw

ddtan −=≅ αα

2

2

dd

xw

±≈κ , odnosno:


2

2

dd

dd

dd

dd

dd1

xw

xw

xxs−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=≅=

ααρ

.

Slijedi: y

y

IEM

xw

−=2

2

dd

→ diferencijalna jednadžba elastične linije grede.

Integriranjem te jednadžbe mogu se odrediti izrazi za izračunavanje progiba i kutovi nagiba tangente na elastičnu liniju u bilo kojoj točki grede.

Povezano s izrazima iz Statike, nakon deriviranja slijede također izrazi:

yy MxwIE −=2

2

dd

xdd/ ,

zy

y Qx

MxwEI

x−=−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

dd

dd

dd

2

2

xdd/ ,

zzy

y qx

QxM

xwEI

x=−=−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

dd

dd

dd

dd

2

2

2

2

2

2.

Ovaj je oblik diferencijalne jednadžbe pogodan za statički određene slučajeve kad je poznata zakonitost promjene momenta savijanja duž grede My = My(x).

U slučajevima kad je fleksijska krutost grede konstantna, tj. .const=yIE vrijede izrazi:

α−=xw

dd

→ xw

dd

−=α

y

y

IEM

xw

−=2

2

dd

→ 2

2

dd

xwIEM yy −=

y

zIE

Qxw

−=3

3

dd

→ 3

3

dd

xwIEQ yz −=

y

zIE

qxw

=4

4

dd

→ 4

4

dd

xwIEq yz = .


Integriranjem četvrte jednadžbe mogu se odrediti progibi i kutovi nagiba tangente direktno bez prethodnog izračunavanja reakcija i dijagrama momenata savijanja i poprečnih sila. Dovoljno je poznavati samo zakon opterećenja )(xfqz = i način učvršćenja štapa → metoda početnih parametara, uz uporabu PC.

Najčešći rubni uvjeti za određivanje konstanti kod integriranja diferencijalne jednadžbe elastične linije dani su na slici.

b) Krajnji zglobni oslonaca) Uklještenje c) Slobodni kraj grede

0=w

0=xw

dd

0=w

yEIM

xw o

2

dd

=2

Mo

α

αw

Mo

Fo

,2yEI

Mxw o

2

dd

=yEI

Fxw o

3

dd

=3

PRIMJERI: 1. Konzolni nosač Zadano: F, l, EIy

Naći: kut nagiba tangente i progib u točki A.

F

BAwA

EIy

elast. linijaA1 αA

w(x)l

x

+α+w

xFM y ⋅−= - moment savijanja u presjeku x.

∫⋅

=−= /dd

2

2

yy

y

IExF

IEM

xw → integriranjem slijedi:

a) ∫+= /2d

d1

2

CxFxwIE y →

b) 21

3

6CxCxFwIE y +⋅+=⋅ .

Konstante integracije C1 i C2 određuju se iz rubnih uvjeta učvršćenja konzolnog nosača:

1. Za 2

0dd 2

1lFC

xwlx −=→=→= ,

2. Za 3

03

2lFCwlx =→=→= .

Sređivanjem izraza a) slijedi jednadžba kuta nagiba tangente na elastičnu liniju nosača:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−=

22

12d

d)(lx

EIlF

xwx

yα .


Sređivanjem izraza b) slijedi jednadžba elastične linije nosača (progibna linija):

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

33

326

)(lx

lx

EIlFxw

y.

Na slobodnom kraju A deformacije konzolnog nosača su:

:0=x yy EI

lFEI

lFww2

)0(,3

)0(2

A

3

A ==== αα .

2. Nosač na dva oslonca opterećen koncentriranom silom F Zadano: F, l, a, EIy (a < l/2, b = l− a) Naći: kutove nagiba i progibe nosača.

A

l

BEIy

elast. linija

αB

+α

F

wC

C

a b+w

αA E

α(x)

xw(x)

xm

wmaxFB

FA

Reakcije u osloncima nosača su:

lbFF =A ,

laFF =B .

