poenkareov model u hiperboli ckoj geometriji - pmf.ni.ac.rs · pdf fileˇciji su tvorci bili...

Univerzitet u Nisu

Prirodno - matematicki fakultet

Departman za matematiku

Poenkareov model u hiperbolickojgeometrijiMaster rad

Mentor: Student:

Prof. dr Milan Zlatanovic Aleksandra Milovanovic

Nis, Oktobar 2012.

Sadrzaj

1 Istorija neeuklidske geometrije 51.1 Nastanak i razvoj hiperbolicke geometrije . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Zivot i rad Henrija Poenkarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Hilbertov sistem aksioma 132.1 Pet grupa aksioma i njihove posledice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Aksioma paralelnosti i neki njeni ekvivalenti . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Potencija tacke u odnosu na krug i sferu 213.1 Potencija tacke u odnosu na krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Potencija tacke u odnosu na sferu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Uvod u hiperbolicku geometriju 294.1 Ravan Lobacevskog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Paralelne i hiperparalelne prave u ravni L2 . . . . . . . . . . . . . . . 324.3 Ugao paralelnosti. Funkcija Lobacevskog . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4 Karakteristicne krive u ravni L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5 Poenkareov model hiperbolicke geometrije 395.1 Neprotivurecnost geometrije Lobacevskog . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Dvorazmera i realna projektivna prava . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.3 Inverzija u odnosu na krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.4 Bilinearna preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.5 Inverzija u odnosu na sferu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.6 Poenkareov model hiperbolicke planimetrije . . . . . . . . . . . . . . 50

5.6.1 Opis Poenkareovog disk modela . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.6.2 Hilbertov sistem aksioma i aksioma paralelnosti u modelu . . 595.6.3 Epicikli u Poenkareovom disk modelu . . . . . . . . . . . . . . 715.6.4 Opis Poenkareovog poluravanskog modela . . . . . . . . . . . 745.6.5 Epicikli u Poenkareovom poluravanskom modelu . . . . . . . . 80

5.7 Poenkareov model hiperbolicne stereometrije . . . . . . . . . . . . . . 835.7.1 Poenkareov sferni model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.7.2 Poenkareov poluprostorni model . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6 Zakljucak 87

1

2 SADRZAJ

Uvod

Matematika, to je jezik kojim govore sve egzaktne nauke.Nikolaj Ivanovic Lobacevski

Geometrija kao disciplina ima svoju dugu i bogatu istoriju. Zaceta jos u najs-tarijim ljudskim civilizacijama, radi potrebe premeravanja tla, vekovima se razvijalakao induktivna nauka, da bi danas zauzela vodece mesto medu naukama, u okvirumatematike.

Doprinos u razvoju geometrije kao deduktivne nauke dali su starogrcki filozofi:Tales (624-547, pre n.e.), Pitagora (oko 580 - oko 500 pre n.e.), Platon (427 - 347 g.pre n.e.) kao i njegov najdarovitiji ucenik Aristotel (384 - 322 g. pre n.e.). Oni suuticali da se induktivni metod nalazenja geometrijskih tvrdenja zameni novim tzv.deduktivnim metodom, zatim da se uvede nacelo dokazivanja matematickih tvrdenjasto je uslovilo uvodenje sistematizacije tvrdenja a samim tim dovelo i do aksioma-tizacije. Osnovne principe, tj. osnovna tvrdenja na kojima se zasniva deduktivnateorija, Aristotel je razvrstao na aksiome i postulate. Medutim, najsistematicnijedelo iz geometrije antickih vremena koje je dospelo danas pod naslovom ”Elementi”napisao je starogrcki matematicar Euklid. U svom grandioznom delu ”Elementi”Euklid je pokusao da dosledno sprovede deduktivan metod u izlaganju geometrije iupravo ta doslednost ucinila je da njegovo delo vekovima predstavlja savrsenstvo iuzor logickog rasudivanja ne samo u oblasti geometrije, vec i u nauci uopste. Prilogtome su i reci Bertrana Rasela: ”Ako bi naucna otkrica ikada bila u sukobu sa ge-ometrijom Euklida, treba odbaciti otkrica a ne geometriju - toliko je ona iznad svegadrugog.” Za razvoj geometrije, a preko nje i drugih matematickih oblasti, ogromanznacaj imao je Euklidov peti postulat. Zbog svoje slozenosti i neociglednosti nije semogao svrstati na spisku osnovnih tvrdenja vec se morao dokazati. Bili su to dovoljnirazlozi zbog kojih su mnogi matematicari narednih dvadeset i vise vekova neumornopokusavali da odgonetnu to pitanje. Velika prekretnica je XIX vek i otkrice neeuk-lidske geometrije, u cemu prioritetne zasluge ima N. I. Lobacevski, po kome je idobila naziv geometrija Lobacevskog ili samo hiperbolicka geometrija. Pored njega,velike zasluge imao je i J. Boljai koji je zajedno sa Lobacevskim smelo narusio ’rajEuklidove geometrije’. Medutim, sa matematicke tacke gledista ove dve geometrijesu ravnopravne.

U ovom radu, konstruisacemo takav model u euklidskoj geometriji na kome cebiti realizovani svi pojmovi i sve aksiome geometrije Lobacevskog, pretpostavlja-

3

4 SADRZAJ

juci neprotivurecnost euklidske geometrije. Tacnije, opisacemo Poenkareov modelhiperbolicke geometrije. Rad je tematski podeljen na sest celina.

U prvoj glavi dacemo istorijski osvrt na nastanak i razvoj geometrije Lobace-vskog i problema paralelnih pravih i navesti neke detalje iz zivota i rada HenrijaPoenkarea.

U drugoj glavi navodimo Hilbertov sistem aksioma kao i aksiomu paralelnostii njene posledice, dok cemo se u trecoj glavi baviti potencijom tacke u odnosu nakrug i sferu, ciji rezultati ce nam biti potrebni.

Cetvrta glava sadrzi vazne definicije i teoreme vezane za ravan Lobacevskog.Navedene su osobine paralelnih i hiperparalelnih pravih, ugao paralelnosti, funkcijaLobacevskog kao i epicikli u ravni L2.

U petoj glavi dajemo detaljan opis Poenkareovog modela hiperbolicke geometrije.Najpre pokazujemo da je geometrija Lobacevskog neprotivurecna, zatim navodimoneke cinjenice o dvorazmeri, inverziji i bilinearnim preslikavanjima koje su namznacajne za dokazivanje tvrdenja koja vaze u modelu, onda prelazimo na opis mod-ela i dokazivanje da na njemu vaze sve aksiome Hilbertovog sistema kao i aksiomaLobacevskog. Preko Poenkareovog disk modela hiperbolicke planimetrije uvescemoi Poenkareov poluravanski model hiperbolicke planimetrije, dok cemo u analogiji sanjima dati kratak opis sfernog modela i poluprostornog modela hiperbolicke stere-ometrije.

U poslednjoj glavi dat je kratak osvrt na vazne cinjenice koje su obradivane iukazano je na moguca uopstenja dobijenih rezultata i prekretnica za dalji rad.

Posebno bih uputila zahvalnost svom mentoru, prof. dr Milanu Zlatanovicu, kojimi je svojim primedbama i sugestijama pomogao pri izradi ovog rada.

Glava 1

Istorija neeuklidske geometrije

1.1 Nastanak i razvoj hiperbolicke geometrije

Istorija geometrije seze do antickog doba, ali je njena kolevka nesumnjivo Is-tok. Razvoj geometrije se moze podeliti na cetiri perioda, cije je granice nemoguceodrediti datumima. Geometrija se kao nauka prvi put pojavila u drevnom Egiptu,Vaviloniji i Grckoj, oko V veka p.n.e., u vezi sa razvojem kulture premeravanja tla.Egipcani su razvili induktivan metod zakljucivanja, od pojedinacnog ka opstem, npr.primetili su da jedan trougao ima tri ugla, pa su nacrtali drugi trougao i primetiliisto, itd. dok nisu zakljucili da svi trouglovi imaju po tri ugla, tada su to uzeli zaneku osnovnu vrednost tj. aksiomu. Smatra se da je geometrijsko znanje prenesenou VII veku p.n.e. iz Egipta i Vavilonije u Grcku. Oko IV-V veka p.n.e. nastajeperiod sistematskog izlaganja geometrije kao nauke, kada se sva tvrdenja dokazuju.

Medutim, nastanak kapitalizma u Evropi doveo je do novog, treceg periodarazvoja geometrije. U prvoj polovini XVII veka nastala je analiticka geometrija,ciji su tvorci bili Dekart1 i Ferma2.

Cetvrti period razvoja geometrije sve do danas obelezen je izgradnjom neeuklid-skih geometrija od kojih je prva bila geometrija Lobacevskog3, koju je on izgradioistrazujuci osnove geometrije, i posebno, aksiome o paralelnim pravama. Terminneeuklidska geometrija opisuje hiperbolicku i elipticku geometriju koje su negacijaeuklidske geometrije. Sustinska razlika medu njima je priroda paralelnih pravih.Dok euklidska geometrija spada u najstarije poznate oblasti matematike, neeuklid-ska geometrija nije bila prihvacena i priznata sve do XIX veka. Mada, raspravakoja je mogla da eventualno dovede do otkrica neeuklidske geometrije pocela je mal-tene istog trenutka kada je objavljeno cuveno Euklidovo4 delo ”Elementi”. U ovomdelu, Euklid zapocinje sa ogranicenim brojem pretpostavki (23 definicije, 5 osnovnih

1Rene Dekart (1596-1650), francuski matematicar,filozof i naucnik2Pjer de Ferma (1601-1665), francuski matematicar3Nikolaj Ivanovic Lobacevski (1793-1856), ruski matematicar4Euklid (grcki: Eυκλϵιδϵς ), roden oko 300. godine p.n.e., poznat i kao Euklid iz Aleksandrije,

anticki matematicar

5

6 GLAVA 1. ISTORIJA NEEUKLIDSKE GEOMETRIJE

pojmova i 5 postulata) i tezi ka tome da dokaze sve ostale rezultate u radu. Na-jproblematicniji ali isto tako i najpoznatiji je ”Euklidov peti postulat” ili ”Aksiomaparalelnosti” i on u originalu glasi: ”Ako prava linija sece dve druge prave linije takoda je zbir unutrasnjih uglova sa iste strane manji od zbira dva prava ugla, tada seprave linije, produzene do beskonacnosti, seku sa one strane sa koje su uglovi manjiod dva prava ugla.”

Kompleksnost petog postulata je stotinama godina zadavala probleme mnogimmatematicarima koji su pokusavali da ga dokazu na osnovu prethodna cetiri postu-lata jer su smatrali da on ne treba da se nalazi kao aksioma zbog svoje slozenostivec da se dokaze kao teorema. Mnogi su pokusavali da pronadu dokaz zasnovan nametodu svodenja na protivurecnost, polazeci od negacije petog postulata ili nekogtvrdenja ekvivalentnog petom postulatu i na osnovu aksioma i ostalih Euklidovihpostulata pokusavali da rese dugogodisnji problem. Mnogi od njih dovodili su sebeu zabludu smatrajuci da su u tome uspeli ne primecujuci da su skriveno u svojimizvodenjima na izvestan nacin iskoristili neki od ekvivalenata petog postulata.

Devetnesti vek bio je vek neslucenih dostignuca u skoro svim oblastima naukepa i u geometriji. Najznacajnije u ovoj oblasti je bilo otkrice nove tzv. neeuk-lidske geometrije koja se bitno razlikuje od euklidske. Prioritetne zasluge u otkricuneeuklidske geometrije ima ruski matematicar Lobacevski. Kao i mnogi njegoviprethodnici, Lobacevski je nastojao da indirektnim postupkom Euklidov peti pos-tulat izvede iz ostalih postulata i aksioma Euklida. U tom cilju, on je posao od ne-gacije jednog tvrdenja koje je ekvivalentno petom postulatu, naime od pretpostavkeda kroz tacku van jedne prave postoje najmanje dve prave koje su sa tom pravomkomplanarne i disjunktne. Kako, kao i mnogi njegovi prethodnici, nije uspeo dadokaze peti postulat, on je izdvojio sve sto u geometriji nije zavisilo od petog pos-tulata, tzv. apsolutnu geometriju, a peti postulat zamenio drugim postulatom pokome se kroz tacku u ravni koja ne pripada nekoj pravoj te ravni moze povuci nesamo jedna prava paralelna datoj pravoj. Ne koristeci Euklidov peti postulat nitibilo koje njemu ekvivalentno tvrdenje, Lobacevski je uspeo da izgradi jednu sasvimnovu teoriju u kojoj nema nikakvih protivurecnosti. Uveren u logicku ispravnostsvojih rasudivanja, on je smelo razotkrivao nove zakonitosti, tvrdeci da Euklidovpeti postulat ne predstavlja posledicu ostalih Euklidovih postulata i aksioma i da,stavise, sem Euklidove geometrije postoji jos jedna geometrija koja se bitno razlikujeod nje.

Rezultate svojih istrazivanja Lobacevski izlaze na zasedanju Fizicko-matema-tickog odeljenja Kazanjskog univerziteta 1826. godine a rad Sazeto izlaganje osnovageometrije sa strogim dokazom teorema o paralelama, koji obelezava datum rodenjaneeuklidske geometrije, je publikovao 1829. godine u ”Vesniku” Kazanjskog uni-verziteta. Geometrija Lobacevskog se zasniva na osnovnim stavovima kao i Eukli-dova, samo sto se peti postulat zamenjuje postulatom da se kroz jednu tacku izvanneke prave mogu povuci najmanje dve prave, u istoj ravni, koje ne seku datu pravu.

Potpuno nezavisno od njega Boljai5 je publikovao rad o istom ovom pitanju, umanje razvijenoj formi, 1832. godine u vidu dodatka knjige ”Geometrija” svog oca

5Janos Boljai (1802-1870), madarski matematicar

1.1. NASTANAK I RAZVOJ HIPERBOLICKE GEOMETRIJE 7

Farkasa Boljaia. Stoga se taj rad u literaturi i srece pod nazivom ”Apendiks”, stona latinskom jeziku znaci ”dodatak”.

Nije iznenadujuce da za zivota nisu dobili priznanja koja zasluzuju, samo je poz-nati matematicar Gaus6 razumeo dubinu i dalekoseznost njihovih ideja, buduci dasu se one podudarale sa njegovim zamislima iz ranijih godina. Zanimljivo je to daje Gaus znao radove obojice, no nije nijednog ikad upoznao s radom onog drugog.Medutim prednost dobija Lobacevski zbog ranijeg objavljivanja svog rada pa se zbogtoga novootkrivena geometrija naziva neeuklidska geometrija Lobacevskog ilisamo hiperbolicka geometrija koja je zasnovana na aksiomama apsolutne ge-ometrije i aksiomi Lobacevskog, o kojoj ce kasnije biti reci. Napomenucemo da jepored geometrije Lobacevskog otkrivena jos jedna neeuklidska geometrija poznatakao elipticka ili rimanova geometrija, do koje je dosao matematicar Riman7

1854. godine u svom radu O hipotezama koje leze u osnovi geometrije, razmatrajucitzv. polidimenzione povrsi.

Lobacevski je svoju geometriju konstruisao polazeci od osnovnih geometrijskihpojmova i svojih aksioma i dokazivao je teoreme geometrijskim metodama, slicnoeuklidskoj geometriji. Kao osnova sluzila mu je teorija paralelnih pravih i to raz-likuje njegovu geometriju od euklidske. Geometrija Lobacevskog otkriva novi svetgeometrijskih objekata: prave paralelne u smislu Lobacevskog se sve vise priblizavajujedna drugoj sa jedne strane a udaljavaju do beskonacnosti sa suprotne strane; dveprave koje imaju zajednicku normalu, na obe strane od te normale se beskonacnorazilaze; zbir uglova u trouglu manji je od 180 stepeni, sto znaci da u geometrijiLobacevskog cetvorougao moze imati najvise tri prava ugla a cetvrti je ostar; svetacke koje se nalaze na jednakom rastojanju od date prave leze na krivoj liniji ane na pravoj, kao u euklidskoj geometriji. Ravan i prostor Lobacevskog su skupovitacaka u kojima su odredene prave, kretanje figura, rastojanja, uglovi i drugi ele-menti. Izgradio je odgovarajucu trigonometriju kao i principe analiticke i diferenci-jalne geometrije. Od nastanka geometrije Lobacevskog uloga aksiomatskog metodau matematici uopste i u geometriji posebno postala je veoma znacajna. Euklid-ska geometrija je posle toga takode dobila svoju aksiomatsku osnovu. Hilbert8 jena kraju XVIII veka prvi postavio konkretan sistem aksioma euklidske geometrije,tzv. Hilbertove aksiome. Aksiomatsku osnovu dobile su takode i druge geometrije:Lobacevskog, projektivna, afina, visedimenzionalna euklidska i druge. Lobacevskieuklidsku geometriju naziva ”obicnom geometrijom” a svoju, hiperbolicku naziva”imaginarnom geometrijom”. Ipak, jos uvek se zadrzala mogucnost da su aksiomehiperbolicke geometrije logicki nekonzistentne. Uobicajen model za euklidsku ge-ometriju je ravna povrs. S druge strane najjednostavniji model za elipticku ge-ometriju je sfera, gde su prave linije tzv. neeuklidske prave velike kruznice dok setacke suprotne jedna drugoj podudaraju. Cak i nakon radova Lobacevskog, Boljaia iGausa ostalo je pitanje: ”Da li postoji model ociglednog predstavljanja hiperbolickegeometrije?”. Geometrija Lobacevskog je imala protivnike medu matematicarima

6Johan Karl Fridrih Gaus (1777-1855), nemacki matematicar7Georg Fridrih Bernard Riman (1826-1866), nemacki matematicar8David Hilbert (1862-1943), nemacki matematicar


koji nisu shvatali njenu sadrzinu sve dok veliki matematicar Beltrami9 nije 1868.godine dao odgovor na ovo pitanje i pokazao da geometrija Lobacevskog vredi najednoj posebnoj povrsi nazvanoj pseudosfera. Ona je postala predmet ispitivanjavelikih matematicara kao sto su nemci Klajn10 i Riman11 i francuz Poenkare12 kojisu veoma doprineli u smislu afirmacije geometrije Lobacevskog i njene primene. Onaje nasla siroku primenu u raznim granama matematike kao i u modernim tokovimateorijske fizike. Razvoj neeuklidskih geometrija pokazao se veoma znacajnim zafiziku XX veka. Zadajuci ogranicenja brzini svetlosti, sabiranje brzina zahtevalo jenuzno koriscenje hiperbolicke geometrije. Otkrice neeuklidske geometrije spada ured najvecih otkrica u matematici. Ovim otkricem, kao i svojim celokupnim stavommatematicara i filozofa matematike, Lobacevski je otvorio nove puteve u razvitkumatematike koji su usledili aksiomatskim zasnivanjima svih grana matematike iuvrstio se u red genijalnih stvaralaca. Povodom stogodisnjice njegovog rodenjautemeljena je Nagrada Lobacevskog za dela iz neeuklidske geometrije.

1.2 Zivot i rad Henrija Poenkarea

Znanstvenik od imena, a posebno matematicar,oseca u svom radu isto kao i umetnik, njegova je

radost velika i potice od same prirode - Henri Poenkare.

Francuski matematicar, roden 29. aprila 1854. godine a umro 1912. godine.Predavao je matematicku fiziku i racun verovatnoce na Faculte des sciencas u Parizu,a zatim predaje visu analizu na Ecole Polytechnique. Njegov znacajni rad se ogledana polju matematike, fizike i astronomije. Istrazivao je diferencijalne jednacine aposebno su vazni njegovi radovi iz oblasti topologije i njegova interpretacija ge-ometrije Lobacevskog. U svom delu O dinamici elektrona (1905) Poenkare je an-ticipirao specijalnu teoriju relativiteta. Od njegovih astronomskih radova narocitoje vazna rasprava o problemu triju tela. Dao je i nekoliko dela filozofskog karak-tera kao sto su Znanost i hipoteza (1902) i Vrednost znanosti (1906). Objavio jeoko 500 znacajnih radova. Vaznija dela su mu: O teoriji Fuksovih funkcija (1881),Predavanja o nebeskoj mehanici (1905-1910), Kurs matematicke fizike (1889-1904).Poenkareov najoriginalniji rad iz oblasti matematicke astronomije razraden je ukratkou njegovoj velikoj monografiji ”Nove metode nebeske mehanike” ( u tri knjige 1892.,1893. i 1899.).

