poglavje 4

Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010

MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSKONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

POGLAVJE 4



KONCEPT NAPETOSTI

V prejšnjem poglavju smo obravnavali popolnoma kinematični opis gibanja.

Brez opisa sil, ki povzročijo gibanje.

V mehaniki kontinuuma opišemo sile, ki delujejo na telo kot

- Volumske sile: npr. gravitacijska sila, elektrostatična sila.

- Površinske sile: delujejo na namišljene ali dejanske površine telesa.

Površinske sile opišemo s konceptom napetostnega vektorja.Ta koncept ne vključuje informacije o ukrivljenosti površine. To predpostavko imenujemo Cauchyjev napetostni princip.Predstavlja enega izmed osnovnih aksiomov klasične mehanike kontinuuma.




VEKTOR NAPETOSTI

MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSSTRESS AND INTEGRAL FORMULATIONS OF GENERAL PRINCIPLES

Predpostavimo ploskev skozi telo, ki gre skozi točko in ima enotsko normalo .

S Pn

Ploskev razdeli telo na dva dela. En del leži v smeri . Kaže v del telesa II.En del leži v smeri . Kaže v del telesa I.

n n



Predpostavimo, da imamo silo , ki deluje na majhnoravnino , ki vsebuje točko .

FA P

Definirajmo napetostni vektor, ki deluje v smeri iz II v smer I v točki na ravnino kot naslednjo limito

PS

0limA A

n

Ft

V primeru, da dela telesa I in II predstavljata prosta telesa, imamo zaradi Newtonovega zakona akcije in reakcije

n nt t



Definirajmo Cauchijev napetostni vektor, ki deluje v smeri iz II v smer Iv točki na ploskev kot naslednjo limito:P S

0limS S

F

t

V primeru, da sta telesi I in II prosti telesi, imamo zaradi Newtonovega zakona akcije in reakcije

, ,tt t x n

Kjer skalar označuje čas.t

V nadaljevanju pokažemo, da zaradi Newtonovega drugega zakonavelja naslednja odvisnost Cauchijevega napetostnega vektorja v odvisnosti od , kjer je linerna transformacija.n

, , ,t tt x n T x n

T



NAPETOSTNI TENZOR

nt Tn

Definirajmo transformacijo tako, da velja T

Pokažimo, da je ta trasformacija linearna. V ta namen iz telesa izoliramotelo s štimimi stranicami (tetrahedron). Postavimo točko v eno izmedogljišč.

P



1 1 2 2 3 3n n n n e e e

1 2 31 2 3 nA A A A m e e e nF t t t t a

1 1 2 2 3 3, , n n nA n A A n A A n A

Napišimo Newtonov drugi zakon za tetrahedron.

Velja

31 2 3

1

6m V x x x x

Se pravi, da gre desna stran proti nič z . Na levi strani pa so površine, ki gredo proti nič sorazmerno z .

3x2x

Enotski vektor na poševni strani naj ima koordinate

Obravnavane štiri površine imajo zato med seboj naslednjo odvisnost



1 2 31 2 3n n n e e e nt t t t 0

1 2 31 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3n n n n n n n n n e e et t t T e e e Te Te Te

1 1 2 2 3 3, , e e e e e et t t t t t

Zato v limiti velja (če zanemarimo volumen)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0

0

n

n n n n

A A A A

A n A n A n A

e e e n

e e e n

t t t t

t t t t

Zaradi zakona o akciji in reakciji sil velja

Tako lahko napišemo

1 2 31 2 3n n n n e e et t t t



Zato je transformacija, definirana kot

linearna transformacija.

nt Tn

Imenujemo jo napetostni tenzor ali Cauchijev napetostni tenzor.

Napetostni vektorji na treh koordinatnih ploskvah so definirani kot

1 1et Te2 2et Te

3 3et TeZaradi definicije komponent tenzorja imamo

i mi met T e1

2

3

11 1 21 2 31 3

12 1 22 2 32 3

13 1 23 2 33 3

T T T

T T T

T T T

e

e

e

t e e e

t e e e

t e e e

ali



11 1

12 1 2

13 1 3

je normalna komponenta napetosti na ravnino

je tangencialna komponenta napetosti na ravnino v smeri

je tangencialna komponenta napetosti na ravnino v smeri

T

T

T

e

e e

e e

Pozitivne normalne komponente imenujemo tudi stisne napetosti.