Momenti savijanja u presjecima nosača:

1. za :0 ax ≤≤ xlbFxFM y =⋅= A ,

2. za :lxa ≤≤

xlaFaFxlFM y −⋅=−⋅= )(B .

Nakon uvrštenja u diferencijalne jednadžbe elastične linije i integriranja slijedi:

1. Za dio AC: :0 ax ≤≤

∫⋅−=−=⋅ /dd

2

2

xlbFM

xwIE yy

∫+−= /2d

d1

2

CxlbF

xwIE y (a)

21

3

6CxCx

lbFwIE y +⋅+−=⋅ (b)

2. Za dio CB: :lxa ≤≤

∫⋅+⋅−=−=⋅ /dd

2

2

xlaFaFM

xwIE yy

∫++⋅−= /2d

d3

2

CxlaFxaF

xwIE y (c)

43

32

62CxCx

laFxaFwIE y +⋅++⋅−=⋅ (d)

Konstante integracije određuju se iz rubnih uvjeta učvršćenja nosača:

1. Za 00 =→= wx , te iz (b) slijedi 02 =→ C .

2. Za 0=→= wlx , te iz (d) slijedi izraz: 062 43

22

=+⋅++− ClClaFlaF ,


3. Za )c()a( =→= ax → 3

32

1

2

22C

laFaFCa

lbF ++⋅−=+− ,

4. Za )d()b( =→= ax → 43

43

1

3

626CaC

laFaFaCa

lbF +⋅++−=⋅+− .

Sređivanjem slijede konstante integracije:

)(6

221 bl

lbFC −= , )2(

622

3 allaFC += , 6

3

4aFC −= .

Sređivanjem izraza (a) i (c) slijede jednadžbe kuta nagiba tangente na elastičnu liniju nosača:

Za dio AC: :0 ax ≤≤ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

22

316

)(lx

lb

EIblFxy

α ,

Za dio CB: :lxa ≤≤ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

22

3626

)(lx

lx

la

EIalFxy

α .

Sređivanjem izraza (b) i (d) slijede jednadžbe elastične linije nosača (progibna linija): Za dio AC: :0 ax ≤≤

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

lbax

lx

bl

EIbaF

lx

lb

lxb

EIlFxw

yy

3222

2

3

16

16

)( ,

Za dio CB: :lxa ≤≤

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

lbaxl

lxl

al

EIbaF

lax

lx

lb

lxb

EIlFxw

yy

32322

2

3 )(16

16

)( .

Maksimalni progib nosača je na mjestu mxx = :

1. U slučaju kad je ba > : → 3

22

mblx −

= , lEIblbFwy39

)( 322

max−

= ,

2. U slučaju kad je ba < : → 3

22

mallx −

−= , lEIalaFw

y39)( 322

max−

= ,

Maksimalni kutovi nagiba tangente na elastičnu liniju su na mjestima A i B oslonaca nosača:


)(6A bl

lEIbaF

y+−=α , )(

6B allEI

baF

y+=α .

U slučaju simetričnog opterećenja nosača: 2/lba == maksimalni kutovi nagiba i progib su:

yEIlF

16

2

BA −=−= αα , yEI

lFww48

3

Emax == .

b) Metoda analogne grede Za jednostavno i brzo određivanje progiba i kuta nagiba tangente u određenoj točki grede rabi se metoda analogne grede, koja se zasniva na analogiji diferencijalnih jednadžbi koje povezuju qz, Qz i My i diferencijalnih jednadžbi koje povezuju progib w, kut nagiba tangente α i My/EIy:

zy q

xM

−=2

2

dd

i y

y

IEM

xw

−=2dd2

,

zy Q

xM

=d

d i α−=

xw

dd

,

zz q

xQ

−=d

d i

y

y

IEM

x==

ddα

ρ1 .

Postoji analogija veličina:

wM y → , y

yz IE

Mq → i α−→zQ .