Ako se osvrnemo na Poenkareov zivot iz detinjstva, mozemo videti da je bioneobicno brz. Veoma brzo je naucio govoriti, no isto tako u pocetku jako lose,jer je brze mislio nego sto je mogao izgovarati reci. Motorna koordinacija mu je

9Eugenio Beltrami (1835-1899), italijanski matematicar10Felix Christian Klein (1849-1925), nemacki matematicar11Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), nemacki matematicar12Jules Henri Poincare (1854-1912), francuski matematicar i fizicar

1.2. ZIVOT I RAD HENRIJA POENKAREA 9

od pocetka bila slaba. Kad je naucio pisati otkrili su da se moze sluziti i levomi desnom rukom. Poenkare se nikada nije oslobodio svoje fizicke nespretnosti iakoje svrstan u najistaknutije matematicare. Da nije bio izvrstan kao matematicarsvrstali bi ga, prema testovima, u dusevno zaostale. U petoj godini Poenkarea jezadesila difterija koja mu je paralizovala grlo devet meseci, no to ga je nateraloda se okrene vlastitim sposobnostima. Glavna razonoda mu je bila citanje, gdese iskazao po prvi put njegov neobican talenat. Knjigu koju bi procitao jednomi neverovatnom brzinom usvajao je trajno, te je uvek mogao navesti red i stranugde se nesto nalazi. Strasnu memoriju koju je posedovao sacuvao je za ceo zivot ita darovitost mogla bi se nazvati ’vizuelnom’ ili ’specijalnom’ memorijom. Vecinamatematicara teoreme pamti vizuelno, dok u Poenkarea je to pamcenje uglavnombilo po sluhu. Da je Poenkare bio jak na prakticnom podrucju znanja kao sto je biona teorijskom, mogao je biti cetvrti uz trojicu nenadmasivih: Arhimeda13, Njutna14 iGausa. Ljubav prema matematici ga je zarobila neposredno pre nego sto je napuniopetnaest godina. Vec na pocetku pokazivao je izrazitu osobenost: matematiku jeradio u glavi, dok bi neumorno hodao unaokolo i stavljao na papir kad je sve bilosmisljeno. Prilican deo njegovog rada pokazuje znake prenagljenog pisanja, pa onsam kaze da nikada nije zavrsio rad, a da se ne osvrne na njegov oblik ili sadrzaj.

Poenkare je 1871. tj. sa sedamnaest godina, po francuskom obicaju, polozioispite za prve akademske stepene iz knjizevnosti i prirodnih nauka, nakon sto jegotovo pao iz matematike. Zakasnio je na ispitu, zbunio se i pao na neobicno jed-nostavnom dokazu formule koja resava zbir konvergentne geometrijske progresije.Zatim se prijavio za prijemne ispite u Sumarsku skolu gde je vrsnjake zapanjioosvajanjem prve nagrade a da se nije ni potrudio da pravi bilo kakve beleske napredavanjima. Na kraju godine Poenkare prelazi u Politehnicku skolu u kojoj je biopoznat po matematickom ostroumlju, po savrsenoj nesposobnosti na svim fizickimvezbama, ukljucujuci i vojne, kao i krajnjoj nemogucnosti da izradi nacrte koji bipodsecali na nesto sa neba ili zemlje. Ovo poslednje je bilo vise nego saljivo jer jenjegov broj bodova na prijemnom ispitu iz crtanja bio ni manje ni vise nego nula,sto ga je skoro udaljilo iz skole. Medutim njegov ostali rad je bio bez premca pa suga ispitivaci propustili. Ali njegova nesposobnost za crtanje se pokazala ozbiljnompreprekom kada je dosao do geometrije te je izgubio prvo mesto i skolu je zavrsiokao drugi po uspehu. Ali njemu ni to nije smetalo da postane jedan od eksperataza hiperbolicku geometriju otkrivsi disk model.

Nakon odlaska sa Politehnicke skole 1875. godine, u dvadeset prvoj godini zivota,Poenkare se upisao u Rudarsku skolu sa namerom da postane inzenjer. Pored togaostajalo mu je vremena da se bavi onim sto ga je istinski zanimalo a to je matematika,pa je tako naceo glavni problem u diferencijalnim jednacinama. Nakon tri godinepodnosi Fakultetu prirodnih nauka u Parizu disertaciju o istom predmetu. Njegovoprvo imenovanje za profesora matematicke analize bilo je 1. decembra 1879. godineu Kanu. Nakon dve godine bio je promovisan za Sveuciliste u Parizu, gde je 1886.godine ponovo promovisan preuzevsi na sebe kurs mehanike i eksperimantalne fizike.

13Arhimed (287 p.n.e.-212 p.n.e.), grcki matematicar, fizicar i astronom14Isak Njutn (1643-1727), engleski fizicar, matemticar, astronom, alhemicar i filozof


Poenkareov stvaralacki period pocinje disertacijom 1878. i zavrsava se njegovomsmrcu 1912. U tom relativno kratkom vremenskom periodu, u trajanju od tridesetcetiri godine, ”strpao” je mnostvo posla. Kao sto je napomenuto na pocetku , unjegovom popisu ima oko 500 radova iz ’nove’ matematike, medu kojima su raznerasprave, zatim knjige iz teoretske fizike, astronomije itd. Poenkareov prvi uspehbio je na polju diferencijalnih jednacina, na kome je primenio sva sredstva iz analizekojom je apsolutno vladao. Ispitivanje diferencijalnih jedncina dovelo je Poenkarea1880. godine do sjajnog otkrica, generalizacije eliptickih funkcija. Za eliptickufunkciju, recimo E(z) postoje dva razlicita periodicna broja, npr. p1 i p2, tako da jeE(z + p1) = E(z) i E(z + p2) = E(z).

Poenkareov najoriginalniji rad iz oblasti matematicke astronomije razraden jeukratko u njegovoj velikoj monografiji ”Nove metode nebeske mehanike”, koju smonapomenuli na pocetku. Poenkare je bio prvi koji je razbio krute okvire teorije, ukojima se cinilo da je ona zatvorena i zavrsena, i otvorio nove prozore u svet. On je ustudijama dinamike uneo nove pojmove: prvi, koji je ranije bio iznesen ali se nije pri-menjivao u mehanici, jeste pojam varijacijskih jednacina tj. linearnih diferencijalnihjednacina koje odreduju resenje problema koji je beskonacno blizu datog resenja,zatim drugi pojam je pojam o integralnim nepromenljivim velicinama. Ovim poj-movima je pridodao mnostvo osnovnih, narocito u vezi sa ”periodicnim” resenjimai ovim zapocinje sasvim nova grana u matematici: istrazivanje periodicnih putanja.Medutim, ono sto je obelezilo Poenkareov rad u matematici jeste njegovo intereso-vanje za hiperbolicku geometriju, gde razvija jedan model hiperbolicke planimetrijepoznat kao disk model, koji po njemu nosi naziv Poenkareov disk model. Kasnije,dolazi i do otkica poluravanskog modela hiperbolicke planimetrije.

Na kraju, reci cemo nesto o samom zavrsetku Poenkareovog zivota. Posled-nje cetiri godine patio je od mucne bolesti, dok mu je poslovni zivot bio miran isrecan. Pljustala su brojna odlikovanja od kojih je naprestiznije bilo 1906.godine,u njegovoj pedeset drugoj godini, kada je dobio polozaj predsednika Akademijenauka. pored matematike, jedna od njegovih strasti bila je i simfonijska muzika. NaMedunarodnommatematickom kongresu 1908. godine, odrzanom u Rimu, Poenkareaje sprecila bolest da cita svoj nadobudni govor koji je trebao da glasi: Buducnostmatematicke fizike. Bolovao je od hipertrofije prostate, koje ga je oslobodio itali-janski doktor, pa se mislilo da je trajno izlecen. Po povratku u Pariz latio se poslakao i obicno ali ga je 1911. godine poceo muciti osecaj da nece dugo ziveti, pa je 9.decembra pisao izdavacu matematickog casopisa moleci ga da prihvati nedovrsenuraspravu. U prolece 1912. godine Poenkare se ponovo razboleo i 9. juna podvrgaodrugoj operaciji, koja je uspela. Medutim, 17. juna iste godine iznenadno umire odembolije.

Bio je u pedeset devetoj godini zivota i na vrhuncu svoje intelektualne sposob-nosti - ”ziv mozak racionalnih znanosti”, rekao je, za Poenkarea, Painlevea15.

15Paul Painleve (1863-1933), francuski matematicar i politicar

1.2. ZIVOT I RAD HENRIJA POENKAREA 11

Glava 2

Hilbertov sistem aksioma

2.1 Pet grupa aksioma i njihove posledice

Nastavljajuci rad svojih prethodnika, tek je nemacki matematicar Hilbert za-snovao geometriju na potpunom, neprotivrecnom i nezavisnom sistemu aksioma usvom delu ”Osnove geometrije” iz 1899. godine. Za razliku od Euklida, Hilbertne pokusava da opise osnovne geometrijske pojmove: tacke, prave, ravni, vec ihposredno odreduje preko aksioma. Hilbertova aksiomatika se odnosi na geometri-jske objekte koji mogu imati raznovrsna znacenja, te je ona formalnog karaktera.Hilbert u ”Osnovama geometrije” uvodi dvadeset aksioma razvrstanih u pet grupa.Danas se koristi sledeci modifikovan Hilbertov sistem:

1. AKSIOME INCIDENCIJE (9 aksioma)

1.1. Svaka prava sadrzi najmanje dve tacke A i B.

1.2. Postoji najmanje jedna prava koja sadrzi dve tacke A i B.

1.3. Postoji najvise jedna prava koja sadrzi dve razne tacke A i B.

1.4. Svaka ravan sadrzi najmanje tri nekolinearne tacke A, B i C.

1.5. Postoji najmanje jedna ravan koja sadrzi tri nekolinearne tacke A, B i C.

1.6. Postoji najvise jedna ravan koja sadrzi tri nekolinearne tacke A, B i C.

1.7. Ako dve razne tacke A i B neke prave p pripadaju nekoj ravni π, tada svetacke prave p pripadaju ravni π.

1.8. Ako dve ravni α i β imaju jednu zajednicku tacku A, onda one imajunajmanje jos jednu zajednicku tacku B.

1.9. Postoje cetiri nekomplanarne tacke A, B, C i D.

13

14 GLAVA 2. HILBERTOV SISTEM AKSIOMA

2. AKSIOME PORETKA (4 aksioma)

2.1. Ako su A, B i C tri kolinearne tacke takve da je B(A, B, C), gde je Brelacija ”izmedu”, tada su tacke A, B i C medusobno razlicite.

2.2. Ako su A i B proizvoljne tacke, postoji najmanje jedna tacka C takva daje B izmedu A i C tj. B(A, B, C).

2.3. Ako su A, B i C tri tacke jedne prave, najvise jedna se nalazi izmeduostale dve.

2.4. Ako su A, B i C tri kolinearne tacke ravni π i prava l pripada ravni π, nesadrzi tacku A i sece pravu BC u tacki P takvoj da je B(B, P, C), tada praval sece pravu AC u tacki Q koja je izmedu tacaka A i C ili pravu AB u tacki Rkoja je izmedu tacaka A i B.

3. AKSIOME PODUDARNOSTI (5 aksioma)

3.1. Ako su A i B dve tacke prave a i ako je A′tacka te iste ili neke druge

prave a′, onda se uvek na pravoj a

′sa date strane tacke A

′moze naci tacka B

′,

takva da je duz AB podudarna duzi A′B

′, sto se oznacava (A,B) ∼= (A

′, B

′).

3.2. Ako su duzi A′B

′i A

′′B

′′podudarne jednoj istoj duzi AB, onda je i

(A′, B

′) ∼= (A

′′, B

′′).

3.3. Neka su AB i BC dve duzi prave a, koje nemaju zajednickih tacaka i nekasu, dalje, A

′B

′i B

′C

′dve duzi te iste ili neke druge prave a

′, koje takode

nemaju zajednickih tacaka. Ako je tada AB ∼= A′B

′i BC ∼= B

′C

′, onda je i

AC ∼= A′C

′.

3.4. Neka je dat ugao ]hk u ravni α, prava a′te iste ili neke druge ravni α

′

i neka je, u odnosu na pravu a′zadana poluravan ravni α

′. Neka je, dalje, h

′

poluprava prave a′sa pocetnom tackom O

′. Tada u ravni α

′, kroz tacku O

′, u

datoj poluravni s obzirom na pravu a′, prolazi samo jedna poluprava k

′takva

da je ]hk podudaran uglu ]h′k

′.

Svaki ugao je sam sebi podudaran.

3.5. Neka su A, B i C tri tacke koje ne pripadaju istoj pravoj i neka su A′, B

′i

C′takode tri tacke koje ne pripadaju istoj pravoj. Ako je pri tome AB ∼= A

′B

′,

AC ∼= A′C

′, ]BAC ∼= ]B′

A′C

′, onda je i ]ABC ∼= ]A′

B′C

′.

2.1. PET GRUPA AKSIOMA I NJIHOVE POSLEDICE 15

4. AKSIOME NEPREKIDNOSTI (1 aksioma)

4.1. (Dedekindova1 aksioma neprekidnosti) Ako su M i N dva nepraznaskupa tacaka orijentisane prave p tako da za proizvoljnu tacku P skupa M iproizvoljnu tacku Q skupa N vazi da je tacka P ispred tacke Q (P ≺ Q), tadana pravoj p postoji tacka X takva da je za svaku tacku P ∈ M \X i Q ∈ N\X vazi relacija P ≺ X ≺ Q.

5. AKSIOME PARALELNOSTI (1 aksioma)

5.1. (Plejferova2 aksioma paralelnosti) Ako je p proizvoljna prava i Atacka van nje, tada u ravni π(p,A) postoji najvise jedna prava a, koja sadrzitacku A i nema zajednickih tacaka sa pravom p.

Prva grupa aksioma zasnovana je na relacijama pripada i sadrzi se (∈,⊂) kojejednim imenom nazivamo relacijama incidencije (veze). Prve cetiri aksiome odnosese na geometriju ravni (planimetrijske aksiome incidencije), a ostalih pet aksiomaodnosi se na geometriju prostora (stereometrijske aksiome incidencije). Napomenimoneke od posledica aksioma incidencije:

Teorema 2.1.1 Postoje tri nekolinearne tacke.

Teorema 2.1.2 Dve razne prave mogu imati najvise jednu zajednicku tacku.

Teorema 2.1.3 Postoji jedna i samo jedna prava p koja sadrzi dve razne tacke A iB.

Teorema 2.1.4 Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrzi tri nekolinearne tackeA,B i C.

Teorema 2.1.5 Dve ravni ili nemaju zajednickih tacaka ili nemaju zajednicku pravu,kojoj pripadaju sve zajednicke tacke te dve ravni.

Teorema 2.1.6 Ravan i prava koja ne pripada toj ravni mogu imati samo jednuzajednicku tacku.

Aksiome poretka opisuju relaciju izmedu. Prvih pet aksioma odnose se na geo-metriju prave (linearne aksiome). Aksioma 2.4. naziva se Pasova3 aksioma i odnosise na geometriju ravni. Bez Pasove aksiome ne bismo mogli da izgradimo geometrijuporetka na pravoj, vec bismo linernim morali da dodamo nove aksiome. Neke od njihsu posledica Pasove aksiome. Nadalje navodimo neke od posledica Pasove aksiomei aksioma poretka:

1Julius Wilhem Richard Dedekind (1831-1916), nemacki matemticar2John Playfair (1748-1819), skotski matematicar3Moritz Pasch (1843-1930), nemacki matematicar


Teorema 2.1.7 Ako su A,B i C tri razlicite kolinearne tacke tada vazi samo jednaod relacija: B(A,B,C), B(A,C,B) ili B(C,A,B).

Teorema 2.1.8 Ako su A i B dve razne tacke, tada na pravoj AB postoji tacka Ctakva da je B(A,C,B).

Teorema 2.1.9 Ako su A,B,C i D cetiri kolinearne tacke takve da je B(A,B,C) iB(B,C,D), tada je B(A,C,D) i B(A,B,D).

Teorema 2.1.10 Ako su A,B,C i D cetiri kolinearne tacke takve da je B(A, B,C) i B(A, C, D), tada je B(B, C, D) i B(A, B, D).

Teorema 2.1.11 Izmedu ma kojih dveju tacaka prave postoji beskonacno mnogodrugih tacaka koje pripadaju toj pravoj.

Teorema 2.1.12 Prava koja prolazi kroz teme A trougla ABC i sadrzi neku un-utrasnju tacku tog trougla sece njegovu stranicu BC.

I jos mnogo drugih teorema.Na osnovu aksioma podudarnosti i prve dve grupe aksioma mogu se dokazati

mnogobrojne teoreme kao sto su:

Teorema 2.1.13 U jednakokrakom trouglu uglovi naspram podudarnih stranica supodudarni.

Teorema 2.1.14 Zbir dva unutrasnja ugla trougla manji je od zbira dva prava ugla.

Teorema 2.1.15 Spoljasnji ugao trougla veci je od unutrasnjeg nesusednog ugla togtrougla.

Moze se dokazati da vaze:- Nejednacine koje vezuju stranice i uglove trougla.- Svih pet stavova o podudarnosti trougla.- Sve teoreme o podudarnosti triedara.Takode se moze definisati prav ugao i definisati normala prave.

Pomocu prve tri grupe aksioma se na poznati nacin definise kruznica idokazuje niz teorema od kojih cemo pomenuti:

Teorema 2.1.16 Prava i kruznica, kao i dve kruznice ne mogu imati vise od dvezajednicke tacke.

Dalje, mozemo uporedivati duzi i uglove, definisati sabiranje uglova i sabiranjeduzi. Moze se, takode, definisati i transformacija podudarnosti.

Na osnovu aksioma neprekidnosti moze se zasnovati merenje duzi i uglova a moguse dokazati i vazne teoreme:

Teorema 2.1.17 Ako prava prolazi kroz tacku u unutrasnjosti kruznice , ona secetu kruznicu u dvema tackama.

2.1. PET GRUPA AKSIOMA I NJIHOVE POSLEDICE 17

Teorema 2.1.18 Ako kruznica prolazi kroz tacku u unutrasnjosti kruznice i tackuu spoljasnjosti te kruznice, onda se te dve kruznice seku u dvema tackama.

Teorema 2.1.19 Zbir unutrasnjih uglova trougla ne moze biti veci od zbira dvaprava ugla.

Prve cetiri grupe aksioma dopustaju zasnivanje analiticke geometrije. Apsolutnageometrija je zasnovana na ove cetiri grupe aksioma.


2.2 Aksioma paralelnosti i neki njeni ekvivalenti

U ovom delu cemo dati aksiomu paralelnosti i odgovarajuce teoreme koje je moguzameniti.

Definicija 2.2.1 Dve prave su paralelne ako nemaju zajednickih tacaka.

Egzistenciju paralelnih pravih mozemo lako dokazati pomocu prve tri grupeaksioma.

Slika 2.2.1.

Uocimo pravu AB (Slika 2.2.1) i tacku P na njoj, i neka su P′i P

′′dve tacke

prave p, takve da je P′izmedu P i P

′′. Na osnovu aksioma podudarnosti uvek

postoji prava A′B

′koja prolazi kroz P

′, tako da je

]P ′′P

′B

′ ∼= ]P ′PB.

U tom slucaju ne postoji tacka S, zajednicka tacka za prave AB i A′B

′, jer bi

u trouglu SPP ′jedan spoljasnji ugao bio podudaran unutrasnjem nesusednom

uglu, sto je nemoguce. Na osnovu ovoga zakljucujemo sledece:

Teorema 2.2.1 Kroz svaku tacku koja ne pripada datoj pravoj prolazi prava kojajoj je paralelna.

Dakle, egzistencija paralelnih pravih je posledica prve tri grupe aksioma.Plejferova aksioma paralelnosti se po formulaciji razlikuje od Euklidovog petog

postulata i predstavlja njegov ekvivalent. Kako ovaj iskaz poseduje jednostavnijuformulaciju, Plejfer 1797. godine uzima ovaj stav za aksiomu a peti postulat zateoremu.

Teorema 2.2.2 (Plejferova aksioma paralelnosti) Ako je p prava i A tackavan nje tada u ravni π(p,A) postoji jedinstvena prava a koja sadrzi tacku A i nemazajednickih tacaka sa pravom p.

Teorema 2.2.3 (Peti Euklidov postulat) Ako dve prave, pri preseku sa trecom, obrazuju suprotne uglove, ciji je zbir razlicit od zbira dva prava ugla, onda se oneseku i to sa one strane secice sa koje je taj zbir manji od zbira dva prava ugla.

2.2. AKSIOMA PARALELNOSTI I NEKI NJENI EKVIVALENTI 19

Aksioma paralelnosti ima, osim petog postulata, i mnoge druge ekvivalente.Medutim, ono sto je od velikog znacaja u ovom radu jeste to da je Lobacevski sistemuaksioma apsolutne geometrije pridruzio novu aksiomu umesto petog postulata i takodosao do novog sistema geometrije, o cemu je vec bilo reci u prvoj glavi. Aksiomakoju je pridodao nosi njegovo ime i mi cemo je ovde navesti:

Teorema 2.2.4 (Aksioma Lobacevskog) Za svaku pravu a i svaku tacku A vannje, u njima odredenoj ravni, postoje dve razlicite prave a1 i a2 koje sadrze tacku Ai sa pravom a nemaju zajednickih tacaka.

Ravan i prostor u kojima vaze ove aksiome se nazivaju redom hiperbolickaravan ili ravan Lobacevskog i hiperbolicni prostor ili prostor Lobacevskogi obelezavaju se sa L2 i L3.