Negativne normalne komponente imenujemo tudi natezne napetosti.

Tangencialne komponente napetosti imenujemo tudi strižne napetosti.

Skupna strižna napetost na ravnino je1e

1 21 2 31 3 τ T e T e

Velikost te strižne napetosti je2 2

1 21 31 τ T T



1 21 2 31 3 τ T e T e

2 12 1 32 3 τ T e T e

3 13 1 23 2 τ T e T e

2 21 21 31 τ T T

i ij jt T n

t = T n

Podobno velja

2 22 12 32 τ T T

2 23 13 23 τ T T

Oblika za računanje napetostnega vektorja v matrični obliki

V primeru, ko je napetostni tenzor znan, lahko izračunamo napetosti v katerikoli smeri

T



SIMETRIJA NAPETOSTNEGA TENZORJA: NAČELO OHRANITVE VRTILNE KOLIČINE

Iz telesa izrežimo prizmo. Iz principa vrtilne količine pokažemo, da je napetostni tenzor simetričen.

Izračunajmo navor vseh sil, ki deluje na prizmo skozi os, ki poteka skozi točko in je vzporedna s koordinato .A 3e



21 12 1 2 33AM T T x x x

3

21 2 3 1

21 21 2 3 1

12 1 3 2

12 12 1 3 2

2

2

2

2

AM

T x x x

T T x x x

T x x x

T T x x x

Zanemarimo vse majhne člene, pa dobimo:

Če je prizma v statičnem ravnovesju ali ne, velja

3330AM I

To velja zato, ker je člen kotnega pospeška sorazmeren z vztrajnostnim momentom

Skupni navor okoli osi , ki gre skozi točko je3e A



21 12T T

13 31T T23 32T T

2 2 533 1 2 3 1 2

1

12I x x x x x x

Ta člen je vedno majhen v primerjavi s členi oblike3x

21 12 1 2 330AM T T x x x

Se pravi

Oziroma

Na povsem ekvivalenten način izpeljemo

Te enačbe definirajo simetrijo napetostnega tenzorja. Pri tem smoprivzeli, da v prizmi ni notranjih navorov.

Vztrajnostni moment je oblike



POGLAVITNE NAPETOSTI

3 21 2 3 0I I I

1 11 22 33I T T T

11 13 22 2311 122

21 22 31 33 32 33

T T T TT TI

T T T T T T

3I T

Za vsak realen simetričen tenzor obstajajo vsaj tri medsebojno pravokotne poglavitne smeri. Lastni vektorji .

Ravnine, na katere so ti vektorji pravokotni imenujemo poglavitneravnine.

T

Poglavitne napetosti izračunamo preko karakteristične enačbe.



MAKSIMALNE STRIŽNE NAPETOSTI

Imejmo naslednje poglavitne smeri

in poglavitne napetosti

napetostnega tenzorja .

Velja

T

1 2 3e e e

1 2 3T T T

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

0 0

0 0

0 0

t T n T n

t T n T n

t T n T n

1 1 1 2 2 2 3 3 3nT n T n T t e e e

ali



Normalna napetost na ravnino je podana kotne

2 2 21 1 2 2 3 3nT n T n T n T n t

Če s označimo velikost celotne strižne napetosti na ravnino, veljasT

22 2s nT T t



22 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3sT T n T n T n T n T n T n

Ali v obliki komponent

Sedaj bi radi poiskali ravnine, na katerih so največje strižne napetosti,ki jih določajo koordinate smernega vektorja .1 2 3n n n

Veljata enakosti

21 2 3, ,sT f n n n 2 2 2

1 2 3 1n n n

Če najdemo maksimum smo poiskali tudi maksimum .2sT sT

V primerih

1 2 3, , 1,0,0 ali 0, 1,0 ali 0,0, 1n n n Velja . To je tudi minimalna vrednost za funkcijo . 0sT f



2 2 22

1 2 31 2 3

0s s ss

T T TdT dn dn dn

n n n

Minimalno vrednost v splošnem poiščemo izf

Rešitev je

2

1

0sT

n

2

2

0sT

n

2

3

0sT

n

Velja tudi

1 1 2 2 3 32 2 2 0n dn n dn n dn

Velja tudi2

11

sT nn

2

22

sT nn

2

33

sT nn

Zgornje tri enačbe plus enačba

2 2 21 2 3 1n n n

1 1 2 2 3 3 0n dn n dn n dn



So dovolj za izračun

1 2 3n n n

Parameter je Lagrangeov multiplikator. Metodo za iskanje optimalnih vrednosti pa imenujemo metodo Lagrangeovih multiplikatorjev.