Uz osiguranje analognih rubnih uvjeta, bit će i rješenja tih diferencijalnih jednadžbi analogna. Da bi se odredili pomaci stvarne grede, treba stvarnu gredu zamijeniti analognom gredom, tj. gredom koja će imati analogne rubne uvjete.

Analogna (fiktivna, konjugirana) greda opterećena je fiktivnim kontinuiranim

opterećenjem y

yz EI

Mq =* koje odgovara momentu savijanja stvarne grede

podijeljenom s krutosti na savijanje.

Poprečna sila analogne grede Q* odgovarat će negativnom kutu nagiba −α, a moment savijanja M* analogne grede odgovarat će progibu w stvarne grede.

Vrijede izrazi: *** ,, iii

y

yz MwQ

IEM

q =−== α .


Analogni rubni uvjeti za osnovne slučajeve učvršćenja stvarne grede i odgovarajuće analogne grede dani su u tablici:

A

Stvarna greda Analogna greda

αA

AwA = 0αA ≠ 0

wA

A

αA

αA ≠ 0wA ≠ 0

Elastična linijaA1

αA = 0wA = 0

Elastična linija

Elastična linija

A αA

Elastična linijawA = 0αA ≠ 0

A

wA

αA, l αA, dA1

αA, l ≠ αA, d ≠ 0wA ≠ 0

Nagib tangente je različit lijevo i desno od zgloba A.

A*

FA*

QA* ≠ 0

MA* = 0

A* QA* ≠ 0

MA* ≠ 0FA*MA*

QA* = 0

MA* = 0A*

A* QA* ≠ 0

MA* = 0

MA* ≠ 0

A*(QA*)l ≠ (QA*)d ≠ 0

FA*Q* - dijagram ima skok u točki A*.

Pri primjeni metode analogne grede potrebno je poznavati površinu i položaj težišta ispod pojedinog dijela momentnog dijagrama.

Najčešći oblici površina u zadacima analogne grede su:

a) Pravokutnik b) Trokut

S h

b/2 b/2F*=b⋅h

Sh

b/32b/3

F*=b⋅h/2

h

F*=b⋅h/3

S

b/4

c) Parabola 2.stup.

3b/4

tjeme h S

3b/8 F*=(2/3)b⋅h5b/8

d) Parabola 2.stup.

Primjer 1. Konzolni nosač Primjer 2. Ravni nosač Postupak rješavanja zadatka je sljedeći: 1. Odrediti i skicirati momentni dijagram stvarne grede (nosača). 2. Ispod stvarne grede skicirati analognu gredu koja je opterećena kontinuiranim opterećenjem qz*=My/EIy. 3. Odrediti moment savijanja M* i poprečnu silu Q* analogne grede u točkama u kojima se traži progib w i kut α nagiba tangente stvarne grede.


4. Prema analogiji su deformacije u točki „i“ stvarne grede: wi = Mi* i α =−Qi*.

U tablici su navedene apsolutne vrijednosti progiba i kuta nagiba tangente za karakteristične presjeke nekih nosača:

F

A

l

B wB

EIy

elast. linijaB1

αB

yIElFw

3

3

=B , yIE

lF2

2

=Bα .

A

l

B wB

EIy

elast. linijaB1αB

M

yIElw

2

2M=B ,

yIElM

=Bα .

q

A

l

B wB

EIy

elast. linija

B1

αB

yIElqw

8

4

=B , yIE

lq6

3

=Bα .

A

l/2

BEIy elast. linija

αB

MαA wmax

xm

wo

l/2

C

C1

yIEl

3M

=Aα , yIE

l6M

=Bα ,

yIElw

16

2M=O ,

yIElw

39

2M=max za 3/llxm −= .

A

l/2B

EIy elast. linija

αBαA

F

wC

C1

C

l/2

yIElF

16

2

== BA αα , yIE

lFw48

3

=C .

A

l/2B

EIy

αBαA wC

C1

C

l/2

q

elast. linija

yIElq

24

3

== BA αα , yIE

lqw384

5 4

=C .

poglavlje-2-savijanje-deformacije

Documents