Glava 3

Potencija tacke u odnosu na krug isferu

3.1 Potencija tacke u odnosu na krug

Transformacije slicnosti prostora En omogucuju u geometriji likova tog prostorarazotkrivanje raznih metrickih svojstva tih likova. Od posebnog su interesa svojstvavezana za krug i sferu. Pre uvodenja definicije potencije tacke u odnosu na krug isferu, neophodno je najpre dokazati sledecu teoremu.

Teorema 3.1.1 Ako su u ravni zadati krug k i tacka P , tada za svaku pravu s koja

sece krug k u tackama X i Y i prolazi kroz tacku P vazi−−→PX ·

−→PY =const. Ako je

tacka P van kruga k i T dodirna tacka jedne od tangenata iz tacke P van kruga k,

tada je−−→PX ·

−→PY =

−→PT 2.

Slika 3.1.1.

Dokaz. Neka je tacka P van kruga k i neka su s i s′dve razne prave kroz tacku P

(Slika 3.1.1) i seku krug k, prva u tackama X i Y a druga u tackama X′i Y

′. Tada

21

22 GLAVA 3. POTENCIJA TACKE U ODNOSU NA KRUG I SFERU

je PXY ′ ∼ PX ′Y , prema drugom stavu o slicnosti trouglova1, pa je

PX : PY′= PX

′: PY,

a odavde je−−→PX ·

−→PY =

−−→PX

′ ·−−→PY

′. Slucajevi, kada je tacka P na krugu k je trivijalan

a kada je tacka P unutar kruga k razmatra se analogno prvom slucaju. Specijalno,u slucaju kada je tacka P izvan kruga k i T dodirna tacka jedne od tangenata iztacke P na krug k, imamo da je PXT ∼ PTY , odakle je PX : PT = PT : PY ,

tj.−−→PX ·

−→PY =

−→PT 2.

U nastavku dacemo definiciju i neke vazne osobine potencije u odnosu na krug.

Definicija 3.1.1 Konstantan proizvod−−→PX ·−→PY uveden prethodnom teoremom nazi-

vamo potencija tacke P u odnosu na krug k, i oznacavamo sa p(P, k).

Iz definicije neposredno sledi da je potencija p(P, k) manja od nule ako je OP < r,jednaka nuli ako je OP = r i veca od nule ako je OP > r.

Oznacimo sa OP = d a sa A i B presecne tacke prave PO i kruga k. Tada jep(P, k)=d2 − r2. Navescemo lemu koja ce nam koristiti nadalje za dokaz tvrdenja.

Lema 3.1.1 Ako su A i B dve tacke neke ravni i d duz, tada skup tacaka X te ravnitakvih da je AX2 −BX2 = d2 predstavlja pravu upravnu na pravoj AB.

Teorema 3.1.2 Skup svih tacaka ravni E2 kojima su potencije u odnosu na dvaekscentricna kruga k1(O1, r1) i k2(O2, r2) medusobom jednake predstavlja jednu pravuupravnu na pravoj O1O2.

Slika 3.1.2.

1Dva trougla prostora En, (n = 2, 3), su slicna ako su dva ugla jednog trougla podudarnaodgovrajucim uglovima drugog trougla.

3.1. POTENCIJA TACKE U ODNOSU NA KRUG 23

Dokaz. Neka je P tacka u ravni krugova k1 i k2 (Slika 3.1.2) takva da je p(P, k1)= p(P, k2). Tada je O1P

2− r21 = O2P2− r22, tj. O1P

2−O2P2 = r21 − r22 = const. Na

osnovu prethodne leme sledi da tacka P pripada pravoj p koja je upravna na pravuO1O2 u tacki Q za koju O1Q

2 −O2Q2 = r21 − r22.

Definicija 3.1.2 Skup svih tacaka ravni cije su potencije jednake u odnosu na dvaekscentricna kruga k1 i k2 nazivamo potencijalnom ili radikalnom osom tihkrugova.

Neka su dati krugovi k1 i k2. Konstruisimo potencijalnu osu tih krugova. Mogunastupiti tri slucaja:

(i) Krugovi k1 i k2 se seku u tackama A i B. U tom slucaju svaka od tacakaA i B ima potenciju nula. U ovom slucaju potencijalna osa je prava AB.

(ii) Krugovi k1 i k2 se dodiruju. Tada je potencijalna osa njihova zajednickatangenta.

(iii) Krugovi k1 i k2 nemaju zajednickih tacaka. Konstrukciju potencijalne osevrsimo uz pomoc dokazane leme. Drugi nacin je konstrukcija pomocnog krugakoji sece krugove k1 i k2 redom u tackama A1, B1 i A2, B2. Presecna tacka Ppravih A1B1 i A2B2 pripada potencijalnoj osi pomenutih krugova.

Pomenimo jos neke pojmove vezane za potenciju tacke u odnosu na krug.

Definicija 3.1.3 Skup svih krugova neke ravni od kojih svaka dva imaju za poten-cijalnu osu istu pravu p , naziva se pramen krugova ili sistem koaksijalnihkrugova, a prava p potencijalna osa tog pramena.

Teorema 3.1.3 Potencijalne ose triju krugova pripadaju istom pramenu pravih.

Dokaz. Neka su krugovi k1, k2 i k3 takvi da ne pripadaju istom pramenu i nikojadva nisu koncentricna. Tada posmatrajuci ih par po par odredujemo tri potencijalneose . Tacka koja ima istu potenciju u odnosu na sva tri kruga pripada svakoj od tripomenute potencijalne ose.

Obratno, tacka preseka bilo koje dve od tri potencijalne ose ima istu potencijuu odnosu na sva tri kruga pa mora pripadati i trecoj potencijalnoj osi. Ako su dveod tih potencijalnih osa paralelne onda je i treca osa njima paralelna.

Definicija 3.1.4 Tacku O u kojoj se seku potencijalne ose triju krugova nazivamopotencijalnim ili radikalnim sredistem tih krugova.

Teorema 3.1.4 Vaze sledeca tvrdenja:

(i) Ako se u jednom pramenu krugova dva kruga seku u tackama A i B ondase svaka dva kruga tog pramena seku u tackama A i B.


(ii) Ako se u nekom pramenu krugova dva kruga dodiruju u tacki C, onda sesvaka dva kruga tog pramena dodiruju u tacki C.

(iii) Ako dva kruga nekog pramena krugova nemaju zajednickih tacaka, ondanikoja dva kruga tog pramena nemaju zajednickih tacaka.

Navedene osobine omogucuju da u geometriji ravni E2 razlikujemo tri pramenakrugova.

Definicija 3.1.5 Pramen krugova u ravni E2 je elipticki ako se krugovi tog pra-mena seku u dvema razlicitim tackama, parabolicki ako se dodiruju i hiperbolickiako nemaju zajednickih tacaka.

Teorema 3.1.5 Za svaka dva kruga postoji tacno jedan pramen krugova kome onipripadaju.

Slika 3.1.3.

Dokaz. U slucaju kada se krugovi seku ili se dodiruju dokaz je trivijalan. Nekakrugovi k1(O1, r1) i k2(O2, r2) (Slika 3.1.3) nemaju zajednickih tacaka. Oznacimosa l njihovu potencijalnu osu, a sa Q presecnu tacku prave l sa pravom d = O1O2.

Neka su A i A′preseci kruga k2 sa pravom d. Tada je zadovoljen uslov

−−→QA

′ ·−→QA =−−→

QM′ ·−−→QM , kojim je i odreden krug pramena. Ako se tacke M i M

′poklapaju onda

je krug k3 degenerisan u tacku.Ako su krugovi k1 i k2 koncentricni, onda se dogovorno hiperbolicki pramen, odredentim krugovima, sastoji od svih krugova koji su koncentricni sa datim krugovima. Utom slucaju potencijalnu osu predstavlja beskonacno daleka prava ravni posmatranihkrugova.

Teorema 3.1.6 Skup krugova ortogonalnih na sve krugove datog pramena pred-stavlja opet pramen krugova. U tom slucaju potencijalna osa prvog pramena sadrzisredista krugova drugog pramena.

3.1. POTENCIJA TACKE U ODNOSU NA KRUG 25

Slika 3.1.4.

Dokaz. Neka je prvi pramen zadat krugovima k1(O1, r1) i k2(O2, r2). Neka je lpotencijalna osa krugova k1 i k2 a O

′1 i O

′2 tacke prave l koje su izvan krugova k1 i k2

(Slika 3.1.4). Te dve tacke imaju istu potenciju u odnosu na krugove k1 i k2 pa prematome predstavljaju sredista krugova koji ortogonalno seku date krugove. Kako jeortogonalnost uzajamna, to tacka O1 ima istu potenciju r21 u odnosu na krugove sacentrima O

′1 i O

′2. Zaista, to sledi iz cinjenice da je poluprecnik r1 istovremeno i

odsecak tangente iz tacke O1 na krugove sa centrima u tackama O′1 i O

′2. Analogno,

tacka O2 ima istu potenciju r22 u odnosu na navedene krugove. Odavde sledi daje prava O1O2 potencijalna osa pramena odredenog krugovima sa centrima redomu tackama O

′1 i O

′2. Oznacimo sa Q presecnu tacku pravih O1O2 i O

′1O

′2. Prema

Pitagorinoj teoremi sledi

O1O′2

1 = QO21 +QO

′2

1 = r21 + r′2

1 ,

tj.

QO21 − r21 = −(QO

′2

1 − r′2

1 ).

Odavde sledi da ako je potencija tacke Q u odnosu na jedan pramen pozitivna,onda je ona negativna u odnosu na drugi pramen. To znaci da se tacka Q nalaziunutar krugova jednog, a van krugova drugog pramena. Drugim recima, ako je jedanpramen elipticki, onaj drugi je hiperbolicki i obrnuto. Ocigledno je da ako je prvipramen parabolicki, onda je isti takav i onaj drugi.

Definicija 3.1.6 Pramenovi krugova iz prethodne teoreme nazivaju se ortogonal-nim.

Definicija 3.1.7 Skup krugova ravni E2 od kojih svaka tri imaju isti radikalni cen-tar nazivamo snop krugova. Potencija radikalnog centra u odnosu na sve krugovesnopa naziva se potencija snopa. Ako je potencija snopa negativna onda taj snopzovemo eliptickim, ako je nula onda snop zovemo parabolickim i ako je potencijasnopa pozitivna onda snop zovemo hiperbolickim.


Navodimo jos dve teoreme, ali bez dokaza:


(i) Radikalno srediste eliptickog snopa nalazi se unutar svih krugova snopa.

(ii) Svi krugovi parabolickog snopa prolaze kroz radikalno srediste.

(iii) Radikalno srediste hiperbolickog snopa nalazi se van svih krugova snopa.


(i) Postoji jedan i samo jedan krug koji krugovi nekog eliptickog snopa seku udijametralno suprotnim tackama.

(ii) Postoji jedan i samo jedan krug koji je ortogonalan na sve krugove nekoghiperbolickog snopa.

3.2 Potencija tacke u odnosu na sferu

Sve sto je receno o krugovima u ravni E2 moze se preneti i na sferu u prostoruE3. Neka je u prostoru data sfera S(O, r) i prava s koja prolazi kroz tacku M iprodire sferu u tackama A i B.

Potencijom tacke M u odnosu na sferu S nazivamo konstantan proizvod−−→MA ·

−−→MB.

Ako sferu presecemo proizvoljnom ravni α koja sadrzi tacku M , onda nije teskozakljuciti da je potencija tackeM u odnosu na presecni krug ravni α i sfere S jednakapotenciji tacke M u odnosu na sferu S. Za tacke van sfere potencija je pozitivna,za tacke na sferi je jednaka nuli a za tacke unutar sfere potencija je negativna.Kao i u slucaju potencije u odnosu na krug, potencija tacke M u odnosu na sferuS(O, r) jednaka je p2 =MO2 − r2. Ako je tacka M van sfere S(O, r), onda je sferasa sredistem u tacki M i poluprecnikom p ortogonalna na sferu S.

Na primer, neka su u ravni dati ortogonalni krugovi k(O, r) i l(M, p) i neka je Tjedna od njihovih zajednickih tacaka. Rotacijom te figure oko prave OM krugovi k il opisuju sfere redom sa sredistima u tackama O iM . Ravni koje prolaze redom krozprave OT i TM a ortogonalne su na ravan odredenu tackama O,T iM , predstavljajutangentne ravni pomenutih sfera. Kako je ugao izmedu tih dveju ravni upravo ugao]OTM , to su pomenute ravni ortogonalne , tj. ortogonalne su odgovarajuce sfere.

Vazi sledeca teorema koju navodimo bez dokaza.

Teorema 3.2.1 Skup svih tacaka prostora koje imaju iste potencije u odnosu nadve zadate sfere S1(O1, r1) i S2(O2, r2) jeste ravan ortogonalna na pravu O1O2.

Definicija 3.2.1 Skup svih tacaka prostora cije su potencije jednake u odnosu nadve zadate sfere naziva se radikalna ili potencijalna ravan.

3.2. POTENCIJA TACKE U ODNOSU NA SFERU 27

Teorema 3.2.2 Ako su centri triju sfera tri nekolinearne tacke, onda se tri radikalneravni datih sfera seku po jednoj pravoj.

Dokaz. Kako su sredista triju datih sfera tri nekolinearne tacke, to nikoje dveradikalne ravni pomenutih sfera nisu paralelne. Neka se dve od pomenutih trijuravni seku po pravoj l. Sve tacke prave l imaju jednake potencije u odnosu na svetri date sfere, odakle sledi da i treca radikalna ravan sadrzi pravu l.

Definicija 3.2.2 Skup tacaka prostora E3 koje imaju jednake potencije u odnosuna tri date sfere naziva se radikalna osa tih sfera.

Teorema 3.2.3 Ako centri cetiri razlicite sfere ne pripadaju istoj ravni, tada sestradikalnih ravni tih sfera imaju jednu zajednicku tacku.

Dokaz. Neka su O1, O2, O3 i O4 centri pomenutih sfera. Radikalne ose sfera sacentrima O1, O2, O3 i O1, O3 i O4 pripadaju jednoj te istoj ravni i to radikalnojravni sfera sa centrima O1 i O2. Presek S tih radikalnih osa ima jednake potencije uodnosu na sve cetiri sfere. Odatle sledi da tacku S sadrze i preostale radikalne ose,a takode i sve radikalne ravni tih sfera.

Definicija 3.2.3 Presecnu tacku svih radikalnih osa cetiri sfere ciji centri ne pri-padaju istoj ravni nazivamo radikalnim centrom tih krugova.

Definicija 3.2.4 Skup sfera od kojih svake dve imaju istu radikalnu ravan nazi-vamo pramenom sfera. Ako radikalna ravan sece sve sfere pramena onda takavpramen nazivamo eliptickim, ako ih dodiruje parabolickim a ako nema sa njimazajednickih tacaka hiperbolickim pramenom sfera.

Sve vrste pomenutih pramenova mozemo dobiti rotacijom odgovarajucih pra-menova krugova oko prave odredene sredistima tih krugova. U tom slucaju krugovipramena opisuju sfere a njihova radikalna osa radikalnu ravan sfera.

Definicija 3.2.5 Skup svih sfera od kojih svake tri imaju istu radikalnu osu nazi-vamo snopom sfera. U zavisnosti od toga da li osa sece, dodiruje ili nema za-jednickih tacaka sa svakom od pomenutih sfera snop je redom elipticki, parabolickiili hiperbolicki.

Predstavu o snopu sfera lako dobijamo posmatranjem odgovarajuceg snopa kru-gova gde svaki krug mozemo zamisliti kao dijametralni presek sfere, a radikalnu osukao normalu na ravan crteza u centru snopa krugova.

Definicija 3.2.6 Skup sfera od kojih svake cetiri imaju isto radikalno srediste nazivase mreza sfera. Zajednicku potenciju radikalnog centra sfera nazivamo centrommreze. Mreza je elipticka ako centar pripada unutrasnjosti svih sfera mreze, parabolickaako sve sfere mreze sadrze radikalni centar a hiperbolicka ako je radikalni centar vansvih sfera mreze.

Glava 4

Uvod u hiperbolicku geometriju

4.1 Ravan Lobacevskog

Kao sto smo u prvoj glavi pomenuli, Lobacevski je sistemu aksioma apsolutnegeometrije pridruzio novu aksiomu umesto petog postulata i dosao do novog sistemageometrije. Sva tvrdenja koja vaze u apsolutnoj geometriji prenose se i vaze u hiper-bolickoj geometriji, a dobija se i niz tvrdenja koja su posledica aksiome Lobacevskog.Ovde cemo navesti neke osnovne osobine i tvrdenja koja vaze u hiperbolickoj ge-ometriji.

Teorema 4.1.1 Zbir unutrasnjh uglova trougla u ravni L2 je manji od zbira dvaprava ugla.

Posledica 4.1.1 Svaki spoljasnji ugao trougla u ravni L2 je veci od zbira dva un-utrasnja nesusedna ugla tog trougla.

Teorema 4.1.2 Zbir unutrasnjih uglova prostog n-tougla manji je od (n− 2) · 1800.

Teorema 4.1.3 Ne prolazi kroz svaku unutrasnju tacku ostrog ugla prava koja seceoba kraka tog ugla.

Teorema 4.1.4 Neka u hiperbolickoj ravni prave a i b seku pravu p, tako da jeprava a normalna na p, a prava b nije. Prave a i b se ne seku uvek.

Teorema 4.1.5 Ne moze se oko svakog trougla opisati kruznica.

Teorema 4.1.6 U hiperbolickoj ravni ne postoje tri kolinearne tacke koje su pod-jednako udaljene od date prave.

Teorema 4.1.7 Ako u hiperbolickoj ravni dve prave pri preseku sa trecom obrazujusuprotne uglove ciji je zbir manji od zbira dva prava ugla, one se ne seku uvek.

29

30 GLAVA 4. UVOD U HIPERBOLICKU GEOMETRIJU

Teorema 4.1.8 Ako su u hiperbolickoj ravni date prava a i tacka A (Slika 4.1.1)van nje, tada u ravni L2 postoji neograniceno mnogo pravih koje sadrze tacku A ine seku pravu a.

Slika 4.1.1.

U hiperbolickoj ravni zbir unutrasnjih uglova trougla nije konstantan. Posmatra-jmo trougao ABC (Slika 4.1.2) i na njegovim stranicama AB i AC, respektivnotacke B1 i C1.

Kad bi zbir uglova trougla bio konstantan, onda bi to bio slucaj i sa trouglomABC i AB1C1,

]AC1B1 + ]AB1C1 = ]ACB + ]ABC

Slika 4.1.2.

Dobijamo da je zbir uglova cetvorougla CBB1C1 jednak zbiru cetiri prava ugla, stoprotivureci aksiomi Lobacevskog.

Definicija 4.1.1 Razlika izmedu zbira dva prava ugla i zbira uglova trougla:

δ = 2R− (]ABC + ]BAC + ]ACB)

naziva se uglovni defekt trougla.

4.1. RAVAN LOBACEVSKOG 31

Definicija 4.1.2 Neka su u hiperbolickoj ravni date prava a i tacka A van nje (Slika4.1.1). Granicne prave a1 i a2 koje razdvajaju prave pramena χA sadrzane u ravniL2, na podskupove pravih koje ne seku pravu a i pravih koje seku pravu a, nazivamopravama koje su u tacki A paralelne sa pravom a.

Jednu od tih pravih smatracemo paralelnom pravoj a u jednom smeru, a druguparalelnom pravoj a u drugom smeru. Sve ostale prave u toj ravni koje sadrzetacku A i koje sa pravom a nemaju zajednickih tacaka nazivamo hiperparalelnim sapravom a. Za paralelnost koristimo uobicajenu oznaku p ∥ a, a za hiperparalelnostkoristimo oznaku p ∥

h

a.


4.2 Paralelne i hiperparalelne prave u ravni L2

U prethodnom delu smo uveli definicije paralelnosti i hiperparalelnosti u ravni L2.U nastavku cemo opisati jos neka svojstva ovih pojmova. Za paralelne prave u ravniL2 vaze sledece teoreme:

Teorema 4.2.1 Relacija paralelnosti pravih u ravni L2 je transmisibilna (prenosna).

Teorema 4.2.2 Relacija paralelnosti pravih definisanih na skupu pravih ravni L2

je relacija ekvivalencije.

Definicija 4.2.1 Skup svih pravih ravni L2 paralelnih medu sobom nazivamo paraboli-ckim pramenom pravih.

Teorema 4.2.3 Odstojanje tacke, koja se pomera po jednoj od dveju raznih medusobnoparalelnih pravih, od druge prave strogo i neograniceno opada kada se tacka pomerau smeru paralelnosti, a strogo i neograniceno raste kada se tacka pomera u smerusuprotnom od smera paralelnosti (Slika 4.2.1).

Slika 4.2.1.