2 2 2 21 1 1 1 2 2 3 3 1 1

2 2 2 22 2 1 1 2 2 3 3 2 2

2 2 2 23 3 1 1 2 2 3 3 3 3

2 2

2 2

2 2

n T T n T n T n T n

n T T n T n T n T n

n T T n T n T n T n

Obstaja množica rešitev zgornjega sistema nelinearnih enačb. Samo enarešitev daje minimalen in samo ena rešitev maksimalen .ST ST



Naslednji ravnini sta enaki

Naslednji ravnini sta pravokotni ena na drugo

1 2, ,0n n

1 2, ,0n n 1 2, ,0n n

1 2, ,0n n

Matematično obstaja 18 množic rešitev. Od teh je samo 9 neodvisnih.



Največje strižne napetosti



Maksimalna strižna napetost predstavlja maksimum naslednjih trehvrednosti

1 2 1 3 2 3, , 2 2 2

T T T T T T

Ali z drugimi besedami

max minmax 2

n ns

T TT

max min

2n n

n

T TT

Na ravnini z največjo strižno napetostjo je normalna napetost

V primeru, ko je 1 2 3T T T nimamo na nobeno ravnino strižnih napetosti.



ENAČBE GIBANJA: NAČELO OHRANITVE GIBALNE KOLIČINE

V tem poglavju napišimo enačbe gibanja kateregakoli delca kontinuuma v gibanju.Osnovni postulat teh enačb je, da mora vsak delec kontinuuma upoštevati Newtonov zakon gibanja.

Imejmo delec kontinuuma v točki na katerega delujejo sileix



Volumska sila je enaka j jBB e

Pospešek je enak a

Newtonov zakon gibanja dobi obliko

1 1

2 2

3 3

1 1 2 3 1 2 3 2 3

1 2 2 3 1 2 3 1 3

1 2 3 3 1 2 3 1 2

1 2 3 1 2 3

, , , ,

, , , ,

, , , ,

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x

e e

e e

e e

t t

t t

t t

B a



Ker velja1 1e et t lahko zapišemo

1 1

1 1

1 1 2 3 1 2 3

1 1 2 3 1 2 31

1

, , , ,

, , , ,

x x x x x x x

x x x x x x xx

x

e e

e e

t t

t t

2 2

2 2

1 2 2 3 1 2 3

1 2 2 3 1 2 32

2

, , , ,

, , , ,

x x x x x x x

x x x x x x xx

x

e e

e e

t t

t t

3 3

3 3

1 2 3 3 1 2 3

1 2 3 3 1 2 33

3

, , , ,

, , , ,

x x x x x x x

x x x x x x xx

x

e e

e e

t t

t t



Osnovno enačbo lahko zato preuredimo

1 1

2 2

3 3

1 1 2 3 1 2 31 2 3

1

1 2 2 3 1 2 32 1 3

2

1 2 3 3 1 2 33 1 2

3

1 2 3 1 2 3

, , , ,

, , , ,

, , , ,

x x x x x x xx x x

x

x x x x x x xx x x

x

x x x x x x xx x x

x

x x x x x x

e e

e e

e e

t t

t t

t t

B a



1 1

2 2

3 3

1 1 2 3 1 2 3

1

1 2 2 3 1 2 3

2

1 2 3 3 1 2 3

3

, , , ,

, , , ,

, , , ,

x x x x x x x

x

x x x x x x x

x

x x x x x x x

x

e e

e e

e e

t t

t t

t t

B a

Okrajšamo, pa dobimo

31 2

1 2 3x x x

ee e tt t

B a

Naj gredo dimenzije volumna, na katerem obravnavamo gibanje, proti nič.