Zato kazemo da se paralelne prave u smeru paralelnosti asimtotski priblizavaju, tj.da u smeru paralelnosti imaju beskrajno daleku tacku O∞, beskrajno daleka tackase zove i infinitna tacka. Kako za svaku tacku van prave postoje dve prave kojesu sa njom paralelne, jedna u jednom a druga u drugom smeru, hiperbolicka pravaima dve beskrajno daleke tacke.

Osobine hiperparalelnih pravih date su sledecim teoremama:

Teorema 4.2.4 Relacija hiperparalelnosti pravih definisana na skupu pravih u L2

je transmisibilna, tj. ako je AA′ hiperparalelna sa BB′ u nekoj tacki M tada je AA′

hiperparalelna sa BB′ u svakoj drugoj svojoj tacki N .

Teorema 4.2.5 Relacija hiperparalelnosti pravih definisana na skupu pravih u L2

je antirefleksivna, simetricna i netranzitivna.

4.2. PARALELNE I HIPERPARALELNE PRAVE U RAVNI L2 33

Teorema 4.2.6 Dve hiperparalelne prave u L2 imaju jedinstvenu zajednicku normalu.

Slika 4.2.2.

Teorema 4.2.7 Dve prave koje u preseku sa trecom grade suplementne suprotneuglove su hiperparalelne.

Teorema 4.2.8 Odstojanje tacke koja se pomera po jednoj od dveju medusobnohiperparalelnih pravih od druge prave strogo i neograniceno raste kad se ta tackaudaljava od od zajednicke normale tih hiperparalelnih pravih.


4.3 Ugao paralelnosti. Funkcija Lobacevskog

U ovom delu cemo definisati funkciju koja je povezana sa paralelnoscu dve prave uravni L2.

Definicija 4.3.1 Neka je tacka P izvan prave BB′ i Q podnozje normale iz P (Slika4.3.1)na pravu BB′. Ako je AA′ prava koja sadrzi tacku P i paralelna je sa BB′,tada ostar ugao ]QPA′ nazivamo uglom paralelnosti prave AA′ u tacki P sapravom BB′, tj. ugao koji odgovara duzi PQ. Duz PQ je duz paralelnosti.

Slika 4.3.1.

Ugao paralelnosti ]QPA′ oznacavamo sa Π(PQ), gde je Π funkcija Lobacevskog.Za duzi paralelnosti vaze sledece teoreme:

Teorema 4.3.1 Jednakim duzima odgovaraju jednaki uglovi paralelnosti.

Teorema 4.3.2 Vecoj duzi odgovara manji ugao paralelnosti.

Teorema 4.3.3 Ako je Π funkcija Lobacevskog, tada je:1. dom(Π)=(0,+∞);2. codom(Π)=(0,π

2);

3. Π strogo opada i neprekidna je funkcija;4.lim

x→0Π(x) = π

2, limx→∞

Π(x) = 0.

Slika 4.3.2.

4.3. UGAO PARALELNOSTI. FUNKCIJA LOBACEVSKOG 35

Iz same cinjenice da Π(x) → π2, kad x→ 0 sledi da se u malim delovima prostora

geometrija Lobacevskog malo razlikuje od Euklidske geometrije, i da se ta razlikasmanjuje sa smanjivanjem posmatranog dela prostora. Vec smo videli da slucaj x =π2odgovara geometriji Euklida. Geometrija Euklida je granicni slucaj hiperbolicke

geometrije, kada rastojanja neograniceno opadaju.Veza izmedu uglova i linearnih velicina data funkcijom α = Π(x) uslovljava

celokupni karakter geometrije Lobacevskog. Na taj nacin u geometriji Lobacevskognema slicnosti figura. To nije tesko zakljuciti jer su uglovi i stranice trouglovapovezani medusobno jednacinama, pa zadavanjem uglova trougla u potpunosti suodredene i njegove stranice. Dva trougla sa podudarnim uglovima imaju i podudarneodgovarajuce stranice, tj. podudarni su medu sobom.


4.4 Karakteristicne krive u ravni L2

Ovde cemo se upoznati sa karakteristicnim krivama u ravni Lobacevskog i nekimnjihovim osobinama.

Definicija 4.4.1 Elipticki pramen pravih je skup pravih ravni, koje prolaze krozistu tacku. Ta tacka je srediste pramena. Hiperbolicki pramen pravih je skuppravih ravni, koje su normalne na istu pravu. Ta prava je bazisna prava pramena.

Pojam parabolicki pramen pravih uveden je Definicijom 4.2.1.

Definicija 4.4.2 Prava AB je secica jednakog nagiba pravih AA′ i BB′, akoona sa iste strane obrazuje sa tim pravama podjednake uglove (Slika 4.4.1).

Slika 4.4.1.

Definicija 4.4.3 Posmatrajmo pramen pravih, tako da kroz svaku tacku ravni pro-lazi jedan element pramena i uocimo tacku A te ravni, skup svih tacaka koje u datompramenu odgovaraju tacki A je trajektorija tog pramena pravih. Tacka A kojapripada trajektoriji, jer odgovara sama sebi, je pocetna tacka trajektorije.

Definicija 4.4.4 Trajektorija hiperbolickog pramena pravih se zove ekvidistanta,a bazisna prava je bazisna prava ekvidistante. Svaki element pramena, u odnosuna koji je ekvidistanta definisana je osa ekvidistante.

Za ekvidistantu vaze sledece osobine:

Teorema 4.4.1 Tacke ekvidistante su pojednako udaljene od njene bazisne prave.Obrat, geometrijsko mesto tacaka podjednako udaljenih od date prave je ekvidistantnalinija.

Definicija 4.4.5 Konstantno rastojanje AA′, BB′, CC ′ tacaka ekvidistante od njenebazisne prave naziva se visina ekvidistante (Slika 4.4.2).

4.4. KARAKTERISTICNE KRIVE U RAVNI L2 37

Slika 4.4.2.

Specijalno, ako je visina ekvidistante jednaka nuli, sledi da je ekvidistanta pravalinija. Uopste, ekvidistanta se sastoji iz dve grane od kojih je svaka sa po jednestrane bazisne prave.

Definicija 4.4.6 Trajektorija parabolickog pramena pravih zove se oricikl (Slika4.4.3). Svaki element pramena, u odnosu na koji je oricikl definisan je osa oricikla.

Slika 4.4.3.

Oricikl ima sledece osobine:

Definicija 4.4.7 Kroz svaku tacku P ravni prolazi jedna i samo jedna osa oricikla.Ako se tacka P nalazi sa one strane oricikla, sa koje je smer paralelnosti njegovihosa, kazemo da je P unutrasnja tacka oricikla. Ako je P sa one strane oricikla,sa koje nije smer paralelnosti osa, tacka P je spoljasnja tacka oricikla.

Teorema 4.4.2 Dva oricikla, koji imaju jednu zajednicku tacku, a ne dodiruju se,imaju jos jednu zajednicku tacku.

Teorema 4.4.3 Luk oricikla odreden je tetivom ili visinom.

Teorema 4.4.4 Svaka dva oricikla u ravni L2 su medusobno podudarna.

Definicija 4.4.8 Trajektorija eliptickog pramena pravih je cikl (krug) (Slika 4.4.4).


Slika 4.4.4.

Svaka tacka cikla je podjednako udaljena od sredista eliptickog pramena pravih i tatacka se naziva sredistem cikla.

Oricikl se moze posmatrati kao granicni slucaj kruga. Srediste tog kruga bi bilainfinitna tacka O∞ u ravni L2 u kojoj se seku prave pramena. U Euklidskoj ravnipostoje dve krive koje se transformacijom podudarnosti mogu preslikati same nasebe, to su prava i kruznica. Moze se reci da su to u ravni E2 jedine krive konstantnekrivine. U ravni L2, pored prave i kruznice moze se dokazati da su ekvidistantai oricikl jedine linije konstantne krivine. Kruznice se medu sobom razlikuju popoluprecniku, a ekvidistante po visini. Pravu mozemo smatrati ekvidistantom, cijaje visina jednaka nuli.

Teorema 4.4.5 Da bi u ravni L2 dva kruga bila podudarna potrebno je i dovoljnoda im poluprecnici budu podudarni.

Teorema 4.4.6 Da bi dve ekvidistante u L2 bile podudarne potrebno je i dovoljnoda su im visine podudarne.

Glava 5

Poenkareov model hiperbolickegeometrije

5.1 Neprotivurecnost geometrije Lobacevskog

Sa otkricem geometrije Lobacevskog, u kojoj pravougaonici i kvadrati ne postojei povrsina ravnih figura se izracunava na sasvim drugaciji nacin, dolazi do izrazajakonzervatizam naucnika, naviknutih na tradiciju euklidske geometrije. Eto zbogcega su savremenici Lobacevskog nazivali cudakom, a njegovu geometriju za vremenjegovog zivota odbacivali. Mnogi su cak smatrali da je geometrija Lobacevskog ustvari dokaz petog postulata metodom opovrgavanja suprotnog i da ce njegov daljirazvoj pre ili kasnije dovesti do logicke protivurecnosti. Samo u tom slucaju sunjegovi savremenici bili voljni da prihvate njegov rad.

Prethodna izlaganja odnosila su se na izgradivanje hiperbolicke geometrije i pritom nismo naisli ni na kakve protivurecnosti. No to ne znaci da se pri daljem iz-gradivanju ovog geometrijskog sistema one nece pojaviti. Treba, dakle, dokazatilogicku neprotivurecnost hiperbolicke geometrije. Kako se ona zasniva na Hilber-tovom sistemu aksioma i aksiomi Lobacevskog to ce ona biti protivurecna ili nepro-tivurecna ukoliko je navedeni sistem protivurecan ili neprotivurecan. Dokaz logickeneprotivurecnosti sistema aksioma hiperbolicke geometrije sastoji se u tome da senade jedan konkretan model tog sistema aksioma tj. dokaz je sveden na problem:”Naci u prostoru Euklida povrs na kojoj se realizuje hiperbolicka planimetrija?”.

No, takva povrs ne samo da nije nadena, nego je pokazano da ona i ne postoji.Pokazano je jedino da u prostoru Euklida postoji povrs na kojoj se planimetrijaLobacevskog realizuje u malom. Na postavljena pitanja i sumnju u geometrijuLobacevskog sam Lobacevski je dao indirektne odgovore, ali njegovi sledbenici zau-vek su ucvrstili ovu geometriju kao sto je i Euklid ucvrstio svoju. Direktan odgovorna sve sumnje dao je italijanski geometar Eugenio Beltrami 1868. godine u svomeseju o interpretaciji neeuklidske geometrije, 12 godina posle smrti Lobacevskog.

Baveci se pitanjima kartografije i geodezijskim linijama 1 Beltrami je dosao do

1Geodezijske linije podrazumevaju linije najkracih rastojanja izmedu tacaka neke povrsi. Npr.

39

40 GLAVA 5. POENKAREOV MODEL HIPERBOLICKE GEOMETRIJE

otkrica siroke klase povrsi konstantne negativne krivine2. Povrsi koje je on otkrionazvao je pseudosferama i na njima se realizuje geometrija Lobacevskog. Najjednos-tavnija pseudosfera dobija se obrtanjem traktrise oko svoje ose (Slika 5.1). Traktrisaje kriva, u cijoj je svakoj tacki duzina tangente od tacke dodira do tacke preseka sanekom pravom (osom traktrise) konstantna velicina.Jednacina ove krive je

x = 0, y = a sin t, z = a(ln tant

2+ cos t).

Slika 5.1.1. a) Traktrisa b) Pseudosfera

Dakle, u euklidskom prostoru postoji povrs, koja se naziva pseudosfera na kojojse u sistemu geodezijskih linija ostvaruje geometrija Lobacevskog. Ipak, i posle Bel-tramija ostalo je jos mnogo toga nejasnog. Na pseudosferi planimetrija Lobacevskogse ostvaruje samo delimicno, jer na svakoj pseudosferi postoji ostra ivica, kojase sastoji iz posebnih tacaka. Na delovima gde nema takvih tacaka geometrijaLobacevskog se ostvaruje, ali ne u celini. Stoga, mozemo formulisati Beltramijevuteoremu:

Teorema 5.1.1 U dovoljno maloj okolini svake tacke pseudosfere vazi hiperbolicnaplanimetrija.

U prostoru Euklida, dakle, ne postoji povrs na kojoj se hiperbolicka planimetrijarealizuje u celom. Pa ipak se u prostoru Euklida moze konstruisati model hiper-bolicke geometrije, cak i vise takvih modela kao sto su Poenkareov i Beltrami-Klajnov3 model. U ovom radu cemo se vise baviti Poenkareovim modelom, dokcemo dati neke osnovne osobine i za Klajnov model.

Godine 1871. matematicar Klajn dao je realno tumacenje geometrije Lobacevkogna obicnim slikama euklidske geometrije i to i za planimetriju i stereometriju. Rad

u ravni-prave linije, na sferi-krugovi sa centrom u centru sfere i sl.2S. Mincic, Lj. Velimirovic, Diferencijalna geometrija krivih i povrsi, Nis 20073Feliks Klajn (1849-1925), nemacki matematicar i fizicar

5.2. DVORAZMERA I REALNA PROJEKTIVNA PRAVA 41

Klajna se pokazao kao najveci trijumf u delu konacnog priznanja geometrije Lobacevskog,kao logicki zasnovanog geometrijskog sistema pa se bez kolebanja moze reci da jenjegova geometrija realna koliko i euklidska.

Ideja Klajnovog modela

Razmotrimo u euklidskom prostoru proizvoljnu loptu. Pod prostorom Lobacevskogpodrazumevacemo deo euklidskog prostora, koji se nalazi u unutrasnjosti lopte.Tacke na povrsini lopte ne pripadaju prostoru Lobacevskog.

Slika 5.1.2.

Prave Lobacevskog, su u ovom modelu, sve tetive koje spajaju bilo koje dve tackepovrsi posmatrane lopte, pri cemu se krajevi tetiva iskljucuju. Svaki presek lopte,tj. krugovi, pri cemu se razmatraju samo tacke iz unutrasnjosti tih krugova, pred-stavlja ravan Lobacevskog. Kazemo da se dve prave Lobacevskog seku ako je njihovapresecna tacka unutar lopte, u suprotnom se ne seku. Na Slici 5.1.2 vidimo da pravaa sece ravan Lobacevskog α u tacki M , dok se prave b i n ne seku. Moze se pokazatida u Klajnovom modelu za sve tacke, prave i ravni vaze aksiome apsolutne geometrijekao i aksioma Lobacevskog.

Kako su svi modeli geometrije Lobacevskog na neki nacin povezani sa projek-tivnom geometrijom u sledecem poglavlju napravicemo kratak osvrt u tu geometriju.

5.2 Dvorazmera i realna projektivna prava

Posmatrajmo Euklidsku ravan. Ako su A,B,C i D cetiri razne tacke afine pravep, njihova dvorazmera je realan broj

[A,B;C,D] :=

−→CA−−→CB

:

−−→DA−−→DB

. (5.2.1)


Primetimo da je dvorazmera odnos dve razmere, po cemu je i dobila ime.Uvedemo li sada koordinate na pravoj p, bice A(a), B(b), C(c), D(d), a dvorazmerace biti:

[A,B,C,D] :=c− a

c− b:d− a

d− b.

Pokazacemo da dvorazmera ima sledece osobine:

1. [A,B;C,D] = [C,D;A,B];

2. [A,B;C,D] = [B,A;C,D]−1;

3. [A,B;C,D] = 1− [A,C;B,D].

Videli smo da za tacke A,B,C,D vazi [A,B,C,D] = c−ac−b

: d−ad−b

tj. odavde je

[A,B,C,D] =(c− a)(d− b)

(c− b)(d− a),

pa, koristeci ovaj postupak, dobijamo da je

[C,D;A,B] =(a− c)(b− d)

(b− c)(a− d)

sto se i dobija kada svaku zagradu prethodne jednakosti pomnozimo sa −1 tj. do-bijamo da vazi 1. Slicno se pokazuje da vaze ostale dve jednakosti.

Za tacke A,B,C,D za koje vazi [A,B;C,D] = −1, kazemo da su harmonijskikonjugovane i pisemo H(A,B;C,D).

Afina prava nije najbolji domen za dvorazmeru. Naime, ako su A(a), B(b)razlicite tacke i C(a+b

2) srediste duzi AB, tada je uslov H(A,B;C,D) ekvivalentan

sa:

−1 =a+b2

− aa+b2

− b= −d− a

d− b. (5.2.2)

Odatle sledi a = b, sto je kontradikcija, pa tacka D takva da je H(A,B;C,D) nepostoji.Navedimo sada neke primere preslikavanja koja cuvaju dvorazmeru.

Definicija 5.2.1 Neka su l1 i l2 dve prave i S tacka koja im ne pripada. Preslika-vanje f : l1 [ l2 koje tacki M sa prave l1 dodeljuje tacku f(M) = SM × l2 naziva secentralno projektovanje prave l1 na pravu l2 iz centra S.

Slika 5.2.1.

5.2. DVORAZMERA I REALNA PROJEKTIVNA PRAVA 43

Teorema 5.2.1 Dvorazmera je invarijantna u odnosu na centralno projektovanje.

Definicija 5.2.2 Preslikavanje f : p→ p prave p dato sa

f(x) =ax+ b

cx+ d, ad− bc = 0,

naziva se bilinearno preslikavanje.

Da je ad− bc = 0, tada bi bilo f(x) = bd= const, sto nije interesantan slucaj.

Primetimo da preslikavanje f nije definisano u tacki x = −dc. Sa druge strane

acnije slika nijedne tacke x. Da bismo te nedostatke otklonili dopunicemo pravu p

beskonacno dalekom tackom P∞ = ±∞, i oznaciti p = p ∪ P∞. Ta dopunjenaprava p naziva se projektivna prava.

Slika 5.2.2. Projektivna prava

Preslikavanje f cemo prosiriti do bijekcije f : p→ p projektivne prave:

f(x) =

P∞, x = −d

c,

ac, x = P∞,

f(x), inace.

Primetimo da je

limx→− d

c

f(x) = ±∞ i limx→±∞

f(x) =a

c,

tako da zaista mozemo smatrati da tacka P∞ predstavlja ± beskonacnost prave.Dakle, pravu dopunjujemo jednom beskonacno dalekom tackom. Model projektivneprave je krug.

Definicija 5.2.3 Bijekcija projektivne prave na sebe, koja cuva dvorazmeru, nazivase projektivno preslikavanje.

Teorema 5.2.2 Preslikavanje projektivne prave je projektivno ako i samo ako jebilinearno.


5.3 Inverzija u odnosu na krug

Potencija tacke u odnosu na krug omogucuje da u geometriji ravni E2 ustanovimospecificnu transformaciju koju nazivamo inverzijom u odnosu na krug koji se nalazi utoj ravni. Preciznije, definisacemo preslikavanje koje ce, na neki nacin, predstavljati”refleksiju” u odnosu na krug pa je i prirodno da ce imati neka ista svojstva kao iosna refleksija4. Naravno, ono nece biti izometrija, ali istaci cemo sledeca zeljenazajednicka svojstva:

1. Osna refleksija je bijektivno preslikavanje.

2. Osna refleksija je involucija.

3. Osna refleksija preslikava jednu od oblasti na koju osa te refleksije deli ravanu drugu.

4. Sve invarijantne tacke osne refleksije su na osi te refleksije.

5. Ako je X′slika tacke X u osnoj refleksiji, tada je prava XX

′normalna na

osu te refleksije.

Dakle, preslikavanje koje sada uvodimo trebalo bi da zadovoljava navedena svo-jstva gde bi samo pojam ”osa” bio zamenjem pojmom ”krug” (Slika 5.3.1).

Slika 5.3.1.

Definicija 5.3.1 Neka je k(O, r) proizvoljan krug ravni E2 i E2∗ = E2\O. In-

verzijom u odnosu na krug k nazivamo transformaciju ψk : E2∗ → E2

∗ koja svaku

tacku P ∈ E2∗ prevodi u tacku P

′poluprave OP takvu da je

−→OP ·

−−→OP

′= r2. Tacku O

nazivamo centrom ili sredistem inverzije, duz r - poluprecnikom inverzije, velicinur2 - stepenim koeficijentom, krug k - krugom inverzije ψk a E2

∗ - Gausovom ravni.

Razlog zasto smo za domen i kodomen izabrali ravan E2∗ upravo je vezan za

svojstvo 1. Najpre, centar O nema svoju sliku jer bi bilo OO · OO′= r2, sto je

nemoguce. S druge strane, tacka O nije slika nijedne tacke pa, kako zelimo da jepreslikavanje bijektivno, biramo i za kodomen E2

∗ .Inverziju u odnosu na krug moguce je razmatrati u takozvanoj konformnoj ravni,

tj. Euklidskoj ravni E2 prosirenoj beskonacno dalekom tackom∞. Tada je ψk(∞) =O i ψk(O) = ∞.

4Neka je p prava ravni E2. Izometrijska transformacija te ravni koja nije koincidencija i za kojuje svaka tacka prave p fiksna naziva se osna refleksija (simetrija) te ravni u oznaci Sp. Prava pnaziva se osa te refleksije.

5.3. INVERZIJA U ODNOSU NA KRUG 45

Teorema 5.3.1 Inverzija u odnosu na krug je involuciona transformacija.

Slika 5.3.2.

Dokaz. Neka je ψk : E2∗ → E2

∗ inverzija u odnosu na krug k(O, r). Ako je P ∈ E2∗

proizvoljna tacka, tada tacka P′= ψk(P ) pripada polupravoj OP (Slika 5.3.2) pri

cemu je−→OP ·

−−→OP

′= r2. Tada i tacka P pripada polupravoj OP

′i vazi

−−→OP

′ ·−→OP = r2,

pa je ψk(P′) = P . Dakle, zaista je ψ2

k = ϵ.

Teorema 5.3.2 U inverziji ψk : E2∗ → E2

∗ tacka X je invarijantna ako i samo akoX pripada krugu k.

Dokaz. Ako je X ∈ E2∗ invarijantna imamo da

−−→OX ·

−−→OX = r2 pa je OX = r, tj.

tacka X pripada krugu k.

Obratno, ako X ∈ k, tada tacka X′= ψk(X) pripada polupravoj OX i vazi

−−→OX ·

−−→OX

′= r2. Odavde je OX

′= r, tj. tacke X i X

′se poklapaju.


∗ tacki X koja se nalazi u krugu k odgovaratacka X

′koja se nalazi izvan kruga k i obratno tacki X koja se nalazi izvan kruga

k odgovara tacka X′koja se nalazi u krugu k.

Dokaz. Neka je O srediste i r poluprecnik inverzije ψk. Ako je X u krugu k tada

je OX < r pa iz relacije−−→OX ·

−−→OX

′= r2 sledi da je OX

′> r, tj.tacka X je izvan

kruga k.Obratno, ako je X izvan kruga k tada je OX > r, odakle na isti nacin kao malopresledi da je OX

′< r, odnosno tacka X

′je unutar kruga k.

Navescemo dva tvrdenja koja nam opisuju konstrukciju inverzne tacke.

Teorema 5.3.4 Neka je P unutar kruga k i TU tetiva kruga k kroz tacku P nor-malna na OP . Tada je inverzna tacka P

′tacki P pol tetive TU , tj. tacka preseka

tangenti na k u T i U .


Slika 5.3.3.

Dokaz. Pretpostavimo da tangenta na k u tacki T sece OP u tacki P′(Slika

5.3.3). Pravougli trougao OPT slican je pravouglom trouglu OTP ′pa odatle

proizilazi proporcionalnost njihovih stranica. Kako je OT = r, dobijamo da jeOP : r = r : OP ′ , sto znaci da je P

′inverzna tacki P . Kako je slika simetricna u

odnosu na OP , tangenta na k u tacki U takode prolazi kroz P′, pa je P

′zaista pol

TU .

Teorema 5.3.5 Neka je P van kruga k i Q srediste duzi OP . Neka je l krug sacentrom u Q i poluprecnikom OQ = OP . Tada l sece k u dve tacke T i U , PT iPU su tangente na k i inverzna tacka P

′tacki P je presek TU i OP .

Slika 5.3.4.

Dokaz. Na osnovu tvrdenja 5 k i l seku se u dve tacke T i U (Slika 5.3.4). Kakosu uglovi ]OTP i ]OUP uglovi nad precnikom OP u krugu l, oni su pravi. Zatosu PT i PU tangente na k. Ako TU sece OP u P

′, onda je, na osnovu prethodne

teoreme P inverzna tacka tacki P′, pa je P

′inverzna tacka tacki P u odnosu na

krug k.

5Ako krug k1 ima jednu tacku u i jednu van kruga k2, tada se ti krugovi seku u dve tacke.

5.3. INVERZIJA U ODNOSU NA KRUG 47

Teorema 5.3.6 Kompozicija dveju inverzija ψk1 i ψk2 definisanih u odnosu na kon-centricne krugove k1(O, r1) i k2(O, r2) predstavlja homotetiju H

O,r22r21

.

Dokaz. Krugovi k1 i k2 su koncentricni pa pripadaju istoj ravni E2. Neka je X ∈ E2∗

proizvoljna tacka i X1,X2 ∈ E2∗ tacke takve da je

ψk1(X) = X1, ψk2(X1) = X2.

Tada je(ψk2ψk1)(X) = X2.

Tacke X1 i X2 pripadaju redom polupravama OX i OX1 pa je i tacka X2 na

polupravoj OX. Iz relacija−−→OX ·

−−→OX1 = r21 i

−−→OX1 ·

−−→OX2 = r22 sledi

−−→OX2 :

−−→OX = r22 : r

21,

tj. u homotetiji sa centrom u tacki O i koeficijentom r22 : r21 tacki X odgovara tacka

X2. Prema tome sledi da je ψk2ψk1 = HO,

r22r21

.

Definicija 5.3.2 Lik Ω ravni E2∗ je inverzan liku Ω

′ravni E2

∗ ako postoji inverzijaψk : E

2∗ → E2

∗ koja lik Ω prevodi u lik Ω′.

Navescemo jos neke osobine inverzije koje nam mogu biti od znacaja u radu, ali bezdokaza.

Teorema 5.3.7 Neka su u ravni E2∗ dati krug k(O, r) i prava p. Tada:

(i) Ako prava p sadrzi tacku O tada je ψk(p\O) = p\O;

(ii) Ako prava p ne sadrzi tacku O tada lik ψk(p) predstavlja krug bez tackeO.

Teorema 5.3.8 Neka su u ravni E2 dati krugovi k(O, r) i l(S, ρ). Tada vazi:

(i) Ako tacka O pripada krugu l tada je ψk(l\O) prava l′;

(ii) Ako tacka O ne pripada krugu l tada u inverziji ψk krugu l odgovara nekikrug l

′.

Teorema 5.3.9 Inverzija ψk ima osobine:

(i) Inverzija ψk cuva uglove medu pravama, tj. ugao izmedu dve prave jednakje uglu koji zaklapaju njihove slike;

(ii) Inverzija ψk je konformno preslikavanje tj. ugao pod kojim se seku dvelinije p i q ravni E2 u presecnoj tacki S jednak je uglu pod kojim se seku njimainverzne krive p

′i q

′u tacki S

′.


5.4 Bilinearna preslikavanja

Rezultati i definicije poglavlja o dvorazmeri vaze ne samo na realnoj, nego i nakompleksnoj pravoj C, koju cesto zovemo i kompleksna ravan. Naime, kompleksnaprava C ima dvostruko vecu realnu dimenziju i C ∼= R2.Na isti nacin kao sto smo realnu pravu R dopunili do realne projektivne praveR = R ∪∞, mozemo dobiti kompleksnu projektivnu pravu C = C ∪∞.Cetvorci kompleksnih brojeva z1, z2, z3, z4 ∈ C dodeljujemo kompleksan broj

[z1, z2; z3, z4] :=z3 − z1z3 − z2

:z4 − z1z4 − z2

∈ C (5.4.1)

koji takode nazivamo dvorazmera.Preslikavanje f : C → C dato formulom f(z) = az+b

cz+d, gde su a, b, c, d ∈ C, ad −

bc = 0, takode nazivamo bilinearno preslikavanje. Prica je ista kao i u realnomslucaju, mada je u slucaju kompleksne prave prica jos lepsa i slozenija pa cemogovoriti o preslikavanjiima na skupu kompleksnih brojeva. Kompleksna dvorazmerakarakterise krugove i prave:

Teorema 5.4.1 Dvorazmera cetiri kompleksne tacke [z1, z2; z3, z4] je realan broj akoi samo ako one pripadaju krugu ili pravoj.

Teorema 5.4.2 Kompleksno bilinearno preslikavanje ima sledece osobine:

a) Preslikava krugove i prave u krugove i prave;

b) Cuva uglove izmedu krivih;

c) Cuva orijentaciju kompleksne ravni.

Dokaz. a) Sledi iz cinjenice da bilinearno preslikavanje cuva dvorazmeru i izprethodne teoreme. Pokazacemo tvrdenja b) i c). Kako vazi:

az + b

cz + d=a

c+bc− ad

c

1

cz + d,

to je svako bilinearno preslikavanje kompozicija nekoliko preslikavanja oblika z → 1z

i linearnog preslikavanja z → az + b.Preslikavanje z → 1

zje kompozicija inverzije u odnosu na jedinicnu kruznicu i re-

fleksije u odnosu na realnu osu. Naime |z||1z| = 1, a ako su z i 1

zkolinearne sa

centrom 0 jedinicnog kruga, to su one i inverzne u odnosu na jedinicni krug. Kakoinverzija i refleksija cuvaju uglove, cuva ga i preslikavanje z → 1

z. Kako i inverzija

i refleksija menjaju orjentaciju, njihova kompozicija cuva orjentaciju. Preslikavanjez → az + b je kompozicija translacije z → z + b, i kompozicije homotetije i rotacijez → az = |a|eiarg(a)z, pa i ono cuva uglove i orjentaciju.

5.5. INVERZIJA U ODNOSU NA SFERU 49

5.5 Inverzija u odnosu na sferu

Po analogiji u odnosu na inverziju u odnosu na krug u ravni mozemo uvestipojam inverzije u odnosu na sferu u prostoru.

Definicija 5.5.1 Neka je S(O, r) sfera prostora E3 i neka je E3∗ = E3\O. Inverz-

ijom u odnosu na sferu S nazivamo transformaciju ψS : E3∗ → E3

∗ koja svaku

tacku P ∈ E3∗ prevodi u tacku P

′poluprave OP takvu da je

−→OP ·

−−→OP

′= r2. Tacku O

nazivamo centrom ili sredistem inverzije, duz r - poluprecnikom inverzije, velicinu r2

- stepenim koeficijentom, sferu S - sferom inverzije ψk a E3∗ - Gausovim prostorom.

Iz definicije neposredno sledi da je i inverzija u odnosu na sferu bijektivnatransformacija. To nije transformacija celog prostora E3 vec samo njenog dela E3

∗ ,jer u njoj nije definisana slika tacke O, niti je tacka O slika neke tacke prostora E3.Inverziju u odnosu na sferu moguce je razmatrati i u tzv. konformnom prostoru,tj. Euklidskom prostoru E3 prosirenom beskonacno dalekom tackom ∞. Tada jeψk(∞) = O i ψk(O) = ∞.

Kao i kod inverzije u odnosu na krug analogno cemo navesti sledece osobine:

Teorema 5.5.1 Inverzija u odnosu na sferu je involuciona transformacija.

Teorema 5.5.2 U inverziji ψS : E3∗ → E2

∗ tacka X je invarijantna ako i samo akoX pripada sferi inverzije S.


∗ tacki X koja se nalazi unutar sfere Sodgovara tacka X

′koja se nalazi izvan sfere S i obratno tacki X koja se nalazi izvan

sfere S odgovara tacka X′koja se nalazi unutar sfere S.

Pored navedenih teorema dacemo jos jednu koja nam daje vazna svojstva inverz-ije u odnosu na sferu.

Teorema 5.5.4 Inverzija ψ u odnosu na sferu S(O, r) ima sledece osobine:

a) Ravni i sfere preslikava u ravni i sfere.

b) Prave i krugove, preslikava u prave i krugove.

c) Konformno je preslikavanje tj. cuva uglove izmedu krivih.

d) Cuva dvorazmeru−→CA−−→CB

:−−→DA−−→DB

cetiri (moguce nekolinearne) tacke prostora.


5.6 Poenkareov model hiperbolicke planimetrije

5.6.1 Opis Poenkareovog disk modela

U ovom poglavlju dacemo osobine osnovnih geometrijskih pojmova i relacijau modelu hiperbolicke geometrije, konkretno u planimetriji. I ono sto je bitno,pokazacemo da u modelu hiperbolicke geometrije vaze sve aksiome Hilbertovog sis-tema kao i aksioma Lobacevskog.

Definicija 5.6.1 Uocimo u euklidskoj ravni kruznicu k, i nju cemo cesto zvatiapsolutna kruznica ili prosto samo apsoluta. Svaku tacku koja pripada unu-trasnjosti te kruznice, ne racunajuci i tacke same kruznice k, zvacemo h-tackama.h-prava je ona kruznica ili prava, koja je ortogonalna na k, tacnije, ”prave” uovom modelu su otvorene tetive koje sadrze centar kruga i otvoreni lukovi krugovanormalnog na posmatrani. Preciznije, neka je l krug ortogonalan na krug k. Tadapresek l sa unutrasnjosti k daje otvoreni luk m, koji predstavlja ”pravu” u Poenkare-ovom disk modelu, dok je p otvorena tetiva koja sadrzi centar posmatranog kruga ki takode predstavlja ”pravu” u Poenkareovom disk modelu (Slika 5.6.1). Skup svihunutrasnjih tacaka kruznice k, bez tacaka same kruznice, zovemo h-ravan.

Slika 5.6.1.

Pre nego da predemo na dalji opis modela, navescemo tvrdenje koje nam kaze kakoda konstruisemo Poenkareovu pravu.

Teorema 5.6.1 Neka je data apsoluta k i tacke T i U koje nisu dijametralnosuprotne i neka je P pol6 prave TU . Tada je PT ∼= PU , ]PTU ∼= ]PUT , OP⊥TUi krug a(P, PT = PU) sece k u tackama T i U i ortogonalan je na njega.

Slika 5.6.2.6Videti Teoremu 5.3.4

5.6. POENKAREOV MODEL HIPERBOLICKE PLANIMETRIJE 51

Dokaz. Na osnovu definicije pola, ugao ]OTP i ugao ]OUP su pravi, pa suOTP ∼= OUP , a odavde sledi da su PT ∼= PU i ]OPT ∼= ]OPU . TrougaoPTU je jednakokrak, pa je simetrala ugla ]TPU normalna na njegovu osnovicuTU . Onda je krug a dobro definisan jer je PU = PT i a je ortogonalno na k i secek u tackama T i U , pa su PT i PU tangente na k (Slika 5.6.2).

Obratimo paznju na relacije poretka i pripadnosti u modelu.

Relacija pripadnosti je analogna kao u euklidskom smislu, tacnije, kazemo daobjekti u modelu h-pripadaju jedan drugom ako oni pripadaju jedan drugom i ueuklidskom smislu.

Definisimo jos i relaciju h-izmedu.

Definicija 5.6.2 Neka su A,B i C tri h-tacke, koje pripadaju istoj h-pravoj (Slika5.6.3). Ako je ta h-prava precnik apsolute k, kazemo da je B h-izmedu tacaka A i Cako je izmedju u euklidskom smislu. Ako je, pak, h-prava kruznica a, obelezimo sa Osrediste apsolute, a sa P i Q tacke u kojima apsoluta sece kruznicu a i posmatrajmoonaj luk kruznice a, koji pripada unutrasnjosti apsolute.

Obelezimo sa A′, B

′i C

′tacke u kojima euklidske prave OA,OB i OC seku

euklidsku tetivu PQ. h-tacka B je h-izmedu tacaka A i C, ako je tacka B′izmedu

tacaka A′i C

′u euklidskom smislu i to oznacavamo sa: Bh(A,B,C).

Slika 5.6.3.

Definicija 5.6.3 h-duz je, dakle, luk kruznice koja je ortogonalna na k ili duzjednog od precnika apsolute. h-poluprava je, medutim, takav luk odnosno takvaduz, cija jedna krajnja tacka pripada apsoluti. h-ugao je skup h-tacke i dve h-poluprave koje proizilaze iz te tacke. Dakle, ako se dva luka m i n seku u tackiA, ugao koji oni obrazuju je ugao izmedu njihovih tangenti u tacki A (Slika 5.6.4.a), odnosno, ugao izmedu luka m i prave p sa pocetkom u tacki A je zapravo ugaoizmedu prave p i tangente na luk m u tacki A (Slika 5.6.4.b )


Slika 5.6.4.

Kako smo uveli pojam h-ugla, mozemo reci nesto i o trouglu u Poenkareovom diskmodelu.

Definicija 5.6.4 Ako su A, B i C tri h-tacke koje ne pripadaju jednoj h-pravoj,tada skup koji se sastoji iz tacaka h-duzi AB, BC i CA nazivamo h-trouglom.I pojmovi h-poligonske linije i h-poligona mogu se uvesti u analogiji sa odgo-varajucim pojmovima apsolutne geometrije.

Inverzijom u odnosu na krug k koji je ortogonalan na apsolutu ili refleksijom uodnosu na pravu p ortogonalnu na apsolutu (koja stoga sadrzi srediste apsolute),h-ravan se preslikava na sebe. Restrikciju te inverzije (ili refleksije) na h-ravanzvacemo h-refleksijom. h-pravu koja pripada krugu k (pravoj p) zvacemo osomh-refleksije. Svaka poluravan kojoj je rub osa neke h-refleksije tom h-refleksijomse preslikava na njoj komplementnu h-poluravan.

Uvodenju pojma h-podudarnosti prethodi nekoliko teorema koje se odnose nah-refleksije.

Teorema 5.6.2 Za dve razne h-tacke A i B postoji jedinstvena h-refleksija kojomse te dve tacke preslikavaju jedna na drugu.

Dokaz.

Slika 5.6.5.


Neka su A′i B

′inverzne tacke tackama A i B u odnosu na apsolutu k. Postoji

jedinstven krug (ili prava) a koji sadrzi tacke A,B,A′, B

′, pa stoga postoji jedi-

nstvena h-prava koja sadrzi tacke A i B.

Ako su prave AB i A′B

′paralelne, h-prava koja pripada medijatrisi duzi AB

odnosno duzi A′B

′, ce biti osa h-refleksije kojom se h-tacke A i B preslikavaju jedna

na drugu (Slika 5.6.5.a). Ako se prave AB i A′B

′seku, osa h-refleksije kojom se

tacke A i B preslikavaju jedna na drugu bice h-prava koja pripada krugu upravnomna apsolutu i na krug a. Srediste S kruga koji sadrzi pomenutu h-pravu pripadacepravoj AB i radikalnoj osi apsolute i kruga a, a poluprecnik tog kruga bice duST ,gde je T dodirna tacka apsolute i njene tangente iz tacke S (Slika 5.6.5.b).

Slika 5.6.6.

Ako h-duz AB pripada precniku apsolute, tada postoji krug l koji sadrzi tackeA i B, a sece apsolutu u tackama C i D. Analogno kao malopre, posmatramoslucajeve. Ako su prave AB i CD paralelne, srediste apsolute bice i srediste duziAB, pa je tada precnik apsolute, koji je upravan na AB, osa h-refleksije kojom setacke A i B preslikavaju jedna na drugu (Slika 5.6.6.a). Ako se, pak, prave AB iCD seku u nekoj tacki S, osa h-refleksije kojom se tacke A i B preslikavaju jednana drugu bice h-prava koja pripada krugu upravnom na apsoluti i krugu l. Sredistetoga kruga bice tacka S koja pripada pravoj AB i radikalnoj osi apsolute i krugal, a poluprecnik toga kruga bice duz ST gde je T dodirna tacka apsolute i njenetangente koja sadrzi tacku S (Slika 5.6.6.b). Jedinstvenost trazene ose se, u svakomslucaju, dokazuje neposredno.

Teorema 5.6.3 Ako se dve h-prave seku, tada postoje dve h-refleksije kojima se onepreslikavaju jedna na drugu, a ako su disjunktne, tada postoji jedinstvena h-refleksijakojom se one preslikavaju jedna na drugu.

Dokaz. Neka su k i k′krugovi koji sadrze zadate h-prave.


Slika 5.6.7.

Ako su one disjunktne, i krugovi koji ih sadrze su disjunktni ili se dodiruju u tackikoja pripada apsoluti, pa stoga postoji jedinstvena inverzija kojom se ti krugovipreslikavaju jedan na drugi (Slika 5.6.7). Kako krug te inverzije pripada pramenukojem pripadaju i k i k

′, on ce biti upravan na apsolutu. Dakle, postoji jedinstvena

h-refleksija kojom se zadate prave preslikavaju jedna na drugu. Osa te h-refleksijepripada krugu s upravnom na apsolutu, cije je srediste presek zajednickih spoljasnjihtangenti krugova k i k

′.

Slika 5.6.8.

Ako se krugovi k i k′seku, tada postoje dve inverzije kojima se ti krugovi

preslikavaju jedan na drugi pa ce postojati dve h-refleksije kojima se zadate pravepreslikavaju jedna na drugu (Slika 5.6.8). Osa jedne od tih dveju h-refleksija pripadakrugu s upravnom na apsoluti, cije je srediste presek zajednickih tangenti krugovak i k

′, a osa druge h-refleksije pripada krugu s

′koji sadrzi presecne tacke krugova k

i k′i upravan je na krug s.

Iz dokaza pretodne teoreme neposredno sledi sledece tvrdenje:

Teorema 5.6.4 Postoji jedinstvena h-refleksija kojom se dve h-poluprave sa za-jednickim temenom preslikavaju jedna na drugu.


Definicija 5.6.5 Za par h-tacaka (A,B) kazemo da je h-podudaran paru h-tacaka(C,D) i pisemo

(A,B) ∼=h (C,D)

ako postoji niz h-refleksija ciji proizvod preslikava par (A,B) na par (C,D). Proizvodtih h-refleksija zvacemo h-podudarnoscu ili h-izometrijom h-ravni.