Velja

iji j j j j

j

TB a

x

e e e

j j ij iT et Te e

Ali v brezkoordinatni obliki

T B a

V Kartezijevih koordinatah

iji i

j

TB a

x

To je Cauchijeva enačba gibanja

T B 0

V primeru, ko ni gibanja, velja statična ravnovesna enačba



ROBNI POGOJI ZA NAPETOSTNI TENZOR

t Tn

je napetostni tenzor na robuT

je vektor sile na enoto površine na robut

Če imamo na robu območja porazdeljene sile jih imenujemo površinskenapetosti. Robne pogoje pa napetostni robni pogoji. Skušajmo najti zvezo med površinskimi napetostmi in napetostnim tenzorjem v notranjosti.

je normala na površinon

t 0 predstavlja primer, ko ni sil na robu



PIOLA KIRCHHOFFOV NAPETOSTNI TENZOR

Cauchijev napetostni tenzor je definiran na enoto površine trenutnekonfiguracije.

Napetostne tenzorje, ki so definirani glede na nedeformirano površinoimenujemo Piola-Kirchhoffove napetostne tenzorje.

Imejmo začetni in končni čas in začetno ter končno površino

0t t 0A A

0 0 0d dAA n

Diferenciala začetne in končne površine sta

d dAA nV končni konfiguraciji velja

d dAf t

d dAf Tndf predstavlja silo, ki deluje na dA



Prvi Piola-Kirchhoffov napetostni tenzor

0 0d dAf t

Definirajmo

S tem definiramo psevdo napetostni vektor 0t

Prvi Piola-Kirchhoffov ali Lagrangeov napetostni tenzor definiramo kotlinearno transformacijo

0 0 0t T n

0 0d dA dA f t t

Relacije s Cauchijevim napetostnim tenzorjem pa so

00

dA

dAt t

0 0

0 0

dAdA

dA dA

T nT n Tn



T10 0 0J T n T F n

T10 J T T F T

0

1

JT T F

T10 0dA JdAn F n

detJ F

Sledi

Željeni relaciji povezav med napetostnimi tenzorji sta



V Kartezijevih koordinatah imamo

10 im jmijT JT F

0

1ij jmimT T F

J

Če uporabimo Kartezijeve koordinate za referenčno in trenutno konfiguracijo velja

iim

m

xF

X

1 i

imm

XF

x

V splošnem prvi Piola-Kirchhoffov napetostni tenzor ni simetričen.



Drugi Piola-Kirchhoffov napetostni tenzor

Imejmo

0d dAf t

Kjer je

d df F f

predstavlja psevdo diferencialno silo, ki se transformira pod vplivomdeformacijskega gradienta v dejansko diferencialno silo na deformiranem mestu.

dfF df

Drugi Piola-Kirchhoffov deformacijski tenzor je linearna transformacija

0t Tn

0n je enotska normala na nedeformirano površino.



Nadalje lahko zapišemo

0 0d dAf FTn

0d dAf t d df F f 0t Tn

0 0 0 0 0d dA dA f t T n

10 0 0

Tn F T n To velja za vsak 0n

Zato

10

T F T

To je relacija med prvim Piola-Kirchhoffovim napetostnim tenzorjem indrugim Piola-Kirchhoffovim napetostnim tenzorjem.



Relacija med Cauchijevim napetostnim tenzorjem in drugim Piola-Kirchhoffovim napetostnim tenzorjem pa je

T1 1J T F T F

Kjer je

detJ F

Drugi Piola-Kirchhoffov napetostni tenzor je simetričen v primeru, ko jesimetričen tudi Cauchyjev napetostni tenzor.



ENAČBA GIBANJA, NAPISANA GLEDE NA REFERENČNO KONFIGURACIJO

Enačbe gibanja, zapisane s Cauchyjevim napetostnim tenzorjem so

T B aij

i ij

TB a

x

Pokažemo, da imajo enačbe gibanja, zapisane s prvim Piola-Kirchhoffovimnapetostnim tenzorjem, enako obliko kot enačbe gibanja, zapisanes Cauchyjevim napetostnim tenzorjem

0 0 0 T B a 0

0 0ij

i ij

TB a

X

V tem primeru so snovne koordinate, pa začetna gostota.jX 0



Zapisano izpeljemo na naslednji način

0

1; detij jmim

T T F JJ

F

0 0 00

( ) ( ) ( )ij im jm jm jm jmim imim

j j j j j

T T F F F FT TT

x x J J x x J J x

Pri tem smo uporabil izraz (iz ene izmed nalog)