Kazemo da su h-figure h-podudarne ako se one mogu preslikati jedna na druguh-podudarnom transformacijom.U daljem izlaganju pod inverzijom cemo podrazumevati samo onu inverziju koja jeh-podudarnost. Specijalno, definisu se h-translacija i h-rotacija.

Definicija 5.6.6 h-izometrija koja je kompozicija dve h-refleksije, prve u odnosu nah-pravu normalnu na datu h-duz u pocetnoj h-tacki i druge u odnosu na h-simetraludate h-duzi naziva se h-translacija za h-duz.

Definicija 5.6.7 Kompozicija dve h-refleksije u odnosu na h-prave koje sadrze datuh-tacku i zahvataju dati ugao, pri cemu je orijentacija ugla izmedu datih h-pravihjednaka orijentaciji datog ugla naziva se h-rotacija oko date h-tacke za datiugao.

Primedba. h-podudarnost koja preslikava datu h-tacku A na datu h-tacku B,moze se realizovati i ovako:

Slika 5.6.9.

Obelezimo sa a h-pravu AB. Neka ona sece apsolutu u tackama P i Q. Obelezimosa S presek pravih AB i PQ, a sa T tacku dodira tangente iz S na kruznicu a(Slika 5.6.9). Najzad, obelezimo sa s kruznicu sa sredistem S i poluprecnikom ST .Ona je ortogonalna i na apsolutu i na kruznicu a. Stoga je inverzija u odnosu na sh-podudarno preslikavanje. Ono preslikava kruznicu a na samu sebe, tako da tackuA preslikava na B, a B na A.

Pored toga, pri inverziji s obzirom na s, svaka tacka kruznice s ostaje invari-jantna, pa je invarijantna i tacka T te kruznice. Drugim recima, h-duz AT preslikava


se na h-duz BT , tj. te dve duzi su h-podudarne i T je h-srediste h-duzi AB. Kakoje s ortogonalno na a, s je h-simetrala h-duzi AB.

Ukoliko su euklidske prave AB i PQ paralelne, tacka S je beskrajno daleka ikruznica s je euklidska simetrala duzi AB i PQ, tj. ona prolazi kroz centar Oapsolute.

Opisani postupak se ne moze primeniti u slucaju kada je h-prava AB precnikkruznice k, jer je tada S neodredena. Da bismo u tom slucaju odredili kruznicu s,primetimo da ona mora zadovoljavati uslove:

Slika 5.6.10.

1. Ako je P tacka u kojoj ona sece k, a S je njeno srediste, ]OPS je prav, i prematome je

SP 2 = OS2 −OP 2;

2. Kako zelimo da tacke A i B budu inverzne s obzirom na s, S mora pripadatipravoj OAB i mora biti

SA · SB = ST 2 = SP 2,

gde je T tacka u kojoj tangenta iz A na s dodiruje s. Imamo, dakle,

SA · SB = OS2 − r2,

gde smo sa r obelezili poluprecnik apsolute. Kako je

SA = OS −OA i SB = OS −OB,

to je(OS −OA)(OS −OB) = OS2 − r2,

a otuda je

OS =r2 +OA ·OBOA+OB

.

Na taj nacin odredena je tacka S pa, dakle, i kruznica sa sredistem u S ipoluprecnikom SP . Ta kruznica je h-simetrala h-duzi AB (Slika 5.6.10).

Iz svega izlozenog sledi da svaka h-duz ima svoju h-simetralu. Isto vazi i zauglove. Ilustrujmo to na sledecem primeru:


Primer 5.6.1 Neka je ]QOQ1 dati h-ugao sa temenom O gde su Q i Q1 tacke naapsoluti. Konstruisati simetralu ovog ugla.

Resenje: Obelezimo sa P i P1 druge krajeve pravih OQ i OQ1 redom. Obelezimodalje sa s i s1 kruznice (ili eventualno prave) koje su nosaci krakova OQ i OQ1,redom. Neka se euklidske prave PP1 i QQ1 seku u tacki S. Konstruisimo kruznicus′sa centrom u S koja sadrzi teme O i normalna je na apsolutu. Luk kruznice s

′

koji lezi unutar apsolute je trazena h-simetrala (Slika 5.6.11).

Ako su euklidske prave PP1 i QQ1 paralelne, konstruisemo pravu s′- zajednicku

simetralu duzi PP1 i QQ1. Tada je precnik apsolute koji lezi na pravoj s′trazena

h-simetrala.

Slika 5.6.11.

Da to dokazemo, posmatrajmo inverziju ψ s obzirom na kruznicu s′. Ocigledno je

ψ(P ) = P1, ψ(Q) = Q1 i ψ(k) = k. Kako kroz dve tacke date kruznice prolazi tacnojedna kruznica koja je na nju normalna, to je ψ(s) = s1. Otuda su h-uglovi QOQ

′

i Q1OQ′h-podudarni, a h-prava s

′njihova h-simetrala, gde su P

′i Q

′preseci

kruznice s′i apsolute.

Ako je s′poluprava onda se umesto inverzije posmatra simetrija s obzirom na pravu

s′.

Kako smo uveli pojmove h-tacke, h-prave, h-ugla i relacije h-izmedu i h-podudarno,navedimo jos jedno tvrdenje pre nego da dokazemo da uvedeni pojmovi zadovoljavajuaksiome hiperbolicne geometrije.

Teorema 5.6.5 Zbir unutrasnjih uglova proizvoljnog h-trougla je manji od π.


Slika 5.6.12.

Dokaz. Ako je ABC h-trougao i O srediste apsolute k, tada postoji h-refleksijakojom se tacka A preslikava u O, a tacke B i C, redom, u D i E (Slika 5.6.12).Tom refleksijom se uglovi h-trogula ABC preslikavaju na njima podudarne uglove h-trougla ODE, a h-duzi AB i AC se preslikavaju na h-duzi OD i OE koje pripadajuprecnicima apsolute. Kako su uglovi kod temena D i E h-trougla ODE manji oduglova kod istih temena euklidskog trougla ODE, sledi da je zbir unutrasnjih uglovah-trougla ODE manji od π. Stoga ce i zbir unutrasnjih uglova h-trougla ABC bitimanji od π.

Dakle, zbir unutrasnjih uglova proizvoljnog h-cetvorougla bice manji od 2π dokce zbir unutrasnjih uglova h-poligonske povrsi koja ima n ivica biti manji od (n−2)π.

Ovako definisani osnovni objekti i uzajamni odnosi tih objekata, cine jedan ge-ometrijski model. U narednom odeljku cemo pokazati da su zadovoljeni svi za-htevi Hilbertovog sistema aksioma, sem aksiome paralelnosti.


5.6.2 Hilbertov sistem aksioma i aksioma paralelnosti u mod-elu

Ovde cemo pokazati da sve aksiome hiperbolicke geometrije vaze i na modelu,tacnije ispitacemo da su ispunjene sve aksiome Hilbertovog sistema, navedene udrugoj glavi, kao i aksioma Lobacevskog i pokazati da na modelu vazi Hiperbolickageometrija.

Aksiome veze i aksiome rasporeda

Neka su A i B dve proizvoljne h-tacke. Iz osobina inverzije je poznato da svakakruznica koja prolazi kroz A, a ortogonalna je na apsoluti k, prolazi kroz jos jednuutvrdenu tacku A

′. Sve te kruznice obrazuju elipticni pramen kruznica koji je or-

togonalan na k. Kako kroz tacku euklidske ravni koja je razlicita od A i A′uvek

prolazi jedna i samo jedna takva kruznica tada vazi sledeca teorema:

Teorema 5.6.6 Ma kakve bile h-tacke A i B, uvek postoji jedna i samo jedna h-prava koja pripada i tacki A i tacki B.

To, medutim, znaci da su u posmatranom modelu zadovoljene Aksioma 1.1i Aksioma 1.2. Hilbertovog sistema. Kako svakoj kruznici koja je ortogonalnana k pripada bezbroj tacaka koje su istovremeno i unutrasnje tacke apsolute ki kako pored tih tacaka u unutrasnjosti apsolute ima bezbroj drugih tacaka, toje zadovoljena i Aksioma 1.3. U posmatranom modelu su, dakle, zadovoljeni svizahtevi prve grupe aksioma Hilbertovog sistema.Predimo na aksiome rasporeda.

Neka h-tacke A, B i C pripadaju istoj h-pravoj. Ukoliko je ta h-prava precnikapsolute, prve tri aksiome druge grupe Hilbertovog sistema aksioma su zadovoljene,jer su one zadovoljene na svakoj otvorenoj euklidskoj duzi. Ako je, pak, h-pravaluk kruznice a, prema definiciji relacije h-izmedu, na euklidskoj tetivi PQ tackaB

′je euklidski izmedu tacaka A

′i C

′. Posto su na otvorenoj euklidskoj duzi PQ

zadovoljene sve Hilbertove aksiome rasporeda, A′, B

′i C

′su tri razne tacke. Stoga

su i OA′, OB

′i OC

′tri razne poluprave koje luk kruznice a seku u tri razne tacke.

Drugim recima A,B i C su tri razne tacke. Dalje, ako je tacka B′euklidski izmedu

A′i C

′, onda je ona i izmedu C

′i A

′, a to prema utvrdenoj definiciji znaci da je

tacka B h-izmedu tacaka C i A. Dakle, vazi sledeca teorema:

Teorema 5.6.7 Ako je tacka B h-izmedu tacaka A i C, A, B i C su tri razne tackei B je takode h-izmedu tacaka C i A.

U posmatranommodelu je, znaci, Aksioma 2.1. Hilbertovog sistema zadovoljena.Analogno se pokazuje da su zadovoljene i Aksioma 2.2. i Aksioma 2.3.

Pasova aksioma je, u posmatranom modelu, ekvivalentna ovoj teoremi geometrijeEuklida:

Teorema 5.6.8 U unutrasnjosti kruznice k date su tri tacke A, B i C. kroz njihprolaze tri kruznice ortogonalne na k. Onaj luk cetvrte kruznice ortogonalne na k,koji pripada unutrasnjosti k, i koji sece jedan od unutrasnjih lukova AB, AC ili BC,


sece jedan i samo jos jedan od tih lukova, ako ta cetvrta kruznica ne prolazi ni krozjednu oa tacaka A, B ili C.

Slika 5.6.13.


Aksiome podudarnosti

U posmatranom modelu najslozenija je verifikacija trece grupe aksioma. Zatocemo svaku od njih posebno proveriti.

Aksioma 3.1. - Neka su A i B dve razne h-tacke h-prave a, a A′tacka te iste ili

neke druge h-prave a′. Na pravoj a

′sa date strane tacke A

′uvek postoji tacka B

′

takva da je h-duz AB h-podudarna h-duzi A′B

′.

Slika 5.6.14.

Pokazali smo da uvek postoji h-podudarnost koja tacku A preslikava na tackuA

′. Pritom se h-prava a preslikava na h-pravu a

′, koja prolazi kroz tacku A

′, a tacka

B na neku tacku B′′h-prave a

′′. Tackom A

′kao pocetnom tackom i tackom B

′′

odredena je h-poluprava koja sa unapred datom polupravom h-prave a′odreduje

h-ugao. Obelezimo sa s h-simetralu tog ugla. Inverzija s obzirom na kruznicu sje h-podudarnost pri kojoj se kraci pomenutog ugla preslikavaju jedan na drugi.Tacka B

′′preslikava se na tacku B

′unapred date poluprave h-prave a

′, dok tacka

A′ostaje nepromenjena. Proizvod dva posmatrana h-podudarna preslikavanja pres-

likavaju h-duz AB na h-duz A′B

′, pri cemu je tacka A

′unapred data, a tacka B

′

pripada unapred datoj h-pravoj i nalazi se sa date strane tacke A′. Kako je taj

proizvod opet h-podudarna transformacija, to su h-duzi AB i A′B

′h-podudarne.

Drugim recima, u ovom modelu je zadovoljena Aksioma 3.1. (Slika 5.6.14).

Pre no sto predemo na proveravanje ostalih aksioma podudarnosti, dokazacemosledecu teoremu:

Teorema 5.6.9 Tacka koja se pominje u Aksiomi 3.1. je jedina takva tacka nauocenoj polupravoj h-prave a

′.

Dokaz. Pretpostavimo da pored tacke B′na uocenoj polupravoj h-prave a

′postoji

jos jedna tacka B1, tako da su duzi AB i A′B1 h-podudarne. To znaci da pos-

toji proizvod f inverznih preslikavanja koji h-duz AB preslikava na h-duz A′B

′, i

proizvod φ inverznih preslikavanja koji duz AB preslikava na h-duz A′B1.


Obelezimo sa P i Q beskrajno daleke tacke h-prave a, tj.preseke kruznice a saapsolutom k, a sa P

′i Q

′beskrajno daleke tacke h-prave a

′. I pri transformacijama

f i pri transformacijama φ tacke P i Q se preslikavaju, respektivno, na tacke P′i

Q′. Stoga se pri transformaciji φ f−1 tacke P

′, Q

′i A

′preslikavaju na sebe same,

dok se tacka B′preslikava na B1. S druge strane, kako je φf−1 proizvod konacnog

broja inverznih transformacija i kako ona ostavlja invarijantnim tri razlicite tacke,to su i sve tacke kruznice, koja prolazi kroz te tri tacke - invarijantne. To znaci daje i tacka B

′te kruznice invarijantna, tj. tacke B

′i B1 se poklapaju, sto je i trebalo

dokazati.

Aksioma 3.2. - Ako je svaka od h-duzi A′B

′i A

′′B

′′h-podudarna istoj h-duzi AB,

onda je i duz A′B

′h-podudarna duzi A

′′B

′′.

Prema definiciji h-podudarnosti, postoji proizvod f inverznih preslikavanja kojipreslikava A

′B

′na AB i postoji proizvod inverznih preslikavanja, koji A

′′B

′′pres-

likava na AB. Pri transformaciji φ−1 f , A′B

′se preslikava na A

′′B

′′. Ali, φ−1 f

je proizvod inverzija, tj. predstavlja jedno h-podudarno preslikavanje. Time je iAksioma 3.2. potvrdena.

Aksioma 3.3. - Neka su AB i BC dve h-duzi h-prave a, koje nemaju zajednickihtacaka, a A

′B

′i B

′C

′h-duzi te iste ili neke druge h-prave koje takode nemaju

zajednickih tacaka. Ako je AB h-podudarno sa A′B

′, a BC h-podudarno sa B

′C

′,

onda je i AC h-podudarno sa A′C

′.

Kako je AB h-podudarno sa A′B

′, to postoji proizvod inverzija koje AB pres-

likavaju na A′B

′. Pri tom se tacka C preslikava na C1 h-prave A

′B

′i to sa one

strane tacke B′sa koje je tacka C

′. Otuda sledi da je h-duz AC h-podudarna duzi

A′C1. Ali po pretpostavci je AC h-podudarno sa A

′C

′, pa je, prema Aksiomi 3.2,

A′C

′h-podudarno sa A

′C1. Kako se tacke C

′i C1 nalaze na pravoj A

′B

′sa iste

strane tacke A′, to se, s obzirom na napred dokazanu teoremu, one moraju poklap-

ati. Postoji, dakle, h-podudarnost koja AC preslikava na A′C

′(to je ona koja AB

preslikava na A′B

′), a to i dokazuje da su h-duzi AC i A

′C

′h-podudarne.

Aksioma 3.4. - Neka je u h-ravni dat h-ugao ]hk i h-prava a′. Neka je, dalje, u

odnosu na pravu a′zadata h-poluravan α

′. Obelezimo sa h

′h-polupravu h-prave a

′

koja ishodi iz tacke O′. Tada kroz O

′u h-poluravni α

′, postoji jedna i samo jedna

h-poluprava k′, takva da je h-ugao ]hk h-podudaran h-uglu ]h′

k′. Vazi jos i da je

svaki h-ugao podudaran samom sebi.


Slika 5.6.15.

Ako je O teme h-ugla ]hk, obelezimo sa s h-simetralu h-duzi OO′. Inverzija

s obzirom na s preslikava tacku O na O′, a ]hk na h-ugao ]h1k1. Posmatrajmo

h-ugao ]h1h′i obelezimo sa s1 njegovu h-simetralu. Inverzija s obzirom na s1

preslikava h1 na h′, a k1 na h-polupravu k2. Ukoliko k2 pripada uocenoj h-poluravni

α′, obelezimo je sa k

′. Ukoliko to nije slucaj, primenimo inverziju s obzirom na

kruznicu a′. Tada se h-poluprava h

′preslikava na samu sebe, a k2 na h-polupravu

k′. U svakom slucaju ]h′

k′je dobijen iz ]hk proizvodom konacnog broja inverzija,

sto znaci da su ta dva h-ugla h-podudarna. Pri tome je h-poluprava h′unapred

data, a h-poluprava k′pripada unapred uocenoj h-poluravni α

′. Ovim je pokazan

prvi deo Aksiome 3.4.(Slika 5.6.15).Da pokazemo drugi deo ove aksiome, oznacimo sa s3 h-simetralu h-ugla ]hk.

Kako inverzija s obzirom na s3 preslikava ]hk na samog sebe, to je h-ugao h-podudaran samom sebi.

Aksioma 3.5. - Neka su A,B i C tri h-tacke koje ne pripadaju istoj h-pravoj, aA

′, B

′i C

′takode tri h-tacke koje ne pripadaju istoj h-pravoj. Ako su tada h-duzi

AB i AC h-podudarne h-duzima A′B

′i A

′C

′, a h-ugao ]BAC podudaran h-uglu

]B′A

′C

′, onda je i h-ugao ]ABC h-podudaran h-uglu ]A′

B′C

′.

Zaista, posto je h-ugao ]BAC h-podudaran h-uglu ]B′A

′C

′to postoji proizvod

inverznih preslikavanja koji prvi ugao preslikava na drugi. Pri tom se tacka A pres-likava na A

′, tacka B na tacku B1 h-poluprave A

′B

′, a C na tacku C1 h-poluprave

A′C

′, tj. h-duz AC je h-podudarna sa h-duzi A

′C1, a AB sa A

′B1. Ali po pret-

postavci je AC h-podudarno sa h-duzi A′C

′, i tacke C

′i C1 pripadaju istoj h-pravoj

i nalaze se sa iste strane tacke A′. Na osnovu vec dokazane teoreme te dve tacke se

poklapaju. Iz istih razloga se poklapaju i tacke B′i B1. Dakle, pri onom proizvodu

inverznih preslikavanja koji ]BAC preslikava na ]B′A

′C

′, h-ugao ]ABC se pres-

likava na h-ugao ]A′B

′C

′, tj. ti uglovi su h-podudarni, sto je i trebalo pokazati.


Aksiome neprekidnosti i aksioma paralelnosti

Na pocetku ovog odeljka smo definisali relaciju h-izmedu, tako sto smo us-postavili uzajamno-jednoznacnu korespodenciju izmedu tacaka h-prave a i tacakaotvorene euklidske duzi PQ, gde su P i Q beskrajno daleke tacke prave a. Medutim,u skupu tacaka otvorene euklidske duzi zadovoljen je Dedekindov princip. Zbogpomenute uzajamno-jednoznacne korespodencije on je zadovoljen i u skupu tacakah-prave a. U posmatranom modelu je, dakle, zadovoljen Dedekindov princip.

Ostaje jos da ispitamo aksiomu paralelnosti.

Slika 5.6.16.

Aksioma paralelnosti - Uocimo h-pravu a i van nje h-tacku A. Tacke u kojimakruznica a sece apsolutu k oznacimo sa P i Q, pri cemu te tacke nisu h-tacke i nepripadaju pravoj a (Slika 5.6.16). Kroz tacke A i P uvek prolazi kruznica p kojaje uz to i ortogonalna na apsolutu, dok, kroz tacke A i Q takode prolazi kruznica qkoja je ortogonalna na apsolutu. Sve ostale kruznice koje prolaze kroz A, a ortogo-nalne su na apsolutu, pripadaju jednom od dva para unakrsnih uglova koje obrazujukruznice p i q. Sve kruznice iz jednog od tih uglova seku a, dok, kruznice iz drugogpara ne seku a. U terminologiji posmatranog modela ta cinjenica se izrazava ovako:

U h-ravni, kroz tacku van prave, prolazi bezbroj h-pravih koje datu h-pravu seku,a takode i bezbroj onih koje je ne seku.

Prema tome, u posmatranom modelu zadovoljena je aksioma paralelnostiLobacevskog, tj. posmatrani model je model hiperbolicne geometrije i naziva sePoenkareov model hiperbolicne geometrije tacnije Poenkareov disk model,koji cemo oznacavati sa P. Ovaj model je smesten u deo euklidske ravni. Osnovniobjekti tog modela kao i relacije su objekti i relacije geometrije Euklida. Drugimrecima, cela h-geometrija posmatranog modela je jedan deo geometrije Euklida.Svakoj teoremi hiperbolicne geometrije odgovara jedna teorema u ovom modelu, aova je, opet, teorema geometrije Euklida. Dakle, ako bi u hiperbolicnoj geometriji


postojala neka protivurecnost, ona bi se pojavila i u Poenkareovom modelu, pa,dakle, i u geometriji Euklida. Otuda ova osnovna teorema:

Teorema 5.6.10 Ako je geometrija Euklida neprotivurecna, neprotivurecna je ihiperbolicna geometrija.

Naglasimo da, pored Poenkareovog disk modela postoji i Poenkareov poluravan-ski model, o kome ce biti reci u sledecem odeljku.

Sledecim primerom opisacemo postupak konstrukcije normale na datu pravu krozdatu tacku u Poenkareovom disk modelu:

Primer 5.6.2 U Poenkareovom disk modelu hiperbolicne ravni date su h-prava a ih-tacka A. Odrediti h-pravu n koja sadrzi tacku A i upravna je na pravu a.

Pre nego da pokazemo sta prava n predstavlja u h-ravni navescemo pomocneleme:

Lema 5.6.1 Ako se u inverziji u odnosu na krug k tacka X koja ne pripada kruguk preslikava u X

′, onda je svaki krug l koji sadrzi tacke X i X

′normalan na k.

Lema 5.6.2 Ako se u osnoj refleksiji u odnosu na pravu p tacka X koja ne pripadapravoj p preslikava u tacku X

′, onda je svaki krug l koji sadrzi tacke X i X

′normalan

na pravoj p.

Resenje: (1) Pretpostavimo da je A srediste apsolute.

Ako je h-prava a u euklidskom smislu duz koja pripada pravoj pa, onda je trazenah-prava n odredena pravom koja sadrzi tacku A i normalna je na pravoj pa.

Ako je h-prava a u euklidskom smislu luk kruga ka, onda je trazena h-prava nodredena pravom koja sadrzi tacku A i srediste kruga ka.

(2) Pretpostavimo da tacka A nije srediste apsolute i da ne pripada pravoj a.

Slika 5.6.17.


Ako je h-prava a u euklidskom smislu segment nekog kruga ka, potrebno jeodrediti krug (ili pravu) normalan na ka i apsoluti i pri tom sadrzi tacku A (Slika5.6.17). Neka je A

′slika tacke A u inverziji u odnosu na apsolutu i neka je A

′′slika

tacke A u inverziji u odnosu na krug ka. Ako su tacke A,A′i A

′′kolinearne, onda je

trazena h-prava n odredena pravom koja sadrzi tacke A,A′i A

′′. Ako tacke A,A

′i

A′′nisu kolinearne, onda je trazena h-prava n segment euklidskog kruga kn opisanog

oko trougla AA′A

′′.

Ako je h-prava a u euklidskom smislu duz koja pripada pravoj pa, potrebno jeodrediti krug (ili pravu) normalan na pa i apsoluti i pri tom sadrzi tacku A. Neka jeA

′slika tacke A u inverziji u odnosu na apsolutu i neka je A

′′slika tacke A u osnoj

refleksiji u odnosu na pravu pa. Ako su tacke A,A′i A

′′kolinearne, onda je trazena

h-prava n odredena tom pravom koja sadrzi tacke A,A′i A

′′. Ako tacke A,A

′i A

′′

nisu kolinearne, onda je trazena h-prava n segment euklidskog kruga kn opisanogoko trougla AA′

A′′.

(3) Pretpostavimo da tacka A nije srediste apsolute i da pripada h-pravoj a.

Slika 5.6.18.

Pretpostavimo da je h-prava a u euklidskom smislu segment nekog kruga ka.Neka je A

′slika tacke A u inverziji u odnosu na apsolutu, neka je sAA′ simetrala

duzi AA′i neka je t tangenta u tacki A na krug ka (Slika 5.6.18). Ako se prave sAA

′

i t seku u nekoj tacki Oa, onda je trazena h-prava odredena krugom cije je sredistetacka Oa i koji sadrzi tacku A. Ako se prave sAA

′ i t ne seku, onda je trazena h-pravaodredena pravom koja sadrzi tacku A i srediste kruga ka.

Pretpostavimo da je h-prava a u euklidskom smislu duz koja pripada nekoj pravojpa. Neka je A

′slika tacke A u inverziji u odnosu na apsolutu. Trazena h-prava n je

luk kruga cije je srediste srediste duzi AA′i koji sadrzi tacku A.

Pojam paralelnosti je jedan od znacajnih pojmova euklidske geometrije, pacemo, stoga, obratiti posebnu paznju na njegovu interpretaciju u h-ravni, tacnije uPoenkareovom disk modelu.

Ako dve h-poluprave sa zajednickim temenom B imaju iste krajeve kao ineka h-prava a, koja ne sadrzi B, tada ce proizvoljna h-poluprava sa temenom B


seci h-pravu a ako i samo ako pripada onom od h-uglova na koje zadate h-polupraverazlazu h-ravan, kojem pripada i h-prava a (Slika 5.6.19). Stoga za te dve h-poluprave mozemo reci da su h-paralelne h-pravoj a. Za dve h-prave mozemoreci da su medusobno h-paralelne ako imaju jedan zajednicki kraj.

Slika 5.6.19.

Primetimo, da se u h-ravni na prirodan nacin moze uvesti metrika preko in-verzivnog rastojanja, sto omogucava da se uvede pojam h-kruga kao skupa svihh-tacaka jednako udaljenih od izabrane h-tacke koju zovemo centar h-kruga.Definisimo sada pojam inverzivnog rastojanja u modelu.

Definicija 5.6.8 Neka su A i B dve h-tacke, a a i b dve h-prave upravne na pravojAB. Inverzivno rastojanje medu krugovima koji sadrze h-prave a i b upravne naAB ce biti funkcija definisana na skupu parova h-tacaka A,B koja zadovoljava sveuslove da bude mera duzi pa nju mozemo nazvati h-rastojanjem ili h-metrikom.

Kao sto je receno na pocetku, Poenkareov disk model P predstavlja unutrasnjostjedinicnog kruga (apsolute) u kompleksnoj ravni. Videli smo da su prave ovogmodela precnici apsolute i lukovi krugova normalnih na apsolutu. Ako tacke A,B ∈P pripadaju takvom luku XY , gde su X, Y tacke sa apsolute, tada rastojanje uPoenkareovom disk modelu definisemo sa

ρP(A,B) = | ln[A,B;X, Y ]| = 2| ln(X − A

X −B:Y − A

Y −B)|. (5.6.1)

Vazna osobina Poenkareovog disk modela je i konformnost tj. vazi da modelcuva uglove. To znaci da je mera hiperbolickog ugla u modelu jednaka meri uglau euklidskom smislu. Npr. ugao izmedu dve h-prave jednak je euklidskom ugluizmedu dva kruga (ili kruga i prave ili izmedu dve prave) koji sadrze date h-prave.Sledecim primerom dacemo konstrukciju ugla paralelnosti:

Primer 5.6.3 Konstruisati h-ugao u Poenkareovom disk modelu za datu duz AB.

Resenje: Posmatrajmo sledece slucajeve:

(1) Ako duz AB pripada precniku apsolute.


Najpre konstruisemo normalu u jednoj od tacaka A i B. Bez gubljenja opstostimozemo konstruisati normalu n na h-pravu AB u tacki B (Primer 5.6.2. slucaj 3).Zatim konstruisemo pravu p paralelnu sa n, koja sadrzi tacku A, na sledeci nacin:

Oznacimo sa P i Q presecne tacke prave n i apsolute zatim konstruisemo u tackiQ (analogno za P ) tangentu na apsolutu (tangenta u dodirnoj tacki sadrzi centre svihkrugova koji su nosaci pravih koje su paralelne sa n). Zatim konstruisemo simetralueuklidske duzi AQ (analogno za AP ). Presecnu tacku simetrale i tangente u Qoznacimo sa S. Deo kruga, sa centrom u S i poluprecnikom SA ≡ SQ, koji se nalaziu h-ravni je trazena h-prava paralelna sa n koja sadrzi A. Ovako konstruisana prava,koja polazi iz tacke Q, je paralelna sa n u jednom smeru pa je u tom slucaju trazeniugao paralelnosti bas h-ugao BAQ, dok je prava konstruisana kroz P paralelna san u drugom smeru i tako dobijeni ugao paralelnosti je h-ugao BAP (Slika 5.6.20).

Slika 5.6.20.

Ukoliko je neka od tacaka A,B centar apsolute, na osnovu Primera 5.6.2(1)dobijamo da su trazeni uglovi paralelnosti ]BAS ili ]BAR (Slika 5.6.21).

Slika 5.6.21.

(2) Ako duz AB pripada kruznici a.Analogno kao u prethodnom slucaju konstruisemo normalu u jednoj od

tacaka, npr. B, pa zatim pravu paralelnu normali i koja sadrzi tacku A. Konstruk-cijom pravih paralelnih sa normalom u oba smera dobijamo dva ugla paralelnosti(Slika 5.6.22).


Slika 5.6.22.

Da naglasimo, analogno se sve moze konstruisati i ako se krene od tacke A tj.ako se konstruise normala u tacki A.

Sada cemo uvesti formulu za ugao paralelnosti u Poenkareovom disk modelu. Alipre toga dokazacemo lemu koja nam daje potreban rezultat.

Lema 5.6.3 Neka je data apsoluta k(O, r). Ako su P i Q tacke na apsoluti i Btacka na tetivi PQ tako da vazi raspored B(Q,O,B,P) i ρP(O,B) = d, onda je

OB = r(ed − 1)/(ed + 1). (5.6.2)

Dokaz. Iz jednacine (5.2.1) i (5.6.1) imamo da je d = | ln(OP ·BQ

OQ·BP)|. Oslobadanjem

od logaritma dobijamo:

ed =OP ·BQOQ ·BP

.

Dalje, kako je OP = OQ = r, BQ = r +BO i BP = r −BO dobijamo da je

ed =r +BO

r −BO.

Resavanjem jednacine po BO dobijamo da je

BO =r(ed − 1)

(ed + 1),

a to je i trebalo dokazati.

Koristeci definiciju ugla paralelnosti u ravni Lobacevskog, koju smo uveli u odeljku4.4.3, primer za konstrukciju ugla paralelnosti i prethodnu lemu dokazacemo sledecetvrdenje:

Teorema 5.6.11 Ugao paralelnosti u Poenkareovom disk modelu dat je sa

e−d = tan[Π(d)/2]. (5.6.3)


Slika 5.6.23.

Dokaz. Neka je d Poenkareovo rastojanje od neke tacke P do neke Poenkareoveprave l. Mozemo da izaberemo da l bude dijametar kruga k, Q centar tog krugatako da P pripada dijametru normalnom na l. Tada je d = PQ a Π(d) predstavljaPoenkareov ugao paralelnosti koju obrazuju prava paralelna sa l i p(PQ). Poenkare-ova prava kroz P paralelna sa l je luk kruga a, koji je ortogonalan na k, sadrzi tackuP i ima jedan zajednicki kraj sa l, pa je l tangenta na a (Slika 5.6.23). Dodirnatacka im je jedan kraj dijametra l i oznacimo je sa S. Tangenta na a u tacki Psece l u nekoj unutrasnjoj tacki R, koja predstavlja pol tetive PS kruga a pa su,na osnovu Teoreme 5.6.1, uglovi ]RPS i ]RSP jednaki i imaju zajednicku meruβ. Neka je α = Π(d), mera ugla ]RPQ. Kako je ]PRQ = 2β, dobijamo da jeα + 2β = π

2, ili je β = π

4− α

2. Iz trougla PQS sledi da je euklidska duzina PQ

jednaka proizvodu r · tan β, gde je r poluprecnik apsolute k, pa koristeci rezultatdobijen na osnovu prethodne leme,

ed =1 + tan β

1− tan β,

formulu za ugao β i trigonometrijske identitete

tan(π

4− α

2) =

1− tan α2

1 + tan α2

,

dobijamo trazenu formulu.


5.6.3 Epicikli u Poenkareovom disk modelu

U Glavi 4. smo videli sta pramenovi pravih predstavljaju u ravni Lobacevskog, uzavisnosti od toga da li je pramen konkurentnih (elipticki), paralelnih (parabolicki)ili pravih upravnih na neku datu pravu (hiperbolicki) trajektorije ovih pramen-ova nazivaju se cikl (krug), oricikl i ekvidistanta (hipercikl), redom. Sada cemopokazati cime je u Poenkareovom disk modelu reprezentovan elipticki, parabolicki ihiperbolicki pramen pravih.

Slika 5.6.24.

Elipticki pramen h-pravih ce biti skup svih h-pravih koje prolaze kroz nekuh-tacku A. U euklidskom smislu to su lukovi kruznica koje prolaze kroz tackuA, normalne su na kruznicu k i pripadaju unutrasnjosti kruznice k. Medutim, svekruznice koje su normalne na kruznicu k i prolaze kroz tacku A, prolaze i kroz tackuA

′, koja je inverzna tacki A u odnosu na kruznicu k. Otuda one obrazuju eliptican

pramen kruznica sa karakteristicnim tackama A i A′. Prema tome elipticni pramen

h-pravih, sa h-centrom u h-tacki A, predstavljen je lukovima kruznica elipticnog pra-mena A,A′ koji pripadaju unutrasnjosti apsolute k, ukljucujuci i precnik apsolutekoji prolazi kroz tacku A.(Slika 5.6.24).

Slika 5.6.25.


Parabolicki pramen h-pravih ce biti skup svih h-pravih sa zajednickim kra-jem koje su predstavljene lukovima kruznica koje su normalne na apsolutu i sveprolaze kroz istu tacku A apsolute. Buduci da sredista krugova koji sadrze h-pravejednog parabolickog pramena pripadaju tangenti apsolute u zajednickom kraju Azadatog pramena h-pravih, h-prave nekog parabolickog pramena pripadaju krugov-ima nekog parabolickog pramena krugova (Slika 5.6.25).

Slika 5.6.26.

Hiperbolicki pramen h-pravih predstavlja skup svih h-pravih normalnih naapsolutu k. Neka luk kruznice a reprezentuje bazisnu pravu pramena i neka su M iN tacke preseka kruznica k i a. Elementi hiperbolicnog pramena pravih, sa bazis-nom pravom a, su reprezentovani lukovima kruznica koje su normalne i na kruznicuk i na kruznicu a. oni dakle obrazuju pramen konjugovan pramenu k, a. Kako jek, a eliptican, njemu konjugovan pramen je hiperbolicki pramen. Linija centaratoga pramena je prava MN (Slika 5.6.26).

Buduci da je skup svih slika proizvoljne tacke ravni u inverzijama u odnosu nakrugove nekog pramena, krug koji je upravan na svim krugovima zadatog pramenakrugova, h-epicikl ce biti (euklidski) krug ili deo tog kruga. On nece biti upravanna apsoluti osim u slucaju kada je taj h-epicikl osnova neke h-ekvidistante.

Slika 5.6.27. a) Cikl (krug), b) Oricikl, c) Ekvidistanta.


Ako je zadat pramen konkurentnih h-pravih, njemu odgovarajuci h-krug ce biti(euklidski) krug koji pripada h-ravni, ciji centar, specijalno, ne mora biti centar euk-lidskog kruga. Kako je h-oricikl upravan na parabolickom pramenu h-pravih, on cebiti (euklidski) krug kome nedostaje zajednicki kraj h-pravih zadatog parabolickogpramena. Ako je zadat hiperbolicki pramen h-pravih, sa bazisnom pravom s, njemuodgovarajuca h-ekvidistanta je deo (euklidskog) kruga koji je upravan na zadatompramenu krugova (Slika 5.6.3). Ekvidistantu takode predstavlja jos jedna grana kojase dobija h-simetrijom u odnosu na h-pravu s. Ukoliko je, kao na slici, h-prava s deokruznice h-simetrija je inverzija u odnosu na tu kruznicu, dok, ukoliko je h-prava sprecnik apsolute tada je h-simetrija osna simetrija u odnosu na pravu s.


5.6.4 Opis Poenkareovog poluravanskog modela

Bilinearnim preslikavanjem

ω = f(z) = i1 + z

1− z(5.6.4)

unutrasnjost jedinicnog diska P ⊂ C se preslikava u gornju poluravan a kruznica(apsoluta) se preslikava u x-osu koja predstavlja rub te poluravni. Zaista,

Sω = R(1 + z

1− z) =

1

2(1 + z

1− z+

1 + z

1− z) =

1− |z|2

|1− z|2.

Zato je Sω > 0, tj. f(z) pripada gornjoj poluravni ako i samo ako je |z| < 1, tj.ako z pripada jedinicnom krugu. Dakle, preslikavanje f je bijekcija jedinicnog diskai gornje poluravni. Na taj nacin, smatrajuci f izometrijom, od Poenkareovog diskmodela dobijamo model u gornjoj poluravni, koji zovemo poluravanski model ioznacavamo sa H.

Bilinearno preslikavanje f krugove i prave normalne na jedinicni krug preslikavau krugove i prave normalne na x-osu. Zato su prave u poluravanskom modelupoluprave upravne na x-osu i polukrugovi sa centrom na x-osi i nazovimo te praveh-pravama (Slika 5.6.28).

Slika 5.6.28. Poluravanski model

Osu x koja sadrzi centar polukruga i podnozje prave upravne na nju zvacemotakode apsolutom neeuklidske ravni (h-ravni) tj. otvorene euklidske poluravni aduz CD h-prave upravne na x-osu predstavljace h-duz kao i deo luka XY od tackeA do tacke B.

Pre nego da opisemo osnovne pojmove i relacije u poluravanskommodelu pogleda-jmo sta geometrijski predstavlja izometrija izmedu diska P i gornje poluravni H.

Neka su zadati krug k i prava p koja krug k dodiruje u nekoj tacki O. Ako jeS tacka kruga k dijametralno suprotna tacki O, inverzijom ψ u odnosu na krug sacentrom u S i poluprecnikom SO, krug k se preslikava na pravu p, a unutrasnjostσ toga kruga na otvorenu poluravan π sa rubom p (Slika 5.6.29). Neposredno seproverava da je to preslikavanje bijekcija.


Slika 5.6.29.

Poluravan π je, kao sto smo uveli, h-ravan a svaka njena tacka je h-tacka. Kakoinverzija cuva uglove, h-prave unutrasnjosti σ kruga k se preslikavaju na polukrugovei poluprave poluravni π upravne na rub (apsolutu) te poluravni. Definisimo sadarelacije i pojmove u poluravanskom modelu.

Ako je tacka B h-ravni σ h-izmedu tacaka A i C, tada cemo za sliku B′tacke

B (koja pripada h-ravni π) reci da je h-izmedu A′i C

′, slika tacaka A i C (koje

takode pripadaju h-ravni π) u inverziji ψ i pisacemo Bh(A′, B

′, C

′).

Ako postoji niz inverzija u odnosu na krugove upravne na k takvih da se proizvodomtih inverzija par tacaka (A,B) h-ravni σ preslikava na par (C,D) iste h-ravni,postojace i niz inverzija u odnosu na slike tih krugova u inverziji ψ takvih da seproizvodom tih inverzija par tacaka (A

′, B

′) = ψ(A,B) h-ravni π preslikava na par

(C′, D

′) = ψ(C,D) iste h-ravni. Kako su (A, B) i (C, D) h-podudarni parovi tacaka

h-ravni σ, za parove (A′, B

′) i (C

′, D

′) cemo reci da su h-podudarni parovi tacaka

h-ravni π i pisacemo(A

′, B

′) ∼=h (C

′, D

′).

Buduci da pojmovi h-tacke, h-prave, h-izmedu i h-podudarnosti parova tacakah-ravni σ zadovoljavaju sve aksiome hiperbolicke planimetrije, te da se inverzijomψ h-tacke i h-prave h-ravni σ preslikavaju na h-tacke i h-prave h-ravni π, i da naposletku inverzija ψ cuva relacije h-izmedu i h-podudarnosti, pojmovi h-tacke, h-prave, h-izmedu i h-podudarnosti parova tacaka h-ravni π ce takode zadovoljavatisve aksiome hiperbolicke planimetrije. Stoga ce i h-ravan π biti model hiperbolickeplanimetrije koju nazivamo Poenkareovim poluravanskim modelom.

Kako je inverzivno rastojanje invarijanta inverzije, Poenkareov poluravanski modelhiperbolicke ravni nasledice h-metriku Poenkareovog disk modela. Dakle, ako pret-postavimo da su A i B dve h-tacke h-poluravni π a a i b dve h-prave upravne napravoj AB, inverzivno rastojanje medu krugovima koji sadrze h-prave a i b upravnena AB ce biti funkcija definisana na skupu parova h-tacaka A, B Poenkareovog polu-ravanskog modela, koji zadovoljava sve uslove da bude mera duzi. Stoga tu funkcijumozemo nazvati h-rastojanjem ili h-metrikom Poenkareovog poluravanskogmodela. Pogledajmo analiticki izraz pomenutog rastojanja.