0jm

j

T

x J

Zato

0 0 0( ) ( ) ( )1 1ij jm jim im n immn

j j m n j n

T F xT T X T

x J x J X X x J X



0( )1ij ij

j j

T T

x J X

Zato velja

Uporabimo enačbo gibanja v Cauchyjevi obliki

iji i

j

TB a

x

0 iji i

j

TJ B J a

X

Velja 0 det J F0detdV dV F

0

0 0ij

i ij

TB a

X

in zato sledi



MOČ ZARADI NAPETOSTI

Delo na enoto časa, ki ga opravljata napetostna vektorja

1 11 1 2 3 1 2 3

1 11 1 2 3 1 2 3

1

2 3, , , ,

2 3, , , ,

1

1 2 31 1

x dx x x x x x

x dx x x x x x

j j

dx dx

dx dx

T vdx dx dx dV

x x

e e

e e

e

t v t v

t v t v

t v

Kjer smo uporabili naslednje izraze

1

T1 1 1 1 1ji j i ji j i j jT v T v T v et v Te v e T v e e e e

1 2 3dx dx dx dV

1 1e et t



Delo na enoto časa, ki ga opravljajo volumske sile je

i idV B v dV B v

Celotno delo na enoto časa je

i ij i ij

ij ii i ij

j j

i ii ij

j

P vT B v dVx

T vv B T dV

x x

Dv vv T dVDt x



Upoštevajmo princip ohranitve mase

0D

dVDt

Sledi

2

2 2 2i i i i i

i

Dv v v v vD D D v Dv dV dV dV dm KEDt Dt Dt Dt Dt

Kjer je kinetična energija. Zapišemo lahko KE

s

DP KE PdV

Dt Ttri

s ijj

vP T

x

T v



Zato, ker velja

1 1

2 2

1

2

ji i i iij ij ij ij ji

j j j j i

jiij ij ij

j i

vv v v vT T T T T

x x x x x

vvT T D

x x

Izraženo z simetričnim napetostnim tenzorjem in tenzorjem hitrosti deformacije izrazimo moč zaradi napetosti kot

TD

trs ij ijP T D TD

Moč zaradi napetosti predstavlja delo na enoto časa zaradi spremembevolumna in oblike delca enotskega volumna.

sP



MOČ ZARADI NAPETOSTI IZRAŽENA S PIOLA-KIRCHHOFFOVIMNAPETOSTNIM TENZORJEMV prejšnjem podpoglavju smo obravnavali moč zaradi napetosti, izraženos Cauchijevim napetostnim tenzorjem in tenzorjem hitrosti deformacije . V tem podpoglavju izrazimo moč s prvim Piola Kirchhoffovim napetostnim tenzorjem in deformacijskim gradientom ter z drugim Piola Kirchhoffovim napetostnim tenzorjem in Lagrangeovim deformacijskim tenzorjem .

TD

0T FT

*E

0

*

T D

T F

T E

Pare tenzorjev

imenujemo konjugirane pare tenzorjev.



Dd d

Dt xx v x

D Dd d d

Dt Dt x

FF X X v F X

Iz izvajanj v tretjem poglavju imamo

Ker velja

d dx F X

dobimo

Ta enačba naj bi veljala za vsak . dX Zato

D

Dt x

Fv F ali 1D

Dt x

Fv F



T 1trs

DP

Dt

F

T F

T0

1

detT T F

F

T 10

1tr

dets

DP

Dt

F

FT FF

Sledi

Velja tudi

Zato sledi



Upoštevajmo enakosti

0

tr tr tr

det

ABCD BCDA CDAB

F

T0 0

0 0

tr tr ijs ij

DFDP T

Dt Dt

FT

Dobimo



Cauchijev napetostni tenzor izrazimo z drugim Piola-Kirchhoffovimnapetostnim tenzorjem