Kako bilinearno preslikavanje cuva dvorazmeru kompleksnih brojeva, rastojanjeizmedu tacaka A i B u poluravanskom modelu (Slika 5.6.13) takode zadajemo formu-lom (5.6.1.), pri cemu je XY precnik kruga na kom se nalaze tacke A i B. U slucajukada je prava AB poluprava normalna na x-osu u tacki X, tacka Y je beskonacnodaleko. Zato je u tom granicnom slucaju

ρH(A,B) = | ln X − A

X −B|. (5.6.5)

Uvedimo jos pojmove h-ugla i h-trougla u poluravanskom modelu.

Slika 5.6.30.

Na Slici 5.6.30 je predstavljen h-ugao ]AOB kao i h-trougao ABC upoluravanskom modelu.

Kako svaka teorema hiperbolicke planimetrije ima svoju interpretaciju u ge-ometriji h-ravni, a teoreme hipebolicke planimetrije mogu se dokazivati i na modelu,navodimo tvrdenje koje nam daje interpretaciju ugla paralelnosti u poluravanskommodelu.

Teorema 5.6.12 Funkcija Lobacevskog se moze izraziti sledecom formulom:

Π(x) = 2 arctan e−x. (5.6.6)

Slika 5.6.31.

Dokaz. U poluravanskom modelu hiperbolicke ravni neka je M zajednicki krajdveju h-pravih poluravni π kojima su drugi krajevi tacke E i F , koje pripadajurubu p te poluravni, takve da je B(M, E, F) (Slika 5.6.31). Neka je zatim Bsrediste polukruga MF , a A tacka u kojoj normala iz B na pravoj p sece polukrugME. Ugao paralelnosti α duzi AB je h-ugao ]MAB. Ako je Q podnozje normaleiz B na pravoj p, a O srediste duzi ME, bice

]QOA ∼=h α i ]QMA ∼=h α

2. (5.6.7)


Ako je x mera duzi AB, x ce biti inverzivno rastojanje koncentricnih krugova ciji supoluprecnici QB i QA. Stoga je

ex =QB

QA=QM

QA= cot

α

2.

Odavde imamo da jeα = Π(x) = 2 arctan e−x,

a to je i trebalo pokazati.

Primetimo da su formule (5.6.3.) i (5.6.6.) ekvivalentne tj. uglovi u opisanimmodelima se izracunavaju na slican nacin. Dacemo primer kako konstruisati ugaoparalelnosti u Poenkareovom poluravanskom modelu (PPM) za datu duz. Pre toga,dacemo kratak opis konstrukcije normale i paralele u odnosu na neku pravu umodelu.

Primer 5.6.4 Neka su u PPM date prava a i na njoj tacka A. Konstruisati normaluna datu pravu kroz datu tacku.

Resenje: (1) Ako je prava a h-polukruznica.

Slika 5.6.32.

Iz tacke A konstruisemo tangentu na a i presecnu tacku te tangete i apsoluteoznacimo sa S. Deo kruznice b, sa centrom S i poluprecnikom koji je jednak SA,koji se nalazi u h-ravni je trazena normala (Slika 5.6.32).


(2) Ako je prava a h-poluprava.

Slika 5.6.33.

Oznacimo sa O podnozje prave a na apsoluti. Kruznica sa centrom u O ipoluprecnikom OA bice trazena normala s obzirom da je upravna na a (tangentakroz A je normalna na poluprecnik OA) i sadrzi tacku A (Slika 5.6.33).

Primer 5.6.5 Neka su u PPM date prava a i tacka A van nje. Konstruisati pravukoja je paralelna sa a i sadrzi tacku A.

Resenje: (1) Ako je prava a h-polukruznica.

Neka je data prava a sa centrom S na apsoluti i neka su P i Q tacke u kojimaona sece apsolutu. Konstruisemo euklidsku simetralu duzi AP i njenu presecnutacku oznacimo sa S

′. Deo kruga k(S

′, SA ≡ SP ), koji se nalazi u h-ravni, pred-

stavlja trazenu h-pravu paralelnu sa a u jednom smeru. Ponavljanjem postupka zaQ analogno se dobija h-prava paralelna sa a u drugom smeru.(2) Ako je prava a h-poluprava.

Oznacimo sa O podnozje prave a na apsolutu. Konstruisimo euklidsku simetraluduzi OA i oznacimo sa S tacku u kojoj ona sece apsolutu. Deo kruga k(S, SA ≡ SO),koji se nalazi u h-ravni, predstavlja trazenu h-pravu paralelnu sa a koja sadrzi tackuA.

Primer 5.6.6 Konstruisati ugao pralelnosti u PPM za datu duz AB.

Resenje: (1) Ako je duz data na pravoj koja je polukruznica.

Slika 5.6.34.


Neka je a data polukruznica u PPM koja sadrzi duz AB i neka su P i Q tacke ukojima ona sece apsolutu. Konstruisemo u tacki B normalu n na pravu a, kao stoje opisano u Primeru 5.6.4. i sa P

′i Q

′oznaciti njene presecne tacke sa apsolutom.

Zatim konstruisemo u tacki A pravu koja je paralelna sa n u jednom smeru, kao stoje opisano u prethodnom primeru, i jedan zajednicki kraj im je, recimo, tacka Q

′i u

tom slucaju dobijamo da je ugao BAQ′trazeni ugao paralelnosti u PPM. Analogno,

za pravu paralelnu u drugom smeru, dobijamo da je trazeni ugao paralelnosti basugao BAP

′(Slika 5.6.34).

(2) Ako je duz data na pravoj koja je upravna na apsolutu.

Slika 5.6.35.

Analogno kao u prethodnom slucaju, konstruisemo normalu u tacki B kao uPrimeru 5.6.4.(2) i oznacimo njene preseke sa apsolutom sa P i Q. Zatim, u tacki Akonstruisemo paralelu, sa zajednickim krajem Q (analogno sa P , u jednom smerupa je trazeni ugao bas ugao BAQ (odnosno ugao BAP ) (Slika 5.6.35).

Naglasimo da se postupak ponavlja, u oba slucaja, ako se krene od tacke A tj.ako konstruisemo normalu u A.


5.6.5 Epicikli u Poenkareovom poluravanskom modelu

Neka su oznake kao na Slici 5.6.14. i posmatracemo inverziju ψ. Invezijom ψ seelipticki, parabolicki i hiperbolicki pramenovi h-pravih h-ravni σ preslikavaju, re-dom, na elipticke, parabolicke, i hiperbolicke pramenove h-pravih h-ravni π. Buducida h-prave nekog pramena h-pravih h-ravni σ pripadaju krugovima nekog pramenakrugova, i h-prave pramena h-pravih h-ravni π pripadaju krugovima nekog pramenakrugova.

Primer 5.6.7 Ispitati cime je u PPM reprezentovan:(a) elipticki;(b) parabolicki;(c) hiperbolickipramen pravih.

Slika 5.6.36.

Resenje: (a) Posmatrajmo sve h-prave koje prolaze kroz tacku A. To su u euklid-skom smislu polukruznice, ciji centri leze na pravoj p i koje prolaze kroz tacku A,tom skupu pripada i normala na pravu p koja prolazi kroz tacku A. Odgovarajucekruznice, nosaci uocenih polukruznica, prolaze i kroz tacku A

′koja je simetricna

tacki A u odnosu na apsolutu p. Tako one obrazuju eliptican pramen sa karakter-isticnim tackama A i A

′(Slika 5.6.36).

Prema tome, elipticki pramen pravih u PPM predstavljen je delovima elemenataeliptickog pramena kruznica, koji leze sa uocene strane apsolute p, ukljucujuci i odgo-varajuci deo potencijalne ose tog pramena. Linija centara toga pramena kruznica jeapsoluta p a karakteristicna tacka pramena koja lezi u h-ravni je h-centar eliptickogpramena h-pravih.


Slika 5.6.37.

(b) Slicno se pokazuje da je to skup svih polukruznica sa centrima na apsoluti p kojeimaju jednu zajednicku tacku na apsoluti, ukljucujuci i polupravu koja je u toj tackinormalna na apsolutu. Tako je parabolicki pramen h-pravih reprezentovan delomparabolickog pramena kruznica koji lezi u h-ravni.Parabolicki pramen h-pravih je takode reprezentovan i skupom svih polupravih sapocetnom tackom na apsoluti, a koje su normalne na apsolutu (Slika 5.6.37).

Slika 5.6.38.

(c) Neka je bazisna h-prava pramena euklidska polukruznica a. Prave hiperbolickogpramena pravih reprezentovane su polukruznicama sa centrima na apsoluti koje sunormalne na kruznicu a. Na osnovu primera koji opisuje konstrukciju normale nadatu pravu mozemo ovde opisati hiperbolicki pramen pravih (Slika 5.6.38 a).Ako je bazisna prava poluprava a upravna na apsolutu u tacki A, tada je hiperbolickipramen reprezentovan sistemom koncentricnih polukruznica sa zajednickim centromA (Slika 5.6.38 b).

Inverzijom ψ h-krugovi h-ravni σ se preslikavaju na euklidske krugove h-ravniπ, koji, stoga, predstavljaju h-krugove h-ravni π. Tom inverzijom h-oricikli h-ravniσ koji sadrze srediste S date inverzije, preslikavaju se na euklidske prave h-ravni πkoje su euklidski paralelne rubu p poluravni π, a ostali h-oricikli se preslikavaju naeuklidske krugove poluravni π koji dodiruju pravu p. Stoga se skup h-oricikala h-ravni π sastoji iz euklidskih pravih poluravni π koje su paralelne pravoj p i krugova tepoluravni koji dodiruju p. Inverzijom ψ h-ekvidistante h-ravni σ koje sadrze sredisteS te inverzije, preslikavaju se na euklidske poluprave sa temenima na pravoj p, a


ostale h-ekvidistante na lukove krugova cija temena pripadaju pravoj p. Stoga seskup h-ekvidistanti h-ravni π sastoji iz euklidskih h-polupravih kojima su temenana rubu p poluravni π i lukova krugova cija temena pripadaju pravoj p (Slika 5.6.39).

Slika 5.6.39.

5.7. POENKAREOV MODEL HIPERBOLICNE STEREOMETRIJE 83

5.7 Poenkareov model hiperbolicne stereometrije

5.7.1 Poenkareov sferni model

S obzirom da smo u analogiji sa pojmom inverzije u odnosu na krug uveli pojaminverzije u odnosu na sferu, u analogiji sa Poenkareovim disk modelom hiperbolickeravni moze se uvesti i Poenkareov disk model hiperbolickog prostora, koji cemo kracenazivati Poenkareov sferni model.

Prosirimo sada datu definiciju Poenkareovog disk modela na definiciju Poenkare-ovog sfernog modela.U sfernom modelu apsoluta je sfera. Unutrasnjost apsolute zvacemo h-prostor, asve tacke h-prostora zvacemo h-tacke. Ako je neki krug (prava) u prostoru upravanna apsoluti segment tog kruga (prave) unutar apsolute zvacemo h-prava. Ako jeneka sfera (ravan) upravna na apsoluti deo te sfere (ravni) koji se nalazi unutarapsolute nazovimo h-ravan (ravan normalna na apsolutu sadrzi centar apsolute).

Slika 5.7.1. h-prava kao presek dve h-ravni

Slicno kao u disk modelu primecujemo da se inverzijom u odnosu na sferu up-ravnu na apsoluti (odnosno refleksijom u odnosu na ravan upravnu na apsoluti)unutrasnjost apsolute preslikava sama na sebe. Stoga uvodimo h-ravansku re-fleksiju kao restrikciju tog preslikavanja na h-prostor. Analogno definiciji simetraleh-duzi u disk modelu definise se simetralna h-ravan h-duzi (krace simetralnaravan) kao h-ravan normalna na datu h-duz koja definise h-refleksiju kojom se jednoteme date h-duzi preslikava u drugo.Pored h-poligona i h-poligonskih povrsi definisu se i h-poliedri i h-poliedarske povrsi,slicno kao u euklidskoj geometriji.Definisemo h-izometriju kao niz h-refleksija. Specijalno, h-translacija za datuh-duz je kompozicija dve h-refleksije, prve u odnosu na h-ravan normalnu na datuh-duz u pocetnoj h-tacki i druge u odnosu na simetralnu ravan date h-duzi;


h-rotacija oko date h-prave za dati ugao je kompozicija dve h-refleksije u odnosu nadve h-ravni koje sadrze datu h-pravu i zahvataju dati ugao, pri cemu je orjentacijaugla izmedu tih h-ravni jednaka orjentaciji datog ugla.

Kao i u disk modelu, u Poenkareov sferni model moze se uvesti metrika kojanam omogucava da , pored h-kruga, definisemo i h-sferu kao skup svih h-tacaka h-prostora jednako udaljenih od izabrane h-tacke koju zovemo centar h-sfere. Prime-timo da su h-krugovi i h-sfere u modelu i u euklidskom smislu krugovi i sfere s timda njihova sredista nisu nuzno usredista u euklidskom smislu.Poenkareov sferni model je takode konforman tj. vazi da on cuva uglove. Naprimer, ugao izmedu dve h-ravni jednak je euklidskom uglu izmedu dve sfere (ilisfere i ravni, ili dve ravni) koje sadrze date h-ravni.Pojmovi h-izmedu i h-podudarno se uvode u potpunoj analogiji sa odgovarajucimpojmovima h-ravni.

U analogiji sa dokazanim osobinama h-ravni proverava se da vaze i aksiomeapsolutne planimetrije kao i aksioma paralelnosti. Da bismo dokazali da je h-prostormodel hiperbolickog prostora neophodno je proveriti da li vaze i stereometrijskeaksiome prve grupe:

1. Postoji najmanje jedna h-ravan koja sadrzi tri tacke;

2. Postoji najvise jedna h-ravan koja sadrzi tri h-nekolinearne tacke;

3. Ako dve razne h-tacke neke h-prave pripadaju jednoj h-ravni, onda svakah-tacka te h-prave pripada istoj h-ravni;

4. Ako dve razne h-ravni imaju jednu zajednicku h-tacku, onda one imajunajmanje jos jednu zajednicku h-tacku;

5. Postoje cetiri h-nekomplanarne tacke.

5.7.2 Poenkareov poluprostorni model

Kao sto smo sferni model uveli u analogiji sa disk modelom tako se i Poenkareovpoluprostorni model uvodi analogno sa poluravanskim modelom hiperbolicne planimetrije.Poluprostorni model predstavlja gornji poluprostor prostora R3 tj.

H : z > 0.

Ravan z = 0 nazovimo apsoluta, dok su prave H modela polukrugovi sa centromna apsoluti i poluprave normalne na apsolutu sa temenom na apsoluti. Ravni upoluprostornom modelu su polusfere sa centrom na apsoluti i poluravni normalnena apsolutu cija ivica pripada apsoluti.

Analogno kao sto smo imali kod poluravanskog modela, inverzijom ψ u odnosuna sferu σ koja dodiruje ravan π u tacki O, cije je srediste tacka sfere σ dijametralnosuprotna tacki O, unutrasnjost sfere σ (koja je h-prostor) preslikava se na otvorenipoluprostor sa rubom π (koji takode predstavlja model hiperbolickog prostora).

5.7. POENKAREOV MODEL HIPERBOLICNE STEREOMETRIJE 85

Restrikciju te inverzije na sferu σ, kojom se ta sfera preslikava na ravan π, nazivamostereografskom projekcijom7. Njome je uspostavljen izomorfizam dvaju modelahiperbolickog prostora.

7Videti vise o tome u [14] strana 8.

Glava 6

Zakljucak

Nakon Beltramijevog otkrica ostalo je jasno da je pre svega planimetrija Lobace-vskog nasla svoje realno tumacenje na konkretnim objektima euklidske geometrije.Geometrija Lobacevskog postala je primenjena nauka, iako je imala mnoge pro-tivnike medu matematicarima. Medutim, iako je rad Beltramija predstavljao jedanod najvaznijih stimulansa priznanja geometrije Lobacevskog, kao sto je receno, ostaloje mnogo toga nejasnog a narocito u stereometriji. Interpretacija Klajna i Poenkarea,koju smo obradili u ovom radu, zauvek je povezala geometriju Lobacevskog sa Eu-klidovom. Kao sto je pokazano u radu, neprotivurecnost geometrije Lobacevskogsvodi se na neprotivurecnost geometrije Euklida.

Svrha ovog rada bila je u predstavljanju geometrije Lobacevskog u Poenkareovommodelu. Akcenat stavljen na konstrukciju i geometrijski prikaz Poenkareovih mod-ela, diska i poluravanskog. Detaljno su obradene osobine disk modela hiperbolickeplanimetrije, uvedeni osnovni geometrijski pojmovi, relacije i dati primeri na kojimase vidi da se i na modelu mogu konstruisati paralelne prave, normale, uglovi za datuduz itd. Takode smo videli da u hiperbolickoj ravni vazi Hilbertov sistem aksiomakao i aksioma Lobacevskog. Naveli smo i osobine epicikala u modelu. Pokazali smoi da se poluravanski model dobija iz disk modela bilinearnim preslikavanjem i da unjemu takode vaze sve aksiome kao i u disk modelu pa se samim tim, na izvestannacin, i u poluravanskom modelu mogu opisati analogni pojmovi i relacije kao i udisk modelu.

Analogno, sa pojmovima disk modela i poluravanskog modela u planimetriji,moze sve ovo prikazati i u prostoru. U ovom radu navedene su samo osnovne osobineprostornih modela, tacnije Poenkareovog sfernog i poluprostornog modela. Koristeciosobine inverzije tacke u odnosu na sferu, stereografske projekcije i povrsi u L3 moguse, analogno kao i u ravanskim modelima, opisati svi pojmovi, relacije i dati prikazepisfera u prostornim modelima. Stoga se dalje istrazivanje moze odvijati u tompravcu. Kako je Lobacevski definisao hiperbolicku trigonometriju kao i diferencijalnugeometriju, moze se dalje istrazivanje na modelima odvijati i u pravcu diferencijalnegeometrije kao i trigonometrije.

Rezultati dobijeni u ovom radu mogu, veoma korisno, posluziti za kurs Neeuk-lidske geometrije na Prirodno-matematickom fakultetu.

87

88 GLAVA 6. ZAKLJUCAK

Literatura

[1] P. Janicic, Zbirka zadataka iz geometrije, Matematicki fakultet, Beograd 2007.

[2] Z. Lucic, Euklidska i hiperbolicna geometrija, Total design i Matematicki fakultet,Beograd 1997.

[3] M. Mitrovic, S. Ognjanovic, M. Veljkovic, Lj. Petkovic, N. Lazarevic,Geometrija za I razred Matematicke gimnazije,Drugo dopunjeno izdanje - izdavac ”Krug”, Beograd 1998.

[4] M. Prvanovic, Neeuklidske geometrije, Novi Sad 1974.

[5] M. Stankovic, Osnovi geometrije, PMF, Nis 2006.

[6] M. Stankovic, M. Zlatanovic, Geometrija Lobacevskog, u pripremi

[7] J. Ulcar, Projektivna i diferencijalna geometrija- Zbirka problema, Naucna knjiga,Beograd 1969.

[8] M. Babic, Vizualizacija prostora Lobacevskog, Master rad, Beograd 2010.http://alas.matf.bg.rs/vsr\dj an/files/marijana.pdf

[9] B. Ajdin, J. Novicic, R. Stamencic, P. Janicic,Retrejsing u Poenkareovom sfernom modelu hiperbolickog prostora,http://www.mpi-inf.mpg.de/bajdin/HRayTracing-ser.pdf

[10] D. Lopandic, Geometrija,http://poincare.matf.bg.ac.rs/zlucic/LopandicGeometrija.pdf

[11] Z. Lucic, Da li je geometrija Lobacevskog moguca?, Seminarski rad, Beograd 2007.

[12] Z. Lucic, Geometrija i njena sistematizacija kroz istoriju, Seminarski rad,http://alas.matf.bg.ac.rs/zlucic/view-pdf.php?id=228

[13] Z. Lucic, Poenkare i Poenkareov disk model, Seminarski rad, Beograd 2000.http://www.scribd.com/doc/62469636/Poenkare-i-Poenkareov-Disk-Model

[14] S. Vukmirovic, Modeli geometrije Lobacevskog, Skripta, Jun 2005.http://alas.matf.bg.ac.rs/vsr\djan/files/geomlob.pdf

[15] http://www.wikipedia.org/

89

90 LITERATURA

Biografija

Aleksandra Milovanovic je rodena 24.09.1988 godine u Nisu, Republika Srbija. Zavrsilaje osnovnu skolu ”Bubanjski heroji” 2003. godine i iste upisala gimnaziju ”BoraStankovic”, prirodno-matematicki smer, koju je zavrsila 2007. godine sa odlicnimuspehom.

Prirodno-matematicki fakultet u Nisu, odsek za matematiku i informatiku, up-isala je skolske 2007/2008. godine na smeru matematika. Osnovne akademskestudije zavrsila je 2010.godine sa prosecnom ocenom 7, 84. Iste godine upisujediplomske akademske studije na smeru Matematika koje zavrsava sa prosecnomocenom 8, 64.

91

poenkareov model u hiperboli ckoj geometriji - pmf.ni.ac.rs · pdf fileˇciji su tvorci bili...

Documents