T1

detT FTF

F

Zaradi tega

T T1 1tr tr tr

det detsP TD FTF D TF DFF F

Pokažimo še*

TD

Dt

EF DF

Že prej smo izpeljali

2 2 *2ds dS d d X E X



Zaradi tega

*2 2

D Dds d d

Dt Dt

EX X

Prav tako smo že izpeljali

2 T2 2 2Dds d d d d d d

Dt x D x F X DF X X F DF X

*TD

Dt

EF DF

Iz primerjave zgornjih dveh enačb vidimo

* *

0

1tr tr

dets

D DP

Dt Dt

E ET T

F



TOPLOTNI TOK V DIFERENCIALNI ELEMENT ZARADI PREVODA

Toplotni tok teče v infinitezimalni volumen v smereh in na naslednji način

1 1 2 3 1 2 31 , , 1 , , 2 3

11 1 2 3 1 2 3

1 1

( ) ( )

( )

x dx x x x x x dx dx

qdx dx dx dx dx dx

x x

q e q e

q e

31 21 2 3 2 1 3 3 1 2

1 2 3

31 21 2 3

1 2 3

qq qdx dx dx dx dx dx dx dx dx

x x x

qq qdx dx dx

x x x

Celotni toplotni tok zaradi prevoda toplote je

1e 1 e



31 2

1 2 3c

qq qQ dV dV

x x x

q

Tako dobimo celotni toplotni tok v diferencialni element zaradi prevoda toplote

Kjer je volumen diferencialnega elementa. dV

cQ



ENAČBA OHRANITVE ENERGIJE

( ) c s

DU KE P Q Q

Dt

Imejmo delec z diferencialnim volumnom na mestu ob času .dV x t

c

s

U

KE

P

Q

Q

notranja energija

kinetična energija

moč zaradi dela volumskih in površinskih sil

toplotni tok zaradi prevoda

toplotni tok zaradi sevanja

( ) iij

j

ic

i

vDP KE T dV

Dt x

qQ dV

x

Iz prejšnjih izvajanj sledi



i iij s

j j

v qDUT dV dV Q

Dt x x

( )DU D Du

u dV dVDt Dt Dt

i iij s

j j

v qDuT q

Dt x x

tr( ) + q sDu

Dt TD q

Zaradi tega

Z označimo notranjo energijo na enoto maseu

Pri tem smo uporabili zvezo za ohranitev mase 0D

dVDt

Energijska enačba zato postane

v brezkoordinatni obliki



ENTROPIJSKA NEENAČBA

( ) ( )D D D D

dV dV dV dVDt Dt Dt Dt

sqD

Dt

q

Z označimo entropijo na enoto mase.

0D

dVDt

V razvoju zgornje enačbe smo upoštevali ohranitev mase

Sprememba povišanja entropije delca je vedno večja ali enaka toku entropije čez meje delca plus vsoti generacije entropije v volumnu delca.

Pri tem je absolutna temperature, vektor toplotnega toka in izvor toplote. q sq



ENTROPIJSKA NEENAČBA IZRAŽENA S HELMOLTZOVO PROSTOENERGIJO

i iij s

j i

v qD DA DT q

Dt Dt Dt x x

A u

Helmholtzovo prosto energijo na enoto mase izrazimo kot

Specifična energija je u A

i iij s

j i

v qDuT q

Dt x x

Ohranitev energije je

Omenjeno izrazimo z enačbo za definicijo Helmoltzove proste energije



is

i

qDq

Dt x

i i i iij s s

j i i i

v q q qDA DT q q

Dt Dt x x x x

0iij ij

i

qDA DT D

Dt Dt x

Entropijsko neenačbo lahko zapoišemo v obliki

sqD

Dt

q

To je entropijski zakon izražen s Helmholtzovo prosto energijo.



INTEGRALSKE FORMULACIJE SPLOŠNIH PRINCIPOV KLASIČNEMEHANIKE

Princip ohranitve mase

Spreminjanje mase določenega dela snovi je vedno enako nič.

0mV

DdV

Dt

je snovni volumen, ki se spreminja s časom

gostota

mV

0m m c cV V V V

D D D DdVdV dV dV

Dt Dt Dt Dt

cV je kontrolni volumen, ki v danem trenutku sovpada z mV



Zgornja enačba mora veljati za katerikoli cV

Zato mora biti integrand enak nič.

0D

Dt

v 0t

v

V tretjem poglavju smo izpeljali

0cV

dVt

v

1 i

i

vDdV

dV Dt x

v

0cV

DdV

Dt

v

Oblika, ki se uporablja pri izračunih.



Za nadaljevanje diskusije potrebujemo Gaussov divergenčni izrek, ki ga uporabimo brez dokaza

c cV SdV dS

t

v n

c cV SdV dS v v n

c cV SdV dS T Tn

c c

jj jV S

j

vdV v n dS

x

c c

ijij jV S

j

TdV T n dV

x

Sprememba mase znotraj kontrolnega volumna je enaka dotoku mase v kontrolni volumen.



m c c c cV S V S V

DdV dS dV dS dV

Dt v t B Tn B

Princip ohranitve gibalne količine

Vsota sil, ki delujejo na fiksni del mase mora biti enaka spremembi gibalne količine te mase.

m m

m c c

V V

V V V

D DdV dV

Dt Dt

D D DdV dV dV

Dt Dt Dt

v v

v vv

Kjer smo upoštevali zakon o ohranitvi mase

0D

dVDt



c c c cS V V VdS dV dV dV Tn B T B

Velja

0cV

DdV

Dt

v

T B

D

Dt

vT B



Princip ohranitve vrtilne količine

Vsota navorov okoli fiksne točke, ki delujejo na fiksni del mase mora biti enaka spremembi vrtilne količine

m c c c cV S V S V

DdV dS dV dS dV

Dt x v x t x B x Tn x B

Kjer je pozicijski vektor.x

m m c c

c c

V V V V

V V

D D DdV dV dV dV

Dt Dt Dt

D D DdV dV dV

Dt Dt Dt

x v x v v v x v

v vx v x x



i ijk j i ijk j km mkx x T n x Tn e Tn e

Ker velja

Z uporabo divergenčnega izreka dobimo

c c c

ijk j kmi ijk j km m iS S V

m

x TdS x T n dS dV

x

x Tn e e

Velja

iim

m

x

x

Zato



0c c

i ijk kjV V

DdV T dV

Dt

v

x T B e

c c c

i ijk kjV V V

DdV dV T dV

Dt v

x x T B e

c ci ijk kjV V

dV T dV x T e

c c c c

ijk j km kmi i ijk j i ijk kjV S V V

m m

x T TdS dV x dV T dV

x x

x Tn e e e

ali

0ci ijk kjVT dV e 0ijk kjT



Iz tega izpeljemo simetrijo napetostnega tenzorja

12 21 0T T

23 32 0T T

31 13 0T T



Princip ohranitve energije

Spremamba kinetične energije in notranje energije na danem delu snovimora biti enaka vsoti dela sil po volumnu in površini, dotoku toplote in generaciji toplote v notranjosti.

2

2m c c c csV S V S V

D vu dV dS dV dS q dV

Dt

t v B v q n

Upoštevajmo

0D

dVDt

2 2

2 2m m cV V V

D v D vu dV u dV

Dt Dt

T T

c c c cS S S SdS dS dS dV t v Tn v n T v T v



T T

c c c cS S S SdS dS dS dV t v Tn v n T v T v

T Ttrji j ji jj ji

i i i

T v T vv T

x x x

T v T v T v

c cS VdS dV q n q

2

Ttr2c c

sV V

D vu dV q dV

Dt

T B v T v q

21

2

D Dv

Dt Dt

vT B v v



Ttr c c

sV V

DudV q dV

Dt T v q

Ttr s

Duq

Dt T v q

Zato lahko zgornjo enačbo zapišemo v integralni onbliki

Omenjeno mora veljati za vsak kontrolni volumen cV



Entropijska neenakost

m c c

s

V S V

qDdV dS dV

Dt

qn

Upoštevajmo

0D

dVDt

Zaradi tega velja

m cV V

D DdV dV

Dt Dt

Sprememba entropije fiksnega dela snovi ni manjša kot vtok entropijepreko površine snovi plus generacija entropije v snovi.



Z uporabo divergenčnega izreka dobimo

c cS SdS dV

q qn

Zato dobi entropijska neenačba obliko

c c c

s

V V V

qDdV dV dV

Dt

q

sqD

Dt

q

Velja tudi lokalna oblika



DOLOČANJE MAKSIMALNIH STRIŽNIH NAPETOSTI IN RAVNIN NAKATERIH SE POJAVLJAJO

poglavje 4

Documents